Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
1.Принц. движ.. Принц. относит.. Законы сохр. Консерв. sys. 1.1. Принц. движ.: Р-м мех sys под ней мы поним. совокупность МТ.. Положен. МТ опис. радиус вектор. r(x,y,z); x(t),y(t),z(t). Для опис. пов. мех. sys дост. знать r, скорость v(t)=dr/dt и ускор. a=dv/dt=(d^2)r/d(t^2). Каждое матер. тело явл. незав. и можно ввести СО связ. с телом, в кот. отсутств. силы т.е. v(t)=const. v(t)-скор. sys. Инерциальные системы координат - это системы координат, которые либо покоятся, либо движутся с постоянной скоростью Зак. мех.: 1) 1 Закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых тела движутся равномерно и прямолинейно. Такие системы отсчета - инерциальные. 2) II з. Ньютона F=dp/dt , , p=mv, m – может быть не const. Для выдел. решен. Ур-ния 2-го порядка необх. нач. услов.:
3) III з. Ньютона равнодейств. всех сил замкнутой sys равна 0. 1.2. Принц. относит.: Расм. 2-е ИСО, пусть одна покоится, а др. движ. относит 1-й со скор V r=r'+Vt; v=v+V; a=a'; Связь r, v и a 2-х ИСО S и S'. Время в классич. мех. не зав. от выбора СО t=t'. Скорость света в вакууме величина постоян. Импульс частицы const если на нее не действ. сила.; ; p=const; если F=0 dp/dt=0 В некот sys может сохр. одна ил две компоненты импульса: Пусть откуда следует что 2) зак. сохр. мом. импульса
Момент имп. сохр. если мом. сил равен 0. Если вып. з. сохр. имп вып. зак. сохр. мом. имп. Когда выпи З. сохр. мом. имп. : 1)F=0 2)F||r Пример центральное поле: Пусть и наоборот 3) З-н охр. энергии. Р-м. элементарную работу сов. полем по перемещ. частицы: Изменение кинетич. энергии Потенциальные поля: Сила только функция r + не вихревое. Такие силы наз. консервативными. пусть сила консервативная (потенц.), тогда U – какой-то потенциал. Для вихревых полей ввод. вект. потенц. т.е. сила зав. только от r U – потенц. зав. только от r.
T+U=E=const для изол. sys и консерв. сил. Е – полн. энергия част. Запишем и умнож. скалярн. на перепишем откуда |
2. Одномерные консервативные системы. Интегрирование их уравнений движения. Вычисление периода финитного движения. Найти закон движения м.т. при U(x) – некий потенциал; X(t) – закон движения м.т массой m при начальных условиях. X(0)=X0; Исходя из закона сохранения энергии: E0=const в любой момент времени Т.о. решаем ОДУ, находим решение: Решаем как ОДУ с разделяющимися переменными и интегрируем: - это основная формула решения. Взяв интеграл, получим: t=f(x,E0,x0). Решением является обратная функция: X=f –1(t,x0,E0) = x(t) Условие E0>U(x) – определяет область движения. Все точки, координаты которых удовлетворяют E0=U(x) – точки остановки (поворота) (V в точке = 0) Если при данном E0 область ограничена 2-мя такими точками, то это значит, что движение - финитное. Если область не ограничена или ограничена с одной стороны, то движение - инфинитное. Можно построить фазовый портрет – зависимость между x и . Движение вблизи точек остановок. Решая E0=U(x), находим точки. x=a. Интегралы тяжелые, значит надо определить качественно. Разложим U(x) в ряд Тейлора: (1) |
Рассмотрим частный случай: a) Пусть в окрестности (а) U’(a)≠0 => Воспользуемся формулой поиска решений: Используем начальные условия: x0 = x(0) => x0 = a + c => c = x0 – a имеем Справедливо для постоянных потенциальных полей. б) U’(a)=0. U’’(a) ≠0;
|
3. Свидение задачи двух тел. Задачи движения тела с приведенной массой во внешнем поле. Рассмотрим 2 матер точки, m1, m2 которые взаимодействуют между собой: F1-2= - F2-1 Рассмотрим систему отсчета. В общем случае - взаимодействие потенциально, значит можно ввести потенциальную энергию: Силы, которые обеспечивают такой потенциал, являются консервативными. Это значит, что в такой системе выполняется закон сохранения механической энергии: Положение центра масс удобно совместить с началом координат . По определению: тогда: Перепишем закон сохранения энергии: Введем приведенную массу μ = m1m2 / (m1+m2) Тогда: Силы будут центральными (направлены по радиусу). В силу (4) , продифференцируем по t , запишем: Получаем систему уравнений: Можно найти положение каждого из тел используя начальные соотношения. Выполняется также закон сохранения импульса: |
4. Общее решение задачи движения в центральном поле. Эффективный потенциал. В любом центральном поле выполняются: 1 - закон сохранения энергии: 2-закон сохранения момента импульса: Причем L будет сохраняться не только по абсолютной величине, но и по направлению. Это значит , что движение происходит в одной плоскости нужны только две координаты. В плоскости вводим полярную систему координат Запишем закон сохранения энергий: Закон сохранения импульса: Lz – перпендикулярна плоскости движения, она сохраняется E0>Uэф 1) инфинитное для r1 2) финитное (r3, r2) Это точки ПОВОРОТА, но не точки остановки. |
|
5.Вывод дифференциального уравнения траектории частицы в центральном поле. t=f(r), φ=F(v) Задача: найти дифференциальное уравнение в центральном поле для φ и r: По определению: . Закон сохранения импульса: Введем новую переменную: Сравним (1) и (2), домножим на массу: . С учетом закона сохранения энергии в центральном поле и уравнения движения, имеем: Переходим к новым переменным: . Отступление: , тогда: частное решение правой части. |
6. Типы и параметры траектории частицы движущейся в Кулоновском поле. Наиболее важным случаем центрального поля является поле в котором потенциальная энергия U(r)~1/r . Такими полями являются гравитационное (U=-Gm1m2 /r) и электростатическое (U=-e1e2 /r) взаимодействия. Рассмотрим движение в кулоновском поле тяготения: , > 0. Уравнение траектории в таком поле есть: . И имеет простое решение: . В этом уравнении пренебрегаем Bsinφ, благодаря предположению r(φ=0)=rmin . Результат может быть переписан в следующем виде: , где , . Уравнение траектории в кулоновском поле совпадает с уравнением кривой второго порядка в полярной координатной системе. Определим это соотношение: . Т.к. r=0 в точке rmin , тогда: , откуда: В случае Е=Е1 <0 величина е<1, и траектория будет эллипсом. Его большая полуось: зависит только от |E|, а его малая полуось: зависит от |Е| и от L. В случае, когда Е=Е2 =0 величина е=1, и траектория будет параболой. В другом пределе эллипса величина e>1 траектория будет гиперболой, большая полуось будет: . Единственная ограниченная траектория в кулоновском поле тяготения оказывается замкнутая, частоты колебаний по x и по y совпадают. Дополнительный вектор интеграла движения в кулоновском поле: . |
Рассмотрим движение в поле, где: . Уравнение траектории: . Решение: . Следовательно, для одного колебания вдоль радиальной координаты азимут направления r=rmin представляется в виде: Траектория может быть замкнутой, если величина - рациональное число. |
7. Абсол-о упругие столкн-я частиц. Р/м столк-ния на примере 2х тел. Эти тела хар-ся скор-тями: Выбираем СО так, чтобы задачу можно было разрешить: в замкн. сис-ме её имп-с не изменяется. Т.е. при переходе в СО, связанную с ц-ром масс нашей сис-мы, мы упрощаем задачу: - скорости тел в СО, связ-ой с ц-ром масс. Введём понятие относит. скор-ти движ-я частиц: Исполь-ем з-н сохр-я Е-ии (для абс-но упруг. соудар-ий): В сис-ме ц-ра масс модули скор-тей тела до и после взаимод-я равны, но направл-ы по-разному. |
8. Рассеяние частиц в центральном поле. Эффективное сечение рассеяния и сечение падения. Рассмотрим задачу об отклонении одной частицы массы m в центральном поле U(r). Траектория частицы симметрична по отношению к прямой.проведенной в ближайшую к центру точку орбиты: - угол рассеяния, следовательно, это для отталкивающего поля. Запишем выражение для 0:«+» и «-» соответствуют притяжению и отталкиванию. rmin – является корнем выражения стоящего под знаком радикала. Любое отклонение от прямолинейного движения будем называть рассеянием. Введём два параметра: V - скорость на бесконечности (без поля); - прицельное расстояние ( минимальное расстояние от центра поля до траектории движения частицы в отсутствии поля, т.е. на бесконечности).
L перпендикулярна плоскости движения, тогда: Т.е. для заданного поля U(r) мы находим: 0=0(,V), затем из ф-лы (1) мы находим: =(), а можно и (). Для одиночной частицы задача рассеяния решена, но на практике имеется поток частиц. Поток характеризуется плотностью потока, n – это число частиц, проходящих за ед. времени, через ед. площадку: ; ( , + d ) ( , + d ); Количество частиц рассеиваемые на углы в интервале (,+d) обозначим через dN. Тогда: [d]=см2.- это есть дифференциальное сечение рассеяния. Приведём (2) к более удобному виду: dN=n*dS; dS=(d)2; dN=n(d)2; dN=2nd=2n()(d/d)d; подставим в (2): ; это есть рабочая формула. Полное сечение рассеяния – это интеграл от (3).
рассеяния. Сеч-е пад-я. Движ-е в поле отталк-я:
χ – угол расс-я; ρ – прицельн. пар-р, ρ>=0 Рассмотрим движ-е в поле притяж-я: |
|
χ=|π-2φ0|; ρ/r=Sinα; Обр. преобр-е может дать: ρ=ρ(φ0); ρ=ρ(χ). Введем понятие дифф. сеч-я расс-я (или эфф. сеч-е расс-я): ; [dσ]=м2; dN – число частиц, рассеиваемых в ед-цу времени на углы [χ;χ+dχ]; [dN]=1/c. n – кол-во ч-ц, пролет-их в ед-цу времени ч/з ед-цу площади пучка. [n]=1/(c м2). рассеяния. Сеч-е пад-я. Движ-е в поле отталк-я:
χ – угол расс-я; ρ – прицельн. пар-р, ρ>=0 Рассмотрим движ-е в поле притяж-я: |
χ=|π-2φ0|; ρ/r=Sinα; Обр. преобр-е может дать: ρ=ρ(φ0); ρ=ρ(χ). Введем понятие дифф. сеч-я расс-я (или эфф. сеч-е расс-я): ; [dσ]=м2; dN – число частиц, рассеиваемых в ед-цу времени на углы [χ;χ+dχ]; [dN]=1/c. n – кол-во ч-ц, пролет-их в ед-цу времени ч/з ед-цу площади пучка. [n]=1/(c м2). σ – полное сеч-е расс-я.
