Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
№9
Система из 2-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
№10
Система из 3-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.
№11
Теорема: Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. Будем считать, что в четверке векторов a, b, c, d векторы a, b, c некомпланарны (так как если a, b, c компланарны, то линейная зависимость a, b, c, d вытекает из линейной зависимости подсистемы). Тогда на основании утверждения 2 будем иметь
d = αa + βb + γc. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c, d линейно зависимы. Теорема доказана.
P.s.
1) Линейная комбинация а1,а2,а3...an это любой вектор вида La1+La2+La3...+Lan
2)a1,a2,a3...an линейно зависимые, если существуют такие L1 L2 L3 Ln, что линейная комбинация = 0
№12
Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
№13
№14
Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).
№15 ā (x, y, z) ā2 = ā * ā = |ā| * |ā| * cos0 = |ā|2 => |ā| = √ā2 = √x2 + y2 +z2
№16 на плоскости |ā| = √x2+y2
в пространстве |ā| = √x2 + y2 + z2
№17 два вектора a и b называются ортогональными, если угол между
ними равен 90.
№18
если а = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, то (a * b) = x1·x2+y1·y2+z1·z2.
№19 Векторным произведением 2-х векторов называется 3-й вектор, который удовлетворяет следующим условиям:
1) |c| = |a| x |b| = |a| * |b| * sin γ
2) c ┴ a , с ┴ b
3) a, b, c – правая тройка
№20 1) a x b = - b x a — антикоммутативность
|
Коллиниарны — направлены в разные стороны |
2) ( a + b ) x c = a x c + b x c – дистрибутивность векторного расположения
3) a x b = 0, если: либо a = 0
либо b = 0
либо a ║ b
4) λ*a x b = a x λ*b = λ·(a x b) λ R -
№21 Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
№22 S = ½|a x b|
№23 Вектора называются коллинеарными если они лежат на параллельных прямых или на 1 прямой
№24 Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.
Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.
№25Смешанным произведением трех векторов называется число
№26 Свойства смешанного произведения :
1) (a x b) * c = a * (b x c) = (b x c) * a
abc = bca = cab = -bac = -acb = -cba
2) (a1 + a2)bc = a1bc + a2bc
3) λabc = λ(abc) ( все это вектора если что)
№27 Геометрический смысл: Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен модулю их смешанного произведения
№28
№29 Компланарные вектора-3 вектора,если они будучи приведенные к общему началу ,лежат в одной плоскости.
№30 Н и Д чтобы они были линейно-независимы.
№31 | i j k|
а x b=|x1 y1 z1| (a и b-вектора)
|x2 y2 z2|
№32 a(x1;y1;z1); b(x2;y2;z2); c(x3;y3;z3) a, b, c-вектора
|x1 y1 z1|
abc= |x2 y2 z2|
|x3 y3 z3|
№33 r-r0=up+vq (r ,r0,p,q,n-вектора)
№34 (r-r0)n=0 r0*n=D
№35. Общее уравнение плоскости в координатах:
Ax + By + Cz + D=0
№36. Уравнение плоскости в “отрезках на осях”:
a,b,c точки пересечения с осями Ox, Oy и Oz соответственно
№37. Условие параллельности 2ух плоскостей:
Две плоскости параллельны, если их нормальные векторы n1 и n2 параллельны, а значит (A1/A2) = (B1/B2)= (C1/C2)
№38. Условие совпадения 2ух плоскостей (π1 = π2):
(A1/A2) = (B1/B2) = (C1/C2) = (D1/D2)
№39. Условие пересечения двух плоскостей:
если плоскости не параллельны и не совпадают, то они пересекаются
№40. Условие ортогональности двух плоскостей:
n1 ⊥ n2
n1 * n2 = 0
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
№41. Формула о вычисление угла cos(n1^n2)=n1*n2 / l n1l*ln2l
№42. r = r0+tS
№43. r-r0 ll S ---≥ x-x0/L=y-y0/m=z-z0/n
№44. ( r-r0 )×S=0
№45. А(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By+D=0
D=-Ax0-By0
№46. Направляющий вектор S прямой должен быть перпендикулярен нормали n плоскости.
№47. Условие Параллельности Al+Bm+Cn=0
Условие перпендикулярности n×S=0 A/l=B/m=C/n
№48. a (a, b, c); b(d,e,f) (взял d,e и f чтобы было нагляднее, на деле модно а1, b1 и т.д.)
