тематичні моделі приклади та їх розв~язання Тема 1

Работа добавлена на сайт samzan.net:

2.2. Ілюстративний матеріал до вивчення
тем курсу (економіко — математичні моделі,
приклади та їх розв’язання)

Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання

Економічні колізії та моделювання економіки

Спробуємо описати математичною мовою колізії, що виникають у ситуації, коли ринкові механізми зіштовхуються з монополією.

Приймемо гіпотезу, згідно з якою економічна система прагне до максимізації сумарного економічного ефекту (), тобто сумарного прибутку:

, (2.2.1)

де Q — випуск продукту; u(Q) — функція валового економічного ефекту (корисності); — приріст валового економічного ефекту (корисності) від кожної додаткової одиниці продукції; s(Q) — витрати на виробництво; — приріст витрат на виробництво додаткової одиниці продукції.

Перший елемент правої частини цього виразу характеризує валовий економічний ефект, другий — витрати на виробництво всього обсягу продукції, а вираз у цілому — сумарний економічний ефект (продукт).

Легко показати, що розширення виробництва буде доцільним лише доти, доки додаткові витрати не зрівняються з додатковим валовим економічним ефектом від споживання. Математично це положення можна довести, знайшовши максимум наведеного вище виразу (2.2.1). Якщо продиференціювати по Q і похідну прирівняти до нуля, то точкою екстремуму функції буде точка , в якій . Точка буде точкою максимуму функції , оскільки для функцій u(Q), s(Q) повинні виконуватись умови:

(2.2.2)

Тому обсяг виробництва, котрий забезпечує максимум сумарного ефекту, відповідатиме точці , у якій додатковий валовий ефект споживання дорівнює додатковим витратам на виробництво одиниці продукції.

Але в умовах ринкової економіки сумарний економічний ефект розподіляється між виробником продукції, її споживачем і бюджетом. Характер цього розподілу значною мірою визначає зацікавленість економічних суб’єктів у досягненні суспільної ефективності, тобто у досягненні точки оптимуму виробництва.

У чому ж полягають економічні інтереси виробника (l) і споживача (с)? Очевидно, що виробник зацікавлений у максимізації різниці між обсягом реалізації за ціною та витратами:

де — прибуток виробника.

Споживачеві важливо максимізувати різницю між економічним ефектом від використання продукції та ціною за неї:

де — прибуток споживача.

Якщо виробник не є монополістом, тобто не в змозі вплинути на рівень цін (вільна конкуренція), тобто ціна p не залежить від Q, то максимум ефекту виробника (враховуючи умови (2.2.2)) буде досягнутий у точці, де похідна по Q дорівнюватиме нулеві:

тобто, коли граничні витрати дорівнюють ціні продукції, а максимум ефекту споживача — в точці, де:

Максимум сумарного ефекту досягається за обсягу виробництва (), котрий характеризується співвідношенням:

Звідси можна зробити висновок, що виробник буде зацікавлений виробити оптимальний, з погляду народного господарства обсяг продукції (), а споживач — повністю використати цю продукцію за умови встановлення цін на рівні:

Але якщо виробник контролює значну частку ринку (випуску продукції, галузі) і має право впливати на визначення обсягів випуску продукції, то його інтереси розходяться з народногосподарськими інтересами. Формально цю суперечність можна показати таким чином. Якщо , то

Споживачі не можуть впливати на обсяги та ціну. Тобто максимум ефекту виробника буде досягнутим за умови:

Отже, цей результат свідчить, що, за можливості контролювати значну масу продукції з боку виробника, точка його оптимуму не збігається з точкою народногосподарського оптимуму.

Раціональною є гіпотеза щодо від’ємної еластичності цін і обсягу виробництва (зі зростанням обсягів виробництва ціни на продукцію знижуються), тобто .

Виробник, прагнучи до максимізації свого локального критерію, буде здебільшого зацікавлений у заморожуванні виробництва на рівні нижчому, ніж оптимальний з погляду народного господарства:

і, відповідно, у завищенні цін:

оскільки

За подібних умов державне регулювання економіки повинно забезпечити таку організаційну систему функціонування об’єктів господарювання, яка використовувала б ефективні методи вилучення певного обсягу отриманих доходів у великих виробничих об’єднань (монополій), або недопущення монопольно високих доходів. Тобто державне регулювання економіки в даному разі є необхідним.

Проблеми методології
макроекономічного аналізу

Наведемо як приклад модель розвитку економіки країни, запропоновану англійським економістом Р. Харродом. У моделі враховується один керований чинник — капітальні вкладення, а стан економіки оцінюється обсягом національного доходу.

Для математичної постановки задачі введемо такі позначення:

— національний дохід за рік t; — виробничі фонди за рік t; — обсяг споживання за рік t; — обсяг накопичення (заощаджень) за рік t; — капітальні вкладення за рік t.

Припустимо, що функціонування економіки відбувається за таких умов:

балансу доходів і витрат за кожний рік

;

виключення невикористання капіталу

;

пропорційного розподілу національного річного доходу

Внутрішні економічні процеси характеризуються, такими умовами: зв’язок капітальних вкладень і загальної суми виробничих фондів; зв’язок річного національного доходу і виробничих фондів.

Капітальні вкладення за рік t можна розглядати як приріст виробничих фондів або, інакше кажучи, похідна від функції виробничих фондів приймається за капітальні річні вкладення:

Національний дохід за кожний рік приймається рівним віддачі виробничих фондів:

З наведених вище рівнянь можна отримати таке співвідношення:

Звідси отримуємо рівняння Харрода:

Його розв’язком є експоненційна зміна національного доходу за річними інтервалами:

Попри спрощений вид математичної моделі її результат може використовуватися для загального аналізу національної економіки. Параметри a і b можуть стати керуючими параметрами щодо вибору певної стратегії розвитку економіки: максимального наближення до бажаної (раціональної) траєкторії зміни національного доходу; вибору мінімального інтервалу часу досягнення заданого рівня національного доходу.

Нелінійність математичних моделей

Розглянемо найпростішу модель популяцій — модель Мальтуса, яка ґрунтується на простому твердженні: швидкість зміни чисельності населення у часі пропорційна його поточній чисельності N(t) із коефіцієнтом пропорційності, що дорівнює різниці коефіцієнтів народжуваності та смертності . У результаті маємо рівняння

(2.2.3)

Інтегрування рівняння (2.2.3) дає:

де — початкова чисельність.

Якщо  = , то чисельність залишається постійною, тобто в цьому разі розв’язком є рівноважна величина чисельності N(t) = N(0). За умови  <  чисельність населення знижується й прямує до нуля, коли t , а за  >  — зростає за певним експоненційним законом і прямує до нескінченності, якщо t . Остання обставина й слугувала підставою для побоювань Мальтуса щодо, можливого пов’язаного з перенаселенням землі у майбутньому.

Звичайно ж, як у даному прикладі, так і в низці інших випадків існує чимало очевидних обмежень щодо застосування побудованої моделі. Навіть в ідеальному випадку ізольованої біологічної популяції запропонована модель не відповідає реаліям повною мірою, хоча б зважаючи на обмежені ресурси, необхідні для її існування.

Моделі популяцій відразу ж стають нелінійними, якщо зважувати на те, що обов’язково слід враховувати обмеженість доступних популяції ресурсів. Будуючи такі моделі, вважають, що:

1) існує «рівноважна» чисельність популяції Np, котру може забезпечити навколишнє середовище (з погляду сьогодення);

2) швидкість зміни чисельності популяції пропорційна (на відміну від моделі Мальтуса) добутку чисельності популяції на величину відхилення її від рівноважного значення чисельності, тобто:

(2.2.4)

Співмножник у цьому рівнянні забезпечує механізм «насичення» чисельності: за N < Np (N > Np) швидкість зростання додатна (від’ємна) і прямує до нуля, якщо N  Np.

Розв’язок рівняння (2.2.4) за умови N(t = 0) = N(0) матиме вигляд:

або

Поведінка функції N(t) описується так званою логістичною кривою (рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Логістичні криві, що відповідають різним
значенням початкової чисельності N(0)

За будь-якого значення початкової чисельності N(0) чисельність популяції N(t) прямує до рівноважного значення Np, коли t , причому тим повільніше, чим ближче N(t) до Np. Отже, рівновага у даному разі є стійкою на відміну від моделі (2.2.3). Модель (2.2.4) реалістичніше відображає динаміку популяції порівняно з моделлю Мальтуса, але вона є нелінійною й тому складнішою.

Зауважимо, що припущення щодо механізмів насичення досить часто використовуються у формуванні моделей різних економічних об’єктів і процесів як на мікро-, так і на макроекономічному рівнях.

Тема 2. Концептуальні засади
математичного моделювання економіки

«Павутиноподібна» модель ринку

Як приклад економічної моделі розглянемо спрощений (ідеалізований) варіант так званої «павутиноподібної» моделі, яка описує процес формування попиту і пропозиції певного товару чи виду послуг на конкурентному ринку (за умов досконалої конукренції).

Йдеться про формалізацію економічного закону попиту та пропозиції, який проголошує:

кількість товару, який можна продати на ринку (тобто попит), змінюється у напрямі, протилежному до зміни ціни товару;
кількість товару, яку продавці виробляють і доставляють на ринок (тобто пропозиція), змінюється у тому ж напрямі, що й ціна;
реальна ринкова ціна формується на рівні, за якого попит і пропозиція наближено дорівнюють одне одному (приблизно збігаються, із деякою заданою точністю), тобто перебувають у рівновазі; ціна, за якої досягається рівновага між попитом і пропозицією, називається рівноважною.

Розглядаючи «павутиноподібну» модель, приймають гіпотезу, що функції пропозиції і попиту залежать лише від ціни товару:

, ,

де — кількість товару, яку товаровиробники доставляють на ринок, тобто пропозиція; — деяка монотонно зростаюча функція; — кількість товару, який можна продати на ринку, тобто попит; — деяка монотонно спадна функція.

Графіки попиту і пропозиції перетинаються у точці рівноваги, а ціна, що відповідає цій точці , і є рівноважною ціною. Враховуючи властивості кривих попиту і пропозиції, рівноважний розв’язок є стійким у тому сенсі, що якщо ціна строго фіксована і рівна рівноважній ціні, то товаровиробник, максимізуючи прибуток, доставляє на ринок товар у кількості ; одночасно споживач, що намагається максимізувати свою функцію корисності, формує попит . При встановленні рівноважної ціни на ринку досконалої конкуренції кількість товару, що пропонується товаровиробником за цією ціною, дорівнює попиту споживача:

Динамічні нерівноважні моделі ринку використовуються, коли у початковий момент часу ціна на ринку відрізняється від рівноважної. При цьому процес встановлення рівноважної ціни може бути описаний різними моделями за одних і тих самих функцій попиту й пропозиції. Розрізняють два підходи:

неперервний, коли динаміка цін описується диференційним рівнянням;
дискретний, коли значення змінних на проміжку часу [t; t+1) вважаються сталими. В цьому разі послідовним інтервалам часу [t; t+1) відповідають значення ціни , попиту і пропозиції .

Розглянемо «павутиноподібну» модель із дискретним часом. Нехай — ціна товару в момент часу t, і — кількість товару, купленого і пропонованого відповідно на ринку в той самий момент часу t.

У моделі приймаються дві гіпотези: 1) виробники-продавці, формуючи пропозицію, орієнтуються на ціну попереднього періоду; 2) ринок завжди перебуває у стані локальної рівноваги.

Подамо математичну формалізацію цих положень:

обсяг пропозиції на ринку в момент часу t визначається значенням ціни попереднього періоду: , де — деяка монотонно зростаюча функція від аргумента X (тобто від ціни);
на ринку в кожний момент часу t встановлюється рівноважна ціна , причому ця ціна є розв’язком рівняння . Якщо , де — монотонно спадна функція від аргумента X (тобто від ціни), то рівняння для визначення ціни матиме вигляд: .

Рівноважний стан «павутиноподібної» моделі буде стійким, якщо існують границі:

де — рівноважна ціна.

Математичні співвідношення, що відображають закон попиту — пропозиції, можуть бути проілюстровані рис. 2.2.2.

Рис. 2.2.2. Графік формування попиту — пропозиції

Як бачимо, процес формування рівноважної ціни почався з призначення в 1-й (початковий) момент часу ціни на рівні . Продовження цього процесу (індексовано стрілками) «павутиноподібно» прямує до точки перетину кривих і .

Щоб описана модель з економічної перетворилась в економетричну, необхідно говорити не взагалі про закон попиту і пропозиції, а про конкретну його дію в даному секторі економіки, в певний час і стосовно конкретного товару (чи виду послуг). Відповідно, конкретизація вигляду функцій і повинна проводитись на підставі статистичних даних величин , , , де , Т — кількість періодів, протягом яких здійснювався моніторинг і отримані дані.

Приклад «Павутиноподібної» моделі фірми

Підприємець збирається вкласти кошти у створення фірми, котра випускатиме товар і реалізовуватиме його на ринку. Його цікавить, як поводитиме себе ціна товару за зміни обсягів виробництва, чи буде вона стабільною за певних умов.

Аналіз і розв’язання

Розглянемо стохастичну модель з навчанням.

Припустимо, що попит на t-му проміжку часу залежить лінійно від поточної ціни. Вважатимемо, що попит на ринку має випадковий характер (є випадковою величиною). Для формалізованого опису необхідно, визначити на основі доступної інформації оцінки коефіцієнтів лінійного рівняння у моделі:

Dt = a — bXt + ut,

де Dt — попит на t-му проміжку часу; a, b — коефіцієнти лінійної регресії (b > 0); Xt — ціна одиниці продукції на t-му проміжку часу; ut — випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням u.