σ – полное сеч-е расс-я. |
9. Рассеивание частиц в Кулоновском поле. Получим дифференциальное сечение рассеяния для кулоновского потенциала. Траектория движения в кулоновском поле: ось x направлена по rmin, 0 = 0. Устремим r, получим выражение для 0: cos 0 =1/e для учета и притяжения и отталкивания возведем в квадрат: ; зная что: ; подставим сюда выражения для кинетической энергии и момента: ,получим: =|после сокращения |=;(2). Подставим (2)(1):; ; С помощью формулы, выражающей угол рассеяния: ; перейдем от 0 к : ; Найдём ; ; Это формула Резерфорда. Теперь если взять интеграл в пределах от нуля до , мы сможем найти полное сечение рассеяния. |
10. Вывод уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. Движение материальной точки описывается радиус вектором r: r (t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t)ez . Скорость v = dr/dt Наша задача решить эти уравнения. Если система состоит из N тел, то нужно N векторов, 3N координат. Число независимых координат, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом степеней свободы 3N = S. Система N тел будет описываться: - обобщенные координаты, - обобщенные скорости. Функциональная зависимость между обобщенными координатами, скоростью и ускорением называется уравнением движения. Наиболее общая формулировка закона движения систем дается так называемым принципом наименьшего действия, согласно которому каждая механическая система характеризуется определенной функцией: Пусть в моменты t1 и t2 система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами координат q1 и q2. Тогда между этими положениями система движется так чтобы L - называется функцией Лагранжа, интеграл S – движением. Аддитивность: Пусть система состоит из 2-х частей, А и В, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа функции LА и LВ. Тогда в пределе при разведении частей далеко, чтобы они не взаимодействовали, функция Лагранжа всей системы стремится к пределу: lim L= LА + LB. Принцип Галилея выражает связь между 2-мя системами отсчета, пусть одна не подвижна XYZ, а 2-я движется с постоянной скоростью v0. Тогда: r = r / + r0 , v = v / + v0 , при t = t / - Это формулы преобразования Галилея. |
11. Свойства лагранжиана и законы сохранения. При движении механической системы 2s величин qi и qi* (i=1…s) меняются со временем. Однако существуют функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие от начальных условий. Эти функции называются интегралами движения. Они связаны с основными свойствами пространства и временем - их однородностью и изотропией. Закон сохранения энергии, возник в связи с однородностью времени. В силу этого Лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Полная производная функции Лагранжа может быть представлена: является постоянной! Это энергия системы. Другой закон возникает в связи с однородностью пространства, т.е. механическими свойствами замкнутой системы не меняются при любом ||-ном переносе. Рассмотрим -малый перенос на z и потребуем чтобы функция Лагранжа осталась неизменной. Т.о. радиус-векторы всех точек : ra => ra + z . Изменение функции Лагранжа в результате -мал изменения координаты: L=a (L /ra)ra= z a L /ra , где сумма - по всем материальным точкам системы. Т.к. z – произвольно, требование L=0, равносильно : a L /ra = 0. В силу уравнений Лагранжа получим: Т.о. приходим к выводу, что величина P = a L /va = const и называется импульсом. pa= mava – аддитивность вероятна. p i =L /q*i – обобщенный импульс. Fi = L /qi – обобщенная сила. Уравнение Лагранжа имеет вид: p*i = Fi . Связь с изотропией пространства означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. Рассмотрим -мал поворот системы и потребуем чтобы функция Лагранжа не изменилась. Введем вектор -малого поворота, абсолютная величина которого равна углу ф поворота, а направление совпадает с осью поворота (правый винт). Найдем приращение радиус-вектора мат. точки. | r |= r sinθ r = [ , r ] (cм рис). Приращение скорости относительно неподвижной системы координат: v=[, v] Подставив эти выражения в условие неизменяемости формулы Лагранжа: Ввиду произвольности следует : (d/dt) a[rapa]=0 Т.е. при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина M=a[rapa], которая называется моментом импульса. |
|
12. Механическое подобие и теорема Вириала. Допустим для ф/ии выполн след равенство: U(αГ1_...αГn_)=α^k*U(Г1_...Гn_) (1). α=const , k-степень однородности ф/ии U. Если вяполн (1), то коорд часто можно домнож на одну и ту же const: ra_→ αra_, t→βt, va_→α/β*va_, T→(α/β)^2*T, U→α^k*U. α^2/β^2=α^k; β=α^(1-k/2). (2) Если α и β связ соотнош (2), то ф/я Лагранжа измен след образом: L→α^kL=α^k(T-U). Это преобр означ что все траектор частиц в системе остаются механич подобными и различ только лин размерами. Т.о. приходим к заключению, что если пот энергия системы явл однородн ф/ей k-ой степени от декрт коорд, то ур движения допускает геометр подобн траектор, причем все времена движ относятся как: t’/t=(l’/l)^(1-k/2) - (3), где l’/l – отношен длин двух траекторий. Тогда: v’/v=( l’/l)^k/2; E’/E=( l’/l)^k; M’/M=( l’/l)^(1+k/2) - (4). Теорема: Если движ сист, пот энергия которых явл однородн ф/ей коорд, происход в огранич обл пр-ва, то существует соотн м/у средними по времени значениями кинетич и пот энергии. Это соотн наз вириальной торемой. Доказ-во. Т.к. T~v^2, то по теореме Эйлера об однор ф/ях: ∑∂T/∂va_*va_=2T. Pa_ = ∂T/∂va_; 2T = ∑Pa_*va_ = ∑Pa_*dra_/dt = d/dt(∑Pa_*ra_)-∑ra_*Pa’_ (5). Пусть: f_= lim(τ→∞)1/τ∫(0,τ)f(t)dt. 2T_=lim(τ→∞)1/τ∫(0,τ)dF/dt*dt - lim (τ→∞)1/τ∫(0,τ)∑ra_pa’_dt = lim(τ→∞)1/τ∫(0,τ)∑ra_(-∂U/∂ra_)dt следоват: 2T_= ra_(-∂U/∂ra_) (6) – вириал системы. Отсюда имеем для однор ф/ии U: 2T_=kU_(7). ∂U’_/∂ra_ = k*U/ra_ теорема доказана. T_+U_=E_=E T_=k/k+2*E; U_=2/2+k*E (8). При k=-1 U_=2*E; T_=-E. |
13. Угловая скорость т.т. В механике твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое. Переход от формул, содержащих суммирование по дискретным точкам, к формулам для сплошного тела осуществляется просто заменой масс частиц на массу рdV, заключенную в элементе объема dV (р — плотность массы), и интегрированием по всему объему тела.Для описания движения твердого тела введем две системы координат: «неподвижную», т.е. инерциальную систему ХУZ и движущуюся систему координат х1 = х, x2 = у, x3 = z, которая предполагается жестко связанной с твердым телом и участвующей во всех его движениях. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела. Пусть радиус-вектор R указывает положение начала О движущейся системы. Всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы. Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть бесконечно малый параллельный перенос тела, вторая— бесконечно малый поворот вокруг центра инерции. Обозначим радиус-вектор произвольной точки Р твердого тела в подвижной системе координат через r, а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе — через . Тогда бесконечно малое смещение d точки Р складывается из перемещения dR вместе с центром инерции и перемещения [dφr] относительно последнего при повороте на бесконечно малый угол dφ Разделив это равенство на время dt, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, и введя скорости (31.1) получим соотношение между ними (31.2) Вектор V есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют также скоростью его поступательного движения; вектор Ω — угловая скорость вращения твердого тела; его направление совпадает с направлением оси вращения. Таким образом, скорость v любой точки тела (относительно неподвижной системы координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения. Следует подчеркнуть, что при выводе формулы (31.2) специфические свойства начала координат как центра инерции тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбора выяснятся лишь позже при вычислении энергии движущегося тела.Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом система координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, а в некоторой точке О’ на расстоянии а от точки О. Скорость перемещения начала О’ этой системы обозначим через V’, а угловую скорость ее вращения — через Ω’. Р/м снова какую-либо точку Р твердого тела и обозначим ее радиус-вектор относительно начала О’ через r’. Тогда r =r’ + а и подстановка в (31.2) дает С другой стороны, по определению V’ и Ω’ , должно быть v = V’ + [Ω’r`].Поэтому мы приходим к выводу, что (31.3) Второе из этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой в каждый данный момент времени вращается жестко связанная с телом система координат, оказывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью Ω. Это обстоятельство и дает нам право называть Ω угловой скоростью вращения твердого тела как такового. Скорость же поступательного движения такого «абсолютного» характера отнюдь не имеет.Из первой формулы (31.3) видно, что если V и Ω (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то они (т.е. V’ и Ω’) взаимно перпендикулярны и при определении по отношению к любому другому началу О’. Из формулы (31.2) видно, что в этом случае скорости v всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к Ω . При этом всегда можно вы брать такое начало 0’, скорость V’ которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через О’. Эту ось называют мгновенной осью вращения тела. |
. Лагранжиан и уравнение движения частицы в НСО. Рассмотрим три системы отсчета. Первая (S0) – инерциальная, вторая (S’) – двигается относительно S0 со скоростью V(t), а третья (S) вращается вокруг S’ с угловой скоростью (t). Начала отсчета S и S’ координатных систем совпадают. S’ m S0 r’ r0 R(t) Лагранжиан частицы в системе S0: . Когда мы переходим в систему S’, частица в этой системе имеет координаты: r’=r0 –R(t) и скорость v’=v0 –V(t), где V(t)=R(t). Тогда: , где слагаемым можно пренебречь, т.к. оно не зависит от скорости и координат частицы. Слагаемое mv’V(t) может быть записано так: , где делает вклад в Лагранжиан: . Вычислим вклад такого выражения в уравнение движения: Этот результат показывает, что Лагранжиан может быть записан как: (*). Так как начала отсчетов S и S’ совпадают, тогда r=r’. Частица неподвижная в S’ системе изменяет свои координаты за время dt в системе S. Изменение описывается соотношением: dr=-[d r], в системе S’: dr=dr’-[d r], где d=dt , и следовательно: V’=V+[r]. Подставляя этот результат в уравнение (*), получим: Если теперь подставить этот Лагранжиан в уравнение: , получим уравнение, определяющее движение частицы в любой неинерциальной СО S: . - центробежная сила, - сила инерции, обусловленная тем, что вращение системы S не равномерное, - Кариолисова сила. - инерциальная сила, возникающая в неинерциальной системе отсчета S. В системе S уравнение движения упрощается: . Энергия частицы в системе S: , где - центробежный вклад в потенциальную энергию. |
14. Тензор инерции и кинетическая энергия т.т. Движение твердого тела. Т.т. рассматривается как система материальных точек, расстояние между которыми фиксированное. Если это набор жесткосвязанных частиц, то M= m. M=V dV – плотность по объему. Для описания движения т.т. сведем 2 системы координат (неподвижную и подвижную). Для точки вводят радиус-вектор . Рассмотрим -мал перемещение т.т. (da), которое осуществляется следующим образом: параллель, перенос и поворот. Ввод по определению: V=dR/dt (2) (лин V испарение масс). =da/dt (3)- мгновенная скорость. =d/dt (4)- угловая скорость. С учетом их имеем: =V+[r] (5). Тензор инерции. =- кинетическая энергия центра масс. Вспомнив векторный анализ можно показать ,что 2 слагаемых приводятся к виду: [V]mr=0. Последнее слагаемое: m/2 (2r2-(r)2). и Еk принимает вид: =V2M/2 + m/2(2rk2-(r)2). 2-е слагаемое это ТROT.(вращательное). Разбив Еk на две части, т.к. =(1, 2, 3) , r=(x1, x2, x3). ik- символ прокеккера ik=[1, n=k ; 0 ,nk] Тогда имеем: Trot=m/2{(21+22+23)*(x12+…+x33) - - [( 1x1)2+( 2x2)2+( 3x3)2]}= =m/2{ i i2ixi2 - iixi kkxk}=> Trot=1/2 i k m[ik xk2 - xixk]= 1/2 i k Iik где по - -ние (дискретная модель т.т.) / Смысл: {I11=m(y2+z2) | I12=-m(xy) | I13=-mxz} Iik= {I12=I21 | I22=m(x2+z2) | I23=-myz} {I31=I13 | I32=I23 | I33=m(x2+y2)} - так выглядит тензор 2 ранга, можно преобразовать к диагональному виду путём выбора направления осей x,y,z. Эти направления называются главными осями инерции, а соответствующие значения называются главными моментами. Поэтому в главных осях Trot имеет вид: Trot=1/2(xIxx+yIyy+zIzz). Функция Лагранжа: L=T-U. Свойства тензора инерции: 1) Т.И. –аддитивная. 2) Симметричен(очевидно из определения) Iik=Iki; 3) Сумма тензоров относительно 2-х осей: I1+I2I3. Классификация: 1) Симметричный волчок: I1=I2I, 2) I1=I2=I3 –шаровый волчек. |
15. Момент импульса т.т. Регулярная процессия волчка. Величина момента импульса системы зависит от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т.е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом. Согласно формуле M=M`+[RP] при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным моментом», связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции в определении надо заменить v на [Ωr]: или в тензорных обозначениях: Наконец, учитывая определение для тензора инерции, получаем окончательно: (33.1) Если оси x1, x2, x3 направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает: (33.2) В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто: (33.3) т.е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление. В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором Ω, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и Ω имеют одинаковое направление. Р\м свободное движение твердого тела, не подверженного действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вращения тела.Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М= соnst приводит просто к Ω = соnst Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной оси.Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = I Ω, при чем вектор Ω перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плоскости.Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка.Воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции x1, x2 (перпендикулярных к оси симметрии волчка x3) выберем ось x2 перпендикулярной к плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным положением оси x3. Тогда М2 = 0, а из формул (33.2) видно, что и Ω=0. Это значит, что направления М, Ω и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 46). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости v = [Ωr] всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см.ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг собственной оси. Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М и угол наклона θ оси волчка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Ω3 вектора Ω на эту ось: (33.4) Для определения же скорости прецессии Ωпр надо разложить вектор Ω по правилу параллелограмма на составляющие вдоль x3 и вдоль М. Из них первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии. Из построения на рис. 46 ясно, что ,а поскольку то получаем (33.5) |
