Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Содержание
Стр.
Введение……………………………………………………………………………….3
§ 1. Значение преподавания математики для формирования научного мировоззрения школьников……………………………………………………………………………...….5
§ 2. Воспитание школьников на уроках математики посредством сообщения им сведений из истории науки…………………………………………………………...……8
§ 3. Об образования математических понятий……………………………………….....13
3.1. История формирования понятия числа…………………………………...….13
§ 4. Развитие мышления и речи на уроках математики…………………………...……17
4. 1. Развитие мышления……………………………………………………...……17
4. 2. Развитие речи…………………………………………………………….……19
§ 5. О математических способностях……………………………………………..……...22
§ 6. О математическом творчестве…………………………………………………….…26
6. 1. Развитие творческих способностей через обучение решению текстовых задач………………………………………………………………………………..………30
§ 7. Личный опыт в гимназии №23 г. Владимира во время прохождения практики…………………………………………………………………………..….……34
Заключение……………………………………………………………………….…37
Список литературы…………………………………………………………………38
Введение
В настоящее время общеобразовательная школа выступает в качестве того общественного учреждения, которое самым непосредственным образом отвечает за интеллектуальные ресурсы общества. И от того, как будет функционировать школа, зависят не только настоящие, но и будущие условия жизни людей. В последние годы, как в начальной, так и в средней школе ведется активный поиск инновационных форм, методов и содержания школьного образования, которые могли бы создавать условия для роста интеллектуальных способностей учащихся.
Курс математики основной школы может создать условия для того, чтобы школьники увидели мировоззренческие аспекты математики, осознали генезис математических идей и пути к некоторым математическим открытиям, оценили роль математики в решении прикладных проблем. Тем самым появляется возможность усилить мировоззренческий и ценностно-смысловой аспекты математического образования в современной школе.
Интересы хорошего обучения требуют, чтобы учитель знал не только, чему учить, не только как учить, но и зачем он учит. Ведь главная задача школы не просто дать сумму знаний, а воспитать человека.
А.И. Маркушевич писал: «Нельзя сводить всю проблему математического образования к передаче учащимся только определенной суммы знаний и навыков. Это закономерно ограничивало бы роль математики в общем образовании». Но чтобы воспитывать человека, надо знать какими качествами, должен он обладать.
Можно выделить следующие качества личности, для развития которых много может сделать математика.
1. Качества личности, составляющие умственное воспитание (способность логически мыслить, умение анализировать, умение критически осмысливать материал).
2. Качества личности, составляющие ее творческий характер (способность самостоятельно добывать знания, ставить новые вопросы).
3. Качества личности, связанные с формированием мировоззрения (понимание предмета математических дисциплин, понимание связи математики с действительностью, с другими науками).
4. Качества личности, составляющие ее нравственный потенциал (патриотизм, толерантность и т.д.).
Отсюда следуют следующие направления работы:
1. Воспитание творческого отношения к математическому материалу.
2. Воспитание мировоззрения.
3. Нравственное воспитание.
В данной курсовой работе остановимся на вопросах связанных с воспитанием мировоззрения. Этими вопросами занимались многие педагоги, например, Гнеденко Б. В. , Глаголева Е. Г. , Тесленко И. Ф. и др. Для написания своей курсовой работы были использованы статьи, написанные Е. Г. Глаголевой, также книги Гнеденко Б. В. и Тесленко И. Ф. Также была использована книга по истории математики Г.И. Глейзера.
Целью данной курсовой работы является изучение процесса формирования научного мировоззрения учащихся.
Достижение указанной цели реализуется решением следующих исследовательских задач:
- рассмотреть мировоззрения, с помощью сообщения сведений из истории математики на уроках;
- определить сущность и основные составляющие мировоззренческой подготовки учащихся общеобразовательных учреждений;
- выявить, что для формирования научного мировоззрения личности большую роль играет развитие творческих способностей, развитие речи, а также мышления;
- определить основные направления процесса формирования научного мировоззрения учащихся в учреждениях дополнительного образования.
§1. Значение преподавания математики для формирования научного мировоззрения школьников
Под мировоззрением понимают систему взглядов на окружающий нас мир, на возможность его познания человеком, на отношение к обществу и труду. Таким образом, мировоззрение представит собой целый комплекс представлений о реальном мире, о его познаваемости, об отношении человека к труду, к другим людям, к своим обязанностям по отношению к обществу.
Научное мировоззрение, как это легко понять из самого термина, является системой взглядов на природу и общественные явления, основанные на данных науки. Воспитание научного мировоззрения является ответственной и сложной задачей, требующей постоянного и длительного, настойчивого и в то же время неназойливого воздействия всего педагогического коллектива. Внимание этой проблеме не должно ослабевать ни на миг, и каждое уклонение учащихся от принятых нами позиций должно находить ответные шаги, убедительные, яркие, воздействующие как на разум, так и на психику. Мы должны стремиться к тому, чтобы научное мировоззрение стало внутренним убеждением каждого учащегося, которое он готов будет отстаивать и за которое «каждый день готов идти на бой». История науки дает нам многочисленные примеры, когда люди во имя своих убеждений готовы были жертвовать удобствами и отношением окружающих, материальными благами, жертвовать свободой и даже своей жизнью. Достаточно вспомнить имена Н. И. Лобачевского, Джордано Бруно и Галилео Галилея.
Но в философском воспитании никак нельзя ограничиваться только прошлым. Необходимо показывать также, что математические понятия, методы и результаты, разработанные в прошлом, широко используются и в наше время. Но вместе с тем неизбежно появляется потребность в развитии новых направлений науки и создании новых понятий. Особенно важно подчеркивать при этом, что практика не остается на месте, а непрерывно развивается и для своего прогресса требует расширения арсенала уже существующих математических знаний. Конечно, на базе школьной математики это сделать трудно, поскольку ее содержание не очень обширно. Тем не менее, это следует делать, иногда допуская такую вольность, как выход за пределы уже известного учащимся. Например, можно использовать практику космических полетов и их подготовки. Ведь прежде чем осуществить запуск космической ракеты, необходимо провести огромное число расчетов на прочность корпуса, на нагревание поверхности ракеты при полете в атмосфере и на необходимую скорость отведения тепла, запасы горючего. Далее следует создать теорию управления ракетой в процессе полета с целью введения необходимых коррекций при отклонении от расчетного курса. Но все это — лишь малая доля тех математических задач, которые приходится решать при организации космических исследований.
Можно рассказать и о том, что открытие наличия энергии в ядре атома поставило перед математикой множество новых вопросов. В частности, пришлось проводить огромные, невиданные по своей сложности и громоздкости вычисления. Это явилось стимулом для изобретения новых принципов счета, осуществленных в ЭВМ. Первоначальные скорости счета в первых ЭВМ оказались в настоящее время недостаточными. Десятки и тысячи арифметических операций в секунду для некоторых задач аэродинамики и физики оказываются слишком малыми, так как необходимы десятки и даже сотни миллионов операций. В результате требования практики оказывали и оказывают решающее влияние на прогресс вычислительной техники. Происходит непрерывное взаимное влияние практики и теории.
Воздействие практики на направление развития математики можно проследить во все времена. Но к одному влиянию практики весь научный прогресс сводить ни в коем случае нельзя. Огромную роль играют также стремление к полноте знаний, любознательность, желание формулировать результаты во всей общности.
Воспитание мировоззрения нельзя рассматривать как некоторую дополнительную задачу, не связанную с обучением собственно математике. Очевидно, что формирование мировоззрения школьников при изучении того или иного курса возможно лишь на базе прочно усвоенных ими фактических знаний. С другой стороны, работа по воспитанию мировоззрения, особенно в той ее части, где вскрывается связь математики с действительностью, практикой, способствуют осмысленному, сознательному усвоению материала. Обучение математике, не сопровождаемое такой работой, порождает один из наиболее трудно изживаемых недостатков в знаниях учащихся — формализм.
Таким образом, важнейшим условием эффективности работы по воспитанию мировоззрения в преподавании математики является органическая связь воспитательных моментов с содержанием изучаемого материала.
Школьник знает, что изучаемые им предметы, а вместе с тем и науки разделяются на две группы — естественные и общественные. Первые занимаются изучением различных явлений окружающего нас мира, достаточно точно очерченными природными процессами. Так, оптика, являющаяся частью физики, изучает явления, связанные с распространением света. И какой бы метод исследования при этом не применялся, само явление есть центр всех усилий. Рассматриваем ли мы геометрическую, волновую или электромагнитную теорию света, объектом нашего изучения останется одно и тоже явление природы. Точно так же общественные науки – экономика, история, философия, организация производства – изучают определенный, строго очерченный круг явлений. И какой бы метод мы ни использовали при изучении проблем экономики, не метод, а реальная проблема остается в центре нашего внимания. В математике мы не можем указать никаких конкретных явлений природы, общества или техники, которые были бы единственным предметом ее исследования. Она изучает в школьном курсе: числа, функции и действия над ними, геометрические фигуры. К какой же группе дисциплин отнести математику? Очевидно, что она не является ни естественнонаучной, ни общественной дисциплиной. Она является математикой. Это накладывает особенности на метод математического исследования. Эксперимент может быть лишь наводящей формой изучения. Так, если мы хотим доказать теорему Пифагора, то одна экспериментальная проверка, сколь бы обширной она ни была, для этой цели недостаточна.
