Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
Методические указания
к выполнению лабораторной работы
по курсу «Метрология, стандартизация, сертификация»
для студентов специальностей 180500 и 100400
Электронное издание локального распространения
Одобрено
редакционно-издательским
советом Саратовского
государственного
технического университета
Саратов - 2006
Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.
Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.
Составитель: доц. Огурцов Константин Николаевич
Рецензент доц. Антонов И.Н.
410054, Саратов, ул. Политехническая, 77
Научно-техническая библиотека СГТУ
Тел. 52-63-81, 52-56-01
htpp : // lib.sstu.ru
Регистрационный номер……
© Саратовский государственный
технический университет, 2006
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Грубая погрешность, или промах, - это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором.
При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят несколько раз и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.
Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения. Интегральной функцией распределения F(х) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина хi в i-ом опыте принимает значение, меньшее х:
.
График интегральной функции распределения показан на рис. Она имеет следующие свойства:
F (+)=1;
Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х)=dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:
. (1)
Экспоненциальные распределения
Экспоненциальные распределения описываются формулой
, (2)
где , -СКО, -некоторая характерная для данного распределения константа, Хц-координата центра, Г(х)-гамма-функция.
В нормированном виде, т.е., при Хц=0 и ,
, (3)
где А ()-нормирующий множитель распределения.
Рис. 1. Экспоненциальные распределения, определяемые по формуле 3 при и Хц=0
Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением
. (4)
Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при =1/n, n=1, 2, 3,… . При =n=2, 3,4, … он может быть рассчитан по приближенным формулам, приведенным в [1].
Эксцесс и энтропийный коэффициент экспоненциальных распределений соответственно определяются по формулам:
; . (5)
Анализ приведенных выражений показывает, что константа однозначно определяет вид и все параметры распределений. При 1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши. При =1 получается распределение Лапласа р(х)=0,5е-[х], а при =2- нормальное распределение или распределение Гаусса. При 2 распределения близки по свойствам к трапецеидальным. При очень больших значениях формула (3) описывает практически равномерное распределение. В табл. 1 приведены параметры некоторых из экспоненциальных распределений.
Таблица 1
Значения параметров экспоненциальных распределений
при различных показателях
|
Распределение |
|
|
к |
K |
|
Лапласа |
1 |
6 |
0,408 |
1,92 |
|
Нормальное (Гаусса) |
2 |
3 |
0,577 |
2,07 |
|
Равномерное |
|
1,8 |
0,745 |
1,73 |
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:
, (6)
где -параметр рассеивания распределения, равный МО.
Широкое использование нормального распределения на практике объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз. Когда результаты наблюдения формируются под действием большого числа независимо действующих факторов. Каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
При введении новой переменной t=(х-Хц)/ из (6) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:
,
,.
Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
(7)
называют функцией Лапласа. Для нее справедливы следующие равенства :Ф(-)=--0,5; Ф(0)=-0; Ф(+)=0,5; Ф(t)=Ф(-t).
Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция Ф(t) связана с функцией Лапласа формулой F(t)=0,5+ Ф(t).
Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q0.003, маловероятен и его можно считать промахом, если , где - оценка СКО измерений. Величины и вычисляются без учета экстремальных значений xi. Данный критерий надежен при числе измерений n20…50.
Это правило обычно считается слишком жестким, поэтому рекомендуется назначать границу цензурирования в зависимости от объема выборки: при 6<n100 она равна 4; при 100<n1000 - 4.5; при 1000<n10000 - 5. Данное правило также применимо только для нормального закона распределения.
В общем случае границы цензурирования tгрSx выборки зависят не только от объема n, но и от вида распределения. Назначая ту или иную границу, необходимо оценить уровень значимости q, т.е. вероятность исключения какой-либо части отсчетов, принадлежащих обрабатываемой выборке. На практике коэффициент tгр при уровне значимости q<1/(n+1):
(8)
где - эксцесс распределения. Данные выражения применимы для:
Критерий Романовского применяется, если число измерений n<20. при этом вычисляется отношение и сравнивается с критерием , выбранным по табл. 2. Если , то результат xi считается промахом и отбрасывается.
Таблица 2
Значения критерия Романовского
|
q |
n=4 |
n=6 |
n=8 |
n=10 |
n=12 |
n=15 |
n=20 |
|
0,01 |
1,73 |
2,16 |
2,43 |
2,62 |
2,75 |
2,90 |
3,08 |
|
0,02 |
1,72 |
1,13 |
2,37 |
2,54 |
2,66 |
2,80 |
2,96 |
|
0,05 |
1,71 |
2,10 |
2,27 |
2,41 |
2,52 |
2,64 |
2,78 |
|
0,10 |
1,69 |
2,00 |
2,17 |
2,29 |
2,39 |
2,49 |
2,62 |
Критерий Шарлье используется если число наблюдений в ряду велико (n>20). Тогда по теореме Бернулли число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое на величину , будет , где - значение нормированной функции Лапласа для .
Таблица 3
Значения критерия Шарлье
|
n |
5 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
100 |
|
КШ |
1,3 |
1,65 |
1,96 |
2,13 |
2,24 |
2,32 |
2,58 |
Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то . Отсюда . Значения критерия Шарлье приведены в табл. 3.
Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство .
Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Равноточными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях средне квадратическое отклонение (СКО) всех рядов измерений равны между собой.
Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.
Исходной информацией для обработки является ряд из n (n>4) результатов измерений х1, х2, х3,…, хn, из которых исключены известные систематические погрешности, - выборка.
Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.
Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются:
Среднее арифметическое значение измеряемой величины по формуле:
; (9)
СКО результата измерения Sx по формуле:
(10)
СКО среднего арифметического значения по формуле:
. (11)
В соответствии с критериями «трех сигм», Романовского, Шарлье или другого, грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. В ряде случаев для более надежной идентификации закона распределения результатов измерения могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцесс и контрэксцесс, энтропийный коэффициент.
Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений х1, х2, х3,…, хn переходят к выборке отклонений от среднего арифметического х1, х2, х3,…, хn, где .
Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений хi, где i=1, 2,…, n, вариационного ряда (упорядоченной выборки), а также y1,где y1=min(xi) и yn=max(xi). В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h=(-y1+yn)/m. Это значение m на практике выбирается из интервала от до , которые получены для наиболее часто встречающихся на практике распределений с эксцессом, находящимся в пределах от 1.8 до 6, т.е. от равномерного до распределения Лапласа.
Искомое значение m должно быть нечетным, так как при четном в m островершинном или в двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказывается два разных по высоте столбца и середина кривой распределения искусственно уплощается. В случае если гистограмма распределения явно двухмодальная, число столбцов может быть увеличено в 1.5 – 2 раза, чтобы на каждый из двух максимумов приходилось примерно по m интервалов. Полученные значения длины интервала группирования h всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.
Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде 1=(y1, y1+h); 2=(y1, y1+2h);…; m=(yn-h, yn), и подсчитывают число попаданий nk (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям расчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле pk=nk/n, где k=1, 2, …, m.
Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений х (см. рис. 2а) откладываются интервалы k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой pk. Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблюдений n.
Рис. 2. Гистограмма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)
Полигон представляет собой ломанную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы (см. рис. 2а). Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс.
Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью х образуется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть равна единице (или числу наблюдений при использовании частостей).
Кумулятивная кривая – это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений х (рис. 2б) откладывают интервалы k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой
. (12)
Значение Fk называется кумулятивной частостью, а сумма nk – кумулятивной частотой.
По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.
Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n>50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона или критерий Мизеса – Смирнова. При 15<n<50 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d - критерий). При n<15 принадлежность экспериментального распределения не проверяется.
Определение доверительных погрешностей случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. в этом случае доверительные границы случайной погрешности .
Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Доверительная вероятность при определении границ принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.
Определение доверительных границ погрешности результата измерения р. данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей и границ неисключенной систематической составляющей в зависимости от соотношения / по правилам суммирования систематической и случайной погрешностей.
Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде при доверительной вероятности Р=Рд. При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде , , n, при доверительной вероятности Р=Рд.
Методика проведения лабораторной работы
Вопросы для самопроверки
Правила оформления отчета
Отчет выполняется на формате А4, в отчете приводятся все используемые математические формулы и текст программы. Графики выполняются на миллиметровой бумаге по линейке.
ЛИТЕРАТУРА