У результаті відповідних обчислень можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, й рівняння лінійної регресії матиме вигляд:

Ďt = A — BXt, (2.2.5)

де Ďt — розрахункове значення попиту на t-му проміжку часу: A, B — оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії (B > 0).

Припустимо, що пропозиція впродовж поточного проміжку часу також лінійно (в середньому) залежить від ціни, але не поточної, а такої, що являє собою комбінацію цін у двох попередніх періодах часу. У найпростішому випадку це може бути середнє значення цін протягом двох попередніх періодів. Крім того, вважатимемо, що пропозиція на ринку має випадковий характер (є випадковою величиною). Отже, для моделювання пропозиції можна використовувати таку залежність:

St = c + kX() + vt,

де St — пропозиція впродовж t го проміжку часу; c, k — коефіцієнти лінійної регресії (k > 0); X() — середньозважене значення цін на двох попередніх проміжках часу; vt — випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням v.

Після відповідних обчислень можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, і рівняння лінійної регресії матиме такий вигляд:

Št = C — KX(), (2.2.6)

де Št — розрахункове значення пропозиції впродовж t-го проміжку часу, C, K — оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії (K >0).

Ціна X() може визначатись за формулою

X() = Xt1 — (Xt1 — X t2), (2.2.7)

де Xt1 — ціна на (t1)-му проміжку часу; X t2 — ціна на (t-2)-му проміжку часу;  — ваговий коефіцієнт, значення котрого задається в діапазоні: 0    1.

До моделі необхідно ще долучити рівняння локальної рівноваги ринку:

St = Dt + wt,

де St — пропозиція на t му проміжку часу; Dt — попит на t му проміжку часу; wt — випадкова величина, котра має заданий закон розподілу. Можна прийняти гіпотезу, що wt має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням та середньоквадратичним відхиленням w. З урахуванням (2.2.5) та (2.2.6) рівняння локальної рівноваги матиме вигляд:

Št = Ďt (2.2.8)

Система рівнянь (2.2.5) — (2.2.8), після відповідних простих перетворень зводиться до такого виразу:

Xt = F(Xt1, Xt2), (2.2.9)

де F(Xt-1, Xt-2) — оцінка функції кореляційно-регресійного зв’язку між змінними Xt, Xt1, Xt2.

Спочатку певним наближеним способом визначають ціну для перших двох проміжків часу. Після цього можна проводити обчислення згідно з виразом (2.2.9) необхідну кількість разів (ітерацій).

Задача аналізу полягає у дослідженні впливу параметрів системи на характер залежності ціни як функції часу, а також у визначенні рівноважної ціни.

Тема 3. Алгоритмічні (імітаційні) моделі
в економіці та підприємництві

Моделювання випадкових подій

Приклад. Нехай при випробуванні мають місце залежні й сумісні події А та В, при цьому відомо, що Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,5; Р(АВ) = 0,3.

Потрібно змоделювати появу подій А та В у двох випробуваннях.

Розв’язання. У кожному випробуванні можливе настання однієї з чотирьох попарно несумісних подій:

С1 = АВ, Р(С1) = Р(АВ) = 0,3.
С2 =, Р(С2) = Р() = Р(А) — Р(ВА) = 0,7 — 0,3 = 0,4.
С3 =, Р(С3) = Р() = Р(В) — Р(АВ) = 0,5 — 0,3 = 0,2.
С4 =, Р(С4) = 1 — [Р(С1) + Р(С2) + Р(С3)] = 1 — (0,3 +
+ 0,4 + 0,2) = 0,1.

Змоделюємо повну групу подій С1, С2, С3, С4 у двох випробуваннях (прогонах). Відкладемо послідовно на одиничному відрізку числової осі інтервали (рис. 2.2.3):

і = Р(Сі), і = 1,…, 4.

Рис. 2.2.3. Інтервали і = Р(Сі)

Нехай згенеровано два випадкових числа 1 = 0,68 і 2 = 0,95. Випадкове число 1 належить до інтервалу 2, тому у першому випробуванні мала місце подія С2: подія А настала, а подія В не настала. За другого випробування випадкове число 2 належить до інтервалу 4: обидві події А та В не мали місця.

Приклад. Використовуючи умови попереднього прикладу, потрібно змоделювати окремо появу подій А та В в одному випробуванні.

Розв’язання. Події А та В є залежними, тому попередньо знаходимо умовні ймовірності Р(В/А) та Р():

Для моделювання події А обрано випадкове число 1. Нехай 1 = 0,96. Оскільки 1 > P(A), то подія А у випробуванні не настала.

Тепер розіграємо подію В за умови, що подія А у випробуванні не мала місця. Нехай випадкове число 2 = 0,22. Отже, (0,22 < 2/3), тобто подія В у випробуванні настала.

Моделювання випадкових величин

Приклад. Змоделювати дві реалізації дискретної випадкової величини X, що має розподіл:

xi:	-1	0	2	5
pi:	0,2	0,5	0,2	0,1

Розв’язання. Відкладемо послідовно на одиничному відрізку числової осі інтервали (рис. 2.2.4): і = pi, і = 1,…, 4.

Рис. 2.2.4. Інтервали і = pі

Нехай згенеровано два випадкових числа 1 = 0,57 і 2 = 0,73. Випадкове число 1 належить до інтервалу 2, тому у першому випробуванні випадкова величина X набуває значення х2 = 0. За другого випробування випадкове число 2 належить до інтервалу 3, тому випадкова величина X набуває значення х3=2.

Приклад. Змоделювати дві реалізації випадкової величини X, що має інтервально-постійну функцію щільності розподілу на відрізку [0,5; 7,5]:

Розв’язання. Для заданої випадкової величини X дискретна випадкова величина , що відповідає номеру інтервалу, матиме розподіл:

i:	1	2	3	4
pi:	0,3	0,4	0,2	0,1

Для однієї реалізації випадкової величини X необхідно згенерувати одне значення (реалізацію) дискретної випадкової величини  (див. попередній приклад) і одне випадкове число , що формується генератором випадкових чисел, які відповідають рівномірному закону розподілу на інтервалі (0; 1).

Нехай згенеровано дві реалізації дискретної випадкової величини : 1 = 2 2 = 4, і два випадкових числа 1 = 0,91, 2 = 0,43.

Тоді перше значення (реалізація) випадкової величини X належатиме другому інтервалу: , і підставивши значення відповідних величин у формулу (2.1.3), отримаємо: . Аналогічно, друге значення (реалізація) випадкової величини X належатиме четвертому інтервалу: , і підставивши значення відповідних величин у формулу (2.1.3), отримаємо:.

Тема 4. Прикладні математичні моделі
фінансово-економічних процесів

Моделі ціноутворення

Розглянемо підхід до побудови моделі ціноутворення, що базується на залежності «витрати — випуск» і дає змогу сформулювати задачу ціноутворення у вигляді двоїстої задачі лінійного програмування1.

