Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ОБЩИЙ ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
Жидкая частица в противоположность твердой при движении может изменять форму, т.е. деформироваться. Поэтому, в общем случае движение жидкой частицы может быть разложено на поступательное, вращательное и деформационное.
Рассмотрим движение точки (рис. 3.5) твердого тела, вращающегося вокруг оси Z с угловой скоростью и запишем уравнения составляющих скорости точки М:
u = - z r∙sin = - z y, (3.58)
= z r∙cos = z x. (3.59)
Дифференцируя эти уравнения, получаем следующие выражения
. (3.60)
Суммируя левые и правые части этих выражений, получаем
. (3.61)
Тогда:
. (3.62)
По аналогии с полученным выражением, можем записать:
, (3.63)
. (3.64)
Связь между скоростями V и V0 двух произвольных точек твердого тела (рис. 3.5б) выражается соотношением
, (3.65)
где .
Выберем в жидкой частице точки М и М0 достаточно близкими и разложим в ряд Тейлора мгновенные значения проекций скорости u, , в точке М, ограничиваясь линейными членами ряда.
Для компоненты u имеем
, (3.66)
где x, y, z - проекции вектора , а индексом «0» отмечены значения производных в точке М0.
Используя тождества
; (3.67)
, (3.68)
запишем выражение для ux в виде
(3.69)
Для двух других компонент по аналогии можно получить
; (3.70)
. (3.71)
Анализируя полученные формулы, можно сделать вывод о том, что вторые и третьи члены в правой части записанных выражений образуют проекции векторного произведения некоторого вектора на радиус-вектор , причем проекциями вектора служат выражения
; (3.72)
; (3.73)
. (3.74)
Это позволяет считать, что жидкая частица, также как и твердое тело, испытывает вращение с угловой скоростью относительно некоторой мгновенной оси.
В гидромеханике, наряду с вектором , вращательное движение частиц характеризуют вектором , который называется вихрем или ротором вектора .
Очевидно, что в записанных формулах для проекций скорости жидкой частицы можно выделить проекции скорости квазитвердого движения .
, (3.75)
где , и в этом случае имеет место компонента uдеф - скорость, обусловленная деформацией жидкой частицы.
Для выяснения смысла вектора рассмотрим некоторые частные случаи движения частицы жидкости (рис. 3.6).
Пусть малый жидкий отрезок х движется вдоль оси Х. Скорость левого конца составляет u, а скорость правого конца . Вследствие разницы в этих скоростях за время t длина отрезка изменится на величину . Скорость изменения длины будет равна и, соответственно, по аналогии имеем: и , представляющие собой скорости удлинения элементарных отрезков y и z.
Производные
; ;
являются скоростями удельных линейных деформаций или скоростями удлинения отрезков единичной длины.
При рассмотрении движения жидкого отрезка x вдоль оси у можно сделать вывод о том, что вследствие неодинаковости скоростей отрезок x за время t переместится и повернется на угол
. (3.76)
Угловая скорость его вращения будет . По аналогии угловая скорость вращения отрезка y будет . Вследствие вращения отрезков x и y, образовавших вначале прямой угол, произойдет угловая деформация в плоскости «ху». Скорость угловой деформации определится суммой углов 1 и 2 и будет равна .
В гидродинамике за меру скорости угловой деформации принимают половину этой величины.
; (3.77)
; (3.78)
. (3.79)
Формулы для проекций скоростей жидкой частицы с учетом полученных выше соотношений запишутся в виде:
u = u0 + yz - zy + xxx +xyy + xzz; (3.80)
= 0 + zx - xz + yxx +yyy + yzz; (3.81)
= 0 + xy - yx + zxx +zyy + zzz. (3.82)
Записанные формулы выражают в теорему Коши-Гельмгольца: в общем случае движение жидкой частицы можно разложить на переносное движение с некоторым полюсом, вращательное движение с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, а также деформационное движение, которое заключается в линейных деформациях со скоростями xx, yy, zz и угловых деформациях со скоростями xy = yx, xz = zx, yz = zy.
В частных случаях некоторые из составляющих движения могут отсутствовать.
Рис. 3.5
r0
Δr
0
x
y
x
u
М
z
y
x
r
y
x
ωZ
r
y
x
М
V
а)
б)
u
V
V0
1
y
x
x
y
x
y
1
2
Рис. 3.6
x