Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ……………………………..……………………………………......3
2. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ……………………..……………………………………..…..4
3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА........................................6
4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА …………..…………...…8
5. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ К ДАННОМУ ПРИМЕРУ…………………………………………………………………………10
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………….………...…13
7. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА………………………………………..14
8. ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………...15
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерполированием является одним из способов приближения функций и применяется в тех случаях, когда функция задается таблицей своих значений в некоторых точках.
Задачей интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках данного отрезка. Разумеется, такая постановка задачи допускает сколь угодно много решений.
Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерений yk = f(xk) некоторой физической величины f(x) в точках xk, k = 0, 1,…, n и требуется определить ее значение в других точках. Интерполирование используется также при необходимости сгущения таблиц, когда вычисление значений f(x) по точным формулам трудоемко.
2. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
Пусть функциональная зависимость задана таблицей y0 = f(x0);…, y1= f(x1);…,yn = f(xn). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = Pn(x) степени не выше n, значения которого в точках xi (i = 0, 1 2,…, n)совпадают со значениями данной функции, то есть P(xi) = yi.
Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида
проходящую через заданную систему точек Мi(xi,yi) (рис. 1). Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки xi (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции
Рис. 1. Интерполирование алгебраическим многочленом
Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а0, а1, а2 ,…, аn получаем систему линейных уравнений
(1)
определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.
Решение системы (1) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.
3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Пусть и заданы точки , (узлы интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования состоит в том, чтобы построить многочлен:
степени n, значения которого в заданных точках , совпадают со значениями функции в этих точках. Такой полином существует и единственен.
Интерполяционный многочлен степени не выше n по системе алгебраических многочленов 1, х, х²,…,xⁿ можно задать по формуле Лагранжа:
,где ,
.
Обозначая
получим “барицентрический” вид многочлена Лагранжа:
4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
Интерполяционная формула Ньютона является разностным аналогом формулы Тейлора и имеет вид:
где , i,j=0,1,…,n,
i ≠ j – разделенные разности первого порядка,
, i,j,k=0,1,…,n,
I ≠ j ≠ k – разделенные разности второго порядка,
– разделенные разности k-го порядка.
При выводе формулы Ньютона не накладывается ограничений на порядок узлов x0,x1,…,xn , поэтому множество интерполяционных формул можно получить из перенумерацией узлов.
Также есть первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования в начале таблицы, т.е. точка x близка к x0), по которой будет считаться данная формула:
Pn(x) = f0 + tΔ f0 + Δ2f0 + … + Δn f0, где t =
|
n |
fn |
Δfn |
Δ2fn |
Δ3fn |
Δ4fn |
|
0 |
f0 |
Δf0 |
Δ2f0 |
Δ3f0 |
Δ4f0 |
|
1 |
f1 |
Δf1 |
Δ2f1 |
Δ3f1 |
… |
|
2 |
f2 |
Δf2 |
Δ2f2 |
… |
… |
|
3 |
f3 |
Δf3 |
… |
… |
… |
|
4 |
f4 |
… |
… |
… |
… |
5. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ К ДАННОМУ ПРИМЕРУ
Дана таблица значений функции y = Sh(x):
|
x |
Sh(x) |
|
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 |
1,17520 1,33565 1,50946 1,69838 1,90430 |
Нужно найти приближенное значение Sh(x) по интерполяционной формуле Лагранжа и Ньютона для значения аргумента 0,03.
Исходя из данной формулы Лагранжа найдем значение.
, в нашем случае L5(1,03).
Найдем:
ω(1,03) = (1,03-1)*(1,03-2)*(1,03-3)*(1,03-4) = 0,0000356643
(ω'(x0) = (1-1,1)*(1-1,2)*(1-1,3)*(1-1,4) = 0,0024
(ω'(x1) = (1,1-1)*(1,1-1,2)*(1,1-1,3)*(1,1-1,4) = -0,0006
(ω'(x2) = (1,2-1)*(1,2-1,1)*(1,2-1,3)*(1,2-1,4) = 0,0004
(ω'(x3) = (1,3-1)*(1,3-1,1)*(1,3-1,2)*(1,3-1,4) = -0,0006
(ω'(x4) = (1,4-1)*(1,4-1,1)*(1,4-1,2)*(1,4-1,3) = 0,0024
x - x0 = 0,03
x - x1 = - 0,07
x - x2 = - 0,17
x - x3 = - 0,27
x - x4 = - 0,37
После того, как нашли ω(x) и ω' (xk), найдем L5(1,03).
L5(1,03) = + +
+ + + =
= 0,58212063 + 1,1341671975 – 0,7916740335 + 0,373898357 – 0,07648144875 =
= 1,22203070225.
Найдем значение в точке 1,03 по интерполяционной формуле Ньютона.
Δf0 = f1 – f0 = 0,16045
Δf1 = f2 – f1 = 0,17381
Δf2 = f3 – f2 = 0,18893
Δf3 = f4 – f3 = 0,20592
Аналогично находим остальные значения Δf и подставим их в таблицу.
|
n |
fn |
Δfn |
Δ2fn |
Δ3fn |
Δ4fn |
|
0 |
1,1752 |
0,16045 |
0,01336 |
0,00175 |
0,00014 |
|
1 |
1,33565 |
0,17381 |
0,01511 |
0,00189 |
… |
|
2 |
1,50946 |
0,18892 |
0,017 |
… |
… |
|
3 |
1,69838 |
0,20592 |
… |
… |
… |
|
4 |
1,9043 |
… |
… |
… |
… |
t = = 0,3
P5(1,03) = 1,1752 + 0,3*0,16045 + *0,01336 + *
*0,00175 + *0,00014 = 1,1752 + 0,048135 - 0,0014028 + 0,000104125 – 0,00000562275 = 1,22203070225.
Теперь посчитаем значение в точке 1,03 по формуле гиперболического синуса:
Sh(x) = => Sh(1,03) = = 1,22202943707.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе были рассмотрены интерполирования алгебраическими многочленами методами Лагранжа и Ньютона, пути решения которых совершенно разные, но результаты работы были одинаковыми, и также был рассчитан гиперболический синус по данной точке, результат которой меньше, но весьма близок к результатам методов.
Мною было рассчитано значение в точке по интерполяционным формулам Лагранжа и Ньютона и была создана демонстративная программа на Delphi 7, которая наглядно показывает достоверность решения методов.
7. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
2) Монастырский П.И. Сборник задач по методам вычислений 2-е издание.
3) Тынкевич М. А.. Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Численные методы анализа.
8. ПРИЛОЖЕНИЕ
Используя все выше перечисленные интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, внесем их в программу Delphi 7 через язык программирования Паскаль.
Результат по интерполяционной формуле Лагранжа:
Результат по интерполяционной формуле Ньютона:
Вывод: все значения в программе Delphi 7 совпадают со значениями из пункта 5.
Код программы Паскаль по интерполяционной формуле Ньютона:
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, Grids, StdCtrls, XPMan, unit2, Buttons, TeEngine, Series,
ExtCtrls, TeeProcs, Chart;
type
TForm1 = class(TForm)
Label1: TLabel;
Edit1: TEdit;
Button1: TButton;
StringGrid1: TStringGrid;
XPManifest1: TXPManifest;
Button2: TButton;
Memo1: TMemo;
Chart1: TChart;
Series1: TLineSeries;
BitBtn1: TBitBtn;
Label2: TLabel;
RadioGroup1: TRadioGroup;
Label3: TLabel;
Edit2: TEdit;
Button3: TButton;
Edit3: TEdit;
Memo2: TMemo;
LabeledEdit1: TLabeledEdit;
Label4: TLabel;
Edit4: TEdit;
Edit5: TEdit;
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
Meth:Methods;
flag:bool;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
Meth:=Methods.Create;
RadioGroup1.ItemIndex:=0;
StringGrid1.Cells[0,0]:='№ узла';
StringGrid1.Cells[0,1]:='x[i]';
StringGrid1.Cells[0,2]:='y[i]';
StringGrid1.Cells[1,0]:=IntToStr(1);
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
i:integer;
begin
Meth.N:=StrToInt(Edit1.Text);
StringGrid1.ColCount:=Meth.N+1;
for i:=1 to Meth.N do
begin
StringGrid1.Cells[i,0]:=IntToStr(i);
end;
end;
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
i: integer;
begin
Memo1.Clear;
Memo2.Clear;
Series1.Clear;
Meth.Step:=StrToFloat(LabeledEdit1.Text);
for i:=1 to Meth.N do
begin
Meth.x[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i,1]);
Meth.y[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i,2]);
end;
for i:=0 to Meth.N-1 do
begin
Meth.x1[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i+1,1]);
Meth.y1[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i+1,2]);
end;
if RadioGroup1.ItemIndex = 0 then
Meth.Graf;
if RadioGroup1.ItemIndex = 1 then
Meth.Newton;
end;
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);
begin
if RadioGroup1.ItemIndex = 0 then
Edit3.Text:=FloatToStr(Meth.PointLag(StrToFloat(Edit2.Text)))
else
Edit3.Text:=FloatToStr(Meth.PointNew(StrToFloat(Edit2.Text)));
end;
end.
