Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.1.3. Классическое определение вероятности
По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.
|
. |
(1.1) |
Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.
Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равновозможности" исходов.
Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.
По тем же соображениям симметрии считаются равновозможными исходы такого эксперимента, как вынимание тщательно перемешанных и неотличимых на ощупь белых и черных шаров так, что после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательного перемешивания производится извлечение следующего шара.
Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, какими являются азартные игры.
Таким образом, классическое определение вероятности связано с понятием равновозможности и используется для экспериментов, сводящихся к схеме случаев. Для этого необходимо, чтобы события e1, e2, en были несовместными, т. е. никакие два из них не могут появиться вместе; такими, что образуют полную группу, т. е. они исчерпывают собой все возможные исходы (не может быть так, что в результате опыта ни одно из них не произошло); равновозможными при условии, что эксперимент обеспечивает одинаковую возможность появления каждого из них.
Не всякий эксперимент удовлетворяет схеме случаев. Если нарушается условие симметрии, то нет схемы случаев.
Формула (1.1), "классическая формула", применялась для вычисления вероятностей событий с самого начала появления науки о случайных явлениях.
Те опыты, которые не обладали симметрией, "подгонялись" под схему случаев. В настоящее время наряду с "классической формулой" существуют способы вычисления вероятностей, когда эксперимент не сводится к схеме случаев. Для этого используется статистическое определение вероятности.
Понятие статистической вероятности будет введено позднее, а сейчас вернемся к классической формуле.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.
Решение. Случайное событие А - появление хотя бы одного герба.
Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом,
E=e1, e2, e3, e4; n=4.
Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3; их число m=3.
Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем .
Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei - появление одного шара (белого или черного);
E={e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7}, n=7.
Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m=3. Следовательно, .
Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.
Решение. Случайное событие А - оба шара будут белыми.
Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе "Комбинаторный метод". В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний
,
так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом,
.
Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде
.
Следовательно, .
1.1.4. Статистическое определение вероятности
При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устанавливается около определенного значения , которое принимается за вероятность событияА. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равновозможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается
|
, |
(1.2) |
где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;
n - общее число экспериментов.
Формулы (1.1) и (1.2) для определения вероятности имеют внешнее сходство, но они различны по существу. Формула (1.1) служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям опыта. Формула (1.2) служит для экспериментального определения частости события. Чтобы воспользоваться формулой (1.2), необходим опытный статистический материал.
1.1.5. Аксиоматический подход к определению вероятности
Третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств.
Принятое аксиоматическое определение вероятности было сформулировано в 1933 г. А. Н. Колмогоровым. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:
1.1.6. Основные свойства вероятности
.
Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.
Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное , которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P()=0 .
Пример. Вероятность того, что случайно выбранная в результате опроса семья имеет цветной, черно-белый или цветной и черно-белый телевизоры, равны соответственно 0.86; 0.35; 0.29. Какова вероятность, что семья имеет цветной или черно-белый телевизор?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что семья имеет цветной телевизор.
Событие В состоит в том, что семья имеет черно-белый телевизор.
Событие С состоит в том, что семья имеет или цветной, или черно-белый телевизор. Событие С определяется через А и В в виде , А и В совместны, поэтому
.
1.1.7. Комбинаторный метод
Во многих вероятностных проблемах необходимо перечислить все возможные исходы эксперимента или элементарные события, которые возможны в данной ситуации, или вычислить их количество. Для этого можно использовать следующие правила.
Правило 1. Если операция состоит из двух шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами и второй может быть сделан n2 способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2 способов.
Под словом "операция" подразумевается любая процедура, процесс или метод выбора.
Чтобы подтвердить это правило, рассмотрим операцию, которая состоит из шагов xi и yi, шаг x может быть осуществлен n1 способами, т.е. , шаг y может быть осуществлен n2 способами, т.е. , тогда ряд всех возможных способов может быть представлен следующими n1n2 парами:
Пример. Сколько возможных исходов имеется в эксперименте, который состоит в подбрасывании двух игральных костей.
Решение. Под x и y в этом случае понимается выпадение любой грани на первой кости и на второй кости. Выпадение грани на первой кости возможно шестью способами xi, ; выпадение грани второй кости возможно также шестью способами xj, .
Всего возможных способов 6.6=36.
Правило 2. Если операция состоит из k шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами, второй n2 способами, третий способами и т. д., k-й - способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2…nk шагов.
Пример. Инспектор качества хочет выбрать часть из каждого из четырех контейнеров, содержащих 4, 3, 5 и 4 частей соответственно. Сколькими способами он может это сделать?
Решение. Общее число способов определяется как 4·3·5·4=240.
Пример. Сколькими возможными способами может ответить студент в тесте из 20 вопросов, если на каждый вопрос он может ответить "да" или "нет"?
Решение. Всех возможных способов 2·2...2=220=1048576.
Часто на практике возникает ситуация, когда объекты должны быть упорядочены.
Например: сколькими различными способами 6 персон могут сесть вокруг стола? Различные их расположения называются перестановками.
Пример. Сколько перестановок возможно для букв a, b, c?
Решение. Возможные расположения abc, acb, bac, bca, cab, cba. Число возможных расположений равно шести.
Используя правило 2, можно подсчитать число возможных расположений. Для первой позиции - 3 различных способа (из букв a, b, c). Для второй позиции - 2 различных способа. Для третьей позиции - 1 способ. Всего способов 1·2·3=6.
Обобщая данный пример, для n объектов всего n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 различных способов или n!, т. е. число перестановок n!=1·2·3...·(n-2)(n-1)n, при этом 0!=1.
Правило 3. Число перестановок n различных объектов равно n!.
Пример. Число перестановок из четырех букв 4!=24, но какое число перестановок получится, если выбирать по 2 буквы из четырех?
Решение. Мы должны заполнить две позиции из четырех букв. Для первой позиции - 4 способа, для второй позиции - 3 способа. Следовательно, используя правило 1, имеем 4·3=12.
Обобщая этот пример на n различных объектов, из которых выбирается r объектов без возвращения для r > 0, всего способов n(n-1)...(n-r+1). Это число обозначим , а получаемые комбинации называются размещениями.
Правило 4. Число размещений из n объектов по r определяется как (для r = 0,1,...,n).