Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Оглавление
стр.
Введение…………………………………………………………….2
Основные определения…………………………………….3
Решение уравнений
2.1 Линейные уравнения и уравнения
приводимые к линейным.........................................................5
2.2. Квадратные уравнения и уравнения
приводимые к квадратным………………………………….11
2.3. Иррациональные уравнения………….……………….23
2.4. Показательные и логарифмические
уравнения……………………………………………………...27
2.5. Тригонометрические уравнения…………….………..32
Заключение…………………………………………….…………...36
Литература…………………………………………………………37
Введение.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение уравнений с параметрами можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, полученные результаты. Здесь кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.
Мой интерес к этой теме вызван не случайно. В школьной программе тема «Уравнения с параметрами» практически не затрагивается. Формирование некоторых навыков в решении такого рода задач затрагивается в темах; «Решение линейных уравнения», «Решение линейных систем с двумя неизвестными», «Решение квадратных уравнений», включенных в школьную программу. Но этого явно недостаточно, для формирования умения решать уравнения с параметрами. При этом на вступительных экзаменах в ВУЗы и в третьей части ЕГЭ зачастую включаются задания с параметрами, вызывающие определенные сложности.
В своей работе я хочу показать некоторые методы решения различных уравнений с параметрами. Упор в работе сделан на аналитический способ решения уравнений, но в пункте «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным» на примере некоторых уравнений я рассматриваю графический способ решения уравнений с параметрами.
1. Основные определения.
Рассмотрим уравнение , где - переменные величины.
Любая система значений переменных , , … , , при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных . Пусть - множество всех допустимых значений , - множество всех допустимых значений , и т.д., - множество всех допустимых значений , т.е. , , …, . Если из каждого из множеств , …, выбрать и зафиксировать по одному значению и подставить их в исходное уравнение, то получим уравнение относительно , т.е. уравнение с одним неизвестным.
Решение его зависит от выбранной нами системы значений и будет иметь определенное числовое значение при каждом таком выборе, следовательно, решение исходного уравнения относительно является функцией от . Если обозначить это решение через , то получим . Переменные , которые при решении исходного уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само исходное уравнение уравнением, содержащим параметры.
В дальнейшем параметры будут обозначаться буквами латинского алфавита: а неизвестные буквами .
Решить исходное уравнение - значит, указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они. В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
2. Решение уравнений.
2.1. Линейные уравнения и уравнения приводимые
к линейным.
Уравнения вида , где и - выражения, зависящие только от параметров, а - неизвестное, называют линейным относительно .
Оно приводится к виду , и:
- при имеет единственное решение ;
- при и имеет бесчисленное множество решений (- любое число);
- при и корней нет.
1). Решить уравнение .
Решение: ,
,
если , то корней нет;
если , то уравнение имеет единственный корень .
Ответ: при , - единственное решение;
при корней нет.
2). Решить уравнение .
Решение: ,
, при или ,
при , значит, уравнение имеет бесчисленное множество корней (- любое);
при , значит, корней нет;
при , ,
,
- единственный корень.
Ответ: при , - любое;
при , корней нет;
при , , - единственное решение.
Но задания на уравнения с параметрами могут звучать по-другому, например:
3). При каких значениях параметра а уравнение имеет:
1) один корень;
2) ни одного корня;
3) бесконечно много корней.
Решение: ,
при или ,
при , значит, корней нет;
при , значит, уравнение имеет бесчисленное множество корней, - любое;
при , ,
,
- единственный корень.
Ответ: уравнение имеет один корень при и ;
уравнение не имеет корней при ;
уравнение имеет бесконечно много корней при .
Теперь рассмотрим уравнения приводимые к линейным.
4) Решить уравнение .
Решение: ,
, , ,
; ; или ;
значит, при , уравнение не имеет смысла, следовательно, не имеет корней;
если , , то ,
,
,
,
,
если , то , т.е. уравнение не имеет решений (корней нет),
если , то - единственный корень.
Этот корень будет только тогда, когда существует уравнение, то есть, надо проверить при каких и , при этих значениях уравнение тоже не будет иметь корней.
, ,
, ,
; ,
;
следовательно, при , уравнение не имеет корней.
Ответ: при , , уравнение не имеет корней;
при , , уравнение имеет единственный корень .
Уравнения могут содержать два параметра.
5) Решить уравнение
Решение: ,
,
если , , то ,
0=0, значит, - любое, кроме 0;
если и , то есть , ,
то ,
,
- единственное решение;
если , то корней нет.
Ответ: при корней нет;
при , уравнение имеет единственное решение ;
при , , то - любое, кроме 0.
Уравнения с параметрами могут содержать модули
6). Решить уравнение
Решение:
1) 2)
если , то есть , если , то есть ,
уравнение корней не имеет; уравнение корней не имеет;
если то если , то
,
+ — + + — +
0 1 -1 0
при при уравнение имеет
уравнение имеет один один корень
корень ;
Ответ: при , , уравнение имеет один корень ;
при уравнение имеет два корня , ;
при , уравнение корней не имеет.
2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.
Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом с параметром и не выше второй степени.
Отметим, что наиболее важным в практике являются следующие задачи:
1). Решить уравнение с параметром.
2). Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения обладает определенными свойствами.
Контрольные значения параметра определяются уравнением и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:
1). На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.
2). На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводятся к виду .
3). Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых . Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра существующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений. На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы и ø особых частных уравнений. Множеству соответствует тип не особых частных уравнений.
4). Выделяются контрольные значения параметра, для которых обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень
5). Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак D. Множеству соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значения параметра частные уравнения имеют два действительных корня.
7). Решить уравнение
Решение:
при
,
- единственный корень;
при ,
,
значит, для любого и уравнение имеет два различных корня .
Ответ: если , то уравнение имеет единственный корень ;
если , то уравнение имеет два различных корня , .
8). Решить уравнение .
Решение: ,
если , то уравнение не имеет смысла;
при уравнение не имеет смысла, значит, при корней нет;
если , то ,
,
,
,
,
- контрольная точка;
если , то ,
- единственный корень;
если , то ,
,
;
так как , то , если , а при уравнение не имеет смысла,
, если , значит, при .
Ответ: при корней нет;
при единственный корень ;
при единственный корень ;
при , , уравнение имеет два корня и .
9). Решить уравнение .
Решение: ,
при и уравнение не имеет смысла;
если и , то
,
,
,
,
, если , значит, - контрольная точка;
при ,
1=0, то есть, корней нет,
при ,
или ;
так как при и уравнение не имеет смысла, то
и для любого ,
и для любого .
Ответ: если , то корней нет;
если , то уравнение имеет два различных корня .
10). Решить уравнение .
Решение: ,
при , уравнение не имеет смысла;
если , то
,
,
,
;
если , , то
- единственный корень;
если , то
;
если , то корней нет;
если , то ,
так как при уравнение не имеет смысла, то
, ,
, ,
,
для любого , так как ,
, ,
,
если то , или , где - посторонний корень;
если , то - единственный корень.
Ответ: если , то уравнение корней не имеет;
если , , , то уравнение имеет единственный корень ;
если , , то уравнение имеет единственный корень ;
если , , , то уравнение имеет два различных корня
если , то корней нет.
Формулировки многих заданий помимо решения уравнения ставят задачи поиска значений параметров, для которых его общие решения и удовлетворяют одному из следующих условий:
1) оба или положительны, или отрицательны, или имеют различные знаки;
2) располагаются внутри некоторого промежутка или вне его;
3) располагаются определенным образом относительно корней другого уравнения.
В таких формулировках присутствует некоторое действительное число и требуется значение параметра, обеспечивающее для общих решений одно из требований 1) – 3).
Простой способ решения таких задач основан на справедливости следующих результатов о расположении действительного числа относительно корней и многочлена с параметром и переменной .
1. На множестве для общих решений и многочлена число удовлетворяет условию (или ):
0
0
2. На множестве для многочлена число располагается левее общих решений и для тех и только тех значений параметра, для которых и :
0 0
3. На множестве для многочлена число располагается правее общих решений и для тех и только тех значений параметра, для которых и :
0 0
11). В уравнении найти все значения а, для которых его корни удовлетворяют одному из следующих условий:
а) имеют разные знаки;
б) принадлежат промежутку (-5;3);
в) меньший корень располагается левее корней уравнения , а больший корень располагается между его корней.
Решение: ,
при уравнение имеет единственный корень ;
уравнение имеет два корня, если ,
,
, если ,
при уравнение имеет два различных корня;
а) уравнение имеет корни разных знаков, если ,
,
+ - +
1
при уравнение имеет два корня разных знаков;
б) , если
,
1
1 2
0 1
0,4 1
так как уравнение имеет два различных корня, если , то при уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку ;
в) уравнение имеет корни 1 и 4,
, если
, ,
1
0 1
1
1
корни уравнения удовлетворяют условию , если , но сами корни существуют, если , следовательно, меньший корень уравнения располагается левее корней уравнения , а больший корень располагается между его корней, если .
Ответ: если уравнение имеет два корня разных знаков;
если , то уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку ;
если , то меньший корень уравнения располагается левее корней уравнения , а больший корень располагается между его корней.
12). При каких значениях параметра корни уравнения положительны?
Решение: ,
при ,
,
;
если , то уравнение будет иметь два различных положительных корня, если
,
для любого , так как дискриминант уравнения =0 меньше нуля,
4
4
Ответ: если уравнение имеет положительные корни.
2.3. Иррациональные уравнения.
Уравнение называется иррациональным с одним неизвестным , если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно . Как и в предыдущих случаях, мы будем разыскивать действительные корни, причем, будем исходить из того, что при и - четном, т.е. в случае (- натуральное), будем рассматривать только арифметическое значение .
Решение таких уравнений сводится к постепенному переходу к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих частей уравнения. Но известно, что в таком случае возможно появление посторонних корней. Следовательно, решение должно сопровождаться тщательной проверкой.
13). Решить уравнение .
Решение: ,
если , то уравнение не имеет корней;
если , то ,
.
Ответ: при ;
при корней нет.
14). Решить уравнение .
Решение: ,
если , , то
,
,
, ,
, ,
, ,
решений нет; ,
.
Ответ: при корней нет;
при .
15). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если
,
,
,
,
,
,
;
, не удовлетворяет условию ;
, если , то ,
если , то .
Ответ: при ;
при .
16). Решить уравнение: .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если
введем новую переменную , ,
,
,
,
;
, , , , ;
Ответ: при ;
при корней нет.
2.4. Показательные и логарифмические уравнения.
Уравнение вида , где и называется элементарным показательным уравнением. Его областью определения служит общая часть областей определения функций и . При решением уравнения служат все числа множества . При оно равносильно системе:
при , системе:
При (, , , ) мы получим уравнение , равносильное исходному уравнению.
Для решения уравнения в случае (, ) будем исходить из того, что уравнения и , где , равносильны. Совершенно безразлично, какое положительное, отличное от единицы число, взять в качестве основания логарифма.
Решение любого показательного уравнения, сводится к нахождению корней некоторого элементарного показательного уравнения.
Уравнение вида , где , , , , называется элементарным логарифмическим уравнением. Областью определения уравнения служит решение системы:
При получим уравнение , равносильное исходному уравнению.
Если , то решение исходного уравнения сводится к решению уравнения , что равносильно.
Решение логарифмического уравнения, как правило, сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения.
17). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если
,
,
;
при - любое, кроме 1 и -1;
при ,
,
,
,
,
.
Ответ: при - любое, кроме 1 и -1;
при , ;
при корней нет.
18). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если ;
при 1+11, то есть уравнение корней не имеет;
если , то ,
,
,
,
, так как , то
,
, пусть , ,
тогда ,
или ,
- посторонний корень,
,
,
.
Ответ: если , , то корней нет;
если , , то .
19). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если ;
если , , то 0=0, уравнение имеет бесчисленное множество корней, - любое;
если , , то , уравнение корней не имеет;
, так как , то
,
, пусть , ,
, ,
, ,
не удовлетворяет условию ,
; .
Ответ: если , , то - любое;
если , , то корней нет;
если , , то .
20). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если , , , ;
пусть , тогда
,
или ,
если , , то
, ,
, ,
корни удовлетворяют условию ;
если , , то
, ,
корни удовлетворяют условию .
Ответ: если , , то и ;
если , , то и ;
если , , , то корней нет.
21). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если , , , ;
,
, если , то
,
,
пусть где , тогда
,
или ,
не удовлетворяет условию ;
если , то
.
Ответ: если , , то уравнение имеет единственный корень ;
если , , то корней нет.
2.5. Тригонометрические уравнения.
Уравнения называются тригонометрическими, если переменная находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение , где , равносильно совокупности уравнений , где .
Уравнение , где , равносильно совокупности уравнений , где .
Каждое из уравнений и , соответственно равносильно уравнениям , где , и , где .
22). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет корни, если ,
, тогда
, ,
, .
Ответ: если , то , ;
если и , то корней нет.
23). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если ,
;
, если
, , при этом , поэтому , ;
или
,,при этом ,поэтому , ;
, где .
Ответ: при , и , , ;
при и корней нет.
24). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если ;
, ,
так как , то , если
, то , поэтому , ;
или
, то , поэтому , ;
если , то ,
;
если , то ,
.
Ответ: при , и , уравнение имеет корни и , ;
при и корней нет.
25). Решить уравнение .
Решение: ,
уравнение имеет смысл, если ,
, ,
, ,
, .
Ответ: если , то , ;
если , то корней нет.
26). Решить уравнение .
Решение: ,
, ,
так как , то , если
и , ;
или и , ;
если , то , ,
, ;
если , то , ,
, .
Ответ: если , и , уравнение имеет корни и , .
27). Решить уравнение .
Решение: ,
,
пусть , где , тогда
,
если , , то
,
,
,
или ,
, ,
Ответ: если и , то уравнение имеет корни и ;
если и , , то уравнение имеет корни ;
если и , то уравнение имеет корни ;
если , и , то корней нет.
Заключение.
Как уже говорилось, алгоритма решения уравнений с параметрами нет. Но в своей работе, рассматривая уравнения различных типов: линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические - я показал некоторые способы решения подобных уравнений. И таким образом в данной работе указаны основные направления, по которым следует идти при решении уравнений с параметрами. Кроме того, при написании данной работы я сформировал собственные навыки решения уравнений с параметрами, которые пригодятся мне при дальнейшем обучении.
Литература.
PAGE 3
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s