Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
?
Лекція №18
Тема: Аналіз часових характеристик лінійних електричних кіл.
1.Перехідна та імпульсна характеристики.
2.Розрахунок реакції кола на вплив довільної форми з використанням часових характеристик.
3.Поняття про розрахунок перехідних процесів при часових функціях, що обгинають.
4.Інтеграл згортки для обгинаючих функцій
Література: Л1. с. 279-291, Л3. с. 260-270
1.Перехідна та імпульсна характеристики.
Часовою характеристикою ланцюга (кола) називається функція часу, значення якої чисельно визначаються реакцією ланцюга на типовий вплив. Реакція ланцюга на заданий типовий вплив залежить лише від схеми ланцюга і параметрів її елементів і, отже, може служити її характеристикою. Часові характеристики визначають для лінійних ланцюгів, що не містять незалежних джерел енергії, і при нульових початкових умовах. Часові характеристики залежать від виду заданого типового впливу. У зв'язку з цим їх поділяють на дві групи: перехідні й імпульсні часові характеристики.
Перехідна характеристика, або перехідна функція, визначається реакцією ланцюга на вплив одиничної східчастої функції. Вона має кілька різновидів (табл. 18.1).
|
Таблиця 18.1 |
||
|
Вид впливу |
Вид реакції |
Перехідна характеристика |
|
Одиничний стрибок напруги |
Напруга Ток |
КU(t) Y(t) |
|
Одиничний стрибок струму |
Напруга Ток |
Z(t) КI (t) |
Якщо вплив заданий у виді одиничного стрибка напруги і реакцією є також напруга, то перехідна характеристика виявляється безрозмірною, чисельно рівною напрузі на виході ланцюга і називається перехідною функцією або коефіцієнтом передачі КU (t) по напрузі. Якщо ж вихідною величиною служить струм, то перехідна характеристика має розмірність провідності, чисельно дорівнює цьому струму і називається перехідною провідністю Y(t). Аналогічно при впливі у виді струму і реакції у виді напруги перехідна функція має розмірність опору і називається перехідним опором Z(t). Якщо ж при цьому вихідною величиною є струм, то перехідна характеристика безрозмірна і називається перехідною функцією або коефіцієнтом передачі КI (t) по струму.
У загальному випадку перехідну характеристику будь-якого виду позначають через h(t). Перехідні характеристики легко визначаються розрахунком реакції ланцюга на одиничний східчастий вплив, тобто розрахунком перехідного процесу при включенні ланцюга на постійну напругу 1 В, або на постійний струм 1 А.
Імпульсна характеристика, або імпульсна перехідна функція, визначається реакцією ланцюга на вплив δ (t) -функції. Як і перехідна характеристика, вона має кілька різновидів, обумовлених видом впливу і реакції — напругою або струмом. У загальному випадку імпульсну характеристику визначають через a(t).
Установимо зв'язок між імпульсною характеристикою і перехідною характеристикою лінійного кола. Для цього визначимо спочатку реакцію ланцюга на імпульсний вплив малої тривалості tи=Δt, представивши його накладенням двох східчастих функцій:
fвх (t) = Um [1(t) – 1(t-Δt)].
Відповідно до принципу накладення реакція ланцюга на такий вплив визначається за допомогою перехідних характеристик:
fвых (t) = Um [h(t) – h(t-Δt)].
При малих Δt можна записати
fвых (t) = Um Δt *[h(t) – h(t-Δt)]/Δt =Δh(t)/Δt *Sи . (18.1)
де Sи — Um Δt — площа імпульсу,
При Δt → 0 і Um 1/Δt - отримане вираження описує реакцію ланцюга на δ(t) -функцію, тобто визначає імпульсну характеристику ланцюга:
a(t) = lim Δh(t)/Δt *Sи = h′ (t) (18.2)
Δt→0
Sи→1
З обліком цього реакція лінійного ланцюга на імпульсний вплив малої тривалості може бути знайдена, як добуток імпульсної функції на площу імпульсу:
fвых (t) = a(t)Sи . (18.3).
Ця рівність лежить в основі експериментального визначення імпульсної функції. Воно тим точніше, чим менше тривалість імпульсу.
Таким чином, імпульсна характеристика представляє похідну від перехідної характеристики:
a(t) = h'(t)= d/dt [h(t)1(t)]= h′ (t)1(t) + h(0) δ(t) . (18.4)
Тут враховано, що h(t) δ(t) = h(0) δ(t), а множення h(t) на 1(t) еквівалентно вказівці на те, що значення функції h(t) при t<0 дорівнює нулю.
Інтегруючи отримані вираження, легко переконатися, що
t
h(t) = ∫ a(t)dt. (18.5)
— ∞
Рівності (18.2) і (18.4) є наслідком рівностей (17.14) і (17.16). Тому що a(t) =dh(t)/dt , імпульсні характеристики мають розмірність відповідної перехідної характеристики, поділеної на час. Для розрахунку імпульсної характеристики можна скористатися вираженням (18.4), т, е. розрахувати неї за допомогою перехідної характеристики.
Тимчасові характеристики типових ланок приведені в таблицях довідників.
Розрахунок тимчасових характеристик звичайно виробляється в наступному порядку:
-визначаються крапки додатка зовнішнього впливу і його вид (струм або напруга), а також цікавляча вихідна величина— реакція ланцюга (струм або напруга на якійсь її ділянці);
-розраховується потрібна тимчасова характеристика, як реакція ланцюга на відповідний типовий вплив: 1(t) або δ(t).
2. РОЗРАХУНОК РЕАКЦІЇ ЛАНЦЮГА
НА ВПЛИВ ДОВІЛЬНОЇ ФОРМИ
З ВИКОРИСТАННЯМ ТИМЧАСОВИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В основі розрахунку реакції лінійного ланцюга на вплив довільної форми з використанням її тимчасових характеристик лежить принцип накладення. Суть такого методу розрахунку полягає в представленні вхідного
Рис. 18.1
впливу сумою (накладенням) простих типових імпульсних функцій.
Представимо вхідний сигнал довільної форми накладенням прямокутних
імпульсів малої тривалості tи=Δτ =Δt (мал. 18.1).
При малій тривалості Δτ реакція ланцюга на кожен імпульс fвх k(t) відповідно до формули (18.3) визначається за допомогою її імпульсної характеристики як добуток:
fвых k(t)= a(t-τ)Sиk = a(t-τ) fвх (τ)Δτ. (18.8)
Реакцію ланцюга на вплив fвх (t) відповідно до принципу накладення:
знайдемо як суму реакцій fвых k(t)
n τ=nΔt
fвых (t)= Σ fвых k(t)= Σ fвх(τ)a(t-τ)Δτ. (18.9)
k=0 τ=0
Спрямовуючи Δτ→0, у межі одержуємо
t
fвых (t)= ∫ fвх(τ)a(t-τ)dτ = fвх(t) * a(t) . (18.10)
0
або після заміни перемінних
t
fвых (t)= ∫ fвх(t-τ)a(τ)dτ = fвх(t) * a(t). (18.11)
0
Тут інтегрування виробляється по τ, а під t розуміють фіксований момент часу, у який потрібно знайти значення fвых (t).
Отримані вираження називаються інтегралами згортки. Вони дозволяють знайти реакцію лінійного ланцюга на довільний вплив як згорткові вхідного впливу з імпульсної характеристики ланцюга. Подібні вираження можна одержати і при апроксимації функції впливу за допомогою східчастих функцій, розглянутих у минулій лекції.
