Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Теорема об изменении кинетической энергии
Рассмотрим движение произвольной точки системы из первого положения во второе:
где Fke - внешние силы, действующие на систему,
Fki - внутренние силы системы.
Умножим обе части уравнения скалярно на дифференциал радиуса-вектора drk тогда
или dTk = dAke + dAki , (1.1)
где Tk - кинетическая энергия точки;
далее получим
Просуммируем по всем точкам системы
То есть, изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении.
Если в формуле (1.1) обе части уравнения разделить на dt, то можно записать теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему.
dTk / dt = dAke / dt + dAki / dt , dTk / dt =Nke + Nki.
Суммируя по всем точкам системы, получим
dT / dt = ∑Nke + ∑Nki.
Из теоремы следует закон сохранения механической энергии.
Если механическая система является консервативной, то полная механическая энергия системы Т + П, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, при движении системы остается постоянной.
При движении механической системы в потенциальном силовом поле получаем
T2 -T1 = A12.
По определению потенциальной энергии
П1 - П2 = A12.
Тогда
T2 - T1 = П1 - П2 , T2+ П2 = T1 + П1 , Т + П = const.
Пример решения задачи
Механическая система (рис. 130), состоящая из четырех тел и нерастяжимых нитей, перемещается под действием силы , приложенной к телу 1 в центре масс (точка A). При этом тело 1 катится без скольжения по наклонной плоскости, а тело 4 скользит по гладкой горизонтальной плоскости. Момент сопротивления M приложен к двухступенчатому шкиву 2, который, при помощи зубчатого зацепления в точке B, может перемещать по вертикали рейку 3. Трение в направляющих рейки отсутствует.
Рис. 130
Заданы следующие величины: m1 = 10 кг; m2 =6 кг; m3 = 4 кг;
m4 = 2 кг – массы твердых тел; R2 = 0,8 м; r2 = 0,2 м; r2 = 0,6 м – большой, малый радиусы и радиус инерции шкива 2; R1 = 0,4 м – радиус катка 1; момент сопротивления M = 2 м; движущая сила
F = 150 Н; g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения.
Определить: ускорение точки A .
Решение.
Изображаем расчетную схему (рис. 131), на которой показываем кинематическую связь между телами и все действующие силы в механической системе.
Рис. 131
Пользуясь схемой рис. 130 запишем кинематические соотношения, выразив скорости всех тел через скорость :
; ; ; ; .
Согласно теореме (6) , вычисляем кинетическую энергию механической системы через скорость .
.
Здесь - формула (5) для плоского движения катка 1;
- формула (2) для вращения тела вокруг неподвижной оси. При - момент инерции тела 2, получаем
.
- формула (1) для поступательного движения тела 3; .
.
Окончательно получаем
.
При известных величинах
или и .
Вычисляем мощность всех внешних сил:
При заданных величинах
(вт).
Тогда . Окончательно получаем
.