Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
А) Дайте определение матрицы.
Ответ. Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Б) Назовите виды матриц.
Ответ. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом: А=( – матрица строка; B = – матрица-столбец.
Матрица называется квадратной, если число ее строк равна числу столбцов и равно n. A= – квадратная матрица третьего рода. Элементы матриц, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называется диагональными:
А = – диагональная матрица третьего порядка. Если у диагональной матрицы все элементы раны единице, то матрица называется единичной, она обозначается буквой Е: Е= – единичная матрица третьего порядка. Матрица называется нулевой, если все элементы равны нулю:
В) Определите операции над матрицами.
Ответ. 1.Произведение матрицы А на число £ называется матрица B=£A. 2.Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m*n называется матрица С=А+В, элементы которой для i = 1,2, … , m j =1,2, …, n (т.е. матрицы складываются поэлементно). 3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)*В. 4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i - строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: . 5.Возведение в степень. Целой положительной степенью (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А. 6.Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
2. Определители.
А) Дайте определение определителя матрицы второго порядка (или, определителя второго порядка).
Ответ. Определителем матрицы второго порядка А=(), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: . Произведения называется членами определителя второго порядка.
Б) Дайте определение определителя третьего порядка.
Ответ. Определителем матрицы третьего порядка А=(, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
В) Приведите все свойства определителей.
Ответ. 1. Если какая-либо строка(столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. 2. Если все элементы, какой либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число . 3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: . 4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель равен 0. 6. Если элементы двух строк(столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7. Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраическое дополнение элементов другой строки(столбца) этой матрицы равна 0. 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы другой строки(столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
А) Дайте определение минора элемента
Ответ. Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Б) Дайте определение алгебраического дополнения элемента .
Ответ. Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется минор, взятый со знаком: = .
В) Сформулируйте теорему Лапласа.
Ответ. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраическое дополнение: ,
А) Дайте определение обратной матрицы.
Ответ. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: *А=А*= Е
Б) Опишите способ вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений?
Ответ. 1. Находим определитель исходной матрицы. Если =0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует. Если 0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует. 2. Находим матрицу , транспонированную к А. 3. Находим алгеброическое дополнение элементов транспонированной матрицы = ( i=1,2, …,n; j=1,2, …,n) 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле : = * . 5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из определения *А=А*= Е.
В) Укажите условие, при котором существует обратная матрица.
Ответ. Обратная матрица существует, тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
А)Перечислите и опишите действия над матрицами, которые называются элементарными преобразованиями матрицы.
Ответ. 1. Отбрасывание нулевой строки(столбца). 2. Умножение всех элементов строки(столбца) матрицы на число, не равное нулю. 3. Изменение порядка строк(столбцов) матрицы. 4.Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки(столбца), умноженных на число. 5.Транспонирование матрицы.
Б) Дайте определение обратной матрицы.
Ответ. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: *А=А*= Е
В) Опишите метод нахождения обратных матриц с помощью элементарных преобразований.
Ответ.Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.
1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрице единичную матрицу того же порядка.
2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блок к простейшему виду . При этом блочная матрица приводится к виду , где — квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы .
3. Если , то блок равен обратной матрице, т.е. . Если , то матрица не имеет обратной.
А) Дайте определение понятия ранга матрицы.
Ответ. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Б) Перечислите и опишите действия над матрицами, которые называются элементарными преобразованиями матрицы.
Ответ. 1. Отбрасывание нулевой строки(столбца). 2. Умножение всех элементов строки(столбца) матрицы на число, не равное нулю. 3. Изменение порядка строк(столбцов) матрицы. 4.Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки(столбца), умноженных на число. 5.Транспонирование матрицы.
В) Вычисление ранга матрицы.
Если это возможно, то , иначе процесс завершается и .3. Окаймляем минор , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцам новую строку и новый столбец так, чтобы получить минор . Если это удалось, то , иначе процесс завершается и .Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r-го порядка , т.е. . Однако, все миноры (r+l)-ro порядка, окаймляющие его, равны нулю или не существуют (при или ). Тогда процесс завершается и .
Метод Гаусса нахождения ранга матрицы. Пусть дана матрица размеров . Для нахождения ее ранга нужно выполнить следующие действия.
1. Привести матрицу к ступенчатому виду (см. метод Гаусса).
2. В полученной матрице вычислить количество ненулевых строк. Это число равно рангу матрицы .
7. Системы n линейных уравнений с m неизвестными.
