Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Методические указания
к контрольной работе по теме «Комплексные числа, функция комплексного переменного и конформные отображения»
(Бабенко А.С.)
Задача 1. Изобразить данное число. Найти модуль и аргумент этого числа. Записать в тригонометрической и показательной форме: .
Решение.
1) Выполним действие
2) Изобразим число на комплексной плоскости (изображением комплексного числа является точка). Действительная часть числа точка лежит в правой полуплоскости, мнимая часть точка лежит в верхней полуплоскости. Таким образом, точка лежит в первой четверти (в декартовой системе координат точка имеет координаты ).
3) Найдем модуль и аргумент числа, используя их свойства. Найдем, первоначально, модуль и аргумент чисел и .
4) Тригонометрическая форма числа .
Показательная форма числа
Задача 2. Найти действительную и мнимую часть числа или функции:
Решение.
Задача 3. Вычислить .
Решение.
1)
, ,
2)
3)
.
Задача 4. Исследовать функцию на дифференцируемость и аналитичность: .
Решение.
1) Найдем действительную и мнимую части функции
Действительная часть .
Мнимая часть .
2) Найдем частные производные функций , и проверим выполнимость условия Коши-Римана .
Условие Коши-Римана не выполняется, следовательно, функция не является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости.
3) Проверим выполнимость условия в отдельных точках:
Условие Коши-Римана выполняется только в точке . Таким образом, функция дифференцируема в точке 0, но неаналитическая, так как в окрестности точки 0 функция не является дифференцируемой.
Задача 5. Восстановить функцию по ее мнимой части: .
Решение.
1) Проверяем, можно ли восстановить функцию, для этого определяем, является ли функция гармонической.
, следовательно, функция гармоническая.
2)
3)
Задача 6. Найти линейную функцию, переводящую точки соответственно в точки .
Решение.
Линейная функция задается двумя точка, выберем любые две точки из условия .
Задача 7. Найти линейную функцию, переводящую круг в круг .
Решение.
1) Строим области
2) Линейная функция задается тремя преобразованиями: гомотетией, поворотом и параллельным переносом.
Гомотетия: Радиус окружности увеличился в 1,5 раза. .
Поворот: Как окружность не поворачивай, останется та же окружность, следовательно, угол можно выбрать любой. .
Параллельный перенос: Вектор переноса лучше взять как разность центров окружностей. У первой окружности, в силу сдвига, центр , у второй – 1. Вектор переноса равен .
Таким образом, линейная функция задается следующим уравнением .
Задача 8. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки соответственно в точки .
Решение.
Дробно-линейную функцию можно задать по трем точкам с помощью формулы:
Воспользовавшись свойством пропорции и элементарными преобразованиями, получаем .
Задача 9. Найти дробно-линейную функцию, переводящую окружность на полуплоскость .
Решение.
1) Строим области
Дробно-линейная функция задается тремя точка, выберем три точки, лежащие на границе и с соответствующим направлением: .
Дробно-линейную функцию зададим с помощью формулы:
Воспользовавшись свойством пропорции и элементарными преобразованиями, получаем .
Задача 10. Какое множество на комплексной плоскости определяется условием ?
Решение.
Пусть . . Таким образом, после преобразований получим неравенство .
Условие задает множество, являющееся замкнутым кругом с центром и радиусом .
Задача 11. Какая кривая определяется параметрическим уравнением
Решение.
.
Кривая, заданная данным уравнением – гипербола, лежащая в первой четверти.