Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Б.1.
1. Достатні умови зростання і спадання функції
ТЕОРЕМА. Якщо неперервна на замкненому проміжку [a, b] функція f(x) має всередині цього проміжку додатну похідну, то функція зростає, а якщо від’ємну, то функція спадає.
Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.
Для їх визначення знаходять похідну функції, прирівнюють її до нуля і знаходять корені похідної. Цими коренями розбивають область визначення функції на проміжки. В кожному з проміжків беруть всередині точку і встановлюють знак похідної в них. В тих проміжках, де похідні додатні, функція зростає, а де від’ємні – спадає.
2. Диференціальні рівняння, основні поняття.
Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну х, шукану функцію y = f(x) і її похідні або диференціали різних порядків, тобто рівняння
(1)
Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної від невідомої функції, яка входить у диференціальне рівняння.
Означення 3. Розв’язком диференціального рівняння (1) називається така функція у = φ(х), яка при підстановці у рівняння (1) перетворює його в тотожність.
Наприклад, для диференціального рівняння
(2)
розв’язком є функція . Знайдемо похідну і підставимо у рівняння, одержимо: .
Слід зауважити, що не єдиний розв'язок рівняння. Це рівняння має нескінченну множину розв’язків, які можна записати так: .
Б. 2.
ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку (a, b) зростає, то її похідна невід’ємна, а якщо спадає, то її похідна недодатна.
Означення . Рівняння вигляду називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
В цьому рівнянні змінні ще не відокремлені, але, поділивши обидві частини рівняння на добуток , одержимо рівняння з відокремлюваними змінними:
.
Інтегруючи це рівняння, запишемо
.
Одержали загальний інтеграл даного рівняння.
Б. 3.
1. Зростання і спадання функції на проміжку
Означення. Функція f(x) називається зростаючою на проміжку (a, b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає більше значення функції. Тобто, якщо х1 < х2, то f(x1) < f(x2).
Якщо нерівність виконується нестрога, f(x1) ≤ f(x2), то функція називається неспадною.
Означення. Функція f(x) називається спадною на проміжку (a, b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо х1 < х2, то f(x1) > f(x2).
Якщо нерівність виконується нестрого, f(x1) ≥ f(x2), то функція називається не зростаючою.
2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке містить шукану функцію і її похідну у першому степені без їх добутку:
(1)
Тут , - відомі функції незалежної змінної х. Наприклад, .
Якщо , то рівняння (1) називається лінійним однорідним і є рівнянням з відокремлюваними змінними.
Якщо , то рівняння (1) називається лінійним неоднорідним, яке можна розв’язати декількома способами.
Розглянемо метод Бернуллі за допомогою якого рівняння (1) можна звести до інтегрування двох диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.
Розв'язок диференціального рівняння (1) шукаємо у вигляді
або (2),
де невідомі функції. Одну з цих функцій можна взяти довільну, а інша визначається із рівняння (1).
Із рівності знайдемо похідну :
.
Підставимо та в рівняння (1):
або .
Виберемо функцію такою, щоб
(3)
Тоді для відшукання функції одержимо рівняння
(4)
Спочатку знайдемо із рівняння (3).
Відокремлюючи змінні, маємо , звідки
або .
Під невизначеним інтегралом тут будемо розуміти якусь одну первісну від функції , тобто буде визначеною функцією від х.
Знаючи , знаходимо із рівняння (4):
; , звідки .
Тут ми вже беремо для всі первісні.
Знайдені функції та підставляємо в (2) і одержуємо загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння:
(5)
При розв’язуванні конкретних прикладів простіше виконувати ці викладки, ніж застосовувати громіздку формулу (5).
Б. 4.
1. Формули наближених обчислень визначених інтегралів
Визначений інтеграл не завжди можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца, тому що для підінтегральної функції f(x) первісна функція не завжди виражається в скінченому вигляді через відомі функції.
Існує багато наближених формул для обчислення визначених інтегралів.
Формула прямокутників. В даному випадку розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин і графік функції f(x) заміняється ступінчастою ламаною.
Звідси визначений інтеграл можна обчислювати за формулою
,
яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим меншим буде крок і права частина записаного наближення буде давати більш точне значення інтеграла.
Формула трапецій. Нехай треба обчислити ,
де f(x) – неперервна функція, яку для зручності вважатимемо додатною.
Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин точками
а = х0 < x1 < x2 <…<xi-1 < xi <…< xn-1 < xn = b;
Мал.12
тоді довжина кожного відрізка розбиття
.
З точок поділу відрізка [a, b] проведемо відповідні ординати графіка функції (мал.12):
y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2), … , yi = f(xi), … , yn = f(xn).
Точки поділу графіка функції послідовно з’єднаємо відрізками прямих. Тоді одержимо фігуру, обмежену ламаною (складеною із проведених відрізків), прямими х = а і х = b і віссю Ох, площа якої Sn наближено дорівнює площі криволінійної трапеції з основою [a, b], обмеженої кривою y = f(x). Площа Sn є сумою площ трапецій, тому
або
.
Тоді дістаємо формулу
,
яка називається формулою трапецій.
Мал.13
Формула Сімпсона. Мала формула Сімпсона. Нехай треба обчислити , де f(x) – неперервна на [a, b] і набуває додатних значень. Побудуємо криволінійну трапецію, відповідну даному інтегралу (мал.13).
Розділимо відрізок [a, b] точкою с на два рівні відрізки [a, с] і [с, b] і знайдемо значення підінтегральної функції y = f(x) в точках а, с, b:
уа = f(a), yc = f(c), yb = f(b).
Через точку С(с, ус) графіка даної функції проведемо довільну пряму, яка не перетинає відрізка [a, b], а із точок α і β, які ділять цей відрізок на три рівні частини, проведемо прямі αМ і βN, перпендикулярні до Ох. Площа фігури aАМNBb, утвореної із трьох трапецій, наближено дорівнюватиме площі криволінійної трапеції aABb.
Знайдемо (позначивши αМ = уα, βN = уβ)
пл. aАМNBb .
Враховуючи, що середня лінія трапеції αМNβ , або ,
знаходимо пл. aАМNBb.
Тоді .
Ця формула називається малою формулою Сімпсона. Якщо підінтегральна функція f(x) є многочлен не вище третього степеня, то мала формула Сімпсона дає точний результат.
Застосувавши малу формулу Сімпсона до обчислення об’ємів тіл, дістанемо наближену формулу . Позначимо висоту тіла b – a = H, площу нижньої основи Qa = Q(a), площу верхньої основи Qb = Q(b), площу перпендикулярного плоского перерізу, проведеного через середину висоти, ; тоді (мал.14) Мал.14
Мала формула Сімпсона в багатьох випадках дає точні значення об’ємів (для піраміди, зрізаної піраміди, конуса, зрізаного конуса, кулі).
Приклад 1. Знайти об’єм конуса з площею основи Q та висотою Н.
Розв’язування. В даному випадку Qa = Q, Qc = Q, Qb = 0; тоді
, або, врахувавши, що Q = πR2, матимемо .
Велика формула Сімпсона (параболічна формула). Нехай треба наближено обчислити
.
Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на 2m рівних частин точками
х0, x1, x2 ,… xi,… x2m-1, x2m
і в кожній з точок знайдемо значення підінтегральної функції
y0 = f(x0), y1 = f(x1), … , y2m-1 = f(x2m-1), y2m = f(x2m).
Застосувавши малу формулу Сімпсона послідовно до кожних трьох точок поділу і додавши одержані рівності, дістанемо
.
Ця формула називається великою формулою Сімпсона. Чим більше точок поділу, тим точність формули Сімпсона більша.
2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку.
Лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:
(1)
Якщо , то рівняння (1) називається однорідним. Інакше неоднорідним.
Лема 1. Якщо є розв’язком однорідного рівняння
, (2)
то функція є також розв’язком рівняння (2), де С – довільна константа.
Лема 2. Якщо і є розв'язками рівняння (2), то і їх сума буде розв’язком цього рівняння.
Означення 1. Дві функції і називаються лінійно незалежними, якщо функція
(3)
не є тотожно рівною нулю, для довільних , при умові, що хоча б одна з них відмінна від нуля.
ТЕОРЕМА. Загальний розв'язок рівняння (2) задається функцією (3), де , - довільні константи, а і - лінійно незалежні розв'язки рівняння (2).
Зміст теореми полягає в тому, що знаходження загального розв'язку диференціального рівняння (2) зводиться до знаходження двох його частинних лінійно-незалежних розв’язків. Це легко зробити у тому випадку, коли рівняння (2) є рівнянням з постійними коефіцієнтами.
Розглянемо таке диференціальне рівняння:
(4)
Розв'язок будемо шукати у вигляді . Підставимо його у рівняння і отримаємо . Скоротивши його на , отримаємо характеристичне рівняння:
(5)
Рівняння (5) має два корені і . При цьому можливі такі три випадки:
1. Корені рівняння (5) дійсні різні. Тоді частинні лінійно-незалежні розв'язки мають вигляд: і (6)
2. Корені рівняння (5) дійсні рівні: . Тоді загальний розв'язок рівняння (4) записується у формі (7)
3. Корені рівняння (5) комплексно-спряжені - . У цьому випадку загальний розв'язок рівняння (4) має вигляд: (8)
Б. 5.
1. Застосування визначеного інтеграла
Одним з найбільшим застосуванням визначеного інтеграла є обчислення площ областей. Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1. Обчислити площу фігури, зображеної на мал.6
Розв’язування. Оскільки функція f(x) від’ємна, то . Це легко бачити з графіка. Тоді (кв.од.)
Обчислимо площу фігури, частина якої лежить над віссю у = 0, а частина – під нею.
Мал.6 Мал.7
Приклад 2. Обчислити площу фігури, зображеної на мал.7
Розв’язування. Оскільки на відрізку [0; 5] значення функції від'ємне, а на відрізку [5; 15] – додатне, то
S(A) = S(A1) + S(A2),
де (кв.од.),
(кв.од.),
S(A) = S(A1) + S(A2) = 12,5 + 50 = 62,5 (кв.од.)
Ще одним застосуванням визначеного інтегралу є визначення об’єму тіл обертання. Розглянемо у площині (х, у) криву y = f(x), обмежену абсцисами х = а і х = b (мал.10а).
Мал.10а Мал.10б
Розіб’ємо тіло обертання на n полос шириною Δхі = хі+1 – хі . Тоді смужка від обертання частини тіла шириною Δхі дасть об’єм Vі
Об’єм тіла обертання можна наблизити сумою
Остання сума є інтегральною, і тому:
(3.14)
Приклад 3. Обчислити об’єм тіла обертання, утвореного прямими у = х, х = 3 навколо осі Ох (мал.11).
Розв’язування.
Мал.11
2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2-го порядку.
Лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:
(4.14)
Якщо , то рівняння (4.14) називається однорідним. Інакше неоднорідним.
Б. 6.
1. Диференціал функції (означення, основні властивості, застосування)
Означення диференціала.
Якщо функція y = f(x) має в точці х похідну , то і приріст функції Δу можна подати у вигляді
(1)
де α - нескінченно мала величина, яка прямує до нуля разом з Δх.
В формулі (1) другий доданок αΔх є нескінченно мала вищого порядку, ніж Δх і тому головну частину суми складає перший доданок f '(х)Δх , який має назву диференціала функції.
Означення. Головна лінійна частина приросту функції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної називається диференціалом функції f(x).
Позначається диференціал символом dy або df(x). Отже,
dy = f'(x)Δx (2)
Приріст Δх незалежної змінної також позначають так: Δх = dx.
Це пояснюють тим, що для функції у = х диференціал dy = х' Δх = Δх . Тому рівність (2) записують dy = f'(x)dx .
Основні властивості диференціала
1) Диференціал сталої дорівнює нулю: dc = 0.
2) Диференціал алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі диференціалів цих функцій: d(u ± v ) = du ± dv
3) Диференціал добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної з функцій на диференціал другої функції: d(u∙v ) = udv + vdu.
4) Диференціал частки знаходиться за формулою
Застосування диференціалів при наближених обчисленнях
Диференціали використовують при наближених обчисленнях значень функцій, застосовуючи приблизну рівність . В розгорнутому вигляді маємо
f(xo+Δx) - f(xo) f'(xo) Δx.
Звідки значення функції f(xo + Δx) f(xo)+f'(xo ) Δx .
2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.
Б. 7.
1. Основні правила диференціювання
ТЕОРЕМА 1. Похідна постійної величини с дорівнює 0.
ТЕОРЕМА 2. Якщо кожна з скінченого числа функцій u1(x), u2(x),…, un(x) диференційована в деякій точці х, то диференційованою в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних.
[u1(x)± u2(x)±… ± un(x)]′= u1′(x)± u2(x)′±… ± un′(x).
ТЕОРЕМА 3. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці х, то їх добуток диференційований в цій точці і має місце формула (u∙v) = u′v + v′u.
ТЕОРЕМА 4. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці х, причому v(x) ≠ 0, то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою:
.
2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійні неоднорідні рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами (1)
Загальним розв’язком лінійного неоднорідного рівняння 2-го порядку є сума загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і будь-якого частинного розв'язку неоднорідного рівняння. Це твердження записано формулою: .
Загальний розв'язок однорідного рівняння розглянуто вище. Перейдемо до знаходження частинного розв'язку неоднорідних рівнянь із спеціальною правою частиною, розв'язок яких можна знайти не вдаючись до інтегрування.
1) Нехай права частина рівняння (1) має вигляд , де - многочлен n-го степеня. Тут можливі два випадки:
а) - не є коренем характеристичного рівняння, тоді , де - многочлен n-го степеня із неозначеними коефіцієнтами.
б) - є коренем характеристичного рівняння кратності ( або ), тоді .
Зауваження. Якщо , то вважаємо, що і перевіряємо, чи 0 є коренем характеристичного рівняння.
Б. 8.
1. Мода і медіана.
Розглянемо деякі способи оцінки даних за розподілом частот. Їх метою є виявлення міри центральної тенденції (центрального положення).
Найпростіше знайти міру центральної тенденції за допомогою моди.
Мода – це значення ознаки, яке зустрічається найчастіше в даному ряді розподілу.
Для дискретних варіаційних рядів мода визначається як значення ознаки з найбільшою частотою. Наприклад, якщо в магазині продано 200 костюмів – 38 штук 22-го розміру, 42 штуки 24-го розміру, 56 штук 26-го розміру, 18 штук 28-го розміру, 33 штуки 30-го розміру і 13 штук 32-го розміру, то модальним номером є 26-й, бо він має більшу чисельність.
Проте не кожна сукупність значень має єдину моду в строгому розумінні цього означення. У сукупності значень (3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9) модою є число 8, бо воно зустрічається частіше за будь-яке інше значення.
У випадку, коли всі значення в групі зустрічаються однаково часто, вважають, що група оцінок не має моди. Наприклад, у групі (1,2; 1,2; 1,7; 1,7; 4,8; 4,8) моди немає.
Медіана – середнє значення змінюваної ознаки, яке міститься всередині ряду, складеного за зростанням або спаданням значень ознаки. Отже, медіана – це значення змінюваної ознаки, яке ділить множину даних навпіл так, що одна половина значень більша від медіани, а друга – менша.
Якщо дані містять непарне число різних значень, наприклад 9, 11, 15, 18, 20, то медіана є середнім значенням для випадку, коли вони впорядковані, тобто медіана дорівнює 15. якщо дані містять парне число різних випадків, наприклад 7, 11, 13, 15, то медіана дорівнює середньому між двома центральними значеннями, якщо вони впорядковані, тобто (11+13):2=12.
2. Прямокутна система координат на площині та її застосування.
Положення точки на прямій визначається одним числом – її координатою, а положення точки на площині визначається упорядкованою парою чисел (тобто вказано яке із чисел є першим, а яке другим).
Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні осі і назвемо їх осями координат (мал.1) . Точка перетину осей координат О називається початком координат. Осі координат (Ох – вісь абсцис, горизонтальна, Оу – вісь ординат, вертикальна). Осі координат Ох і Оу ділять площину на чотири частини, які називаються квадрантами (або координатними кутами). Частина площини, що міститься між додатними осями Ох і Оу називається першим квадрантом. Нумерація квадрантів іде проти годинникової стрілки.
Нехай точка М - довільна точка площини. Опустимо з цієї точки перпендикуляри на вісь Ох і Оу, основи цих перпендикулярів позначимо відповідно через М1 і N1, тобто М1 і N1 є проекціями точки М на координатні осі. Позначимо координату точки М1 на осі Ох через х, а координату точки N1 на осі Оу через у. Числа (х, у) назвемо координатами точки М на площині (х – абсциса, у – ордината). Це позначимо М (х, у).
Таким чином, система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок площини і множиною всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
Найпростіші задачі на застосування методу координат
а) Віддаль між двома точками на площині.
Нехай задані дві точки з своїми координатами: А(х1 ; у1), В(х2; у2). Треба знайти віддаль між цими точками. Зробимо малюнок (мал.2).
Точки А і В спроектуємо на координатні осі. Їх проекції на вісь Ох позначимо відповідно через А1 і В1, а вісь Оу – відповідно через А2 і В2.
Тоді ОА1 = х1, ОВ1 = х2, ОА2 = у1, ОВ2 = у2.
Через точку А проведемо пряму, паралельну осі абсцис до перетину з прямою ВВ1 в точці С. з одержаного прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора знаходимо
.
Дану рівність перепишемо так:
або (1)
Знак перед коренем у формулі (2.1) береться (+) тому, що віддаль – величина додатна.
Зауваження. Різниця координат у формулі (1) підноситься до квадрату і тому немає значення, яку точку вважати першою, а яку другою.
б) Поділ відрізка в заданому відношенні.
Нехай на площині задано дві довільні точки А(х1; у1) і В(х2; у2). Вважаємо А (х1, у1) першою точкою, а В (х2, у2) другою точкою. Проведемо через ці точки пряму (мал.3).
Нехай точка С (х, у) лежить на відрізку АВ і ділить його на два відрізки АС і СВ, причому відношення їх дорівнює λ, тобто (число λ відоме). Випадок, коли точка С співпадає з точкою В виключаємо, бо знаменник перетворюється в нуль. Наша задача полягає в тому, щоб знайти координати точки С(х, у) через координати точок А(х1; у1) і В(х2;у2) та число λ.
Спроектуємо точки А, С та В на координатну вісь Ох (мал.3) і позначимо їх проекції через А1, С1 та В1. Використовуючи теорему про проекційні відрізки, що містяться між паралельними прямими, одержимо . Відомо, що А1С1 = х - х1, С1В1 = х2 – х, тоді . Розв’язуючи цю рівність відносно х, знаходимо .
Аналогічно, спроектувавши точки А, С та В на координатну вісь Оу (мал.3) і зробивши необхідні викладки, як вище, знаходимо ординату точки С: .
Отже, координати точки С(х, у), яка ділить відрізок АВ у відношенні λ (рахуючи від А до В), обчислюється за формулами
(2)
Якщо точка С є серединою відрізка АВ, то λ = 1 і тоді
(3)
Зауваження. При одержанні формул (2.2) ми допускали, що відрізок не паралельний ні одній з осей координат. Однак одержані формули (2.2) справедливі і тоді, коли відрізок паралельний вісі Ох (у = у1 = у2), або осі Оу (х = х1 = х2).
Крім цього, все викладене вище справедливе і тоді, коли точка С (х, у) знаходиться зовні , тобто на його продовженні.
Б. 9.
1. Множини. Операції над множинами.
Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення. Множину можна уявити собі як су купність деяких предметів, об'єднаних за довільною характерис тичною ознакою. Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій.
Предмети, з яких складається множина, називаються її елемен тами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації. Для позначення множин використовують великі букви латинсь кого алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини. При цьому порядок запису елементів не має значення. Наприклад, множину цифр десяткової нумерації мож на позначити буквою М (чи будь-якою великою буквою латин ського алфавіту) або записати так: {1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9,0}.
Належність предмета даній множині позначається символом , а неналежність - символом (інколи ). Наприклад, число 7 А, де А - множина чисел першого десятка, а число 12A.
Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині міститься певна кількість елементів, тобто кількість елементів скінченної множини виражається натуральним чис лом. Наприклад, множина М цифр десяткової нумерації скінчен на і містить десять елементів. У нескінченній множині - нескін ченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої - нескінченні множини.
Множина, в якій немає жодного елемента, називається порож ньою і позначається символом . Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих - порожня множина.
Якщо множина В складається з деяких елементів даної мно жини А (і тільки з них), то множина В називається підмножиною множини А. У такому разі співвідношення між множинами А і В позначається так: В А (читається: "В міститься в А" або "В -підмножина А"). Якщо В може й дорівнювати А, то вживається символ ВА. Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини, тобто А.
Саму множину А можна розглядати як підмножину А, тобто АА.
Множину задають двома основними способами:
Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів. Наприклад, множини коренів рівняння х2 = 25 і |х| = 5 рівні між собою. Справді, X = {-5; 5} і Y = {-5; 5}, де Y - множина розв'язків рівняння |х| = 5. Отже, X = Y.
Над множинами виконуються певні операції (дії). Зазначимо три з них.
Переріз множин.
Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елемен тів, які належать кожній з даних множин А і В.
Мал. 1
Схематично переріз множин А і В можна зобразити за допомогою фігур (мал.1). Символічно позначається так: С = А ∩В і читається: "С є перерізом А і В".
Об'єднання множин.
Об'єднанням (або сумою) двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них.
Мал. 2
Позначається це так: С = АВ і читається: "С є об'єднанням А і В".
Схематично об'єднання множин А і В зображено на мал.2. Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто АВ ≠ 0, то кожний з цих спільних елементів береться в множину С тільки один раз.
Віднімання множин. Доповнення множини.
Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належать множині В.
Позначається це так: С = А \ В і читається: "С є різницею А і В".
Схематично різницю двох множин А і В зображено на мал.3.
Мал.3
2. Декартова прямокутна система координат в просторі
Положення точки в просторі будемо визначати відносно прямокутної системи координат в просторі. Дана система Оxyz складається із трьох взаємно перпендикулярних осей Ох, Оу, Оz, які перетинаються в одній точці О, яка називається початком координат. Вісь Ох називається віссю абсцис, вісь Оу – віссю ординат і вісь Оz – віссю аплікат.
Нехай точка М є довільною точкою простору (мал.5).
Знайдемо проекції точки М на координатні осі. Для цього через точку М проведемо три площини, які будуть перпендикулярні до координатних осей Ох, Оу та Оz. Нехай ці площини перетинають вісі Ох, Оу і Оz відповідно в точках А, В і С. Тоді координата х точки А на осі Ох називається абсцисою точки М, координата у точки В на числовій вісі Оу називається ординатою точки М, а координата z точки С на числовій вісі Оz називається аплікатою точки М. Значить, величини направлених відрізків ОА, ОВ та ОС, тобто числа х, у, z є координатами точки М.
Таким чином, в даній системі координат кожній точці М простору відповідає єдина упорядкована трійка чисел (х; у; z). В цьому записі х означає перше число, у – друге, z – третє. І навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел (х; у; z) відповідає тільки одна точка простору М. Отже, прямокутна система координат в просторі встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок простору і множиною упорядкованих трійок чисел.
Площини Оху, Оуz і Охz називаються координатними площинами і поділяють весь простір на вісім частин.
Б. 10.
1. Випадкові величини. Функції розподілу випадкових величин.
Величина називається випадковою, якщо вона приймає свої значення в залежності від результатів деякого випробування (експерименту), причому для кожного елементарного результату вона має єдине значення. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина всіх можливих значень скінченна.
Геометрична множина всіх можливих значень дискретної випадкової величини представляє кінцеву систему точок числової осі.
Нехай Х - дискретна випадкова величина, можливими і єдино можливими значеннями якої є числа
Позначимо через ймовірності цих значень (тобто є ймовірність події, яка полягає в тому, що Х приймає значення ).
Події очевидно, утворюють повну групу подій, тому
.
Означення. Відповідність між всіма можливими значеннями дискретної випадкової величини і їх ймовірностями називається законом розподілу даної випадкової величини.
В простіших випадках закон розподілу дискретної випадкової величини Х зручно задавати таблицею:
|
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
|
р |
р1 |
р2 |
… |
рn |
Тут перший рядок таблиці містить всі можливі значення випадкової величини, а другий – їх ймовірності.
2. Скалярні і векторні величини
У фізиці, математиці, економіці і інших науках зустрічаються величини двох видів: одні з них характеризуються тільки числом, а інші – числом і напрямом в просторі.
Величини називаються скалярами або скалярними, якщо кожна із них визначається своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць, наприклад, довжина, площа, об’єм, час, температура.
Величини називаються векторними або векторами, якщо кожна із них визначається числовим значенням і напрямом. Наприклад, сила, швидкість, прискорення.
Означення. Напрямлений відрізок прямої називається вектором.
Вектор будемо позначати символом . Перша буква означає початок вектора, а друга – його кінець. Вектор також будемо позначати однією малою буквою з стрілкою на верху, наприклад (мал.7).
Якщо початок і кінець вектора співпадають, то вектор називається нульовим і позначається або просто 0. Віддаль між початком і кінцем вектора називається його довжиною, або модулем і позначається або .
Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних прямих, або на одній і тій же прямій, називаються колінеарними.
Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних площинах або на одній і тій же площині, називаються компланарними.
Відповідно, компланарні вектори, які приведені до одного і того ж початку, будуть знаходитися на одній площині.
Означення. Два вектори рівні, якщо вони однаково напрямлені і модулі їх рівні.
Означення. Два вектори, в яких модулі рівні, а напрямки протилежні, називаються протилежними і .
Одиничний вектор (орт) вектора дорівнює і позначається так: .
Б. 11.
1. Частинні похідні вищих порядків функції багатьох змінних.
Оскільки частинні похідні першого порядку функції знову є функціями від , то від них можна ще раз знайти похідні. Таким чином, приходимо до поняття частинних похідних другого порядку, які визначаються за формулами:
.
Похідні називаються мішаними частинними похідними другого порядку. Для них справедлива рівність (при умові, що вони неперервні по ) .
Для позначення частинних похідних другого порядку вживають також символи:
.
Звідси випливає спосіб знаходження частинних похідних другого порядку: щоб знайти похідні другого порядку, треба знайти частинні похідні першого порядку даної функції, а потім від цих похідних знайти відповідні частинні похідні першого порядку.
Для функції багатьох змінних частинні похідні другого порядку вводимо за формулою
, де .
2. Дії над векторами
а) Добуток вектора на число.
Означення 1. Добутком вектора на число λ називається вектор , який має довжину і напрям його співпадає з напрямом вектора , якщо λ > 0 і протилежний йому, якщо λ < 0 (мал.8).
Умова (2.4)
є умовою колінеарності двох векторів.
б) Додавання векторів.
Означення 2. Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого співпадає з початком вектора , а кінець співпадає з кінцем вектора , при умові що початок вектора співпадає з кінцем вектора (правило трикутника) (мал.9).
Зрозуміло, що вектор в цьому випадку є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (правило паралелограма) (мал.9).
Для векторної суми справедливий переставний закон .
Легко переконатися, що для векторної суми має місце сполучний закон. .
Виходячи з означення 2, легко знаходимо суму, наприклад, чотирьох векторів (мал.10).
Вектор сполучає початок першого вектора з кінцем вектора (правило многокутника).
в) Віднімання векторів.
Дію віднімання векторів можна розглядати як обернену дію щодо додавання векторів.
Означення. Різницею називається вектор , який в сумі з вектором дає вектор (мал.11), тобто .
Як видно з мал.11, що одна діагональ є сумою , а друга діагональ є різницею векторів і .
Дамо ще одне означення різниці векторів.
Означення. Різницею двох векторів і , які мають спільний початок, називається вектор , який сполучає кінці цих векторів і напрямлений в сторону зменшуваного.
Б. 12.
1. Частинні похідні першого порядку функції багатьох змінних
Частинна похідна першого порядку функції по х :
.
Частинна похідна першого порядку функції по у:
2. Скалярний добуток двох векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин (модулів) на косинус кута між ними.
Скалярний добуток векторів і позначається символом · . За означенням
(1)
де φ – кут між векторами і (мал.16), причому 0 ≤ φ ≤ π
На основі формули (2.5) формулу (1) можна записати так:
або аналогічно
Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модуля одного з них на проекцію другого вектора на напрям першого.
Розглянемо деякі властивості скалярного добутку:
1) - переставний закон.
2) - сполучний закон.
3) - розподільний закон.
4) .
5) , якщо і навпаки, якщо , то .
Б. 13.
1. Функція кількох змінних
Змінна величина z називається функцією двох змінних x, y , якщо кожній сукупності їх значень з даної області D відповідає єдине певне значення z. Відповідно залежність записується z = f(x, y) або z = z(x, y). Якщо є n змінних величин х1, х2, …, хn то функціональна залежність має вигляд z = f(х1, х2, …, хn). Введемо позначення х=(х1, х2, …, хn). Назвемо сукупність n змінних величин вектором, а самі величини – координатами вектора. Тоді функція декількох змінних може бути названа функцією векторного аргументу. Множина D називається областю визначення функції.
Нехай функція z = f(x, y) визначена в деякій області D на площині х0у. Кожній точці (x, y) на площині буде відповідати точка М(x, y, z) тривимірного простору. Множина таких точок М(x, y, z) у тривимірній Декартові системі координат являє собою деяку поверхню й називається графіком функції z = f(x, y) . Для побудови графіка функції z = f(x, y) варто розглядати функції однієї змінної z = f(x0, y) і z = f(x, y0) , що являють собою перерізи графіка площинами, паралельними координатним площинам x0z і y0z.
До числа поверхонь у тривимірному просторі, побудованих на простих геометричних фігурах, належать куля, конус, циліндр, параболоїд обертання.
Серед функцій декількох змінних перелічимо наступні:
1. Лінійна функція .
2. Квадратична функція .
При виконанні умови квадратична функція називається квадратичною формою змінних х1, х2, …, хn . Вона відіграє важливу роль у лінійній алгебрі.
3. Функція Кобба-Дугласа .
За допомогою функції Кобба-Дугласа будують виробничі функції, що виражають результат виробничої діяльності залежно від різних факторів х1, х2, …, хn.
2. Властивості скалярного добутку:
1) - переставний закон.
2) - сполучний закон.
3) - розподільний закон.
4) .
5) , якщо і навпаки, якщо , то .
Б. 14.
1. Побудова графіків функції за допомогою елементарних перетворень.
Графік функції можна отримати, побудувавши два допоміжних графіки та , а потім додавши (віднявши) їхні ординати при однакових значеннях х. Аналогічно будуються графіки й .
Графік функції можна отримати шляхом зсуву графіка функції уздовж осі ординат на с одиниць вгору, якщо с > 0, і на с одиниць вниз, якщо с < 0.
Графік функції можна отримати шляхом зсуву графіка функції уздовж осі абсцис на а одиниць праворуч, якщо а <0, і на а одиниць ліворуч, якщо а >0.
Графік функції можна отримати шляхом стиснення графіка функції уздовж осі абсцис у разів.
Графік функції можна отримати шляхом розтягування графіка функції уздовж осі ординат у разів.
Графіки деяких елементарних функцій
2. Поняття визначника.
Розв’язування багатьох задач зводиться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі деяких методів розв’язування таких систем використовуються вирази, які називаються визначниками (або детермінантами).
Розглянемо квадратну таблицю з n2 чисел, розміщених в n - горизонтальних і n- вертикальних рядах. За спеціальними правилами знаходиться число, яке називають визначником n-го порядку і позначають буквою ″Δ″ грецького алфавіту:
Числа аij(i=1,2,…,n, j=1,2,…,n)- називають елементами визначника. Перший індекс вказує на номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких обидва індекси однакові (тобто елементи а11, а22, …, аnn) утворюють головну діагональ визначника. Інша діагональ називається неголовною (допоміжною). Порядок визначника визначає кількість його рядків (стовпців).
При обчисленні визначників n-го порядку одержуємо число, яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його елементів, взятих по одному з кожного з n рядків і кожного із n стовпців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша – протилежні.
Б. 15.
1. Поняття функції та способи її задання
Означення функції.
Означення. Якщо кожному елементу x множини X (xX) за деяким законом ставиться у відповідність певний елемент у множини Y (yY), тоді говорять, що на множині Х задано функцію y = f(x).
Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом, y – залежною змінною, а літера f позначає закон відповідності.
Множина Х називається областю визначення функції, а множина Y – областю значень функції.
Якщо множина X спеціально не вказана, то під областю визначення функції вважатимемо множину таких значень х, при яких функ ція у = f(x) взагалі має зміст.
Наприклад, областю визначення функції є півінтервал (-∞; 5], оскільки 5 - х ≥ 0.
Способи задання функцій
Існує кілька способів задання функції. Найпоширеніші серед них такі.
1. Аналітичний спосіб, якщо функцію задано формулою вигляду у = f(х). Так, функцію задано аналітично.
Не слід плутати функцію з її аналітичним виразом. Наприклад, одна функція
має два аналітичних вирази: х3 (при х < 0) і x + 5 (при х ≥ 0).
2. Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції f(x), наприклад таблиця синусів або косинусів.
3. Графічний спосіб полягає в зображенні графіка функції — множини точок (х, у) площини, абсциси яких є значенням аргумен ту х, а ординати — відповідні їм значення функції у = f(x). При цьому способі функціональна залежність зображується лінією, яку
називають графіком функції.
Якщо рівняння, що зв'язує аргумент х з функцією у, не розв'язано відносно у, а задано у вигляді F(x, у) = 0, тоді змінну у називають неявною функцією х (наприклад, 3х - 7у = 6).
2. Властивості визначників
Визначники довільного порядку мають ряд властивостей.
Властивість 1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки на стовпці, то величина визначника не зміниться:
.
Заміну у визначнику рядків на відповідні стовпці називають транспонуванням визначника.
Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то він змінить тільки знак, не змінюючи абсолютної величини.
.
.
Властивість 3. Якщо у визначнику всі елементи довільного рядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
Властивість 4. Якщо у визначнику є два однакові рядки (або стовпці), то визначник дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника:
.
Наслідок. Якщо довільний рядок (або стовпець) визначника помножити на число λ, то величина визначника зміниться в λ раз.
Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка (або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або стовпця), то визначник дорівнює нулю:
.
Властивість 7. Якщо у визначнику всі елементи довільного рядка (або стовпця) є сумою двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників. При цьому елементи розглянутого рядка (або стовпця) в першому визначнику є першими доданками, а елементи відповідного рядка (або стовпця) другого визначника – другими доданками:
.
Властивість 8. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів довільного рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число λ:
.
Властивість 9. (Теорема Лапласа).
Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення:
Ця теорема називається ще теоремою розкладу. При цьому перша формула є розкладом визначника за елементами його рядка, а друга – розкладом визначника за елементами його стовпця.
Б. 16.
1. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
Формула повної ймовірності.
Припустимо, що в результаті досліду може відбутися одна з n подій Н1, Н2, …, Нn, які задовольняють наступним двом умовам:
1) вони є попарно несумісними, тобто при i = j;
2) хоча б одна з них обов’язково повинна відбутися в результаті досліду, іншими словами, їх об’єднання є достовірна подія, тобто .
Означення. Події Н1, Н2, …, Нn які задовольняють умови 1 і 2, називають гіпотезами.
Якщо події задовольняють другій з двох зазначених вимог, то їх сукупність називають повною групою подій. Таким чином, гіпотези – це попарно несумісні події, які утворюють повну групу подій.
Нехай також є деяка подія А і відомі ймовірності гіпотез , які передбачаються ненульовими, і умовні ймовірності події А за умови виконання цих гіпотез. Задача полягає в обчисленні безумовної ймовірності події А. Для розв’язання цієї задачі використовують наступну теорему.
ТЕОРЕМА. Нехай для деякої події А і гіпотез Н1, Н2, …, Нn відомі , які є додатними, і . Тоді безумовну ймовірність Р(А) обчислюють за формулою.
Р(А)= ,
яку називають формулою повної ймовірності.
Формула Байєса.
Нехай деяка подія А може відбутися з однією з подій Н1, Н2, …, Нn , які утворюють повну групу попарно несумісних подій, які називають гіпотезами. Припустимо, що відомі й ймовірності гіпотез (P(Hi)> 0; i = 1, … , n) і в результаті досвіду подія А відбулася, тобто отримана додаткова інформація. Питається: як зміняться ймовірності гіпотез, тобто чому дорівнюватимуть умовні ймовірності , якщо відомі також умовні ймовірності події А? Для відповіді на це питання використовують наступну теорему.
ТЕОРЕМА. Нехай для деякої події, А, Р(А) > 0 , і гіпотез Н1, Н2, …, Нn відомі (P(Hi)> 0; i = 1, … , n) та . Тоді умовна ймовірність гіпотези Ні за умови появи події А визначається формулою Байєса
2. Ранг матриці
Розглянемо прямокутну матрицю розмірності mn
Означення. Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів. Його позначають через r (або rang(А)).
Із означення випливають такі властивості рангу матриці.
1. Ранг матриці рівний нулю тільки тоді, якщо матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.
2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох чисел m і n, тобто 0 ≤ r ≤ min(m, n).
3. Для квадратної матриці n-го порядку r = n тільки тоді, якщо матриця не вироджена.
4. Якщо r < n то визначник матриці дорівнює нулю.
Є два методи знаходження рангу матриці.
Перший метод – метод окантування .Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосуванні елементарних перетворень матриці при зведенні до її діагонального вигляду.
Б. 17.
1. Границя функції.
Означення 1. Число А називається границею функції y = g(x), коли х→∞ і позначається , якщо для довільного як завгодно малого додатного ε > 0 можна вказати таке додатне число М, що з нерівності х > М випливає нерівність |g(x)-A| < ε.
Коли х→-∞, то означення границі функції аналогічне і використовують позначення .
Означення 2. Число А називається границею функції f(x) при х, що прямує до х0, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу x1,x2,...,xn,..., збіжної до х0, відповідна послідовність значень функції f(x1), f(х2),.., f(хn),... збігається до А.
Означення 3. Число А називається границею функції f(х) при х, що прямує до х0 (х ≠ х0), якщо для будь-якого малого наперед заданого додатного ε можна вказати таке додатне число δ, що із нерівності |х-хо|< δ випливає нерівність |f(x)-A|< ε.
Коротко це означення записують так: .
Слід відмітити, що теореми про границю суми, різниці, добутку і частки для числових послідовностей (функцій цілочисельного аргументу хn = f(n), nN є справедливими і для функцій неперервного аргументу, а саме:
ТЕОРЕМА. Нехай на множині X задані функції f(x) і φ(х), х0 - гранична точка множини X і в точці х0 обидві функції мають скінчені границі , . Тоді
1) ;
2) ;
3) якщо то .
2. Схема знаходження оберненої матриці.
Схема знаходження оберненої матриці для заданої квадратної не виродженої матриці.
3. Знайти алгебраїчні доповнення кожного елемента транспонованої матриці АТ і записати їх у вигляді АП:
.
4. Поділити кожен елемент матриці АП на визначник матриці А, тобто помножити число на матрицю АП . одержана матриця буде оберненою:
Матриця АП, яка складена із алгебраїчних доповнень елементів транспонованої матриці, називається приєднаною (або союзною) до матриці А.
Зауваження 1. Приєднана матриця матиме такий же вигляд АП , якщо транспонувати матрицю, складену із алгебраїчних доповнень елементів матриці А.
Б. 18.
1. Поняття визначеного інтеграла. Визначення визначеного інтеграла.
Розглянемо фігуру, обмежену параболою у = х2 і лініями у = 0, х1 = 1 та х2 = 3 і обчислимо площу криволінійного трикутника (мал.1 а).
Обчислимо площу наближено, розбивши інтервал [1: 3] на дві частини (мал.1 б). Тоді
кв. од.
Мал.1 а Мал.1 б
Оскільки ми не врахували білі частинки, розташовані під параболою у = х2, то .
Більш точне наближення площі фігури А отримаємо, якщо інтервал [1: 3] розіб’ємо на 4 частини (мал.2 а) чи 8 частин (мал.2 б).
Мал.2 а Мал.2 б
.
Очевидно, що чим більше ми будемо розбивати фігуру А на прямокутники з меншою Δh, тим більш точне значення площі отримаємо. Цілком зрозуміло, що точне значення площі А ми отримаємо, якщо у виразі ,
де хі є ліві кінці прямокутників, перейдемо до границі при Δhi→0.
Отже, (1)
Аналогічне значення S(A) отримаємо за формулою (1), якщо будемо вибирати прямокутники з різною шириною Δhi = хі+1 – хі , а замість значення у(х) брати значення , де (мал.3). Іншими словами,
(2)
Зауважимо, що у формулі (2) при , так що форми запису граничних переходів (1) і (2) рівносильні.
Суму (2) називають інтегральною сумою, а саму границю – визначеним інтегралом і позначають відповідно
(3)
де a і b – відповідно ліва і права границі інтервалу, на якому розглядається визначений інтеграл (мал.3).
Формула Ньютона-Лейбніца:
(5)
(символ читають так: «підстановка від a до b»).
2. Дії над матрицями
Нехай задано дві матриці однієї розмірності mn:
.
Означення. Сумою (різницею) двої матриць А і В називається така матриця С розмірності mn, елементи якої сij дорівнюють алгебраїчній сумі (різниці) відповідних елементів aij i bij матриць А і В, тобто
.
Із цього означення випливають властивості:
Означення. Добутком матриці А на число k (або числа k на матрицю А) називається матриця, елементами якої є добутки елементів матриці А на число k:
.
Із означення добутку матриці на число (або числа на матрицю) випливає, що
Зауваження. Множення матриці на число відрізняється від множення визначника на число. Матрицю множать на число k, помноживши всі її елементи на це число. Якщо визначник множать на число k, то множать на нього всі елементи одного якогось рядка (або стовпця).
Нехай матриця А містить m рядків і p стовпців, а матриця В має p рядків і n стовпців.
Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С, елементи cij якої дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто cij = ai1 b1j + ai2b2j +…+aipbpj (i =1,2,…,m; j =1,2,…,n)/
Добуток матриці А на матрицю В позначають АВ (АВ).
Добуток матриць характеризується властивостями:
С(А + В) = СА + СВ, (дистрибутивність);
Ця властивість має місце для довільного числа множників
(А1·А2…Аn-1·Аn)Т = АnТ·Аn-1Т…А2Т·А1Т.
Зауваження 1. Добуток двох матриць може бути нульовою матрицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.
Зауваження 2. Добуток двох діагональних матриць одного і того ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.
Б. 19.
Властивості визначеного інтеграла:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Щоб обчислити визначений інтеграл, достатньо знайти первісну і підставити верхню і нижню межі. Випишемо ще ряд співвідношень:
а) інтегрування по частинах:
б) інтегрування за допомогою підстановки:
, де х = g(t); a = g(α); b = g(β).
2. Поняття матриці
Матрицею називається прямокутна таблиця із mn чисел, яка містить m рядків та n стовпців, взята в квадратні або круглі дужки.
Або коротко
В цьому випадку вважають, що матриця має розмірність mn. Матриці позначають великими латинськими буквами A, B, C, Е, …
Числа aij називаються елементами матриці, де перший індекс і означає номер рядка, а другий j – номер стовпця. Якщо кількість рядків не рівна кількості стовпців, тобто m ≠ n, то матриця називається прямокутною, розмірності mn , а якщо m = n – квадратною. В цьому випадку число m = n називається порядком матриці. Елементи квадратної матриці, в яких i = j утворюють головну діагональ.
Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто
.
Тут окремі елементи головної діагоналі можуть бути нульовими.
Якщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, то її називають одиничною матрицею. Вона позначається буквою Е і має вигляд
.
Дві матриці А і В називаються рівними. Якщо вони мають рівну кількість рядків та стовпців і відповідні елементи яких співпадають.
Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею або нульовою. Її позначають буквою О.
Якщо матриця складається тільки з одного рядка, то вона називається матрицею-рядком.
Матриця, яка складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем.
Якщо в матриці А поміняти рядки на стовпці, а стовпці – на рядки, то одержану матрицю називають транспонованою і позначають АТ.
Якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю (|А|=0), то матриця А називається виродженою (або особливою) і при |А|≠0 невиродженою (або неособливою).
Матриця вигляду називається верхньою трикутною,
а матриця називається нижньою трикутною.
Матрицю називають матрицею трапецеїдального вигляду, якщо одночасно а11, а22,…, аjj відмінні від нуля.
Б. 20.
Нехай задано многочлен f(x) = c0 + c1x + c2x2 +…+ cnxn і деяке число а. Покажемо, що даний многочлен можна записати у вигляді:
f(x) = A0 +A1(x - a) + A2(x – a)2 + … + An(x – a)n (1)
знайдемо значення постійних A0, A1, A2, …, An. Підставивши х = а в (1), одержимо f(a) = A0.
Продиференціюємо (1):
f′(x) = A1∙1 + A2∙2(x – a) + … + An∙n(x – a)n-1 (2)
Поклавши в (2) х = а , одержимо f′(а) = A1∙1. Звідси, .
Продиференціюємо (2):
f′′(x) = A1∙2∙1 + A3∙3∙2(x – a) + … + An∙n(n - 1)(x – a)n-2.
Поклавши тут х = а , одержимо f′′(а) = A2∙2∙1, звідки, .
Продовжуючи такі міркування, одержимо і взагалі .
Отже, для будь-якого многочленна і будь-якого а справедлива формула
,
яка називається формулою Тейлора для многочлена.
2. Обернена матриця
Означення 1. Квадратна матриця А n-го порядку називається не виродженою (або неособливою), якщо її визначник (|А|=Δ) не дорівнює нулю.