Інтегралові згортки можна дати графічну інтерпретацію. Для цього послідовність згортання двох функцій проілюструємо за допомогою мал. 18.2. функції, Що Згортаються, (мал. 18.2, а) після заміни перемінної t на (рис, 18.2, б) перетворимо шляхом заміни , на (-). Таке перетворення (мал. 18.2, в) відповідає дзеркальному відображенню функцій щодо осі ординат. Наступна заміна (-) на (t-) відповідає зсувові відбитих функцій вправо на величину t (мал. 18.2,г). Добуток двох функцій, що знаходиться під знаком інтеграла в згортку (18.10) і (18.11), представлене на мал. 18.2,д. Інтегрування перемножених функцій дає значення інтеграла згортки в даний момент часу (мал. 18.2,е). Ордината результуючій кривій (див. мал. 18.2, е) відповідає площі заштрихованої -поверхні (див. рис, 18.2, д). Для перебування кожної нової ординати потрібне нове відображення і зсув, після чого виконується перемножування ординат і інтегрування.
Таким чином, згортання двох функцій може бути представлене за допомогою чотирьох дій — відображення, зсуву, перемножування й інтегрування, виконуваних у визначеній послідовності.
Якщо підставити в інтеграли (18.10) і (18.11) вираження (18.4) і використовувати заміну перемінних, то одержимо ще двох форм інтеграла згортки
які в теорії ланцюгів звичайно називають інтегралами Дюамеля:
Інтегруючи в (18.10) і (18.11) вроздріб (udv = uv — vdu) одержуємо ще двох форм (третього і четверту) інтеграла Дюамеля: -
t
fвых (t) = fвх(0) h (t) + fвх(t-) h () d. (18.14)
0
t
fвых (t) = fвх(0) h (t) + fвх() h (t - ) d. (18.15)
0
тому що
Диференціюючи визначений інтеграл (18.10) і (18.11) по
верхній межі
одержуємо п'яту і шосту форми інтеграла Дюамеля:
t
fвых (t) = d/dt fвх(t-) h () d. (18.16)
0
t
fвых (t) = d/dt fвх() h (t - ) d. (18.17)
0
Вибір зручної форми запису інтеграла згортки (Дюамеля) визначається умовою розв'язуваної задачі, видом вхідного впливу і використовуваної тимчасової характеристики ланцюга.
Розрахунок реакції ланцюга на вплив довільної форми розпадається в загальному випадку на два етапи:
- розрахунок тимчасової характеристики потрібного виду;
- розрахунок реакції ланцюга за допомогою інтеграла згортки (Дюамеля) у будь-якій зручній його формі (18.10) —(18.17).
Розглянемо особливості застосування інтеграла Дюамеля при складній формі вхідного сигналу. Нехай fвх(t) змінюється, наприклад, відповідно до мал. 18.3. Функція fвх(t) у крапках t = 0, t1 і t2 змінюється стрибком, а на інтервалах часу 0 - t1 і t1 - t2 змінюється плавно, але по різних законах: fвх1(t) і fвх2(t) відповідно. Реакцію ланцюга на такий вплив, що задається на різних ин-
тервалах різними функціями і характеризующееся наявністю стрибків, зручно
мал. 18.3
розрахувати за допомогою інтеграла Дюамеля (18.29) і (18.30). У першому інтервалі часу = 0 - t1
t
fвых (t) = fвх(0) h (t) + fвх1() h (t - ) d.
t 0
В другому інтервалі часу =t1 t2
t1
fвых (t) = fвх(0) h (t) + fвх1() h (t - ) d +
t 0
+ (Fb – Fa ) h(t - t1) + fвх2() h (t - ) d .
t1
Тут доданок (Fa—Fb )h(t-t1) обумовлено стрибком вхідної функції від Fb до Fa у момент часу t1.
У третій інтервал часу >t2
t1
fвых (t) = fвх(0) h (t) + fвх1() h (t - ) d +
t2 0
+ (Fb – Fa ) h(t - t1) + fвх2() h (t - ) d + (0 - Fc) h(t - t2).
t1
Тут доданок (0—Fc)h(t— t2] обумовлено стрибком функції fвх(t) від Fc до 0 у момент часу t2.