Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Анализ динамики временных рядов
Модели и методы анализа динамики экономических процессов
В повседневной жизни, работе и т.п. часто приходится сталкиваться с событиями и явлениями, результат которых трудно предугадать. Аналогичные проблемы возникают и в экономике, например, требуется составить прогноз состояния рынка сбыта, рентабельности предприятия, спроса на продукцию и т.п. Решение подобных задач базируется на методах анализа данных, которые являются методами прикладной статистики. Эти методы позволяют выявить закономерности «случайности», делать обоснованные выводы и прогнозы, давать оценки вероятностей их выполнения или неисполнения.
Процесс анализа данных вручную трудоёмок. Удобно применять статистические пакеты на ПК. При этом не только упростится процесс вычислений, но и визуализация данных в виде двух- и трёхмерных графиков и диаграмм позволит лучше предоставить обрабатываемые данные, получить представление об их особенностях и закономерностях. Для осмысленного использования полученных результатов необходимо понимать, в каких ситуациях применимы различные статистические методы, знать их свойства, уметь интерпретировать результаты.
Прогнозирование на основе трендовых моделей
Прогнозирование на основе трендовых моделей основано на идее экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденций изменения экономического показателя. Это способ получить информацию о будущем на основе информации о прошлом и настоящем.
Понятие экономических рядов динамики
Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака) называется динамическим рядом (рядом динамики).
Если в качестве признака, относительно которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом.
При изучении экономических процессов чаще всего имеют дело с временными рядами, хотя их могут называть динамическими рядами.
Основные элементы временных рядов:
Различают моментные и интервальные временные ряды, например:
Длина временного ряда – время, прошедшее от начального до конечного момента наблюдения или количество уровней в ряду (эти значения могут отличаться).
Если во временном ряду проявляется длительная устойчивая тенденция («вековая») изменений экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Т.о. тренд характеризует общее направление развития, основную тенденцию временного ряда.
Экономико-математическая модель, в которой развитие экономической системы отражается трендом, называется трендовой моделью. Трендовая модель используется при прогнозировании экономических показателей на будущее.
Этапы прогнозирования:
Анализ временных рядов
Оцениваются:
|
№ |
Характеристика ряда |
Расчётная формула |
Качественная характеристика показателя |
|
1 |
Абсолютный базисный прирост |
Величина изменения показателя за некоторый интервал времени (характеризующий скорость развития явления во времени) |
|
|
2 |
Абсолютный цепной прирост |
||
|
3 |
Базисный коэффициент роста |
ki < 1 – уровень понижается, ki > 1 – уровень повышается, ki = 1 – остаётся постоянным относительно y1 или предыдущего значения |
|
|
4 |
Цепной коэффициент роста |
||
|
5 |
Базисный коэффициент прироста |
Относительно базового периода |
|
|
6 |
Цепной коэффициент прироста |
Относительно предыдущего периода |
|
|
7 |
Темп роста |
в % |
|
|
8 |
Темп прироста |
|
в % |
|
9 |
Средний уровень ряда |
Среднее значение |
|
|
10 |
Средний абсолютный прирост |
||
|
11 |
Средний темп роста |
||
|
12 |
Средний темп прироста |
Для определения наличия тренда может быть использовано несколько методов. Рассмотрим метод проверки разностей средних уровней. В этом методе 4 этапа:
,
,
Рассчитываем значение критерия:
или
и сравниваем с табличным значением критерия Фишера с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки). В качестве чаще всего берут 0,1 (10% ошибки), 0,05 (5% - наличие ошибки), 0,01 (1% ошибки).
Если , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается, переходим к этапу IV, если - гипотеза откланяется, вывод: данный метод определения наличия тренда ответа не даёт.
Проверка гипотезы об отсутствии тренда с помощью t-критерия Стьюдента.
Рассчитываем значение критерия Стьюдента:
, r – среднеквадратичное отклонение.
.
Если c заданным уровнем значения , то гипотеза принимается, т.е. тренда нет, - тренд есть ( берется из таблицы для числа степеней свободы, равного .
Данный метод применим для рядов с монотонной тенденцией.
Значение критерия Ирвина для уровня значимости α = 0,05, т.е. с 5% ошибкой (с доверительной вероятностью 0,05) приведено в таблице:
|
n |
2 |
3 |
Ю |
20 |
30 |
50 |
100 |
|
Λα |
2,8 |
2,3 |
1,5 |
1,3 |
1,2 |
1,1 |
1,0 |
Большими возможностями обладает метод Фостера - Стьюарта. Если оба метода дали противоречивые результаты, то предпочтение следует отдать это методу. Кроме тренда самого ряда (говорят, тренд в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии ВР: если тренда дисперсии нет, то разброс уровня ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается».
4 этапа:
для .
Заметим, что величина S характеризует характер изменения ВР и может принимать значение от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n – 1 (ряд монотонно возрастающий или убывающий).
1) 2) 3)
Величина d характеризует изменение дисперсионных уровней ВР и При – ряд монотонно убывающий (3), при d = n -1 – монотонно возрастающий (2).
– среднеквадратичное отклонение для величин S и d. Можно пользоваться табличными данными:
|
n |
10 |
20 |
30 |
40 |
|
r |
3.858 |
5.195 |
5.990 |
6.557 |
|
1.283 |
1.677 |
1.882 |
2.019 |
|
|
1.964 |
2.279 |
2.447 |
2.561 |
Если , то гипотеза 1) применяется, тренд в среднем отсутствует.
Если , то гипотеза 2) применяется, тренд дисперсии отсутствует.
Иначе тренд есть.
Проверка однородности данных (отсутствия аномальных явлений) и автокорреляционных свойств.
Под аномальным уровнем понимают отельное значение уровня ВР, который не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы.
Для выявления аномальных уровней стоит использовать метод Ирвина.
Пусть: – временной ряд, состоящий из n уровней.
Для аномального уровня должна быть выявлена причина появления. Аномальные уровни либо устраняются; либо заменяются на среднеарифметическое двух соседних уровней; либо заменяются на значение по кривой, аппроксимирующей этот ряд. Методы нахождения этой кривой, т.е. построения трендовой модели, будут рассмотрены далее. (Тренд – устойчивое изменение показателя, детерминирующая компонента среди соответствующих слагаемых ряда.)
Сглаживание временных рядов.
С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе перед применением методов прогнозирования, производят сглаживание (выравнивание) ВР.
2 основных группы методов сглаживания:
Метод простой скользящей средней. Выбирают интервал сглаживания m<n. Если нужно сгладить мелкие беспорядочные колебания, то m выбирают достаточно большим и уменьшенным, если мелкие колебания нужно сохранить. Рекомендуется брать m - нечетным.
Для первых m уровня ряда вычисляются их среднее, оно принимается за сглаженное значение уровня ряда, находящееся в середине интервала. Интервал сглаживает сдвиг на один уровень вправо и т.д.
Пусть – половина интервала сглаживания.
Тогда
В результате получится сглаженное значение уровня ряда. При этом р первых и р последних уровня ряда теряются, не сглаживаются.
Метод экспоненциального сглаживания. Используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес уровня уменьшается по мере удаления от него.
Пусть
Здесь – параметр сглаживания
– коэффициент дисконтирования.
Из соотношения (*) можем получить формулу от начального значения .
Выбор может быть 1.
2. и др.
При обработке экономических ВР рекомендуется выбирать . Есть рекомендации Р.Браун (Федосеев, стр.156).
– от величины сглаживания ряда.
Если при подходе к правому концу сглаженные этим методом значения значительно отличаются от соответствующих значений исходного ряда, то нужно выбрать другую α. При этом методе не требуются начальные и конечные ВР.
Пример на метод скользящей средней.
2 зн
2 зн
р р
Пусть
1) t = p+1 = 3
t-p = 3-2 = 1
t+p = p+2 = 5
2) t = p+2 = 4
t-p = 4-2 = 2 Пусть n=6
t+p = 4+2 = 6
Тренд-сезонные экономические модели. Общая характеристика.
Под сезонными колебаниями в экономике понимают регулярные (периодические) наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота, товарооборота и т.д. связанных со сменой времени года.
Если ВР подвержен периодическим колебаниям, имеющим период, равный году, то имеем сезонный ВР.
Для того, что бы можно было влиять на сезонность, необходимо уметь ее анализировать, предвидеть развитие сезонных процессов. Анализ сезонности должен состоять в исследовании собственно сезонных колебаний (блок 5 на рис.) и в исследовании причин их вызывающих (блок 6 на рис.)
Схема комплексного исследования сезонных ВР.
нет
Тренда нет, прогноз невозможен
1. Выявление наличия тренда ВР
да
6. Исследование факторов сезонности
4. Анализ сезонности
4.Фильтрация комп. ряда
да
2. Выявление наличия сезонных колебаний
7. Построение прогноза
нет
3.Сглаживание ряда
Пусть – временной ряд.
Выделяют две модели сезонного ВР: аддитивная модель и мультипликативная модель.
1) Аддитивная модель:
Здесь – значение тренда; – значение сезонной компоненты; – значение случайной компоненты; n – число уровней наблюдения.
Предполагается, что сезонная характеристика имеет период, т.е. . Так, доля данных из ежемесячных данных , для ряда квартальных данных .
Из ВР необходимо отфильтровать сезонную характеристику , а затем ее изучать. Методы фильтрации, как правило, требуют знания тренда , поэтому сначала определяется тренд одним из рассматриваемых ранее способов. Фактически для анализа сезонности нужно все компоненты ВР (блок 4).
Различают регрессионные, спектральные и итерационные методы фильтрации. Из последних известны метод Четвериковаи Шискина-Эйзенпресса[Федосеев, стр.171]. Основная идея итерационных методов фильтрации – многократное применение скользящей средней.
, ,
здесьi - номер года, j–номер месяца в году.
– годовой тренд
- constпропорциональности для j-го месяца, не меняющегося от года к году (индекс сезонности).
используют для определения уровня сезонности и характеризуют отклонение сезонное ВР от ряда средних
Модели прогнозирования экономических процессов
Основная цель создания трендовых моделей – прогнозирование на их основе на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе ВР экономических показателей относится к одномерным методам прогнозируется, которые базируются на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Рассмотрим прогнозирование на основе кривых роста. Для этого выполняются два предположения:
Наиболее часто в экономике используется полиномиальные, экспонициальные и S-образные кривые роста.
– полином 1-ой степени
- полином 2-ой степени и т.д.
Параметр - линейный прирост
- ускорение роста
- изменение ускорения роста
Чтобы правильно построить модель прогнозирования, нужно знать свойства каждой кривой роста. Эти свойства для полиномиальных кривых следуют из вида приростов:
, - первые приросты
- вторые приросты и т.д.
Для полинома 1-ой степени, т.е. прирост постоянен.
Для полинома 2-ой степени первые приросты линейны:
(график 1-ых приростов – прямая), а 2-ые приросты – постоянны
Свойства полиномиальных кривых:
Таким образом полиномиальные кривые роста можно использовать при прогнозировании экономических показателей, последующие значения, которые не зависят от достигнутого уровня.
, a,b>0
0 < b <1
b> 1
a
a
t
t
Свойства:
, a < 0, 0 < b < 1
– асимметрично функции
k
a
k+a
t
Примеры:
у
t
Процесс ввода объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары и т.д. К S – образным кривым относятся кривая Гомперца и логистическая кривая.
а) – кривая Гомперца. a> 0, 0 <b< 1, k–асимптота функции.
k
Конфигурация напоминает латинскую букву S.
(Кривой Гомперца описывается динамика показателей уровня жизни, используется в демографии для моделирования показателей смертности.)
б) – логистическая кривая. a, b> 0
Конфигурация близка к кривой Гомперца, но исключая точки симметрии, сов.с точкой перегиба.
Как выбирать вид кривой для прогноза.
Для выбора полиномиального вида кривой, наиболее распространенный метод конечных разностей:
и т.д.
Обычно до порядка k=4 – доля экономического процесса.
Сравниваются отклонения каждой ддисперсии от предыдущей, если это (M> 0 - параметр), то степень аппроксимированного параметра = k. Обычно в экономических процессах .
Существуют и другие методы.
Остальные кривые подбираются по свойствам, которые провер. для значений ряда и средних разностей 1-го порядка.
Пусть кривые отобраны. Задача: определить коэффициент М по методу МНК, который сводится к решению системы линейных уравнений обладающие неизвестными коэффициентами для полиномиальных кривых.
и для разностей ряда k-го порядка:
Здесь – биномный коэффициент
Вычисляются разности
Если существует , что – т.е. дисперсии одного порядка, то степень полинома равна . (M> 0, const).
Более универсальный метод предварительного выбора кривых роста является метод характеристик прироста.
Исходный ВР предварительно сглаживается методом простой скользящей средней, например, при m=3: . Что бы не потерять первый и последний уровень, можно положить [ ]: t = 2,
,
Затем вычислим первые средние приросты:
,
Вторые средние приросты, а также производные величины: .
По вычисленным значениям выбирается вид кривой роста в соответствии с таблицей.
|
Показатель |
Характер изменения показателя |
Вид кривой роста |
|
≈ одинаковы |
Полином 1-го порядка |
|
|
Изменятся линейно |
Полином 2-го порядка |
|
|
Изменятся линейно |
Полином 3-го порядка |
|
|
≈ одинаковы |
Простая экспонента |
|
|
Изменятся линейно |
Модифицированная экспонента |
|
|
Изменятся линейно |
Кривая Гомперца |
|
|
Изменятся линейно |
Логистическая кривая |
Обычно отбирают 2-3 кривые роста для построения трендовой модели для ВР.
На следующем этапе для отображения кривых роста нужно определить параметры a, b. Для полиномиальных кривых они оцениваются, как правило,, по МНК: сумма квадратов отношений фактического уровня ряда от соответствующих значений, определенных по кривой должно быть наименьшей. Этот метод приводит к системе линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Пусть выбран полином 1-ой степени: . Имеем:
По аналогии легко выписать соответствующие системы уравнений для полиномов 2-ой и 3-ей степени.
Для простой экспоненты: предварительно логарифмировать по любому основанию, переходят к минимальной модели, исключает МНК, находят log неизвестного параметра, затем сами параметры.
Оставшиеся кривые роста имеют асимптоту k. Для нахождения параметра исключают приближенные методы (стр. 198, самих методов нет).
После нахождения параметра для ВР будет построено несколько трендовых моделей.
Оценка адекватности и точности трендовых моделей.
Встает вопрос, насколько близки построенные трендовые модели к экономической реальности.
Построенная модель может применяться для анализа и прогнозирования лишь после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому объекту или процессу. Имеется в виду соответствие по существенным свойствам.
Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты ВР, что эквивалентно выполнению следующих свойств для ост. компоненты :
ɛ
Пусть р – общее число пиков для остаточной последовательности .
Вычисляют математическое ожидание числа точек поворотов (пиков) и дисперсию. Для случайной выборки эти значения равны:
Пусть уровень значимости составляет 5 %. Тогда нужно проверит неравенство:
– целая часть
Если неравенство не выполняется – модель не является адекватной, выполняется - проверяем дальше. (колеб. – случайны)
Рассмотрим метод, основанный на RS – критерии. RS = R/S, где R – разница вариации (изменения) случайной величины, S – стандартное отклонение.
Рассчитанное значение RS– критерия сравнивается с таблицей (верхняя и нижняя граница), если оно не попадает в интервал, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.
При α = 0,05, n=10 : [2.67; 3.685]
n=20 : [3.18; 4.49]
n=30 : [3.47;4.89]
Расчётное значение критерия:
– стандартное (среднеквадратичное) отклонение для последовательности
Если – гипотеза о равенстве нулю мат ожидания случайной последовательности принимается, в противной случае – модель неадекватная.
Рассчитаем значение:
По n и количеству параметров в модели извлекается табличное значение критерии. Если , то нельзя сделать вывод:
– гипотеза применима, зависимости нет
– гипотеза отвергается, модель неадекватна.
Вывод об адекватности модели делается, если все четыре проверки дали положительный результат.
Оценка точности модели.
Имеет смысл для адекватной модели.
Точность модели характеризуется величиной отклонения значения, вычисления по модели, от реального значения моделируемого показателя.
В качестве статистических показателей точности применяются следующие:
k – количество определяемых параметров модели.
Ошибка считается очень большой.
– среднее значение ВР
– коэффициент корреляции.
и др.
Эти показатели отражают точность аппроксимации.
На их основании среди адекватных моделей выбрать наилучшую, хотя одна модель может быть более точная по одному показателя, другая – по другому.
для оценки прогнозных свойств модели можно использовать ретроспективный прогноз. При таком подходе модель строится по уровня ВР, а проверка точности производится по последним уровня ряда.
Рассмотрим два заключительных этапа прогнозирования (стр.2).
Точечный прогноз – это единственное значение прогнозируемого показателя. Он получается подстановкой в уровне выбранной кривой роста величины вр. t = n+1; t = n+2 и т.д. На графике такой прогноз может изображаться в виде точек.
Совпадение прогностических точечных данных с реальными значениями показателя в будущем маловероятно. Поэтому разумно к точечному прогнозу указать интервал, в котором с достаточной степенью уверенности может ожидать такое значение показателя в будущем. Установление такого интервала называют интервальным прогнозом.
Интервальный прогноз для трендовой модели осуществляется путем расчета доверительного интервала. Формулы расчета доверительных интервалов для трендовых моделей разного вида различны. Приведем две:
Для линейного тренда:
Для трендовой модели используют вид полинома 2-го порядка или 3-го порядка.
Здесь L – период упреждения, L=1, 2 …
- точечный прогноз по модели в момент времени t = n + L
–стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя
– табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы n-2.
Оптимальная длина L.
Утверждается, что (стр.212) для рядов годовых наблюдений длина периода упреждения объема данных, для квартальных и месячных рядов – 2-х лет.
Длина ВРне должна быть слишком короткой или слишком длинной.
Верификация прогнозасводится к сопоставлению расчетных результатов с соответствующими реальными данными – массовыми фактами и законом экономического развития. Здесь оценивается качество прогноза, хотя, скорее всего оценивается метод прогнозирования, точность прогноза.
В случае ретроспективного прогноза оценку качества прогноза следует осуществлять по формуле: . p – количество точечных прогнозов, подтвержденных фактическими данными; q – не подтвержденных.
Чем ближе k в 1, тем точнее прогноз.
Если период утверждения L еще не закончился и фактическое значение показателя неизвестно, то более точной считается модель, дающая более узкий доверительный интервал прогноза.
?Эконометрические модели. Посмотреть подход у Багриновского: