Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача об объеме цилиндрического тела. Объёмцилиндра.
Разобьём область D произвольным образом на n частей Di , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием Di , ограниченные сверху кусками поверхности z=f(x,y). В своей совокупности они составляют тело V . , - объем столбика с основанием Di,.
Возьмём на каждой площадке произвольную точку Mi(xi,yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di, и высотой zi=f(xi,yi). Найдем объем каждого цилиндрического столбика: .
Т.о. построим цилиндрическое ступенчатое тело, объём которого можно считать приближенным значением искомого объема. . Начнем неограниченно увеличивать число площадок . При этом ступенчатое тело будет всё плотнее заполнять данное цилиндрическое тело, а объём Vn будет изменяться, стремясь к некоторому пределу. Естественно принять за величину объема V данного цилиндрического тела тот предел, к которому стремится Vn при , то есть .
Задача о массе плоской пластины. Массапластины.
Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хоу задана непрерывная функция - плотность распределения массы. Необходимо определить массу неоднородной пластины (толщиной пренебрегаем).
Решение. Разобьём область D произвольным образом на п частей di , площадь каждой из которых обозначим . В каждой из частичных областей произвольно выберем точку и вычислим в ней значение функции . Предположим, что плотность каждого малого участка есть величина постоянная, равная , т. е. значение функции в точке Pi распространяем на весь участок di. Таким образом, каждую частичную область предполагаем однородной, масса её вычисляется по известной формуле
, где i = 1, 2, ј, n.
Просуммировав эти произведения по всей области D, мы получим приближённое значение искомой массы
. (2)
За истинную массу примем предел суммы (2), если он существует, когда число делений области D на части неограниченно растёт () при одновременном уменьшении , где l - наибольший из диаметров частичных областей di:
.
Определение двойного интеграла. Теорема существования. Свойства. Теоремасуществования. двойнойинтеграл
Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.
Для всякой непрерывной функции в ограниченной замкнутой области существует двойной интеграл:
Свойства: 1. Константу можно выносить
2. арифметика внутри интеграла приводит к двум интегралам.
3. нижний предел интегралов можно разбить на два суммирущющих.
4. если функция удовлетворяет некоему неравенству то и интеграл тоже.
5. существует среднее значение интеграла в области.
Алгоритм вычисления двойного интеграла в декартовой системе координат. Интегралдекарт декартинтеграл
Пусть область D - правильная в отношении оси Ох
Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:
Если существует двойной интеграл
(это возможно, например, если f(x; y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так:
Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. площадьфигур
1) Необходимо выполнить чертёж. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д.
2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл
4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Полярныйинтеграл интегралполярный
Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла. объёмтел
для тела вращения
Статические моменты.
Статическим моментом Sx системы материальных точек относительно оси Ox называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояние этих точек от оси Ox).
Статические моменты плоской фигуры D с переменной плотностью относительно осей Ox и Oy могут быть вычислены по формулам
,
Координаты центра тяжести плоской неоднородной пластины. центртяжестипластины
- плотность.
Моменты инерции неоднородного тела (пластины). моментинерции
Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы на квадрат расстояния d точки до оси, т.е. .
Криволинейный интеграл по длине дуги. длинадуги
Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой.
Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Понятие поверхностного интеграла. поверхностныйинтеграл
Пусть s – гладкая поверхность, заданная явным уравнением , и – проекция этой поверхности на плоскость .
Пусть – непрерывная на s функция, тогда
Вычисление массы дуги и элемента поверхности.
массадуги
Массаповерхности Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Задачу решаем методом интегральной суммы.
Криволинейные интегралы по координатам. Свойства. Вычисление. Криволинейныйинтеграл
Криволинейным интегралом по координатам от выражения P(x, y)dx + Q(x, y)dy по направленной дуге АВ называется конечный предел интегральной суммы при стремлении и к нулю.
Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
Криволинейный интеграл 2-го рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.
.
. .
Остальные свойства криволинейного интеграла 2-го рода аналогичны свойствам 2-4 интеграла 1-го рода.
Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода
При явном задании кривой К уравнением криволинейный интеграл вычисляется по формуле
,
т.е. криволинейный интеграл преобразуется в обыкновенный по х.
При параметрическом задании кривой К уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где , формула для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода имеет вид
Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по пространственной кривой K; если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где , проводится по формуле
Криволинейные интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина. Замкнутыйконтур формулагрина
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой (обозначается
Понятие векторного поля. Векторные линии. Векторноеполе векторныелинии
Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.
Интегральной кривой для поля называется кривая , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:
Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.
Циркуляция векторного поля. циркуляцияполя
Циркуляцией поля вектора по данному контуру называется предел интегральной суммы , когда все :
.