А) Напишите систему n линейных уравнений с m неизвестными. Дайте определение решения этой системы.
Ответ. Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид :
где (i=1, 2, …, m; j=1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. Решением системы называется такая совокупность n чисел ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Б) Дайте определение матрицы системы и расширенной матрицы системы.
Ответ.
Расширенная матрица системы: , ибо в нее, кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.
B) Сформулируйте теорему Кронеккера-Капелли.
Ответ. Теорема Кронеккера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
А) Напишите систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Ответ.Зададим систему из линейных уравнений с неизвестными
(1)
Числа (действительные или комплексные), называются коэффициентами системы (1), заданы. Будем еще говорить, что система (1) определяется матрицей
(2)
ее коэффициентов.
Нас будет интересовать вопрос о разрешимости системы (1) для каждого вектора (системы чисел) . Система чисел (вектор) называется решением системы уравнений (1), если числа удовлетворяют этим уравнениям.
Б) Напишите определитель данной системы.
Ответ. Пусть число уравнений системы
равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется определителем системы.
В) Напишите формулу (метод) Крамера, по которой находят решение системы.
Ответ. Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы А, а – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: (j=1,2, … ,n).
А) Напишите систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Ответ. Зададим систему из линейных уравнений с неизвестными
(1)
Числа (действительные или комплексные), называются коэффициентами системы (1), заданы. Будем еще говорить, что система (1) определяется матрицей
(2)
ее коэффициентов.
Нас будет интересовать вопрос о разрешимости системы (1) для каждого вектора (системы чисел)
.
Система чисел (вектор)
называется решением системы уравнений (1), если числа удовлетворяют этим уравнениям.
Б) Напишите данную систему в матричном виде.
Ответ. Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или:
.
Здесь — это матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
В) Опишите метод обратных матриц решения системы.
Ответ. Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.
А) Напишите систему n линейных уравнений с m неизвестными.
Ответ. Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид :
где (i=1, 2, …, m; j=1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. Решением системы называется такая совокупность n чисел ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Б) Напишите расширенную матрицу данной системы.
Ответ.
Расширенная матрица системы: , ибо в нее, кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.
В) Опишите метод Гаусса решения системы.
Ответ. Метод Гаусса – метод последовательного исклучения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений привдится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные. ,
11. В пространстве даны векторы и .
А) Найдите длину вектора , произведение вектора на число , сумму векторов и .
Ответ. Если вектор задан своими координатами: , то его длина находится по формуле:
.
Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:
1) ;
2) , если и , если ;
При сложении векторов и получаем:
Б) Дайте определение скалярного произведения векторов и . Скалярное произведение векторов и в координатной форме.
Ответ. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
В) Найдите угол между векторами и .
Ответ. Угол между двумя векторами , заданными своими координатами, вычисляется по формуле:
12. На плоскости даны точки и .
А) Определите расстояние между данными точками.
Ответ. Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.
Б) Найдите координаты точки К(х,у), делящей отрезок АВ в заданном отношении АК:КВ.
13. Определители.
А) Дайте определение определителя второго порядка.
Ответ. Определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле:
.
Б) Дайте определение определителя третьего порядка.
Ответ. Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:
В) Приведите все свойства определителей.
Ответ. Свойства определителей:
Замечание
Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.
1° При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:
2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.Пример
3°
То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.
4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.
5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.
6° Определитель с двумя равными строками равен нулю.
7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.
9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.
10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей:
г) Вычислите определитель, используя правило треугольника:
14. Вектор является линейной комбинацией векторов , т.е.
,
где - действительные числа.
а) Дайте определение линейной зависимости векторов .
Ответ. Система векторов а1, а2,...,аn называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1,λ2,...,λn, при котором линейная комбинация векторов λ1*а1+λ2*а2+...+λn*аn равна нулевому вектору, то есть система уравнений: а1x1+а2x2+...+аnxn =Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ1, λ2,...,λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2,...,λn отлично от нуля.
Б) Дайте определение линейной независимости векторов .
Ответ. Система векторов а1, а2,...,аn называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ1*а1+λ2*а2+...+λn*аn равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: а1x1+а2x2+...+аnxn =Θ имеет единственное нулевое решение.
В) Дайте определение базиса пространства.
Ответ.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.
15. Разложение вектора по базису.
А) Дайте определение векторного пространства.
Ответ. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее восьми свойствам(рассматрваемым как аксиомы), называется векторным пространством.
