Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1) Основные законы поля постоянного тока
Электрическое поле постоянного тока характеризуется потенциалом U, напряженностью поля Е и плотностью тока j. Электрическое поле вызывает появление магнитного поля, характеризующегося его напряженностью Н.
где l - направление, по которому определяются напряженность поля и градиент потенциала. Cогласно закону Ома:
где ρ - удельное сопротивление среды.
В точках, где отсутствуют источники поля, плотность тока удовлетворяет уравнению закона Кирхгофа:
Связь между магнитной и электрической составляющими поля определяется законом Био-Савара:
Практически измеряется не напряженность поля, а разность потенциалов между двумя точками, расположенными на расстоянии l одна от другой:
Важным свойством поля постоянного тока является независимость результата от пути интегрирования.
При решении различных задач обычно удобнее оперировать с потенциалом, так как он является скаляром. Запишем уравнение Кирхгофа в прямоугольной системе координат, а потом выразим входящие в него величины через потенциал:
Если среда кусочно-однородная можно вынести ρ за знак дифференцирования:
В изотропной среде, когда ρx= ρy= ρz, это выражение приводится к уравнению Лапласа:
Предельных условий два:
1.При удалении от источника поля на бесконечно большое расстояние потенциал, напряженность поля и плотность тока стремятся к нулю:
2.При приближении к источнику поля потенциал стремится к потенциалу источника, плотность тока - к плотности тока на поверхности источника. В случае источника бесконечно малых размеров плотность тока на его поверхности стремится к бесконечности. Поэтому при приближении к нему напряженность поля и потенциал также стремятся к бесконечности.
Граничных условий также два:
1. Потенциал при переходе через границу двух сред непрерывен.
Если обозначить индексами 1 и 2 значения потенциала в бесконечно
близких точках, расположенных по разные стороны от границы раздела, то
2. Нормальная к границе раздела компонента плотности тока j„ при
переходе через границу раздела непрерывна:
Воспользовавшись соотношениями и , можно записать граничные условия через другие компоненты поля:
Индексом t обозначены составляющие E и j, касательные к границе раздела.
С помощью граничных условий можно вывести закон преломления поля на границе раздела двух сред с различными удельными сопротивлениями. .
2) Решение задачи о поле точечного источника в однородной среде
Пусть в безграничной среде с удельным сопротивлением р в точке А расположен точечный источник, с которого стекает ток силой I. Чтобы определить распределение электрического поля постоянного тока, достаточно получить уравнение потенциала в произвольной точке. Для этого воспользуемся уравнением закона Кирхгофа , которое в изотропной неградиентной среде приводится к уравнению Лапласа . В однородной среде ток растекается с источника во все стороны одинаково, поэтому распределение поля симметрично относительно источника. В этих условиях целесообразно воспользоваться сферической системой координат, совместив ее начало с источником поля. При этом уравнение Лапласа принимает вид:
где r - расстояние от источника до точки наблюдений. После первого интегрирования уравнения получим:
Разделив переменные и выполнив второе интегрирование, найдем:
Согласно предельному условию, при бесконечном удалении от источника поля потенциал стремится к нулю => D=0 Для определения постоянной интегрирования С окружим источник поля сферической поверхностью S радиуса а с центром в точке А. Очевидно, суммарный ток, пронизывающий эту поверхность, равен току, стекающему с источника:
Плотность тока
После подстановки jr в уравнение получим:
Решая это уравнение, найдем постоянную интегрирования:
Подставляя ее в уранение, получим выражение для потенциала: ;;
Как следует из уравнения (1.16), величина потенциала зависит оттока и модуля расстояния между точкой наблюдений и источником, а направление, в котором это расстояние отмеряется, значения не имеет. Поэтому, если поменять местами точку наблюдений и источник тока, результат измерения потенциала не изменится. Это положение получило название теоремы взаимности. При этом не изменяется и величина напряженности поля и плотности тока, но ориентировка векторов Е и у, конечно, изменится на 180°.
Еще одно важное свойство поля постоянного тока отражает теорема суперпозиции. Согласно этой теореме, поле нескольких источников равно сумме полей этих источников, взятых в отдельности. При этом потенциалы источников суммируются алгебраически, а напряженности поля и плотности тока - как векторы.