Нехай маємо m технологічних процесів, кожний з яких описується вектором (a, ..., a) , де a — випуск і-го продукту на кожну одиницю інтенсивності j-го технологічного процесу. Нехай j-й процес потребує на кожну одиницю інтенсивності процесу одиниць праці. Задача полягає у тому, щоб знайти інтенсивності технологічних процесів, які задовольнятимуть систему:

, (2.2.10)

де b — потрібний випуск і-го продукту,

При цьому загальні витрати праці повинні бути мінімальними:

. (2.2.11)

Визначення оптимальних цін продуктів базується на розв’язку задачі, яка є двоїстою до задачі (2.2.10 — 2.2.11).

Нехай — ціна одиниці i-го продукту, тоді двоїста задача матиме вигляд:

. (2.2.12)

(2.2.13)

Задача (2.2.12) — (2.2.13) має економічне інтерпретування: вартість випуску продуктів у кожному технологічному процесі не повинна перебільшувати витрати праці (умови (2.2.12)). Загальна вартість випуску продукції максимізується (умова (2.2.13)).

Розглянемо окремі приклади практичної побудови моделей.

Приклад моделі ціноутворення за двоїстою задачею. Нехай n = 2, m = 3.

Таблиця 2.2.1

Матриця даних	Потрібний випуск
Технологічні процеси
Продукт 1	1	1	2	21
Продукт 2	2	1	1	12
Витрати праці на одиницю інтенсивності процесу ()	31	11	12

Пряма задача (забезпечення випуску при мінімізації витрат праці):

Двоїста задача (максимізація вартості випуску продукції за обмежень на витрати праці):

Розв’язок двоїстої задачі: p=1, p=10. Вартість випуску продукції K = 141.

Розв’язок прямої задачі: z=0, z=3, z=9. Витрати праці W =141. Таким чином, як і випливає з теорії, K = W.

Наступна модель пов’язана з обґрунтуванням плати за фонди.

Згідно з моделлю Л. Канторовича2, оптимальний план виробництва заводу формується за схемою:

Ресурси	План виробництва товарів
			…	Технологічна матриця (A): питомі витрати ресурсів на виробництво
Основні фонди			…
Праця			…
Електроенергія			…
…		…
Інші ресурси			…

У математичному записі:

(2.2.14)

за максимального випуску продукції:

(2.2.15)

де K — критерій ефективності, p = (p, p,…,p) — вектор цін.

Модифікація задачі (2.2.14) — (2.2.15) пов’язується з комплектністю випуску.

Нехай визначає один комплект випуску, a k — кількість комплектів, що виробляються, тоді задача (2.2.14) — (2.2.15) має модифікацію як задача

max k (2.2.16)

за обмежень

. (2.2.17)

Розглянемо процедуру вибору варіанта плати за ресурси (основні фонди) з використанням задачі (2.2.14) — (2.2.15) і двоїстої задачі:

де — змінна двоїстої задачі.

Нехай x*, u* — розв'язок прямої та двоїстої задачі.

Якщо u* > 0, то , де , тобто і-й ресурс дефіцитний (використовується повністю).

Якщо = 0 , то тобто і-й ресурс не дефіцитний.

Згідно з теоремою двоїстості,

Згідно з моделлю Л. Канторовича розглянемо числовий приклад (n = 2, m = 3).

	Обсяги виробництва товарів

Варіант 1	20	11
Варіант 2	20	5,5
Ціни товарів	21	12
Ресурси
	31	1	1 (2)	Технологічна матриця (A): питомі витрати ресурсів на виробництво
	20	1	0
	20	0	1

Технологічну матрицю А подано у двох варіантах вибору елемента Варіант 1 більш економний щодо витрат ресурсів.

Відповідні розв’язки:

Варіант 1

Двоїста задача:

Варіант 2

Двоїста задача:

Нехай — ціни ресурсів, тоді дохід підприємства за вирахуванням плати за ресурси становитиме:

де r — номер варіанта.

Нехай

тоді

Отже, варіант 1, який забезпечує економію ресурсів (при підвищенні плати за них, наприклад, плати за модернізовані основні фонди), порівняно з варіантом 2 дає зростання доходу на величину

Мікроекономічне моделювання банківської діяльності

Загальні питання щодо моделювання діяльності банків

Одне з означень поняття банк формулюється так: банк — це кредитна установа, котра має виняткове право здійснювати в сукупності такі операції: залучення до вкладення грошових засобів (коштів) фізичних і юридичних осіб; розміщення вкладених коштів від свого імені та на свій рахунок на умовах повернення, платності, терміновості; відкриття та ведення банківських рахунків фізичних та юридичних осіб.

Серед основних функцій, що їх виконують банки як суб’єкти економічних відносин, можна виокремити такі:

Забезпечення розрахунків і сплат.
Трансформація активів.
Управління ризиками.
Опрацювання інформаційних потоків, моніторинг позичальників.

У фінансовому словнику3 дається означення комерційного банку (БК) як фінансово-кредитної установи, що створюється для залучення коштів і розміщення їх від свого імені на умовах повернення й платності. БК здійснює розрахункові операції за дорученням клієнтів, їх касове обслуговування, операції з валютою, коштовними металами, цінними паперами та інші операції, дозволені законом. БК класифікуються за такими ознаками: за належністю статутного капіталу та способами його формування — акціонерні товариства й товариства з обмеженою відповідальністю, банки за участі іноземного капіталу, іноземні банки; за видами здійснюваних операцій — універсальні та спеціалізовані; за територією та сферами діяльності — загальнодержавні, регіональні, галузеві.

В останні десятиріччя розробляються моделі діяльності банків, що враховують різні аспекти їх фінансово-економічної діяльності. Серед напрямів розвитку мікроекономічної теорії у цій сфері є, зокрема, такі:

моделі, що аналізують діяльність банків як фінансових посередників, з урахуванням інформаційної невизначеності та ризику, інформаційної асиметрії;
моделі, що ґрунтуються на виробничо-організаційному підході;
моделі банків із позицій сукупності стохастичних фінансових потоків тощо.

Основні концепції стохастичного
моделювання фінансових потоків

Як зовнішні умови, що впливають на діяльність комерційного банку (чи фінансової фірми), так і процеси, що розвиваються у самому банку, є результатом складної і неоднозначної взаємодії багатьох чинників, причин, залежностей, багато з яких має випадкову (ймовірнісну) і/чи нечітку (розпливчасту) природу. Наслідком цього є те, що робота банківської установи значною мірою обтяжена невизначеністю та зумовленим нею ризиком.

Поточний стан банку (чи іншої фінансової інституції), можна описати за допомогою вектора характеристик:

х = (x1, …, xn).

Кількісний та якісний склад компонент вектора x визначається ступенем деталізації.

Фактично ця форма опису стану банку за змістом адекватна банківському балансу: компоненти вектора x можуть бути інтерпретовані як звичайні статті балансу, а кількість їх і структура відповідають рівню його агрегованості (щоденний — який включає рахунки другого порядку, узагальнений — квартальний тощо). Стан окремого j-го ресурсу ототожнюється з деяким елементом множини невід’ємних дійсних чисел . Стан банку загалом можна подати деякою точкою n-мірного евклідового простору:

Множина всіх можливих (допустимих) точок (векторів) х утворює простір станів банку:

Можуть створюватися також певні похідні (вторинні) характеристики:

Вектор похідних характеристик є функцією від вектора x : y = f(x).

Типовим прикладом похідних (вторинних) характеристик стану банку є система обов’язкових фінансових нормативів (коефіцієнтів), що їх установлюють центральні банки чи інші регулюючі органи.

Для врахування чинника часу потрібно задати деяку множину Т, елементи котрої t  Т називають моментами часу. Якщо задана модель неперервного часу, то стан j-ї характеристики можна розглядати як значення функції xj (t), що визначена на множині Т і набуває значення на множині . Графік функції xj (t) відіграє роль траєкторії зміни в часі j-ї характеристики. Стан банку загалом — це значення векторної функції часу:

а траєкторія системи є деякою кривою (гіперповерхнею) в n-мірному просторі.

Визначається також таке поняття, як потік.

Потік — це економічна величина, котра вимірюється в русі з урахуванням розглядуваного часового інтервалу. Розмірність потоку — це обсяг, поділений на інтервал часу.

Зміст поняття потік пов’язаний із поняттям швидкості зміни стану системи.

Якщо припустити, що функції xj (t), що задають траєкторії зміни характеристик стану банку, є диференційованими в усіх точках інтервалу Т = (Т– , Т+), то відповідні перші похідні

можна інтерпретувати як швидкості зміни цих характеристик. Розглядаючи конкретний ресурс, отримують відповідні види потоків: фінансовий, грошовий, потік готівки тощо.

Динаміка банку в цілому може бути описана за допомогою векторного ресурсного потоку

який задає вектор швидкості зміни стану досліджуваного об’єкта в просторі.

Значення окремої характеристики об’єкта дослідження для будь-якого моменту часу t  (T– , T+) визначається за формулою

Формується модель, яка ґрунтується на відображенні банку як системи (вектора) первинних ресурсних потоків:

Аналогічно можна розглядати й похідні (вторинні) ресурсні потоки:

Обидві з наведених моделей дають уявлення щодо стану банку для кожного моменту часу t. Однак можна навести низку прикладів, коли виникає необхідність у переході від «точкового» подання до «інтегрального» опису поводження j-ї характеристики на певному заданому інтервалі часу

Для цього вводиться поняття середнього значення характеристики (j-ї компоненти вектора стану) на інтервалі (t–, t+):

яке вимірюється у відповідних ресурсних одиницях, а також середнього потоку:

що вимірюється в ресурсних одиницях на одиницю часу і визначає середню швидкість зміни обсягу j-го ресурсу за інтервал (t– , t+).

Моделі динаміки банківських ресурсів, що ґрунтуються на неперервному поданні часових інтервалів, не повною мірою відповідають процесам, які реалізуються на практиці. По-перше, «фізичний час» як такий, що плине рівномірно і неперервно, не відповідає зазвичай внутрішнім ритмам «життєвого циклу» економічних суб’єктів. Класичний приклад невідповідності «фізичного» і «економічного» часу пов’язаний із необхідністю врахування вихідних і святкових днів, упродовж яких банки не виконують свої операції. По-друге, неперервність висуває високі вимоги щодо масивів даних, необхідних для відповідного їх тестування та експлуатації.

Для переходу від неперервного часу до дискретного, що адекватніше враховує умови діяльності фінансово-економічних інститутів, може використовуватися модель Хікса4. Згідно з цією концепцією скінченний відрізок часу [t–, t+], впродовж якого спостерігається функціонування досліджуваної системи, поділяється на K рівних частин (відрізків та напівінтервалів) довжиною :

де

В основі такого поділу — гіпотеза, за якою усі параметри xj (t), що характеризують стан банку та умови його функціонування, залишаються (наближено) постійними всередині інтервалів і змінюються лише на межах часових інтервалів.

Отже, отримуємо дискретний «банківський» час , що набуває значення 0,1, …, k, …, K. Легко зробити узагальнення, враховуючи, що моменти «банківського» часу  відділені проміжками часу різної довжини. Це дає змогу більш точно враховувати вимогу постійності процесів усередині цих періодів та чинник вихідних і святкових днів.

За впровадження дискретного часу відбувається фіксація відносно його моментів векторів стану:

x() = (x1(), ..., xj(), ..., xn())

та векторів ресурсних потоків:

Можна також перейти від «щоденного» часу до «щотижневого», «щомісячного» тощо.

Наступний крок у процесі вдосконалення розглядуваного класу моделей — урахування в них чинників невизначеності та зумовленого ними ризику. Для цього зручно скористатися термінологією теорії випадкових процесів. Під випадковим (стохастичним) процесом (випадковою функцією часу) розуміють функцію x(t), котра може мати ту чи іншу конкретну реалізацію (траєкторію) з деякої фіксованої множини можливих траєкторій:

Отже, в умовах невизначеності моделлю динаміки стану банку може слугувати векторний випадковий процес:

кожна компонента якого описує стохастичну динаміку j-ї характеристики (ресурсу) банку. Аналогічно чинник невизначеності, наявний у системі ресурсних потоків банку, можна описати у формалізованому вигляді за допомогою векторного випадкового процесу:

Дослідження, спрямовані на змістовний аналіз закономірностей функціонування банків, мають спиратися на дані та гіпотези, що конкретизують тип і параметри використовуваних випадкових величин і функцій5.

Найпростіша мультиплікативна стохастична
модель динаміки фінансового ресурсу

За деякий фінансовий ресурс можна обрати як залучені кошти загалом, так і депозити до запитання, термінові депозити тощо.

Досліджувана модель ґрунтується на гіпотезі щодо можливості відстежити обсяг досліджуваного ресурсу через дискретні рівновеликі проміжки часу t. Позначимо через xt обсяг ресурсу в момент часу t, а x0 — обсяг у початковий момент часу (припустимо, що x0 > 0). Припустимо також, що перехід обсягу ресурсу, котрий визначається дійсним числом xi–1 > 0 у момент часу t = i – 1 до ресурсу обсягом xi > 0, що відповідає моменту часу t = i, можна описати співвідношенням:

де i > 0 — невід’ємний коефіцієнт елементарного переходу від xi – 1 до xi, i = 1, …, n. Тоді:

де x0, xn, i  R1, x0 > 0, i > 0, i = 1, …, n.

У частковому випадку, коли всі коефіцієнти елементарних переходів є однаковими (i =  > 0, i = 1, …, n), виконується рівність:

що вказує на експоненційну залежність обсягу ресурсу від часу. Тому xn , якщо  > 1; xn 0, якщо  < 1.

Якщо спостережувані значення інтерпретувати як реалізації випадкових величин , то отримаємо таку стохастичну мультиплікативну модель динаміки ресурсу з дискретним часом:

де — випадкова величина обсягу ресурсу в момент t = n.

Припустимо, що всі випадкові коефіцієнти елементарних переходів є незалежними і кожен з них має логнормальний закон розподілу , де — відповідно математичне сподівання та дисперсія логнормально розподіленої випадкової величини :

Функція щільності розподілу запишеться так:

Вираз для математичного сподівання:

Другий початковий момент:

Дисперсія

Знайдемо тепер функцію розподілу випадкового коефіцієнта:

Очевидно, що в цьому разі коефіцієнти мають логнормальний закон розподілу:

з параметрами:

)

Звідси легко отримати вираз для математичного сподівання

другого початкового моменту

та дисперсії

Отримаємо також вираз для випадкової величини :

Для прогнозування у момент t = 0 обсягу ресурсу, на момент часу t = n можна використати математичне сподівання випадкової величини :

Точність такого прогнозу природно оцінити за допомогою середньоквадратичного відхилення:

яке можна використати для побудови довірчого інтервалу:

Щодо можливих значень прогнозованої величини ресурсу в момент t = n коефіцієнт  > 0 обирається так, щоб забезпечити задану ймовірність попадання значень випадкової величини ресурсу у відрізок або ймовірність  = 1 –  (ризик) того, що випадкова величина сягне за межі вказаного відрізка.

Моніторинг стохастичної динаміки
фінансового ресурсу комерційного банку

Побудована вище мультиплікативна стохастична модель визначає достатню точність прогнозів на обмежений часовий період прогнозування, що характеризується незмінністю умов.

Звідси випливає актуальність задачі щодо розроблення методів оперативного та ефективного визначення моменту зміни чинників, які впливають на динаміку ресурсу (момент зміни значень μ, 2). Вона може бути розв’язана за рахунок моніторингу (постійного відстежування) значень математичного сподівання та дисперсії випадкових коефіцієнтів елементарного переходу .

Значення mi визначає очікувану зміну ресурсу в разі переходу від моменту часу t = i – 1 до наступного моменту t = i: якщо mi < 1 (mi > 1), то можна очікувати зменшення (збільшення) ресурсу, а коли mi = 1, то суттєвих змін обсягу ресурсу не передбачається. Дисперсія визначає ступінь невизначеності очікуваної величини ресурсу і може слугувати за оцінку ступеня ризику фінансово-економічних операцій, що орієнтуються на очікуваний обсяг ресурсу.

Оскільки математичне сподівання

і дисперсія

випадкового коефіцієнта елементарного переходу однозначно взаємопов’язані з параметрами

відповідної випадкової, розподіленої за нормальним законом величини , то моніторинг параметрів може редукуватись до відстежування математичного сподівання i та дисперсії , розподілених за нормальним законом випадкових величин, для котрих розроблено солідний арсенал засобів статистичного дослідження. Отже, для здійснення моніторингу параметрів стохастичної динаміки ресурсу можна запропонувати таку схему.

Нехай системний аналітик спостерігає низку послідовних значень обсягу ресурсу x0, x1, …, xn. Вважаючи, що всі ці величини невід’ємні, обчислюємо низку значень 1, …, n:

Згідно з мультиплікативною стохастичною моделлю динаміки ресурсу низку значень ln i, i = 1, …, n можна інтерпретувати як ряд однократних реалізацій незалежної нормально розподіленої випадкової величини .

Для моніторингу математичного сподівання (тренду) цього ряду можна використати ковзне середнє k-го порядку , яке обчислюється за формулою:

для моментів часу i = k, k + 1, …, n. Аналогічно обчислюється ковзна дисперсія k-го порядку

де i = k, k + 1, …, n. Підставляючи , у формули для , отримаємо вирази шуканих ковзних оцінок для математичного сподівання та дисперсії випадкового коефіцієнта i-го елементарного переходу :

i = k, k + 1, …, n.

Якщо, зокрема, припустити, що в момент t = 0 є одиничний обсяг ресурсу (x0 = 1), то величина має зміст обсягу ресурсу на момент t = i.

Однією з цілей моніторингу стохастичної динаміки ресурсу є своєчасне виявлення зміни параметрів (параметрів ) цієї динаміки. найпростіше таку зміну можна подати як перехід від ряду значень , що являє собою n1-кратну реалізацію нормально розподіленої випадкової величини до ряду значень що становить n2-кратну реалізацію нормально розподіленої випадкової величини .

Якщо припустити, що дисперсії цих двох рядів спостережень однакові , то перевірку статистичної гіпотези щодо рівності математичних сподівань можна здійснити за допомогою критерію Стьюдента:

де

Зафіксувавши рівень довіри   (0,1) чи рівень допустимого ризику ( = 1 – ) щодо вихідної гіпотези H0 : 1 = 2 і обчисливши відповідне критичне значення Т(; ) для критерію Стьюдента з  = n1 + n2 – 2 ступенями свободи, беремо вихідну гіпотезу H0 за умови й відхиляємо цю гіпотезу на користь альтернативи H1 : 1 > 2 (чи на користь альтернативи H2 : 1 < 2 — залежно від знака величини T(n1, n2) за умови ).

Наведену процедуру виявлення статистично значущих змін параметра  можна включити до загальної схеми моніторингу ресурсу.

Для моментів часу i = k, k + 1, …, n обчислюється «ковзний» дріб Стьюдента:

де

і для значень i = 2k, 2k + 1, …, n перевіряється гіпотеза H0 за допомогою критерію Стьюдента з  = 2(k – 1) ступенями свободи.

Процедуру перевірки статистичної гіпотези H0 : 1 = 2 за допомогою критерію Стьюдента можна поширити і на випадок нерівних дисперсій . Численні дослідження свідчать, що за нерівних дисперсій доречно використовувати критерій Стьюдента з кількістю ступенів свободи , що лежать в інтервалі від k – 1 до 2(k – 1).

Аналогічно проводиться моніторинг дисперсії для періодичної перевірки гіпотези щодо рівності дисперсій на різних відрізках часу, що не перетинаються. Для цього обчислюється «ковзний» дріб дисперсій:

для моментів часу .

Якщо зафіксувати ступінь допустимого ризику  (чи рівень довіри  = 1 – ) щодо гіпотези , де — постійна дисперсія випадкових величин , а — постійна дисперсія випадкових величин , то гіпотезу H0 можна перевірити порівнянням обчислюваної величини F(i, k) з критичним значенням F-критерію зі ступенями свободи .

Двофакторні виробничі функції

Наведені нижче функції розташовуються в порядку зростання складності у їх запису. Усі функції допускають можливість їх модифікації.

Функція з фіксованими пропорціями чинників (функція Леонтьєва):

де а1, а2 — параметри.