|
16. Уравнение движения т.т. 1) Уравнения должны быть для всех частичек, из которых состоит ТТ. Запишем: 3 закон Ньютона: p*=f; Р=p= MV. f=F(сторонние силы) MV* = F , dp/dt=F. Если сила потенциальная, то силы определяются grad-ом: F= - U/R ; L=Tпост + Тrot - U 2 уравнение(момент импульса): М=[rp], М*=d/dt[rp] = [dr/dt p]+ +[r dp/dt]=[rf]; dM/dt=K. Перейдем к функции Лагранжа, для этого осуществим перенос начала координат на некоторую величину (а), это означает, что для частицы: r=r’+a; K=[(r’+a)f]=([r’f]+[af])=k’+[af] (где f=F-сторонние). Величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если сила F=0. Это означает, что если из функции Лагранжа выделить rot, покажем: 1) L/i =Iikk=Mi; 2) если осуществляется поворот на -мал угол, то изменение потенциальной энергии U= -fr= -f[*r]= = -К; L/k = - U/ (2)-е уравнениение! Пример: (2-ой мат. маятник) 1) Запишем координаты центра каждого тела: y1 ц.с.=L/2 cos 1 ; x1 ц.с.=L/2 sin 1 ; x2 ц.с.=2x1y1+ L/2 sin 2; y2 ц.с.=2y1+L/2 cos 2 T1=m/2 (x`1ц+y`1ц)+1/2*I*1(где 1-угловая скорость 25. Термодинамические соотношения и их следствия. Ур-е на энтропию. Изэнтропическое движение среды Система ур-ий гидродинамики(11),(12),(17): ∂/∂t+div(u)=0 (11) ∂(u)/∂t+u∇((u)+ (udiv(u)=-∇p+(f (12). ∂/∂t+u∇+(p/)div(u)=0 (17) сост. из пяти[5] скаляр. ур-ий. Ф-ций, подлежащих определению – шесть[6] (u,p,r). Чтобы найти недостающее ур-е заметим, что однородные по сост. и состоящие из нейтрал. частиц сплошные среды (ж-ть, газ) явл. двухпараметр. термодинам. системами(ТД). Это означает, что состояние сист. полностью определяется двумя ТД параметрами. Среди искомых ТД ф-ций (p,r,e), т.е. недостающее ур-е запишем в виде: e=e(p,r) (23) Для ид. газа (23) имеет вид: e(=p/[(g-1)r] (24) где g - показатель адиабаты. С учетом (24) ур-е (17) может быть переписано : ∂p/∂t+(u∇)p+pgdiv(u)=0 (25) Согласно I з-ну ТД: TdS=de-(p/r)dr (26) S – энтропия на ед. массы. Восп. (17) с учетом (26) и перепишем dS/dt=∂S/∂t+u∇S=0 (27) Соотношение (27) утверждает, что энтропия жидкой частицы не изм. при её движении. Если в какой-либо момент вр. во всем V, занимаемом движущейся ж-тью, то и в любой последующий мом. вр. во всей ж-ти будет вып. то же соотношение такое движение наз. изэнтропическим. Для ТД потенциала энтальпия w=e+p/r из соотн (26) можно получить: dw=TdS+dp/r (28) |
18. . Ф-ия Гамильтона. Ур-я Гамильтона. Скобки Пуассона. Уравнение Гамильтона-Якоби. |
20Уравнение Гамильтона-Якоби. Было введено понятие действия как ф-ии от координат и времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции S{q,t} связана с ф-ей Г. соотношением ,а ее частные производные по координатам совпадают с импульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы p в ф-ии Г. производными , мы получим уравнение (1),которому должна удовлетворять функция S(q,t). Это уравнение в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона -Якоби. Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравнениями уравнение Гамильтона - Якоби также является основой нек-го общего метода интегрирования уравнений движ-я. В механических применениях основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона- Якоби, а так называемый полный интеграл; так наз-ся реш-е дифф-ого ур-ия в частных производных, сод-щее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных. В ур-ии Г.-Я. независимыми переменными яв-ся время и координаты. Поэтому для системы с s степенями свободы полный интеграл этого ур-ия должен сод-ть s + 1 произвольных постоянных. При этом, поскольку ф-ия S входит в ур-е только через свои производные, то одна из произвольных постоянных сод-ся в полном интеграле аддитивным образом, т. е. полный интеграл уравнения Г. – Я. имеет вид (2), где и A—произвольные постоянные. Связь между полным интегралом ур-я Г. – Я. и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преоб-ие от величин q, р к новым переменным, причем функцию f(t,q,α) выберем в качестве производящей функции, а величины — в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим посредством . Т.к. производящая ф-ия зав-ит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться фор-ми: Но поскольку ф-ия f удовлетворяет ур-ию Г.- Я., то новая функция Г. обращается тождественно в нуль: Поэтому канонические ур-ия для новых переменных имеют вид αi == 0, βi = 0, откуда следует, что αi= const, βi= const. (3) С другой стороны, s уравнений дают возможность выразить s координат q через время и 2s постоянных α и β. Тем самым мы найдем общий интеграл ур-ий движ-я. Т.о., реш-е задачи о движ-и мех-ой сис-мы методом Г.- Я. сводится к следующим операциям. По ф-ии Г. сост-ся ур-ие Г.