Б) Дайте определение размерности пространства.
Ответ. Размерность пространства-это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
В) Опишите разложение вектора по базису.
Ответ.Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
, (1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая пересекает ось Оу в точке В(0;b) и образует с осью Ох угол (0<<).
А) Найдите уравнение данной прямой.
Б) Написать уравнение пучка прямых с центром в точке .
Ответ. 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x0, y0) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,
y – y0 = k(x – x0). Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку М(x0, y0), которая называется центром пучка.
В) Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Ответ.
17. Уравнение прямой, проходящей через данные точки.
А) Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .
Ответ. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так:
Б) Составить уравнение прямой в отрезках.
Ответ. Если прямая отсекает на осях отрезки a, b (не равные нулю), то её можно представить уравнением
Такое выражение называется уравнение прямой в отрезках.
18. Расположение двух прямых
А) Условие параллельности прямых.
Ответ. Прямые параллельны, если угловые коэффициенты равны, и не параллельны, если угловые коэффициенты не равны.
Б) Условие перпендикулярности прямых.
Ответ. Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны знаку.
В) Определение угла между двумя прямыми.
Ответ. За угол между прямыми принимают острый угол.
Если прямые параллельны, то k1=k2 и b1≠b2
Если прямые перпендикулярны, то k1*k2=-1
Если прямые пересекаются, то k1≠k2
Если прямые совпадают, то k1=k2 и b1=b2
19. Общее уравнение прямой.
А) Написать общее уравнение прямой.
Ответ.Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида Ax+By+C=0 (где А, В и С- постоянные коэффициенты, причем А2+В2≠0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
Б) На плоскости даны точки и . Определите расстояние между данными точками.
Ответ.Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.
В) Расстояние от точки до прямой.
Ответ.Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0)до прямой Аx+By+C=0 вычисляется по формуле:
21. Функции и их свойства
А) Дайте определение функции. Способы задания функции.
Ответ. Определение. Если каждому элементу х множества Х (х ∈ Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y (y ∈ Y), то говорят, что на множестве Х задана функция y=f(x).
Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции.
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида y=f(x). Этот способ наиболее часто встречается в практике.
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функция f(x) , например таблица логарифмов.
в) Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).
г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(x)=1, если х –рационально ; f(x)=0, если х – иррационально.
Б) Четность и нечетность функции, периодические функции.
Ответ. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значении х из области определения f(-x) = f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любых х, из области определения функции f(x+T)=f(x).
В) Ограниченность функции. Монотонность функций.
Ответ. Функция f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М >0, что. ׀ f(x) ׀≤ M для любого х ∈ Х. Функция f=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.
22. Функции
А) Дайте определение обратной функции.
Ответ. Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому у∈Y единственное значение х∈Х, при котором f(x)=y. Тогда получаемая функция , определенная на множестве Y c областью значении Х, называется обратной.
Б) Дайте определение сложной функции.
Ответ. Пусть y=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u= φ(x) от переменной х, определенной на множестве Х с областью значении U. Тогда заданная на множестве Х функция yI φ(x)I называется сложной функцией
В) Определение элементарной функции. Основные элементарные функции.
Ответ. Функции построенные из основных элементарных функции с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образованная сложной функцие, называются элементарными.
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические .
Алгебраической называется функция , в которой над аргументом производится конечное число алгебраических действии. К числу алгебраических функции относятся: целая рациональная функция, дробно-рациональная функция –отношение двух многочленов, иррациональная функция . Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функция: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
23. Предел функции
А) Дайте определение предела функции y=f(х) в точке х0.
Ответ. Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такое положительное число δ > 0, что для всех х, не равных х0, и удовлетворяющих условию I x-x0I < δ, выполняется неравенство If(x)-AI < ε.
Б) Дайте определение односторонних пределов функции.
Ответ. Если при стремлении х к х0, переменная х принимает лишь значение, меньше х0, или наоборот, лишь значения, больше х0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f(x).
В) Сформулируйте основные свойства предела функций.
Ответ.
предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.
24. Предел функции
А) Дайте определение предела функции y=f(х) в точке х0.
Ответ. Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такое положительное число δ > 0, что для всех х, не равных х0, и удовлетворяющих условию I x-x0I < δ, выполняется неравенство If(x)-AI < ε.
Б) Сформулируйте основные свойства предела функций.
Ответ.
предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.
В) Дайте определение односторонних пределов функции.