Відомо кілька альтернативних систем (гіпотез), що виокремлюють функції цього виду:

а) гранична продуктивність першого чинника є дворівневою кусково-постійною незростаючою функцією від співвідношення з нульовим нижнім рівнем; гранична продуктивність другого чинника — неспадна кусково-постійна функція від з нульовим нижнім рівнем;

б) функція є розв’язком такої задачі математичного програмування:

де у — змінна, яку оптимізують;

в) функція є однорідною першого степеня, а еластичність заміни чинників дорівнює нулю;

г) функція може бути отримана з функції із постійною еластичністю вигляду

шляхом граничного переходу:

Функція Леонтьєва призначена в основному для моделювання строго детермінованих технологій, які не допускають відхилення від технологічних норм і нормативів щодо використання ресурсів на одиницю продукції. Як правило, вона використовується для формалізованого опису дрібномасштабних або цілком автоматизованих об’єктів.

Функція Кобба — Дугласа:

Тут також використовується кілька систем гіпотез, що виокремлюють клас функцій Кобба — Дугласа серед двічі диференційованих функцій від двох змінних:

а) еластичності випуску за чинниками є постійними:

;

Розв’язок цієї системи диференційних рівнянь у частинних похідних першого порядку належить до класу функцій Кобба — Дугласа;

б) еластичність функції за одним із чинників є постійною, і функція є однорідною:

;

в) функція є однорідна, а еластичність заміщення чинників дорівнює одиниці:

;

г) гранична продуктивність кожного чинника є пропорційною його середній продуктивності:

;

д) функція є однорідною як функція від двох змінних х1, х2 і як функція від х1 за будь-якого фіксованого х2;

є) функція може бути отримана із функції з постійною еластичністю шляхом здійснення заміни вигляду

та граничного переходу а3  0. Функція Кобба — Дугласа найчастіше використовується для формалізованого опису середньомасштабних господарських об’єктів та економіки країни.

Лінійна функція

Передумови та гіпотези:

а) граничні продуктивності чинників є постійними:

а в нулі функція набуває нульового значення;

б) гранична продуктивність одного з чинників є постійною, і функція однорідна першого степеня:

;

в) функція однорідна першого степеня, й еластичність заміщення чинників є нескінченною

;

г) еластичність випуску за чинниками обернено пропорційна їхній середній продуктивності:

Лінійна функція застосовується для моделювання великомасштабних систем (велика галузь, народне господарство в цілому), у яких випуск продукції є результатом одночасного функціонування великої кількості різноманітних технологій. Особливу роль відіграє гіпотеза постійності граничних продуктивностей виробничих чинників чи їх необмеженого заміщення.

Функція Аллена:

визначається такими умовами: швидкості зростання граничних продуктивностей є постійними

і функція є однорідною

Функція Аллена за a1, a2 > 0 призначається для формалізованого опису виробничих процесів, у яких надмірне зростання будь-якого з чинників негативно впливає на обсяг випуску продукції. Зазвичай така функція використовується для формалізованого опису дрібномасштабних виробничих систем з обмеженими можливостями переробки ресурсів.

Функція постійної еластичності заміщення чинників (функція CES):

Передумови та гіпотези: функція є однорідною

й еластичність заміщення чинників є постійною

Функція CES застосовується у разі відсутності точної інформації щодо рівня взаємозаміни виробничих чинників, і разом з тим є підстави вважати, що цей рівень суттєво не зміниться за зміни обсягів залучених ресурсів, тобто коли економічна технологія має властивість певної стійкості щодо певних пропорцій чинників. Функція CES (за наявності засобів оцінки її параметрів) може використовуватись для моделювання систем будь-якого рівня.

Приклад. Виробнича функція підприємства має вигляд:

1). Записати рівняння ізокванти, що проходить через точку з координатами .

2). Записати рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами

а) ;

б) .

3). Знайти граничну норму заміщення праці фондами у точці .

Розв’язання

1). Обчислимо обсяг випуску, що відповідає витратам ресурсів :

Запишемо рівняння ізокванти

або

тобто це є степенева гіпербола, асимптотами якої є осі координат.

2). Рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами K0, L0, має вигляд:

а) запишемо рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами :

або, враховуючи область визначення виробничої функції, остаточно рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами , матиме вигляд

Це рівняння прямої, що проходить через початок координат і ортогональної ізокванті .

б) Запишемо рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами ;

Приклад. Розглянемо знайдену за даними 1960—1995 рр. виробничу функцію валового внутрішнього продукту США:

Валовий внутрішній продукт США, що вимірюється в млрд дол., зріс з 1960 до 1995 р. у 2,82 раза, тобто ; основні виробничі фонди за цей самий період збільшились у 2,88 раза (), а чисельність зайнятих — у 1,93 раза ().

Обчислити масштаб та ефективність виробництва.

Розв’язання.

Обчислимо відносні еластичності за фондами і працею:

1 —  = 0,6653.

Визначимо тепер часткові ефективності ресурсів:

а також знайдемо узагальнений показник ефективності як зважене середньогеометричне часткових показників:

Масштаб обчислюємо як зважене середньогеометричне темпів зростання ресурсів:

Отже, загальне зростання ВВП з 1960 до 1995 р. у 2,82 раза стало можливим завдяки зростанню масштабу виробництва у 2,207 раза і підвищенню ефективності виробництва у 1,278 раза (2,82 = 1,278  2,207).

Тема 6. Рейтингове оцінювання та
управління в економіці

Моделювання рейтингового оцінювання
вищого навчального закладу6

Визначимо рейтинг вищого навчального закладу (ВНЗ) як кількісну експертну оцінку позиції об’єкта дослідження, який аналізується серед групи однотипних об’єктів за системою якісних та кількісних показників (критеріїв) з урахуванням їхніх вагових коефіцієнтів.

Важливими є визначення, аналіз та структуризація різних груп показників оцінювання, вибір та обґрунтування яких мають здійснюватися з урахуванням цілей порівняння відповідно до теорії менеджменту.

Задачу визначення рейтингу окремого ВНЗ серед певної множини можна віднести до класу слабоструктурованих проблем, оскільки вона вирішується в умовах невизначеності, наявності багатьох критеріїв і спричиненого цим ризику.

Визначення рейтингу включає такі основні етапи:

збір, систематизація та аналітичне опрацювання інформації (статистичної, експертної) за обраний для аналізу період;
вибір та обґрунтування системи показників, що використовуються для обчислення рейтингової оцінки, їх структуризація;
розроблення методології, методики та інструментарію щодо обчислення інтегрованого показника рейтингової оцінки;
ранжирування об’єктів (елементів вибірки) згідно з кількісним значенням інтегрованого показника рейтингової оцінки для кожного з них.

У низці праць пропонується підхід, згідно з яким потрібно сформувати матрицю з елементів aij (i = 1, …, n; j = 1, …, m), рядки якої (i = 1, …, n) означають номери відповідних деталізованих показників якості освітніх послуг ВНЗ, а стовпчики (j = 1, …, m) — номери об’єктів (ВНЗ) рейтингового оцінювання. Інакше кажучи, вибірка складається з m ВНЗ, а елементи aij — деталізовані показники рейтингової оцінки j-го об’єкта.