- Я. и нах-ся полный интеграл (2) этого ур-я. Дифференцируя его по произвольным постоянным α и приравнивая новым постоянным β, получаем сис-му s алгебраических уравнений (4)решая кот-ю, найдем координаты q как функции времени и 2s произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по ур-ям .Если мы имеем неполный интеграл ур-ия Г.- Я., зависящий от меньшего чем s числа произвольных постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий интеграл ур-ий движ-ия, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, сод-ая одну произвольную постоянную α, то соотношение дает одно уравнение, связывающее q₁,…..qs и t. Ур-ие Г. – Я. принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция H не зависит от времени явно, т. е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому — Et: (5) и подстановкой в (1) получаем для укороченного действия ур-ие Г. – Я. в виде (6) 28. Уравнение Бернулли. Постоянная Бернулли. Потенциальное движение. Рассмотрим стационарное Ур-е . В этом случае имеем ур-е: Проецируя уравнение на линию тока жидкости: Линия тока - это кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости. - интеграл Бернулли. Где Be – постоянная Бернулли. |
22. Понятие сплошной среды. Приближения модели сплошной среды. Движение небольшого числа частиц, взаимодействующих м\у собой, можно описать методами классической механики. В случае, когда число частиц велико, то более информативными оказываются другие методы. Основой одного из них явл. Модель сплошной среды. Пусть - характерный промежуток времени м\у столк. частиц, l – длина св. пробега м\у столк., Т – временной масштаб з-чи, L – пространственный масштаб. Модель сплошной среды исп. Для тех систем, в которых L>>l, T>> - условия применимости модели. Назовем физ. малым объёмом такой об. V, размеры которого удовл. усл. L>>>>l, V1/3 . ] Суммарн. масса m и импульс частиц p, закл. внутри V. Сред. объёмная плотность <> и скорость об.V <u> : <>=m/V (1); <u>=p/m (2) . Введем хар-ку полной энергии: E=<>V(<u>2/2+<>) (3), где <>-внутр. эн., приходящаяся на ед-цу массы – это энергия закл. во внутримолекулярных движениях, хаотич. движ. молекул и их взаимодействии. При стягивании V к точке размером >l , <>, <u>, <> имеют конечные пределы: (r,t); u(r,t); (r,t); Перепишем (1),(2),(3) в виде: m=V(t)dV (4); p=V(t)udV (5) ; E=V(t) (<u>2/2+<>) dV (6) 23. Интегральные з-ны сохранения. Дифференцирование - ла по объёму Рассм. динамику достаточно больших V>>l3. Можем пренебречь процессами обмена молекулами м\у ними в тонких, толщины l, пограничных слоях, разделяющих внутр. области этих объёмов. Будем называть такой объём V(t) деформирующимся в процессе движения, произв. образом, жидкой частицы. Сформулир. для жидкой частицы - льные з-ны сохр: а) З-н сохранения масс. Полная производная по времени + {(4) m=V(t)dV}: (d/dt) V(t)dV=0 (7), т.е. масса при движении частицы не меняется б) Импульс жид. частицы измен. под возд. поверхностных сил изотропного давления р и объёмных сил: (d/dt) V(t)udV=-∮((t)pnd(+(V(t)pfdV (8) , где (t)-поверхность, изменяющая форму; n-внешняя нормаль; f-плотность объёмных сил; р - изотропное давление. Ур-е (8) получ. из ур-я Остр-Гаусса. в) Изменение энергии жидкой частицы равно работе, рассм. выше сил. Из {(6) E=V(t) (<u>2/2+<>) dV}: (d/dt) V(t)(<u>2/2+<>)dV= -∮((t)p(nu)d(+V(t)(fu)dV (9) При выводе (7)-(9) не учитывались диссипативные процессы, поэтому (7)-(9) – ур-я движения ид. ж-ти в -льной форме. 26. Потоки физ.величин Проинтегрируем ур-я непрерывности{∂/∂t+div(u)=0} по фиксир. в пр-ве объёму V0, ограниченному пов-тью 0. После интегрирования: ∂/∂tV0dV=-∮0und (18) Т.к. плотность то левая часть (18) предст собой изменение массы в объеме V0 в ед. вр. Поэтому правая часть (18) – кол-во в-ва (ж-ти) протек. ч\з границу 0 объема V0 в ед. вр. Тем самым вектор является вектором плотности потока массы, протек. в ед. вр. ч\з ед. площадку, ориентированную ортогонально к направлению скорости. Аналогичную трактовку допускают и др. уравнения. Р\м скалярное ур-е на полную энергию вида ∂/∂t[(u2/2+)]+div[u(u2/2+)+pu]=puf (15) Частный случай f=0 , после интегрирования: ∂/∂tV0(u2/2+)dV=∮0u(u2/2+)nd-∮0und (19) в-на (u2/2+) – объемная плотность энергии, если проинтегр. получ. полную эниргию, заключенную в полном объеме V0 . Первое слагаемое справа – кол-во энергии, переносимое непосредственно потоком ж-ти ч\з пов-ть 0 в ед. вр. Второе слагаемое справа – работа, производимая силами давления в ед. вр. над ж-тью, заключ. внутри 0 . Сумма этих слагаемых имеет смысл кол-ва энергии, протекающей сквозь 0 в ед. вр. Поэтому вект. в-ну u(u2/2++p/) (20) наз. вектором плотности потока энергии. Ур-е Эйлера [[[∂(u)/∂t+u∇(u)+ udiv(u)=-∇p+f (12)]]] перепишем в тензорном виде: ∂(u)/∂t=-∂Пik/∂xk+fi (21) , где Пik=ikp+uiuk . Применяя ту же процедуру интегрирования для част. сл fi=0 ∂/∂tV0uidV=-∮0Пiknkd (22) в-на ui -плотность i-той компоненты импульса. Слагаемое слева – изменение i-той компоненты импульса в объёме V0 , справа - кол-во i-той комп. импульса, протекающего сквозь 0 в ед. вр. В-на Пik – тензор плотности потока импульса. |