Часто математику называют естественнонаучной дисциплиной. Однако это ошибочное мнение и от такого взгляда следует отказаться.
Хороший преподаватель оказывает огромное влияние на умы, психику и поведение своих учеников. Они прислушиваются к его словам и стремятся, порой даже бессознательно, следовать тем принципам, которые он разделяет. Поэтому, если учащиеся на уроках математики услышат не только изложение ее формальных основ и доказательства теорем, но и кое-что об ее философских проблемах, они невольно обратят внимание и на эту сторону дела. Беседы учителя математики о методологических вопросах науки, их значении для самой этой науки и ее развития превратят их в сознании учащихся в составную часть математического знания. Одновременно ознакомление с методологией математики и ее общими философскими проблемами позволит учащимся взглянуть на предмет с более широких позиций. Учащиеся смогут определить положение математики в системе знаний, увидеть науку в развитии, движении, задуматься о движущих силах прогресса и понять необходимость все большей общности и абстрактности понятий математики и ее результатов для прогресса самой математики, расширения и углубления поля ее применений. Это поможет учащимся увидеть, что именно абстрактность математики позволяет один и тот же математический результат, одни и те же математические понятия применять к изучению самых разнообразных по своему конкретному содержанию явлений.
§ 2. Воспитание школьников на уроках математики посредством сообщения им сведений из истории науки
Среди целей преподавания математики в школе можно выделить одну - формирование у учащихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры. Учителя математики часто считают ее не главной и не уделяют должного внимания соответствующей работе на уроке. Практика работы с историей математики показывает, что именно при помощи истории науки, которая методически правильно включена в урок, достигается вышеуказанная цель. Например, можно заметить, что история науки дает возможность показать учащимся при изучении каждого нового раздела или темы, что математика как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира возникала и развивается в связи с практической деятельностью человека. Возьмем возникновение и развитие понятия числа, которое происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практическая деятельность с одной стороны, и внутренняя потребность математики с другой стороны, определили развитие понятия числа. Так, например, отрицательные числа вошли в использование как «недостаток», а положительные как «наличие». Такого определения отрицательных чисел придерживался Диофант Александрийский. Р.Декарт же, при рассмотрении координатной плоскости истолковал положительные и отрицательные числа как противолежащие направленные отрезки, т.е. дал им геометрическое истолкование. На самом деле, примеров практической значимости математики для человеческой деятельности можно привести множество, что и следует показать ученикам при помощи истории математики. Такая неразрывная связь истории науки и преподавание темы по математике поможет ученикам осознать, что они изучают науку, которая является частью окружающего нас мира, частью нашей истории.
Аналогично, по мере возникновения насущных задач практики, появлялись не только новые понятия, но и создавались математические методы решения таких задач. Из истории человечества видим, что изобретение самолета потребовало решения задачи движения твердого тела в воздухе. Великий русский ученый Н.Е.Жуковский, применив новые математические методы, решил эту задачу, создав основу математической теории полета. А ученики 5-9 классов общеобразовательных школ знают в лучшем случае имена Пифагора, Евклида, Виета, теоремы, которых входят в школьный курс математики. Поэтому я считаю, что ученики должны знать и такие имена, как М.И.Остроградский, Н.И.Лобачевский, Н.Е.Жуковский, К.Э.Циолковский, С.Н.Бернштейн, М.В.Келдыш и многих других отечественных ученых. Их имена вошли в историю науки в связи с решением практических задач, имеющих большое значение для развития народного хозяйства, военной техники, развития науки.
Редко кто из учителей математики, использующий на своих уроках сведения из истории науки, задумывался о пользе этих сообщений в плане воспитания школьников. Самое главное в том, что история науки приучает, а потом заставляет быть закономерным, самостоятельно добывать знания. Также большое воспитательное воздействие окажет на учеников сообщение об огромной роли А.Н.Крылова, С.А.Колмогорова, Н.Г.Четаева и других в создании и совершенствовании новой военной техники. Так, работы А.Н.Колмогорова во время Второй мировой войны способствовали созданию теории артиллерийской стрельбы. А.Н.Колмогоров изучал явления рассеивания артиллерийских снарядов.
Эстетический потенциал математики в практике обучения часто недооценивают. Однако на протяжении веков пути математики и различных видов искусства переплетались. Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников. Зачастую в кругу цифр и математических знаков мы не замечаем всей красоты и логичности доказательств этой науки. Красоту науки когда-то заметил Н.Е.Жуковский. Он писал: «В математике есть своя красота, как в живописи и в поэзии». Многие ученые, занимавшиеся исследованиями в области математики, были не только математиками, но физиками и химиками, как Ньютон, Паскаль и Эйлер, и даже поэтами. Философом и поэтом является известный математик Омар Хайям. Вот одно из его четверостиший:
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало ешь,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.
Другой пример - математик Чарльз Л.Доджсон, известный больше под псевдонимом Льюис Кэрролл как автор сказки «Алиса в стране чудес». Как рассказывают биографы, королева Виктория пришла в восторг от этой книги и захотела прочитать все книги, написанные Кэрроллом. Можно представить ее разочарование, когда она увидела на своем столе стопку книг по математике. И даже известная нам математик-женщина Софья Васильевна Ковалевская обладала незаурядным литературным талантом. Ее перу принадлежат такие произведения: драма «Борьба за счастье», роман «Нигилистка» и другие.
Решать уравнение вида: х-ау=1, умел и Архимед. Недаром Архимед послал в Александрию Эратосфену следующий стихотворный вызов:
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец
( Ты их, подумав, сосчитай, мудрости если не чужд),
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало много млечно – белым,
Темной морской волны стада другого был цвет.
Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь чужестранец,
Белых быков в точности было ровно…
То, что древние математики были прекрасными поэтами, можно видеть из приведенных примеров. Эти произведения помогут показать ученикам красоту не только самой математики, но и поэзии, прозы и других древних сочинений. При этом исторические сведения помогут сосредоточить и сконцентрировать внимание учащихся на изучении программного материала, помогут надолго сохранить в памяти те факты, которые были красиво описаны с помощью литературы.
В стихах, приведенных выше, также встречаются географические названия: Александрия, Тринакрийская Сицилия и другие. При сообщении учащимся исторических сведений, если учитель приведет карты древние и современные, то ученики наиболее полно представят себе картину времени, когда произошло математическое открытие. При рассмотрении карт ученики могут найти древние города, например, город Александрию, и затем ответить на вопросы: каким морем омывается город? (Средиземным); с какой рекой связаны истории этого города?; к какой стране принадлежит Александрия? (Египет); назвать главную реку Египта и ее природные особенности? (Нил); перечислить известных людей, проживавших в Александрии? (Евклид, Эратосфен, Апполоний, Герон, Гиппарх, Птолемей, Диофант). Такая работа позволяет развивать воображение, мышление учащихся и тем более поможет лучше разобраться в географических местах и надолго отложиться в памяти детей, так как эти знания были добыты путем сопоставления карт. Приведенный в примерах Диофант занимался изучением методов решения уравнений. Уравнения, решаемые в целых числах так и назвали Диофантовыми уравнениями. А также с его именем связаны понятия Ал-джебра и Ал-мукабала:
|
Ал-джебра При решении уравненья, Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив, Равный член придадим, Только с знаком другим, И найдем результат нам желательный. |
Ал-мукалаба Дальше смотрим в уравненье, Можно ль сделать приведенье, Если члены в нем подобны, Сопоставить их удобно, Вычтя равный член из них, К одному приводим их. |
После изучения подобных стихов можно выводить современные методы решения линейных уравнений: перенос слагаемых их одной части уравнения в другую, деление и умножение обеих частей уравнения на одно и то же число.
Опытный учитель с привлечением истории математики к объяснению нового материала сможет показать ученикам значимость математики среди других наук, изучаемых в школе, и их неразрывную связь. Из вышеуказанных примеров видно, что при использовании географических карт, литературных произведений, биографий ученых история математики позволяет установить межпредметные связи, которые очень легко можно проследить на каждом уроке.
При распаде СССР многие социалистические республики, отделившись, стали возвращаться к своим традициям и к родному языку. История математики может вернуть нас к истокам исконно русских открытий, познакомить с нашими отечественными учеными и с их вкладом в становление науки - математики. Известный историк-методист И. Я. Депман справедливо утверждает: «Исторические сведения о математике своей Родины и ее достижениях естественно развивают патриотические чувства и любовь в своей стране, к своему народу. Русская математика, как старая, так и новая, дает для этого очень богатые возможности». В изучении простых чисел учеников можно познакомить с отечественным ученым П.Л.Чебышевым, которому наравне с другими исследователями этих чисел удалось вывести формулу, позволяющую приближенно найти число простых чисел. Работа по исследованию простых чисел занимала умы ученых около 2200 лет после Евклида, и своим открытием П. Л. Чебышев прославил русскую науку.
Воспитание нравственности у подростков происходит под воздействием взаимоотношений людей, окружающих школьника, его сверстников, людей старшего и предшествующих поколений. Педагогический процесс всегда связан не только с учителями, но и с «явно не присутствующими учителями». В качестве авторитетных «отсутствующих учителей» успешно выступают различные выдающие личности, деятели науки и культуры, в том числе и ученые-математики. Исторический материал, действуя на сознание, на чувства и помыслы школьников, формирует их нравственные идеалы. Поэтому исторический материал обладает огромным потенциалом для патриотического и интернационального воспитания школьников. В интернациональном воспитании, в формировании уважения к народам нашей страны, большое значение имеет ознакомление учащихся с достижениями великий ученых народов СССР, таких, как Хорезми, Омар Хайям, Насирэддин Туси, Гиясэддин Каши и других.
Неожиданные открытия, обнаруженные математиками, удивляли многие столетия людей своей красотой и вдохновляли на новые исследования. Говоря словами Г.В.Лейбница, «нет ничего более важного, как обнаружить источники нового открытия. Это, на мой взгляд, интереснее самих открытий». Мы еще раз убеждаемся в ценности элементов истории математики для развития учащихся. В этом случае учитель вместе с учениками может рассматривать новый материал, как никому раннее неизвестный, тем самым происходит новое открытие на уровне каждого ученика в отдельности.
Каждый год видим такую картину: от класса к классу интерес к изучению предмета математики у учащихся не возрастает, как хотелось бы, а наоборот, уменьшается, что влечет за собой и ухудшение успеваемости. Кроме воспитательного значения исторических сведений, учителя математики подчеркивают, что история математики повышает интерес учащихся к предмету, к изучению все новых и новых, усложняющихся тем программы.
Наиболее часто применяемыми методическими приемами сообщения исторических сведений являются следующие: рассказ учителя, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учеников. Также выделяется еще один прием, который заключается в решении той или иной задачи различными методами, не исключая существовавших ранее, может быть даже и ошибочных. А также прием выполнения одного математического действия различным образом. Например, при изучении темы умножения десятичных или обыкновенных дробей школьникам в 6 классе можно показать приемы умножения дробей старорусским и другими способами. Эффективным методом сообщения исторических сведений по математике может быть решение задач из классических и старинных сборников задач. При изучении признаков деления на 2, 3, 5, 10 и т.д. можно показать ученикам признак Паскаля. Затем можно будет сказать, что признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и 10 – это частные случаи признака Паскаля.
Ознакомление учащихся с элементами истории математики с целью воспитания должно проходить, прежде всего, на уроках математики. Многолетний опыт исследования данной темы показывает, что освещать историю математики даже в самом кратком виде не предоставляется возможным. Поэтому будем говорить только о сообщении учащимся лишь некоторых сведений из истории науки.
Можно использовать нетрадиционный прием сообщения сведений из истории математики – нетрадиционные домашние исследовательские задания. Почти исчезли из обихода русские старинные названия мер длины и веса. Ученики на лето обычно из крупных городов разъезжаются к родственникам, бабушкам и дедушкам, которые живут в деревнях, поселках и просто маленьких городках. Из их обихода эти устаревшие слова еще не вышли. За лето ученики могут выполнить специальное задание - составить словарь по старинным мерам длины по рассказам бабушек и дедушек. А во время урока по теме « Измерение отрезков» могут поделиться с остальными своими словарями и позабавить одноклассников различными интересными названиями, такими как сажень, вершок, аршин. Учитель в этом случае подтвердит сказанное школьниками и расскажет, чему в настоящее время равны эти величины. Интересно будет измерить кабинет математики пядями, локтями и шагами. А также исторический материал может стать индивидуальным средством обучения школьников математике.
Историю математики вводить в школу необходимо по нескольким причинам: это прекрасный и действенный инструмент для повышения интереса учащихся к предмету, развития эстетического вкуса учеников, а также привития нравственных качеств. Главное, чтобы исторические сведения гармонично вписывались в современный урок - урок XXI века. XXI век - это век телевидения, компьютеров и компьютерных сетей. На первый план выходит научно-исследовательская деятельность учеников, которая должна привить им навыки самообразования.
§ 3. Об образования математических понятий
Любые понятия, в том числе и математические, возникают в результате абстрагирования от свойств предметов, реально существующих в природе, или же является абстракциями от уже существующих абстракций. Таким образом, понятия математики отражают некоторые стороны реального мира и содействуют тем самым его познанию, собственно возможность применения математических теорий к изучению реальных явлений объясняется именно тем, что сами эти теории и имеющиеся в них понятия возникли из явлений реального мира и наблюдающихся в нем соотношений.
Ценность и жизненность математических теорий определяются не столько тем, насколько изящно они построены, сколько тем, как глубоко и прочно они связаны с проблемами общественной практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. С этой точки зрения не любые формальные правила действий могут служить предметом математической теории и не любые понятия заслуживают рассмотрения. Они имеют только тогда научное содержание, когда позволяют получать содержательные выводы о каких-либо реальных вещах и явлениях.
Число математических понятий невелико. Если же говорить о школьном курсе математики, то он сводится лишь к следующему: число, пространство, линия, поверхность, точка, функция, производная, вероятность, множество.
3. 1. История формирования понятия числа
Несомненно, что для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение и которое сопровождает школьника до конца обучения.
Понятие целого числа возникло в незапамятные времена. Вначале это было вызвано необходимостью считать конкретные предметы: пять овец, восемь мужчин данной общины и пр. Только в результате длительной практики счета предметов различной природы возникло абстрактное понятие числа. Но это случилось уже на очень высокой стадии развития, задолго до того, как человечество оставило памятники письменности. Когда же появилась письменность, человечество уже владело довольно развитым искусством счета.
Для того чтобы выяснить хотя бы в основных чертах историю формирования понятия числа, приходится пользоваться косвенными данными, а именно данными этнографии; изучением живых языков, которые сохранили в грамматических особенностях числительных ценные сведения о прошлом. На этом пути также мы сталкиваемся с трудностями, поскольку завоевания и безжалостное вытеснение туземцев привело к почти полному уничтожению ряда племен, а то и целых народов в Южной и Северной Америке, Африке, Австралии, на островах Полинезии. К тому же христианские миссионеры нередко были виновниками уничтожения ценнейших памятников культуры прошлого народов, обращаемых в христианство. В результате из памяти человечества вычеркивались полностью страницы истории. То немногое что удалось собрать путешественникам на протяжении XVI—XIX вв., представляет неоценимое значение для истории науки и дает базу для восстановления процесса образования понятия числа.
Прежде всего выяснилось, что многие племена не могли вести счет и не имели наименований для чисел. Они заменяли счет описанием свойств отдельных предметов. Так, по свидетельству известного полярного исследователя Уильяма Парри (1790—1855), эскимосы в то время не могли правильно сосчитать число своих детей, если их было больше трех. Однако они сразу замечали отсутствие кого-нибудь из них, так же, как могли перечислить каждого, отмечая их отличительные особенности. Точно так же, имея большое число ездовых собак, они не могли назвать их числа, но зато были в состоянии описать каждую из них: собака, родившаяся в голодный год; собака черная с белым пятном и т. д.
Счет предметов и сопоставление численностей нескольких групп предметов представляли огромный труд. В сочинениях ряда исследователей первобытной культуры разбросаны сведения, подтверждающие мнение, что операция счета для первобытных племен представляла тяжелую задачу, от которой они быстро уставали.
Весьма поучительный пример этого рода приводит известный путешественник и этнограф К. Штейнен, исследовавший племя бакаири, жившее в глубинах лесов Амазонки и находившееся на весьма низком уровне развития. Он многократно заставлял туземцев перечислять последовательно зерна из кучки, состоявшей всего-навсего из десяти зерен. При этом они медленно, но правильно досчитывали до шести. При отсчете седьмого и восьмого бакаири становились напряженными, менее веселыми, начинали зевать и жаловаться на головную боль, а затем увиливали от ответов или убегали совсем.
Из приведенных примеров можно сделать заключение: умение считать на первых стадиях формирования искусства счета не связано жестко с наличием специальных наименований для числительных, а тем более специальных обозначений для цифр. Образование числительных и тем более цифровых знаков — это уже достаточно высокая стадия развития. Специальные слова для обозначения числительных были выработаны позднее того, как появились определенные наименования для обозначения численностей групп определенных предметов. Филологи отмечают, что у некоторых африканских народов существуют различные слова для обозначения трех коров, трех воинов, трех хижин и т.д. Также у некоторых племен западной Канады было отмечено, что числительного три у них не существовало, а для обозначения трех предметов имелись различные наименования: «тхе» три вещи, «тхане» — три лица, «тхат»— три раза, «тхатоэн» - в трех местах и т.д. У аборигенов Флориды были слова «на-куа» для обозначения десяти яиц, «на-банара» для обозначения десяти корзин с продовольствием, но отдельного слова «на» для обозначения числительного десять у них не было.
Разумеется, счет с помощью определенных предметов неизбежно приводит к появлению наименований, тесно связанных с орудием счета. Понятно, что в качестве таких орудий счета, помогавших перечислению вещей и запоминанию результата, выбирались предметы, особенно близкие человеку. Как правило, это были органы его тела.
То, что при первобытном перечислении предметов зачастую использовали пальцы, сыграло большую роль в развитии счета на пальцах. До XVIII в. счет на пальцах имел широкое распространение в странах Западной Европы и в России. В начале нашего века этим методом в торговых операциях пользовались китайские и монгольские торговцы. В 1529 г. в Базеле была переиздана книга монаха Бэды Достопочтенного, в которой излагались методы счета на пальцах до миллиона включительно.
Использование пальцев рук и ног в счете должно привести к мысли о том, что числа пять, десять и двадцать должны играть особую роль и, следуя этой роли, должны где-то остаться — в языках, записях, легендах. И действительно, внимательное изучение наименований числительных подтверждает это.
Особая роль числительного двадцать сохранилась во французском, голландском и английском языках. В скандинавских языках отмечена особая роль пяти. Во французском языке сохранилась традиция счета двадцатками: двадцать (vingt), восемьдесят произносится как четыре-двадцать (quatre-vingts), 90 — как четыре-двадцать-десять (quatre-vingt-dix), 120 — как шесть-двадцать.
История сохранила разные системы счисления, в которых основаниями были числа 2, 20, 10, 12, 60. Так, у некоторых племен Судана было отмечено стремление считать группами по двенадцать предметов. Этот пережиток сохранился и сейчас во многих странах Европы: дюжина — 12, гросс — 122 — 144, масса — 123 = 12∙122.
Изучение особенностей живых языков еще может дать для изучения формирования числового ряда на протяжении истории человечества очень многое. Именно поэтому следует собирать сокровища языка и внимательно их изучать с позиций математика, историка, философа и филолога.
Приведенные мною лингвистические изыскания показывают, что числовой ряд возник не сразу, не целиком. История его формирования весьма длительна, и запас употребительных чисел увеличивался лишь постепенно.
Это лишь часть пути развития числа. Кроме целых положительных чисел, практика заставила ввести также отрицательные числа, нуль, затем дроби, мнимые и комплексные числа. Далее на базе полей действительных и комплексных чисел были построены новые образования — группы, кольца. Этот процесс никогда не завершится, так как для развития науки и практики нужны новые математические образования, новые понятия.
Задачи, связанные с измерением, разделом имущества и продуктов, привели к необходимости рассмотрения, наряду с целыми положительными числами, также дробных и отрицательных чисел. Но их введение и освоение потребовало длительного времени, и только после того, как оно пройдено, когда остались позади многочисленные трудности в выработке правил деления чисел и действий с дробями, появились возможности формального построения соответствующей теории.
В действительности человечеству потребовались тысячелетия, прежде чем удалось сформулировать абстрактное определение дробного числа, чтобы действиям с дробями обучались школьники. Это великое завоевание человечества. Ведь еще в XVIII в. в гимназиях даже не добирались до действий с дробями. Люди разными путями пытались выбраться из трудного положения, в которое они попадали, когда приходилось оперировать с дробями. Недаром в немецком языке сохранилось выражение «попасть в дроби» (in die Bruche gezahten) употребляемое в тех случаях, когда хотят подчеркнуть, что кто-то попал в безвыходное положение. В одной арабской рукописи XII в. была следующим хитроумным способом решена следующая простая арифметическая задача, лишь бы не иметь дела с дробями: «Разделить поровну между одиннадцатью лицами 100 фунтов (хлеба, зерна, муки — Б. Г.)». Автор решения предлагает следующий способ: каждое лицо должно получить по 9 фунтов; оставшийся фунт следует поменять на яйца, которых при такой мене будет получена 91 штука. Оставшиеся после деления 3 яйца автор предлагает или поменять на соль, или же отдать за труды тому, кто делил.
Сказанное убедительно показывает, что на всех этапах развития математического понятия числа практика играла решающую роль. Правда, под понятие практики входят при этом различные представления: практика перечисления, практика раздела имущества и измерения длин. Введение иррациональных чисел связано на первых порах с вычислением длины диагонали квадрата по его стороне. Практика решения квадратных уравнений привела человечество к мнимым и комплексным числам.
Мы можем перейти к рассмотрению любого математического понятия и всюду столкнемся с той же самой ситуацией: их введение связано всегда с решением той или иной проблемы, выдвинутой или общественной практикой, или развитием науки.
Итак, когда перед глазами обучающегося или исследователя находится не только сформировавшаяся и уже формализованная математическая теория, но и весь ее исторический путь, тогда становится ясным истинный путь становления и возникновения ее понятий из интуитивных представлений, подсказанных практикой, включающей, естественно, и нужды самой науки. Если же замкнуться в абстрактной и окончательно формализованной математической схеме и за пределами этой схемы не желать ничего видеть, то связи математики, ее задач и введенных в ней понятий с практикой становится незаметными. При таком, и только таком подходе к науке может возникнуть мысль о свободном творчестве математических понятий ученым, его свободным и ничем не связанным разумом. Вот почему так важно обращаться в педагогическом процессе к истории науки, к ее поучительным примерам.
§ 4. Развитие мышления и речи на уроках математики
Способность четко, логически совершенно мыслить и ясно излагать свои мысли в настоящее время требуется каждому. В этих качествах нуждается руководитель предприятия и рабочий, ученый и инженер, педагог и экономист, врач и агроном. Вот почему вопросы развития мышления и речи являются одними из основных в жизни всей школы. Ими должны заниматься все преподаватели, внося в это общее дело каждый свое, присущее его специальности. Математик должен приучить к краткому и логически полноценному изложению, литератор — к выразительной и эмоционально насыщенной речи, историк — к последовательному изложению и умению приводить отдельные факты в систему и т. д.
Математика для воспитания привычки к строгому мышлению и четкой, логически совершенной речи имеет большие возможности. Эти возможности проявляются и при изложении теоретического материала, и при решении задач. Чтобы успешно ответить на тот или иной теоретический вопрос, недостаточно только запомнить определение или же рассуждение, которое было услышано на уроке от преподавателя при доказательстве той или иной теоремы. Здесь нужно понимание сути дела и, следовательно, постоянная готовность к дополнительным вопросам преподавателя, к изменению обозначений, смене чертежа. Ученик должен показать в своем ответе не только умение запоминать, а умение разобраться в структуре рассуждений, смысле условий теоремы, выявлении основной идеи доказательства, свою способность самостоятельно мыслить. И при всем этом преподаватель математики должен отучать учащихся от засоряющих речь, излишних предложений, нечетко выраженных и логически необоснованных заключений.
4. 1. Развитие мышления
Для того чтобы математическое познание доставляло удовлетворение, необходимо проникнуть в суть идей этой науки и прочувствовать внутреннюю связь всех звеньев рассуждения, что только и позволяет понять глубокую и одновременно прозрачную логику доказательства. Если хотя бы раз ученик достигнет ясности понимания сути дела, внутренней связи понятий и рассуждений, то после этого ему будет трудно удовлетвориться суррогатом знаний, который дает заучивание без понимания, зубрежка без вдохновения. К состоянию полной ясности предмета изучения он станет стремиться сам, без напоминаний и принуждения, поскольку у него появится идеал знания. И тогда к нему придет удивительное открытие: работа мысли требует несомненно меньших усилий и затрат времени, чем зубрежка. Тем самым освобождается масса времени для более глубокого понимания материала, а это в свою очередь облегчает решение задач, самостоятельное проведение доказательств теорем, которые давались с таким трудом при простом заучивании без понимания идейной стороны дела.
На это обращал пристальное внимание один из выдающихся наших математиков и педагогов А. Я. Хинчин. В его очень интересной и содержательной статье «О формализме в преподавании математики» говорится, что «одним из самых распространенных и тяжелых недостатков (математической. – Б. Г.) подготовки до сих пор остается формализм математических знаний и навыков. Этот недостаток почти в равной мере препятствует достижению всех тех целей, которые ставит перед собой преподавание математики в школе. Прежде всего и острее всего это сказывается на непосредственном практическом применении приобретенных знаний и навыков. Тот, кто вынес из школы только внешние, формальные выражения математических методов, не усвоив их содержательной сущности, при встрече с реальной задачей будет, конечно, лишен возможности увидеть, какие из этих методов могут быть применены к ее решению. Он не сумеет, как мы говорим, математически поставить практическую задачу; в значительной мере он окажется беспомощным и в решении этой задачи, так как у него не выработалось привычки реально осмысливать производимые формальные операции, вследствие чего ни интересы стоящего перед ним практического задания, ни даже математическое содержание возникшей проблемы не смогут руководить им при выборе этих операций».
«Не менее тяжким следствием формализма математических знаний мы должны, наконец, признать и почти полную мертвенность, бесполезность такого рода знаний в формировании научного мировоззрения учащихся, которое должно являться одной из важнейших задач нашей общеобразовательной школы. Вряд ли надо доказывать, что знания и навыки, связанные лишь с внешней формой изучаемого предмета и оторванные от его содержания, ни в какой мере не могут влиять на идейное воспитание ученика, на формирование его мировоззрения. В лучшем случае они способны только стимулировать тренировку чисто формальных мыслительных способностей».
