Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ:
Пример 37. Вычислить неопределенные интегралы:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение.
а) .
По формуле интегрирования по частям имеем:
Следовательно,
-
б) .
Применяем метод замены переменной. Пусть тогда Поэтому
в).
Положим , тогда Следовательно,
г) .
Пример 38. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) .
Решение.
а) .
Подынтегральная функция представляет из себя неправильную дробь. Выделим из нее целую часть, поделив числитель на знаменатель:
.
Затем интегрируем каждое слагаемое:
, где .
Для интеграла , подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:
.
Отсюда следует .
Положим , тогда , т.е. ;
Положим , тогда , т.е. .
Следовательно,
.
Окончательно, получаем
.
б) .
Применяем универсальную подстановку , тогда , , .
Следовательно,
.
Пример 39. Вычислить определенные интегралы:
а) ; б) .
Решение.
а)
.
б) .
Применяем метод интегрирования по частям.
Пусть .
Следовательно,
.
Пример 40. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) , , , ;
б) ;
в) .
Решение.
а) Воспользуемся формулой вычисления площади криволинейной трапеции: ,
4
1
0 1 2
.
Ответ: .
б) Линия представляет астроиду.
«
»»»
..»»»»
При изменении от до параметр изменяется от до .
Применяем формулу вычисления площади криволинейной трапеции:
, где , .
Находим , тогда получим
Ответ:
в) Данная линия представляет собой лемнискату Бернулли или
При изменении от 0 до если При других значениях , Для изображения данной линии составим таблицу:
|
0 |
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0
Изменение полярного угла от 0 до соответствует четвертой части искомной площади. Применяя формулу криволинейного сектора, ограниченного кривой , заданной в полярных координатах, находим
Ответ:
Пример 41.1. Вычислить длину дуги цепной линии , заключенной между точками с абсциссой , .
Решение. Для нахождения длины дуги кривой, заданной в декартовых координатах, применяем формулу:
.
Дифференцируя, находим , тогда
.
Следовательно,
.
Ответ: .
Пример 41.2. Вычислить длину дуги развертки круга
от до .
Решение. Для кривой, заданной в параметрической форме применим формулу:
.
Дифференцируя по , находим , , откуда
.
Следовательно,
.
Ответ: .
Пример 41.3. Найти длину кардиоиды .
Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси . Применяем формулу: . Найдем , тогда .
.
Таким образом, .
Ответ: .
Пример 47. Найти частные производные функции
Решение.
Рассматривая как постоянную величину, находим:
.
Аналогично, рассматривая как постоянную, находим:
.
Ответ: ; .
Пример 50. Вычислить приближенно .
Решение. Рассмотрим функцию
Применяем формулу:
,
где , , , .
; , тогда получим
Ответ: .
Пример 53. Найти , если , где , .
Решение. Применяем формулу
.
Ответ:
Пример 60. Найти условный экстремум функции
При условии, что удовлетворяют условию
Решение.
Составляем функцию Лагранжа
и находим частные производные:
; .
Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений:
,
, , ;
, , .
Аким образом, нашли две стационарные точки и . Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа.
Пример 64.1 Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Выразим производную через дифференциалы переменных , умножим обе части уравнения на и разложим коэффициент при на множители:
.
Далее разделим переменные:
.
Интегрируя обе части, находим общий интеграл
;
.
Ответ: .
Пример 64.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:
, .
Решение.
Разделяя переменные и интегрируя, находим интеграл
;
;
.
Затем используя указанные начальные условия , определяем соответствующее значение произвольной постоянной С:
.
При значении из общего интеграла получаем искомый частный интеграл, удовлетворяющий заданному начальному условию
.
Ответ: .
Пример 67.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
.
Его решение:
Общее решение данного уравнения представим в виде , где - функция от .
Находя , подставим в данное уравнение и :
;
или
.
Откуда
.
Таким образом, общее решение данного уравнения примет вид:
.
Ответ: .
Пример 67.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Полагаем , где - вспомогательные функции от .
Тогда и данное уравнение преобразуется к виду
,
или
.
Так как одну из вспомогательных функций можно взять произвольно, то выберем в качестве какое-либо частное решение уравнения
,
; , .
Подставляя найденное значение в уравнение, и решая его, найдем :
, , .
Зная и , находим искомую функцию .
Ответ: .
Пример 71.1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
Решение.
Напишем характеристическое уравнение:
;
; ; ; .
Следовательно, функции
, ,
образует фундаментальную систему решений. Поэтому общее решение данного уравнения записывается в виде
.
Ответ: .
Пример 71.2. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
, , , .
Фундаментальная система решений состоит из следующих функций:
, , , .
Таким образом, общее решение имеет вид:
.
Ответ: .
Пример 71.3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет следующие корни: , , , , . Следовательно, общее решение записывается в виде
.
Ответ: .
Пример 72. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
.
Решение.
Найдем сначала общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения
.
Его характеристическое уравнение имеет корни: , , .
Следовательно,
-общее решение однородного уравнения.
Находим частное решение данного уравнения. Правая часть
,
причем - корень характеристического уравнения, так как , кратности .
Поэтому частное решение ищем в виде
, где и - неопределенные коэффициенты. Найдем , , и подставим в данное уравнение:
,
,
,
получим
,
или
Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид:
.
Следовательно,
- искомое общее решение уравнения.
Ответ:
Пример 78. Исследовать сходимость рядов.
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение.
а) . Применяем интегральный признак сходимости ряда. Для этого рассмотрим несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом от функции.
в промежутке .
.
Несобственный интеграл сходится. Поэтому согласно интегральному признаку и данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
б). Применяем признак Даламбера.
.
Таким образом . Поэтому, согласно признаку Даламбера, данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
в) . Применяем признак Коши.
Так как . Поэтому, согласно признаку Коши, данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
г) . Применяем признак сравнения I. Возьмем для сравнения ряд , который сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, знаменатель которой
. Каждый член данного ряда, начиная со второго, меньше соответствующего члена , так как выполняется неравенство:
.
Поэтому, согласно признаку сравнения I, данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример79. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.
а) ; б) .
Решение.
а) . Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению и стремятся к нулю:
и .
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Чтобы установить, сходится ли данный ряд абсолютно или условно, исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда.
Применяем интегральный признак
.
Отсюда заключаем, что ряд с положительными членами расходится.
Следовательно, данный ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
б) . Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению и стремятся к нулю:
и .
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда . Применяем признак сравнения II. Возьмем для сравнения ряд , который сходится как ряд Дирихле , если .
Находим предел
.
Поэтому, согласно признаку сравнения II, данный ряд с положительными членами сходится.
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд сходится абсолютно.
Пример 80. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение.
Общий член данного степенного ряда .
Используем признак Даламбера, находя предел
=
. Следовательно, интервал сходимости данного ряда: .
Исследуем сходимость данного ряда на границе интервала сходимости, а именно при и .
При получим числовой ряд , который расходится как ряд Дирихле , где .
При получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница.
Следовательно, областью сходимости степенного ряда является полуинтервал .
Ответ: Область сходимости .
Пример 81. Найти область сходимости функционального ряда .
Решение.
Используем признак Даламбера:
;
или
.
Исследуем сходимость данного ряда на границе найденных интервалов сходимости.
При получим числовой ряд , который сходится согласно признаку Лейбница.
При получим гармонический ряд , который расходится.
Следовательно, область сходимости данного функционального ряда является множество .
Ответ: Область сходимости .
PAGE 49