Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лінійна алгебра
Вирази , та (1)
-(++ (2)
називають відповідно визначниками (детермінантами) другого та третього порядків. Символи називають елементами визначника. Вона можуть бути числами, функціями, алгебраїчними виразами тощо. Положення елемента у визначнику характеризується двома індексами: перший означає номер рядка (зверху вниз ), а другий – номер стовпця (зліва направо ), на перетині яких знаходиться даний елемент.
Елемент у визначнику (1) та у визначнику (2) складають головну діагональ визначника, а елементи та в тих самих визначниках – побічну діагональ. Правило розкриття визначників другого та третього порядків можна сформулювати із формул (1) та (2).
Приклади:
Обчислити визначники:
Сформулюємо властивості визначників.
Введемо деякі поняття.
Мінором елемента визначника називається визначник, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення I –го рядка та j – го стовпця. Наприклад, для визначника (2) мінором елемента є такий визначник:
.
лгебраїчним доповненням елемента називається його мінор, взятий із знаком , тобто
. (3)
Наприклад, якщо , то а .
Тепер сформулюємо теорему про розкладання визначника за елементами рядка (стовпця).
Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-будь рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення
(4)
Приклад.
Обчислити визначник, розкладаючи його за елементами третього рядка.
Той самий результат буде, якщо ми розкриємо визначник за елементами іншого рядка (стовпця).
1.3. Поняття про визначники вищих порядків.
Теорема, яку ми розглянули вище, дає змогу ввести означення визначника довільного порядку. За означенням визначник n го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця0 на їхні алгебраїчні доповнення. Але такий спосіб обчислення громіздкий. Так. Для обчислення визначника четвертого порядку нам треба обчислити чотири визначники третього порядку. Тому на практиці спочатку за допомогою властивостей визначника перетворюють визначник так, щоб у деякому рядку або стовпці всі елементи, крім одного, стали нулями. Розкладаючи тоді визначник згідно з теоремою за елементами цього рядка, дістанемо тільки один доданок, тому що всі інші доданки є добутками алгебраїчних доповнень на нуль.
Приклад.
Обчислити визначник .
У першому рядку перетворимо всі елементи. Крім першого, на нуль. Для цього, залишаючи перший та другий стовпці без змін, до третього додамо перший, а до четвертого – перший, помножений на (-2). Тоді
.
Розклавши цей визначник за елементами першого рядка,дістанемо
Тепер у другому стовпчику перетворимо всі елементи, крім останнього, на нулі. Для цього перепишемо без змін третій рядок, а потім додамо до третього рядка послідовно другий та перший рядки. Дістанемо
Прямокутна таблиця чисел складена з рядків та стовпців і записана у вигляді
називають матрицею . Коротко матрицю позначають так:
де
- елементи матриці, причому індекс I в елементі позначає номер рядка, а j – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці та позначають .
Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називають квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називають її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею – рядком, один стовпець – матрицею – стовпцем. Дві матриці називаються рівними, якщо вони однокових розмірів і мають рівні відповідні елементи.
Нульовою називають матрицю, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагоналі.
Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною та позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд
.
Будь – якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом
det A. Наприклад, якщо
Прямокутна матриця ( визначника не має.
Справедливі такі властивості операцій:
Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.
Добутком матриці на матрицю називається така матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j - го стовпця матриці B:
; Наприклад, знайти , якщо
Матриця узгоджена з матрицею , тому за означенням маємо
Операція множення матриць не комутативна, тобто при множенні матриць не можна міняти місцями множники:
.
Для дій 1 – 4 над матрицями виконуються такі властивості:
Нехай – квадратна матриця. Матриця називається оберненою до матриці , якщо виконується умова
.
Квадратна матриця називається виродженою, якщо і не виродженою, якщо .
Теорема. Для існування оберненої матриці необхідно і достатньо, щоб матриця була не виродженою; при цьому
, (5)
де - алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці , тобто
.
Приклад.
Знайти матрицю , обернену до матриці
.
Обчислимо визначник матриці :
Матриця не вироджена, тому обернена матриця знаходиться за наведеною вище формулою (5). Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:
Складемо обернену матрицю
Переконатися, що пропонується зробити самостійно.
Рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.
Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю,то Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку дорівнюють нулю, або мінорів порядку не існує, тоді
Приклад.
Знайти ранг матриці
Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля, тому Оскільки один з мінорів другого порядку а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю (це можна перевірити ), то
Вказаний метод знаходження рангу не завжди зручний,тому що ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме:
Приклад.
Знайти ранг матриці .
Виконуючи елементарні перетворення, знаходимо
{ помножимо елементи першого рядка послідовно на (-3), (-5), (-1) та додамо до другого, третього ті четвертого рядків відповідно} =
{ помножимо елемент першого стовпця послідовно на (-2), (-2) та додамо до елементів другого та третього стовпців; четвертий стовпець перепишемо без змін, а перший стовпець додамо до п‘ятого }=
{ помножимо елементи другого та п‘ятого стовпців на а третього та четвертого на } =
{ помножимо другий рядок на (-1) та додамо до третього та четвертого рядків } =
{ другий стовпець помножимо на (-1) та додамо до третього, четвертого та п‘ятого рядків відповідно }=
{ третій стовпець помножимо на (-1), а потім, помноживши його на (5), додамо до четвертого стовпця}=
{ відкидаючи нульові стовпці та рядки, отримаємо } =
=
Системою – лінійних рівнянь з невідомими називається система вигляду
(6)
Числа біля невідомих називаються коефіцієнтами, а числа - вільними членами системи.
Система рівнянь називається однорідною, якщо вся її вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля. Числа ( називають розв‘язком системи, якщо при підстановці цих чисел замість невідомих усі рівняння системи перетворюються в тотожність.
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв‘язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв‘язку.
Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв‘язок.
Система називається невизначеною, якщо вона має більш, ніж один розвязок.
Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв‘язків. Еквівалентні системи дістають внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони утворюються лише над рядками матриці.
Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими
Виконаємо елементарні перетворення системи: спочатку помножимо перше рівняння на , а друге – на ( ) , а потім складемо їх. Після цього перше рівняння помножимо на , а друге – на і складемо їх. Дістанемо систему
Запишемо цю систему за допомогою визначників:
Де
Визначник , складений з коефіцієнтів заданої системи, називається визначником системи. Визначники та утворюються з визначника відповідно заміною стовпців при невідомих вільними членами. Тоді рішення системи має вигляд
(7)
Ці формули називаються формулами Крамера.
При розв‘язуванні системи можуть бути такі випадки:
Розглянемо тепер систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
Обчислимо визначники
.
Якщо визначник системи , то система має єдиний розв‘язок, який знаходиться за формулами Крамера
Так само розв‘язуються системи лінійних рівнянь з невідомими (
До систем, у яких число невідомих не дорівнює числу рівнянь, формули Крамера застосувати не можна.
Приклад.
Розв‘язати систему за формулами Крамера:
Складемо та обчислимо визначники:
Тоді
Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими
Введемо матриці
; .
Матрицю , складену з коефіцієнтів системи, називають основною матрицею системи, матрицю – матрицею з невідомих, а матрицю – матрицею з вільних членів. Тоді згідно з правилом множення матриць систему можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею :
Припустимо, що матриця системи має обернену матрицю ; помножимо обидві частини цієї рівності на зліва:
Оскільки і , то
(8)
Ця формула носить назву розв‘язку матричного рівняння.
Треба зауважити, що розв‘язок системи в матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи не вироджена ( тобто, визначник цієї матриці не дорівнює нулю ).
Приклад.
Розв‘язати систему рівнянь матричним засобом:
Згідно означень, маємо
Розглядаючи тему обернена матриця, ми знаходили визначник цієї матриці та обернену до матриці матрицю
За одержаною вище формулою,знаходимо
Отже,
Одним з найпоширеніших методів розв‘язування систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаусса.
Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими:
За допомогою елементарних перетворень цю систему приводять до системи вигляду:
Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною.
Дослідимо цю систему.
Назвемо невідомі основними, а всі інші – вільними. Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи їх у рівняння системи, з -го рівняння знайдемо . піднімаючись угору по системі, знайдемо всі останні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь – яких значень, то система має безліч розв‘язків.
Приклад.
Розв‘язати систему рівнянь методом Гаусса.
При розв‘язуванні системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не саму систему, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів. Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення, приходимо до розв‘язку системи.
{ зробимо коефіцієнт рівним одиниці, тобто поміняємо місцями перший та другий рядки } =
={ помножимо послідовно перший рядок на (-2), (-1), (-1) та додамо відповідно до 2, 3, 4 рядків } =
={ перший та третій рядки залишимо без змін, а другий помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =
={ перший та другий рядки не змінюємо, а третій помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =
=.
Отже, система еквівалентна системі трикутного вигляду
І має єдиний розв‘язок x
Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:
Ця система завжди має нульовий розв‘язок:
Ненульовий розв‘язок, якщо він є, можна знайти методом Гаусса. Якщо і визначник системи дорівнює нулю,то однорідна система має безліч ненульових розв‘язків.
Покажемо, що для однорідної системи трьох рівнянь з трьома невідомими можна знайти загальні формули, що виражають ненульові розв‘язки через коефіцієнти системи.
Розглянемо систему
Якщо визначник системи системи то система має єдиний нульовий розв‘язок. Дійсно, , тому за формулами Крамера
Покажемо, що коли визначник то система має безліч розв‘язків. Розглянемо такі випадки.
Візьмемо ті рівняння системи, що містять відмінний від нуля мінор і запишемо їх у вигляді
Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то за формулами Крамера
де
;
Оскільки може набувати будь – яких дійсних значень, покладемо , де – довільне дійсне число, тоді
; .
Приклад.
Розв‘язати систему рівнянь
Визначник системи
тому система невизначена.
Візьмемо перше і друге рівняння системи. Ці рівняння містять відмінний від нуля мінор другого порядку
Тоді ранг цієї системи Кількість вільних невідомих Нехай це буде z
Виберемо величину z у формі де t – довільне число. Із двох перших рівнянь системи знаходимо:
Остаточно
PAGE \* MERGEFORMAT1