Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
4. Интерполяц. многочлен в форме Ньютона,погр-ть Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, . h- называется шагом. Введем понятие конечных разностей: Пусть известны значения функции в узлах Составим разности значений функции: ……. Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции. Составим вторые разности ф-ии: Аналогично, разности порядка Конечные разности можно выразить непосредственно через значения ф-ии. Для любого (4) Эту формулу можно записать и для значения разности в узле Используя конечные разности можно определить (5) Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Будем искать его в виде: (6) График многочлена должен проходить через заданные узлы. Т.е. (i=0,1,…,n). Эти условия используем для нахождения коэф-тов многочлена: …….. Найдем отсюда коэффициенты Аналогично можно найти и другие коэфф.. Общая формула имеет вид: Подставляя эти выражения в формулу (6) получим следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона : Эту формулу часто записывают в другом виде. Для этого введем переменную |
5. Метод наименьших квадратов. Пусть дана экспериментальная таблица Поставим ей в соответствие ф-ию вида где - базисные ф-ии, - коэф-ты, подлежащие определению. В частности, если в качестве базисных ф-ий использовать степенные задача сводится к поиску полинома степени приближающего исходную таблицу С целью определения коэф-тов будем искать такую ф-ию , отклонение значений которой от заданных таблицей значений минимально в некотором среднеинтегральном смысле. В точечном методе наименьших квадратов строится функционал Который геометрически представляет собой сумму квадратов отклонений значений от значений аппроксимирующей ф-ии в точках . Необходимым условием минимума ф-ии многих переменных является равенство нулю ее частных производных первого порядка по независимым переменным Система представляет собой систему линейных алгебраических уравнений порядка относительно неизвестных . Ее матрица является симметрической и положительно определенной. {Решения доставляют минимум функционалу.} |
6. Интерполяция сплайнами. Сплайн функции – специальным образом построенные многочлены 3й степени. Представляют собой некоторую математическую модель гибкого тонкого стержня из упругого материала. Если закрепить его в двух соседних узлах интерполяции с заданными углами наклонов , то между точками закрепления этот стержень примет некоторую форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Пусть форма этого стержня определяется ф-ией уравнение свободного равновесия имеет вид между каждой парой соседних узлов интерполяции функция является многочленом 3й степени. Запишем ее в виде: Для определения коэф. на всех элементарных отрезках необходимо получить уравнений. Часть из них вытекает из условий прохождения графика функции через заданные точки, т.е. Эти условия можно записать в виде: Эта система содержит уравнений. Для получения недостающих уравнений зададим условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции, т.е. условия гладкости кривой во всех точках. Вычислим производные многочлена (29): Приравнивая в каждом внутреннем узле значения этих производных, вычисленные в левом и правом от узла интервала , получаем уравнений: Недостающие 2 соотношения получаются из условий закрепления концов сплайна. В частности при свободном закреплении концов, можно приравнять нулю кривизну линии в этих точках. Такая ф-ия наз-ся свободным кубическим сплайном, обладает св-вом минимальной кривизны, т.е. она самая гладкая среди всех интерполяционных ф-ий данного класса. Из условий нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках: |