У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Для любого целого а и целого существуют и единственные целые q и r такие что

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-12-26

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

Основную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком.

Теорема 4.1. Для любого целого а и целого  существуют и единственные целые q и r, такие что .

Замечание 4.3. Если  то q называется неполным частным, а r – остатком от деления a на b. 

Замечание 4.2. В частности, если  , то  и  делится на .

Из теоремы 4.1 следует, что при фиксированном целом m > 0 любое целое число а можно представить в одном из следующих видов:



При этом если  то будем иметь , если  и 

, если .

Примеры.

  1.  
    Любое целое число можно представить в виде 
     или .
  2.  
    Любое целое число можно представить в виде 
     или  или .


Важным следствием из теоремы о делении с остатком является еще одно свойство делимости.

Теорема 4.4. Разность целых чисел а и b делится на натуральное число m в том и только в том случае, когда числа а и b при делении на m дают одинаковые остатки.

Замечание. Такие числа называют еще равноостаточными, или сравнимыми по модулю m.

На следующей теореме основан ещё один способ нахождения наибольшего общего делителя целых чисел.

Теорема 4.5. Пусть и b – два целых числа, 0 и  тогда .

Этот способ называется алгоритмом Евклида. Задача нахождения НОД чисел и b сводится к более простой задаче нахождения НОД b и r. Если r = 0, то . Если же , то рассуждения повторяем, отправляясь от b и r. В результате получаем цепочку равенств:

 , ,

 , ,

 , , ……………………(**)

………….. ………..

,

.

Мы получим убывающую последовательность натуральных чисел



которая не может быть бесконечной. Поэтому существует остаток, равный нулю: пусть . На основании теоремы 4.5 из (**) следует, что  .

Число n называется модулем сравнения. Символически сравнимость записывается в виде формулы (сравнения):

Например, 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как оба числа при делении на 7 дают остаток 4:

Эквивалентные формулировки: числа  сравнимы по модулю n, если:

  1.  их разность  делится на  без остатка;
  2.   может быть представлено в виде , где  — некоторое целое число.

Для вышеприведенного примера: 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как их разность  делится на 7, и к тому же имеет место представление:

Свойства

Отношение сравнимости по модулю натурального числа  обладает следующими свойствами:

  1.  рефлексивности: для любого целого  справедливо 
  2.  симметричности: если  то 
  3.  транзитивности: если  и  то 

В силу того, что отношение сравнимости по модулю обладает этими тремя свойствами, оно является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Любые два целых числа сравнимы по модулю 

Если числа a и b сравнимы по модулю n, и n делится на m, то a и b сравнимы по модулю m.

Для того, чтобы числа a и b были сравнимы по модулю n, каноническое разложение на простые сомножители которого:

необходимо и достаточно, чтобы

Если  и , то , где .




1.  АНКЕТНЫЕ ДАННЫЕ- Анкета туриста строго по образцу ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАПОЛНЕНЫ ВСЕ ПУНКТЫ АНКЕТЫ 2
2. Валютно-обменные операции в коммерческом банке
3. Лабораторна робота М~10 Визначення відношення теплоємностей для повітря по методу Клемана та Дезорма Мета
4. Торговля людьми
5. как ряд этапов каждый из которых может стать поворотным
6. реферат диссертации на сокскайие ученой степени кандидата юридических наук Подписано в печать 24
7. ПРАКТИКУМ по Бухгалтерскому учету анализу и аудиту Выполнила студентка
8. Психологический климат в коллективе ~ залог успешности предприятия
9. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук ЖИТОМИР
10. Тема- Защита населения в чрезвычайных ситуациях мирного и военного времени