|
24.Уравнение гидродинамики в диф. форме
] V(t) превратился в V(t+t)=V’ с пов-тью (t+t)=’ - произвольная ф-ция – тензор. Восп. определением производной З-ны сохранения: (d/dt) V(t)dV=0 (7), (d/dt) V(t)(<u>2/2+<>)dV= -∮(t)p(nu)d+V(t)(fu)dV (9) справедливы для произвольных движущихся объёмов V(t), применяя (10а) к з-ну сохр масс и получ. ур-е непрерывности: ∂/∂t+div(u)=0 (11) К з-ну сохр (d/dt) V(t)udV=-∮(t)pnd+V(t)pfdV (8), применим также (10б) и =u , и получим ур-е движения: ∂(u)/∂t+u∇(u)+ udiv(u)=-∇p+f (12). Вычитая из (12) умноженное на u (11) получим ур-е Эйлера: ∂u/∂t+(u∇)u=-∇p/+f (13) Ур-е (13) можно записать в покомпонентном виде в декарт. сист. корд. dui/dt∂ui/∂t+uk∂ui/∂xk=-(1/)∂p/∂xi+fi (14) i=1,2,3 |
27.Несжимаемая жидкость. Условия несжимаемости. Движение несжимаемо, если плотность каждой части жидкости при её движении не изменяется.(*)С учётом (*) и из ур-я непрерывности: divU=0 Замечание: несжимаемая жидкость может быть неоднородной, важно чтобы движ жид част с течением времени ост пост. С точки зрения физики условие несжим: где измен плотн жидк в прост дв
Р/м стац движ среды в этом случае: L-характерный масштаб изменен скор потока Сp-адиаб скор звука. т.е. скорость звука много больше скор среды. Перейдём к нестационарным процессам. - хар-ка времен. Все слагаемые получаются одного порядка. (*)(*) означает, что жидкость считается несжимаемой т и т.т., когда происходит в ней процессы достаточно медленные. |
29. Звуковые волны . Скорость звука. Волновое уравнение. Дисперсионное уравнение. 1) Ж неподвижна =>
Можно расм/ть движение в лин прибл, т.е. в приближении 2) - однородная Ж 3) Ж несжимаема, т.е. div =0 Всю систему ур-й надо представить (линеаризовать)
- линейное слагаемое Ур-е непрерывности (линеаризованное)
Ур-е Эйлера: Ур-е состояния: P(,s)=const; ds/dt=0; Cs – скорость звука. имеем Аналог волнового ур-я
Чтобы его решить нужны нач усл гранич усл возмущение можно представить в виде стационар плоск монохром волн: f ^ - амплитуда. - дисперсионное ур-е vф=/k=cs – фазова скорость vгр=∂/∂k=cs – групповая скорость( скорость переноса энергии) Звук- продольная волна (разряжение/сжатие). |
20. Диссипативные процессы. Тензор вязких напряжений. Сдвиговая и упруговая вязкости. Ур-е Навье - Стокса. Процессы молекулярного переноса (трение, перенос тепла) в идеальной жидкости не учитываются. Их учет должен сказаться на уравнениях Эйлера (внутреннее трение оказывает влияние на перенос импульса) и сохранения энергии. Ур-е непрерывности как следствие закона сохранения массы остаётся неизменным. Воспользуемся феноменологическим подходом. Это означает, что к идеальному потоку мы должны добавить слагаемые, к-рые учитывают поток импульса, связанный с диссипатив процессами σik' – вязкий тензор напряжения, можно переписать σik' - pik σik (6) тензор напряжения. Его вид σik' опр-ся процессами внутр трен, т.е. процессами, кгда разл участки Ж движ-ся с разл v относит друг друга, т.е. относит-ное движ разл слоев Ж, а это означает, что σik' должен зависеть от производных v по координатам Общие сообр дают общий вид тензора: и - в общем случае яв-ся ф-циями термодинам парам среды, но не зав от скорости. Независимость этих величин от скорости выражают св-во изотропии Ж. Это первый и второй соответственно коэф-ты вязкости. Use эти св-ва: Большинство экспериментов дают, что изм коэф-тов трения и вдоль Ж оказываются незначит, поэтому в перв прибл мы можем считать их const, тогда данное ур-е упрощяется: ур-е (для вязкости не идеал Ж ) Навье-Стокса. Данное ур-е справедливо для вязкой несжимаемой Ж – частный случай => послед слог нет - сдвиговый коэф-т (связан со сдвигом разл слоев) - объемный (связан с деформацией типа сжатие-растяжение) В стационарном случае: |
31. Ур-е переноса тепла. При рассмотрении потока физических величин было показано, что перенос импульса связан с переносом энергии. Cлагаемое ik p в тензоре потока импульса Пik в ур-е переноса энергии приводит к появлению соотв слог оно связано с вязкостью. имеет место чисто молекулярный перенос тепла, связ с grad t0-ры среды. При небольшом перепаде температур (небольшом grad) вектор плотности потока тепла q, можно выразить ч/з коэф-т теплопроводности и соотв grad: ǽ-коэфф теплопроводности. Поэтому ур-е переноса энергии будет иметь вид: - энтальпия (тепловая ф-ция), = + P/ С учетом ур-я непрер-ти (его надо умножить на u) и ур-я Новье-С (а его на u) ур-е переноса тепла переходит к упрощенному виду: теплопроводность в среде молек вязк-ть или внутр трен Можно показать, что , для этого надо вычесть производную по времени из энтрапии всего обьема V0, полагая, что на границе этого V: U=0, : Из данной формулы следует, что , т.к. процессы идут при возрастании энтропии. |
A
χ V∞
χ φ0 ρ
О
V∞
φ0 ρ
O
χ
Vφ
V∞
r α ρ
A
χ V∞
χ φ0 ρ
О
V∞
φ0 ρ
O
χ