Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция.1. История создания неевклидовой геометрии.
Наши задачи:
1. Более подробное знакомство с основными положениями аксиоматического метода, его применение в математике, и в частности, в геометрии.
2. Аксиоматическое построение некоторых абстрактных геометрических теорий (высшая геометрия), используемых не только в математике, но и в механике, физике, космологии и других разделах естествознания.
На этой лекции остановимся на следующих вопросах:
1. Возникновение геометрии.
2. Начала Евклида.
3. Создание неевклидовой геометрии Лобачевского.
4. Аксиоматическое построение геометрии.
Предположительно, первые сведения по геометрии были добыты эмпирическим путём цивилизациями древнего Востока (Египет, Вавилон, Китай, Индия) в связи с развитием земледелия и другими практическими потребностями. Эти сведения представляли собой собрание частных решений отдельных задач (причём рецепты решений не всегда были верными).
Уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне умели вычислять площадь четырёхугольника, объём четырёхугольной пирамиды, приблизительно – площадь круга. Вавилоняне знали теорему Пифагора. Никаких доказательств при этом, как правило, не предъявлялось.
В 7 – 2 веках до нашей эры под влиянием египтян геометрия развивалась в Древней Греции. Развитие геометрии в этот период связано с именами Фалеса, Пифагора, Платона, Евдокса, Архимеда. Делается много важных открытий; доказывается ряд замечательных теорем (об углах, вписанных в окружность и опирающихся на диаметр; о сумме углов треугольника; о правильных многогранниках); устанавливается существование несоизмеримых отрезков, и т.д. Результаты, получаемые геометрами Древней Греции, охватывают почти всё содержание современных школьных курсов геометрии. Отличительной чертой греческой математики была её дедуктивность и доказательность.
К концу третьего века до нашей эры был накоплен значительный запас геометрических фактов и методов их доказательства. Возникла задача систематизации и логического обоснования геометрии. Решению этой задачи был посвящён труд Евклида, известный под названием “Начала”.
Несколько слов о Евклиде. Евклид – ученик Платона, жил в третьем веке до нашей эры в Александрии (Египет), столица греческого мира. Преподавал там геометрию. Составленные им “Начала” дают первое дошедшее до нас строгое логическое построение геометрии. Изложение в нём настолько безупречно для своего времени, что в течении двух тысяч лет с момента появления это сочинение было единственным руководством для изучающих геометрию (в Англии “Начала” применялись для изучения геометрии в школе до начала 19 века).
“Начала” включают 13 книг (глав), из которых собственно геометрии посвящены книги 1 – 4 и 6, излагающие планиметрию, а также 11 – 13, охватывающие стереометрию. Остальные книги “Начал” посвящены арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые; затем приводятся предложения, принимаемые без доказательства, которые делятся на постулаты и аксиомы. (По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно; на этот счет есть разные точки зрения). Теоремы (предложения) последовательно доказаны по правилам логики на основании постулатов, аксиом и ранее доказанных теорем. Таким образом, был произведён выбор основных понятий и аксиом, остальные известные и новые геометрические факты выводятся из них. С точки зрения современной математики это означало аксиоматизацию геометрии, использованием в ней аксиоматического метода.
Примеры определений:
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Концы линий – точки.
4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
Примеры постулатов:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая L при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются с той стороны от L с которой эта сумма меньше двух прямых.
Примеры аксиом:
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавить равные, то получим равные.
7. Совмещающиеся друг с другом равны.
Хотя «Начала» Евклида и были в течение длительного времени образцом для сравнения, и логическое построение геометрии было проведено Евклидом для того времени чрезвычайно точно, они далеко не достигают уровня современной строгости изложения. Отметим следующие моменты.
1) Многие из определений не ясны, и скорее являются описанием геометрических образов, причём далеко не совершенным.Например, определение 4 прямой линии не отличает её от определения окружности, а определение 2 произвольной линии содержит упоминание о длине и ширине, которые сами нуждаются в определении. Однако, если учесть, что свойства геометрических образов, содержащихся в таких «дефективных» определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без ущерба для изложения.
2) Список основных понятий является недостаточным для строго логического построения геометрии. Так, отсутствуют, например, аксиомы, описывающие понятия «точка на прямой лежит между двумя другими её точками», «две точки плоскости лежат по одну сторону от прямой».
3) Не определено понятие движения.
4) Невозможным было обосновать процедуру измерения длин, площадей. Необходимые для этого аксиомы (например, аксиомы Архимеда) были добавлены позже.
5) Было обнаружено, что не все аксиомы и постулаты независимы.
Некоторые из указанных выше недостатков «Начал» Евклида были отмечены уже древними греками, в связи с чем предпринимались попытки улучшить изложение «Начал». Главная задача, которую при этом ставили, заключалась в том, чтобы свести систему постулатов и аксиом Евклида до минимума. Естественный путь для решения этой задачи состоит в том, чтобы некоторые из постулатов и аксиом вывести из основных. Именно таким путём «Начала» были освобождены от 4 постулата, в котором речь идёт о равенстве всех прямых углов.
