Высоты 1 и BB1 треугольника BC пересекаются в точке H
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Cерия 1, подготовительная.
- Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно. Докажите, что прямые XY и A1B1 перпендикулярны.
- Докажите, что если хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E, то EA∙EB = EC∙ED.
- В четырехугольнике ABCD продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке P, причем PA∙PD = PB∙PC. Докажите, что четырехугольник вписанный.
- То же для точки пересечения диагоналей.
- Докажите, что если P – точка вне окружности, а PA и PC – секущие, вторично пересекающие окружность в точках B и D соответственно, то PA∙PB = PC∙PD.
- Докажите, что величина PA∙PB из предыдущей задачи равна квадрату касательной, проведенной из P к окружности.
- Докажите, что эта же величина равна d2-R2, где d – расстояние от точки P до центра окружности, R – радиус этой окружности. Эту величину мы будем называть степенью точки P относительно окружности ω, даже если точка P лежит внутри или на окружности (проследите за знаком степени таких точек).
- Окружность пересекает стороны треугольника так, что каждая сторона делится на три равных отрезка. Докажите, что треугольник – правильный.
Серия 2, радикальная.
- В треугольнике ABC проведена биссектриса BL до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке W. Докажите, что WA – касательная к окружности, описанной около BAL.
- Найдите геометрическое место точек, степень которых относительно данной окружности равна c. Какие значения может принимать c?
- Во вписанном четырехугольнике ABCD на сторонах AB, BC, CD и DA лежат точки K, L, M и N соответственно, такие, что AK = KB = 6, BL = 3, LC = 12, CM = 4, MD = 9, DN = 18, NA = 2. Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный. (Многоборье, регата, 3 тур)
- //Какая фигура в декартовой плоскости задается уравнением (x-x1)2+(y-y1)2=R2? Докажите, что любая такая фигура может быть задана и уравнением f(x,y)=x2+y2+ax+by+c=0. Докажите, что степень точки с координатами (x0,y0) относительно этой окружности равна f(x0,y0).
- Найдите геометрическое место точек, степени которых относительно двух данных окружностей равны. Это ГМТ мы назовем радикальной осью окружностей γ и δ.
- Постройте радикальную ось двух окружностей, которые: а) пересекаются; б) касаются внешним образом; в) касаются внешним образом; г) не пересекаются.
- К двум непересекающимся окружностям проведены 4 общие касательные: 2 внешние и 2 внутренние. Докажите, что их середины лежат на одной прямой. (Что такое внешняя касательная?)
- Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно. Докажите, что прямые XY и A1B1 перпендикулярны.
- К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и С1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
Серия 3, с послесловием.
- На прямой, содержащей две точки пересечения двух окружностей, взята произвольная точка. Докажите, что длины касательных, проведенных из этой точки к окружностям, равны.
- Окружности γ и δ касаются внутри окружности Ω, сами пересекаясь в точках P и Q. Касательные, проведенные к γ и Ω в точке их касания и к δ и Ω в точке их касания, пересекаются в точке R. Докажите, что точки P, Q, R коллинеарны.
- На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Докажите, что точка C лежит на общей хорде окружностей, описанных около треугольников KXN и LYM.
- Серединный перпендикуляр к стороне AC остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B1 и B2 соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C1 и C2 соответственно. Окружности, описанные около треугольников BB1B2 и CC1C2 пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ. (Регион, 9.7)
- В треугольнике проведена окружность, диаметром которой служит одна из сторон. Докажите, что на этой окружности лежат основания высот, опущенных из двух вершин.
- Докажите, что для любых трех окружностей на плоскости существует точка, степени которой относительно всех трех окружностей равны. Такую точку называют радикальным центром трех окружностей.
- Из задач 17 и 18 выведите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. (Связь с серединными перпендикулярами, биссектрисами; схожие доказательства).