Высоты 1 и BB1 треугольника BC пересекаются в точке H

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Cерия 1, подготовительная.

Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно. Докажите, что прямые XY и A1B1 перпендикулярны.
Докажите, что если хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E, то EA∙EB = EC∙ED.
В четырехугольнике ABCD продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке P, причем PA∙PD = PB∙PC. Докажите, что четырехугольник вписанный.
То же для точки пересечения диагоналей.
Докажите, что если P – точка вне окружности, а PA и PC – секущие, вторично пересекающие окружность в точках B и D соответственно, то PA∙PB = PC∙PD.
Докажите, что величина PA∙PB из предыдущей задачи равна квадрату касательной, проведенной из P к окружности.
Докажите, что эта же величина равна d2-R2, где d – расстояние от точки P до центра окружности, R – радиус этой окружности. Эту величину мы будем называть степенью точки P относительно окружности ω, даже если точка P лежит внутри или на окружности (проследите за знаком степени таких точек).
Окружность пересекает стороны треугольника так, что каждая сторона делится на три равных отрезка. Докажите, что треугольник – правильный.

Серия 2, радикальная.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке W. Докажите, что WA – касательная к окружности, описанной около BAL.
Найдите геометрическое место точек, степень которых относительно данной окружности равна c. Какие значения может принимать c?
Во вписанном четырехугольнике ABCD на сторонах AB, BC, CD и DA лежат точки K, L, M и N соответственно, такие, что AK = KB = 6, BL = 3, LC = 12, CM = 4, MD = 9, DN = 18, NA = 2. Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный. (Многоборье, регата, 3 тур)
//Какая фигура в декартовой плоскости задается уравнением (x-x1)2+(y-y1)2=R2? Докажите, что любая такая фигура может быть задана и уравнением f(x,y)=x2+y2+ax+by+c=0. Докажите, что степень точки с координатами (x0,y0) относительно этой окружности равна f(x0,y0).
Найдите геометрическое место точек, степени которых относительно двух данных окружностей равны. Это ГМТ мы назовем радикальной осью окружностей γ и δ.
Постройте радикальную ось двух окружностей, которые: а) пересекаются; б) касаются внешним образом; в) касаются внешним образом; г) не пересекаются.
К двум непересекающимся окружностям проведены 4 общие касательные: 2 внешние и 2 внутренние. Докажите, что их середины лежат на одной прямой. (Что такое внешняя касательная?)
Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно. Докажите, что прямые XY и A1B1 перпендикулярны.
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и С1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.

Серия 3, с послесловием.

На прямой, содержащей две точки пересечения двух окружностей, взята произвольная точка. Докажите, что длины касательных, проведенных из этой точки к окружностям, равны.
Окружности γ и δ касаются внутри окружности Ω, сами пересекаясь в точках P и Q. Касательные, проведенные к γ и Ω в точке их касания и к δ и Ω в точке их касания, пересекаются в точке R. Докажите, что точки P, Q, R коллинеарны.
На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Докажите, что точка C лежит на общей хорде окружностей, описанных около треугольников KXN и LYM.
Серединный перпендикуляр к стороне AC остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B1 и B2 соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C1 и C2 соответственно. Окружности, описанные около треугольников BB1B2 и CC1C2 пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ. (Регион, 9.7)
В треугольнике проведена окружность, диаметром которой служит одна из сторон. Докажите, что на этой окружности лежат основания высот, опущенных из двух вершин.
Докажите, что для любых трех окружностей на плоскости существует точка, степени которой относительно всех трех окружностей равны. Такую точку называют радикальным центром трех окружностей.
Из задач 17 и 18 выведите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. (Связь с серединными перпендикулярами, биссектрисами; схожие доказательства).

1. 4 Основные определения статистики государственного бюджета
2. печать в полиграфическом производстве называют вид процесса или способ получения печатных оттисков
3. темах та їх основні функції
4. СНІД як медико-соціальна проблема
5. Природная ценность крупных таежных территори
6. можно в предыдущей фразе Основное внимание уделяется переходу от точных формул допредельных распределений
7. патриарха фарисеев Гамалиила I
8. Утверждаю Согласовано Проректор по УР и КОД Начальник учебного отдела Коновалова Г
9. Статья 70 Испытание при приеме на работу При заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может
10. Требования к тормозному управлению АТС.html
11. Общие принципы построения вычислительных сетей
12. Кот Это был кот серый персидский кот.html
13. Лекция 4. Товар и деньги как основные инструменты рыночного хозяйства 1
14. во частей- 17 Статус- закончен Описание-1837 год
15. Фразеологизмы с гастрономическим компонентом в немецком языке
16. Контрольная работа- Административно-правовой статус общественных объединений
17. тематических наук заведующий кафедрой Прикладной математики Уральского государственного экономическог
18. Расчет настройки токарно - затыловочного станка модели 96
19. Реферат на тему- КЛАССИКА КАК НАПРАВЛЕНИЕ ДУХОВНОЙ КУЛЬТУРЫ ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЫ Выполн
20. Лабораторная работа КСЕ07 ИЗУЧЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Цель работы- 1

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе