Тема- Расчет и анализ температурной зависимости концентрации свободных носителей заряда и энергии Ферми для
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Факультет Электроники Кафедра Полупроводниковые приборы
Курсовая работа
по физике полупроводников
Тема: Расчет и анализ температурной зависимости концентрации свободных носителей заряда и энергии Ферми для кремния.
Исполнитель: Конкин Константин Михайлович, подпись
Группа ЭН-1-08, шифр ЭН-081163
Преподаватель: Зайцев А.А.
Подпись преподавателя
Дата:
Москва 2012
Содержание
Исходные данные…………………………………………………………3
Собственный полупроводник……………………………………………5
Донорный полупроводник……………………………………………….9
Компенсированный полупроводник…………………………………....18
Выводы………………………………………….......................................22
Библиографический список……………………………………………..24
- Исходные данные
Кремний (Si)
Постоянная Больцмана: k=8.617332510-5 эВК-1;
Постоянная Планка: h=4,1356675210-15 эВс;
Масса свободного электрона: m0=9,109382910-31кг;
Опыты по циклотронному резонансу [1] дают для компонентов тензора эффективной массы электрона в кремнии следующие табличные значения: m1=m2=0,19m0; m3=0,98m0.
Эффективная масса электронов: mnd=
Известно, что валентная зона кремния состоит из двух двукратно вырожденных зон, которые называются зонами легких и тяжелых дырок. Из опыта [2]: mрл=0,16; mрт=0,56m0.
Эффективная масса дырок: mpd= [(mрл)3/2 + (mрт)3/2]2/3 = 0,56m0=5,1013544
10-31кг.
Ширина запрещенной зоны: Eg=1,12 эВ (При Т=300К);
Потолок валентной зоны: Ev=0 эВ;
Дно зоны проводимости: Ec=Eg;
Степень вырождения: g=2.
Примеси:
a)Донор сурьма (Sb) с концентрацией: Nd=1016 cм-3;
Донорный уровень: Ed=Ec – Wd=Ec – 0,03=1,09 эВ.
б) Донор сурьма (Sb) с концентрацией: Nd=1018 см-3;
Донорный уровень: Ed=Ec – Wd=Ec – 0,03=1,09 эВ;
Акцептор бор (В) с концентрацией: 1018 см-3;
Акцепторный уровень: Ea=Ev + Wa=Ev + 0,045 эВ.
Обозначения:
Wd и Wa - экспериментальные значения энергии ионизации примесных состояний в чистых монокристаллах кремния;
mрл - эффективная масса легких дырок;
mрт - эффективная масса тяжелых дырок.
Эффективная плотность состояний:
или
- Собственный полупроводник
Собственными полупроводниками или полупроводниками типа i (от английского intrinsic - собственный) называются чистые полупроводники, влияние примесей для которых пренебрежимо мало.
Рассчитаем концентрацию электронов и дырок в собственном полупроводнике. Для этого мы должны определить для него положение уровня Ферми. Положение уровня Ферми в полупроводниках определяется из условия электронейтральности [3].
(1)
Откуда получим:
(2)
здесь Nc и Nv – эффективная плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне, соответственно:
|
(3) |
(4)
Построим зависимость уровня Ферми от температуры определяемую выражением (2). Рисунок 1 стр.6.
Таким образом, при T=0 уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен посередине запрещенной зоны. С ростом температуры, если эффективные массы равны, то уровень Ферми не зависит от температуры и ширины запрещенной зоны и лежит посередине запрещенной зоны. В случае неравенства эффективных масс, уровень Ферми будет смещаться к той зоне, в которой эффективная масса заряда меньше. Так как у кремния эффективная масса электронов больше, то очевидно, что с ростом температуры уровень Ферми будет линейно смещаться к потолку валентной зоны.
Полупроводник является невырожденным, поскольку уровень Ферми лежит в запрещенной зоне и не пересекает потолок валентной зоны вплоть до температуры плавления кремния ( F=0: T= 13192К; Tпл= 1688K ).
Рис.1. Зависимость уровня Ферми от температуры для Si, без примесей.
Обозначим концентрацию носителей в собственном полупроводнике через и рассчитаем чему равно произведение концентрации электронов и дырок, а так же значение :
(5)
Как видно из (3), (4) множитель перед экспонентой в выражении (5) содержит степенную зависимость от температуры. Тем не менее, известно, что показательная функция растет быстрее степенной, поэтому можно считать, что концентрация электронов и дырок растет с температурой по экспоненциальному закону с показателем равным половине ширины запрещенной зоны. Эту зависимость удобно представлять на графиках откладывая по вертикальной оси концентрацию в логарифмическом масштабе, а по горизонтальной обратную температуру 1/T (обычно откладывают 1000/T). Действительно прологарифмировав выражение (5) получим:
(6)
В выражении (5) ширина запрещенной зоны Eg, в действительности является функцией температуры, но поскольку изменение Eg(T) несущественно на фоне изменения 2kT на исследуемом интервале температур, можно считать Eg=const. Из этого выражения можно определить, что концентрация носителей заряда в невырожденном собственном полупроводнике зависит от температуры T, ширины запрещенной зоны Eg и не зависит от положения уровня Ферми F. Из (6) видно, что ширина запрещенной зоны определяет тангенс угла наклона прямой на рисунке 2.
Рис.2. Зависимость концентрации носителей заряда от температуры для чистого Si.
- Донорный полупроводник
Когда чистый полупроводниковый материал легируется пятивалентным материалом, таким как сурьма (Sb), некоторые атомы полупроводника замещаются атомами сурьмы. Атом сурьмы размещает четыре своих валентных электрона в ковалентные связи с соседними атомами. Его пятый электрон слабо связан с ядром и легко может стать свободным.
Атом сурьмы называется донорным, поскольку он отдает свой лишний электрон. В легированном полупроводниковом материале находится много донорских атомов. Это означает, что для поддержки тока имеется много свободных электронов.
При комнатной температуре количество дополнительных свободных электронов превышает количество электронно-дырочных пар. Это означает, что в материале больше электронов, чем дырок. Следовательно, электроны называются основными носителями. Дырки называются неосновными носителями. Поскольку основные носители имеют отрицательный заряд, материал называется полупроводником n-типа.
Условие электронейтральности для полупроводника с одним видом примеси записывается в виде . Ограничимся вначале областью температур, при которых имеет место лишь ионизация примесных центров, а собственная проводимость отсутствует, т.е. .
Условие электронейтральности запишется при этом так:
, где - число ионизированных атомов донорной примеси.
Количество положительных ионов донорной примеси:
(8)
Равновесная концентрация электронов в статистике Больцмана:
(9)
Из (9) и (8), получим уравнение для концентрации электронов в зоне проводимости:
(10)
Уравнение (10) сводится к квадратному относительно , единственное физически значимое положительное решение, которого представляет собой выражение:
(11)
Положение уровня Ферми можно определить из соотношений (9) и (11):
(12)
Логарифмируя (12) окончательно получаем:
(13)
Проведем анализ выражения (13) для уровня Ферми.
В области низких температур (Область I), где справедливо условие , положение уровня Ферми будет определяться соотношением вида:
(14)
Как следует из соотношения (14), в невырожденном донорном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми распологается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси. Когда , уровень Ферми вначале повышается до некоторого максимального значения, а затем начинает снижаться и при снова имеем , как и для случая T=0. Далее при , уровень Ферми продолжает снижаться.
При дальнейшем повышении температуры, когда температура достаточно высока (Область II) и выполняется неравенство выражение (13) аппроксимируется к следующему виду:
(15)
То есть при повышении температуры уровень Ферми, понижаясь, пересекает уровень Ed и уходит вниз. Дальнейшее повышение температуры (Область III) соответствует области собственной проводимости, где происходят переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости
(16)
Таким образом, используя описанные приближения, можно проследить изменение положения уровня Ферми в запрещенной зоне электронного полупроводника во всей области изменения температуры.
Используя приближения (14) – (16), построен график зависимости уровня Ферми от температуры для Si легированного примесью Sb с концентрацией: Nd=1016 см-3 (Рис.3).
Рис.3. Зависимость уровня Ферми от температуры для Si легированного примесью Sb.
Рис.3.1. Зависимость уровня Ферми от температуры для Si легированного примесью Sb.
Из всего этого следует, что примесь не очень глубокая, что позволяет легко закинуть электрон в зону проводимости тепловым забросом, так как уровень к ней находится на близком расстоянии энергии активации 0,003 эВ. Энергия заброса порядка kT и пропорциональна температуре. Соответственно ионизация примеси наступает при малых температурах, как видно на графике
При дальнейшем увеличении температуры уровень Ферми будет продолжать снижаться.
Итак, наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяет положение уровня Ферми EF . Расчеты показали, что в случае полупроводников n-типа уровень Ферми EF при 0 К расположен посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем. С повышением температуры все большее число электронов переходит из донорных состояний в зону проводимости, но, помимо этого, возрастает и число тепловых флуктуаций, способных возбуждать электроны из валентной зоны и перебрасывать их через запрещенную зону энергий. Поэтому при высоких температурах уровень Ферми имеет тенденцию смещаться вниз к своему предельному положению в центре запрещенной зоны, характерному для собственного полупроводника.
На рис. 4 приведена температурная зависимость концентрации свободных электронов для полупроводника n-типа, легированного донорной примесью с концентрацией Nd.
Рис. 4. Температурная зависимость концентрации электронов в полупроводнике n-типа
Как видно из рис. 4, существуют три интервала температур, в которых изменение концентрации носителей заряда носит различный характер.
Область I (интервал температур от T=0 K до TS).
C увеличением температуры концентрация свободных электронов возрастает за счет ионизации атомов полупроводника и атомов примеси. Но для ионизации атома полупроводника требуется сообщить электрону энергию, не меньшую Eg, поэтому в рассматриваемой области низких температур собственная концентрация носителей заряда пренебрежимо мала. В полупроводнике n-типа имеется донорная примесь, дающая в запрещенной зоне энергетический уровень ED. Уровень донорной примеси располагается непосредственно у дна зоны проводимости на расстоянии равном энергии активации примеси, которая много меньше ширины запрещенной зоны, поэтому рост концентрации электронов в рассматриваемом диапазоне температур происходит главным образом благодаря ионизации атомов донорной примеси. Область I называется областью слабой ионизации или областью вымораживания. Границей этого интервала со стороны высоких температур является температура истощения примеси TS. Если качественно проанализировать связь температуры истощения примеси с глубиной залегания примесного уровня (Ec-Ed) и концентрацией примеси Nd, то станет ясно, что TS пропорциональна указанной величине
(17)
В этой области концентрация электронов экспоненциально зависит от температуры:
(18)
При повышении температуры количество ионизированных атомов примеси и, соответственно, концентрация свободных электронов в зоне проводимости возрастают.
Область II (интервал температур от TS до TI).
Наконец, примесь полностью истощается, после чего концентрация свободных электронов остается практически постоянной и равной Nd, так как вся примесь полностью ионизирована и не может служить источником дальнейшего роста числа свободных электронов, поэтому данная область называется областью истощения примеси. Температура TI является температурой перехода от примесной электропроводности к собственной.
В этой области концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры:
(19)
Область III (интервал температур больших TI ).
При повышении температуры в этой области концентрация электронов возрастает за счет ионизации атомов полупроводника, наступает собственная электропроводность. Область III называется областью собственной проводимости. Температура TI перехода от примесной электропроводности к собственной пропорциональна ширине запрещенной зоны и концентрации донорной примеси:
|
(20) |
В этой области зависимость концентрации от температуры совпадает с собственной концентрацией носителей заряда в полупроводнике (5):
(21)
Используя приближения (18), (19) и (21), можно проследить изменение концентрации электронов в запрещенной зоне электронного полупроводника во всей области изменения температуры.
Построен график зависимости логарифма концентрации носителей заряда от обратной температуры для кремния, легированного сурьмой (Рисунок 5).
По графику можно определить характерные температуры:
Ti=750 K;
Ts=60 K.
Для проверки уравнения (17) и (20) можно разрешить относительно T:
Ti=750.043 K;
Ts=60.340 K.
Рис.5. Зависимость концентрации от температуры для Si легированного примесью Sb.
- Компенсированный полупроводник
Остановимся более подробно на случае, когда наряду с одноэлектронной донорной примесью в полупроводнике имеется некоторое количество акцепторной примеси.
Рис. 6. Полупроводник, имеющий примеси донорного и акцепторного типа.
Предположим, что в полупроводнике имеется в равных количествах донорная и акцепторная примеси, т.е. Nd=Na. При температуре абсолютного нуля электроны занимают наиболее низкие энергетические состояния. Это означает, что в зоне проводимости нет электронов, а в валентной зоне все состояния заняты. Поскольку есть свободные состояния на акцепторной примеси, которые энергетически расположены ниже, чем состояния донорной примеси, то электроны, стремясь заполнить состояния с наименьшей энергией, перейдут с донорных уровней на акцепторные. В результате образуются в равных количествах положительные и отрицательные ионы. Условие электронейтральности выполняется, поскольку Такой полупроводник называют компенсированным. В нем имеет место взаимная компенсация примесей, вследствие чего последние не могут являться поставщиками электронов и дырок, носители заряда возникают в результате тепловой генерации «зона-зона». Из этого следует, что уравнение электронейтральности преобразуется к виду:
(22)
Значит электропроводность полностью компенсированного полупроводника, является собственной электропроводностью. Число носителей заряда в таком полупроводнике будет таким же, как в чистом полупроводнике при прочих равных условиях.
График зависимости концентрации носителей заряда от температуры полностью повторяет рисунок 2 для случая собственного полупроводника.
В компенсированном полупроводнике из-за наличия примесей периодичность поля решетки нарушена значительно сильнее, чем в истинно собственном. Это будет сказываться на эффектах, связанных с рассеянием носителей заряда, в частности на их подвижности.
Так как мы рассматриваем полупроводник с полной компенсацией примеси, то он содержит два типа полностью заряженных примесных центров, которые являются эффективными рассеивателями носителей заряда. Подвижность носителей заряда в таких полупроводниках будет значительно ниже, чем подвижность в чистых полупроводниках.
Для определения положения уровня Ферми в полупроводнике при термическом равновесии можно использовать условие электронейтральности, по которому в любой точке кристалла суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю. Для полупроводника с двумя видами примеси уравнение электронейтральности запишется в виде:
где – концентрация электронов на уровне донорной примеси, а - концентрация дырок на акцепторной примеси.
Выразив концентрации носителей заряда, получим:
(23)
При T→0 , .
Определение уровня Ферми из уравнения (23) встречает большие трудности. В этом случае необходимо прибегать к численным методам.
Методом последовательных приближений решено уравнение баланса носителей заряда (23) и построен график зависимости уровня Ферми от температуры для кремния легированного сурьмой и бором при условии их полной компенсации (Рис. 7).
Как видно из графика при больших температурах, начиная с 200К, уровень Ферми для компенсированного полупроводника ведет себя аналогично случаю собственного полупроводника.
Рис.7. Зависимость уровня Ферми от температуры для Si легированного Sb и B в случае полной компенсации.
Выводы
1. Носители заряда в полупроводнике появляются только за счет процессов ионизации атомов примеси и атомов полупроводника.
2. Равновесные концентрации носителей заряда устанавливаются в результате протекания процессов ионизации и рекомбинации.
3. Вероятность акта рекомбинации зависит от концентрации электронов и дырок и скорости их относительного движения.
4. Аналитическое выражение концентрации носителей заряда представляет концентрацию электронов как количество НЗ в кристалле единичного объема, заполняющих уровни зоны проводимости (электроны), или отсутствующих на уровнях валентной зоны (дырки). При этом используется положение, согласно которому каждой элементарной ячейке зоны Бриллюэна соответствует один уровень энергии энергетической зоны.
5. Полученные выражения концентраций электронов и дырок дополняются уравнением электронейтральности и выражениями концентраций ионов примесей. Это позволяет находить и величины концентраций НЗ, и положение уровня Ферми для заданных температур.
6. С ростом температуры от 0 до нескольких сот K концентрация ОНЗ примесного полупроводника возрастает сначала экспоненциально, затем, после достижения температуры истощения примеси, - очень слабо. На участке слабого возрастания ОНЗ экспоненциально возрастающая концентрация ННЗ при T60 сравнивается с концентрацией ОНЗ, и полупроводник превращается в собственный.
7. В том же интервале температур уровень Ферми примесного полупроводника смещается сначала от середины интервала, заключенного между квазиуровнем примеси и экстремумом энергетической зоны, в котором находятся ОНЗ, по направлению к этой зоне. Затем, после прохождения экстремума уровень Ферми медленно смещается к середине запрещенной зоны. После достижения этой середины смещение происходит в направлении зоны с более легкими носителями заряда.
Библиографический список
1. Dexter R.N., Lax В., Kip A.F., Dresselhaus V. Effective Masses of electrons in silicon. Phys. Rev., 1954, v. 96, No. 1, p. 222-223.
2. Dresselhaus V., Kip А.F., Kittel С. Cyclotron resonance of electrons and holes in silicon and germanium crystals. -Phys. Rev., 1955, v. 98, No. 2, p. 368-372.
3. Шалимова К.В. Физика полупроводников: учебник. М.: Лань, 2010. 400 с.
2. Лекция 1 Создание высокоавтоматизированных производств предполагает автоматизацию не только физического.
3. тема все в одном поэтому и появилось понятие
4. Смолы природные и синтетические
5. Эндогенные болеутоляющие системы мозга
6. .ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Виктор Гончаров Записки нае
7. игра некоммерческая командная военноспортивная игра
8. Курсовая работа- Особенности развития американо-египетских отношений в 198090-е годы
9. Электроэнергетика и электротехника
10. Соціально-економічні фактори розвитку туризму в Білорусії
11. В 1988 г было принято постановление ЦК КПСС впервые признавшее необходимость высшего социологического образ
12. Українська мова у професійному спілкуванні
13. і Принципи соціальної політики країни в умовах формування ринкових відносин
14. Лазерді~ к~мегімен жары~ интерференциясын зерттеу
15. Курсовая работа- Трудові ресурси
16. Виды воспитания Рассмотрим кратко некоторые из видов воспитания
17. наилучшего а потом и извечного состояния управления а непрекращающийся во времени процесс
18. Лекция 15 Сущность личностно ориентированного образования школьников Личностно ориентированное
19. Стратегическому менеджменту для сп
20. Особенности экономического моделирования