.Метод интервалов 2
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Решение дробно рациональных неравенств методом интервалов.
Сделал:
Холмов Владимир (3АП30)
Проверил:
Пучинина Татьяна Павловна
Содержание:
- 1.Метод интервалов
- 2.Алгоритм решения
- 3.Примеры
Метод интервалов.
- Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
- В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена x - a: точка a делит числовую ось на две части – справа точки a двучлен x — a положительный, а слева от точки a – отрицателен x - a.
- Пусть требуется решить неравенство (x - a1)(x - a2)...(x - an) > 0 , где a1, a2, ..., an – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что a1 < a2 < ..< an- 1 < an .
- Рассмотрим функцию f(x) = (x - a1)(x - a2)...(x - an). Для любого числа x0 такого, что x0 > an, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, f(x0) > 0. Для любого числа x1 , взятого из интервала (an — 1; an), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - an), положительно, поэтому число f(x1) < 0 и т.д.
- На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа a1, a2, ...,an - 1, an ; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. Числа an , ставят знак плюс, а в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем – знак плюс, затем – знак минус и т. д.
- Тогда множеством всех решений неравенства (x - a1)(x - a2)...(x — an) > 0 будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс: П(f+), а множеством решений неравенства (x - a1)(x - a2)...(x — an) < 0 , где , будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус:П(f- -).
Алгоритм:
Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
- Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
- Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
- Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.
Решите неравенство:
(x− 2)(x+ 7) < 0
Работаем по методу интервалов.
Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:
(x− 2)(x+ 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Получили два корня.
Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:
Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:
f (x) = (x − 2)(x+ 7);
x= 3;
f(3) = (3 − 2)(3 + 7) =1 · 10 = 10;
Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.
Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
(x− 2)(x+ 7) < 0
Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.
Ответ: x∈ (−7; 2).
2.Решить неравенство (x+ 3)(x- 4) (2x + 5) < 0.
Решение. Перепишем неравенство в виде
2(x- (- 3))(x- (- 2,5))(x- 4) < 0 . Отметим на координатной оси числа -3, -2,5 и 4 . Определим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке. Решениями неравенства будут всеx из объединения промежутков(−∞;−3) и (-2,5; 4).
Ответ:(−∞;−3)ᴜ(−2,5;4)
Примеры.
При переходе через точку x = 6 функция
f(x) = (x - ( -7))(x - ( -3/10))4(x -2,5)3(x — 6) меняет знак, так как двучлен (x — 6) содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (2,5; 6) ставим знак минус. При переходе через точку x = 2,5 функция f(x) меняет знак, так как двучлен (x - 2,5) содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке (-10/3; 2,5) ставим знак плюс.
При переходе через точку x = -10/3 функция f(x) не меняет знака, так как двучлен (x -( -10/3)) содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку x = 7 функция f(x) меняет знак, так как двучлен(x- ( -7)) содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке (∞;7) ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x- 5)3(6 -x)5(3x+ 10)4< 0, а значит, и равносильного ему неравенства (x - ( -7))(x - ( -3/10))4(x -2,5)3(x - 6) > 0 будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс.
Ответ:x⋲(−7;−310)ᴜ(−3/10;2,5)ᴜ(6;+∞).
\
2. Гимназия 6 города Семей Казахстан ВосточноКазахстанская область г
3. от очень сытной мясной до вегетарианской рецептов десятки и даже сотни Не сомневаемся что вы придумаете
4. Водолечение и водные процедуры
5. Серьезно пострадало и сельское хозяйство основой которого было колхозное производство
6. ТК РФ ~ Понятие гарантий и компенсаций Гарантии средства способы и условия с помощью которых обеспечи
7. Публичные договоры и договоры присоединения
8. Они уважают человеческую личность а потому всегда снисходительны мягки вежливы уступчивы
9. 03 ~хірургія А В Т О Р Е Ф Е Р А Т дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медични
10. Желудок
11. Я у світі Горбачова Л
12. . Представьте- людный декабрьский вечер не совсем вечер конечно но уже стемнело.
13. Педагогические функции урока лекции
14. тема образования Чтобы разобраться в этом разделим всевозможные системы на два вида
15. Паутинообразная модель понятие сущность виды Паутинообразная модель описывает динамический процесс п
16. ТАМОЖЕННЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ Специальность- 080115
17. Организованные группы и преступные сообщества
18. а студентаЧЕТВЕРТОГО курсу41групи
19. Детский сад 29 Консультация для педагогов Проектная деятельность в соответствии с
20. ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибкеТема- Учет основных средств и нематериальных активовВвод объектов основных сре