Код программы Паскаль по интерполяционной формуле Лагранжа:
unit Unit2;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, Grids, StdCtrls,Math;
type
Tvector = array [1..10] of real;
Tvector1 = array [0..9] of real;
TMatr = array [1..10] of array[1..10] of real;
Methods = class
N:integer;
x,y,a:Tvector;
y1,x1:Tvector1;
mas:TMatr;
Step:real;
Polinom: string;
// function Lagrange(q:real):real;
procedure Graf;
function PointLag(point:real):real;
procedure Razn();
function RealD(xk:real;x0:real):real;
function Factorial(Number:integer): integer;
procedure Newton();
function PointNew(point:real):real;
end;
implementation
uses Unit1;
{function Methods.Lagrange(q:real):real;
var
i,j:integer;
L,s:real;
begin
L:=0;
for i:=1 to n do
begin
s:=1;
for j:=1 to N do
if j<>i then
s:=s*(q-x[j])/(x[i]-x[j]);
L:=L+y[i]*s;
end;
Form1.Memo1.Lines.Add('x= '+FloatToStr(q)+' y= '+FloatToStr(L));
//Form1.Series1.AddXY(q,l);
Lagrange:=l
end; }
procedure Methods.Graf();
Var
MassivA: array [1..10]of array [1..10]of real;
MassivB: array[1..10] of real;
MassivX: array[1..10] of real;
i,j,k:byte;
h, step, count:real;
Mx,My:real;
begin
for i:=1 to N do
begin
MassivB[i]:=y[i];
for j:=1 to N do
MassivA[j,i]:=Power(x[j],i-1);
end;
{Прямой ход - исключение переменных}
for k:=1 to n-1 do
for i:=k+1 to n do
begin
MassivA[i,k]:=-MassivA[i,k]/MassivA[k,k];
for j:=k+1 to n do
begin
MassivA[i,j]:=MassivA[i,j]+MassivA[i,k]*MassivA[k,j];
end;
MassivB[i]:=MassivB[i]+MassivA[i,k]*MassivB[k];
end;
MassivX[n]:=MassivB[n]/MassivA[n,n];
{Обратный ход - нахождение корней}
for k:=n-1 downto 1 do
begin
h:=MassivB[k];
for j:=k+1 to n do
h:=h-MassivX[j]*MassivA[k,j];
MassivX[k]:=h/MassivA[k,k];
end;
for i:=1 to n do
a[i]:=MassivX[i];
Polinom:='';
// построение многочлена
for i:=0 to N-1 do
begin
if ((i=N-1) or (i=0)) then
begin
if (i=N-1) then
begin
if(a[N-i]<0) then
Polinom:=Polinom+FloatToStr(a[N-i])
else
Polinom:=Polinom+ '+'+FloatToStr(a[N-i]);
end
else
Polinom:=Polinom+FloatToStr(a[N-i])+'x^'+IntToStr(N-i-1);
end
else
begin
if(a[N-i]<0) then
Polinom:=Polinom+FloatToStr(a[N-i])+'x^'+IntToStr(N-i-1)
else
Polinom:=Polinom + '+'+FloatToStr(a[N-i])+'x^'+IntToStr(N-i-1);
end;
end;
Form1.Memo2.Lines.Add(Polinom);
// построение графика
step:=x[1];
while step<=x[N] do
begin
Mx:=step;
My:=0;
for i:=1 to N do
begin
My:=My+a[i]*Power(Mx,i-1);
end;
Form1.Series1.AddXY(Mx,My);
step:=step + 0.001;
end;
//уплотнение таблицы
step:=x[1];
count:= StrToFloat(Form1.LabeledEdit1.Text);
while step<=x[N] do
begin
Mx:=step;
My:=0;
for i:=1 to N do
begin
My:=My+a[i]*Power(Mx,i-1);
end;
Form1.Memo1.Lines.Add('x= '+Format('%.3f',[Mx])+' y= '+Format('%.4f',[My]));
step:=step + count;
end;
end;
function Methods.PointLag(point:real):real;
var
i:byte;
begin
for i:=1 to N do
result:=result+a[i]*Power(point,i-1);
end;
// конечнее разности
procedure Methods.Razn();
var
i, j: byte;
begin
for j:=1 to N-1 do
mas[j,1]:= y[j+1]-y[j];
for i:=2 to N do
for j:=1 to N-i+1 do
mas[j,i]:= mas[j+1,i-1]-mas[j,i-1];
end;
// вывод D
function Methods.RealD(xk:real;x0:real):real;
begin
result:=(xk-x0)/(x[2]-x[1]);
end;
function Methods.Factorial(Number:integer):integer;
var
i:integer;
begin
result:=1;
for i:=1 to Number do
Result:= Result*Number;
end;
procedure Methods.Newton();
var
i,j:integer;
New, Ndop, d:real;
xn, xk, point:real;
begin
xn:= x[1];
xk:= StrToFloat(Form1.Edit5.Text);
point:= StrToFloat(Form1.Edit4.Text);
// d:= RealD(xk,xn);
Razn;
while (point<=xk) do
begin
New:=y[1];
for i:=1 to N-1 do
begin
d:= RealD(point,xn);
Ndop:=d*mas[1,i]/Factorial(i);
if (i>1) then
begin
for j:=1 to i-1 do
Ndop:=Ndop*(d-j);
end;
New:=New+Ndop;
end;
Form1.Series1.AddXY(point,New);
Form1.Memo1.Lines.Add('x= '+Format('%.3f',[point])+' y= '+Format('%.4f',[New]));
point:=point+Step;
end;
Form1.Memo2.Lines.Add(Polinom);
end;
function Methods.PointNew(point:real):real;
var
New, Ndop, d:real;
i, j: byte;
begin
New:=y[1];
for i:=1 to N-1 do
begin
d:= RealD(point,x[1]);
Ndop:=d*mas[1,i]/Factorial(i);
if (i>1) then
begin
for j:=1 to i-1 do
Ndop:=Ndop*(d-j);
end;
result:=New+Ndop;
end;
end;
end.