Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Процесс гибели и рождения
-( λn + µn)
λn-1 λn
Т -граф интенсивности перехода
µn µn+1
µn - интенсивность гибели
λn - интенсивность рождения
Постулаты
Pk(t+∆t) =Pk(t)(1-( λk + µk) ∆t+0(∆t))+Pk-1(t)(λk-1∆t+0(∆t))+Pk+1(t)( µk+1∆t+0(∆t))+∑Pk-i(t) 0(∆t)
Pk(t+∆t) -Pk(t)= -( λk + µk) Pk(t) ∆t+ λk-1∆t Pk-1(t)+ µk+1∆t Pk+1(t)+ ∑Pk-i(t) 0(∆t)
Делим на ∆t и ∆t->0
-( λk + µk) Pk(t) + λk-1 Pk-1(t)+ µk+1 Pk+1(t)+
-( λk + µk) Pk(t) + λk-1 Pk-1(t)+ µk+1 Pk+1(t)- система уравнений Холмогорова
λk =f(k) λk =λk
µk=φ(k) или µk=µk -линейное предположение
После этого =>
-k( λ + µ) Pk(t) + λ(k-1) Pk-1(t)+ µ(k+1)Pk+1(t) это уравнение *zk
-( λ + µ) ∑∞k=0 k*zk Pk(t) + λ∑ (k-1) zk Pk-1(t)+ µ∑ (k+1) zk Pk+1(t)
Мы перешли к P(z,t)=Pk(t)
λS1=λ∑∞k=0 (k-1) zk Pk-1(t)= λ z2 ∑(k-1) zk-2 Pk-1(t)= λ z2 ∑ Pk-1(t)= λ z2 ∑ zk-1 Pk-1(t)= λ z2
= ()
Преобразуем и получаем =() (z-1)=(1-z)()
(1-z)()
Предполагаем, что общее решение это ур-ия P(z,t)=f(,Нужно найти вид функции f(x)
Для этого воспользуемся начальными условиями.
P1(0)=1 i≠1
Pi(0)=0
P(z,0)=z
Находим вид функции (с помощью замены) =>µ-y=z(λ-y)
f(y)= =>f(y)= производим обратную замену
P(z,t)= или P(z,t)= ∑∞k=0 zk Pk (t)
Чтобы найти Pk(t) необходимо найти коэффициент при zk
P(z,t)= = = =(обозначаем через буквы)==A∑∞k=0 (zc)k-zB∑∞k=0 (zC)k
Запишем виде ряда
P0(t)=A= Pk=ACk –BCk-1 –решение системы уравнений
1,
P0(t)=
Этот результат устанавливает тот факт, что процесс затухает, если интенсивность гибели больше чем интенсивность рождения
P0(t)-это вероятность того,что к моменту t, процесс выродится
Cтационарное распределение вероятности гибели и рождения
Для нахождения стац. Распределения в левой части системы уравнений Холмогорова=0
-λ0П0+µ1П1=0 (1)
-(λ i + µi)Пi+λ i-1 Пi-1+ µi+1Пi+1 =0
П1=П0 П2=П0
-(λ 1 + µ1)П1+λ 0 П0+ µ2П2=0 (3)
Складываем (1) и (3)=> - λ 1 П1+ µ2П2 =0 очевидно Пi=П0
Найдем П0, воспользовавшись условиям нормировки
∑∞i=0 Пi=1= П0+∑∞i=1 Пi= П0+(∑∞i=1 П0 =1=> П0=
0 ≤П0 ≤1, при условии <∞, тогда ряд будет сходится
Теорема: для существования распределения вероятности процесса гибели и рождения необходимо и достаточно сходимость ряда ∑∞i=1 <∞