Поток векторного поля. потокполя
Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл первого рода по поверхности . По определению
где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), — элемент поверхности.
Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объем жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля через поверхность .
Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Сумма ряда. Числовойряд суммаряда
Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда). Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида:
Сходящиеся и расходящиеся ряды. сходящрасходящряды
1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: . Например:. Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, значит, ряд расходится.
2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
Свойства сходящихся рядов. Остаток ряда. Свойстварядов остатокряда
Необходимый признак сходимости числовых рядов. признаксходрядов
Если ряд сходится, то un=0.
Признаки сравнения числовых рядов. сравнениерядов
Признак сравнения
0<=a<=b
(2) сход => (1) сход
(1) расх => (2) расх
Предельный признак
lim a/b=q
q=const=/0 – cход и расх одновременно
q=0 – сход (2) => сход (1)
q=беск – расх (2) => расх (1)
Даламбера
lim |a(n+1)/a(n)|=q
q<1 – сход
q=1 – доп исслед
q>1 – расх
Радикальный Коши
lim (|a|)^1/n=q
q<1 – сход
q=1 – доп исслед
q>1 – расх
Формула Стирлинга
n!=(2pi*n)^1/2*(n/e)^n*e^(sigma/12n)
sigma от 0 до 1 и n>>1 э
Признак Дирихле-Абеля
Ea*b
|Ea|<=M M>0
b(n)>b(n+1)
lim b=0
Признак усл сход
b(n)>b(n+1)
lim b=0
Признак Даламбера сходимости рядов. даламберряды
Если для числового ряда существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.
Алгебраический и интегральный признаки сходимости Коши. признакикоши
Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа.
Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени,зависящей от «эн»
Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакопеременныйряд знакочередующиеся абслейбниц
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что 1. an+1 < an для всех n;
2. . Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся. Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости. Радиус сходимости. Степенныеряды абель интервалрадиуссходимости
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Если степенной ряд сходится при z=0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<||; а если этот ряд расходится при z=0, то он расходится при всяком z, для которого |z|>||.
Интервал – «множество значений «икс», при котором степенной ряд будет сходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.
Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена. Разложениетейлорамаклорена
Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:
(маклорен а=0)
Нахождение значений функций с помощью рядов. Значенияфункцийрядов дуряды диффуры
Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.
Решение: в условиях данной задачи , поэтому общая формула Тейлора
трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:
Разбираемся со значениями :
0) На нулевом шаге записываем значение , которое всегда известно из условия.
1) Вычислим . Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение :
2) Вычислим . Сначала находим вторую производную:
Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение :
В распоряжении уже три ненулевых члена разложения, нужен ещё один:
3) Находим третью производную – это производная от второй производной:
Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение :
Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и проведём упрощения:
Изобразим точное частное решение и его приближение :
Вычисление интегралов с помощью рядов. рядыинтегралы
Определенный интеграл – это площадь. Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом. Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем табличное разложение:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
После упрощений почленно интегрируем всю начинку:
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Условия Дирихле. фурьедирихле
Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда
Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида
где
Функция f(x) на отрезке [а, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если
a) f(x) на отрезке [а, b] непрерывна или имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва I рода;
b) в каждом интервале непрерывности f(x) монотонна, либо имеет на этом интервале конечное число точек экстремума.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций. фурьечетнечет
Ряд Фурье для чётной функции имеет вид:
Ряд Фурье для нечётной функции имеет вид:
.
Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом. произвольныйпериод
где
Понятие об уравнениях в частных производных. Краевая задача. Краеваязадача урчаспро
Дифференциальное уравнение в частных производных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:
Из этого соотношения следует, что значение функции u(x,y) не зависит от y. Мы можем положить её равной произвольной функции от x. Следовательно, общее решение уравнения следующее:
где f — произвольная функция переменной x. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:
и его решение где c — произвольная константа (не зависящая от y).
Размерность Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).
Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.
Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:
где ABC — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: и .
Основные методы решения уравнений колебаний и теплопроводности. Колебаниятеплопроводность
Существует два вида методов решения данного типа уравнений:
Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид где u(t,x) — температура, и α — положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом: , где f(x) — произвольная функция.
Здесь u(t,x) — смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c — скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:
Преобразование Лапласа. Понятие оригинала, изображения. преобразованиелапласа
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:
f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p)однозначно определяются друг относительно друга, Понятие о свойствах изображения и оригинала. изображенияоригиналы
Линейность
Оригинал линейной комбинации функций равно линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.
где a и b – произвольные комплексные числа.
Теорема подобия где a>0.
Дифференцирование оригинала
Дифференцирование изображения
Интегрирование оригинала
Интегрирование изображения
Теорема смещения
Теорема запаздывания
Теорема умножения (свёртки)