У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

по теме Комплексные числа функция комплексного переменного и конформные отображения Бабенко А

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

Методические указания

к контрольной работе по теме «Комплексные числа, функция комплексного переменного и конформные отображения»

(Бабенко А.С.)

Задача 1. Изобразить данное число. Найти модуль и аргумент этого числа. Записать в тригонометрической и показательной форме: .

Решение.

1) Выполним действие

2) Изобразим число на комплексной плоскости (изображением комплексного числа является точка). Действительная часть числа  точка лежит в правой полуплоскости, мнимая часть  точка лежит в верхней полуплоскости. Таким образом, точка лежит в первой четверти (в декартовой системе координат точка имеет координаты ).

3) Найдем модуль и аргумент числа, используя их свойства. Найдем, первоначально, модуль и аргумент чисел  и .

4) Тригонометрическая форма числа .

Показательная форма числа

Задача 2. Найти действительную и мнимую часть числа или функции:

Решение.

Задача 3. Вычислить .

Решение.

1)

, ,

2)

3)  

.

Задача 4. Исследовать функцию на дифференцируемость и аналитичность: .

Решение.

1) Найдем действительную и мнимую части функции

Действительная часть .

Мнимая часть .

2) Найдем частные производные функций ,  и проверим выполнимость условия Коши-Римана .

Условие Коши-Римана не выполняется, следовательно, функция не является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости.

3) Проверим выполнимость условия в отдельных точках:

 

Условие Коши-Римана выполняется только в точке . Таким образом, функция дифференцируема в точке 0, но неаналитическая, так как в окрестности точки 0 функция не является дифференцируемой.

Задача 5. Восстановить функцию по ее мнимой части: .

Решение.

1) Проверяем, можно ли восстановить функцию, для этого определяем, является ли функция гармонической.

     , следовательно, функция  гармоническая.

2)

3)

Задача 6. Найти линейную функцию, переводящую точки  соответственно в точки .

Решение.

Линейная функция задается двумя точка, выберем любые две точки из условия .

Задача 7. Найти линейную функцию, переводящую круг  в круг .

Решение.

1) Строим области

2) Линейная функция задается тремя преобразованиями: гомотетией, поворотом и параллельным переносом.

Гомотетия: Радиус окружности увеличился в 1,5 раза. .

Поворот: Как окружность не поворачивай, останется та же окружность, следовательно, угол можно выбрать любой. .

Параллельный перенос: Вектор переноса лучше взять как разность центров окружностей. У первой окружности, в силу сдвига, центр , у второй – 1. Вектор переноса равен .

Таким образом, линейная функция задается следующим уравнением .

Задача 8. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки  соответственно в точки .

Решение.

Дробно-линейную функцию можно задать по трем точкам с помощью формулы:

Воспользовавшись свойством пропорции и элементарными преобразованиями, получаем .

Задача 9. Найти дробно-линейную функцию, переводящую окружность  на полуплоскость .

Решение.

1) Строим области

Дробно-линейная функция задается тремя точка, выберем три точки, лежащие на границе и с соответствующим направлением: .

Дробно-линейную функцию зададим с помощью формулы:

Воспользовавшись свойством пропорции и элементарными преобразованиями, получаем .

Задача 10. Какое множество на комплексной плоскости определяется условием ?

Решение.

Пусть . . Таким образом, после преобразований получим неравенство .

Условие  задает множество, являющееся замкнутым кругом с центром  и радиусом .

Задача 11. Какая кривая определяется параметрическим уравнением

Решение.

.

Кривая, заданная данным уравнением – гипербола, лежащая в первой четверти.




1. 200 руб В феврале детям будут давать настой ромашки так же курсом в малых дозах
2. Они выбрали СССР
3. НА ТЕМУ - Оценка эффективности внешнеторговой политики государства ПО ДИСЦИПЛИНЕ - Экономик
4. ТЕМА 2 Химикотехнологическая система План лекции- 2
5. Тема ’ 13 Основные закономерности развития финансов Воронеж 2008 Эко.html
6. Для жирных волос разработаны специальные маски которые снижают активность сальных желез и подсушивают жир
7. Психосемантические механизмы управления двигательными действиями человека
8. і ~німдерді сатудан ж~мыс ~ызмет т~скен табыстар мен шы~ындар есебі
9. на тему- ldquo;Луцький замок ~ пам~ятка архітектури кінця 13 ~ початку 14 століттяrdquo; ldquo;Славе
10. Определение характеристик оптимального обнаружения сигналов