А. Я. Хинчин дает исчерпывающее определение формализации знаний, говоря, «что для всех проявлений формализма характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта».
Для того же, чтобы приучить учащихся мыслить самостоятельно, чтобы привить им твердую привычку надеяться в решении возникающих затруднений на собственные силы и привить им уверенность в практически неограниченных возможностях их способностей, необходимо заставить их пройти через определенные трудности, а не подавать им все в готовом и до конца разжеванном виде. К сожалению, нередко школа стремится облегчить путь обучения настолько, что учащиеся проходят дистанцию от первого до последнего дня школьной жизни, ни разу всерьез не продумав узловые моменты теории, не сосредоточив своих умственных сил на самостоятельное преодоление трудностей, встречающихся при решении задач или же осмысливании условий теорем. Основная трудность перекладывается на плечи преподавателей, которые в каждый момент должны быть готовы дать консультацию учащемуся по любому поводу. И вместо того, чтобы приложить к преодолению встретившихся затруднений собственные усилия, учащиеся не так уж редко предпочитают использовать такой доступный и легкий способ, как консультация учителя.
Несомненно, что учащийся, не приученный к самостоятельному преодолению трудностей, к постоянному поиску выхода из затруднений, будет вынужден через всю жизнь нести груз неполноценности, будет использовать потребность иметь под боком кого-то, кто поможет ему, даже в простейших ситуациях. Для общества такой человек будет балластом, потому что он ничего не сможет сделать самостоятельно, а постоянно станет требовать помощи от других, поскольку он привык получать ее в школе от учителей.
Отсутствие формализма в приобретенных знаниях является только необходимым, но далеко не достаточным условием развитого мышления. Оно требует не только отсутствия формализма, но и привычки к полноценной аргументации выдвигаемых положений, к недопустимости логических скачков в рассуждениях, к последовательному проведению всех необходимых доводов для получения окончательного заключения.
Мы прекрасно знаем, как часто при обсуждении даже очень важных дел ограничиваются приведением двух-трех аргументов в пользу того или иного решения и не заботятся о полноте приведенных соображений. Однако зачастую такого аргументирования, как правило, бывает недостаточно. Подобное случается и в науке, особенно когда вновь открытый метод дает прекрасные результаты. Тогда, почти обязательно, этот метод возводится в абсолют и перестают интересоваться условиями его применимости. В частности, нередко при решении прикладных вопросов забывают об основных требованиях, без которых метод не приносит пользы или вообще не используется.
Математические методы и результаты имеют ограниченное поле применимости. Поле действия теоремы определяется теми условиями, которые содержатся в ее формулировке. Теорему Пифагора, доказанную для прямоугольных треугольников на евклидовой плоскости, уже нельзя переносить на другие поверхности. Например, на сфере для прямоугольных треугольников теорема Пифагора не имеет места. Учащиеся должны уяснить, что не любой математический расчет приводит к правильным результатам, а лишь тот, который соответствует реально существующим условиям. Каждый педагог-математик стремится по мере сил и возможностей к развитию мышления учащихся. Очень важно научить учащихся видеть, что из формулировки теоремы нельзя выкинуть ни одного слова, поскольку этим самым будут нарушены логические связи, и можно будет построить контрпримеры.
4. 2. Развитие речи
В непосредственной связи с развитием мышления находится воспитание культуры речи. Нередко преподаватели внимательны, только к тому содержанию, которое излагает учащийся, но не очень следят за тем, как он говорит. Такой подход не может считаться оправданным. Математик не может быть безразличным не только к содержанию, но и к форме ответа. Нельзя считать, что воспитание культуры речи находится только в руках преподавателей русского языка и литературы. И то, что может сделать учитель математики, порой затруднительно для преподавателя истории или литературы. Действительно, именно на уроках математики школьник должен привыкать к краткой, четкой, логически отточенной речи. Именно в математике следует приучать к тому, что даже в обычной речи следует избегать слов и фраз, не несущих смысловой нагрузки.
Каждому человеку приходится выражать словами свои мысли, желания, впечатления, и во всех случаях нужно добиваться того, чтобы мысль передавалась точно и без искажения. А для этого необходимо, чтобы второстепенные детали и лишние слова не затемняли основного содержания, приучиться произносить только то, что необходимо для понимания дела.
У некоторых учащихся есть склонность к украшательству своей речи. Им кажется, что это красиво, и они приближаются к литературным достоинствам великих мастеров слова.
К сожалению, у многих имеется привычка к «мычанию»: человек не может вовремя найти нужное слово, и перерыв заполняет длительным «ммм...». Этот недостаток легче исправить у детей, чем у взрослых.
Весьма распространено также злоупотребление иностранными словами. Это не только не красит речь, но нередко бывает причиной затруднений у слушателей. Родной язык достаточно богат, чтобы без нужды не пользоваться словами и выражениями, которые не свойственны ему, и его засорение должно считаться признаком бескультурья.
Преподаватель не может проходить без внимания мимо недостатков речи учащихся. И если школьник будет знать, что любой недостаток его речи будет замечен, любая алогичность в его рассуждениях будет отмечена, он станет внимательнее относиться к тому, что и как он говорит, и с детства привыкнет следовать в своей речевой практике замечательной узбекской поговорке: «Человек! Прежде чем пропустить слова через нижнюю часть головы, пропусти их через верхнюю».
Конечно, чтобы воспитывать речь школьника, преподаватель сам должен владеть ею безукоризненно. Каждое слово учителя, каждый сделанный им жест должны содействовать восприятию учащимися предмета изложения, процессу запоминания. Речь не должна быть слишком быстрой, поскольку за ней трудно следить многим учащимся. Но она не может быть и излишне медленной, так как при таком изложении может потеряться нить изложения. Если учитель рассказывает так, что его не приходится переспрашивать, удается сэкономить время на ненужных вопросах и ответах, вызванных торопливым изложением, когда теряется не только время, но и цельность представления о том, что излагает учитель.
Учитель не должен забывать, что четкая речь и мысль доступнее для понимания, чем мысль расплывчатая, речь неправильная, переусложненная множеством придаточных предложений и отвлекающих украшений. Речь учителя должна быть не только грамматически и литературно правильной, но и эмоционально насыщенной. Учащиеся от общения с учителем должны получать внутреннюю убежденность в беспредельной важности того, что он им сообщает, веру в собственные силы, интерес к предмету и стремление к познанию.
Человеческая речь может обладать исключительной выразительностью, она может немногими словами рисовать яркие образы, давать представление о сложнейших движениях мысли людей, помогать пониманию сложнейших явлений, звать на подвиги и оставаться в памяти людей на долгие годы. Но для этого нужные слова должны произноситься в соответствующие моменты и с соответствующей интонацией. И то, что сегодня прозвучало как нечто потрясшее воображение, завтра или в другой обстановке, при другом составе слушателей уже не произведет впечатления.
Математика может в силу своих специфических особенностей, а потому и должна содействовать выработке у учащихся привычки к полноценному мышлению и к четкой, ясной, выразительной и логически полноценной речи. Это им поможет впоследствии в их жизни доносить свои мысли до сознания других людей в неискаженном виде, поможет им избавиться от множества затруднений, которые связаны с неумением правильно и однозначно излагать свои мысли.
§ 5. О математических способностях
Выявление и развитие способностей учащихся является одним из основных назначений школы. Способности могут проявляться в самых разнообразных направлениях — к какому-нибудь виду мастерства, к литературе, к постановке физических опытов, к спорту и пр. Выявление и развитие математических способностей также следует отнести к одной из важных и ответственных задач педагогических коллективов школ. Это крайне необходимо для жизни современного общества, поскольку в век математизации знаний важно не упустить потенциальные таланты, воспитать их и направить на совершенствование, как самой математики, так и многочисленных ее применений. Хорошо известно, что в наши дни математика превратилась в производительную силу общества, и потому мы не имеем права допускать потерю математических способностей ни у одного школьника.
Хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тем, кто впоследствии займется научными исследованиями, но и тем, кто станет трудиться в различных областях народного хозяйства в качестве инженеров, экономистов, организаторов производства, квалифицированных рабочих, офицеров. Математический стиль мышления, умение рассуждать строго, не совершая логических скачков и неполноты классификации, необходимо также будущим врачам и юристам, историкам и биологам, агрономам и лингвистам.
Это показывает, как важно добиваться того, чтобы математика превратилась в дисциплину преподавания, интересную и доступную для подавляющего большинства школьников, а не только для небольшой части избранных. При этом окажется, что способность к познанию школьного курса математики присуща практически каждому.
К сожалению, наряду с хорошо подготовленными по математике учащимися, имеется немалая доля таких, кто не хочет работать систематически, не привык вникать в суть понятий и идей, плохо успевает и с трудом переходит из класса в класс. Нередко в таких случаях родители и преподаватели прибегают к спасительному объяснению: «Но ведь этот учащийся лишен математических способностей». Но насколько можно доверять так легко даваемым заключениям об отсутствии математических способностей? Насколько серьезно изучены причины плохих математических успехов школьника? Действительно ли способности отсутствуют или же отсутствует желание приложить усилия, чтобы понять изучаемый материал, а возможно, отсутствует и знание первичных основ?
Как правило, неудачи с усвоением школьного курса математики связаны не с отсутствием способностей, а с отсутствием систематической работы, со стремлением перейти к изучению последующих частей курса без приобретения необходимых знаний по предыдущим, без ознакомления с фундаментальными понятиями и идеями, лежащими в основе всего последующего. Как правило, приходится встречаться со случаем, когда учащиеся заучивают без осмысливания, набивают себе руки в пользовании определенным алгоритмом без понимания и обладают в огромной мере ленью разума, которая мешает им самостоятельно преодолевать встречающиеся трудности. А ведь только в самостоятельном преодолении затруднений приобретается уверенность в своих силах.
Я полностью согласна с теми педагогами, которые отрицают необходимость какого-то специального дара для хорошего изучения курса школьной математики.
Заключение же об отсутствии способностей педагогически очень опасно и в подавляющем большинстве случаев не обосновано. Прежде всего, такое заключение способно угнетающе подействовать - на психику учащегося. Уже одно это обстоятельство должно заставить нас с осторожностью говорить об отсутствии способностей. Но этого мало. Под предлогом отсутствия способностей учащийся может перестать заниматься, потеряет стремление встать на один уровень со всеми, лишится желания работать с полным напряжением сил и с чувством ответственности. При этом у него появится весьма веский аргумент: «Чего же вы от меня требуете, ведь у меня нет математических способностей».
Умение учиться не приходит само собой, а требует специальной подготовки, внимания и серьезных усилий со стороны учащихся и учителей. Среди учащихся, испытывающих трудности при изучении курса математики (да и только ли математики!), причина трудностей кроется именно в том, что они не обучены искусству учиться.
В результате разум и труд, превратившие первобытного человека в человека современного, позволившие человечеству достичь вершин познания и создать шедевры в науке, литературе, искусстве, технике, остаются в стороне, формальные же сведения в лучшем случае укладываются на полках памяти.
Должно же быть иначе: память обязана играть лишь роль верного помощника разума, мысли, и не следует взваливать на нее несвойственную ей роль единственного пути познания. В памяти должны храниться сведения, идеи, методы, но они должны по мере надобности превращаться в активные методы при решении возникающих проблем. Точно так же невозможно научиться говорить на чужом языке, если снабдить память только словами, выражениями, правилами грамматики и синтаксиса. Однако этого мало. Необходимо научить человека активно использовать приобретенный запас знаний. А для этого необходимо говорить, писать, читать и тем самым не давать знаниям лежать мертвым грузом. Для математики упражнения на решение задач, доказательство теорем, логический анализ условий доказанных предложений и развитие способности провести необходимые рассуждения при измененных обозначениях так же обязательны, как разговор на вновь изучаемом языке.
Хорошо известно, что процент неудовлетворительных оценок по математике велик среди учащихся всех стран. Математика считается трудным предметом. Причина этого лежит, однако, не во врожденной неспособности части детей к математическому познанию. В действительности имеется много иных причин повышенного процента неудовлетворительных оценок по математике.
Большой ущерб обучению наносит отсутствие привычки вникать в смысл вводимых определений, осваивать их на примерах ранее полученных знаний и на самостоятельно решаемых задачах. Нередко учащиеся сводят изучение новых понятий к запоминанию определений, вместо того чтобы при этом улавливать и вложенный в них смысл. В результате наблюдается формализм полученных знаний, который не позволяет двигаться вперед разумно, мешает при решении задач и при последующих объяснениях учителя.
Мешает изучению математики отсутствие привычки внимательно следить за цепочкой логических выводов, критически их осмысливать, замечать отсутствие необходимых для полноты вывода звеньев рассуждения. Несомненно, что существует определенный разброс способностей этого рода и можно указать в каждом классе многочисленные примеры учеников, которые чувствуют себя при проведении логических рассуждений как бы в родной стихии, и учеников, которые быстро утомляются и теряют нить вывода. В этом случае систематическая тренировка на простейших задачах и логических примерах может принести неоценимую пользу.
Часто учащиеся предпочитают заучивать доказательства теорем без того, чтобы усвоить их основную идею, чтобы понять логику их проведения, стремятся запомнить каждый шаг вывода, каждое обозначение, каждое дополнительное построение вместо того, чтобы разобраться, зачем оно делается и в чем состоит связь звеньев рассуждения. Понятно, что при таком подходе ученик взваливает на себя непосильный труд, не развивая при этом умения учиться.
Школа и семья должны действовать совместно в воспитании у подростка привычки и потребности к самостоятельному труду, выполненному хорошо. Следует воспитывать удовлетворение от умственного напряжения, которое принесло видимые плоды. Это задача далеко не частная, она имеет огромное государственное значение.
Приступая к изучению алгебры и геометрии, нельзя назвать учащихся, которые неспособны к восприятию и усвоению школьного курса математики. Другое дело, что одни делают это быстрее и лучше, а другие — медленнее и не столь основательно. Это уже другой вопрос — статистический разброс свойств человека, который постоянно приходится наблюдать и при изучении массовых явлений природы.
Сейчас уместно сказать несколько слов о положении в классе учащихся со способностями выше средних. Здесь опасны обе крайности — как фактическое забвение их существования, так и чрезмерное подчеркивание их талантов. При первом отношении, которое случается нередко, поскольку учитель уделяет все внимание отстающим учащимся, можно легко сначала потерять интерес к предмету, а затем и сами способности. При втором же подходе можно вызвать у ученика чрезмерное самомнение и нарушение психологического равновесия в классе.
Способные учащиеся тоже требуют к себе внимания и повседневных забот. Забот очень ответственных, поскольку на математические способности в век научно-технического прогресса и математизации знаний следует смотреть как на национальный капитал.
Возможности познания школьников с повышенными способностями не используются в классе и наполовину. Нередко им становится в классе скучно, и они начинают отвлекать товарищей от дела, начинают привыкать к мысли, что можно хорошие оценки получать почти автоматически, без систематического упорного труда. По-видимому, для таких учащихся следует разработать индивидуальные планы обучения, использовать систему дополнительных заданий, которые можно давать сразу же после выполнения основной части программы. Эти задания должны быть интересны и содержательны и в то же время составлены так, чтобы способные учащиеся несли моральную ответственность за их выполнение перед классом. Быть может, это будет чтение дополнительной литературы, на основе которой должна быть подготовлена статья в классную математическую газету или доклад для кружка. Понятно, что в такие дополнительные задания следует включать задачи повышенной трудности, доказательства теорем, находящихся в русле программы, но выходящих за пределы предусмотренного минимума.
Методика работы со способными учащимися заслуживает пристального внимания. Здесь есть над чем подумать, и необходимость в этом огромна. Ведь наша задача состоит не только в том, чтобы сохранить природные способности, но и в том, чтобы талантливые учащиеся не приобрели зазнайства, а ясно увидели, что потенциально каждый человек обладает некоторыми способностями и они не представляют в этом отношении исключения.
Нам следует так воспитывать учащихся с повышенными способностями, чтобы они поняли простую мысль: способности накладывают на них повышенные обязанности перед обществом, но не дают права относиться к другим без должного уважения.
Естественно возникает вопрос: что же следует предпринимать, чтобы не было ссылок на недостаток у учащихся математических способностей при изучении школьного курса математики? Что следует делать, чтобы подавляющее большинство школьников успешно усваивали курс математики и овладевали основами математического мышления, так необходимого в современной жизни?
На мой взгляд, основное — это вызвать интерес к предмету, непрерывно его поддерживать и научить учиться. Нужно показывать не только и не столько внутреннюю логическую стройность и завершенность математики, но также ее связи с другими науками, широту ее применений и богатство ее истории. Этому помогут и указания на философскую значимость математики. Школьник должен каждый день получать подкрепление убеждения в том, что математика является не только и не столько предметом для сдачи экзамена и получения диплома, сколько орудием для последующей работы, для разрешения многочисленных задач первостепенной важности. Школьник должен быть убежден, что знание математики необходимо всем — рабочим, инженерам, военным, экономистам, биологам. Несомненно, что интерес школьника к математике должен быть основан не только на широте ее применений, но и на понимании внутреннего логического совершенства и красоты самой математики.
Само собой разумеется, что ни один учебник не может вместить в себя все необходимые для этого сведения. Полноценные и разнообразные методические материалы должны раскрывать современную ценность математики, наглядно показывать примеры технических применений, важность математической строгости. Для этого можно использовать и теорию релейных схем, и задачи поиска неисправностей технических систем, и вопросы контроля качества продукции, и задачи медицинского диагноза. Рассказывая об ученых, полезно указывать, как они подходили к своим проблемам, откуда их черпали и как им удавалось сформулировать окончательный результат.
Необходимости развития инициативы, самостоятельности и чувства личной ответственности у каждого школьника нужны не только при решении задач по математике, но и в последующей жизни, когда сегодняшний школьник начнет работать на производстве, в школе, учреждении. К сожалению, мы нередко сами не развиваем, а гасим самостоятельность учащихся чрезмерной опекой. Иногда случается и так, что учитель отвергает с ходу оригинальное решение, предложенное учеником, только потому, что оно не соответствует структуре учебника, школьному стандарту. А это крайне опасно, поскольку при этом сковывается творческое начало. Другой разговор, если предложенное решение основано на ошибочном рассуждении, нестрого или же чересчур сложно. Но и в этом случае необходимо разобраться и указать, в каких пунктах допущены промахи.
