Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 32
з теми: «Частинні похідні. Диференційованість функцій багатьох змінних. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу.»
Модуль КЗН-02.ПР.О.03.13 Частинні похідні і диференціали
Дисципліна: «Математичний аналіз»
|
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В. |
Розробив викладач Велікодна О. В. |
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІІ
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Частинні похідні. Диференційованість функцій багатьох змінних. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу.
Мета:
Тип: лекція
Вид: лекція з використанням проектної технології.
Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.
Науково-методичне забезпечення:
Між предметні зв’язки:
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
Конспект лекції № 32
Тема: Частинні похідні. Диференційованість функцій багатьох змінних. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу.
План лекції № 32.
Нехай функція визначена в деякім околі точки . Тоді , наприклад, частинною похідною в точці називається звичайна похідна в точці функції, отримана з даної фіксуванням всіх аргументів, окрім першого.
Нехай , тоді - приріст функції в точці по змінній . Далі, користуючись визначенням похідної отримаємо: .
Аналогічно визначаються похідні функції по іншим змінним. Існування у функції всіх частинних похідних в точці не означає неперервність функції в цій точці.
Приклад. Знайти частинні похідні функції
Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних
Графіком функції є деяка поверхня (див. п. 12.1). Графіком функції є перетин цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної (див. п. 20.2), заключаємо, що , де - кут між віссюі дотичною, проведеною до кривої в точці (див. рис. 3). Аналогічно .
Диференційовність і повний диференціал функції.
Визначимо поняття диференційованості функції двох змінних. Нехай функція z = ƒ(х, у) визначена в деякому околі точки . Для точки М(х, у): .
Нехай - повний приріст функції ƒ в точці .
Визначення 1. Функція z = ƒ(х, у) називається диференційованою в точці , якщо існують два числа А та В, що .
Якщо функція z = ƒ(х, у) диференційована в точці , то лінійна функція змінних називається диференціалом функції в точці та позначається dz: .
Вирази и називають частинними диференціалами. Для незалежних змінних і вважають і . Тому рівність можна переписати у вигляді
Лема. Для того, щоб функція z = ƒ(х, у), що задана в деякім околі точки , була диференційована в цій точці, необхідно та достатньо, щоб існували такі нескінченно малі при ρ→0 функції , що приріст функції ƒ в точці мав би вигляд: .
Теорема 1. Якщо функція диференційована в деякій точці, то вона неперервна в цій точці.
Теорема 2. Якщо функція z = ƒ(х, у) диференційована в точці та - її диференціал в цій точці, то у функції ƒ в точці існують частинні похідні по х та по у, причому . Таким чином, диференціал можна записати у вигляді .
Відзначимо, що зворотне твердження хибне, тобто з неперервності функції, або існування частинних похідних не слідує диференційовність функції. Так, неперервна функція не диференційовна в точці
Як наслідок теореми одержуємо формулу для обчислення повного диференціала. Формула (2.3) приймає вигляд:
або , (*)
де − частинні диференціали функції .
Теорема 3. (достатня умова диференційовності функції). Якщо функція має неперервні частинні похідні і в точці , то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою (*).
Приймемо теорему без доведення. Відзначимо, що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.
Щоб функція була диференційовна в точці, необхідно, щоб вона мала в ній частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в точці неперервні частинні похідні.
Арифметичні властивості і правила знаходження диференціалів функції однієї змінної зберігаються і для диференціалів функції двох (і більшого числа) змінних.
Теорема 4. Якщо функція має в околі точки частинні похідні та вони неперервні в цій точці, то функція диференційована в ній.
Застосування повного диференціала для наближених обчислень
З означення диференціала функції випливає, що при достатньо малих і має місце наближена рівність
(**)
Оскільки повний приріст , рівність (**) можна переписати в наступному вигляді:
(***)
Формулою (***) користуються в наближених розрахунках.
Приклад. Обчислити приблизно: Розглянемо функцію . Тоді , де , , . Скористаємося формулою (2.7), заздалегідь знайшовши і Отже, .
Для порівняння, знаходимо:
і 1,061418168.
Відзначимо, що за допомогою повного диференціала можна знайти: межі абсолютної і відносної похибок в наближених обчисленнях; наближене значення повного приросту функції і т. д.
Розглянемо композицію функції двох змінних та функції однієї змінної.
Теорема 5. Якщо функції х = х(t) та у = у(t) диференційовані в точці , а функція z = ƒ(х, у) диференційована в точці , де , то складна функція диференційована в точці та в цій точці .
Якщо функції х = х(u, v) та у = у(u, v) диференційовані в точці та мають в цій точці частинні похідні , а функція z = ƒ(х, у) диференційована в точці , де , то в точці існують частинні похідні складної функції z = ƒ(х(u, v), у(u, v)) та , .
Приклади.
Запис диференціалу функції багатьох змінних має один й той самий вигляд як відносно незалежних, так і відносно залежних змінних.
Теорема 6. Якщо функції хі = хі(t), і =1,…, n мають в точці неперервні частинні похідні, а функція у = ƒ(х) – неперервні частинні похідні в точці , де , то складна функція ƒ(х(t)) диференційована в точці та - інваріантність форми першого диференціалу.
Приклад.
Диференціювання неявної функції
Функція називається неявною, якщо вона задається рівнянням
(1)
нерозв’язним щодо . Знайдемо частинні похідні і неявної функції , заданої рівнянням (1). Для цього, підставивши в рівняння замість функцію , отримаємо тотожність Частинні похідні по і по функції, тотожно рівній нулю, також рівні нулю:
( – вважаємо сталою)
(– вважаємо сталою)
звідки і
Зауваження.
а) Рівняння вигляду (1) не завжди визначає одну змінну як неявну функцію двох інших. Так, рівняння визначає функції або , визначені в крузі , визначену в півколі при і т. д., а рівняння не визначає ніякої функції.
Має місце теорема існування неявної функції двох змінних:
Якщо функція і її похідні визначені і безперервні в деякій околі точки , причому , a , то існує окіл точки , в якій рівняння (2.11) визначає єдину функцію , неперервну і диференційовну в околі точки і таку, що .
б) Неявна функція однієї змінної задається рівнянням . Можна показати, що у випадку, якщо виконуються умови існування неявної функції однієї змінної (є теорема, аналогічна вищезгаданій), то похідна неявної функції знаходиться по формулі
(2)
Приклад 4. Знайти частинні похідні функції , заданої рівнянням .
m Тут
По формулах (2) маємо : l
Приклад 5. Знайти , якщо неявна функція задана рівнянням
m Тут Отже
тобто l