Має сенс впровадити як адекватну міру інтегрованого показника рейтингової оцінки модифіковане зважене середньогеометричне (мультиплікативний підхід) і визначати рейтингову оцінку за формулою

(2.2.18)

де — інтегрований кількісний показник якості освітніх послуг j-го ВНЗ, j = 1, …, m; xij — нормалізовані деталізовані показники якості.

Якщо i-й показник має додатний інгредієнт, то:

де І1 — підмножина показників, які мають додатний інгредієнт; — мінімальне кількісне значення і-го показника, , ; — максимальне кількісне значення і-го показника, ,

Якщо ж і-й показник має від’ємний інгредієнт, то:

де І2 — підмножина показників, які мають від’ємний інгредієнт.

Необхідно також, щоб вагові коефіцієнти ki, (ki  0), i = 1, …, n, які містяться у формулі (2.2.18), були нормалізованими, тобто щоб виконувалась умова:

У даному разі у формулі (2.2.18) як високі нормалізовані кількісні значення окремих деталізованих показників, так і низькі значення інших менше нівелюються, ніж за адитивного підходу у визначенні інтегрованого показника рейтингового оцінювання. У даному разі ВНЗ (об’єкти дослідження) будуть упорядковані згідно зі зниженням значень інтегрованого показника Rj, j = 1, …, m. Найкращим виявиться об’єкт j0 з даної вибірки, для якого набуде максимального значення:

Проблема багатоцільового (багатокритеріального) рейтингового оцінювання та впорядкування елементів (об’єктів) певної вибіркової множини характеризується трьома чинниками: {, k, w}, де  — метод нормалізації, k — співвідношення пріоритету (вагомість), w — критерій згортки.

Нормалізація застосовується для переходу до порівняльних шкал у значеннях показників якості освітніх послуг і, як результат, рейтингового оцінювання ВНЗ. Під співвідношенням пріоритету (k) матимемо на увазі вектор вагових коефіцієнтів (k1, …, kn) на компонентах відповідних деталізованих показників.

Критерій згортки приймемо як інтегрований показник, згідно з яким визначається рейтинг ВНЗ серед вибірки. За цим показником здійснюється впорядкування множини елементів заданої вибірки. Зазвичай, критерій згортки є функцією, що відображає Rn в R1.

Існують різні підходи й методи нормалізації, принципи урахування пріоритету та критерії згортки. Ми скористаємося методом аналізу ієрархій, який досить широко застосовується на практиці. Цей метод передбачає декомпозицію проблеми на окремі складові, забезпечуючи її структурування й спрощення з виокремленням (побудовою) ієрархії, що містить різні критерії 7.

У результаті проведеного аналізу, систематизації та групування показників, які впливають на якість або свідчать про умови надання освітніх послуг, розроблена ієрархічна структура критеріїв оцінювання рис. 2.2.5 — 2.2.9. Найнижчий рівень наведеної ієрархії містить деталізовані показники, що прямо чи опосередковано впливають на якість та умови надання освітніх послуг ВНЗ або свідчать про результати його освітньої діяльності (рис. 2.2.6 — 2.2.9). Ієрархію завершує інтегрований показник рейтингу ВНЗ (рис. 2.2.5).

Рис. 2.2.5. Верхні рівні ієрархії показників визначення рейтингу ВНЗ

Рис. 2.2.6. Чинники безпосереднього впливу
на якість навчального процесу

Рис. 2.2.7. Чинники опосередкованого впливу
на якість навчального процесу

Рис 2.2.8.Умови надання ВНЗ освітніх послуг

Рис. 2.2.9. Ієрархія чинників, що характеризують стан ринку праці

Всі наведені на рисунках деталізовані показники можна поділити на дві групи. Показники першої групи визначаються на основі статистичної (кількісної) інформації, джерелом якої є офіційні матеріали Міністерства освіти і науки України, звітність ВНЗ, матеріали ліцензування, акредитації тощо. Другу групу становлять показники, за якими відсутні статистичні (звітні) дані, а також ті, що можна визначити лише на якісному (вербальному) рівні тощо. Джерелом такої інформації можуть бути опитування безпосередніх користувачів освітніх послуг — студентів, а також їхніх родин і потенційних роботодавців — щодо визначення важливості окремих критеріїв або їх груп. У зв’язку з відсутністю для показників другої групи достовірної статистичної інформації є сенс використовувати методи, що ґрунтуються на досвіді та інтуїції, — евристичні або методи експертних оцінок.

Запропонований підхід припускає низку модифікацій. Більша об’єктивність результату забезпечується коли вибірку становлять ВНЗ конкретного напряму підготовки фахівців та певного освітньо-кваліфікаційного рівня.

1 Костіна Н. І., Алєксєєв А. А., Василик О. Д. Фінанси: система моделей і прогнозів: Навчальний посібник. — К.: Четверта хвиля, 1998. — 304 с.

2 Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984. — С.18.

3 Загородній А. Г., Вознюк Г. Л., Смовженко Т. С. Фінансовий словник. — 3-тє вид., випр. та доп. — К.: Т-во «Знання». КОО, 2000.

4 Хікс Дж. Стоимость и капитал. — М., 1993.

5 Хованов Н. В. Математические модели риска и неопределенности. — СПб., 1998.

6 Вітлінський В. В., Оболенська Т. Є., Жигоцька Н. В. Моделювання рейтингової оцінки вищого навчального закладу // Економічна кібернетика. — 2000. — № 3, 4. — С. 64—73.

7 Вітлінський В. В. Аналіз, оцінка і моделювання економічного ризику. — К.: ДЕМІУР, 1996.

151

PAGE 120

1. Виста. Картинки для работы над этим уроком вы можете загрузить здесь
2. Ты некрасивая Кто тебе сказал Надо верить только тем кто заслуживает доверия
3. Границы интерпретационной деятельности Конституционного Суда Украины
4. з курсу Основи охорони праці
5. Капитальный ремонт звеньевого пути на деревянных шпалах с постановкой на щебень и укладкой рельсовых плетей бесстыкового пути
6. Методы управления и совершенствования организационной культуры
7. Aлгоритмы на графах
8. Каждый человек - бренд
9. вариант 1 Метод наименьших квадратов
10. Введение Основные направления изучения казачества Происхождение казаков Первые упоминания о к
11. Минимальная клетка т
12. Порядок увольнения работника и оплаты сверхурочного труда
13. Контрольная работа по курсу Гражданское право
14. ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ НАВЧАЛЬНОНАУКОВИЙ ІНСТИТУТ ВИЩА ШКОЛА ЕКОНОМІКИ ТА.
15. Главное в философии
16. Реферат- Труд несовершеннолетних работников
17. Содержание и задачи Международных стандартов финансовой отчетности. Правила подготовки и представления финансовой отчетности по МСФО
18. д Срок проверки сообщения о преступлении
19. менеджера в процессе выработки и принятия решений в сфере маркетинга
20. 2 236 j12 активную реактивную и полную мощности для всей цепи

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе