Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Нелинейные системы.
Общая характеристика нелинейности.
Сложность – нет общего метода решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Нелинейные звенья систем управления.
Нелинейность можно классифицировать по различным показателям:
Симметрия: 1.
2.
Если функция не обладает свойствами 1 и 2, то несимметричная нелинейность.
Гладкость. Если в любой точке существует , то такая зависимость называется гладкой.
Однозначность. Если для каждого значения х имеется определенное число z, то такая характеристика однозначна.
Нелинейная характеристика с определенным участком двузначности.
Многозначная нелинейная система.
Типовые нелинейные звенья.
Это звенья с однозначными непрерывными характеристиками.
1). «Зона нечувствительности».
Механическая модель звена типа «зона нечувствительности».
2). «Ограничение или насыщение».
Механическая модель звена типа «ограничение или насыщение».
3). «Ограничение с зоной нечувствительности».
Механическая модель звена типа «ограничение с зоной нечувствительности».
Звенья с однозначными разрывными характеристиками.
1). Звено типа «двухпозиционное реле без гистерезиса».
2). Звено типа «трехпозиционное реле без гистерезиса».
При анализе и синтезе нелинейных систем часто пользуются идеализированными характеристиками, полученными в результате предельных переходов.
Звенья с двузначными характеристиками.
На участке выходная величина z имеет два значения zb и zb в зависимости от предшествующих значений х. Эту зону двузначности ограничивают переходы:
снизу вверх при и
сверху вниз при и
Переход от z=0 к происходит в точке, а обратный переход от к z=0 происходит в точке . Зону двузначности на участке, где проходим в соответствии со знаком .
Звено с многозначными характеристиками.
Если в нелинейности типа «зона нечувствительности» убрать механическую пружину, стремящуюся вернуть вал в нулевое положение, получим нелинейность типа «люфт».
Зависимость между положением ведущего x и ведомого z вала неоднозначна. Каждому положению ведущего вала x соответствует множество положений ведомого вала z, лежащего в пределах
Механическая модель.
Аналитическое описание:
Статика нелинейных систем.
Особенности характеристик соединений нелинейных звеньев.
- оператор лямбда (символ преобразования).
Входная величина преобразуется в выходную величину в соответствии с нелинейным дифференциальным уравнением, описывающим динамику нелинейного элемента, и может быть обозначена оператором преобразования .
Преобразование сигнала может быть представлено в виде последовательного воздействия линейного оператора , выражающего динамические свойства звена, и нелинейного оператора , выражающего статическое преобразование сигнала.
2.
- линейный оператор
- нелинейный оператор
- прямой и обратный преобразователь Лапласа
В случае, когда тогда .
В общем случае недопустима перестановка линейного и нелинейного операторов, реализующих нелинейное преобразование . Исключение – когда в качестве линейного оператора звено чистого запаздывания . Поскольку перенос звена запаздывания через нелинейное звено не изменяет свойств системы.
При рассмотрении статики нелинейных систем величины x и z не зависят от времени, а линейное звено может рассматриваться как приближенное .
Аналогично соединениям линейных звеньев будем исходить из 3-ех видов соединения:
а) последовательное НЛЗ
б) параллельное согласное НЛЗ
в) параллельное встречное НЛЗ
а) Последовательное соединение звеньев.
Построим графически при заданных характеристиках и . При построении в 4-ех квадрантах в 3-ем удобно воспроизвести , дополнительную характеристику (прямая под 45), которая облегчает переход от в характеристике к оси в характеристике
- такие звенья называются взаимообратными.
Последовательное действие взаимообратных звеньев эквивалентно действию линейного элемента с коэффициентом усиления =1.
kобщ=1
б) Параллельное согласное соединение.
В результате графического наложения может показаться, что результат линеен и kобщ=1. Такие звенья называются взаимодополнительными и для них:
Когда - эквидистанционность на оси z относительно прямой .
в) Параллельно-встречное соединение.
условия формирования параллельно-встречного соединения
Преобразование нелинейных структурных схем.
Невозможность переноса правил преобразования структурных схем линейных систем на нелинейные обусловлено невыполнением в нелинейных системах 2-ух принципов:
1-ое правило:
При перемещении сумматора через узел ветвления по направлению передачи сигнала необходимо в отходящих от узла разветвления ветвях добавить такие же сумматоры.
2-ое правило:
При перемещении сумматора через узел ветвления против направления передачи сигнала необходимо в отходящих от узла ветвления ветвях добавить сумматоры, отличающиеся от перемещаемого знаками суммируемых величин.
3-е правило:
При перемещении НЛЗ через узел ветвления по направлению передачи сигнала необходимо в отходящих от узла ветвления ветвях добавить звенья с оператором перемещаемого звена.
4-ое правило:
При перемещении НЛЗ через узел ветвления против направления передачи сигнала необходимо в отходящих от узла ветвления ветвях добавить звенья с обратными операторами перемещаемого звена.
5-ое правило:
В системе с ООС можно менять местами звенья, включенные в прямой цепи и цепи ОС с заменой оператора звеньев обратными.
Методика составления уравнения НЛС.
В основном она аналогична методике составления уравнений ЛС.
1). Разбиваем систему на звенья, т. е. строим функциональную схему.
2). Составляем уравнение для каждого звена. Если при этом встречаются НЛ звенья, то производим их линеаризацию (если они поддаются). Существенно НЛЗ (которые не поддаются линеаризации) объединяем в общую НЛ часть, система приобретает следующий вид:
3). Решая совместно уравнения линейные и линеаризованные получаем, уравнение линейной части.
4). Решая уравнения НЛ части. Получаем систему уравнений.
5). Производим исследования.
Пример: регулирование t печи.
AT – автотрансформатор
ОВД – обмотка возбуждения двигателя
Режим работы колебательный, так как двигатель вращается то в одну, то в другую сторону (никогда не стоит на месте).
ТС - t окружающей среды
ТП – термопара
Иу – напряжение усилителя
НЭ – нагревательный элемент
Пусть температура в любой точке внутреннего объема печи одинакова, т. е. это объект с сосредоточенными параметрами, т. е. описывается простым д.у.
m – масса материала, загруженного в печь.
Cm – теплоемкость этого материала.
S – площадь теплопередачи.
h – коэффициент теплопередачи из печи в окружающую среду.
Теплоемкость стенки пренебрегаем.
Составляем уравнение теплового баланса:
пусть ТС=const, тогда
(1)
Запишем переменные процесса в отклонениях от предельного значения.
Переменные:
Сделаем подстановку:
- начало отсчета
(2)- уравнение, записанное в отклонениях
- постоянная времени печи
- коэффициент печи
Н.Э.
Опишем НЛ часть.
(в)
уравнение (6) описывает НЛ часть системы, уравнение (5) – линейную часть. Совокупность (5) и (6) описывает всю НЛ систему.
Производим исследование.
Метод припасовывания.
Идея метода в следующем – переходный процесс НЛС разбивается на участки соответствующие различным диапазонам регулируемой величины. Причем на каждом из пределов этих участков система может рассматриваться как НЛ-ая. Затем участки стыкуются друг с другом, конечное значение которого является начальным условием для другого.
Особенно этот метод эффективен для релейных систем, для которых он является точным.
Рассмотрим отрезок :
НЛ часть равна (7)+(5)
(8)+(5)
предположим, что известны начальные условия.
Дифференцируем уравнение (5):
:
(9)
:
,
(10)
с – свободное состояние
kc – вынужденное состояние
;
(11)
Уравнение (11) описывает изменение температуры во времени на участке АВ. Чтобы определить численные значения С1 и С2 перенесем в начало отсчета т. А,
тогда
- считаем известным
из уравнения (10): (12)
из уравнения (11): (13)
Решение на участке АВ полностью определено.
Поведение системы на участке описывается уравнением (5) и (8)
(14)
(15)
Уравнение (15) описывает изменение температуры на . Мысленно переносим начало координат в точку В.
Для этого можно воспользоваться уравнением (10), в котором С1 определена из уравнения (12) в предположении, что .
Получим начальные условия для второго участка. Определяем имеются ли в системе автоколебания. Для этого:
1). Есть ли в системе периодические движения (они имеют место, если состояние системы в точке D повторяет состояние системы в точке А)
(16)
Если условие (16) выполняется, то в системе имеют место периодические движения.
Допустим, что (16) выполняется. Найдем период колебаний – вещественное положительное число, и на этом основании сделаем вывод, что периодические движения в системе возможны. Если в системе движения периодические, то период колебаний составлен двумя полупериодами.
(17)
Условие 1 в рассматриваемой системе выполняется автоматически, так как это фазопереключающая система.
Из (10) найдем и в соответствии с (17) запишем следующее:
Из (10) (18)
Из (12) подставим в (13)
(19)
для нахождения t0 в уравнении (19)
С1 найдем из (11) путем подстановки вместо получим
для определения С2 используем уравнение (13)
(20)
поделим (20) на (19):
th – тангенс гиперболический.
- это уравнение трансцендентное решается графическим способом, так как аналитически оно не решается.
Нашли t0 – положительное вещественное число. Значит, в данной системе могут быть периодические колебания. Чем больше b, тем больше t0, то есть при больших значениях времени будут происходить переключения. Чем меньше с, тем больше t0. Точно так же t0 зависит от коэффициента k (обратно пропорционально). Влияние величины TП иное, так как ТП входит и в y1 и в y2, но обычно при увеличении ТП увеличивается t0. Если в (10) подставить численное значение C1 и C2, полученные из начальных условий по уравнениям (12) и (13), то, исследовав затем полученную функцию на экстремум найдем значение амплитуды колебаний.
По методу припасовывания находим период колебаний и амплитуду. Однако вопрос устойчивости не может быть решен в рамках этого метода. Необходимы другие методы.
Исследование устойчивости НЛС на фазовой плоскости.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что одно дифференциальное уравнение n-ого порядка можно представить в виде системы n уравнений 1-ого порядка.
(1)
xi – координаты системы (i=1, 2, 3, ..., n)
f – возмущающее воздействие
g – задающее воздействие
В теории управления обычно записывают перем в отклонениях от установившихся режимов.
(2)
система (1) записывается в виде (2).
при g=const и f=const
Рассмотрим некоторое состояние системы в переходном режиме в некоторый момент времени t. Если рассматривать n – мерное пространство, то в начале координат этого пространства удобно использовать переменную xi, получим точку, отображающую систему в определенный момент времени.
Однако мы всегда должны знать начальное условие.
В следующий момент времени изображающая точка переместится, и мы получим фазовую траекторию.
Пространство – фазовое пространство.
Траектория – фазовая траектория.
Время в фазовом пространстве не фигурирует, но состояние системы изменяется с течением времени, поэтому мы видим характеристики движения, но о времени движения ничего сказать не можем.
При n=2 пространство вырождается в плоскость.
Система находится в установившемся режиме, когда каждое и , то есть начало координат отображает установившийся режим или состояние покоя.
В устойчивых режимах с течением времени все траектории стремятся к началу координат.
Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости систем.
Установившийся режим устойчив, если при сколь угодно малой окрестности установившегося режима можно найти такую область в области остановившегося режима, что при начальных условиях лежащих внутри области переходный процесс не выйдет из области при сколь угодно большом времени .
Для того чтобы научиться анализировать фазовый портрет НЛС, рассмотрим сначала фазовый портрет линейной системы 2-ого порядка.
Если изменить начальное условие, то изображение состояния системы будет иметь другое начальное состояние и другую траекторию. Совокупность всех фазовых траекторий отображает портрет системы.
Рассмотрим однородную систему первого порядка:
при расчете по теореме Виета
Общий принцип построения фазовых траекторий содержит построение по уравнениям интегральных кривых.
Для построения по фазовой плоскости нужно из уравнения (1) исключить время, и преобразовать его к 2-м уравнениям 1-ого порядка.
2 уравнения 1-ого порядка
(3)
каноническое уравнение интегральных кривых
порядок этого уравнения обычно на единицу меньше порядка исходного уравнения.
Интегральные кривые и фазовые кривые это одно и то же, интегральная кривая может несколько фазовых траекторий, а в частном случае совпадать с ней.
из (3):
(4) уравнение интегральной кривой
Получаем семейство эллипсов, так как А зависит от начальных условий.
Чтобы получить фазовый портрет, достаточно показать в каком направлении движется изображающая точка.
Выходная величина х меняется во времени
Изображающая точка движется по замкнутым траекториям. Если не действует возмущение, точка непрерывно движется по эллипсу.
Полученное уравнение соответствует графику свертывающейся логарифмической спиралью, так как при
Точка равновесия в начале координат – устойчивый фокус.
при
Получим уравнение развертывающейся логарифмической спирали.
На плоскости построим переходный процесс в виде колебаний с неограниченно возрастающей амплитудой.
Точка равновесия на фазовой плоскости – неустойчивый фокус.
(1)
две экспоненты можно суммировать и получить переходные процессы различного вида. В зависимости от 1 и 2 получим три вида переходных процессов:
(2)
выразим и подставим
(3)
выразим и подставим
(4)
из уравнений (3) и (4) исключим время, для этого уравнение (4) возведем в степень 2 а (3) в степень 1.
допустим, что 2 > 1
обозначим
Ось U:
Ось V:
Точка равновесия здесь начало координат – устойчивый узел.
Траектория заканчивается в начале координат, но изображающая точка не приходит в начало координат за конечное время, изображающая точка движется к началу координат с уменьшением и , следовательно, уменьшается и скорость .
Когда и скорость и поэтому изображающая точка попадает в начало координат за бесконечное время.
Парабола – интегрирующая кривая, но она не является фазовой траекторией, так как интегрирующая кривая состоит из 3-х фаз в зависимости от начальных условий. Однако все три траектории, соответствующие этим фазам заканчиваются в начале координат и остаются там бесконечно долго. Здесь фазовая траектория и интегрирующая кривая не одно и то же, как это было во всех предыдущих случаях, однако система устойчива, так как корни отрицательные вещественные при любых начальных условиях.
Ось U:
Ось V:
Имеются 2 случая:
- со сменой знака;
- без смены знака.
Траектории расходятся от начала координат, то есть система с положительными корнями неустойчива.
Точка равновесия в начале координат – неустойчивый узел.
Чем дальше удаляется изображающая точка от начала координат, тем быстрее она движется, скорость постоянно возрастает.
- уравнение гиперболы
Только по одной асимптоте мы попадаем в начало координат, и движение по ней называется лимитационным.
В начало координат попадаем в случае если начальные условия точно принадлежат данной прямой. Практически это невозможно, так как линия – это длина без ширины.
Движение по всем другим траекториям является неустойчивым.
Особая точка – начало координат – особая точка типа «седло».
Особые точки и особые линии.
Если выполняется условие Коши (непрерывность функции и конечность производной) то в каноническом уравнении определена в любой точке фазовой плоскости.
Фазовые траектории нигде не пересекаются за исключением начала координат. - касательная к фазовой траектории.
Те точки, в которых не определена – особые точки.
Если точка не особая, то через нее проходит одна интегральная кривая.
Если точка особая, то через нее либо не проходит ни одна кривая либо проходят несколько.
- каноническое уравнение.
При всех и производная определена за исключением точки, где и . Эта точка – начало координат – является особой точкой.
Особая точка, через которую не проходит ни одна кривая, и вокруг которой траектории замкнуты в виде эллипса – особая точка типа «центр». (1)
Особая точка, траектории вокруг которой имеют вид спирали, по которой изображающая точка стремится к началу координат – особая точка типа «устойчивый фокус». (2)
Особая точка, траектории вокруг которой имеют вид спирали, по которой изображающая точка удаляется от начала координат – особая точка типа «неустойчивый фокус». (3)
Когда траектории проходят через начало координат и изображающая точка по ним стремится к началу координат, то особая точка – начало координат – «устойчивый узел». (4)
Когда траектории проходят через начало координат и изображающая точка по ним удаляется от начала координат, то особая точка – начало координат – «неустойчивый узел». (5)
Точки, вблизи которых траектории располагаются в виде гиперболы – «седло». (6)
Рассмотренные особые точки называются элементарными. Возможны комбинации в виде сдвоенных особых точек и другие более сложные случаи.
Вблизи особых точек система ведет себя неустойчиво (3, 5, 6). Если имеем устойчивый фокус или устойчивый узел – система устойчива (2, 4).
Фазовая плоскость делится на области с качественно различным поведением системы.
Особые линии – границы перехода из одной области в другую.
Особый вид особых линий – предельный цикл.
Предельный цикл – замкнутая изолированная траектория.
В соответствии с этим определением эллипс в (1) случае не является предельным циклом, так как он не изолирован, и вблизи него можно расположить подобный.
Различают предельные циклы устойчивые и неустойчивые.
Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории стремятся к нему с обеих сторон.
Предельный цикл соответствует автоколебательному режиму движения системы.
В неустойчивом предельном цикле фазовые траектории уходят от него.
Предельные циклы могут быть вложенными. При этом они чередуются по устойчивости.
Если известны все особые точки и особые линии то говорят, что известен фазовый портрет системы.
Система регулирования температуры в печи.
Фазовый портрет.
В данной системе регулирования имеем 2 участка: AB и BD.
Следующие участки аналогичны.
Фазовая плоскость разделена на две части:
Участок AB:
Рассматриваем область фазовой плоскости соответствующей AB.
AB
(1)
(2)
(3)
- асимптота, так как не существует.
Такой фазовый портрет имела бы система, если бы она описывалась уравнением (3).
На участке BD.
BD
(1)
- асимптота, так как не существует.
На обоих участках система неустойчива, так как , но у нас система релейная и каждый фазовый портрет справедлив только для своей области. Эти области разделяют линии переключения.
Устанавливается предельный цикл, установившееся состояние системы – автоколебательное движение.
Форма предельного цикла даст нам .
Приближенные методы построения фазовых траекторий.
В большинстве случаев нелинейные уравнения приводят к нелинейным фазовым траекториям. Необходимы другие методы. Широко применяют приближенные методы построения фазовых траекторий.
Метод изоклин.
- уравнение изоклины.
- уравнение изоклины.
Изоклин бесконечно много. Практически строят ограниченное число изоклин.
- уравнение изоклин для системы 2-ого порядка.
Построив для различных значений изоклины в виде прямых линий, проходящих через начало координат мы получим поле изоклин. Траектории пересекают изоклины под определенным углом наклона.
Как, имея поле изоклин, построить фазовую траекторию?
Имеется 2 способа:
- фазовая траектория.
Чем гуще заполнено поле изоклин, тем точнее построение фазовой траектории.
2-ой способ:
- фазовая траектория.
Траектория строится до тех пор, пока не восстановим асимптотические свойства траекторий.
Например: спираль неуклонно сворачивается.
Достоинства: метод универсален, его можно использовать для любой системы.
Метод гармонической линеаризации. (Метод гармонического баланса).
Метод позволяет нелинейные системы линейными уравнениями.
Метод основан на работах советских ученых Богомолова, Крылова, Попова.
Сущность метода гармонической линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложении сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и его замены первой гармоникой.
1). Предположим, что нелинейная система представлена в виде 2-х частей: нелинейной и линейной.
2). На входе нелинейной части сигнал гармонический.
3). Нелинейная часть описывается уравнением вида:
(1)
(2)
Если на входе нелинейного звена действует гармонический сигнал , то сигнал на выходе нелинейного элемента может быть представлен в виде ряда Фурье.
(3)
Условимся:
1. функция F симметричная относительно начала координат, следовательно, отсутствует.
2. предположим, что высшими гармониками можно пренебречь. Основой такого предположения могут служить 2 гипотезы:
а) линейная часть системы представляет собой фильтр низких частот.
Идея гипотезы – частота 1-ой или основной гармоники меньше среды, а частота 2, 3, 4 и других высших гармоник больше среза.
б) линейная часть обладает резонансными свойствами, и как раз частоте 1-ой гармоники соответствует резонансная частота, которая вследствие этого превалирует в спектре выходного сигнала.
Для реальных объектов в промышленности наиболее справедлива 1-ая гипотеза, так как резонансные свойства там наблюдаются редко.
На этом основании мы отбросим высшие гармоники.
Уравнение гармонической линеаризации.
(4)
и - коэффициенты гармонической линеаризации.
(5)
(6)
Уравнение (4) – гармонически линеаризованное, однако оно сохраняет основные свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты и зависят от и от . Это уравнение справедливо, когда на входе нелинейного элемента действует гармонический сигнал.
Примеры вычисления и для типовых нелинейных характеристик.
Запишем уравнение гармонической линеаризации для этого случая.
(7)
1. двухпозиционное реле с гистерезисом.
2. трехпозиционное реле с гистерезисом.
3. двухпозиционное реле без гистерезиса.
Устойчивость нелинейных систем.
Рассмотрим некоторую функцию
Функция называется знакоопределенной, если в некоторой окрестности начала координат она имеет постоянный знак и обращается в ноль только в начале координат.
Функция V называется знакопостоянной, если в некоторой окрестности начала координат она обращается в ноль не только в начале координат, но и в других точках.
Функция V называется знакопеременной, если она меняет знак в окрестности начала координат и равна 0 в начале координат.
Если функция V составлена относительно отклонений , входящих в в систему дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему и если при всех функция V равна 0, то это функция Ляпунова.
Примеры:
1.
если и , то функция знакоопределенная, положительная.
если и , то функция знакоопределенная, отрицательная.
2.
, то знакопеременная.
3.
, то знакоположительная.
Введем понятие производной функции Ляпунова.
- эта функция так же как и функция Ляпунова V обращается в ноль при всех .
На основе этих функций формулируется теория устойчивости нелинейных систем.
Теорема: НЛС система устойчива, если можно подобрать такую знакоопределенную функцию V, по переменным входящим в систему (1), что ее производная W , знакоопределенной или знакопостоянной функцией, знак которой противоположен знаку V.
Если V принимает постоянное значение
Система будет устойчива, если скорость , т.е. .
Кроме того, скорость должна стремиться к 0 по мере движения к началу координат.
Если функция V является знакопостоянной, то точка М может застревать в некоторой точке, а система будет устойчива не асимптотически, относительно некоторой точки устойчивости.
Можно сформулировать обратную теорему:
Если W имеет тот же знак, что и V , то система будет неустойчива.
Недостатки теоремы Ляпунова:
Частотный метод исследования устойчивости (метод Попова).
Метод более ограничен, но применяется чаще, так как проще.
Метод применим, если систему можно представить состоящей из нелинейной и линейной частей.
Нелинейная часть представлена в виде статической характеристики неоднозначной причем (1)
Условие (1) – это нежесткое условие.
Теорема устойчивости:
Для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число h, что при всех положительных частотах выполняется неравенство
(2)
где - КЧХ линейной части .
то система устойчива асимптотически.
Если знаменатель передаточной функции имеет один нулевой корень, то накладывается требование
Если два нулевых полюса, тогда
Формулировка устойчивости простая, но ей неудобно пользоваться. Вводится видоизмененная частотная характеристика.
(3)
(4)
развернем выражение (2)
(5)
Рассмотрим прямую линию
она под наклоном h проходит через точку , система устойчива, если выполняется условие (5).
Для установления устойчивости НЛС достаточно подобрать такую прямую, проходящую через точку , что вся частотная характеристика будет находится правее этой прямой.
устойчивая система
Неустойчивая система, так как невозможно через точку провести некоторую кривую под наклоном h.
Форма нелинейности нас не интересует, нам необходима область на интервале .