Ответ. Если при стремлении х к х0, переменная х принимает лишь значение, меньше х0, или наоборот, лишь значения, больше х0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f(x).
25. Первый и второй замечательные пределы
А) Первый и второй замечательные пределы.
Ответ.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Б) Приведите следствия из первого замечательного предела.
Ответ. Следствия из первого замечательного предела
1°
2°
3°
4°
В) Приведите следствия из второго замечательного предела.
Ответ.
Следствия из второго замечательного предела
1°
2°
3°
4°
5°
6°
26. Первый и второй замечательные пределы
А) Первый и второй замечательные пределы.
Ответ.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Б) Приведите следствия из первого замечательного предела.
Ответ. Следствия из первого замечательного предела
1°
2°
3°
4°
В) Приведите следствия из второго замечательного предела.
Ответ. Следствия из второго замечательного предела
1°
2°
3°
4°
5°
6°
27. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
А) Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой функций.
Ответ. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х →х0, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число δ>0, что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию Ix-x0I< δ, будет верно неравенство If(x)I>M. Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х→х0, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число δ>0, что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию Ix-x0I< δ будет верно неравенство Ia(x)I< ε.
Б) Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Ответ. Свойства бесконечно малых:
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Свойства бесконечно больших:
1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.
В) Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Ответ. Если функция a(x) есть бесконечно малая величина при х→х0. И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при х→х0, то функция f(x)=1/a(x) есть величина бесконечно малая при х→х0.
28. Сравнение бесконечно малых
А) Дайте определение эквивалентных бесконечно малых величин.
Ответ. Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если
Б) Дайте определение бесконечно малых величин одного порядка.
Ответ.
Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
В) Дайте определение бесконечно малой величины низкого или высокого порядка по сравнению с другой бесконечно малой величиной.
Ответ.
29. Непрерывность функции в точке
А) Дайте определение непрерывной функции y=f(х) в точке х0.
Ответ. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точка х0; 2) имеет конечный предел функции при х→х0; 3) этот предел равен значению функции в точке х0
Б) Сформулируйте свойства непрерывных функций в точке.
Ответ. 1. Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке х0, то их сумма f(x)+ φ(x) и частное f(x)/ φ(x) являются функциями, непрерывными в точке х0.
2. Если функция y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0, то существует такая окрестность точки х0, в которой f(x)>0.
3. Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u= φ(x) непрерывна в точке u0= φ(x0), то сложная функция y=f[φ(x)] непрерывна в точке х0.
30. Непрерывность функции на отрезке
А) Дайте определение функции y=f(х), непрерывной на отрезке.
Ответ. Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Б) Сформулируйте свойства непрерывных на отрезке функций.
Ответ. 1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на это отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М. 3. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка ξ∈(a, b) такая что f(ξ)=0.
31. Точки разрыва функции.
А) Дайте определение непрерывной функции y=f(х) в точке х0.
Ответ.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1. Определена в точке х0
2. Имеет конечный предел функции при х→х0 3. Этот предел равен значению функции в очке х0, т.е.
Б) Дайте определение точек разрыва функции.
Ответ. Точка называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) не существует предела слева ;
2) не существует предела справа ;
3) пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу: ;
4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: , но не совпадают со значением функции в точке : , или функция не определена в точке .
В) Сформулируйте определения точек разрыва первого рода, второго рода, устранимого разрыва.
Ответ. Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.
32. Производная функции.
А) Дайте определение производной функций y=f(х) в точке х0.
Ответ. Производной функции y=f(x) называется предел отношение приращения независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
y =
Б) Геометрический и физический смысл производной
Ответ. Геометрический смысл производной: производная f* (X) есть угловой коэффициент касательной производной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е k=f*(x0)
y-f(x0)= f*(x0)(x-x0)
физический смысл производной : производная пути по времени S *(t0) есть скорость точки в момент t0: v(t0)=s*(t0)
В) Производные основных элементарных функций (таблица производных).
33) Дифференциальные функции.
А) Дайте определение дифференцируемой функции в точке
Ответ. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Б) Дайте определение дифференциала функции
Ответ. Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:
В) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Ответ.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема. Если y=f(x) дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна.
34) Основные правила дифференцирования
А) Сформулируйте основные правила дифференцирования.
Ответ. Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда
1. Константу можно выносить за знак производной.
2. Производная суммы/разности.
Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.
3. Производная произведения.
4. Производная частного.
Б) Производная сложной функции.
Ответ. Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .
и имеют производные соответственно в точках и . Тогда
В) Дайте определение логарифмической производной.
Ответ. Для функций вида для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.
Суть метода логарифмического дифференцирования
Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:
Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что является функцией от , то есть найдем производную сложной функции:
А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:
35) Производные неявной и обратной функции
А) Производная неявной функции.
Ответ. Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .
Б) Производное обратной функций.
Ответ. Пусть -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть -- фиксированная точка и -- точка, ей соответствующая. Тогда .
Теорема 4.5 Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле
36. Правило Лопиталя.
|
А) Сформулируйте правило Лопиталя. Ответ. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших больших функций равен пределу отношения их производных , если последний существует в указанном смысле. Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям: 1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ; 2) и в этой окрестности; 3) ; 4) существует конечный или бесконечный. Тогда существует и , причем |
Б) Виды неопределенностей, для которых непосредственно применяется правило Лопиталя .
Ответ. Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при .Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и , неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.
37. Экстремум функции одной переменной
А) Дайте определение максимума и минимума функции.
Ответ. Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .
(Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.
38. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
А) Дайте определение точек перегиба функции.
Ответ. Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Б) Необходимое условие выпуклости функции.
Ответ. Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)
Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.
В) Необходимое и достаточное условие перегиба кривой.
Ответ. О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
тогда в точке функция имеет перегиб.
39. Асимптота графика функций
А) Дайте определение асимптоты графика функций.
Ответ. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если
Ответ. Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
В) Нахождение вертикальных асимптот.
Ответ. Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
41. Неопределенный интеграл.
А) Дайте определение первообразной функции.
Ответ. Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
Б) Дайте определение неопределенного интеграла.
Ответ. Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть
В) Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
Ответ. 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла
5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций
6. Если , то и , где функция - произвольная функция с непрерывной производной
42. Метод подстановки в неопределенном интеграле.
Ответ. Если в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Замечание
После нахождения интеграла по новой переменной необходимо вернуться к первоначальной переменной .
Замечание
В некоторых случаях целесообразно делать подстановку , тогда
43. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Ответ. Рассмотрим функции и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
Полученное равенство перепишем в виде:
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.
Замечание
В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.
Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:
1) ; ;
Здесь - многочлен степени , - некоторая константа. В данном случае в качестве функции берется многочлен, а в качестве - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется раз.
44. Интегрирование простейших рациональных выражений.
Ответ. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где Затем применяются следующие формулы:
Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции
45. Определенный интеграл.
А) Дайте определение определенного интеграла.
Ответ. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается .
Б) Свойства определенного интеграла.
Ответ. Свойства определённого интеграла.
1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и
.
2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то .
4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то
5. Теоремы об оценке интеграла.
5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то
6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка
, такая что
В) Сформулируйте теорему о среднем значении, ее геометрический смысл.
Ответ. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что
Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).
46. Методы вычисления определенного интеграла.
А) Метод замены переменной в определенном интеграле.
Ответ. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция
Тогда .
Б) Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
Ответ. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.
Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
В) Формула Ньютона-Лейбница.
Ответ. Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то
47. Функция нескольких переменных.
А) Дайте определение функции двух переменных.
Ответ. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.
Б) Предел функции двух переменных.
Ответ. Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого числа найдется такая – окрестность точки , что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки, имеет место неравенство .
Обозначают: или
В) Непрерывность функции двух переменных.
Ответ. Функция называется непрерывной в точке , если
1) функция определена как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности;
2) существует предел ;
3) этот предел равен значению функции в предельной точке: .
48. Частные производные.
А) Дайте определение частных производных функции z= f(x, y).
Ответ. Если существует = =, то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается = =z'x = fx' (x, y).
Аналогично определяется частная производная по переменной y:
= = == z'y = fy(x,y).
Б) Полный дифференциал функции.
Ответ. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции.
Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных.
.
49. Пусть функция z= f(x, y) определена в окрестности точки М(х,у). Дан вектор с единичным вектором , где и угол между вектором и осью Ох и Оу соответственно.
А) Дайте определение производной функции z= f(x, y) по направлению вектора .
Ответ. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).
Как известно, проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению.
Градиент функции в данной точке указывает напрвление наиболее быстрого возрастания функции.
Величина градиента, т.е. | grad u | = обозначается tg j и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).
Б) Градиент функции z= f(x, y).
Ответ. Вектор с координатами , , называется градиентом функции u = f (x, y, z) в точке M(x, y, z) и обозначается grad u =++.