Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Движение тела брошенного под углом к горизонту.
Пусть тело брошено с горизонтальной плоскости под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью (сопротивлением среды пренебрегаем). При решении задач используем метод наложения движений:
1. Равномерное прямолинейное движение вдоль оси направленной по горизонтальной плоскости.
2. Равнозамедленное (равноускоренное) движение вдоль оси направленной перпендикулярно к плоскости.
Для получения ответов на вопросы задачи освоим несколько методов решения. Рассмотрим конкретный пример:
Пример 1. С какой скоростью должны вылететь мина из миномета в момент старта ракеты, вылетающей вертикально вверх с ускорением 3g без начальной скорости, чтобы поразить эту ракету? Расстояние от миномета до места старта ракеты 250 м, мина вылетает под углом 45° к горизонту.
Ось XOY направим так, как показано на рисунке.
Мина поразит ракету в точке A. По горизонтали она пролетит расстояние равное S = vxt = vocosα•t, (1)
где t −− время полета мины.
По вертикали мина пролетит расстояние равное высоте подъема ракеты (должна попасть в ракету). H = vyt − gt2/2 = vosinα•t − gt2/2. (2)
Высота подъема ракеты до точки A H = 3gt2/2. (3)
Приравняем (2) и (3) vosinα•t − gt2/2 = 3gt2/2.
Сократив на время, имеем уравнение vosinα − gt/2 = 3gt/2. (4)
Из уравнения (4) выразим время полета мины (ракеты) t = vosinα/(2g). (5)
Теперь подставим в уравнение (1) S = vxt = vocosα•vosinα/(2g).
Откуда выражаем искомую скорость мины vo = [2gS/(cosα•sinα)]1/2 = 2[gS/(sin2α)]1/2.
Вычислим скорость мины vo = 2[10•250/sin(2•45°)]1/2 = 100 м/с.
Вывод: для ответа на вопрос задачи мы решали три уравнения: S = vocosα•t, H = vosinα•t − gt2/2, H = 3gt2/2.
В которых три неизвестных: высота, на которой произошло попадание, время попадания мины в ракету и начальная скорость мины (искомая). Три уравнения с тремя неизвестными дают решение.
Рассмотрим второй способ решения задачи. Изменим систему отсчета. Предлагаю «выключить гравитационное поле Земли». Земля действует на оба тела, отключив ее мы получим ситуацию равномерного движения мины и равноускоренного движения ракеты с ускорением 4g = 3g + g. Правда и Земля будет двигаться вверх с ускорением g, но она нас не интересует.
Итак, мина летит по прямой и пролетает расстояние равное L = S(2)1/2, так как мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник (смотри на рисунке).
Ракета до точки попадания мины пролетает расстояние S = 4gt2/2 = 2gt2.
Откуда время t = [S/(2g)]1/2.
Теперь определим скорость мины vo = L/t = S√2/√{S/(2g)} = 2√(gS).
Подставим численные значения vo = 2√(10•250) = 100 м/с.
Изменив систему отсчета, мы гораздо проще определили время полета мины и ракеты до попадания.
Рассмотрим еще один классический пример.
Пример 2. С высоты 1,5 м на наклонную плоскость вертикально падает шарик и абсолютно упруго отражается от нее. На каком расстоянии от места падения он снова ударится о туже плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту 30°.
Выберем оси координат, так как показано на рисунке.
По вертикали, до точки удара о плоскость, тело пролетит расстояние H, уравнение координаты вдоль оси OY имеет вид 0 = H + vosinα•t − gt2/2. (1)
Дальность полета вдоль оси OX равна S = vocosα•t. (2)
Выразим из уравнения (2) время полета и подставим в (1) уравнение 0 = H + Stgα − (g/2)S2/(vocosα) 2. (3)
Из соотношения в прямоугольном треугольнике свяжем высоту и дальность полета по горизонтали с дальностью полета вдоль плоскости H = Lsinα, S = Lcosα.
Подставим в уравнение (3) 0 = Lsinα + Lcosαtgα − (g/2)(Lcosα)2/(vocosα)2,
Или 0 = 2sinα − gL/(2vo2),
Выразим дальность полета вдоль наклонной плоскости L = 4vo2sinα/g.
Так как скорость тела перед падением на плоскость равна vo2 = 2gh (свободное падение), то L = 8hsinα,
После подстановки L = 8•1,5•sin30 = 6 м.
Решим задачу в системе координат, так как показано на рисунке, развернув ее на 30° по отношению к первоначальной по часовой стрелке.
В новой системе координат, тело брошено под углом к горизонту 90° − α = 60°. Обратим внимание на то, что в новой системе координат тело движется равноускоренно вдоль оси OX с ускорением gx = gsinα и дальность полета равна
L = vocos(90° − α)•t + gsinαt2/2, (1) где t – время полета, которое найдем из уравнения скорости вдоль оси OY. Учтем, что тело движется с ускорением gy = −gcosα в проекции на ось OY vy = vosin(90° − α) - gcosαt. В верхней точке траектории vy = 0, тогда
vosin(90° − α) − gcosαt1 = 0 и t1 = vo/g, а время полета t = 2t1 = 2vo/g.
Подставим время полета в уравнение (1)
L = vosinα•2vo/g + gsinα (2vo/g)2/2 = 4vosinα/g.
C учетом того, что скорость тела перед падением на плоскость равна vo2 = 2gh получим дальность полета
L = 8hsinα, Мы получили тот же результат, но, может быть чуть с более сложной математикой.
Третий способ решения.
«Выключим Землю», тогда тело будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью vo, а горка придет в движение с ускорением g и придет в точку A одновременно с телом.
Проанализировав углы треугольника OAB видим, что все они равны 60°. Тогда OA = AB = OB = L.
Расстояние OA = vo•t, а AB = gt2/2. Приравняв правые части vo•t = gt2/2, найдем время полета тела t = 2vo/g.
Тогда дальность полета
L = OA = 2vo•vo/g = 2vo2/g. C учетом того, что скорость тела перед падением на плоскость равна vo2 = 2gh получим дальность полета L = 4h = 4•1,5 = 6 м.
Замечание: Третьим способом время полета определяется гораздо проще.
Если решать задачу в общем виде, то формула дальности полета будет такой же L = 8hsinα.