Однако все попытки освободиться таким образом от 5 постулата были безрезультатными, хотя этим вопросом занимались геометры в течение более 2000 лет. Типичной ошибкой большинства доказательств 5 постулата являлось сознательное или бессознательное использование какого-либо утверждения, не содержащегося явно в остальных постулатах и аксиомах и не вытекающего из них. При этом было найдено множество утверждений эквивалентных 5 постулату. Приведем примеры таких утверждений.
1. Все перпендикуляры к одной стороне некоторого острого угла пересекают его другую сторону.
2. Существуют подобные неравные треугольники.
3. Существуют треугольники сколь угодно большой площади.
4. Существуют треугольники с суммой углов, равной двум прямым.
5. Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, ей параллельной.
6. Расстояние между непересекающимися прямыми ограничено сверху.
7. Около любого треугольника можно описать окружность.
Хотя попытки доказательства 5 постулата и не привели к желаемому результату, они сыграли положительную роль в развитии геометрии, т.к. в ряде случаев обогатили её новыми интересными теоремами, доказательство которых не опирается на 5 постулат. Одна из таких теорем, доказанная Лежандром, гласит: в каждом треугольнике сумма углов не больше двух прямых.
Один из способов подхода доказательства пятого постулата состоял в следующем: 5 постулат заменяется его отрицанием или каким-либо утверждением, эквивалентным отрицанию. С использованием изменённой таким образом системы постулатов и аксиом, доказываются всевозможные предложения, логически из неё вытекающие. Если 5 постулат действительно вытекает из остальных постулатов и аксиом, то полученная система результатов противоречива. Поэтому рано или поздно мы придём к двум взаимно исключающим выводам. Таким образом будет доказан пятый постулат. Среди геометров 18 в. ближе всех к правильному решению проблемы 5 постулата был Ламберт.
Только в 19 в. удалось решить проблему пятого постулата. Основная заслуга в этом принадлежит Н.И.Лобачевскому. Он также сначала пытался доказать пятый постулат. При этом он пришел к выводу, что теория, основанная на отрицании пятого постулата, представляет собой новую геометрию, столь же непротиворечивую, сколь и геометрия Евклида. О своём открытии Н.И.Лобачевский сделал доклад в Казанском университете 23 февраля 1826 г. и опубликовал его в “Казанском вестнике”. Работа называлась “О началах геометрии”, в которой он сформулировал утверждение о том, что пятый постулат Евклида можно вывести из остальных аксиом геометрии. При этом Н.И.Лобачевский развивает так называемую “воображаемую геометрию” и даёт ее аналитическое исследование, применяет ее в математическом анализе для вычисления интегралов. Примерно в то же время к выводу о существовании новой геометрии пришел Ф.Гаусс. Три года спустя, после выхода в свет работы Н.И.Лобачевского венгерский математик Янош Больяи, не зная об исследованиях Н.И.Лобачевского, опубликовал работу, в которой излагал ту же теорию, что и Н.И.Лобачевский, но в менее развитой форме.
Может показаться, что вывод Н.И.Лобачевского недостаточно обоснован. Ведь нет гарантии того, что, развивая его геометрию дальше, мы не придем к противоречию. Но тоже можно сказать и о геометрии Евклида. С точки зрения логической непротиворечивости геометрии находятся в равном положении, между этими двумя геометриями существует тесная связь. Вопрос о том, какая из этих геометрий лучше отражает пространственное отношение в окружающем нас мире, может быть решён только опытом. Это понимал и сам Н.И.Лобачевский, который предпринимал попытки доказать непротиворечивость своей геометрии (в том числе, и экспериментально, производя измерения суммы углов астрономического треугольника).
Открытие Н.И.Лобачевского не получило широкого признания при его жизни но его не смутила ни стена непонимания ни насмешки. Н.И.Лобачевский продолжал неутомимо развивать своё открытие. Общему признанию геометрии Н.И.Лобачевского способствовали последующие работы геометров. Среди этих работ, прежде всего, надо упомянуть работу Бельтрами. В 1871 году Ф.Клей доказал относительную непротиворечивость геометрии Н.И.Лобачевского.
Работы Н.И.Лобачевского – новый этап в развитии естествознания. До Н.И.Лобачевского считалось, что евклидова геометрия – единственно возможное учение о пространстве. Работы Н.И.Лобачевского опровергли этот взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их приложениям в математике, физике, астрономии. Развитие геометрии в 19 в. поставило вопрос о перестройке её основ. В связи с изменениями, произошедшими в геометрии, во второй половине 19 в. перед математиками встала задача аксиоматического обоснования евклидовой геометрии. Требовалось построить такую систему основных понятий, аксиом, на базе которой, можно было развивать геометрию.
Эта задача была решена Д.Гильбертом. В 1899 была опубликована его работа «Основания геометрии», в которой были в основном завершены многовековые исследования по обоснованию геометрии. Работа Д.Гильберта «Основания геометрии» получила очень высокую оценку современников и была отмечена премией им. Н.И.Лобачевского.