Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Понятие системы линейных уравнений. Матрица. Виды матриц.
Матрицей или числовой матрицей называется любая прямоугольная таблица чисел. Виды матриц: равные , нулевые , строки, столбцы, квадратные , единичные , невырожденные (определитель не равен нулю). СЛУ – это объединение из n линейных уравнений каждое из которой содержит k переменых
Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц).
Операции:Произведением матрицы Amxk на Bkxn называется матрица Cmxn ,каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i строки А на соответствующих элементов j строки. Сумма матриц A и B одинаковой размерности называют матрицу C=А+В, которой Сij равна сумме соответствующих элементов матриц А и В. Сумма матриц разной размерности не определяется. Умножением матрицы на число называют матрицу, элементы которой получены умножением каждого элемента матрицы А на число.
Понятие определителя. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.
Определитель(детерминант) – это многочлен(число) от элементов матрицы.
Определитель матрицы второго порядка называется число, определяемое по формуле |A|=а11*а22 – а12*а21
Основные свойства определителей.
Определитель не изменится , если : 1)транспонировать, элементы одной строки умножить на какое либо число и прибавить к элементам другой строки.2)Поменяется знак , если две каких либо строки поменять местами. 3) Равен нулю, если все элементы какой-либо строки равны нулю. Соответствующие элементы двух строк равны.
Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера
Метод Крамера применяется для решения СЛУ , в котором число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.
Обратная матрица и алгоритм ее нахождения.
Обратная матрица – такая матрица А-1, при умножении на которую ,исходная матрица А даёт единичную матрицу. Способы нахождения А-1 =(1/|A|)*Ат
Решение систем линейных уравнений в матричной форме.
Х=А-1 * В Будем предполагать, что основная матрица А невырожденная , тогда существует обратная матрица, перемножив А*х=В на А-1 получим
х=А-1*В
Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Вычисление координат вектора и его длины.
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок. Проекцией вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на cos угла между положительными направлениями оси вектора
а=√(ах2+ау2+аz2) . Длинна вектора равна модуль а
Понятие вектора. Разложение вектора по базису.
Линейные операции над векторами и их основные свойства.
Сложение, Вычитание , Умножение на число
Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Правая и левая тройки векторов.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной или параллельных прямых. Компланарные вектора – вектора , которым имеются равные, параллельные одной плоскости. Три некомпланарных вектора А,В,С приведённых к общему началу, образуют тройку векторов. Левой , если поворот от вектора А к вектору В с конца вектора С осуществляется по ходу часовой стрелки. Правой – наоборот.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов А и В называется число ,равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.
Свойства: Переместительное ,сочетательное , описательное относительно скалярного множества, распределительное .
Векторное произведение векторов и его свойства.
Вектор С называется векторным произведением некомпланарных векторов А и В , если : его длинна равна произведению длин векторов А и В и на sin
угла между ними, вектор С ортогонален векторам А и В , вектора А,В,С образуют правую тройку. Свойства: Антисимметричность [a;b]= -[b;a] , аддитивность [a+b;c]=[a;c]+[b;c] , однородность [λ * a;b]= λ*[a;b] , модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, равно нулевому вектору ,когда множители каллинеарны.
Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение векторов – это скалярное произведение вектора А на векторное произведение векторов В и С. Геометрический смысл – равен объёму параллелепипеда. Если смешанное произведение равно нулю то векторы компланарны. Если поменять местами вектора смешанного произведения , то мы изменим результат смешанного произведения.
Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой.
