МОДУЛЬ 1. Предварительные сведения Аксиомы метрического пространстваМП Множества в МП Сходимост
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
МОДУЛЬ 1.
- Предварительные сведения
- Аксиомы метрического пространства(МП) Множества в МП
- Сходимость в МП Сепарабельные и полные МП. Пример несепарабельного пространства.
- Пример несепарабельного пространства. Леммы о всюду плотных множествах в МП.
- Основные принципы полных МП Принцип Банаха сжимающих отображений. Принцип вложенных шаров.
- Основные принципы полных МП Принцип вложенных шаров. Теорема Бэра о категориях
- Линейные нормированные пространства (ЛНП) (Основные определения)
- Аксиомы и свойства нормы Сходимость в ЛНП. Ряды и базисы Шаудера в БП.
- Банаховы пространства Лемма о свойствах суммируемых функций. Неравенства Гёльдера и Минковского.
- Банаховы пространства Неравенства Гёльдера и Минковского. Банахово пространство
- Банаховы пространства
- Классификация отображений Непрерывные и ограниченные линейные
отображения
- Операции над отображениями . Норма отображения и ее свойства.
- Норма отображения и ее свойства. Банаховы пространства и
- Норма отображения и ее свойства. Расширение линейных непрерывных отображений с сохранением нормы
- Принцип равномерной ограниченности и его следствия.
- Обратимые операторы
- Непрерывно обратимые операторы и их свойства. Критерий непрерывной обратимости. Теорема о непрерывной обратимости оператора
- Непрерывно обратимые операторы и их свойства. Теорема о непрерывной обратимости оператора Теорема об открытости множества всех непрерывно обратимых операторов (3-я т. О непрерывно обратимых операторах).
- Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема об открытом отображении.
- Теорема Хана-Банаха для вещественного пространства.
- Теорема Хана-Банаха для комплексных пространств и ее следствия
- Сопряженные пространства. Теоремы об общем виде линейных непрерывных
функционалов в различных пространствах.
- Сопряженные пространства. Различные типы сходимостей в пространствах
- Рефлексивные пространства
- Ядро линейного функционала и его свойства.
- Резольвентное множество линейного оператора и его свойства.
- Спектр линейного оператора и его классификация. Спектральный радиус. Теорема о существовании линейного ограниченного оператора с заданным спектром.
- Аксиомы скалярного произведения Предгильбертовы и гильбертовы пространства(ГП)
- Отношение ортогональности в предгильбертовом пространстве Лемма Рисса и её следствия.
- Расстояние от вектора до подпространства в ГП Теорема о проекции.
- Ортонормированные системы в ГП Неравенство Бесселя . Тождество Парсеваля. Задача.
- Полные и замкнутые системы векторов в ГП. Ортонормированный базис ГП. Следствие о сепарабельных гильбертовых пространствах.
- Сопряженный оператор и его свойства
- Различные классы операторов в ГП. Теоремы о нормальных и унитарных операторах.
- Различные классы операторов в ГП . Теорема о спектре различных классов операторов. Теорема о нормальных операторах. Ортопроекторы и их свойства.
- Различные классы операторов в ГП . Критерии включений , где нормальный оператор. Неотрицательные операторы.
МОДУЛЬ 2.
1.Общее определение сопряжённого оператора. Пример оператора А, у которого не существует второй сопряжённый. Симметрические и самосопряжённые операторы.
2.Пример вычисления сопряжённого оператора от оператора дифференцирования.
3.Замкнутые операторы. График линейного оператора. Теорема Банаха о замкнутом графике.
4. Ядра Фредгольма . Произведение ядер Фредгольма.
5. Оператор Фредгольма и его свойства.
6. Классификация интегральных уравнений Фредгольма. Решение неоднородных интегральных уравнений Фредгольма II рода методом итерированных ядер.
7. Компактные множества в метрических пространствах и их свойства. Основной параллелепипед, как пример компактного множества.
8. Определение компактного множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа и её следствие. Примеры. Основной параллелепипед,
9. Компактные операторы и их свойства. Пример компактного оператора.
10. Операторы Гильберта-Шмидта. Абсолютная норма. 1-я теорема Фредгольма. Следствия.
11. Лемма Рисса и её следствия.
12. Основная лемма теории компактных операторов и её следствия.
13. 2-я теорема Фредгольма. Следствия.
14. 3-я теорема Фредгольма. Следствия. Схема исследования интегрального уравнения Фредгольма.
15. Уравнения с конечномерными операторами. Теоремы о вырожденных ядрах и операторах Фредгольма с вырожденными ядрами..
16. Теорема о структуре спектра компактного оператора. Теорема о проекторе Рисса.
17. Самосопряжённые компактные операторы. Теорема Гильберта-Шмидта.
18. Следствия из теоремы Гильберта –Шмидта.
19. Неоднородные уравнения II рода с самосопряжёнными компактными операторами. Норма интегрального оператора Вольтерра.
20. Спектральное разложение произвольного компактного оператора в ГП. Следствия. Пример компактного оператора у которого
21. Уравнения I рода. Теорема Пикара. Пример компактного оператора у которого
22. Ядра Вольтерра. Интегральный оператор Вольтерра и его свойства.
23. Оператор Штурма-Лиувилля Теорема о функции Грина оператора
24. Теорема о спектре самосопряжённого оператора
25. Интегральное преобразование Лапласа и его свойства.
26.. Свёртка оригиналов и её свойства. Интегральные уравнения Вольтерра типа свёртки.
27. Интегральное уравнение Абеля и его обобщение.
28. Одна из задач, приводящая к понятию распределения.
29. Пространства основных функций и распределений
30. Формулы Сохоцкого. Носитель распределения.
31. Регулярные и сингулярные распределения. Лемма дю Буа-Реймона.
32 . Умножение распределений. Замена переменных в распределении.
33 . Дифференцирование распределений .