Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Решение дробно рациональных неравенств методом интервалов.
Сделал:
Холмов Владимир (3АП30)
Проверил:
Пучинина Татьяна Павловна
Содержание:
Метод интервалов.
Алгоритм:
Алгоритм состоит из 4 шагов:
Решите неравенство:
(x− 2)(x+ 7) < 0
Работаем по методу интервалов.
Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:
(x− 2)(x+ 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Получили два корня.
Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:
Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:
f (x) = (x − 2)(x+ 7);
x= 3;
f(3) = (3 − 2)(3 + 7) =1 · 10 = 10;
Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.
Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
(x− 2)(x+ 7) < 0
Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.
Ответ: x∈ (−7; 2).
2.Решить неравенство (x+ 3)(x- 4) (2x + 5) < 0.
Решение. Перепишем неравенство в виде
2(x- (- 3))(x- (- 2,5))(x- 4) < 0 . Отметим на координатной оси числа -3, -2,5 и 4 . Определим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке. Решениями неравенства будут всеx из объединения промежутков(−∞;−3) и (-2,5; 4).
Ответ:(−∞;−3)ᴜ(−2,5;4)
Примеры.
При переходе через точку x = 6 функция
f(x) = (x - ( -7))(x - ( -3/10))4(x -2,5)3(x — 6) меняет знак, так как двучлен (x — 6) содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (2,5; 6) ставим знак минус. При переходе через точку x = 2,5 функция f(x) меняет знак, так как двучлен (x - 2,5) содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке (-10/3; 2,5) ставим знак плюс.
При переходе через точку x = -10/3 функция f(x) не меняет знака, так как двучлен (x -( -10/3)) содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку x = 7 функция f(x) меняет знак, так как двучлен(x- ( -7)) содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке (∞;7) ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x- 5)3(6 -x)5(3x+ 10)4< 0, а значит, и равносильного ему неравенства (x - ( -7))(x - ( -3/10))4(x -2,5)3(x - 6) > 0 будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс.
Ответ:x⋲(−7;−310)ᴜ(−3/10;2,5)ᴜ(6;+∞).
\