Способности – великий дар природы. Школа должна содействовать его развитию.
§ 6. О математическом творчестве
Прогресс человечества неразрывно связан с творчеством, с созданием нового, с возникновением идей, позволяющих взглянуть на, казалось бы, хорошо известные явления с неожиданных позиций. Теперь в эпоху ускоренного научно-технического прогресса особенно важно добиться того, чтобы как можно большее число молодых людей поверили в свои способности, свои творческие силы и нашли для них достойное применение.
Творчество является исключительно емким и широким понятием.
Творит учитель в классе, когда, излагая предмет, заставляет учащихся забыть о мелочных личных заботах и увлекает идеями своего предмета, показывая важность и грандиозность заложенных в них возможностей, как для развития науки, так и для познания природы, прогресса культуры и практической деятельности.
Творчество необходимо во всех областях деятельности, а не только в науке, проектировании, литературном или художественном труде. Те, кто сейчас учится в школе, через несколько лет вступят в самостоятельную жизнь и станут рабочими, военными, колхозниками, экономистами, врачами или педагогами. На их плечи ляжет обязанность не только поддерживать достижения экономики, науки и культуры, но и способствовать их совершенствованию. Для этих целей понадобится не только умение трудиться и увлеченность делом, но и расцвет талантов и творческих способностей. Но для того чтобы потенциальные творческие таланты пробудить к жизни, необходимо систематически воспитывать учащихся в стремлении поиска лучших путей для выполнения порученного дела, творчески овладевать содержанием курса школьного обучения. Для творчества также нужно пройти своеобразную школу.
Способности человека являются величайшей ценностью, которая принадлежит всему обществу и крайне ему необходима.
Эта простая мысль должна быть близка каждому учащемуся и учителю. Однако чтобы преподаватель мог передать учащимся все разнообразие проявления творческих талантов, он должен знать об этом гораздо больше, чем дает ему лично приобретенный опыт.
Многие крупные мыслители полагают, что некоторые лица обладают специфическими творческими задатками и что успех человека в той или иной сфере деятельности во многом зависит именно от наличия этих задатков.
Следует отметить, что математическая одаренность встречается, не так редко, как это многим кажется. Но эта творческая жилка проявляется у разных лиц по-разному и в различных направлениях.
Одни находят обобщение ранее полученных результатов и тем самым расширяют поле их применимости. Другие умеют найти совсем новые объекты для исследования. Третьи сильны в логическом совершенствовании теории. Четвертые ищут и находят решение глубоких прикладных проблем и открывают пути решения многочисленных вопросов в разнообразных областях знания. Пятые подвергают математические понятия и направления исследования, так сказать, философскому анализу и затем объединяют различные ветви математической мысли воедино.
При решении вопроса о наличии или отсутствии творческого таланта у того или иного лица обязательно следует принимать во внимание многообразие форм математического творчества и не пропустить ни одну из них. Отсутствие какой-нибудь одной из них еще не означает, что данное лицо полностью лишено творческих математических способностей.
Развитие творческих способностей требует длительного воздействия и должно быть предметом внимания педагогического коллектива буквально с первых дней обучения. Воспитанию стремления к творчеству следует уделять пристальное внимание на всех этапах обучения. Каждый предмет школьного курса способен внести свою долю воздействия на творческий облик учащегося. Математика предоставляет для этого исключительные возможности. Действительно, поиск решений нестандартных задач, нестандартных путей решения традиционных задач, размышления над парадоксами, поиск ошибок в рассуждениях, анализ содержания теорем и сути их доказательств, беседы о творческих лабораториях известных ученых — все это составляет важные слагаемые на пути развития способностей и духа творческого горения.
Нередко даже хорошие учащиеся убеждают себя в отсутствии у них творческих способностей, поскольку они не могут так легко и свободно разговаривать о сложных вопросах математики и ее нерешенных задачах, как некоторые другие их одноклассники, для которых, если их послушать и им поверить, все самое сложное очевидно и тривиально. Однако это скороспелое решение, поскольку обнаружить наличие или отсутствие таланта, творческих возможностей можно только в борьбе, в длительном поиске решения сложной задачи, которая способна захватить человека и заставляет его думать о ней все свободное время. Талант — это не только врожденное свойство, но и напряженная повседневная работа.
Для развития таланта и для проявления творческих сил необходима проблема, которая способна увлечь человека и заставить его думать о ней постоянно, испытывать различные подходы к ее решению. Но зачастую потенциально способный человек не имеет увлекательной и действительно важной задачи. Ему неоткуда ее получить, поскольку рядом нет коллектива, способного выдвинуть и развить полезную тематику, способствующую прогрессу науки, производства, культуры. В результате у него нет объективной возможности проявить свои творческие способности. Нередко при этом он принимается за решение проблем, которые не имеют интереса ни для науки, ни для практики.
Поддерживать естественное стремление молодежи к творчеству должны и школа, и семья. Привить интерес к творчеству, творческим поискам необходимо еще в детстве. Иначе будет поздно.
В процессе воспитания творческого начала исключительно велика роль учителя, который способен направить учащихся на путь исканий, вызвать в них страсть поиска. Но без личного увлечения познанием, без наличия педагогического таланта и такта этого добиться, по меньшей мере, затруднительно. Ученик должен иметь образец, пример для подражания, в нем нужно заронить искру, из которой впоследствии возгорится пламя поиска, неудовлетворенности достигнутым. Учитель помогает учащимся войти в атмосферу творчества, в круг идей, дающих большие возможности для самостоятельного поиска и для новых научных находок. Не всегда от учителя требуется, чтобы он сам был ученым, чтобы он имел какие-то открытия, но у него должен быть дух искательства, он должен быть увлечен радостью познания, он должен любить своих учеников и стремиться приобщить их к радости поиска, радости расширения круга познанного. Чтобы учитель умел заронить в ищущую душу своих учеников увлечение математикой, и многие его ученики стали превосходными учеными, получившими значительные результаты в нашей науке.
По-видимому, в какой-то мере каждый человек способен к творчеству. Однако мера творческих способностей для разных людей различна, и для того, чтобы не упустить большие таланты, следует создавать обстановку творческого искания, напряженных интересов в какой-то области знания и деятельности. Направление сознания на поиск лучшего, более совершенного, воспитание неудовлетворенности достигнутым, привычка к систематическому напряженному труду — вот основа для развития творческих способностей.
Для раскрытия творческих способностей очень важно попасть в атмосферу научного поиска; включиться в работу коллектива, увлеченного развитием широкого круга проблем, важных для науки (или для практики); получить самоотверженного руководителя, готового помочь, поправить, но не сделать за тебя; найти в себе силы и увлеченность длительное время размышлять в определенном направлении, имея в виду решение строго ограниченного круга проблем. Без выполнения этих условий нет возможности говорить о воспитании творческих способностей, о развитии у молодежи творческого начала.
Творческие способности, как любые другие, требуют постоянного упражнения, постоянной тренировки. Эта тренировка начинается еще в школе. И каждая самостоятельно решенная задача, каждое самостоятельно преодоленное затруднение в познании формирует характер и обостряет творческие способности. Но без искреннего увлечения проблемой, без внутреннего убеждения, что дальше нельзя существовать без поиска решения, без способности длительно размышлять над одним и тем же предметом и возвращаться к осмысливанию различных возникающих при этом аспектов, творческий успех не придет. Он должен быть подготовлен предшествующей работой.
Каждый, кто сталкивался с математическим творчеством, знает, как часто мучительно и долго разыскиваемое решение приходит в голову как бы внезапно, казалось бы, без видимых усилий, в силу какого-то внутреннего озарения.
6. 1. Развитие творческих способностей через обучение решению текстовых задач
Большие возможности для воспитания мировоззрения представляют текстовые задачи. Не останавливаясь на неоднократно отмечавшемся значении таких задач, как простейшей, но достаточно четкой модели применения математики к изучению действительности, в которой содержится три характерных момента: перевод реальной задачи на математический язык, исследование внутри модели и сопоставление результата с исходной задачей, отметим один важнейший аспект. Текстовые задачи дают возможность привлечь внимание учащихся к тому, что происходит вокруг нас, приучить использовать математические знания для изучения и осмысливания действительности.
Обычно при решении текстовых задач от ее сюжета переходят к модели задачи (алгебраической, аналитической, геометрической). После такого перехода решение задачи заключается в решении модели (рис. 1).
Реализация этой схемы при решении школьных математических задач, как показывает практика, не дает больших возможностей для развития творчества учащихся. Очевидно и то, что кардинально преобразовывать данную схему нерационально: она эффективна для достижения дидактических целей математики, методика ее использования достаточно хорошо представлена в теории и практике школьного математического образования. Поэтому возникает необходимость ее доработки.
Заметим, что решение различного рода технологических задач, возникающих в практической деятельности человека, как раз и способствует развитию творческой составляющей личности. При этом, например, схема решения технических задач имеет на один шаг больше (рис. 2). Не означает ли это, что развитию креативности способствует переход от ситуации к задаче? Нельзя ли подобное применить и на уроках математики? Ответ на первый вопрос очевиден. Постараемся ответить на второй.
Задача отличается от ситуации наличием четкой формулировки, ее условие содержит все необходимые данные в явном виде, метод решения зачастую известен и представляет собой цепочку формальных операций, правильный ответ определен однозначно. Ситуация, в свою очередь, имеет неопределенное условие, предполагает различные подходы к решению, допускает множество верных результатов решений, благодаря чему она ближе к проблемным ситуациям, возникающим в жизни.
Ситуация очень тесно связана с практико-ориентированными задачами. Однако, основная цель практико-ориентированных (прикладных и практических) задач на уроках математики заключается в осуществлении содержательной и методологической связи школьного курса математики с профессиональной составляющей образования, то есть способствуют развитию профессиональных умений, входящих в состав учебной и познавательной деятельности в процессе изучения математики, а не развитию творчества учащегося. Поэтому такие задачи нельзя в полной мере считать ситуациями. Рассмотрим несколько примеров.
Задача 1. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Укажите такие размеры окна, чтобы при данном периметре Р оно пропускало больше света.
Это – практико-ориентированная задача, ее решение заключается во введении функции и применении производной к ее исследованию (задача на максимум). Здесь присутствует четкая формулировка условия задачи, все необходимые данные в явном виде, метод решения представляет собой цепочку вполне стандартных операций. Поэтому это задача, а не ситуация.
Задача 2. Как можно, не переплывая реки, измерить ее ширину.
Это – ситуация. Из условия не совсем ясно, чем можно пользоваться, какая река. Она имеет разные подходы к решению, причем при каждом подходе мы приходим к формулировке новой задачи и реализации новой модели. Приведем лишь два примера.
Первый способ. Используем прибор с тремя булавками на вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис. 3), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный.
Держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок (перпендикулярно к прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой CD, пока не найдете на ней такую точку Е (рис. 4), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а – точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С – прямой, а угол Е равен острому углу булавочного прибора, т.е. половине прямого. Очевидно, и угол А равен половине прямого, т.е. АС = СЕ. Если вы измерите расстояние СЕ, например, шагами, вы узнаете расстояние АС, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.
Второй способ. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА (рис. 5).
На прямой CD отмеряют равные расстояния СЕ и EF произвольной длины и втыкают в точки E и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку H, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н, Е и А лежат на одной прямой. Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки.
При разрешении этой ситуации переходят сначала к задаче (модели задачи), формулировали ее на математическом языке, и только после чего ее решали. В первом способе ставили перед собой задачу: используя известный равнобедренный прямоугольный треугольник измерить длину отрезка АВ. Во втором способе – использовать признаки равенства треугольников для нахождения длины отрезка АВ.
Процесс творчества в математике можно начать с анализа задачи и перехода от нее к формулировке ситуации, которая сама по себе может рождать целый спектр прикладных задач в зависимости от направления предпринятых действий.
Рассмотрим следующие примеры.
Задача 3. Задача древних индусов. Над озером тихим, с полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет боле цветка над водой, нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?
Обозначим (рис. 6) искомую глубину CD озера через x , тогда BD = x + 0,5, CB = 2 и по теореме Пифагора легко найди искомую глубину.
Это задача, у нее четкое формулировка условия, все необходимые данные в явном виде, метод решения представляет собой цепочку формальных операций.
Попробуем превратить данную задачу в ситуацию.
Задача 4. Как можно измерить глубину реки с берега?
Контрольное решение: рассмотрим ресурсы, которыми мы располагаем. Текущая вода, берег, дно, человек. Упростим задачу. Как измерить с берега глубину водоема с неподвижной водой? Например, с берега озера. Тоже непросто, упростим еще. Как измерить глубину неподвижной воды у самого берега. А это равносильно измерению глубины колодца. Надо привязать к камню веревку или леску с поплавками, разнесенными, скажем, на 1 метр и бросить камень в колодец, или применить метод из задачи 3. А как измерить глубину озера с берега? Во-первых, надо чтобы веревка была перпендикулярна поверхности воды. Как это сделать? На веревку с камнем навесим поплавки и бросим камень в нужное место озера, тогда будет видно, сколько поплавков утонуло, а сколько лежит на поверхности. Введем следующее усложнение задачи – течение. Отметим место на берегу реки и перпендикулярно берегу бросим камень с веревкой и с поплавками на середину реки. Течение отнесет веревку с поплавками на расстояние В. Определим число погруженных поплавков K и рассчитаем по теореме Пифагора глубину реки .
В данном примере рассматривается переход от ситуации к формулировке задачи, уточняли ее, рассматривали используемые ресурсы. Однако с дидактических позиций предварительное решение задачи древних индусов помогло при анализе ситуации, что привело к разрешению более «мелких» проблем.
Очевидно, предложенная ситуация может быть разрешена и другими способами, в том числе и нематематическими.
Такие задачи надо давать со ссылкой на источник, а еще лучше непосредственно принести в класс газету, книгу, сводку и т. д. Все это даст возможность развить у учащихся чувство причастности ко всему, что происходит в мире.
§ 7. Личный опыт в гимназии №23 г. Владимира во время прохождения практики
При прохождении педагогической практики в гимназии №23 города Владимира, так как в этой школе проводился год, посвященный П. Л. Чебышеву на одном из уроков я показывала ученикам презентацию на тему «Чебышев П. Л., его биография и открытия». На данном уроке, я пыталась развить у учащихся интерес к истории науки, тем самым сформировать научное мировоззрение.
Презентация, которая использовалась на моем уроке:
1 слайд:
2 слайд:
3 слайд:
4 слайд:
5 слайд:
6 слайд:
7 слайд:
8 слайд:
9 слайд:
10 слайд:
11 слайд:
12 слайд:
13 слайд:
14 слайд:
15 слайд:
16 слайд:
17 слайд:
18 слайд:
Заключение
Для гармоничного и всестороннего развития личности большую роль играет умственное воспитание и формирование научного мировоззрения.
Ускорение социально-экономического развития страны связано, прежде всего, с совершенствованием системы народного образования, которое в свою очередь предполагает повышение эффективности обучения, воспитание сознательных граждан нового общества.
Воспитание образованного человека, гражданина страны, патриота, предполагает, прежде всего, формирование у учащихся научного мировоззрения, основу которого составляет стройная система основ философских взглядов.
Цель данной курсовой работы была достигнута, изучен процесс формирования научного мировоззрения учащихся, с помощью реализации исследовательских задач.
Проанализировав литературные источники и применив полученные знания на практике, мы предлагаем учитывать следующие положения при формировании основных задач школы:
1) добиваться научного понимания закономерности развития природы, общества и сознания людей;
2) вырабатывать у школьников стремление, мотивы и умение поступать в соответствии с научным мировоззрением путем участия в сознательной трудовой и общественной деятельности;
3) научить школьников оценивать явления природы, общественной жизни и деятельности людей с научных позиций.
Формирование мировоззрения возможно за счет:
1) содержания учебных предметов (предметы, связанные с развитием природы, предметы, связанные с закономерностями развития общества);
2) под воздействием методов работы учителя (включение учеников в исследовательскую работу, задания на сравнение, анализ, синтез материала).
Раскрывая закономерности развития природы и общества, следует заботиться о применении знаний на практике, помогать учащимся в выборе сферы труда и профессии в соответствии с призванием личности и общественными потребностями.
Список литературы:
1. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики 10-11 класс. Москва, Просвещение, 1996
2. Воспитание учащихся при обучении математике. Составитель Пичурин Л.Ф., Москва, Просвещение, 1987
3. Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII классы. Москва, Просвещение, 1982
4. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. Москва, Просвещение, 1990
5. Жохов В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах: Методические рекомендации к учебникам Виленкина Н.Я и др.-М.: Русское слово, 1999, С 20.
6. Макарычев Ю. Н. , Миндюк Н. Г. Преподавание алгебры в 6 – 8 классах – М. : Просвещение, 1980, с. 270
7. Глаголева Е. Г. ,Ивашев-Мусатов О. С. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе – М. : Просвещение, 1980, с. 256
8. Тесленко И. Ф. , Формирование диалектико-материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики. Москва, 1979, с.136
9. Кукушкина Е.И., Логунова Е.Б. Мировоззрение, понятие, практика. – М., 1989.
10. Шуртаков К.П. Мировоззрение и методы его формирования. – Казань, 1989.
11. Кожабаев К.Г. О воспитательной направленности обучения математики в школе: Кн. Для учителя. - М.: Просвещение, 1988
12. Альтшуллер, Г. С. Творчество как точная наука. – Петрозаводск: Скандинавия, 2004. – 208 с.
13. Перельман, Я. И. Занимательная геометрия, Я. И. Перельман. – М.: Астрель, 2007. – 350 с.
14. Тучнин, Н. П. Как задать вопрос? О математическом творчестве школьников: кн. для учащихся / Н. П. Тучин. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с.
15. Мясникова Т. История развития понятия отрицательного числа.//Математика в школе №41, 2001, С. 29-32.
38