Прямая – это алгебраическая линия первого порядка. Ах + Ву + С = 0
x/a + y/b = 1 (уравнение прямой в отрезках). Каноническое уравнение прямой
(х-х0)/l = (y-y0)/m = (z-z0)/n
l,m,n – координаты направляющего вектора
Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой «в отрезках» (с выводом).
tgα=k ; k= (y2-y1)/(x2-x1) ; y =kx + y0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости (с выводом).
tgα=k ; k= (y2-y1)/(x2-x1) ; y =kx + y0
Взаимное расположение прямых на плоскости; условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Коллинеарны : l1 и l2 -прямая. l1 =А1х + В1х + С1 = 0 ; l2=A2x + B2x + C2 = 0
Необходимым достаточным условием коллинеарности является коллинеарность их нормалей.
n1= A1i+B1j n2= A2i+B2j если прямые коллинеарны , то n1 || n2 , то есть существует точное число λ не равна нулю, что n1 = λ* n2 1)А1= λ*А2
2)B1 = λ *B2
Условия параллельности : l1 || l2 A1/А2=В1/В2=С1/С2
Пересекается: A1/А2 не равно В1/В2
Совпадают. Две прямые перпендикулярны , если произведение их угловых коэффициентов равно -1 т.е. k1= -1/k2 A1*А2 + В1*В2 = 0
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости «в отрезках».
Общее уравнение плоскости:Ax+By+Cz+D=0 .A,B,C-координаты нормального вектора плоскости N=Ai+Bj+Ck.Вектор N перпендикулярен плоскости. Уравнение в отрезках: x/a+y/b+c/z=1 .a=-D/A b=-D/B c=-D/C
Частные случаи общего уравнения плоскости (неполные уравнения).
Частные случаи: By+Cz+D=0 – параллельна оси OX,Ax+Cz+D=0 – параллельна оси OY,Ax+By+D=0 – параллельна оси OZ,Ax+By+Cz=0 – проходит через начало координат.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве-это уравнение двух пересакающихся плоскостей : система уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0
Канонические уравнения прямой в пространстве (с выводом)
Каноническое уравнение прямой в пространстве : x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n .При введение параметра t можно получить параметрическое уравнение прямой :
X=x0+lt y=y0+mt z=z0+nt
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве и на плоскости (с выводом).
Уравнение прямой,проходящей через две данные точки : x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Расположение прямых в пространстве:скрещиваются,пересекаются,параллельны,совпадают.
Эллипс, его каноническое уравнение, свойства и параметры.
Эллипсом называется множество точек плоскости,сумма расстояний которых до двух данных точек,называемых фокусами,есть величина постоянная.Каноническое уравнение эллипса:x2/a2+y2/b2=1 .Здесь а-большая полуось эллипса ,b-малая.Мера сжатия эллипса характеризуется его эксцентриситетом E=c/a
Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства и параметры.
Гиперболой называется множество точек плоскостей,абсолютная величина разности расстояний которых до двух точек ,называмых фокусами,есть величина постоянная.Каноническое уравнение гиперболы : x2/a2-y2/b2=1 . Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симетрично относительно осей координат.Точки A1(a:o) и A2 (-а:о) – называют вершинами гиперболы.Прямая называется асимптотой гиперболы ,если расстояния точки M(x:y) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при x-бесконечности .Гипербола имеет две асимптоты ,уравнения которых y=плюс минус (b/a)x . Отношение E=c/a>1 называется эксценриситетом гиперболы .
Парабола, ее каноническое уравнение, свойства и параметры.
Параболой называется множество всех точек плоскости,равноудаленных от данной точки,называемой дирректриссой.Уравнение параболы : y2=2px . Уравнение x2=2py является уравнением параболы ,симметричной относительно оси ординат.При p>0 ветви параболы обращены в положительную сторону и наоборот .Длина ФРВ параболы,уравнение которой y2=2px,определяется по формуле r=x+p/2
Вопрос 28-31
Множеством называется совокупность определенных , вполне различных объектов , рассматриваемых как единое целое . А=(а,в,с).
2 способа задания множества : 1) указать свойство , соблюдения которого конкретным элементом подтверждает принадлежность последнего к данному множеству. 2) перечислить все элементы данного множества .
Множество бывает : конечным и бесконечным
Пустое множество – множество , не содержащие ни одного элемента . «Эни»- квантор всеобщности.
Действия над множествами
Простые высказывания – это утверждения, которые либо истинны , либо ложны . Высказывания - сложные, простые.