Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
38.Показател. ф-ция. Её осн. св-ва. Разл. в степенн ряд. Методика изуч. св-в пок.ф-ции в школе.
По ныне действующей программе показательная функция изучается в 10 классе. Мет. схема изуч. св-в ф-ции в старш.кл.: 1) пропедевтика; 2) «подводящие» задачи; 3) определение ф-ции; 4) построение графика по точкам 5) считывание св-тв; 6)решение зад. на применение изуч. св-в. Подготовит. раб: перед изучением показател ф-ции целесообразно систематизировать с учащ знания по теме степень
1) степень с произв. целым показателем. а), ,, ; б) , , (т.к неопределенно); в) , , , ; г) , , (условное соглашение);
2) с произв. дробным показат. а) , , , , , , ∤.
3) Ст. с иррац. показат.: а)
1; 1,7; 1,73;…- возрастающая последовательность. , , возр.посл.,ограничена ⇒ имеет lim = .
Подводящие задачи:
1) однолетнее растение дает 100 семян. Прорастает ½. Описать увеличение числа растений в зависимости от числа прошедших лет.
Сост. таблицу:
Вывод: при изменении числа прошедших лет на одно и то же число, кол-во раст. ув. в одно и то же число.
Т.о. при изменении одной величины на некоторое постоянное число значение другой величины увеличивается в одно и тоже число раз. Необходимо найти функцию обладающую свойством: если аргумент получает равное приращение, то значение функции увеличивается или уменьшается в одно и тоже число раз. Такая ф-ция наз. показательной.
О: функция заданная формулой , назыв. пок. Функцией с основанием
Если , тогда . Если , тогда . Если , тогда - имеет смысл только при целых , мы рассматриваем функцию на множестве .
Почему ф-ция наз. показательной? Переменная в показателе. , -показат.ф.
Функция обладает свойством: равным приращением аргумента соответствует увеличение или уменьшение функции в одно и то же число раз. Проверим это.
Аргумент знач. функ. . Аргумент знач. функ. (). Аргумент знач. функ. . Аргумент знач. функ. . Приращ аргумен увеличивается на , а значение функции в раз.
Школьники часто путают термин показательная и степенная ф-ция. Название ф-ции зависит от того где находится аргумент. В учебниках для школы при изучении св-в ф-ции строится график и с графика снимаются свойства.
Строим графики функций , .
1) , если ; 2) , так как ;
3) Если , то ф-ция строго . Если , то ф-ция строго ;
4) функция ни четна ни нечетна.
5) Периодичность. Ф-ция либо строго убывает либо возрастает ф-ция принимает свое значение ровно один раз не периодическая .
6) нет наибольшего и наименьшего значения.
Применение св-в к решению уравн и нерав-ств.
1) , (равносильное преобраз, запись левой и правой части в др виде)
- монотонно убывает на мн-ве действ чисел, т.е. каждое свое значение принимает ровно один раз , .
2) , . Рассмотрим строго возрастает на мн-ве действ. чисел, т.е. большему значению функции соответствует большее значение аргумента
Определение (по Гейне): число называется пределом функции при () , если аргументов функции , и такой, что соответствует последовательность значений функции .
Т1! Показательная функция при является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.
Док-во: Пусть - произвольное вещественное число, а - любая сходящаяся к последовательность. В силу определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любого существует такой номер , что при всех . Фиксируем произвольное и по нему рациональные числа и , такие что и . Поскольку последовательность сходится к и , то существует такой номер , что при всех справедливо . Так как показательная функция монотонно возрастает, то , при всех . Т.о. и заключены между двумя числами и , разность между которыми при справедливо неравенство , которое и доказывает непрерывность функции.
Так непрерывна и дифференцируема то в окрестности точки ее можно разложить в ряд Тейлора.
Разложим в ряд Тейлора в окрестности .
(ост. член в форме Лагранжа при )