3)Учет границы раздела "земля-воздух
'
Пусть в полупространстве с удельным сопротивлением р на глубине Н от его поверхности располагается точечный источник А, с которого стекает ток силой I. В точку наблюдений М поле может распространяться двумя путями: по прямому лучу AM и, отразившись от поверхности земли, по ломаному лучу АРМ. Предположим, что создаваемый отраженным полем потенциал также обратно пропорционален пройденному полем пути от источника, т. е. длине луча АРМ.
Из этого уравнения следует, что отраженное поле мы заменили полем фиктивного источника А'.
Доказательство его справедливости: Из структуры уравнения следует, что на большом удалении от источника потенциал обращается в нуль. При приближении к источнику, когда все координаты стремятся к нулю, потенциал обращается в бесконечность. Таким образом, предельные условия выполняются.
Так как удельное сопротивление воздуха бесконечно велико, на поверхности земли должно выполняться условие, отражающее невозможность протекания тока через границу раздела:
Если z=H оно принимает вид:
Таким образом, в точках на поверхности земли, учет границы раздела "земля-воздух" производится путем удвоения потенциала для безграничной среды. При расположении источника поля или точки наблюдений на поверхности земли горизонтальная компонента напряженности поля находится путем удвоения ее значения для безграничной среды:
4) Нормальное электрическое поле точечного источника
Как следует из уравнения эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы с центром в точке А. Линии равного потенциала в любом плоском сечении имеют вид концентрических окружностей. Линии напряженности и совпадающие с ними в изотропной среде токовые линии имеют вид радиально расходящихся от источника поля прямых. .
В случае полупространства, если источник поля или точка наблюдений находятся на поверхности земли, надо в знаменателях заменить 4π на 2π. При Еz=0 ось z ориентирована вертикально.
Продифференцировав Ех по координате х и приравняв полученное выражение к нулю, получим уравнение:
;
5) Электрическое поле двух точечных источников
Поместим положительный источник А, с которого стекает ток силой I, в начало координат. Отрицательный источник В расположим на оси х на расстоянии L от источника А. С источника В стекает ток -I.
6) Электрическое поле диполя
Если расстояние от двух источников поля разного знака до точки наблюдений велико по сравнению с расстоянием между источниками, то такую систему источников поля можно рассматривать, как электрический диполь.
Найдем выражение потенциала в точке М. Пусть сила тока, стекающего с заземлений, равна I, расстояния от точки наблюдений до источников А и В - соответственно, rА и rB. Тогда можно написать:
-момент диполя.
Таким образом, потенциал в поле диполя при удалении уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, т. е. быстрее, чем в поле точечного источника.
Продифференцировав уравнение потенциала по координатам, получим выражения для радиальной и азимутальной компонент напряженности поля:
;
Компоненты напряженности поля в прямоугольной системе координат
]
7) Электроразведочные установки, в которых используются поля точечных и дипольных источников
А) измеряется потенциал в поле одного точечного заземления А. Питающее заземление в процессе работы не перемешается.
Б) Измеряется не потенциал, а разность потенциалов между двумя приемными электродами М и N. При профилировании все заземления перемещаются синхронно. При зондировании приемные электроды неподвижны, а питающее заземление перемещается.
В) Установка применяется как для профилирования, так и для зондирования. В первом случае размер установки остается в процессе работы постоянным. Во втором случае приемная линия неподвижна, а расстояния до питающих заземлений постепенно увеличиваются.
Г) Питающие заземления неподвижны, а приемная линия перемещается по профилю в средней части интервала АВ.
Д)Измерения производятся во внешней области по отношению к интервалу АВ.
E) Оба питающие заземления имеют одинаковую полярность. Если приемная линия располагается в центре установки, происходит полная компенсация нормального поля и измеряется только аномальный эффект.
При использовании дипольных источников поля обычно измеряют радиальную или азимутальную компоненты напряженности поля.
При профилировании обычно из технологических соображений пользуются осевыми установками. При зондировании чаще применяют азимутальные.
8) Электрическое поле линейного источника
Выделим элементарный отрезок электрода длинной dn (к координатой n). Тогда в произвольной точке с координатами x,y,z потенциал элементарного отрезка
Где , ток стекающей с отрезка dn.
Проинтегрировав выражение dU по длине электрода
Если линейный электрод распологатся не на поверхности земли, для учёта влияния границы раздела 'земля-воздух' можно воспользоваться тем же приёмом, что и в случае точечного источника. (отраженное поле мы заменили полем фиктивного источника А'.)
9.1) Принцип определения удельного сопротивления в электроразведке.
Пусть на поверхности полупространства с удельным сопротивлением р в точках А и В располагаются питающие заземления, с которых стекает ток силой I. В точках М и N располагаются приемные заземления, между которыми измеряется разность потенциалов.
- коэффициент установки
Двухэлектродная установка:
Трехэлектродная установка: IF L>>l, MN->0 =>
Симметричная установка (четырёхэлектроднаяIF L>>l, MN->0 =>
Таким образом, чтобы получить выражение для коэффициента установки любого типа, надо написать уравнение для той компоненты электрического поля, через которую будет определяться удельное сопротивление. Затем решить это уравнение относительно р и отбросить отношение измеряемой компоненты к силе тока. Полученное в результате выражение представляет собой формулу для расчета коэффициента установки.
11-1) Распределение тока в полупространстве
Рассмотрим закон изменения плотности тока по вертикальному профилю, находящемуся на расстоянии r от точечного источника A, расположенного на поверхности земли. Воспользоваться цилиндрической системой координат. Начало координат поместим в точке А, ось z ориентируем вертикально вниз. Компоненты плотности тока в этом случае определяются уравнениями:
Полная плотность тока
При z=0
Относительная величина плотности тока зависит не от абсолютных значений координаты z, а от отношения z к расстоянию до источника поля r. Поэтому при прочих равных условиях глубина исследования электроразведкой пропорциональна расстоянию от точки наблюдений до источника поля.
Максимальную величину плотность тока j имеет на поверхности земли. С глубиной она убывает. Так же ведет себя и горизонтальная компонента плотности тока jr, Только она убывает с глубиной несколько быстрее.
На поверхности земли она равна нулю. Затем возрастает, достигая максимума при z=r/d^(0.5) после чего постепенно уменьшается. В точке экстремума
На глубине, равной расстоянию до источника поля, вертикальная и горизонтальная компоненты плотности тока равны по величине.
9.2) Кажущееся сопротивление
Формула получена для случая однородной среды. Если измерения выполнены в неоднородной среде, по этой формуле будет получено некоторое эффективное значение удельного сопротивления. В общем случае оно не соответствует истинному сопротивлению ни одного из элементов геоэлектрического разреза. Эта величина называется кажущимся удельным сопротивлением и обозначается символом рк. Кажущееся сопротивление можно рассматривать, как удельное сопротивление эквивалентной однородной среды. В однородной среде кажущееся сопротивление равно истинному и не зависит от типа и размера установки. В неоднородной среде кажущееся сопротивление зависит не только от геоэлектрического разреза, но и от типа, размера и ориентировки установки, от ее положения относительно элементов геоэлектрического разреза.
Рассмотрим трехэлектродную установку
где ЕMN - напряженность поля на участке расположения приемных заземлений. Учитывая, что согласно закону Ома можно записать: . где pMN - удельное сопротивление среды между приемными заземлениями; jMN - плотность тока между этими заземлениями; - плотность тока между приемными заземлениями в однородной среде.
Ее влияние на величину рк учитывается коэффициентом установки, который есть не что иное, как величина, обратная нормальной плотности тока, приведенной к единице силы тока в питающей линии. Сомножители рMN и jMN зависят от геоэлектрического разреза.
Формула справедлива для установок любого типа. Она верна и в том случае, когда разнос приемных заземлений нельзя считать малым. Только в последнем случае в нее надо подставлять средние значения удельного сопротивления и плотности тока на участке между приемными электродами.
Электрический ток натекает в хорошо проводящий пласт. Это приводит к уменьшению плотности тока над пластом, в результате чего кажущееся сопротивление здесь уменьшается. Таким образом, хорошо проводящий пласт обнаруживается по минимуму кажущегося сопротивления.
10)Факторы, определяющие глубину исследования
В случае хорошо проводящего объекта токовые линии как бы "втягиваются" в него, образуя в нем пучок тока. Это приводит к уменьшению плотности тока над объектом, т. е. на участке расположения приемных заземлений. Поэтому здесь и измеряемая разность потенциалов ΔU меньше ΔUo, а кажущееся сопротивление меньше удельного сопротивления вмещающей среды.
Если электрическое поле ориентировано вкрест маломощного хорошо проводящего тела, объект мало меняет растекание тока и интенсивность аномалии в этом случае невелика. Следовательно, при поисках хорошо проводящих объектов электрическое поле целесообразно ориентировать по направлению их наибольшего размера.
Плохо проводящий объект является как бы перегородкой на пути электрического тока, и токовые линии огибают его, прижимаясь к земной поверхности. Когда приемные заземления располагаются над объектом, плотность тока между ними повышается по сравнению с нормальным полем (). Поэтому над объектом разность потенциалов ΔU больше, чем в нормальном поле, а кажущееся сопротивление больше удельного сопротивления вмещающей среды. Искажение растекания тока тем больше, чем больше площадь сечения объекта в плоскости, перпендикулярной полю. Следовательно, наиболее интенсивная аномалия получается при ориентировке поля вкрест плохо проводящего тела.
12) Сравнительная характеристика установок разных типов.
Симметричная установка и установка срединного градиента характеризуются достаточно быстрым уменьшением плотности тока с глубиной.
Применение этих установок целесообразно при поисках крутопадающих объектов высокого сопротивления и полого залегающих хорошо проводящих. Для выявления маломощных круто падающих проводящих объектов и локальных полого залегающих тел высокого сопротивления установки мало эффективны.
Трехэлектродная (однополюсная) установка характеризуется наличием заметной вертикальной компоненты плотности тока. Поэтому она эффективна при поисках круто падающих хорошо проводящих объектов, в том числе, и маломощных. Плохо проводящие тела выделяются несколько хуже, чем при работе с симметричной установкой.
Экваториальная дипольная установка по своим свойствам аналогична симметричной установке.
Осевая дипольная установка по своим свойствам близка к однополюсной, но глубина исследования меньше.
Установка внешнего градиента, когда измерения производятся вблизи питающего заземления, по своим свойствам близка к однополюсной. При удалении от питающей линии относительная глубина исследования уменьшается.
Симметричная установка с питающими заземлениями одинаковой полярности (однополярная установка) характеризуется субвертикальной ориентировкой электрического поля. При работе с этой установкой хорошо выявляются электропроводные крутопадающие объекты. Глубина обнаружения таких объектов больше, чем при работе с установками других типов. Для поисков объектов с высоким сопротивлением установка мало пригодна.
Установки с погруженными питающими заземлениями обладают наиболее выгодным законом распределения тока в полупространстве. С их помощью можно обнаруживать объекты, залегающие на глубинах, недоступных для установок с заземлениями на поверхности земли. Если приемные заземления также располагаются в скважине или горной выработке, глубина
11-2) Распределение тока в полупространстве
Чтобы получить представление о распределении тока в поле двух источников воспользуемся теоремой суперпозиции и знанием закономерностей распределения тока в поле одного источника. Расположим точечные источники А и В, имеющие разные знаки, на оси x на расстоянии L один от другого. Начало координат поместим в точке A, ось z ориентируем вертикально вниз. В области между питающими заземлениями (0 < х < L ) происходит суммирование горизонтальных компонент плотности тока jxA и jxB создаваемых источниками А и В. так как они имеют одинаковые знаки. Компоненты jz и jy для источников А и В имеют противоположную ориентировку и взаимно компенсируются. Поэтому в поле двух источников разного знака отношение горизонтальной компоненты плотности тока к вертикальной увеличивается по сравнению с полем одного источника. Это приводит к несколько более быстрому убыванию плотности тока с глубиной.
При y=0 в этой плоскости поведение плотности гока полностью аналогично поведению ее Горизонтадьной компоненты в поле одного заземления. По мере приближения к одном) из источников возрастает вклад ближнего заземления в суммарное поле, влияние же дальнего источники меньшается. Закон изменения плотности тока с глубиной при этом постепенно все более приближается к наблюдаемому в поле одного заземления.
На заданной глубине наибольшая относительная плотность тока наблюдается в установке с одним питающим заземлением. Наименьшая относительная плотность тока наблюдается в осевой дипольной установке.
Расположение питающих заземлений и система координат пусть будут такими же. как в предыдущем случае, но полярность источников А и В одинакова. Во внутренней области такой установки вертикальные компоненты плотности тока jzA и jzB, создаваемые источниками А и В, имеют одинаковую ориентировку и взаимно усиливаются. Компоненты jxA и jxB имеют разные знаки и взаимно компенсируются. Поэтому отношение вертикальной компоненты плотности тока к горизонтальной увеличивается
Увеличение вклада вертикальной компоненты плотности тока в суммарное поле приводит к замедлению уменьшения плотности тока с глубиной.
Рассмотреть распределение тока в поле погруженного заземления. Чтобы учесть влияние границы раздела "земля-воздух" в этом случае надо рассматривать поле двух одинаковых источников: действительного А и фиктивного А’.