Cos µ = a*b/|a|*|b|= (a*d+b*e+c*f)/√(a²+b²+c²) *√(d²+e²+f²)
№49.Условие параллельности двух прямых в пространстве.
L1: =1 + t1 1(l1, m1, n1)
L2:= + t(l2,m2,n2)
№50.Условие совпадения 2х прямых в пространстве.
№51.Условие пересечения 2х прямых в пространстве.
№52. Условие скрещивающихся прямых в пространстве.
№53.Угол между прямыми в пространстве Сos A= 1*2/1|*|2|
№54.Условие параллельности прямой и плоскости.
*=0
(M)*=0
№55. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости или через одну точку этой плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости.
№56. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны
№57. Угол между прямой и плоскостью - угол между направляющим вектором S прямой и проекцией вектора S на эту плоскость ( S’)
sinA=(S*S’)/( | S | * | S’| )
№58. Матрица размера m x n - таблица из m строк и n столбцов.
Матрица, у которой всего одна строка - строковая, у которой один столбец – столбцовая.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
№59. К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на число.
№60 Сложение матриц.
Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A и B является матрица C , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов.
Свойства операции сложения матриц
1. свойство ассоциативности: А + (В + С) = (А + В) + С.
2. А + нулевая матрица = А. 3. А - А = О.
4. свойство коммутативности: А + В = В + А.
№81
Многочленом называется сумма или разность одночленов. Любой многочлен можно записать в стандартном виде. Для этого надо каждый член многочлена записать в стандартном виде и привести подобные слагаемые.
Многочлен степени n от х –выражение вида Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
xɛR ; aɛR ; an, an-1 , … , a0 –некоторые числа ; an≠0
Теорема Безу:
Остаток от деления многочлена Pn(x) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а.
№82
№83
Комплексным числом называется число z=x+iy , где х,уɛR; а i= – мнимая единица(число квадрат которого =-1).
№84
z=x+iy, где х-действительная часть комплексного числа и обозначается x=ReZ, у- мнимая часть комплексного числа и обозначается y=ImZ.
№85 C ImZ
i x+iy
y
ReZ
0 1
x
№86
Сложение комплексных чисел в алгебраической форме:
Пусть Z1=x1+iy1 , Z2=x2+iy2
тогда z1+z2=x1+iy1+x2+iy2=(x1+x2)+(y1+y2)i
№87 Операция умножения комплексных чисел в алгебраической форме.
Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных чисел, надо лишь помнить, что
Например:
z1=a+bi
z2=c+di
z1*z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bd(i)^2=ac+adi+cbi-bd=(ac-bd)+i(ad+cb)
№88 Комплексно сопряженные числа. Изображение на комплексной плоскости.
Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
№89 Операция деления комплексных чисел в алгебраической форме. Алгоритм.
Чтобы разделить комплексное число на другое комплексное число, нужно числитель и знаменатель умножить на число сопряженное знаменателю.
Например:
z1=a+bi
z2=c+di
a+bi (a+bi)(c-di) ac-adi+bci-bd(i)^2 ac-adi+bci+bd (ac+bd)-i(ad-bc)
z1/z2= ------- = -------------- = ----------------------- = --------------------- = ---------------------- =
c+di (c+di)(c-di) c^2 – (di)^2 c^2 + d^2 c^2 + d^2
(ac+bd) i(ad-bc)
= -------------- - -----------------
c^2 + d^2 c^2 + d^2
№90 Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или
№91 Связь между алгебраической и тригонометрической формами комплексного числа.
Пусть Z = x + yi
Тогда Z в тригонометрической форме будет = r(cos+isin),
где =arctg(y/x), r=√(x²+y²)
№92 Операция умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.
Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда
.
Доказательство.
, ч.т.д.
№93. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме
№94. Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме (формула Муавра).
№95. Показательная форма комплексного числа.
№96. Формула Эйлера.
№97.Связь между тригонометрической и показательной формами комплексного числа
Согласно формуле Эйлера:
получаем:
№98.Умножение комплексных чисел в показательной форме
№99. Деление комплексных чисел в показательной форме
№100. Возведение в степень комплексного числа в показательной форме.
На всякий случай:
, где k=0, 1, 2, …, n-1