Означення 2. Квадратна матриця А n-го порядку називається виродженою (або особливою), якщо її визначник |А| дорівнює нулю.
Означення 3. Матриця А-1 називається оберненою матрицею для квадратної не виродженої матриці А, якщо виконуються рівності АА-1 = А-1А = Е.
ТЕОРЕМА. Якщо матриця А n-го порядку не вироджена, то для неї існує обернена матриця А-1.
Обернена матриця має вигляд:
Б. 21.
Похідна.
Уточнимо поняття похідної функції, з яким знайомі з шкільного курсу математики.
Нехай задано функцію y = f(x), визначену на проміжку (a, b). Візьмемо деяку точку х0 з цього проміжку. Значення функції в ній буде у0 = f(x0). Надамо аргументу приріст Δ х, такий, що точка х1 = х0 + Δ х не вийде за вказаний проміжок. Тоді функція одержить нове значення f(x0 + Δ х)= у0 +Δ у, а її приріст Δ у = f(x0 + Δ х)- f(x0) . Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу
(1)
Знайдемо границю відношення (1) при умові, що Δх прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її називають похідною функції y = f(x) в точці х0 і позначають f'(x0).
.
Якщо похідна існує для всіх точок проміжку, то вона є функцією від х . Для кожного конкретного значення х = х0 похідна є число.
Означення. Похідною функції у = f(х) в точці х називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Похідну позначають так: у', y'x, f', .
.
Покажемо застосування цього означення для знаходження похідних деяких функцій.
Похідна від складеної функції
ТЕОРЕМА . Якщо функції y = f(u) i u = φ(x) мають похідні, то похідна складної функції y = f [φ(x)] дорівнює похідній від функції у по проміжному аргументу u, помноженій на похідну від проміжного аргументу u по незалежній змінній х.
Тобто, .
Таблиця похідних
|
№ з/п |
Функція |
Похідна |
|
1 |
у = С |
у′ = 0 |
|
2 |
у = х |
у′ = 1 |
|
3 |
у = Сu |
у′ = Cu′ |
|
4 |
y = u ± v |
у′ = u′ ± v′ |
|
5 |
y = uv |
у′ = u′v + v′u |
|
6 |
||
|
7 |
y = un |
у′ = nun-1u′ |
|
8 |
||
|
9 |
||
|
10 |
y = sin u |
y′ = cos u∙u′ |
|
11 |
y = cos u |
y′ = -sin u∙u′ |
|
12 |
y = tg u |
|
|
13 |
y = ctg u |
|
|
14 |
y = arcsin u |
|
|
15 |
y = arccos u |
|
|
16 |
y = arctg u |
|
|
17 |
y = arcctg u |
|
|
18 |
y = loga u |
|
|
19 |
y = ln u |
|
|
20 |
y = au |
y′ = au lna ∙ u′ |
|
21 |
y = eu |
y′ = eu u′ |
2. Застосування диференціальних рівнянь в фізиці та електротехніці
Диференціальні рівняння – це математичний апарат, який має дуже широке застосування у фізиці, техніці, суспільних науках.
Розглянемо кілька прикладів на застосування диференціальних рівнянь.
Приклад 1 (рівняння механічного руху). Нехай матеріальна точка маси m рухається під дією сили F вздовж осі х. Позначимо через t час її руху, v – швидкість, а – прискорення. Другий закон Ньютона набуде вигляду диференціального рівняння, якщо записати прискорення а як другу похідну .
Рівняння називають рівнянням механічного руху, де - невідома функція, m і F – відомі величини.
Залежно від умов задач диференціальні рівняння механічного руху записують по-різному. Наприклад:
а) сила F – стала, тоді рівняння руху має вигляд
;
б) сила періодично змінюється за часом, наприклад, за законом , тоді рівнянням руху є
;
в) сила пропорційна зміщенню (рух ідеально пружної пружини), тобто (знак мінус вказує на те, що напрям сили протилежний напряму зміщення). Тоді маємо таке рівняння руху:
;
г) сила обернено пропорційна квадрату відстані (вільний політ), тоді рівняння руху має вигляд
.
Приклад 2 (рівняння радіоактивного розпаду). Нехай у початковий момент часу маса радіоактивної речовини
(4.23)
Відомо, що швидкість зменшення маси речовини з часом пропорційна її кількості, тобто виконується рівняння
(4.24)
Скористаємося (без доведення) залежністю . Константу знайдемо з умови (4.23). Маємо , тобто , звідки .
Нагадаємо, що проміжок часу Т, за який маса радіоактивної речовини зменшується вдвічі, називають періодом піврозпаду цієї речовини. Отже, k і Т зв’язані рівнянням , з якого одержуємо
.
Для радію років, тому . Через мільйон років від початкової маси радію залишається
Приклад 3 (рівняння гармонічних коливань). Розглянемо рівняння
(4.25)
де - деяке додатне число.
Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція
(4.26)
для будь-яких сталих і є розв’язком рівняння (4.25). Можна показати, що інших розв’язків це рівняння не має. Таким чином, функція (4.26) задає загальний розв'язок рівняння (4.25).
Функція (4.26) при будь-яких заданих і описує гармонічний коливальний процес. Число називається амплітудою, а число - початковою фазою або просто фазою коливання. Рівняння (4.25) називають рівнянням гармонічних коливань, а додатне число - частотою коливань.
Число коливань за одиницю часу визначають за формулою . Як бачимо, загальний розв'язок (4.26) рівняння (4.25) містить дві довільні сталі: амплітуду і початкову фазу . Для їх визначення треба задати дві умови, наприклад,
(4.27)
Тоді для визначення сталих і одержуємо таку систему рівнянь:
(4.28)
звідки
,
.
Можна вважати, що , тоді . Знаючи амплітуду , з системи (4.28) за тригонометричними формулами визначають початкову фазу . З формули (4.26) можна одержати інший вигляд загального розв'язку рівняння (4.25). Справді,
.
Поклавши , матимемо .
До такого диференціального рівняння приводять, наприклад, дві різні, на перший погляд, задачі з фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора крізь котушку.
Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розглянуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, при описанні коливання пружини треба врахувати тертя, а при описанні розряду конденсатора – внутрішній опір. Тоді у рівнянні коливань з’являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).
Б. 22.
1. Поняття границі.
Границя функції.
В багатьох прикладних задачах потрібно знайти значення функції f(x) при прямуванні неперервного аргументу х до деякої точки х0, в якій функція може бути і невизначена. Така поведінка функції в деякій точці х0 називається границею функції в точці х0. Оскільки х0 може бути як скінченим числом, та і дорівнювати ± ∞, то приведемо декілька означень границі функції.
Означення 1. Число А називається границею функції y = g(x), коли х→∞ і позначається , якщо для довільного як завгодно малого додатного ε > 0 можна вказати таке додатне число М, що з нерівності х > М випливає нерівність |g(x)-A| < ε.
Коли х→-∞, то означення границі функції аналогічне і використовують позначення .
Означення 2. Число А називається границею функції f(x) при х, що прямує до х0, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу x1,x2,...,xn,..., збіжної до х0, відповідна послідовність значень функції f(x1), f(х2),.., f(хn),... збігається до А.
Означення 3. Число А називається границею функції f(х) при х, що прямує до х0 (х ≠ х0), якщо для будь-якого малого наперед заданого додатного ε можна вказати таке додатне число δ, що із нерівності |х-хо|< δ випливає нерівність |f(x)-A|< ε.
Коротко це означення записують так: .
Слід відмітити, що теореми про границю суми, різниці, добутку і частки для числових послідовностей (функцій цілочисельного аргументу хn = f(n), nN є справедливими і для функцій неперервного аргументу, а саме:
ТЕОРЕМА. Нехай на множині X задані функції f(x) і φ(х), х0 - гранична точка множини X і в точці х0 обидві функції мають скінчені границі , . Тоді
1) ;
2) ;
3) якщо то .
При знаходженні границь функції будемо користуватися тим, що для основних елементарних функцій в будь-якій точці із області визначення має місце , тобто .
Наприклад, .
Розглянемо декілька способів обчислення границь.
2. Методи знаходження рангу матриці.
Розглянемо два методи знаходження рангу матриці.
Перший метод – метод окантування – полягає у наступному. Якщо всі мінори І-го порядку, тобто елементи матриці, рівні нулю, то r = 0.
Якщо хоч один із мінорів І-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, r = 1. аналогічно, якщо мінор 2-го порідку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го порядку. Таким способом знаходять мінор k-го порядку і перевіряють, чи не дорівнюють нулю мінори (k+1)-го порядку. Якщо всі мінори (k+1)-го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці А дорівнює числу k. Такі мінори (k+1)-го порядку, як правило, знаходять шляхом «окантування» мінора k-го порядку.
Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосуванні елементарних перетворень матриці при зведенні до її діагонального вигляду.
Елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції:
При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.
Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна із них одержується з другої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень. Еквівалентні матриці не рівні між собою, зате вони мають однакові ранги.
Якщо матриці А і В еквівалентні, то це записують так: .
З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звести до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості відмінних від нуля діагональних елементів.
Б. 23.
1. Вибірки, вибіркові характеристики, графіки зображення варіаційних рядів.
2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Рівняння називається лінійним, якщо воно містить невідомі величини x1, x2, … , xn тільки в першому степені і не містить їх добутки. Це рівняння такого вигляду:
a1x1+a2x2+…+anxn=b, де a1,a2,…,an b – довільні дійсні числа.
Розглянемо систему m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:
Тут числа aij ( i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) називаються коефіцієнтами біля невідомих xj (j = 1,2,…,n), a bi (i =1,2,…,m) – довільними членами.
Перший індекс «і» біля коефіцієнтів вказує, в якому рівнянні знаходиться коефіцієнт, а другий «j» при якому із невідомих він знаходиться.
Означення. Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь називається така впорядкована сукупність n чисел α1,α2,…,αn, яка при x1= α1, x2= α2,…,xn= αn перетворює кожне з рівнянь системи в правильну рівність.
Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю, то систему рівнянь називають однорідною і неоднорідною, якщо bj ≠ 0 (j = 1,2,…,m).
Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має хоч один розв’язок, то вона називається сумісною, в іншому випадку – несумісною.
Якщо розв'язок системи єдиний, то система лінійних рівнянь називається визначеною. У випадку, коли розв'язок сумісної системи не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.
Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними ( або рівносильними), якщо всі розв'язки однієї системи є розв'язками другої, і навпаки.
Еквівалентні (або рівносильні) системи отримуємо з допомогою еквівалентних перетворень. До еквівалентних перетворень системи відносяться:
Б. 24.
1. Теорема множення ймовірностей.
Означення 1. Ймовірність події А при умові, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається так: .
Означення 2. Дві події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність кожної з них не залежить від появи чи не появи другої, тобто
.
В протилежному випадку події називаються залежними.
ТЕОРЕМА 1. Ймовірність добутку двох подій А і В рівна добутку ймовірності одної з них на умовну ймовірність другої, при умові що перша подія мала місце, тобто
.
Наслідок. Для будь-яких двох подій А і В справедлива рівність
.
ТЕОРЕМА 2. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій А і В рівна добутку ймовірностей цих подій:
.
2. Метод Крамера.
Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:
Означення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих цієї системи
Називається визначником системи (або головним визначником).
ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Якщо визначник Δ системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля (Δ ≠ 0), то ця система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера:
.
Тут Δj – визначник, утворений із визначника Δ заміною j –го стовпця, стовпцем із вільних членів.
Зауваження 1. Якщо Δ = 0 і Δj =0 (j = 1,2,…,n), то система лінійних рівнянь має безліч розв’язків.
Зауваження 2. Якщо Δ = 0 і хоч один з визначників Δj =0 (j = 1,2,…,n) не дорівнює нулю, то система лінійних рівнянь не має розв’язків.
При розв’язуванні n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими за правилом Крамера потрібно потрібно обчислювати (n+1) визначники n-го порядку. Тому при n ≥ 4 знаходження визначників приводить до громіздких обчислень, а значить, користуючись формулами Крамера незручно.
Зауваження 3. Формули Крамера найкраще використовувати тоді, коли визначник системи Δ ≠ 0, тобто коли розв'язок єдиний. Якщо кількість лінійних алгебраїчних рівнянь більша кількості невідомих, то ефективніше використовувати інші методи (методи послідовного або повного виключення невідомих).
Б. 25.
В конспекті
2. Матричний метод розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Нехай задана система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:
Позначимо через А матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи); Х – матрицю-стовпець із невідомих; В – матрицю-стовпець із вільних членів, тобто
Тоді систему рівнянь можна переписати у вигляді матричного рівняння: АХ = В.
Якщо квадратна матриця А має не нульовий визначник Δ, то для неї існує обернена А-1. Помноживши зліва в цьому рівнянні на А-1, одержимо А-1АХ = А-1В або (А-1А)Х = = А-1В. Враховуючи, що А-1А = Е і ЕХ = Х , одержимо матричний розв'язок системи Х = А-1В.
Знаходження матричного розв'язку називається матричним способом розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Приклад 1. Записати і розв’язати в матричній формі систему рівнянь
Розв’язування. Позначимо через
Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі АХ = В. Матричний розв'язок системи буде Х = А-1В.
Для знаходження оберненої матриці А-1 обчислимо визначник
Оскільки , то для матриці А існує обернена А-1, а значить можна знайти єдиний розв'язок вихідної системи.
Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці:
Складемо систему з цих алгебраїчних доповнень
Транспонуючи її, запишемо приєднану матрицю .
Обернена матриця має вигляд
Знайдемо розв'язок заданої системи:
Розв'язок системи лінійних рівнянь такий:
х1 = -1; х2 = 1; х3 = 3.
Б. 26.
1. Числовий ряд та його збіжність
Поняття числового ряду.
Якщо задано числову послідовність то числовим рядом називається вираз
Члени послідовності називаються членами ряду, а загальний член послідовності - загальним членом ряду.
Сума n перших членів ряду
називається n-ю частинною сумою ряду.
Кожному даному ряду відповідає послідовність його частинних сум (домовляються, що S1 = ):
………………..
………………………………..
Навпаки, якщо задано послідовність частинних сум, то відповідний ряд можна записати у вигляді
Збіжність ряду.
Числовий ряд називається збіжним, якщо збіжна послідовність його частинних сум; границя послідовності частинних сум називається сумою ряду, тобто
.
2. Визначники матриць 2-го порядку
Визначником другого порядку називається число, яке дорівнює різниці добутків елементів головної діагоналі і допоміжної діагоналей, тобто
Це ілюструється схемою: .
Приклад 1. Обчислити визначник другого порядку: .
Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:
.
Б. 27.
ТЕОРЕМА. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто якщо АВ = 0, то
.
Наслідок. Ймовірність суми скінченного числа попарно несумісних подій рівна сумі ймовірностей цих подій.
Наслідок. Якщо , то , тобто ймовірність суми двох подій ніколи не перевищує суми ймовірностей цих подій.
Визначником третього порядку називається число, яке знаходиться за формулою
Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з такої схеми:
Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається правилом трикутників. Тут доданки із знаком “+” є добутками елементів, які стоять на головній діагоналі визначника а11,а22,а33 і добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами паралельними головній діагоналі а12,а23,а31 і а13,а21,а32. Із знаком “-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагоналі а13,а22,а31 і добутки елементів вершин трикутників із основами, паралельними цій діагоналі визначника: а12,а21,а33 і а11,а23,а32 .
Приклад 2. Обчислити визначник .
Розв’язування. Користуючись правилом трикутників, одержимо .
Б. 28.
Розглянемо прямокутну систему координат в просторі і вектор, початок якого в точці О (мал.14). Позначимо орти осей координат Ох, Оу, Оz відповідно через , причому .
Спроектуємо вектор на координатні осі (через точку М проведемо площини, перпендикулярні до координатних осей). Проекціями точки М на координатні осі будуть відповідно точки А, В, С (мал.14).
З прямокутника ODMC видно, що вектор , але з прямокутника AOBD одержуємо, що вектор . Тоді
(1)
Вектор , який сполучає точку О з точкою М(х, у, z) називається радіусом-вектором цієї точки.
Вектори називаються складовими або компонентами вектора , а їх величини ОА = х, ОВ = у, ОС = z координатами цього вектора. Компоненти вектора виразимо через його координати і одиничні вектори , а саме .
Підставляючи ці значення в рівність (1), враховуючи, що , одержимо
(2)
Доданки є складовими або компонентами вектора .
Трійка векторів називається координатним базисом, а розклад (2) називається розкладом вектора по базису . Це основна формула векторної алгебри.
Б. 29.
1. Формула Тейлора
Важливою задачею математичного аналізу є знаходження значень функцій, заданих формулами. Безпосередньо ми можемо обчислити значення функцій, заданих многочленами, чи дробово-раціональними функціями. Так, наприклад, знайдемо значення функцій: а) у = х2 - 5х +4, при х = 2, б) , при х = 2.
Отримаємо: у(2) = 22 - 5∙2 + 4 = 2, .
Тоді як значення функцій y = sin x, y = ln x знайти безпосередньо не можемо.
В розв’язанні цієї задачі може допомогти формула Тейлора. Встановимо цю формулу для многочленів.
Формула Тейлора для многочлена
Нехай задано многочлен f(x) = c0 + c1x + c2x2 +…+ cnxn і деяке число а. Покажемо, що даний многочлен можна записати у вигляді:
f(x) = A0 +A1(x - a) + A2(x – a)2 + … + An(x – a)n (1)
знайдемо значення постійних A0, A1, A2, …, An. Підставивши х = а в (1), одержимо f(a) = A0.
Продиференціюємо (1):
f′(x) = A1∙1 + A2∙2(x – a) + … + An∙n(x – a)n-1 (2)
Поклавши в (2) х = а , одержимо f′(а) = A1∙1. Звідси, .
Продиференціюємо (2):
f′′(x) = A1∙2∙1 + A3∙3∙2(x – a) + … + An∙n(n - 1)(x – a)n-2.
Поклавши тут х = а , одержимо f′′(а) = A2∙2∙1, звідки, .
Продовжуючи такі міркування, одержимо і взагалі .
Отже, для будь-якого многочленна і будь-якого а справедлива формула
,
яка називається формулою Тейлора для многочлена.
2. Проекції вектора на осі координат
Розглядається прямокутна система координат Оxyz в просторі і довільний вектор . Нехай .
Проекції x, y, z вектора на координатні осі називають координатами вектора і записують .
Якщо задані дві точки А(х1;у1;z1) і В(х2;у2;z2), то координати вектора знаходяться за формулами
х = х2 – х1, у = у2 – у1, z = z2 – z1.
Дійсно, проведемо через точки А і В площини, перпендикулярні до осі Ох і позначимо точки їх перетину відповідно А1 і В1 (мал.13). Точки А1 і В1 мають на осі Ох координати х1 і х2, але А1В1 = х2 – х1 , а тому х = х2 – х1. Аналогічно доводиться, що у = у2 – у1, z = z2 – z1.
Б. 30.
1. Розміщення та перестановки без повторень.
Перестановки.
Означення. Будь-яка впорядкована множина, що склада ється з n елементів, називається перестановкою і n елементів.
Отже, перестановки з n елементів відрізняються одна від од ної тільки порядком елементів.
Очевидно, що з елементів множини А = {1;2;7} можна утвори ти шість перестановок: (1;2;7),(1;7;2),(2;1;7),(2;7;1),(7;1;2),(7;2;1).
Елементи цих перестановок утворюють шість різних трицифрових чисел: 127, 172, 217, 271, 712, 721.
Число перестановок із трьох елементів позначається симво лом Р3; відповідно символом Рn позначається число перестано вок з n елементів.
Вище ми встановили, що Р3 = 6. Виникає запитання, як знай ти формулу для обчислення числа перестановок з n елементів?
Щоб знайти цю формулу, проведемо такі індуктивні мірку вання, тобто міркування від окремих випадків до загального.
Очевидно, що один елемент можна розмістити тільки одним способом, тому Р1 = 1. Із двох елементів а і b можна утворити дві перестановки (a;b) і (b;a) тому Р2 = 2 = 1·2.
Вище було встановлено, що з трьох елементів можна утвори ти шість перестановок, тобто Р3 = 6 = 1 · 2 · 3.
З чотирьох елементів а, b, с, d можна утворити 24 переста новки, якщо до кожної перестановки з трьох елементів а, b, с приєднати четвертий елемент d, поставивши його відповідно на перше, друге, третє і четверте місця.
Нижче наведено спосіб утворення перестановок з чотирьох елементів.
|
(а; b; с) |
(а; с; b) |
(b; a; c) |
(b; c; a) |
(c; a; b) |
(с; b; а) |
|
(d;a;b;c) (a;d;b;c) (a;b;d;c) (a;b;c;d) |
(d;a;c;b) (a;d;c;b) (a;c;d;b) (a;c;b;d) |
(d;b;a;c) (b;d;a;c) (b;a;d;c) (b;a;c;d) |
(d;b;c;a) (b;d;c;a) (b;c;d;a) (b;c;a;d) |
(d;c;a;b) (c;d;a;b) (c;a;d;b) (c;a;b;d) |
(d;c;b;a) (c;d;b;a) (c;b;d;a) (c;b;a;d) |
Отже, PA =24 = 1·2·3·4.
Напрошується висновок, що Рn = 1 · 2 · 3…(n - 1)n.
Добуток n послідовних натуральних чисел 1 · 2 · 3…(n - 1)n скорочено позначають n! (читається " n факторіал"). За означен ням приймається, що 1! = 1. Тоді
2!= 1 · 2; 3! = 1·2·3; ... ; n! = 1·2·3…( n - 1)1 n .
Таким чином, треба довести, що Рn = n!
Задача 1. Скільки семицифрових чисел можна утворити за допомогою семи різних цифр, відмінних від 0?
Розв'язання. Шукане число дорівнює числу перестано вок із семи різних елементів:
Р7 = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.
Задача 2. Скількома способами можна розмістити 12 осіб за столом, біля якого поставлено 12 стільців?
Розв'язання. Число способів дорівнює:
Р12 =1·2·3…12 = 479001600.
Цікаво, що коли 12 осіб за столом розміщати щохвилини, протягом 11 год на добу, 365 днів на рік, з відпочинком на один день у високосні роки, то на це піде 1988 років і 140 днів!
Задача 3. Обчислити: а) ; б) .
Розв’язання.
а) ;
б) .
Розміщення.
Розглянемо таку задачу: скількома способами можна скласти денний розклад із п'яти різних уроків, якщо в класі вивчають 10 навчальних предметів?
Щоб записати в розкладі перший урок, є 10 різних можливос тей, бо кожний предмет можна поставити першим уроком. Дру гим уроком можна поставити будь-який з дев'яти предметів, що залишилися. Отже, загальна кількість способів, за якими можна поставити два перших уроки, становить 10·9 = 90.
Для третього уроку залишається 8 можливостей вибору предметів, оскільки два вже поставлено в розклад. Тому для роз поділу трьох перших уроків кількість різних способів дорівню ватиме 10·9·8 = 720.
Для четвертого уроку залишається 7 можливостей вибору предметів, тому чотири уроки можна записати у розклад 10·9·8·7 = 5040 різними способами.
П'ятим уроком можна поставити будь-який із шести уроків, шо залишилися. Тому п'ять уроків можна записати у розклад 10·9·8·7·6 = 30240 різними способами.
У цій задачі з множини, що містить 10 елементів, доводилось утворювати впорядковані підмножини, що містять по одному, два, три, чотири, п'ять елементів.
Розглянемо ще одну задачу: дано чотири цифри 1, 3, 7, 9. Утворити з них всі можливі двоцифрові числа.
Тут з множини, шо містить чотири елементи, треба утворити впорядковані підмножини. що містять по два елементи. Напри клад, 13, 17, 19...
Упорядковані підмножини, які утворились у двох розгляну тих задачах, називають розміщеннями відповідно, наприклад, з десяти елементів по п'ять у першій задачі та з чотирьох елемен тів по два у другій.
Розглянемо загальний випадок.
Означення. Будь-яка впорядкована підмножина з п елементів даної множини М, котра містить т елементів, де п ≤ т, називається розміщенням з т елементів по п.
Отже, розміщення відрізняються один від одного або елемен тами, або порядком елементів.
Зауваження. Очевидно, що коли m = n, матимемо переста новку з m елементів, тобто перестановка є окремим випадком розміщення за умови, що m = n.
Для практичного застосування важливо знайти формулу, за якою обчислюється число всіх можливих розміщень з m по n. Це число позначається .
Під час розв'язування першої задачі з'ясували, що ;; ; ; .
Аналізуючи закономірність утворення чисел , , , , помічаємо, що:
1) кожне з них дорівнює добутку стількох послідовних нату ральних чисел, скільки елементів у розміщенні (підмножині з множини 10 елементів);
2) на першому місці стоїть співмножник, що дорівнює кількості всіх елементів множини, з якої утворюються розміщення, а кожний наступний співмножник на одиницю менший від попереднього;
3) останній співмножник дорівнює різниці між числом усіх елементів, з яких утворюються розміщення, і числом, на одини цю меншим від кількості елементів у розміщенні.
Формула має вигляд: .
Задача 4. Скільки різних музичних фраз можна скласти з 6 нот, якщо не допускати в одній фразі повторення звуків?
Розв'язання. Музичні фрази, про які йдеться, відрізня ються одна від одної або нотами, або порядком їх у фразі. От же, потрібно знайти число розміщень з 88 елементів по 6 (вва жатимемо, що піаніно має 88 клавішів):
.
Задача 5. Скільки можна утворити різних трицифрових додатних цілих чисел у десятковій системі числення?
Розв'язання. З 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можна утворити трицифрових чисел, тобто . Але з них слід виключити ті числа, які починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з 9 цифр по 2 (без нуля), тобто.
Отже, різних трицифрових чисел можна утворити 720 - 72 = 648.
2. Проекція вектора на вісь
Нехай маємо довільну вісь l на площині і деякий вектор (мал.12).
Опустимо із початку А вектора і з кінця В перпендикуляри на вісь l. Основами перпендикулярів будуть точки А1 і В1, які називаються проекціями точок А і В.
Величина А1В1 називається проекцією вектора на вісь l і позначається , тобто .
Означення 1. Проекцією вектора на вісь l називається величина відрізка А1В1 взята із знаком плюс, якщо напрям відрізка А1В1 співпадає з напрямом вісі l, і з знаком мінус, якщо напрями протилежні.
З точки А проведемо пряму, паралельну осі l, яка перетне відрізок ВВ1 в точці С. Вектор утворює з віссю l кут φ. Величина відрізка АС дорівнює величині відрізка А1В1, а тоді з ΔАВС знаходимо
або
Означення 2. Проекція вектора на будь-яку вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між віссю і вектором.
Якщо кут φ гострий, то проекція додатне число, а якщо кут φ тупий, то проекція - від'ємне число.
Властивості проекцій.
.
М
М1
О
N1
x
І
ІІ
ІІ
IV
y
Мал.1
у
х
О
А1
В1
А2
А
С
В2
В
d
Мал. 2
у
х
О
А1
В1
А2
А
С
В2
В
Мал. 3
С2
С1
у2
у
у1
х2
х
х1
z
y
x
C
M
B
O
A
Мал.5
А
В
Мал.7
Мал.8
Мал.9
Мал.10
О
А
С
В
Мал.11
О
А
а)
А
б)
Мал.16
z
y
x
C
M
B
O
A
Мал.14
D
z
y
x
B
O
A
Мал.13
B1
А1
х1
х2
А
А1
С
В1
В
φ
l
Мал.12