Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №1
Парная линейная регрессия
Предварительные расчеты:
; ; ; ; ;
; .
Построение таблицы вида
|
x |
y |
xy |
|||
|
………… |
………. |
……… |
…….. |
……… |
……… |
|
Среднее значение |
Формулы для расчетов параметров:
, .
При компьютерном подборе в Excel можно использовать встроенную функцию Линейн
Оценка тесноты связи:
а) коэффициент корреляции , или .
Если
, то связь между признаками практически отсутствует;
, связь между признаками слабая;
, связь между признаками умеренная;
, связь между признаками сильная.
При компьютерном анализе можно использовать встроенную функцию Коррел.
б) коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1%;
в) коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации результативного признака y учтена в модели и обусловлена влиянием на нее изменением переменной x. Чем больше доля объясненной вариации, тем лучше линейная модель аппроксимирует исходные данные и ей можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака..
Оценка значимости уравнения регрессии в целом:
Предварительные расчеты с построением таблицы вида
|
x |
y |
|||||
|
………… |
………. |
……… |
…….. |
……… |
……… |
а) F-критерий Фишера при числе степеней свободы и и уровне значимости 0,05. Расчетное значение критерия:
.
Критическое значение критерия берется из специальной таблицы критических точек распределения Фишера-Снедекора в приложениях к учебникам по теории вероятностей, статистике и эконометрике. При компьютерном анализе критическое значение можно найти с помощью функции Fраспобр.
Если расчетное значение F- критерия больше критического, нулевая гипотеза об отсутствии значимой связи признаков x и y отклоняется, и делается вывод о существенности этой связи.
б) Средняя ошибка аппроксимации
.
Оценка значимости параметров регрессии :
а) Стандартная ошибка параметра a рассчитывается по формуле
, где – остаточная дисперсия признака y.
б) Стандартная ошибка коэффициента регрессии b рассчитывается по формуле
.
в) Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле
.
Для проверки нулевой гипотезы о несущественности найденного параметра регрессии применяют t-критерий Стъюдента при числе степеней свободы и уровне значимости 0,05.
Расчетные значения t-статистики вычисляются по формулам:
, , .
Критическое значение берется из специальной таблицы критических точек распределения Стъюдента в приложениях к учебникам по теории вероятностей и эконометрике. При компьютерном анализе критическое значение можно найти с помощью функции Стъюдраспобр.
Если расчетное значение по абсолютной величине превышает табличное, гипотезу о несущественности параметра регрессии можно отклонить, параметр признается значимым.
Связь между F-критерием Фишера и t-критерием Стъюдента выражается равенством
.
Расчет доверительных интервалов для параметров регрессии:
Доверительный интервал для параметра a определяется как ;
доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как .
При компьютерном анализе использовать в Excel путь Сервис/Анализ данных/Регрессия.
Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии:
Пусть – прогнозное значение факторного признака; – точечный прогноз результативного признака. Тогда
а) средняя ошибка прогноза :
;
б) доверительный интервал прогноза
.
Практические рекомендации по выполнению расчетов
с помощью табличного редактора MS Excel
Активизация надстройки Пакет анализа
Для активизации надстройки Пакет анализа необходимо выполнить следующие действия:
1. Выбрать команду Сервис/Надстройки.
2. В появившемся диалоговом окне установить флажок Пакет анализа.
В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо:
1. Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии .
2. Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
3. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии.
5. Определить среднюю ошибку аппроксимации.
6. Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.
7. Выполнить точечный и интервальный прогноз результативного признака y при увеличении объясняющего признака x на 25% от его среднего значения (достоверность прогноза 95%).
8. На одной диаграмме изобразить поле корреляции исходных данных и прямую регрессии.
Пример
Имеются данные о годовой цене программы «Мастер делового администрирования» и числе слушателей в образовательном учреждении.
|
Цена программы, тыс. долл., y |
8 |
5 |
4,9 |
4 |
3,8 |
3,5 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3 |
3 |
|
Число слушателей, чел., x |
5 |
10 |
12 |
15 |
20 |
22 |
25 |
30 |
35 |
36 |
40 |
50 |
60 |
I. Вводим исходные данные в документ Excel.
II. Значения фактора x должны быть отсортированы по возрастанию с сохранением соответствующего значения y. Это может быть сделано так Данные/Сортировка/Выделить столбец, в котором необходимо сделать сортировку. Например,
III. Вызываем надстройку Анализ данных в меню Сервис.
IV. Выбираем инструмент Регрессия.
V. Заполняем соответствующие позиции окна Регрессия.
VI. После нажатия ОK получаем протокол решения задачи.
VII. Анализируем полученный протокол.
1) Параметры уравнения линейной парной регрессии .
Коэффициент регрессии ;
Свободный член уравнения регрессии .
Примечание. При необходимости результаты округляются с нужной точностью. Требование по округлению можно провести изначально, задав количество знаков после запятой в меню Формат ячейки.
Уравнение парной линейной регрессии имеет вид: .
2) Оцениваем тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
Коэффициент корреляции , что свидетельствует о тесной связи признаков y и x. Коэффициент детерминации . Полученное уравнение регрессии объясняет 53% вариации признака y, остальные 47% изменчивости этого признака обусловлены влиянием неучтенных в модели факторов.
3) Оцениваем с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
Расчетное значение критерия Фишера указано в протоколе, .
Критическое значение этого критерия можно найти с помощь статистической функции FРАСПОБР табличного редактора Еxcel.
Входными параметрами этой функции являются:
– уровень значимости (вероятность), имеется в виду вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу о статистической незначимости построенного уравнения регрессии. Как правило, выбирают уровень значимости, равный 0,05 или 0,01;
– число степеней свободы 1 – совпадает с количеством параметров при переменной x в уравнении регрессии, для парной линейной регрессии это число равно единице;
– число степеней свободы 2 равно для парной линейной регрессии , где n – объем исходных статистических данных.
Выполняем действия Вставка/Функция, выбираем нужное.
Вывод: поскольку расчетное значение F-критерия больше критического, равного 4,84, нулевая гипотеза об отсутствии значимой связи признаков x и y отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.
4) Оценить статистическую значимость параметров регрессии.
Оценим статистическую значимость параметров a и b в уравнении регрессии с помощью t- критерия Стъюдента.
Расчетные значения статистики Стъюдента берем из протокола (графа t-статистика): , . Соответствующее критическое значение можно определить через статистическую функцию СТЪЮДРАСПОБР, число степеней свободы равно .
Вывод: поскольку фактические значения по абсолютной величине превышают табличное, равное 2,2, гипотезу о несущественности параметров регрессии можно отклонить.
5) Определяем среднюю ошибку аппроксимации.
Вычисляем среднюю ошибку аппроксимации, . Понадобится выполнение вспомогательных расчетов, оформленных в виде таблицы.
|
y |
x |
|||
|
8 |
5 |
5,440500341 |
31,99374573 |
|
|
5 |
10 |
5,143440944 |
2,868818882 |
|
|
4,9 |
12 |
5,024617185 |
2,543207862 |
|
|
4 |
15 |
4,846381547 |
21,15953867 |
|
|
3,8 |
20 |
4,54932215 |
19,71900394 |
|
|
3,5 |
22 |
4,430498391 |
26,58566831 |
|
|
3,8 |
25 |
4,252262752 |
11,90165138 |
|
|
3,7 |
30 |
3,955203355 |
6,897387976 |
|
|
3,6 |
35 |
3,658143958 |
1,615109941 |
|
|
3,5 |
36 |
3,598732078 |
2,820916526 |
|
|
3,4 |
40 |
3,361084561 |
1,144571747 |
|
|
3 |
50 |
2,766965766 |
7,767807796 |
|
|
3 |
60 |
2,172846972 |
27,57176761 |
|
|
Среднее |
4,092307692 |
27,69230769 |
12,66070741 |
Вывод: средняя ошибка аппроксимации по данному уравнению регрессии составляет 12,66%, модель парной линейной регрессии можно признать удовлетворительной и пригодной для прогнозирования.
6) Используя коэффициент эластичности, выполним количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.
Для парной линейной регрессии эластичность можно найти по формуле . Имеем
.
Следовательно, при увеличении количества слушателей на 1% годовая цена уменьшится на 0,4%.
7) Выполним расчет прогноза y при увеличении фактора x на 25% от своего среднего значения.
Среднее значение (чел).
Прогнозное значение .
Точечный прогноз признака y вычисляем по построенному уравнению линейной регрессии: , .
Средняя ошибка прогноза вычисляем по формуле ,
где – остаточная дисперсия, –дисперсия фактора x.
Численное значение суммы в протоколе обозначено как остаточное SS.
Тогда , .
Самый быстрый способ получения вспомогательных характеристик – среднего значения фактора x и - дисперсии, воспользоваться инструментом Описательная статистика в пакете Анализ данных.
Протокол вывода результатов имеет вид
Имеем .
Тогда .
Доверительный интервал прогноза: , где –критическое значение критерия Стъюдента (найдено ранее по функции СТЪЮДРАСПОБР, при уровне значимости ).
Следовательно,
;
,
т.е. можно быть уверенным на 95%, что цена годового курса при 35 слушателях будет варьироваться в указанных пределах (при точечном прогнозе цены в 3,65825 тыс. долл.).
8) Для построения диаграммы выполним следующие действия:
Шаг 1 Вставка/ Диаграмма/График
Шаг 2 Далее/Диапазон/Выделить столбец исходных значений фактора y
Шаг 3 Ряд/Добавить/Значения/Выделить столбец регрессионных значений фактора – .
Шаг 4 Подписи оси X / Выделить столбец значений x.
Шаг 4 Каждому из рядов присвоить имя, подписать оси координат и название диаграммы.
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
x– энерговооруженность на 10-ти предприятиях, кВт;
y– производительность труда, тыс. руб.
|
x |
2,8 |
2,2 |
3 |
3,5 |
3,2 |
3,7 |
4 |
4,8 |
6 |
5,4 |
|
y |
6,7 |
6,9 |
7,2 |
7,3 |
8,4 |
8,8 |
9,1 |
9,8 |
10,6 |
10,7 |
Вариант 2
x– энерговооруженность на 10-ти предприятиях, кВт;
y– производительность труда, тыс. руб.
|
x |
3,2 |
3,7 |
4 |
4,8 |
6 |
5,4 |
5,2 |
5,4 |
6 |
9 |
|
y |
8,4 |
8,8 |
9,1 |
9,8 |
10,6 |
10,7 |
11,1 |
11,8 |
12,1 |
12,4 |
Вариант 3
x– качество земли, баллы;
y– урожайность, ц/га.
|
x |
32 |
33 |
35 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
44 |
|
y |
19,5 |
19 |
20,5 |
21 |
20,8 |
21,4 |
23 |
23,3 |
24 |
24,5 |
Вариант 4
x– качество земли, баллы;
y– урожайность, ц/га.
|
x |
45 |
46 |
47 |
49 |
50 |
52 |
54 |
55 |
58 |
60 |
|
y |
24,2 |
25 |
27 |
26,8 |
27,2 |
28 |
30 |
30,2 |
32 |
33 |
Вариант 5
x– товарооборот;
y–издержки обращения по отношению к товарообороту.
|
x |
7 |
10 |
15 |
20 |
30 |
45 |
60 |
120 |
|
y |
10 |
9 |
7,5 |
6 |
6,3 |
5,8 |
5,4 |
5 |
Вариант 6
x– электровооруженность на одного рабочего;
y– выпуск готовой продукции на одного рабочего.
|
x |
2 |
5 |
3 |
7 |
2 |
6 |
4 |
9 |
8 |
4 |
|
y |
3 |
6 |
4 |
6 |
4 |
8 |
6 |
9 |
9 |
5 |
Вариант 7
x–уровень доходов семьи;
y– расходы на продукты питания ( в расчете на 100 руб. доходов).
|
x |
1,4 |
3,3 |
5,5 |
7,6 |
9,8 |
12 |
14,7 |
18,9 |
|
y |
1,1 |
1,4 |
2 |
2,4 |
2,8 |
3,1 |
3,5 |
4 |
Вариант 8
x– качество земли, баллы;
y– урожайность, ц/га.
|
x |
35 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
44 |
|
y |
23 |
23,3 |
24 |
24,5 |
24,2 |
25 |
27 |
28 |
Вариант 9
x– производительность труда;
y– рентабельность производства.
|
x |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
|
y |
2,6 |
2,4 |
3,3 |
2,9 |
3,7 |
4,2 |
5,5 |
6,4 |
Вариант 10
x– производительность труда;
y– рентабельность производства.
|
x |
0,9 |
1,5 |
2 |
2,5 |
2,8 |
3 |
1,2 |
1,4 |
|
y |
3,1 |
5,1 |
5,9 |
6,1 |
7,2 |
8,1 |
3,8 |
5,3 |
Лабораторная работа №2
Нелинейные модели парной регрессии
Полином 2-го порядка: .
Параметры a, b и c находят, решая методом определителей систему уравнений:
Гипербола: .
Параметры a и b находят, решая систему уравнений
Регрессия
Система нормальных уравнений имеет вид:
.
Степенная функция: .
Пусть , , . Тогда уравнение примет вид
.
Параметры модели определяются по следующим формулам:
, .
Показательная функция: .
Пусть , , . Тогда уравнение регрессии примет вид . Параметры модели определяются по следующим формулам:
, .
Полулогарифмическая функция: .
Оценка параметров может быть найдена по формулам:
.
Логистическая функция: .
Обратная модель вида: .
Оценка параметров может быть найдена по формулам:
.
Оценка тесноты связи в нелинейной регрессии:
а) индекс корреляции R,
,
где – общая дисперсия результативного признака, – остаточная дисперсия.
Кроме того,
;
Величина данного показателя находится в границах , чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.
б) индекс детерминации имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации в линейных регрессионных моделях;
в) коэффициент средней эластичности , где – производная функции
|
Функция |
Коэффициент средней эластичности |
|
Парабола |
|
|
Гипербола |
|
|
Показательная |
|
|
Степенная |
|
|
Экспоненциальная |
|
|
Полулогарифмическая |
|
|
Логистическая |
|
|
Обратная |
Проверка статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера
,
где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x.
Средняя ошибка аппроксимации
.
Обоснования возможности замены нелинейной регрессии линейной функцией
1) если величина не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным;
2) если , то вычисляют ошибку разности между и
и t-критерий Стъюдента
.
Если , то различие между и существенно, и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Практически, если величина , то различие между и не существенно, и имеет смысл перейти к линейной регрессии.
Практические рекомендации по выполнению расчетов
с помощью табличного редактора MS Excel
Имеются данные о годовой цене программы «Мастер делового администрирования» и числе слушателей в образовательном учреждении.
|
Цена программы, тыс. долл., y |
8 |
5 |
4,9 |
4 |
3,8 |
3,5 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3 |
3 |
|
Число слушателей, чел., x |
5 |
10 |
12 |
15 |
20 |
22 |
25 |
30 |
35 |
36 |
40 |
50 |
60 |
Необходимо:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры параболической, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной и гиперболической регрессий.
3. Постройте на одной диаграмме с полем корреляции линию регрессии.
4. В каждом случае оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество модели.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
7. Выберите лучшее уравнение регрессии.
8. Дайте по выбранному уравнению оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего коэффициента эластичности.
9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его максимального в исходных данных значения. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
Полином 2-го порядка (парабола): .
Параметры a, b и c находят, решая методом определителей систему уравнений:
Необходима вспомогательная таблица расчетов:
|
y |
x |
||||||
|
8 |
5 |
25 |
125 |
625 |
40 |
200 |
|
|
5 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
50 |
500 |
|
|
4,9 |
12 |
144 |
1728 |
20736 |
58,8 |
705,6 |
|
|
4 |
15 |
225 |
3375 |
50625 |
60 |
900 |
|
|
3,8 |
20 |
400 |
8000 |
160000 |
76 |
1520 |
|
|
3,5 |
22 |
484 |
10648 |
234256 |
77 |
1694 |
|
|
3,8 |
25 |
625 |
15625 |
390625 |
95 |
2375 |
|
|
3,7 |
30 |
900 |
27000 |
810000 |
111 |
3330 |
|
|
3,6 |
35 |
1225 |
42875 |
1500625 |
126 |
4410 |
|
|
3,5 |
36 |
1296 |
46656 |
1679616 |
126 |
4536 |
|
|
3,4 |
40 |
1600 |
64000 |
2560000 |
136 |
5440 |
|
|
3 |
50 |
2500 |
125000 |
6250000 |
150 |
7500 |
|
|
3 |
60 |
3600 |
216000 |
12960000 |
180 |
10800 |
|
|
Сумма |
53,2 |
360 |
13124 |
562032 |
26627108 |
1285,8 |
43910,6 |
Получаем систему уравнений
.
Вычислить этот определитель можно в Excel, воспользовавшись математической функцией МОПРЕД.
, ,
.
Таким образом, уравнение параболической регрессии признаков x и y имеет вид: .
Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции , коэффициент детерминации . Для расчета этих характеристик, а также для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо составить в Excel расчетную таблицу следующего вида:
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
6,455490941 |
2,38550823 |
15,27006 |
19,30636324 |
|
|
5 |
10 |
5,610316807 |
0,3724866 |
0,823905 |
12,20633613 |
|
|
4,9 |
12 |
5,304252704 |
0,16342025 |
0,652367 |
8,250055184 |
|
|
4 |
15 |
4,879448212 |
0,77342916 |
0,008521 |
21,98620529 |
|
|
3,8 |
20 |
4,262885156 |
0,21426267 |
0,085444 |
12,18118831 |
|
|
3,5 |
22 |
4,048265484 |
0,30059504 |
0,350828 |
15,66472813 |
|
|
3,8 |
25 |
3,760627639 |
0,00155018 |
0,085444 |
1,036114765 |
|
|
3,7 |
30 |
3,372675661 |
0,10714122 |
0,153905 |
8,846603755 |
|
|
3,6 |
35 |
3,099029222 |
0,25097172 |
0,242367 |
13,91585494 |
|
|
3,5 |
36 |
3,058016599 |
0,19534933 |
0,350828 |
12,62809717 |
|
|
3,4 |
40 |
2,939688322 |
0,21188684 |
0,47929 |
13,53857875 |
|
|
3 |
50 |
2,96392314 |
0,00130154 |
1,193136 |
1,202562007 |
|
|
3 |
60 |
3,445380113 |
0,19836345 |
1,193136 |
14,84600377 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
11,96989934 |
||||
|
Сумма |
5,17626623 |
20,88923 |
Тогда , , .
Расчетное значение критерия Фишера равно , где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x. Для параболы , в данном примере .
Выводы:
Графическая иллюстрация приведена ниже
Степенная функция: .
Пусть , , . Тогда уравнение примет вид
.
Параметры модели определяются по следующим формулам:
, .
Составим вспомогательную таблицу.
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
2,079441542 |
1,60943791 |
2,59029 |
3,3467321 |
|
|
5 |
10 |
1,609437912 |
2,30258509 |
5,301898 |
3,7058677 |
|
|
4,9 |
12 |
1,589235205 |
2,48490665 |
6,174761 |
3,9491011 |
|
|
4 |
15 |
1,386294361 |
2,7080502 |
7,333536 |
3,7541547 |
|
|
3,8 |
20 |
1,335001067 |
2,99573227 |
8,974412 |
3,9993058 |
|
|
3,5 |
22 |
1,252762968 |
3,09104245 |
9,554543 |
3,8723435 |
|
|
3,8 |
25 |
1,335001067 |
3,21887582 |
10,36116 |
4,2972027 |
|
|
3,7 |
30 |
1,30833282 |
3,40119738 |
11,56814 |
4,4498982 |
|
|
3,6 |
35 |
1,280933845 |
3,55534806 |
12,6405 |
4,5541657 |
|
|
3,5 |
36 |
1,252762968 |
3,58351894 |
12,84161 |
4,4892998 |
|
|
3,4 |
40 |
1,223775432 |
3,68887945 |
13,60783 |
4,51436 |
|
|
3 |
50 |
1,098612289 |
3,91202301 |
15,30392 |
4,2977965 |
|
|
3 |
60 |
1,098612289 |
4,09434456 |
16,76366 |
4,4980973 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
27,69230769 |
1,373092597 |
3,12661091 |
10,23202 |
4,1329481 |
|
b |
-0,35101802 |
|||||
|
A |
2,470589356 |
|||||
|
a |
11,82941654 |
|||||
Степенная регрессия имеет вид: . Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
6,72376088 |
1,62878629 |
15,27006 |
15,952989 |
|
|
5 |
10 |
5,271634701 |
0,07378541 |
0,823905 |
5,432694022 |
|
|
4,9 |
12 |
4,944828847 |
0,00200963 |
0,652367 |
0,914874437 |
|
|
4 |
15 |
4,572293534 |
0,32751989 |
0,008521 |
14,30733836 |
|
|
3,8 |
20 |
4,13312325 |
0,1109711 |
0,085444 |
8,766401326 |
|
|
3,5 |
22 |
3,997134646 |
0,24714286 |
0,350828 |
14,20384702 |
|
|
3,8 |
25 |
3,821740509 |
0,00047265 |
0,085444 |
0,572118651 |
|
|
3,7 |
30 |
3,584818332 |
0,01326682 |
0,153905 |
3,11301806 |
|
|
3,6 |
35 |
3,395999538 |
0,04161619 |
0,242367 |
5,666679501 |
|
|
3,5 |
36 |
3,362583734 |
0,01888323 |
0,350828 |
3,926179017 |
|
|
3,4 |
40 |
3,240495363 |
0,02544173 |
0,47929 |
4,691312861 |
|
|
3 |
50 |
2,996361745 |
1,3237E-05 |
1,193136 |
0,121275157 |
|
|
3 |
60 |
2,810607494 |
0,03586952 |
1,193136 |
6,31308354 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
6,460139305 |
||||
|
Сумма |
2,52577855 |
20,88923 |
Пользуясь формулами для расчета, получим
Примечание. При вычислении статистики Фишера для степенной функции параметр m=1.
Выводы:
Графическая иллюстрация приведена ниже
Показательная функция: .
Пусть , , . Тогда уравнение регрессии примет вид . Параметры модели определяются по следующим формулам:
, .
Составим вспомогательную таблицу.
|
y |
x |
||||
|
8 |
5 |
2,079441542 |
25 |
10,39721 |
|
|
5 |
10 |
1,609437912 |
100 |
16,09438 |
|
|
4,9 |
12 |
1,589235205 |
144 |
19,07082 |
|
|
4 |
15 |
1,386294361 |
225 |
20,79442 |
|
|
3,8 |
20 |
1,335001067 |
400 |
26,70002 |
|
|
3,5 |
22 |
1,252762968 |
484 |
27,56079 |
|
|
3,8 |
25 |
1,335001067 |
625 |
33,37503 |
|
|
3,7 |
30 |
1,30833282 |
900 |
39,24998 |
|
|
3,6 |
35 |
1,280933845 |
1225 |
44,83268 |
|
|
3,5 |
36 |
1,252762968 |
1296 |
45,09947 |
|
|
3,4 |
40 |
1,223775432 |
1600 |
48,95102 |
|
|
3 |
50 |
1,098612289 |
2500 |
54,93061 |
|
|
3 |
60 |
1,098612289 |
3600 |
65,91674 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
27,69230769 |
1,373092597 |
1009,53846 |
34,84409 |
|
B |
-0,01310402 |
||||
|
A |
1,735973264 |
||||
|
b |
0,98698146 |
||||
|
a |
5,674447852 |
Показательная регрессия имеет вид: .
Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
5,314575517 |
7,21150465 |
15,27006 |
33,56780603 |
|
|
5 |
10 |
5,271634701 |
0,07378541 |
0,823905 |
5,432694022 |
|
|
4,9 |
12 |
4,944828847 |
0,00200963 |
0,652367 |
0,914874437 |
|
|
4 |
15 |
4,572293534 |
0,32751989 |
0,008521 |
14,30733836 |
|
|
3,8 |
20 |
4,13312325 |
0,1109711 |
0,085444 |
8,766401326 |
|
|
3,5 |
22 |
3,997134646 |
0,24714286 |
0,350828 |
14,20384702 |
|
|
3,8 |
25 |
3,821740509 |
0,00047265 |
0,085444 |
0,572118651 |
|
|
3,7 |
30 |
3,584818332 |
0,01326682 |
0,153905 |
3,11301806 |
|
|
3,6 |
35 |
3,395999538 |
0,04161619 |
0,242367 |
5,666679501 |
|
|
3,5 |
36 |
3,362583734 |
0,01888323 |
0,350828 |
3,926179017 |
|
|
3,4 |
40 |
3,240495363 |
0,02544173 |
0,47929 |
4,691312861 |
|
|
3 |
50 |
2,996361745 |
1,3237E-05 |
1,193136 |
0,121275157 |
|
|
3 |
60 |
2,810607494 |
0,03586952 |
1,193136 |
6,31308354 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
7,81512523 |
||||
|
Сумма |
8,10849691 |
20,88923 |
Пользуясь формулами для расчета, получим
Выводы:
Графическая иллюстрация приведена ниже.
Полулогарифмическая функция: .
Оценка параметров может быть по решению системы уравнений:
.
|
y |
x |
||||
|
8 |
5 |
1,609437912 |
2,59029039 |
12,8755 |
|
|
5 |
10 |
2,302585093 |
5,30189811 |
11,51293 |
|
|
4,9 |
12 |
2,48490665 |
6,17476106 |
12,17604 |
|
|
4 |
15 |
2,708050201 |
7,33353589 |
10,8322 |
|
|
3,8 |
20 |
2,995732274 |
8,97441185 |
11,38378 |
|
|
3,5 |
22 |
3,091042453 |
9,55454345 |
10,81865 |
|
|
3,8 |
25 |
3,218875825 |
10,3611616 |
12,23173 |
|
|
3,7 |
30 |
3,401197382 |
11,5681436 |
12,58443 |
|
|
3,6 |
35 |
3,555348061 |
12,6404998 |
12,79925 |
|
|
3,5 |
36 |
3,583518938 |
12,841608 |
12,54232 |
|
|
3,4 |
40 |
3,688879454 |
13,6078316 |
12,54219 |
|
|
3 |
50 |
3,912023005 |
15,303924 |
11,73607 |
|
|
3 |
60 |
4,094344562 |
16,7636574 |
12,28303 |
|
|
Сумма |
53,2 |
360 |
40,64594181 |
133,016267 |
156,3181 |
Получаем систему уравнений
.
Решить эту систему можно любым доступным способом, например, методом подстановки. При использовании Excel это лучше сделать методом определителей.
|
Для |
13 |
40,64594181 |
Для |
53,2 |
40,64594181 |
|
|
дельта |
40,64594 |
133,0162668 |
дельта a |
156,318124 |
133,0162668 |
|
|
Δ |
77,11888 |
Δa |
722,768022 |
|||
|
Для |
13 |
53,2 |
||||
|
дельта b |
40,64594 |
156,318124 |
a |
9,37212778 |
||
|
b |
-1,6886719 |
|||||
|
Δb |
-130,228493 |
Уравнение полулогарифмической регрессии имеет вид: .
Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
6,654315149 |
1,81086772 |
15,2700592 |
16,82106064 |
|
|
5 |
10 |
5,483816959 |
0,23407885 |
0,82390533 |
9,676339186 |
|
|
4,9 |
12 |
5,175935664 |
0,07614049 |
0,65236686 |
5,631340072 |
|
|
4 |
15 |
4,799119411 |
0,63859183 |
0,00852071 |
19,97798528 |
|
|
3,8 |
20 |
4,31331877 |
0,26349616 |
0,08544379 |
13,50838868 |
|
|
3,5 |
22 |
4,152371144 |
0,42558811 |
0,3508284 |
18,63917555 |
|
|
3,8 |
25 |
3,936502518 |
0,01863294 |
0,08544379 |
3,59217152 |
|
|
3,7 |
30 |
3,628621222 |
0,00509493 |
0,15390533 |
1,929156163 |
|
|
3,6 |
35 |
3,368311295 |
0,05367966 |
0,24236686 |
6,435797348 |
|
|
3,5 |
36 |
3,320739926 |
0,03213417 |
0,3508284 |
5,121716394 |
|
|
3,4 |
40 |
3,142820581 |
0,06614125 |
0,47928994 |
7,564100572 |
|
|
3 |
50 |
2,766004328 |
0,05475397 |
1,19313609 |
7,799855721 |
|
|
3 |
60 |
2,458123033 |
0,29363065 |
1,19313609 |
18,06256558 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
10,36612713 |
||||
|
Сумма |
3,97283074 |
20,8892308 |
Пользуясь формулами для расчета, получим
|
n |
13 |
|
|
R |
0,899896887 |
|
|
R2 |
0,809814407 |
|
|
A |
10,36612713 |
|
|
F |
46,83824022 |
|
|
Fтабл |
4,844335669 |
Обратная модель вида: .
Оценка параметров может быть найдена по решению системы:
.
|
y |
x |
||||
|
8 |
5 |
0,125 |
0,625 |
25 |
|
|
5 |
10 |
0,2 |
2 |
100 |
|
|
4,9 |
12 |
0,20408163 |
2,44897959 |
144 |
|
|
4 |
15 |
0,25 |
3,75 |
225 |
|
|
3,8 |
20 |
0,26315789 |
5,26315789 |
400 |
|
|
3,5 |
22 |
0,28571429 |
6,28571429 |
484 |
|
|
3,8 |
25 |
0,26315789 |
6,57894737 |
625 |
|
|
3,7 |
30 |
0,27027027 |
8,10810811 |
900 |
|
|
3,6 |
35 |
0,27777778 |
9,72222222 |
1225 |
|
|
3,5 |
36 |
0,28571429 |
10,2857143 |
1296 |
|
|
3,4 |
40 |
0,29411765 |
11,7647059 |
1600 |
|
|
3 |
50 |
0,33333333 |
16,6666667 |
2500 |
|
|
3 |
60 |
0,33333333 |
20 |
3600 |
|
|
Сумма |
53,2 |
360 |
3,38565836 |
103,499216 |
13124 |
Получаем систему уравнений:
.
Решение этой системы и остальные выводы по данной регрессии представлены далее.
|
Для |
13 |
360 |
Для |
3,38565836 |
360 |
|
|
дельта |
360 |
13124 |
дельта a |
103,499216 |
13124 |
|
|
Δ |
41012 |
Δa |
7173,66239 |
|||
|
Для |
13 |
3,385658355 |
||||
|
дельта b |
360 |
103,4992163 |
a |
0,17491618 |
||
|
b |
0,00308819 |
|||||
|
Δb |
126,6528041 |
Уравнение обратной регрессии имеет вид: .
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
5,253283798 |
7,54444989 |
15,2700592 |
34,33395252 |
|
|
5 |
10 |
4,859132073 |
0,01984377 |
0,82390533 |
2,817358541 |
|
|
4,9 |
12 |
4,717549745 |
0,0332881 |
0,65236686 |
3,723474587 |
|
|
4 |
15 |
4,519998446 |
0,27039838 |
0,00852071 |
12,99996116 |
|
|
3,8 |
20 |
4,225114815 |
0,18072261 |
0,08544379 |
11,18723198 |
|
|
3,5 |
22 |
4,11766073 |
0,38150478 |
0,3508284 |
17,64744942 |
|
|
3,8 |
25 |
3,966351012 |
0,02767266 |
0,08544379 |
4,37765821 |
|
|
3,7 |
30 |
3,737453631 |
0,00140277 |
0,15390533 |
1,012260294 |
|
|
3,6 |
35 |
3,533534037 |
0,00441772 |
0,24236686 |
1,846276747 |
|
|
3,5 |
36 |
3,495391553 |
2,1238E-05 |
0,3508284 |
0,13166991 |
|
|
3,4 |
40 |
3,350715313 |
0,00242898 |
0,47928994 |
1,449549627 |
|
|
3 |
50 |
3,036508307 |
0,00133286 |
1,19313609 |
1,216943553 |
|
|
3 |
60 |
2,7761775 |
0,05009651 |
1,19313609 |
7,460750006 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
7,708041274 |
||||
|
Сумма |
8,51758027 |
20,8892308 |
|
n |
13 |
|
|
R |
0,769577917 |
|
|
R2 |
0,592250171 |
|
|
A |
7,708041274 |
|
|
F |
15,97732585 |
|
|
Fтабл |
4,844335669 |
Гипербола: .
Параметры a и b находят, решая систему уравнений
.
|
y |
x |
1/ x |
y/ x |
||
|
8 |
5 |
0,2 |
0,04 |
1,6 |
|
|
5 |
10 |
0,1 |
0,01 |
0,5 |
|
|
4,9 |
12 |
0,083333333 |
0,00694444 |
0,40833333 |
|
|
4 |
15 |
0,066666667 |
0,00444444 |
0,26666667 |
|
|
3,8 |
20 |
0,05 |
0,0025 |
0,19 |
|
|
3,5 |
22 |
0,045454545 |
0,00206612 |
0,15909091 |
|
|
3,8 |
25 |
0,04 |
0,0016 |
0,152 |
|
|
3,7 |
30 |
0,033333333 |
0,00111111 |
0,12333333 |
|
|
3,6 |
35 |
0,028571429 |
0,00081633 |
0,10285714 |
|
|
3,5 |
36 |
0,027777778 |
0,0007716 |
0,09722222 |
|
|
3,4 |
40 |
0,025 |
0,000625 |
0,085 |
|
|
3 |
50 |
0,02 |
0,0004 |
0,06 |
|
|
3 |
60 |
0,016666667 |
0,00027778 |
0,05 |
|
|
Сумма |
53,2 |
360 |
0,736803752 |
0,07155682 |
3,79450361 |
Система имеет вид:
.
|
Для |
13 |
0,736803752 |
Для |
53,2 |
0,736803752 |
|
|
дельта |
0,736804 |
0,071556825 |
дельта a |
3,79450361 |
0,071556825 |
|
|
Δ |
0,387359 |
Δa |
1,01101859 |
|||
|
Для |
13 |
53,2 |
||||
|
дельта b |
0,736804 |
3,794503608 |
a |
2,61003025 |
||
|
b |
26,1529704 |
|||||
|
Δb |
10,1305873 |
Уравнение гиперболической регрессии имеет вид:
.
|
y |
x |
|||||
|
8 |
5 |
5,253283798 |
7,54444989 |
15,2700592 |
34,33395252 |
|
|
5 |
10 |
4,859132073 |
0,01984377 |
0,82390533 |
2,817358541 |
|
|
4,9 |
12 |
4,717549745 |
0,0332881 |
0,65236686 |
3,723474587 |
|
|
4 |
15 |
4,519998446 |
0,27039838 |
0,00852071 |
12,99996116 |
|
|
3,8 |
20 |
4,225114815 |
0,18072261 |
0,08544379 |
11,18723198 |
|
|
3,5 |
22 |
4,11766073 |
0,38150478 |
0,3508284 |
17,64744942 |
|
|
3,8 |
25 |
3,966351012 |
0,02767266 |
0,08544379 |
4,37765821 |
|
|
3,7 |
30 |
3,737453631 |
0,00140277 |
0,15390533 |
1,012260294 |
|
|
3,6 |
35 |
3,533534037 |
0,00441772 |
0,24236686 |
1,846276747 |
|
|
3,5 |
36 |
3,495391553 |
2,1238E-05 |
0,3508284 |
0,13166991 |
|
|
3,4 |
40 |
3,350715313 |
0,00242898 |
0,47928994 |
1,449549627 |
|
|
3 |
50 |
3,036508307 |
0,00133286 |
1,19313609 |
1,216943553 |
|
|
3 |
60 |
2,7761775 |
0,05009651 |
1,19313609 |
7,460750006 |
|
|
Среднее |
4,092308 |
7,708041274 |
||||
|
Сумма |
8,51758027 |
20,8892308 |
|
n |
13 |
|
|
R |
0,987745189 |
|
|
R2 |
0,975640558 |
|
|
A |
4,638171373 |
|
|
F |
440,5702713 |
|
|
Fтабл |
4,844335669 |
Сравним результата регрессионного анализа по разным видам парных регрессий:
|
Регрессия |
Коэффициент детерминации |
Средняя ошибка аппроксимации |
|
Парабола |
||
|
Степенная |
||
|
Показательная |
||
|
Полулогарифмическая |
||
|
Обратная |
||
|
Гипербола |
||
|
Линейная |
Все уравнения достаточно хорошо описывают исходные данные. Однако предпочтение можно отдать гиперболе , для которой значение коэффициента детерминации наибольшее, а ошибка аппроксимации наименьшая.
Дадим по выбранному уравнению количественную оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего коэффициента эластичности. Для гиперболы он вычисляется по формуле , т.е. . Следовательно, при увеличении количества слушателей программы (фактора x) на 1% цена программы (фактор y) уменьшится на 0,23%.
Рассчитаем прогнозное значение результата y, если прогнозное значение фактора x увеличится на 10% от его максимального в исходных данных значения.
(чел).
(тыс. долл.)
Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости . Для этого найдем среднюю ошибку прогноза ,
где – остаточная дисперсия, –дисперсия фактора x.
Составим расчетную таблицу
|
y |
x |
||||
|
8 |
5 |
514,9408284 |
7,84062433 |
0,0254006 |
|
|
5 |
10 |
313,0177515 |
5,22532729 |
0,05077239 |
|
|
4,9 |
12 |
246,2485207 |
4,78944445 |
0,01222253 |
|
|
4 |
15 |
161,0946746 |
4,35356161 |
0,12500581 |
|
|
3,8 |
20 |
59,17159763 |
3,91767877 |
0,01384829 |
|
|
3,5 |
22 |
32,40236686 |
3,79880163 |
0,08928242 |
|
|
3,8 |
25 |
7,24852071 |
3,65614907 |
0,02069309 |
|
|
3,7 |
30 |
5,325443787 |
3,48179593 |
0,04761301 |
|
|
3,6 |
35 |
53,40236686 |
3,35725798 |
0,05892369 |
|
|
3,5 |
36 |
69,01775148 |
3,33650165 |
0,02673171 |
|
|
3,4 |
40 |
151,4792899 |
3,26385451 |
0,01853559 |
|
|
3 |
50 |
497,6331361 |
3,13308966 |
0,01771286 |
|
|
3 |
60 |
1043,786982 |
3,04591309 |
0,00210801 |
|
|
Сумма |
53,2 |
360 |
3154,769231 |
53,2 |
0,50885001 |
Тогда
; ;
.
Предельная ошибка прогнозируемой стоимости программы составит
, где – соответствующее табличное значение критерия Стъюдента.
По функции СТЪЮДРАСПОБР .
Доверительный интервал прогнозируемой стоимости программы составит:
( тыс. долл.),
т.е. при 66 слушателях курса стоимость с вероятностью 95% будет не меньше 2,42 и не больше 3,58 тыс. долл.
Контрольные задания.
Вариант 1
Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города (табл. 1).
Таблица 1
|
№ п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Цена квартиры, тыс.долл. |
29 |
31 |
35 |
35 |
45 |
46 |
45 |
44 |
38 |
37 |
|
Площадь, |
35 |
35 |
33 |
34 |
38 |
40 |
40 |
39 |
37 |
36 |
Вариант 2
Имеются данные по 10 хозяйствам (табл. 2).
Таблица 2
|
Номер хозяйства |
Урожайность, ц/га, y |
Внесено удобрений, кг/га, х |
|
1 |
15 |
2,1 |
|
2 |
18 |
3,6 |
|
3 |
17 |
3,5 |
|
4 |
22 |
5,0 |
|
5 |
25 |
6,5 |
|
6 |
20 |
4,2 |
|
7 |
24 |
6,3 |
|
8 |
19 |
4,0 |
|
9 |
23 |
6,0 |
|
10 |
27 |
7,5 |
Вариант 3
По 17 регионам страны изучается зависимость ежемесячного среднедушевого денежного дохода у от удельного веса населения в трудоспособном возрасте в общей численности населения, х (табл. 3).
Таблица 3
|
Номер региона |
Удельный вес населения в трудоспособном возрасте в общей численности населения, %, х |
Среднедушевой ежемесячный денежный доход, тыс. руб., у |
|
1 |
60,6 |
3,4 |
|
2 |
59,6 |
3,1 |
|
3 |
60,8 |
3,7 |
|
4 |
59,4 |
3,4 |
|
5 |
60,4 |
3,6 |
|
6 |
60,8 |
3,3 |
|
7 |
60,6 |
3,1 |
|
8 |
59,3 |
3,3 |
|
9 |
60,3 |
3,6 |
|
10 |
62,3 |
4,7 |
|
11 |
60,2 |
3,2 |
|
12 |
59,0 |
3,3 |
|
13 |
61,4 |
4,1 |
|
14 |
58,9 |
3,4 |
|
15 |
59,0 |
3,2 |
|
16 |
59,2 |
3,4 |
|
17 |
61,0 |
3,9 |
Вариант 4
По 26 регионам страны изучается зависимость ожидаемой продолжительности жизни при рождении (лет) у от уровня заболеваемости детей в возрасте 0-14 лет на тыс. человек, х (табл. 4).
Таблица 4
|
Номер региона |
Уровень заболеваемости детей в возрасте 0-14 лет на тыс. человек, х |
Ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет, у |
|
1 |
1108,4 |
67,5 |
|
2 |
1164,4 |
69,3 |
|
3 |
438,8 |
75,1 |
|
4 |
618,1 |
68,7 |
|
5 |
1312,4 |
66,2 |
|
6 |
982,7 |
68,1 |
|
7 |
843,0 |
70,0 |
|
8 |
1233,6 |
67,3 |
|
9 |
1173,0 |
67,1 |
|
10 |
1415,5 |
65,4 |
|
11 |
1608,6 |
66,4 |
|
12 |
1703,9 |
66,5 |
|
13 |
1529,0 |
66,4 |
|
14 |
1516,3 |
64,0 |
|
15 |
1474,3 |
66,0 |
|
16 |
1390,5 |
67,8 |
|
17 |
2208,7 |
62,1 |
|
18 |
1312,8 |
66,1 |
|
19 |
1520,5 |
63,7 |
|
20 |
1809,5 |
64,0 |
|
21 |
1569,4 |
65,4 |
|
22 |
1654,2 |
65,7 |
|
23 |
1749,5 |
62,3 |
|
24 |
1746,0 |
65,6 |
|
25 |
1475,1 |
65,6 |
|
26 |
1753,4 |
65,3 |
Вариант 5
По 18 регионам страны изучается зависимость инвестиций в основной капитал у от валового регионального продукта (ВРП) х (табл. 5).
Таблица 5
|
Номер региона |
ВРП, млрд руб., х |
Инвестиций в основной капитал, млрд руб., у |
|
1 |
24,6 |
5,0 |
|
2 |
41,1 |
9,0 |
|
3 |
29,5 |
4,8 |
|
4 |
27,6 |
5,4 |
|
5 |
31,9 |
7,4 |
|
6 |
38,8 |
6,6 |
|
7 |
39,2 |
7,8 |
|
8 |
40,2 |
9,3 |
|
9 |
41,6 |
9,6 |
|
10 |
41,3 |
8,0 |
|
11 |
47,0 |
10,8 |
|
12 |
54,7 |
9,9 |
|
13 |
53,3 |
10,0 |
|
14 |
46,7 |
10,0 |
|
15 |
71,1 |
13,2 |
|
16 |
58,8 |
10,0 |
|
17 |
67,9 |
13,9 |
|
18 |
65,7 |
12,0 |
Вариант 6
По 21 региону страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров, у от среднедушевых денежных доходов в месяц, х (табл. 6).
Таблица 6
|
Номер региона |
Среднедушевой денежный доход в месяц, тыс. руб., х |
Розничная продажа телевизоров, тыс. шт., у |
|
1 |
2,8 |
28,0 |
|
2 |
2,4 |
21,3 |
|
3 |
2,1 |
21,0 |
|
4 |
2,6 |
23,3 |
|
5 |
1,7 |
15,8 |
|
6 |
2,5 |
21,9 |
|
7 |
2,4 |
20,0 |
|
8 |
2,6 |
22,0 |
|
9 |
2,8 |
23,9 |
|
10 |
2,6 |
26,0 |
|
11 |
2,6 |
24,6 |
|
12 |
2,5 |
21,0 |
|
13 |
2,9 |
27,0 |
|
14 |
2,6 |
21,0 |
|
15 |
2,2 |
24,0 |
|
16 |
2,6 |
24,0 |
|
17 |
3,3 |
31,9 |
|
18 |
3,9 |
33,0 |
|
19 |
4,0 |
35,4 |
|
20 |
3,7 |
34,0 |
|
21 |
3,4 |
31,0 |
Вариант 7
По 17 регионам страны изучается зависимость розничной продажи видеомагнитофонов, у от среднедушевых ежемесячных денежных доходов, х (табл. 7).
Таблица 7
|
Номер региона |
Среднедушевой ежемесячный денежный доход, тыс. руб., х |
Розничная продажа магнитофонов, тыс. шт., у |
|
1 |
2,4 |
4,8 |
|
2 |
3,0 |
5,7 |
|
3 |
2,2 |
5,1 |
|
4 |
2,1 |
5,5 |
|
5 |
4,0 |
6,2 |
|
6 |
2,5 |
4,9 |
|
7 |
5,0 |
7,0 |
|
8 |
2,3 |
4,7 |
|
9 |
3,0 |
4,9 |
|
10 |
3,4 |
5,5 |
|
11 |
3,9 |
5,6 |
|
12 |
2,3 |
4,4 |
|
13 |
3,1 |
5,8 |
|
14 |
2,6 |
4,5 |
|
15 |
5,7 |
7,1 |
|
16 |
5,2 |
6,5 |
|
17 |
3,0 |
5,1 |
Вариант 8
По 17 регионам страны изучается зависимость среднемесячной заработной платы у от инвестиций в основной капитал на душу населения, х (табл. 8).
Таблица 8
|
Номер региона |
Инвестиции в основной капитал на душу населения, тыс. руб., х |
Среднемесячная заработная плата, тыс. руб., у |
|
1 |
4,9 |
3,9 |
|
2 |
8,5 |
5,5 |
|
3 |
9,1 |
4,8 |
|
4 |
5,5 |
4,0 |
|
5 |
6,1 |
3,9 |
|
6 |
5,1 |
3,8 |
|
7 |
4,2 |
4,1 |
|
8 |
3,8 |
3,0 |
|
9 |
11,0 |
6,3 |
|
10 |
6,9 |
4,8 |
|
11 |
7,5 |
5,2 |
|
12 |
5,5 |
3,7 |
|
13 |
5,8 |
3,5 |
|
14 |
4,9 |
4,2 |
|
15 |
6,0 |
4,5 |
|
16 |
10,4 |
6,6 |
|
17 |
8,8 |
6,7 |
Вариант 9
По 27 регионам страны изучается зависимость средней заработной платы, у от валового регионального продукта (ВРП) на душу населения, х (табл. 9).
Таблица 9
|
Номер региона |
ВРП на душу населения, тыс. руб., х |
Средняя заработная плата, тыс. руб., у |
|
1 |
35,8 |
3,5 |
|
2 |
22,5 |
2,6 |
|
3 |
28,3 |
3,2 |
|
4 |
26,0 |
2,6 |
|
5 |
20,0 |
2,6 |
|
6 |
31,8 |
3,5 |
|
7 |
30,5 |
3,1 |
|
8 |
29,5 |
2,9 |
|
9 |
41,5 |
3,4 |
|
10 |
41,3 |
4,8 |
|
11 |
34,5 |
3,0 |
|
12 |
34,9 |
3,1 |
|
13 |
34,7 |
3,3 |
|
14 |
26,8 |
2,6 |
|
15 |
32,5 |
3,3 |
|
16 |
32,4 |
3,3 |
|
17 |
50,9 |
3,9 |
|
18 |
44,8 |
4,7 |
|
19 |
79,1 |
6,5 |
|
20 |
47,4 |
5,0 |
|
21 |
53,3 |
4,5 |
|
22 |
33,1 |
3,7 |
|
23 |
48,4 |
4,5 |
|
24 |
61,1 |
7,2 |
|
25 |
38,9 |
3,4 |
|
26 |
26,2 |
2,9 |
|
27 |
59,3 |
5,4 |
Лабораторная работа №3
Множественная регрессия
Линейная множественная регрессия:
Степенная функция:
Экспонента:
Гипербола:
Оценка параметров линейной множественной регрессии
1) в натуральном масштабе, т.е. для уравнения система нормальных уравнений имеет вид:
(6.3)
Ее решение может быть найдено, например, методом определителей.
Вычисление параметров линейной множественной регрессии можно провести с помощью инструмента Сервис/Анализ данных/Регрессия.
2) в стандартизированном масштабе:
, (6.4)
где – стандартизированные переменные
;
,
– стандартизированные коэффициенты регрессии. Решают систему нормальных уравнений вида
(6.5)
Решая ее методом определителей, найдем -коэффициенты.
Определение-коэффициентов:
1) Находим матрицу парных коэффициентов корреляции. Для двухфакторной линейной регрессии она имеет вид:
|
y |
|||
|
y |
1 |
||
|
1 |
|||
|
1 |
Удобнее всего найти эту матрицу Excel, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого в главном меню нужно последовательно выбрать Сервис/Анализ данных/Корреляция.
2) для стандартизированного уравнения регрессии
имеем
; .
Коэффициенты «чистой» регрессии связаны с -коэффициентами следующим образом:
.
Методика построения уравнения регрессии при двухфакторном регрессионном анализе
приводит к следующим формулам для оценки параметров:
, , .
Методика построения уравнения регрессии в виде степенной функции
Преобразуем ее в линейный вид:
,
где переменные выражены в логарифмах. Далее процедура МНК такая же, что и описана выше: строится система нормальных уравнений и определяются параметры, которые затем следует потенцировать.
Оценка тесноты связи и статистической значимости во множественной регрессии
1) коэффициент множественной детерминации ,
;
2) индекс множественной корреляции R;
3)линейный коэффициент множественной корреляции (для )
;
4)в случае двухфакторной линейной модели индекс множественной корреляции R может быть найден по формуле:
.
5) Скорректированный индекс (коэффициент) корреляции:
; k – число параметров при переменных.
В статистических пакетах прикладных программ в процедуре множественной регрессии обычно приводится скорректированный коэффициент (индекс) множественной корреляции (детерминации).
6) дельта-коэффициенты :
, (6.17)
где – коэффициент парной корреляции между y и ;
– множественный коэффициент детерминации.
7) частные коэффициенты эластичности:
, (6.18)
где – коэффициент «чистой» регрессии при факторе ;
– среднее значение результативного признака;
– среднее значение признака .
Значимость уравнения множественной регрессии в целом
оценивается с помощью F-критерия Фишера:
, (6.19)
где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x. Если расчетное значение критерия с и степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
Прогнозирование по уравнению линейной множественной регрессии
где – ошибка прогнозного значения, вычисляемая по формуле
для двухфакторной модели.
Мерой для оценки включения фактора в модель
служит частный F-критерий, т.е. . Так, если оцениваем значимость влияния фактора после включения в модель факторов , то формула частного F-критерия примет вид:
. (6.20)
Если фактическое значение критерия с и степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент регрессии при данном факторе статистически значим.
Оценка значимости коэффициентов «чистой» регрессии
Для каждого фактора используется формула
, (6.22)
где – коэффициент «чистой» регрессии при факторе ; – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии ,
, (6.23)
где – среднее квадратическое отклонение для признака y;
– коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии;
– среднее квадратическое отклонение для признака ;
– коэффициент детерминации для зависимости фактора со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии.
Практические рекомендации по выполнению расчетов
с помощью табличного редактора MS Excel
Исследуется зависимость производительности труда y (т/ч) от уровня механизации работ (%), среднего возраста работников (лет) и энерговооруженности (кВт/100 работающих) по данным 14 промышленных предприятий.
|
32 |
30 |
36 |
40 |
41 |
47 |
56 |
54 |
60 |
55 |
61 |
67 |
69 |
76 |
|
|
33 |
31 |
41 |
39 |
46 |
43 |
34 |
38 |
42 |
35 |
39 |
44 |
40 |
41 |
|
|
300 |
290 |
350 |
400 |
400 |
480 |
500 |
520 |
590 |
540 |
600 |
700 |
700 |
750 |
|
|
y |
20 |
24 |
28 |
30 |
31 |
33 |
34 |
37 |
38 |
40 |
41 |
43 |
45 |
48 |
По исходным статистическим данным необходимо:
1. Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.
2. Оценить значимость уравнения в целом, используя значение множественного коэффициента корреляции и общего F-критерия Фишера.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.
4. Исследовать коллинеарность между факторами. При наличии мультиколлинеарности исключить какой-либо фактор из уравнения регрессии.
5. Построить новое уравнение множественной регрессии, провести все необходимые исследования, аналогичные проведенным выше.
6. На основании результатов п. 5 найти
а) средние коэффициенты эластичности фактора y от независимых факторов;
б) прогнозное значение результата при значении важнейшей объясняющей переменной, равном максимальному наблюденному значению, увеличенному на 10 %, и при значении второй объясняющей переменной, равном минимальному наблюденному значению, уменьшенному на 15%.
в) Интервальное предсказание значения y с надежностью 0,95.
Решение.
1. Получение протокола расчета. Операция проводится с помощью инструмента Анализ данных/Регрессия. Она аналогична расчету параметров парной линейной регрессии, рассмотренной выше, только в отличие от парной регрессии при заполнении строки входной интервал X в диалоговом окне следует указать сразу все столбцы значений факторных переменных.
Результаты анализа имеют вид:
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,97517313 |
||||
|
R-квадрат |
0,950962633 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,936251423 |
||||
|
Стандартная ошибка |
2,038864298 |
||||
|
Наблюдения |
14 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
|
|
Регрессия |
3 |
806,1446094 |
268,7148698 |
64,64204 |
|
|
Остаток |
10 |
41,56967627 |
4,156967627 |
||
|
Итого |
13 |
847,7142857 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
|
|
|
Y-пересечение |
5,711742473 |
6,18918556 |
0,922858495 |
||
|
x1 |
0,148601283 |
0,340417689 |
0,436526326 |
||
|
x2 |
0,064880259 |
0,162051974 |
0,400366976 |
||
|
x3 |
0,037784221 |
0,033824423 |
1,11706919 |
|
|
2. Оцениваем статистическую значимость в целом. Изучив результаты, отмечаем, что в целом полученное уравнение линейной множественной регрессии
является статистически значимым. Действительно, . Сравним это число с табличным значением критерия Фишера, полученным при числе степеней свободы и , где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x. В нашем случае , . Табличное значение даст функция FРАСПОБР. , что существенно меньше расчетного значения.
О доле вариации результативного признака y, объясненной построенным уравнением множественной регрессии лучше всего судить по значению нормированного коэффициента корреляции, в данном случае он равен 0,9363. То есть построенное уравнение объясняет почти 94% всей вариации признака y.
3. Оцениваем статистическую значимость по отдельным параметрам. Чтобы оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия, найдем соответствующее нашим параметрам табличное значение с помощью функции СТЪЮДРАСПОБР при заданном уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы . Коэффициент признается значимым, если выполняется неравенство .
Имеем
|
0,44 |
0,4 |
1,12 |
|
|
2,2281 |
Таким образом, ни один из факторов не имеет статистически значимого коэффициента регрессии, и построенное уравнение для прогнозирования непригодно.
4. Исследуем коллинеарность между факторами. Матрицу парных коэффициентов корреляции можно получить, используя инструмент Анализ данных/Корреляция. Заполнив диалоговое окно,
получим следующий результат:
Для оценки мультиколлинеарности факторов вычислим определитель матрицы парных коэффициентов корреляции факторов.
.
Поскольку определитель матрицы межфакторной корреляции близок к нулю, имеем мультиколлинеарность факторов и вытекающую отсюда ненадежность результатов множественной регрессии.
Оценка значимости мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных, т.е. . Доказано, что величина имеет приближенное распределение с числом степеней свободы . Если фактическое значение превосходит табличное (критическое), то гипотеза отклоняется, и мультиколлинеарность считается доказанной.
Имеем .
Критическое значение можно найти через статистическую функцию ХИ2ОБР(), где – уровень значимости (по условию 0,05), а n – число степеней свободы. В нашем случае степеней свободы . Получаем . . Мультиколлинеарностью факторов пренебречь нельзя.
Особенно высока коллинеарность факторов и , . Один из этих факторов следует исключить из уравнения регрессии. Логично исключить тот, который имеет меньший коэффициент парной корреляции. Поскольку , а , исключаем фактор .
5. Построим регрессию на факторах и .
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
||||
|
Регрессионная статистика |
||||
|
Множественный R |
0,974693901 |
|||
|
R-квадрат |
0,950028201 |
|||
|
Нормированный R-квадрат |
0,940942419 |
|||
|
Стандартная ошибка |
1,962415214 |
|||
|
Наблюдения |
14 |
|||
|
Дисперсионный анализ |
||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
|
Регрессия |
2 |
805,3524775 |
402,6762388 |
104,5621 |
|
Остаток |
11 |
42,3618082 |
3,851073473 |
|
|
Итого |
13 |
847,7142857 |
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
|
|
Y-пересечение |
7,265656067 |
4,873196972 |
1,490942416 |
|
|
x2 |
0,031021017 |
0,136948082 |
0,226516625 |
|
|
x3 |
0,052435862 |
0,004030875 |
13,00855684 |
|
Получили результаты:
, , , что много больше, чем .
|
0,22 |
13 |
|
|
2,2281 |
Таким образом, при весьма удовлетворительной значимости уравнения регрессии в целом, мы добились значимости коэффициента регрессии при переменной .
6.
а) Найдем коэффициенты эластичности:
, (6.18)
где – коэффициент «чистой» регрессии при факторе ;
– среднее значение результативного признака;
– среднее значение признака .
Имеем
|
y |
|||
|
Среднее |
35,14285714 |
39 |
508,5714286 |
|
Эластичность |
Таким образом, при изменении фактора (среднего возраста работников) на 1%, производительность возрастает незначительно, на 0,03%; при изменении фактора (энерговооруженности) на 1%, производительность труда увеличивается на 0,72%.
б) Выполним прогнозирование. Максимальное наблюденное значение фактора – 750. Минимальное значение фактора – 31. Прогнозные значения факторов:
; .
Тогда .
в) Доверительный интервал для данного прогнозного значения y можно найти, зная предельную ошибку прогноза , где – соответствующее табличное значение критерия Стъюдента, а – ошибка прогнозного значения. В нашем случае .
Ошибку прогнозного значения функции регрессии получим по формуле
.
1. Параметр S – стандартная ошибка регрессии приведен в последней регрессионной статистике .
2. Матрица состоит из чисел: . То есть ,
.
3. Матрица X состоит из чисел .
Составляем вспомогательную таблицу:
|
….. |
….. |
…. |
….. |
….. |
|
|
Сумма |
В данном случае, .
4. Транспонируем матрицу X. Поскольку она симметрическая, то
.
5. Найдем произведение матриц . В Exсel это можно сделать с помощью функции МУМНОЖ.
|
|
58537523,04 |
2158299716 |
29989312607 |
|
2158299716 |
79577299061 |
1,10572E+12 |
|
|
29989312607 |
1,10572E+12 |
1,53641E+13 |
6. Найдем обратную матрицу к матрице произведения . В Exсel это можно сделать с помощью функции МОБР.
|
0,281568563 |
-0,007773123 |
9,81695E-06 |
|
|
-0,007773123 |
0,000215175 |
-3,13231E-07 |
|
|
9,81695E-06 |
-3,13231E-07 |
3,38079E-09 |
7. Найдем произведение матриц (размерность матрицы произведения ).
|
0,083373216 |
-0,002314683 |
3,84533E-06 |
8. Найдем произведение матриц (размерность матрицы произведения , то есть только одно число).
.
9. .
10. .
11. Таким образом, прогнозное значение результата будет с вероятностью 95% находиться в интервале .
Задания.
Вариант 1
|
x1 |
32 |
30 |
36 |
40 |
41 |
47 |
56 |
54 |
60 |
55 |
61 |
67 |
69 |
76 |
|
x2 |
33 |
31 |
41 |
39 |
46 |
43 |
34 |
38 |
42 |
35 |
39 |
44 |
40 |
41 |
|
x3 |
30 |
29 |
35 |
40 |
40 |
48 |
50 |
52 |
59 |
54 |
60 |
70 |
70 |
75 |
|
y |
20 |
24 |
28 |
30 |
31 |
33 |
34 |
37 |
38 |
40 |
41 |
43 |
45 |
48 |
Вариант 2
|
x1 |
55 |
46 |
40 |
39 |
35 |
29 |
31 |
75 |
68 |
66 |
60 |
54 |
59 |
53 |
|
x2 |
33 |
42 |
45 |
38 |
40 |
30 |
32 |
40 |
39 |
43 |
38 |
34 |
41 |
37 |
|
x3 |
50 |
45 |
39 |
40 |
34 |
30 |
30 |
74 |
69 |
66 |
59 |
54 |
60 |
52 |
|
y |
33 |
32 |
30 |
29 |
27 |
23 |
19 |
47 |
44 |
42 |
40 |
39 |
37 |
36 |
Вариант 3
|
x1 |
48 |
57 |
55 |
61 |
56 |
62 |
68 |
70 |
77 |
42 |
41 |
37 |
31 |
33 |
|
x2 |
44 |
35 |
39 |
43 |
36 |
40 |
45 |
41 |
42 |
47 |
40 |
42 |
32 |
34 |
|
x3 |
47 |
56 |
54 |
62 |
56 |
62 |
67 |
70 |
76 |
42 |
40 |
37 |
30 |
32 |
|
y |
34 |
35 |
38 |
39 |
41 |
42 |
44 |
46 |
49 |
32 |
31 |
29 |
25 |
21 |
Вариант 4
|
x1 |
52 |
54 |
45 |
39 |
38 |
34 |
28 |
30 |
74 |
67 |
65 |
59 |
53 |
58 |
|
x2 |
36 |
32 |
41 |
44 |
37 |
39 |
29 |
31 |
39 |
38 |
42 |
37 |
33 |
40 |
|
x3 |
52 |
53 |
45 |
38 |
38 |
34 |
28 |
31 |
73 |
66 |
65 |
60 |
52 |
57 |
|
y |
35 |
32 |
31 |
29 |
28 |
26 |
22 |
18 |
46 |
43 |
41 |
39 |
33 |
36 |
Вариант 5
|
x1 |
43 |
49 |
58 |
56 |
62 |
57 |
63 |
69 |
71 |
78 |
34 |
32 |
38 |
42 |
|
x2 |
48 |
45 |
36 |
40 |
44 |
37 |
41 |
46 |
42 |
43 |
35 |
33 |
43 |
41 |
|
x3 |
42 |
48 |
58 |
55 |
61 |
56 |
62 |
70 |
70 |
78 |
35 |
32 |
38 |
41 |
|
y |
33 |
35 |
36 |
39 |
40 |
42 |
43 |
45 |
47 |
50 |
22 |
26 |
30 |
32 |
Вариант 6
|
x1 |
52 |
57 |
51 |
53 |
44 |
38 |
37 |
33 |
27 |
29 |
73 |
66 |
64 |
58 |
|
x2 |
32 |
39 |
35 |
31 |
40 |
43 |
36 |
38 |
28 |
30 |
38 |
37 |
41 |
36 |
|
x3 |
52 |
56 |
50 |
53 |
45 |
37 |
37 |
32 |
28 |
30 |
72 |
66 |
64 |
59 |
|
y |
37 |
35 |
34 |
31 |
30 |
28 |
27 |
25 |
21 |
17 |
45 |
42 |
40 |
38 |
Вариант 7
|
x1 |
39 |
43 |
44 |
50 |
59 |
57 |
63 |
58 |
64 |
70 |
72 |
79 |
35 |
33 |
|
x2 |
44 |
42 |
49 |
46 |
37 |
41 |
45 |
38 |
42 |
47 |
43 |
44 |
36 |
34 |
|
x3 |
45 |
42 |
50 |
46 |
38 |
40 |
45 |
39 |
41 |
48 |
43 |
44 |
35 |
34 |
|
y |
31 |
33 |
34 |
36 |
37 |
40 |
41 |
43 |
44 |
46 |
48 |
51 |
23 |
27 |
Вариант 8
|
x1 |
63 |
57 |
51 |
56 |
50 |
52 |
43 |
37 |
36 |
32 |
26 |
28 |
72 |
65 |
|
x2 |
40 |
35 |
31 |
38 |
34 |
30 |
39 |
42 |
35 |
37 |
27 |
29 |
37 |
36 |
|
x3 |
39 |
38 |
35 |
35 |
32 |
31 |
28 |
28 |
25 |
25 |
21 |
15 |
45 |
40 |
|
y |
39 |
37 |
36 |
34 |
33 |
30 |
29 |
27 |
26 |
24 |
20 |
16 |
44 |
41 |
Вариант 9
|
x1 |
64 |
59 |
65 |
71 |
73 |
80 |
36 |
34 |
40 |
44 |
45 |
51 |
60 |
58 |
|
x2 |
46 |
39 |
43 |
48 |
44 |
45 |
37 |
35 |
45 |
43 |
50 |
47 |
38 |
42 |
|
x3 |
50 |
40 |
50 |
55 |
50 |
60 |
35 |
34 |
42 |
41 |
48 |
49 |
50 |
50 |
|
y |
42 |
44 |
45 |
47 |
49 |
52 |
24 |
28 |
32 |
34 |
35 |
37 |
38 |
41 |
Вариант 10
|
x1 |
46 |
52 |
61 |
59 |
65 |
60 |
66 |
72 |
74 |
81 |
37 |
35 |
41 |
45 |
|
x2 |
51 |
48 |
39 |
43 |
47 |
40 |
44 |
49 |
45 |
46 |
38 |
36 |
46 |
44 |
|
x3 |
46 |
52 |
60 |
58 |
64 |
61 |
65 |
72 |
74 |
80 |
38 |
34 |
40 |
44 |
|
y |
36 |
38 |
39 |
42 |
43 |
45 |
46 |
48 |
50 |
53 |
25 |
29 |
33 |
35 |
Лабораторная работа №4
Проверка адекватности модели регрессии
по особенностям остаточных величин
Практические рекомендации к выполнению задания
Представлены данные о доходах по акциям x и балансовой прибыли y по 11 предприятиям одной отрасли, ден. ед.
|
x |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
15 |
20 |
30 |
|
y |
12 |
13 |
20 |
19 |
31 |
24 |
41 |
28 |
52 |
55 |
103 |
Задание
Проверить выполнение следующих требований:
1. Для проверки случайности ряда остатков можно использовать критерий поворотных точек (пиков). Предварительно составляют таблицу данных:
|
… |
|||
|
… |
Точка считается поворотной, если выполняются следующие условия
или . (5.1)
Далее подсчитывается число поворотных точек p. Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение равенства
, (5.2)
где – целая часть числа. Если неравенство выполняется, то модель считается адекватной.
Пусть расчет регрессии дал следующие результаты
,
|
x |
y |
Остатки |
||
|
3 |
12 |
9,165277 |
2,834723 |
|
|
4 |
13 |
12,39552 |
0,604484 |
|
|
5 |
20 |
15,62576 |
4,374245 |
|
|
7 |
19 |
22,08623 |
-3,086233 |
|
|
8 |
31 |
25,31647 |
5,683528 |
|
|
10 |
24 |
31,77695 |
-7,77695 |
|
|
11 |
41 |
35,00719 |
5,992811 |
|
|
12 |
28 |
38,23743 |
-10,237428 |
|
|
15 |
52 |
47,92815 |
4,071855 |
|
|
20 |
55 |
64,07934 |
-9,07934 |
|
|
30 |
103 |
96,38173 |
6,61827 |
|
|
Среднее |
-3,18182E-06 |
Цветом выделены поворотные точки. Их всего 9, в этом легко убедиться, если просмотреть пики графика (значения фактора x должны быть отсортированы по возрастанию)
.
Неравенство верное, остатки признаем случайными.
2. Для проверки равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю вычисляется среднее значение ряда остатков
. (5.3)
Если , то считается, что модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего. Если , то проверяется гипотеза о равенстве нулю математического ожидания. Для этого вычисляют t-критерий Стъюдента по формуле
, (5.4)
где – среднее квадратическое отклонение ряда остатков, , m – число параметров при переменной x.
Значение t-критерия сравнивают с табличным при заданном уровне значимости. Если выполняется неравенство , то модель неадекватна по данному критерию.
По расчетам , то есть по данному пункту модель признаем адекватной.
3. Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществляют с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона. Расчетное значение критерия определяется по формуле
(5.6)
и сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то гипотеза о независимости остатков отвергается, и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков.
2) Если , включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований делать тот или иной вывод.
3) Если , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.
4) Если , то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле и сравнивать с критическим значением не d, а .
Составляем вспомогательную таблицу:
|
x |
y |
y~ |
Остатки ε |
|||
|
3 |
12 |
9,165277 |
2,834723 |
8,035654 |
||
|
4 |
13 |
12,39552 |
0,604484 |
4,973965997 |
0,365400906 |
|
|
5 |
20 |
15,62576 |
4,374245 |
14,211098 |
19,13401932 |
|
|
7 |
19 |
22,08623 |
-3,086233 |
55,65873199 |
9,52483413 |
|
|
8 |
31 |
25,31647 |
5,683528 |
76,908708 |
32,30249053 |
|
|
10 |
24 |
31,77695 |
-7,77695 |
181,184468 |
60,4809513 |
|
|
11 |
41 |
35,00719 |
5,992811 |
189,606318 |
35,91378368 |
|
|
12 |
28 |
38,23743 |
-10,237428 |
263,420658 |
104,8049321 |
|
|
15 |
52 |
47,92815 |
4,071855 |
204,75558 |
16,58000314 |
|
|
20 |
55 |
64,07934 |
-9,07934 |
172,9539299 |
82,43441484 |
|
|
30 |
103 |
96,38173 |
6,61827 |
246,4149597 |
43,80149779 |
|
|
Сумма |
1410,088418 |
413,3779817 |
Определяем значение . Критические значения критерия Дарбина-Уотсона находят по специальным таблицам для заданных объема наблюдений n и числа независимых переменных модели .
В нашем случае . Имеем отрицательную автокорреляцию остатков. Переходим к , .
Так как , модель признается неадекватной, остатки регрессии взаимозависимы. Уравнение регрессии не может быть использовано для прогнозирования. Автокорреляция в остатках может иметь разные причины. Возможно, форма связи неточна, или в уравнение не включен какой-либо существенный фактор.
Значения статистики Дарбина-Уотсона
на 5%-ном уровне значимости
|
n |
||||||||||
|
6 |
0,61 |
1,40 |
||||||||
|
7 |
0,70 |
1,36 |
0,47 |
1,90 |
||||||
|
8 |
0,76 |
1,33 |
0,56 |
1,78 |
0,37 |
2,29 |
||||
|
9 |
0,82 |
1,32 |
0,63 |
1,70 |
0,46 |
2,13 |
||||
|
10 |
0,88 |
1,32 |
0,70 |
1,64 |
0,53 |
2,02 |
||||
|
11 |
0,93 |
1,32 |
0,66 |
1,60 |
0,60 |
1,93 |
||||
|
12 |
0,97 |
1,33 |
0,81 |
1,58 |
0,66 |
1,86 |
||||
|
13 |
1,01 |
1,34 |
0,86 |
1,56 |
0,72 |
1,82 |
||||
|
14 |
1,05 |
1,35 |
0,91 |
1,55 |
0,77 |
1/78 |
||||
|
15 |
1,08 |
1,36 |
0,95 |
1,54 |
0,82 |
0,75 |
0,69 |
1,97 |
0,56 |
2,21 |
|
16 |
1,10 |
1,37 |
0,98 |
1,54 |
0,86 |
1,73 |
0,74 |
1,93 |
0,62 |
2,15 |
|
17 |
1,13 |
1,38 |
1,02 |
1,54 |
0,90 |
1,71 |
0,78 |
1,90 |
0,67 |
2,10 |
|
18 |
1,16 |
1,39 |
1,05 |
1,53 |
0,93 |
1,69 |
0,82 |
1,87 |
0,71 |
2,06 |
|
19 |
1,18 |
1,40 |
1,08 |
1,53 |
0,97 |
1,68 |
0,86 |
1,85 |
0,75 |
2,02 |
|
20 |
1,20 |
1,41 |
1,10 |
1,54 |
1,00 |
1,68 |
0,90 |
1,83 |
0,79 |
1,99 |
|
21 |
1,22 |
1,42 |
1,13 |
1,54 |
1,03 |
1,67 |
0,93 |
1,81 |
0,83 |
1,96 |
|
22 |
1,24 |
1,43 |
1,15 |
1,54 |
1,05 |
1,66 |
0,96 |
1,80 |
0,86 |
1,94 |
|
23 |
1,26 |
1,44 |
1,17 |
1,54 |
1,08 |
1,66 |
0,99 |
1,79 |
0,90 |
1,92 |
|
24 |
1,27 |
1,45 |
1,19 |
1,55 |
1,10 |
1,66 |
1,01 |
1,78 |
0,93 |
1,90 |
|
25 |
1,29 |
1,45 |
1,21 |
1,55 |
1,12 |
1,66 |
1,04 |
1,77 |
0,95 |
1,89 |
|
26 |
1,30 |
1,46 |
1,22 |
1,55 |
1,14 |
1,65 |
1,06 |
1,76 |
0,98 |
1,88 |
|
27 |
1,32 |
1,47 |
1,24 |
1,56 |
1,16 |
1,65 |
1,08 |
1,76 |
1,01 |
1,86 |
|
28 |
1,33 |
1,48 |
1,26 |
1,56 |
1,18 |
1,65 |
1,10 |
1,75 |
1,03 |
1,85 |
|
29 |
1,34 |
1,48 |
1,27 |
1,56 |
1,20 |
1,65 |
1,12 |
1,74 |
1,05 |
1,84 |
|
30 |
1,35 |
1,49 |
1,28 |
1,57 |
1,21 |
1,65 |
1,14 |
1,74 |
1,07 |
1,83 |
Задание
1. Провести проверку адекватности линейной регрессии, построенной в ЛР №1
2. Провести проверку адекватности множественной регрессии, построенной в ЛР №3
Лабораторная работа №5
Анализ построенной модели регрессии
на гетерокедастичность остатков
Практические рекомендации к выполнению задания
Представлены данные о доходах по акциям x и балансовой прибыли y по 11 предприятиям одной отрасли, ден. ед.
|
x |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
15 |
20 |
30 |
|
y |
12 |
13 |
20 |
19 |
31 |
24 |
41 |
28 |
52 |
55 |
103 |
Задание
1. Проверить гипотезу о наличии гетерокедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмена при доверительной вероятности 0,95.
2. Проверить гипотезу о гетерокедастичности с помощью теста Гольфельда-Квандта.
3. Дайте график зависимости остатков регрессии от фактора x.
4. Оцените количественно гетерокедастичность остатков с помощью теста Уайта.
5. Если гетерокедастичность обнаружена, попытаться сгладить ее с помощью обобщенного МНК.
Решение.
1) Суть проверки заключается в том, что в случае гетерокедастичности абсолютные остатки коррелированны со значениями фактора . Эту корреляцию можно измерить с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена:
,
где d – абсолютная разность между рангами и . Статистическая значимость коэффициента оценивается по критерию Стъюдента. Расчетное значение t-критерия вычисляется по формуле:
.
Данная величина сравнивается с критической величиной при и числе степеней свободы . Если , то корреляция между и статистически значима, т.е. имеет место гетерокедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об отсутствии гетерокедастичности остатков.
Прежде всего найдем уравнение линейной регрессии.
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
||||
|
Регрессионная статистика |
||||
|
Множественный R |
0,970082893 |
|||
|
R-квадрат |
0,941060819 |
|||
|
Нормированный R-квадрат |
0,934512021 |
|||
|
Стандартная ошибка |
6,777232983 |
|||
|
Наблюдения |
11 |
|||
|
Дисперсионный анализ |
||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
|
Регрессия |
1 |
6600,258 |
6600,258 |
143,6998 |
|
Остаток |
9 |
413,378 |
45,93089 |
|
|
Итого |
10 |
7013,636 |
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
Y-пересечение |
-0,525438344 |
3,681329 |
-0,14273 |
0,889647 |
|
x |
3,230238574 |
0,269468 |
11,98748 |
7,77E-07 |
Уравнение регрессии .
Чтобы рассчитать параметр , составим вспомогательную таблицу. Рангом величин, выстроенных в упорядоченный ряд, называется порядковый номер по возрастанию. Переменная x в условиях уже упорядочена. Ранги остатков предстоит найти либо вручную, либо с помощью функции Ранг.
|
x |
y |
Остатки |
Ранг x |
Ранг |
d |
d2 |
|||
|
3 |
12 |
9,165277 |
2,834723 |
2,834723 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
4 |
13 |
12,39552 |
0,604484 |
0,604484 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
5 |
20 |
15,62576 |
4,374245 |
4,374245 |
3 |
5 |
2 |
4 |
|
|
7 |
19 |
22,08623 |
-3,086233 |
3,086233 |
4 |
3 |
1 |
1 |
|
|
8 |
31 |
25,31647 |
5,683528 |
5,683528 |
5 |
6 |
1 |
1 |
|
|
10 |
24 |
31,77695 |
-7,77695 |
7,77695 |
6 |
9 |
3 |
9 |
|
|
11 |
41 |
35,00719 |
5,992811 |
5,992811 |
7 |
7 |
0 |
0 |
|
|
12 |
28 |
38,23743 |
-10,237428 |
10,237428 |
8 |
11 |
3 |
9 |
|
|
15 |
52 |
47,92815 |
4,071855 |
4,071855 |
9 |
4 |
5 |
25 |
|
|
20 |
55 |
64,07934 |
-9,07934 |
9,07934 |
10 |
10 |
0 |
0 |
|
|
30 |
103 |
96,38173 |
6,61827 |
6,61827 |
11 |
8 |
3 |
9 |
|
|
Среднее |
-3,18182E-06 |
||||||||
|
Сумма |
60 |
Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен . Для оценки его статистической значимости найдем расчетное значение критерия Стъюдента . По функции СТЪЮДРАСПОБР (вероятность 0,05, степеней свободы n-2) находим соответствующее критическое значение Стъюдента . Делаем вывод о наличии гетерокедастичности в остатках регрессии.
2) Применим тест Гольдфельда-Квандта для подтверждения гетерокедастичности остатков.
В расчетной таблице разделим исходные данные на две примерно равные группы (верхнюю и нижнюю).
|
x |
y |
Остатки |
|
|
3 |
12 |
9,165277 |
2,834723 |
|
4 |
13 |
12,39552 |
0,604484 |
|
5 |
20 |
15,62576 |
4,374245 |
|
7 |
19 |
22,08623 |
-3,086233 |
|
8 |
31 |
25,31647 |
5,683528 |
|
10 |
24 |
31,77695 |
-7,77695 |
|
11 |
41 |
35,00719 |
5,992811 |
|
12 |
28 |
38,23743 |
-10,237428 |
|
15 |
52 |
47,92815 |
4,071855 |
|
20 |
55 |
64,07934 |
-9,07934 |
|
30 |
103 |
96,38173 |
6,61827 |
Построим линейную регрессию по каждой группе.
Для верхней группы
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
||||
|
Регрессионная статистика |
||||
|
Множественный R |
0,890348 |
|||
|
R-квадрат |
0,79272 |
|||
|
Нормированный R-квадрат |
0,723627 |
|||
|
Стандартная ошибка |
3,986411 |
|||
|
Наблюдения |
5 |
|||
|
Дисперсионный анализ |
||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
|
Регрессия |
1 |
182,3256 |
182,3256 |
11,47317 |
|
Остаток |
3 |
47,67442 |
15,89147 |
|
|
Итого |
4 |
230 |
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
Y-пересечение |
1,418605 |
5,488159 |
0,258485 |
0,812752 |
|
Переменная X 1 |
3,255814 |
0,961209 |
3,387207 |
0,042863 |
Из всего объема данных нам необходима только остаточная дисперсия , которая в протоколе регресс обозначена как остаточная SS. .
Для нижней группы
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,964861689 |
||||
|
R-квадрат |
0,930958079 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,913697599 |
||||
|
Стандартная ошибка |
8,389255527 |
||||
|
Наблюдения |
6 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
3795,982 |
3795,982 |
53,93582 |
0,00183 |
|
Остаток |
4 |
281,5184 |
70,37961 |
||
|
Итого |
5 |
4077,5 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
|
Y-пересечение |
-8,661290323 |
8,753454 |
-0,98947 |
0,378445 |
-32,9648 |
|
Переменная X 1 |
3,622119816 |
0,493201 |
7,344101 |
0,00183 |
2,252774 |
.
Расчетное значение теста получается как отношение большей остаточной дисперсии к меньшей. . Критической значение теста получаем по функции FРАСПОБР, в которой число степеней свободы равно
n-2, в данном случае оно равно 6,59. Поскольку расчетное значение больше критического, остатки признаются гетерокедастичными.
3) Применим тест Уайта, чтобы количественно оценить зависимость дисперсии остатков от значений фактора x.
В эконометрических исследованиях достаточно часто выдвигается гипотеза о том, что
Параметры этих регрессии можно найти МНК. Составим расчетную таблицу.
|
x |
y |
Остатки |
||
|
3 |
12 |
9,165277 |
2,834723 |
8,035654487 |
|
4 |
13 |
12,39552 |
0,604484 |
0,365400906 |
|
5 |
20 |
15,62576 |
4,374245 |
19,13401932 |
|
7 |
19 |
22,08623 |
-3,086233 |
9,52483413 |
|
8 |
31 |
25,31647 |
5,683528 |
32,30249053 |
|
10 |
24 |
31,77695 |
-7,77695 |
60,4809513 |
|
11 |
41 |
35,00719 |
5,992811 |
35,91378368 |
|
12 |
28 |
38,23743 |
-10,237428 |
104,8049321 |
|
15 |
52 |
47,92815 |
4,071855 |
16,58000314 |
|
20 |
55 |
64,07934 |
-9,07934 |
82,43441484 |
|
30 |
103 |
96,38173 |
6,61827 |
43,80149779 |
Для регрессии пользуемся Сервис/Анализ данных/Регрессия/…Поставить флажок «Константа-нуль».
Получаем протокол
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,304158793 |
||||
|
R-квадрат |
0,092512571 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
-0,01859854 |
||||
|
Стандартная ошибка |
6,104515756 |
||||
|
Наблюдения |
10 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
34,19047 |
34,19047084 |
0,917493 |
0,366182 |
|
Остаток |
9 |
335,386 |
37,26511262 |
||
|
Итого |
10 |
369,5765 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
Y-пересечение |
0 |
#Н/Д |
#Н/Д |
#Н/Д |
|
|
Переменная X |
-0,172201879 |
0,179778 |
-0,957858421 |
0,363156 |
|
Результат неудовлетворительный. коэффициент детерминации всего 0,09.
Аналогично строим регрессию , взяв в качестве входного интервала Y столбец . Получаем протокол
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,864535947 |
||||
|
R-квадрат |
0,747422404 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,636311293 |
||||
|
Стандартная ошибка |
26,25750385 |
||||
|
Наблюдения |
10 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
18362,0291 |
18362,0291 |
26,632614 |
0,000862939 |
|
Остаток |
9 |
6205,108576 |
689,4565085 |
||
|
Итого |
10 |
24567,13768 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
Y-пересечение |
0 |
#Н/Д |
#Н/Д |
#Н/Д |
|
|
Переменная X 1 |
3,990668767 |
0,773283573 |
5,160679613 |
0,0005945 |
|
В данном уравнении достаточная степень детерминации – 0,74, кроме того значимость по критерию Фишера не превосходит допустимые 5% ошибки в расчетах. Принимаем гипотезу о том, что дисперсия остатков прямопропорциональна самим значениям x.
Для проверки гипотезы о квадратичной зависимости решают методом определителей систему уравнений (см. ЛР Нелинейная регрессия):
Определяют индекс корреляции . О наличии или отсутствии гетерокедастичности судят по величине F-критерия Фишера для функции , . При выполнении условия имеет место гетерокедастичность остатков и количественно она выражена значением . По данному расчету предположение о квадратичной зависимости дисперсии остатков от значений x не проверяем (поскольку принята гипотеза ).
5) Улучшим модель, смягчив гетерокедастичность, пользуясь обобщенным методом наименьших квадратов. Если , тогда сами остатки пропорциональны .
Чтобы избавиться от этого, разделим уравнение линейной регрессии на . Получим преобразованное уравнение регрессии, в котором можно сделать замену переменной:
. Пусть , , . Тогда .
Построим вспомогательную таблицу
|
x |
y |
X |
z |
Y |
|
3 |
12 |
1,732051 |
0,577350269 |
6,92820323 |
|
4 |
13 |
2 |
0,5 |
6,5 |
|
5 |
20 |
2,236068 |
0,447213595 |
8,94427191 |
|
7 |
19 |
2,645751 |
0,377964473 |
7,181324987 |
|
8 |
31 |
2,828427 |
0,353553391 |
10,96015511 |
|
10 |
24 |
3,162278 |
0,316227766 |
7,589466384 |
|
11 |
41 |
3,316625 |
0,301511345 |
12,36196513 |
|
12 |
28 |
3,464102 |
0,288675135 |
8,082903769 |
|
15 |
52 |
3,872983 |
0,25819889 |
13,42634227 |
|
20 |
55 |
4,472136 |
0,223606798 |
12,29837388 |
|
30 |
103 |
5,477226 |
0,182574186 |
18,80514114 |
Протокол регрессионного анализа имеет вид:
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
||||
|
Регрессионная статистика |
||||
|
Множественный R |
0,986894 |
|||
|
R-квадрат |
0,9739597 |
|||
|
Нормированный R-квадрат |
0,8599553 |
|||
|
Стандартная ошибка |
1,9415488 |
|||
|
Наблюдения |
11 |
|||
|
Дисперсионный анализ |
||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
|
Регрессия |
2 |
1268,921 |
634,4607182 |
168,3092927 |
|
Остаток |
9 |
33,92651 |
3,769611932 |
|
|
Итого |
11 |
1302,848 |
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
Y-пересечение |
0 |
#Н/Д |
#Н/Д |
#Н/Д |
|
X |
3,02343 |
0,296117 |
10,21024561 |
3,00843E-06 |
|
z |
1,8246585 |
2,72558 |
0,669456856 |
0,520006975 |
Получаем уравнение регрессии . Или .
Показатели статистической значимости уравнения регрессии улучшены. Увеличился коэффициент детерминации с 94% до 97%. Существенно уменьшилась остаточная дисперсия с 413 ед. до 33 ед.
Задание:
По своим данным ЛР1 выполнить анализ гетерокедастичности остатков. А именно:
1. Проверить гипотезу о наличии гетерокедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмена при доверительной вероятности 0,95.
2. Проверить гипотезу о гетерокедастичности с помощью теста Гольфельда-Квандта.
3. Оцените количественно гетерокедастичность остатков.
4. При наличии гетерокедастичности, применить обобщенный МНК для ее сглаживания.
Лабораторная работа №6
Анализ динамики временных рядов
Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют:
Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбирать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получаются базисные показатели.
1. Для выражения абсолютной скорости роста или снижения уровней ряда вычисляют абсолютный прирост. Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Так, для цепных приростов, используется формула:
.
2. Интенсивность изменения уровней ряда оценивается отношением текущего уровня к предыдущему или базисному. Этот показатель принято называть темпом роста:
.
3. Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда в относительных величинах используется темп прироста, который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или к базисному уровню:
или .
Также справедлива формула .
Особое внимание уделяют расчетам средних показателей рядов динамики, среди них различают:
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями наиболее тесная. Причем,
Выбор уравнения тренда
При выборе уравнения тренда необходимо руководствоваться принципом простоты. Чем сложнее уравнение линии тренда и чем большее число параметров содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этим параметрам.
На практике чаще всего используют следующие основные виды трендов временных рядов:
Для правильного выбора типа тренда, который наилучшим способом отражает тенденцию фактического ряда уровней, следует руководствоваться слудующим:
– начиная от нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая;
– затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду;
– далее, в завершающей части цикла рост замедляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.
Если графического анализа недостаточно, то необходимо провести дополнительное исследование:
1) Чтобы снизить искажающее тренд влияние циклических колебаний, проводят сглаживание ряда методом скользящего выравнивания.
2) Исходный (или сглаженный) ряд разбивают на несколько равных или примерно равных подпериодов, и по каждому вычисляют среднюю величину цепных абсолютных приростов . Если она будет постоянной для всех подпериодов, то выбирают линейную форму тренда.
3) Сглаженный ряд разбивают на несколько равных или примерно равных подпериодов, и по каждому вычисляют среднюю величину цепных относительных изменений (темпов прироста) . Если она будет постоянной на всех подпериодах, то выбирают экспоненциальную форму тренда.
4) Если по подпериодам постоянным будет среднее ускорение уровней , то в качестве тренда следует выбрать параболу.
5) Если ни один из предложенных параметров не имеет постоянной тенденции, то можно с помощью t-критерия Стъюдента проверить гипотезу о существенности различия средних значений параметра в разных подпериодах ряда.
Пример1
Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за несколько лет (млн.$ в сопоставимых ценах).
|
Время, t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Размер депозитов, y |
2 |
6 |
7 |
3 |
10 |
12 |
13 |
Задание.
Обосновать и построить тренд данного ряда. Оценить достоверность модели.
На основании приближенно постоянного среднего абсолютного прироста можно выбрать линейную форму для описания основной тенденции данного ряда. Параметры a и b, а также коэффициент детерминации можно найти следующими способами
Результаты двух способов ниже:
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,866025404 |
||||
|
R-квадрат |
0,75 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,7 |
||||
|
Стандартная ошибка |
2,342160175 |
||||
|
Наблюдения |
7 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
82,285714 |
82,28571 |
15 |
0,011725 |
|
Остаток |
5 |
27,428571 |
5,485714 |
||
|
Итого |
6 |
109,71429 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
|
|
|
Y-пересечение |
0,714285714 |
1,9794866 |
0,360844 |
||
|
t |
1,714285714 |
0,4426267 |
3,872983 |
|
|
Таким образом, модель временного ряда имеет вид , и она достоверна на 75%.
Пример 2
Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса (кг) за 7 месяцев. Обосновать и построить тренд данного ряда. Оценить достоверность модели.
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
y |
8,16 |
8,25 |
8,41 |
8,76 |
9,2 |
9,78 |
10,1 |
Графический анализ:
Анализ цепных абсолютных изменений и темпов изменения уровней ряда:
|
t |
y |
Абсолют ный прирост Δ |
Средний абсолютный прирост по подпериодам |
Темпы прироста |
Средний темп прироста |
|
|
1 |
8,16 |
|||||
|
2 |
8,25 |
0,09 |
0,011029 |
|||
|
3 |
8,41 |
0,16 |
0,2 |
0,019394 |
0,024013 |
|
|
4 |
8,76 |
0,35 |
0,041617 |
|||
|
5 |
9,2 |
0,44 |
0,050228 |
|||
|
6 |
9,78 |
0,58 |
0,446667 |
0,063043 |
0,048664 |
|
|
7 |
10,1 |
0,32 |
0,03272 |
Выбираем экспоненциальный тренд , поскольку обнаружилось большее сходство именно в средних темпах прироста.
Построенная модель достоверна на 95,78%. Поскольку , то тренд выражает тенденцию усиливающегося замедления роста уровней.
Задания.
Вариант 1
Имеются следующие данные об активах коммерческого банка в одном из регионов за 2003 год на первое число каждого месяца
Определите
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированнно подобрать линию тренда.
Вариант 2
Остатки вкладов населения в сбербанках города в 2003 году характеризуются следующими данными на 1-е число месяца
Определите
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 3
Списочная численность работников фирмы в 2003 году составила на 1-е число месяца (чел)
|
Январь |
Февраль |
Март |
Апрель |
Май |
Июнь |
Июль |
Август |
Сентябрь |
Октябрь |
Ноябрь |
Декабрь |
Январь 2004 |
|
347 |
350 |
349 |
351 |
345 |
349 |
357 |
359 |
351 |
352 |
359 |
353 |
360 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 4
Имеются следующие данные по объединению о производстве промышленной продукции за 1998-3003 гг в сопоставимых ценах (млн руб):
|
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
|
67,7 |
73,2 |
75,7 |
77,9 |
81,9 |
84,4 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 5
Имеются следующие данные о производстве молока в России за 1995-2000 гг. (млн т):
|
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
|
39,2 |
35,8 |
34,1 |
33,3 |
32,3 |
32,3 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 6
Ввод в действие жилых домов предприятиями всех форм собственности в одном из регионов в 1996-2003 гг. характеризуется следующими данными (млн кв. м. общей площади)
|
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
20 |
22 |
23 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 7
Производство электроэнергии в регионе в 1996-2003 гг. характеризуется следующими данными (млрд кВт/ч)
|
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
|
915 |
976 |
1038 |
1111 |
1150 |
1202 |
1239 |
1294 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 8
Имеются следующие данные о динамике браков и разводов в некотором городе:
|
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
|
|
Браки |
74,1 |
75,3 |
69,7 |
61,1 |
49,2 |
45,1 |
39,7 |
48 |
|
Разводы |
15 |
11,8 |
10,5 |
7,6 |
7,3 |
6,7 |
6,6 |
6,8 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 9
Имеются данные об общем объеме розничного товарооборота региона по месяцам 2003 года (млрд руб)
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
22,8 |
24,9 |
31 |
29,5 |
30,5 |
35,6 |
36,4 |
42,6 |
45,1 |
47,3 |
51 |
53,4 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 10
Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области (ц/га)
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
10,2 |
10,7 |
11,7 |
13,1 |
14,9 |
17,2 |
20 |
23,2 |
Определите:
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Лабораторная работа №7
Моделирование временных рядов
с сезонными колебаниями
Модель временного ряда с сезонными колебаниями можно рассматривать в следующих возможных формах:
, ,
где T – регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд),
S – сезонная компонента (внутригодичные колебания), в общем случае – циклическая составляющая,
E – случайная компонента (случайные отклонения).
Расчет сезонной составляющей.
Проверку на наличие или отсутствие сезонных колебаний можно провести визуально при построении графика или при анализе коррелограммы. Если наиболее высоким по сравнению с другими (кроме ) оказался коэффициент автокорреляции порядка k, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в k моментов времени.
Пример 1.
Провести анализ коррелограммы по следующим данным спроса на прохладительные напитки за последовательные 16 кварталов
|
№ квартала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
Спрос y |
60 |
100 |
120 |
39 |
75 |
119 |
139 |
44 |
89 |
160 |
199 |
60 |
90 |
200 |
260 |
80 |
Очевидно наличие циклических колебаний. С помощью функции Корелл находим коэффициенты автокорреляции. Максимальный лаг должен быть не больше n/4, в нашем случае – не больше 4. Результаты расчета приведены в таблице
|
0,138485 |
-0,49654 |
0,054228 |
0,985546 |
Наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции четвертого порядка, т.е. период колебаний равен 4.
Значения сезонной компоненты рассчитывают методом скользящей средней и построением аддитивной или мультипликативной модели.
Аддитивную модель применяют в том случае, если амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.
Если происходят существенные изменения амплитуды сезонных колебаний, то для моделирования временного ряда применяют мультипликативную модель .
Процесс построения модели проводят в следующей последовательности:
Если полученные значения не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Пример.
Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту в России за 5 лет. Построить мультипликативную модель временного ряда.
Рассчитаем период колебаний.
|
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
|
0,544397543 |
0,02207 |
0,029835 |
0,256621 |
-0,30614 |
Вывод: из всех коэффициентов автокорреляции (кроме ) самое высокое значение (по модулю) – у . Моделируем сезонные колебания с периодом 5.
|
t |
y |
Скользящая средняяя за 5 кварталов (СС) |
центрированная скользящая средняя (ЦСС) |
Сезонная компо нента |
|
1 |
100 |
|||
|
2 |
93,9 |
|||
|
3 |
96,5 |
100 |
||
|
4 |
101,8 |
99,26 |
99,63 |
1,021780588 |
|
5 |
107,8 |
99,62 |
99,44 |
1,084070796 |
|
6 |
96,3 |
99,96 |
99,79 |
0,965026556 |
|
7 |
95,7 |
100,4 |
100,18 |
0,955280495 |
|
8 |
98,2 |
98,64 |
99,52 |
0,986736334 |
|
9 |
104 |
99,14 |
98,89 |
1,051673577 |
|
10 |
99 |
101,8 |
100,47 |
0,985368767 |
|
11 |
98,8 |
104,78 |
103,29 |
0,956530158 |
|
12 |
109 |
103,66 |
104,22 |
1,045864517 |
|
13 |
113,1 |
103,32 |
103,49 |
1,092859213 |
|
14 |
98,4 |
103,98 |
103,65 |
0,94934877 |
|
15 |
97,3 |
101,7 |
102,84 |
0,946129911 |
|
16 |
102,1 |
95,82 |
98,76 |
1,03381936 |
|
17 |
97,6 |
93 |
94,41 |
1,033788794 |
|
18 |
83,7 |
91,22 |
92,11 |
0,908696124 |
|
19 |
84,3 |
|||
|
20 |
88,4 |
|||
|
Сумма |
15,01697396 |
Откорректируем сезонную компоненту, в мультипликативной модели суммарная сезонная компонента должна быть равна величине периода, т.е. 5. Разделим весь объем данных на группы кварталов с одинаковым номером в своем периоде.
|
Группа |
Кварталы |
Сезонная компонента S |
Средняя S по группе |
Корректи рующий коэффициент k |
Скорректи рованая сезонная компонента S*k |
|
I |
1 |
1,001131597 |
|||
|
6 |
0,96502656 |
||||
|
11 |
0,95653016 |
0,985125 |
0,98624012 |
||
|
16 |
1,03381936 |
||||
|
II |
2 |
||||
|
7 |
0,9552805 |
||||
|
12 |
1,04586452 |
1,011645 |
1,01278938 |
||
|
17 |
1,03378879 |
||||
|
III |
3 |
||||
|
8 |
0,98673633 |
||||
|
13 |
1,09285921 |
0,996097 |
0,99722441 |
||
|
18 |
0,90869612 |
||||
|
IV |
4 |
1,02178059 |
|||
|
9 |
1,05167358 |
||||
|
14 |
0,94934877 |
1,007601 |
1,00874118 |
||
|
19 |
|||||
|
V |
5 |
1,0840708 |
|||
|
10 |
0,98536877 |
||||
|
15 |
0,94612991 |
1,00519 |
1,00632729 |
||
|
20 |
|||||
|
Сумма |
5,01132238 |
Примечание. Корректирующий коэффициент равен средней арифметической всех средних сезонных компонент, вычисленных по группам.
Уравнение параболического тренда подобрано при построении графика в меню Диаграмма: .
Продолжим расчеты в таблице
|
t |
y |
Скорректи рованая сезонная компонента S*k |
Удаление из временного ряда сезонной составляющей y/(S*k) |
Тренд, вычисленный по данным с удаленной сезонной компонентой, Т |
T*(S*k) |
E=y/(T*(S*k)) |
E2 |
(y-yср)2 |
|
1 |
100 |
0,986240 |
101,3951 |
94,5768 |
93,2754 |
1,0720936 |
1,14938 |
2,9070 |
|
2 |
93,9 |
1,012789 |
92,71424 |
96,5888 |
97,8241 |
0,9598860 |
0,92138 |
19,316 |
|
3 |
96,5 |
0,997224 |
96,76859 |
98,327 |
98,0540 |
0,9841507 |
0,96855 |
3,2220 |
|
4 |
101,8 |
1,008741 |
100,9178 |
99,7914 |
100,663 |
1,0112881 |
1,02270 |
12,285 |
|
5 |
107,8 |
1,006327 |
107,1222 |
100,982 |
101,620 |
1,0608049 |
1,12530 |
90,345 |
|
6 |
96,3 |
0,986240 |
97,64356 |
101,8988 |
100,496 |
0,9582405 |
0,91822 |
3,9800 |
|
7 |
95,7 |
1,012789 |
94,49151 |
102,5418 |
103,853 |
0,9214926 |
0,84914 |
6,7340 |
|
8 |
98,2 |
0,997224 |
98,47332 |
102,911 |
102,625 |
0,9568784 |
0,91561 |
0,0090 |
|
9 |
104 |
1,008741 |
103,0987 |
103,0064 |
103,906 |
1,0008969 |
1,00179 |
32,547 |
|
10 |
99 |
1,006327 |
98,37753 |
102,828 |
103,478 |
0,9567193 |
0,91531 |
0,4970 |
|
11 |
98,8 |
0,986240 |
100,1784 |
102,3758 |
100,967 |
0,9785363 |
0,95753 |
0,2550 |
|
12 |
109 |
1,012789 |
107,6235 |
101,6498 |
102,949 |
1,0587680 |
1,12099 |
114,59 |
|
13 |
113,1 |
0,997224 |
113,4147 |
100,65 |
100,370 |
1,1268235 |
1,26973 |
219,18 |
|
14 |
98,4 |
1,008741 |
97,54732 |
99,3764 |
100,245 |
0,9815944 |
0,96352 |
0,0110 |
|
15 |
97,3 |
1,006327 |
96,68822 |
97,829 |
98,4479 |
0,98833909 |
0,97681 |
0,9900 |
|
16 |
102,1 |
0,986240 |
103,5244 |
96,0078 |
94,6867 |
1,0782924 |
1,16271 |
14,478 |
|
17 |
97,6 |
1,012789 |
96,36751 |
93,9128 |
95,1138 |
1,0261382 |
1,05296 |
0,4830 |
|
18 |
83,7 |
0,997224 |
83,93296 |
91,544 |
91,2899 |
0,9168592 |
0,84063 |
213,014 |
|
19 |
84,3 |
1,008741 |
83,56950 |
88,9014 |
89,6785 |
0,9400246 |
0,88364 |
195,86 |
|
20 |
88,4 |
1,006327 |
87,84418 |
85,985 |
86,5290 |
1,0216221 |
1,04371 |
97,911 |
|
Сумма |
20,0596 |
1028,6 |
||||||
|
Среднее |
98,2 |
Отношение суммы квадратов абсолютных ошибок к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:
.
Построенная модель достоверна на 99,05%.
Вычислим прогнозное значение величины розничного товарооборота в России во третьем квартале года, следующего после окончания статистических наблюдений. Имеем , , . Тогда
.
Рассмотрим методику построения аддитивной модели на примере.
Пример 2.
Имеются следующие данные об экспорте РФ нефтепродуктов за 2002-2005 гг. по данным Федеральной таможенной службы России:
|
Квартал |
Экспорт – всего (в страны дальнего зарубежья и СНГ), млн т. |
|||
|
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
|
|
I |
17,8 |
19,7 |
21,7 |
24 |
|
II |
20,2 |
20,8 |
24,1 |
27 |
|
III |
21,1 |
21,6 |
26,1 |
26,7 |
|
IV |
18,5 |
20,3 |
25,3 |
25,8 |
1) Применим методику скользящего выравнивания для дальнейшего создания аддитивной модели
|
Годы |
Квартал |
Объем экспорта y |
Итого за 4 квартала |
Скользящая средняя за 4 квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Сезонная компонента S |
|
2002 |
I |
17,8 |
– |
– |
– |
– |
|
II |
20,2 |
77,6 |
19,4 |
– |
– |
|
|
III |
21,1 |
79,5 |
19,9 |
19,65 |
21,1-19,65=1,45 |
|
|
IV |
18,5 |
80,1 |
20 |
19,95 |
18,5-19,95=-1,45 |
|
|
2003 |
I |
19,7 |
80,6 |
20,2 |
20,1 |
19,7-20,1=-0,4 |
|
II |
20,8 |
82,4 |
20,6 |
20,4 |
20,8-20,4=0,4 |
|
|
III |
21,6 |
84,4 |
21,1 |
20,85 |
21,6-20,85=0,75 |
|
|
IV |
20,3 |
87,7 |
21,9 |
21,5 |
20,3-21,5=-1,2 |
|
|
2004 |
I |
21,7 |
92,2 |
23,1 |
22,5 |
21,7-22,5=-0,8 |
|
II |
24,1 |
97,2 |
24,3 |
23,7 |
24,1-23,7=0,4 |
|
|
III |
26,1 |
99,5 |
24,9 |
24,6 |
26,1-24,6=1,5 |
|
|
IV |
25,3 |
102,4 |
25,6 |
25,25 |
25,3-25,25=0,05 |
|
|
2005 |
I |
24 |
103 |
25,8 |
25,7 |
24-25,7=-1,7 |
|
II |
27 |
103,5 |
25,9 |
25,85 |
27-25,85=1,15 |
|
|
III |
26,7 |
– |
– |
– |
– |
|
|
IV |
25,8 |
– |
– |
– |
– |
Полученная модель динамики экспорта может быть использована с некоторыми ограничениями. С I по III квартал наблюдается повышение экспорта, а в конце года – снижение показателя, однако центрированная средняя показывает только тенденцию повышения.
2) Продолжим расчеты значений сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Тем не менее, по данной модели имеем . Рассчитаем корректирующий коэффициент и найдем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.
|
Квартал |
Год |
Сезонная компонента S |
Итого за квартал по годам |
Средняя сезонная компонента за квартал |
Корректирующий коэффициент |
Скорректированная сезонная компонента |
|
I |
2002 |
– |
-2,9 |
-0,967 |
(-0,967+0,65+1,233-,867)/4=0,01225 |
-0,97925 |
|
2003 |
-0,4 |
|||||
|
2004 |
-0,8 |
|||||
|
2005 |
-1,7 |
|||||
|
II |
2002 |
– |
1,95 |
0,65 |
0,63775 |
|
|
2003 |
0,4 |
|||||
|
2004 |
0,4 |
|||||
|
2005 |
1,15 |
|||||
|
III |
2002 |
1,45 |
3,7 |
1,233 |
1,22075 |
|
|
2003 |
0,75 |
|||||
|
2004 |
1,5 |
|||||
|
2005 |
– |
|||||
|
IV |
2002 |
-1,45 |
-2,6 |
-0,867 |
-0,87925 |
|
|
2003 |
-1,2 |
|||||
|
2004 |
0,05 |
|||||
|
2005 |
– |
|||||
|
Итого |
0,049 |
0 |
3) Устраним сезонную компоненту из временного ряда, вычислим тренд и случайную составляющую
|
t |
y |
S |
y-S |
T |
T+S |
E=y-(T+S) |
E2 |
(y-yср)2 |
|
1 |
17,8 |
-0,9793 |
18,77925 |
18,2037 |
17,22445 |
0,57555 |
0,331258 |
22,09 |
|
2 |
20,2 |
0,63775 |
19,56225 |
18,7824 |
19,42015 |
0,77985 |
0,608166 |
5,29 |
|
3 |
21,1 |
1,22075 |
19,87925 |
19,3611 |
20,58185 |
0,51815 |
0,268479 |
1,96 |
|
4 |
18,5 |
-0,8793 |
19,37925 |
19,9398 |
19,06055 |
-0,5605 |
0,314216 |
16 |
|
5 |
19,7 |
-0,9793 |
20,67925 |
20,5185 |
19,53925 |
0,16075 |
0,025841 |
7,84 |
|
6 |
20,8 |
0,63775 |
20,16225 |
21,0972 |
21,73495 |
-0,9349 |
0,874132 |
2,89 |
|
7 |
21,6 |
1,22075 |
20,37925 |
21,6759 |
22,89665 |
-1,2966 |
1,681301 |
0,81 |
|
8 |
20,3 |
-0,8793 |
21,17925 |
22,2546 |
21,37535 |
-1,0753 |
1,156378 |
4,84 |
|
9 |
21,7 |
-0,9793 |
22,67925 |
22,8333 |
21,85405 |
-0,1540 |
0,023731 |
0,64 |
|
10 |
24,1 |
0,63775 |
23,46225 |
23,412 |
24,04975 |
0,05025 |
0,002525 |
2,56 |
|
11 |
26,1 |
1,22075 |
24,87925 |
23,9907 |
25,21145 |
0,88855 |
0,789521 |
12,96 |
|
12 |
25,3 |
-0,8793 |
26,17925 |
24,5694 |
23,69015 |
1,60985 |
2,591617 |
7,84 |
|
13 |
24 |
-0,9793 |
24,97925 |
25,1481 |
24,16885 |
-0,1688 |
0,02851 |
2,25 |
|
14 |
27 |
0,63775 |
26,36225 |
25,7268 |
26,36455 |
0,63545 |
0,403797 |
20,25 |
|
15 |
26,7 |
1,22075 |
25,47925 |
26,3055 |
27,52625 |
-0,8262 |
0,682689 |
17,64 |
|
16 |
25,8 |
-0,8793 |
26,67925 |
26,8842 |
26,00495 |
-0,2049 |
0,042005 |
10,89 |
|
Итого |
360,7 |
0 |
360,7 |
360,7032 |
360,7032 |
-0,0032 |
9,824166 |
136,75 |
Уравнение тренда выясняется в Excel функцией Линейн (для линейного тренда) или, что более удобно:
Вставка/Диаграмма/График/Добавить линию тренда/Отобразить уравнение тренда на экран. Результат может выглядеть следующим образом
Таким образом, имеем линейный тренд
,
где .
3) По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели, а также для выбора наилучшей модели используют сумму квадратов абсолютных ошибок . Для данной модели она равна 9,82. Средний уровень ряда равен 360,7/16=22,5 . Отношение суммы квадратов случайной компоненты к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:
.
Вывод: построенная аддитивная модель объясняет 92,8% общей вариации экспорта нефтепродуктов за 16 кварталов исследуемых четырех лет и ее можно использовать в прогнозах.
Вычислим прогнозное значение объема экспорта во втором квартале 2006 года. Имеем , , . Тогда
.
Задания по вариантам
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
||||
|
1 |
16 |
1 |
7 |
1 |
6 |
1 |
10 |
|
2 |
13 |
2 |
10 |
2 |
11 |
2 |
7 |
|
3 |
8 |
3 |
9 |
3 |
7 |
3 |
3 |
|
4 |
10 |
4 |
6 |
4 |
3 |
4 |
3 |
|
5 |
18 |
5 |
3 |
5 |
2 |
5 |
12 |
|
6 |
16 |
6 |
4 |
6 |
3 |
6 |
9 |
|
7 |
11 |
7 |
11 |
7 |
10 |
7 |
5 |
|
8 |
12 |
8 |
14 |
8 |
13 |
8 |
5 |
|
9 |
19 |
9 |
12 |
9 |
11 |
9 |
12 |
|
10 |
19 |
10 |
7 |
10 |
8 |
10 |
11 |
|
11 |
13 |
11 |
3 |
11 |
4 |
11 |
5 |
|
12 |
15 |
12 |
6 |
12 |
7 |
12 |
8 |
|
13 |
23 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
16 |
|
14 |
20 |
14 |
15 |
14 |
15 |
14 |
13 |
|
15 |
14 |
15 |
13 |
15 |
15 |
15 |
9 |
|
16 |
18 |
16 |
9 |
16 |
8 |
16 |
11 |
|
17 |
23 |
17 |
7 |
17 |
6 |
17 |
18 |
|
18 |
23 |
18 |
9 |
18 |
8 |
18 |
15 |
|
19 |
14 |
19 |
11 |
||||
|
20 |
19 |
20 |
13 |
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
||||
|
1 |
8 |
1 |
23 |
1 |
15 |
1 |
13 |
|
2 |
8 |
2 |
22 |
2 |
11 |
2 |
10 |
|
3 |
2 |
3 |
14 |
3 |
6 |
3 |
7 |
|
4 |
5 |
4 |
17 |
4 |
4 |
4 |
7 |
|
5 |
10 |
5 |
21 |
5 |
8 |
5 |
9 |
|
6 |
10 |
6 |
20 |
6 |
10 |
6 |
13 |
|
7 |
5 |
7 |
13 |
7 |
13 |
7 |
12 |
|
8 |
8 |
8 |
14 |
8 |
12 |
8 |
8 |
|
9 |
14 |
9 |
21 |
9 |
5 |
9 |
4 |
|
10 |
13 |
10 |
18 |
10 |
4 |
10 |
6 |
|
11 |
8 |
11 |
12 |
11 |
5 |
11 |
7 |
|
12 |
10 |
12 |
12 |
12 |
11 |
12 |
10 |
|
13 |
16 |
13 |
19 |
13 |
13 |
13 |
10 |
|
14 |
15 |
14 |
16 |
14 |
9 |
14 |
8 |
|
15 |
9 |
15 |
9 |
15 |
6 |
15 |
5 |
|
16 |
13 |
16 |
13 |
16 |
3 |
16 |
3 |
|
17 |
18 |
17 |
18 |
17 |
3 |
17 |
5 |
|
18 |
19 |
18 |
16 |
18 |
8 |
18 |
9 |
|
19 |
12 |
19 |
8 |
19 |
10 |
19 |
8 |
|
20 |
15 |
20 |
9 |
20 |
8 |
20 |
6 |
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
||
|
1 |
13 |
1 |
15 |
|
2 |
10 |
2 |
10 |
|
3 |
6 |
3 |
8 |
|
4 |
9 |
4 |
14 |
|
5 |
11 |
5 |
16 |
|
6 |
8 |
6 |
13 |
|
7 |
5 |
7 |
14 |
|
8 |
8 |
8 |
16 |
|
9 |
10 |
9 |
19 |
|
10 |
6 |
10 |
19 |
|
11 |
6 |
11 |
17 |
|
12 |
8 |
12 |
20 |
|
13 |
9 |
13 |
24 |
|
14 |
6 |
14 |
22 |
|
15 |
2 |
15 |
19 |
|
16 |
4 |
16 |
24 |
|
17 |
8 |
17 |
26 |
|
18 |
3 |
18 |
24 |
|
19 |
13,43 |
||
|
20 |
14,99 |
Лабораторная работа №8
Анализ взаимосвязи двух временных рядов
Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на некоторый товар по годам
|
год |
1985 |
1986 |
1987 |
1988 |
1989 |
1990 |
|
Расход, руб |
30 |
35 |
39 |
44 |
50 |
53 |
|
Доход, % к 1985 г |
100 |
103 |
105 |
109 |
115 |
118 |
Необходимо:
1. Построить уравнение линейной регрессии расходов от дохода, оцените его качество с помощью критерия Фишера и коэффициента детерминации. Оцените надежность параметров регрессии с помощью критерия Стъюдента. Оцените автокорреляцию остатков
а) с помощью коэффициентов автокорреляции;
б) по критерию Дарбина-Уотсона.
2. По исходным данным постройте уравнение регрессии, включив в него фактор времени, оцените его качество и надежность параметров. Оцените автокорреляцию в остатках.
3. По исходным данным постройте уравнение регрессии по первым разностям. Оцените автокорреляцию в остатках.
Справочный материал
Последовательность выявления автокорреляции
с помощью критерия Дарбина-Уотсона
Расчетное значение критерия определяется по формуле
(5.6)
и сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то гипотеза о независимости остатков отвергается, и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков.
2) Если , включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований делать тот или иной вывод (зона неопределенности).
3) Если , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.
4) Если , то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле и сравнивать с критическим значением не d, а .
На практике, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то предполагают наличие автокорреляции.
Уравнение линейной регрессии по уровням временных рядов
Уравнение регрессии и все статистические параметры получим по Анализ данных/Регрессия. Причем, в диалоговом окне ввода данных и параметров вывода можно поставить флажок на позиции Остатки, чтобы сразу получить значения :
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,991706944 |
||||
|
R-квадрат |
0,983482664 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,97935333 |
||||
|
Стандартная ошибка |
1,27038632 |
||||
|
Наблюдения |
6 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
384,3778 |
384,377807 |
238,16 |
0,000103 |
|
Остаток |
4 |
6,455526 |
1,613881402 |
||
|
Итого |
5 |
390,8333 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
Y-пересечение |
-93,21832884 |
8,766333 |
-10,6336741 |
0,000443 |
|
|
Доход, % к 1985 г |
1,246630728 |
0,080778 |
15,43275083 |
0,000103 |
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|||||
|
Наблюдение |
Предсказанное Расход, руб |
Остатки ε |
|||
|
1 |
31,44474394 |
-1,44474 |
2,087285039 |
||
|
2 |
35,18463612 |
-0,18464 |
0,034090496 |
1,587872 |
|
|
3 |
37,67789757 |
1,322102 |
1,747954825 |
2,270261 |
|
|
4 |
42,66442049 |
1,33558 |
1,78377264 |
0,000182 |
|
|
5 |
50,14420485 |
-0,1442 |
0,020795039 |
2,189762 |
|
|
6 |
53,88409704 |
-0,8841 |
0,781627567 |
0,54744 |
|
|
Сумма |
6,455525606 |
6,595517 |
Выводы:
Найдем коэффициенты автокорреляции остатков до порядка. Поскольку в этой задаче 6 наблюдений, ищем с помощью функции Коррел.
|
r1 |
r2 |
|
0,314389 |
-0,88749 |
Вывод: коэффициент автокорреляции второго порядка достаточно высок, что может указывать на невозможность использования линейного уравнения регрессии для прогнозирования.
Для окончательно проверки остатков регрессии на автокорреляцию, рассчитаем значение d-статистики Дарбина-Уотсона , получаем . Критические значения критерия (по таблице) . Поскольку выполняется неравенство , гипотеза о независимости остатков отклоняется, и модель признается неадекватной по данному критерию.
Уравнение регрессии по уровням временных рядов
с включенным фактором времени
Построим уравнение регрессии, включив в него фактор времени.
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,998347903 |
||||
|
R-квадрат |
0,996698535 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,994497558 |
||||
|
Стандартная ошибка |
0,655825836 |
||||
|
Наблюдения |
6 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2 |
389,5430108 |
194,7715 |
452,8437 |
0,0001 |
|
Остаток |
3 |
1,290322581 |
0,430108 |
||
|
Итого |
5 |
390,8333333 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
Y-пересечение |
-5,419354839 |
25,73678769 |
-0,21057 |
0,8467152 |
|
|
Доход, % к 1985 г |
0,322580645 |
0,269890331 |
1,195229 |
0,3178675 |
|
|
год |
3,516129032 |
1,014634504 |
3,465414 |
0,0404807 |
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|||||
|
Наблюдение |
Предсказанное Расход, руб |
Остатки |
|||
|
1 |
30,35483871 |
-0,35483871 |
0,125911 |
||
|
2 |
34,83870968 |
0,161290323 |
0,026015 |
0,2663892 |
|
|
3 |
39 |
-7,1054E-15 |
5,05E-29 |
0,0260146 |
|
|
4 |
43,80645161 |
0,193548387 |
0,037461 |
0,037461 |
|
|
5 |
49,25806452 |
0,741935484 |
0,550468 |
0,3007284 |
|
|
6 |
53,74193548 |
-0,74193548 |
0,550468 |
2,201873 |
|
|
1,290323 |
2,8324662 |
Выводы:
|
r1 |
r2 |
|
-0,61008 |
-0,24304 |
Уравнение регрессии по первым разностям
Ежегодные абсолютные приросты (первые разности) определяются по формулам , .
|
yt |
xt |
Δy |
Δx |
|
30 |
100 |
||
|
35 |
103 |
5 |
3 |
|
39 |
105 |
4 |
2 |
|
44 |
109 |
5 |
4 |
|
50 |
115 |
6 |
6 |
|
53 |
118 |
3 |
3 |
Если ряды динамики характеризуются линейной тенденцией, то модель можно построить в виде . Для подтверждения линейной тенденции найдем по каждому ряду коэффициенты автокорреляции первого порядка.
|
r1 для у |
r1 для x |
|
0,989571476 |
0,973773 |
Эти коэффициенты близки к единице, поэтому целесообразно моделировать взаимосвязь рядов по первым разностям. Если бы при невысоких значениях , достаточно высокими окажутся коэффициенты , есть смысл моделировать по вторым разностям .
Строим уравнение .
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,751809412 |
||||
|
R-квадрат |
0,565217391 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,420289855 |
||||
|
Стандартная ошибка |
0,868114732 |
||||
|
Наблюдения |
5 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
2,93913 |
2,93913 |
3,9 |
0,142772 |
|
Остаток |
3 |
2,26087 |
0,753623 |
||
|
Итого |
4 |
5,2 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
a |
2,565217391 |
1,101068 |
2,329754 |
0,102171 |
|
|
b |
0,565217391 |
0,286209 |
1,974842 |
0,142772 |
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|||||
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|||
|
1 |
4,260869565 |
0,73913 |
0,546314 |
||
|
2 |
3,695652174 |
0,304348 |
0,092628 |
0,189036 |
|
|
3 |
4,826086957 |
0,173913 |
0,030246 |
0,017013 |
|
|
4 |
5,956521739 |
0,043478 |
0,00189 |
0,017013 |
|
|
5 |
4,260869565 |
-1,26087 |
1,589792 |
1,701323 |
|
|
2,26087 |
1,924386 |
Выводы:
Вывод: таким образом, на данном этапе наиболее пригодным для прогнозирования считаем уравнение с включенным фактором времени.
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|||||||||||
|
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
|||
|
1 |
9,8 |
197,8 |
1 |
12,8 |
197,8 |
1 |
9,8 |
197,8 |
1 |
9,8 |
199,8 |
|||
|
2 |
13,0 |
188,9 |
2 |
14,0 |
188,9 |
2 |
12,0 |
189,9 |
2 |
13,0 |
188,9 |
|||
|
3 |
16,2 |
181,0 |
3 |
17,2 |
182,0 |
3 |
15,2 |
180,0 |
3 |
15,2 |
180,0 |
|||
|
4 |
19,4 |
172,1 |
4 |
18,4 |
171,1 |
4 |
16,4 |
172,1 |
4 |
18,4 |
173,1 |
|||
|
5 |
21,6 |
162,2 |
5 |
20,6 |
162,2 |
5 |
21,6 |
163,2 |
5 |
21,6 |
162,2 |
|||
|
6 |
20,7 |
155,4 |
6 |
21,7 |
154,4 |
6 |
20,7 |
155,4 |
6 |
23,7 |
155,4 |
|||
|
7 |
22,9 |
144,5 |
7 |
25,9 |
146,5 |
7 |
24,9 |
144,5 |
7 |
25,9 |
144,5 |
|||
|
8 |
27,1 |
135,6 |
8 |
25,1 |
137,6 |
8 |
26,1 |
135,6 |
8 |
26,1 |
135,6 |
|||
|
9 |
29,3 |
126,7 |
9 |
29,3 |
127,7 |
9 |
27,3 |
127,7 |
9 |
29,3 |
126,7 |
|||
|
10 |
29,5 |
117,8 |
10 |
32,5 |
119,8 |
10 |
30,5 |
119,8 |
10 |
32,5 |
119,8 |
|||
|
11 |
34,7 |
110,9 |
11 |
34,7 |
109,9 |
11 |
34,7 |
110,9 |
11 |
34,7 |
109,9 |
|||
|
12 |
33,8 |
100,1 |
12 |
36,8 |
102,1 |
12 |
36,8 |
100,1 |
12 |
35,8 |
100,1 |
|||
|
13 |
37,0 |
92,2 |
13 |
38,0 |
91,2 |
13 |
37,0 |
93,2 |
13 |
37,0 |
91,2 |
|||
|
14 |
40,2 |
83,3 |
14 |
39,2 |
83,3 |
14 |
38,2 |
82,3 |
14 |
39,2 |
82,3 |
|||
|
15 |
41,4 |
75,4 |
15 |
43,4 |
75,4 |
15 |
42,4 |
73,4 |
||||||
|
16 |
43,6 |
65,5 |
16 |
45,6 |
66,5 |
16 |
43,6 |
66,5 |
||||||
|
17 |
44,7 |
55,6 |
17 |
47,7 |
57,6 |
|||||||||
|
18 |
46,9 |
47,7 |
18 |
49,9 |
47,7 |
|||||||||
|
19 |
52,1 |
37,9 |
19 |
51,1 |
39,9 |
|||||||||
|
20 |
53,3 |
30,0 |
20 |
53,3 |
30,0 |
|||||||||
|
21 |
55,5 |
21,1 |
||||||||||||
|
22 |
56,7 |
12,2 |
||||||||||||
|
23 |
60,8 |
4,3 |
||||||||||||
|
24 |
63,0 |
-4,6 |
||||||||||||
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
|||||||||||
|
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
|||
|
1 |
11,8 |
199,8 |
1 |
9,8 |
197,8 |
1 |
12,8 |
198,8 |
1 |
9,8 |
197,8 |
|||
|
2 |
12,0 |
189,9 |
2 |
13,0 |
190,9 |
2 |
13,0 |
190,9 |
2 |
14,0 |
190,9 |
|||
|
3 |
16,2 |
182,0 |
3 |
16,2 |
182,0 |
3 |
17,2 |
181,0 |
3 |
14,2 |
181,0 |
|||
|
4 |
16,4 |
173,1 |
4 |
16,4 |
173,1 |
4 |
18,4 |
173,1 |
4 |
18,4 |
172,1 |
|||
|
5 |
21,6 |
164,2 |
5 |
21,6 |
162,2 |
5 |
20,6 |
163,2 |
5 |
20,6 |
162,2 |
|||
|
6 |
20,7 |
153,4 |
6 |
21,7 |
153,4 |
6 |
22,7 |
153,4 |
6 |
22,7 |
153,4 |
|||
|
7 |
22,9 |
146,5 |
7 |
25,9 |
146,5 |
7 |
23,9 |
144,5 |
7 |
24,9 |
146,5 |
|||
|
8 |
25,1 |
136,6 |
8 |
25,1 |
135,6 |
8 |
26,1 |
135,6 |
8 |
28,1 |
136,6 |
|||
|
9 |
28,3 |
127,7 |
9 |
27,3 |
128,7 |
9 |
29,3 |
128,7 |
9 |
29,3 |
128,7 |
|||
|
10 |
30,5 |
118,8 |
10 |
30,5 |
118,8 |
10 |
29,5 |
117,8 |
10 |
29,5 |
119,8 |
|||
|
11 |
31,7 |
110,9 |
11 |
31,7 |
110,9 |
11 |
31,7 |
110,9 |
11 |
32,7 |
108,9 |
|||
|
12 |
35,8 |
100,1 |
12 |
36,8 |
101,1 |
12 |
33,8 |
101,1 |
12 |
34,8 |
101,1 |
|||
|
13 |
38,0 |
92,2 |
13 |
39,0 |
91,2 |
13 |
36,0 |
92,2 |
13 |
36,0 |
92,2 |
|||
|
14 |
41,2 |
84,3 |
14 |
41,2 |
84,3 |
14 |
39,2 |
82,3 |
14 |
38,2 |
82,3 |
|||
|
15 |
43,4 |
73,4 |
15 |
42,4 |
75,4 |
15 |
42,4 |
75,4 |
15 |
42,4 |
73,4 |
|||
|
16 |
45,6 |
64,5 |
16 |
45,6 |
66,5 |
16 |
44,6 |
66,5 |
16 |
43,6 |
66,5 |
|||
|
17 |
47,7 |
55,6 |
17 |
47,7 |
55,6 |
17 |
47,7 |
56,6 |
||||||
|
18 |
47,9 |
48,7 |
18 |
47,9 |
46,7 |
18 |
46,9 |
47,7 |
||||||
|
19 |
50,1 |
38,9 |
19 |
51,1 |
37,9 |
|||||||||
|
20 |
53,3 |
29,0 |
20 |
53,3 |
30,0 |
|||||||||
|
21 |
55,5 |
22,1 |
||||||||||||
|
22 |
56,7 |
13,2 |
||||||||||||
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
|||||||||||||
|
Месяц |
p |
q |
Месяц |
p |
q |
|||||||||
|
1 |
12,8 |
199,8 |
1 |
12,8 |
197,8 |
|||||||||
|
2 |
14,0 |
189,9 |
2 |
12,0 |
190,9 |
|||||||||
|
3 |
14,2 |
180,0 |
3 |
14,2 |
181,0 |
|||||||||
|
4 |
17,4 |
173,1 |
4 |
18,4 |
172,1 |
|||||||||
|
5 |
19,6 |
162,2 |
5 |
19,6 |
164,2 |
|||||||||
|
6 |
23,7 |
155,4 |
6 |
21,7 |
154,4 |
|||||||||
|
7 |
23,9 |
146,5 |
7 |
25,9 |
144,5 |
|||||||||
|
8 |
26,1 |
136,6 |
8 |
28,1 |
137,6 |
|||||||||
|
9 |
28,3 |
126,7 |
9 |
27,3 |
126,7 |
|||||||||
|
10 |
31,5 |
118,8 |
10 |
31,5 |
118,8 |
|||||||||
|
11 |
31,7 |
108,9 |
11 |
32,7 |
108,9 |
|||||||||
|
12 |
36,8 |
101,1 |
12 |
36,8 |
102,1 |
|||||||||
|
13 |
39,0 |
91,2 |
13 |
37,0 |
91,2 |
|||||||||
|
14 |
41,2 |
83,3 |
14 |
41,2 |
83,3 |
|||||||||
|
15 |
42,4 |
74,4 |
||||||||||||
|
16 |
43,6 |
64,5 |
||||||||||||
|
17 |
45,7 |
55,6 |
||||||||||||
|
18 |
49,9 |
48,7 |
Лабораторная работа №9
Моделирование временных рядов
с распределенным лагом
Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:
.
Данная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение l следующих моментов времени.
Коэффициент регрессии при перемеренной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени , без учета воздействия лаговых значений фактора . Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент совокупное воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц, в момент это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточным мультипликаторами.
С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной в момент на 1 у.е. приведет к общему изменению результата через моментов времени на абсолютных единиц.
Введем следующее обозначение:
Величину называют долгосрочным мультипликатором, который показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора .
Предположим,
.
Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то выполняются условия и . Каждый из коэффициентов измеряет долю от общего изменения результативного признака в момент времени .
Зная величины , можно определить еще две важные характеристики: величину среднего и медианного лагов.
Средний лаг вычисляется по формуле
и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.
Медианный лаг – это величина лага, для которого . Это период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон.
Формально модель зависимости коэффициентов от величины лага j в форме полинома можно записать так:
.
Тогда каждый из коэффициентов модели можно выразить следующим образом:
(*)
Подставив данные соотношения в модель, и перегруппировав слагаемые, получим
Введем новые обозначения
……………………………………………..
.
Тогда модель с распределенным лагом будет выглядеть следующим образом:
.
Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выполняется следующим образом:
Пример.
В таблице представлены данные по региону о месячном доходе на душу населения (x) и денежных расходах населения (y) по месяцам за 2 года.
|
y |
90 |
95 |
103 |
115 |
134 |
132 |
145 |
156 |
167 |
178 |
202 |
214 |
|
x |
120 |
117 |
132 |
136 |
155 |
163 |
174 |
178 |
188 |
203 |
231 |
255 |
|
y |
225 |
237 |
241 |
244 |
256 |
271 |
288 |
289 |
297 |
312 |
335 |
347 |
|
x |
246 |
264 |
278 |
289 |
295 |
300 |
305 |
316 |
332 |
347 |
376 |
389 |
Задание.
I. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до трех месяцев
При этом необходимо:
II. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до четырех месяцев
.
При этом необходимо:
I. Выполняем расчет для регрессии через Анализ данных/Регрессия. Для этого строим вспомогательную таблицу
|
90 |
120 |
|||
|
95 |
117 |
|||
|
103 |
132 |
|||
|
115 |
136 |
132 |
117 |
120 |
|
134 |
155 |
136 |
132 |
117 |
|
132 |
163 |
155 |
136 |
132 |
|
145 |
174 |
163 |
155 |
136 |
|
156 |
178 |
174 |
163 |
155 |
|
167 |
188 |
178 |
174 |
163 |
|
178 |
203 |
188 |
178 |
174 |
|
202 |
231 |
203 |
188 |
178 |
|
214 |
255 |
231 |
203 |
188 |
|
225 |
246 |
255 |
231 |
203 |
|
237 |
264 |
246 |
255 |
231 |
|
241 |
278 |
264 |
246 |
255 |
|
244 |
289 |
278 |
264 |
246 |
|
256 |
295 |
289 |
278 |
264 |
|
271 |
300 |
295 |
289 |
278 |
|
288 |
305 |
300 |
295 |
289 |
|
289 |
316 |
305 |
300 |
295 |
|
297 |
332 |
316 |
305 |
300 |
|
312 |
347 |
332 |
316 |
305 |
|
335 |
376 |
347 |
332 |
316 |
|
347 |
389 |
376 |
347 |
332 |
|
90 |
120 |
132 |
117 |
120 |
Протокол расчета :
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,997244635 |
||||
|
R-квадрат |
0,994496863 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,993121078 |
||||
|
Стандартная ошибка |
5,802269075 |
||||
|
Наблюдения |
21 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
4 |
97343,91021 |
24335,97755 |
722,85812 |
7,53348E-18 |
|
Остаток |
16 |
538,6612227 |
33,66632642 |
||
|
Итого |
20 |
97882,57143 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
Y-пересечение |
-8,212350419 |
4,986282848 |
-1,646988482 |
0,1190561 |
|
|
Переменная X 1 |
0,618169232 |
0,149223144 |
4,142582811 |
0,0007651 |
|
|
Переменная X 2 |
-0,056537753 |
0,206740199 |
-0,273472472 |
0,787987 |
|
|
Переменная X 3 |
0,323694928 |
0,20619296 |
1,569864111 |
0,136009 |
|
|
Переменная X 4 |
0,066599661 |
0,154758466 |
0,430345831 |
0,672684 |
|
То есть модель имеет вид
.
Удовлетворительным результат назвать нельзя, поскольку
2) Применяем метод Алмон для расчета параметров модели
.
а) Структура лага линейная, т.е.
Необходимо преобразовать исходные данные в новые переменные . Это преобразование выглядит следующим образом:
.
|
y |
x |
||
|
90 |
120 |
||
|
95 |
117 |
||
|
103 |
132 |
z0 |
z1 |
|
115 |
136 |
505 |
726 |
|
134 |
155 |
540 |
751 |
|
132 |
163 |
586 |
823 |
|
145 |
174 |
628 |
881 |
|
156 |
178 |
670 |
965 |
|
167 |
188 |
703 |
1015 |
|
178 |
203 |
743 |
1066 |
|
202 |
231 |
800 |
1113 |
|
214 |
255 |
877 |
1201 |
|
225 |
246 |
935 |
1326 |
|
237 |
264 |
996 |
1449 |
|
241 |
278 |
1043 |
1521 |
|
244 |
289 |
1077 |
1544 |
|
256 |
295 |
1126 |
1637 |
|
271 |
300 |
1162 |
1707 |
|
288 |
305 |
1189 |
1757 |
|
289 |
316 |
1216 |
1790 |
|
297 |
332 |
1253 |
1826 |
|
312 |
347 |
1300 |
1879 |
|
335 |
376 |
1371 |
1959 |
|
347 |
389 |
1444 |
2066 |
Строим регрессию
Протокол расчета
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,99673 |
||||
|
R-квадрат |
0,993471 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,992745 |
||||
|
Стандартная ошибка |
5,958766 |
||||
|
Наблюдения |
21 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2 |
97243,44739 |
48621,72369 |
1369,360199 |
2,15734E-20 |
|
Остаток |
18 |
639,1240428 |
35,50689127 |
||
|
Итого |
20 |
97882,57143 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
а |
-7,81343 |
5,112546309 |
-1,528284687 |
0,143824277 |
|
|
с0 |
0,413363 |
0,083158004 |
4,970810164 |
9,88999E-05 |
|
|
с1 |
-0,11675 |
0,056121391 |
-2,080299087 |
0,052057898 |
По найденным коэффициентам находим параметры , а именно
Получили модель с распределенным лагом
.
Эта регрессия лишена недостатков предыдущей:
Сравним исходные данные и результаты регрессии:
|
90 |
120 |
||||
|
95 |
117 |
||||
|
103 |
132 |
||||
|
115 |
136 |
116,1747 |
1,380007 |
12736,73469 |
|
|
134 |
155 |
127,7237 |
39,39197 |
8809,163265 |
|
|
132 |
163 |
138,3324 |
40,09969 |
9188,591837 |
|
|
145 |
174 |
148,9222 |
15,38369 |
6865,306122 |
|
|
156 |
178 |
156,4765 |
0,22705 |
5163,44898 |
|
|
167 |
188 |
164,28 |
7,398396 |
3703,591837 |
|
|
178 |
203 |
174,8603 |
9,857755 |
2485,734694 |
|
|
202 |
231 |
192,9347 |
82,17878 |
668,5918367 |
|
|
214 |
255 |
214,4897 |
0,239842 |
192,0204082 |
|
|
225 |
246 |
223,8711 |
1,274391 |
8,163265306 |
|
|
237 |
264 |
234,7261 |
5,170752 |
83,59183673 |
|
|
241 |
278 |
245,7482 |
22,5451 |
172,7346939 |
|
|
244 |
289 |
257,1173 |
172,0626 |
260,5918367 |
|
|
256 |
295 |
266,5144 |
110,5516 |
792,0204082 |
|
|
271 |
300 |
273,223 |
4,941541 |
1861,306122 |
|
|
288 |
305 |
278,5463 |
89,37272 |
3617,163265 |
|
|
289 |
316 |
285,8544 |
9,895109 |
3738,44898 |
|
|
297 |
332 |
296,9458 |
0,002938 |
4780,734694 |
|
|
312 |
347 |
310,1861 |
3,290132 |
7080,020408 |
|
|
335 |
376 |
330,1949 |
23,08866 |
11479,59184 |
|
|
347 |
389 |
347,8782 |
0,771296 |
14195,02041 |
|
|
Среднее |
227,8571 |
||||
|
Сумма |
639,124 |
97882,57143 |
Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно
.
Построенная модель достоверна на больше, чем на 99%.
Рассчитаем средний и медианный лаг по построенной модели временного ряда. Для удобства данные сводим в таблицу
|
Лаг, j |
Коэффициенты модели |
Относительные коэффициенты , |
Средний лаг |
Медианный лаг –величина лага, для которого . |
|
0 |
0,41 |
0,43 |
||
|
1 |
0,3 |
0,31 |
||
|
2 |
0,18 |
0,19 |
||
|
3 |
0,06 |
0,07 |
||
|
Выводы: Такая величина среднего и медианного лагов свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, в основном в текущем и следующем за текущим периоде. |
II. Строим модель с распределенным лагом в четыре временных периода, исходя из гипотезы о квадратичной структуре лага .
Тогда
.
Преобразование для вспомогательных переменных выглядит следующим образом:
;
.
Строим регрессию .
|
y |
x |
|||
|
90 |
120 |
|||
|
95 |
117 |
|||
|
103 |
132 |
|||
|
115 |
136 |
z0 |
z1 |
z2 |
|
134 |
155 |
660 |
1231 |
3637 |
|
132 |
163 |
703 |
1291 |
3759 |
|
145 |
174 |
760 |
1409 |
4119 |
|
156 |
178 |
806 |
1509 |
4397 |
|
167 |
188 |
858 |
1635 |
4821 |
|
178 |
203 |
906 |
1718 |
5074 |
|
202 |
231 |
974 |
1809 |
5341 |
|
214 |
255 |
1055 |
1913 |
5583 |
|
225 |
246 |
1123 |
2078 |
6014 |
|
237 |
264 |
1199 |
2261 |
6593 |
|
241 |
278 |
1274 |
2445 |
7239 |
|
244 |
289 |
1332 |
2564 |
7628 |
|
256 |
295 |
1372 |
2621 |
7713 |
|
271 |
300 |
1426 |
2763 |
8177 |
|
288 |
305 |
1467 |
2869 |
8529 |
|
289 |
316 |
1505 |
2946 |
8784 |
|
297 |
332 |
1548 |
3006 |
8956 |
|
312 |
347 |
1600 |
3079 |
9141 |
|
335 |
376 |
1676 |
3179 |
9399 |
|
347 |
389 |
1760 |
3330 |
9808 |
Протокол расчета
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R |
0,996328351 |
||||
|
R-квадрат |
0,992670183 |
||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,991295843 |
||||
|
Стандартная ошибка |
6,222115169 |
||||
|
Наблюдения |
20 |
||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
3 |
83889,56453 |
27963,18818 |
722,28832 |
2,77251E-17 |
|
Остаток |
16 |
619,4354747 |
38,71471717 |
||
|
Итого |
19 |
84509 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
|
a |
-6,683191872 |
6,247481362 |
-1,069741786 |
0,3006088 |
|
|
с0 |
0,457847985 |
0,116502829 |
3,929930209 |
0,0011959 |
|
|
с1 |
-0,239601907 |
0,191844893 |
-1,248935549 |
0,2296532 |
|
|
с2 |
0,035280787 |
0,047693437 |
0,739740933 |
0,4701727 |
По найденным коэффициентам находим параметры , а именно
Получили модель с распределенным лагом в четыре периода:
.
Сравним исходные данные и результаты регрессии:
|
90 |
120 |
||||
|
95 |
117 |
||||
|
103 |
132 |
||||
|
115 |
136 |
||||
|
134 |
155 |
128,6768 |
28,33637171 |
8809,163265 |
|
|
132 |
163 |
138,3068 |
39,77582876 |
9188,591837 |
|
|
145 |
174 |
148,7868 |
14,3399158 |
6865,306122 |
|
|
156 |
178 |
155,7168 |
0,080197636 |
5163,44898 |
|
|
167 |
188 |
164,2568 |
7,525101647 |
3703,591837 |
|
|
178 |
203 |
175,2768 |
7,415773972 |
2485,734694 |
|
|
202 |
231 |
194,0068 |
63,8911163 |
668,5918367 |
|
|
214 |
255 |
214,6868 |
0,471705405 |
192,0204082 |
|
|
225 |
246 |
221,4068 |
12,91102783 |
8,163265306 |
|
|
237 |
264 |
232,8968 |
16,83618354 |
83,59183673 |
|
|
241 |
278 |
245,8768 |
23,78325752 |
172,7346939 |
|
|
244 |
289 |
257,4968 |
182,1638296 |
260,5918367 |
|
|
256 |
295 |
265,2268 |
85,13398823 |
792,0204082 |
|
|
271 |
300 |
272,2668 |
1,604802833 |
1861,306122 |
|
|
288 |
305 |
278,0368 |
99,26519228 |
3617,163265 |
|
|
289 |
316 |
285,9668 |
9,200252932 |
3738,44898 |
|
|
297 |
332 |
297,3368 |
0,113439715 |
4780,734694 |
|
|
312 |
347 |
310,1568 |
3,397356277 |
7080,020408 |
|
|
335 |
376 |
330,1268 |
23,74799902 |
11479,59184 |
|
|
347 |
389 |
346,7768 |
0,049814612 |
14195,02041 |
|
|
Среднее |
227,8571 |
||||
|
Сумма |
620,0431557 |
85145,83673 |
Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно
.
Построенная модель также как и предыдущая достоверна больше, чем на 99%.
Задание для самостоятельной работы
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
|||||
|
x |
y |
y |
x |
y |
x |
x |
y |
x |
y |
|
10 |
6 |
3,5 |
1,51 |
70,8 |
101,7 |
120 |
90 |
10 |
6 |
|
11 |
6,5 |
3,6 |
1,5 |
98,7 |
101,1 |
117 |
95 |
11 |
6,5 |
|
12 |
6,8 |
3,7 |
1,53 |
97,9 |
100,4 |
132 |
103 |
12 |
6,8 |
|
13 |
7 |
3,7 |
1,53 |
99,6 |
100,1 |
136 |
115 |
13 |
7 |
|
15 |
7,4 |
3,8 |
1,55 |
96,1 |
100 |
155 |
134 |
15 |
7,4 |
|
17 |
8 |
3,9 |
1,58 |
103,4 |
100,1 |
163 |
132 |
17 |
8 |
|
18 |
8,2 |
4,1 |
1,62 |
95,5 |
100 |
174 |
145 |
18 |
8,2 |
|
20 |
8,7 |
4,2 |
1,65 |
102,9 |
105,8 |
178 |
156 |
20 |
8,7 |
|
20 |
9 |
4,3 |
1,63 |
77,6 |
145 |
188 |
167 |
20 |
9 |
|
25 |
10 |
4,4 |
1,65 |
102,3 |
99,8 |
203 |
178 |
25 |
10 |
|
27 |
10,5 |
4,5 |
1,67 |
102,9 |
102,7 |
231 |
202 |
27 |
10,5 |
|
24 |
11 |
4,5 |
1,64 |
123,1 |
109,4 |
225 |
214 |
24 |
11 |
|
30 |
13 |
4,6 |
1,69 |
74,3 |
110 |
246 |
225 |
30 |
13 |
|
32 |
12,8 |
4,7 |
1,74 |
92,9 |
106,4 |
264 |
237 |
32 |
12,8 |
|
38 |
14 |
4,9 |
1,8 |
106 |
103,2 |
278 |
241 |
38 |
14 |
|
34 |
15 |
4,8 |
1,75 |
99,8 |
103,2 |
289 |
244 |
34 |
15 |
|
45 |
17 |
4,8 |
1,65 |
105,2 |
102,9 |
295 |
256 |
45 |
17 |
|
37 |
16 |
5 |
1,73 |
99,7 |
100,8 |
300 |
271 |
37 |
16 |
|
55 |
22 |
5,1 |
1,81 |
99,7 |
101,6 |
305 |
288 |
55 |
22 |
|
48 |
23,1 |
5,3 |
1,87 |
107,9 |
101,5 |
316 |
289 |
48 |
23,1 |
|
47 |
23 |
5,4 |
1,88 |
98,8 |
101,4 |
332 |
297 |
||
|
45 |
26 |
5,4 |
1,8 |
104,6 |
101,7 |
347 |
312 |
||
|
56 |
28 |
5,4 |
1,84 |
106,4 |
101,7 |
376 |
335 |
||
|
60 |
29 |
122,7 |
101,2 |
389 |
347 |
|
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
Вариант 10 |
|||||
|
y |
x |
x |
y |
y |
x |
y |
x |
x |
y |
|
98,7 |
101,1 |
136 |
115 |
70,8 |
101,7 |
3,5 |
1,51 |
12 |
6,8 |
|
97,9 |
100,4 |
155 |
134 |
98,7 |
101,1 |
3,6 |
1,5 |
13 |
7 |
|
99,6 |
100,1 |
163 |
132 |
97,9 |
100,4 |
3,7 |
1,53 |
15 |
7,4 |
|
96,1 |
100 |
174 |
145 |
99,6 |
100,1 |
3,7 |
1,53 |
17 |
8 |
|
103,4 |
100,1 |
178 |
156 |
96,1 |
100 |
3,8 |
1,55 |
18 |
8,2 |
|
95,5 |
100 |
188 |
167 |
103,4 |
100,1 |
3,9 |
1,58 |
20 |
8,7 |
|
102,9 |
105,8 |
203 |
178 |
95,5 |
100 |
4,1 |
1,62 |
20 |
9 |
|
77,6 |
145 |
231 |
202 |
102,9 |
105,8 |
4,2 |
1,65 |
25 |
10 |
|
102,3 |
99,8 |
225 |
214 |
77,6 |
145 |
4,3 |
1,63 |
27 |
10,5 |
|
102,9 |
102,7 |
246 |
225 |
102,3 |
99,8 |
4,4 |
1,65 |
24 |
11 |
|
123,1 |
109,4 |
264 |
237 |
102,9 |
102,7 |
4,5 |
1,67 |
30 |
13 |
|
74,3 |
110 |
278 |
241 |
123,1 |
109,4 |
4,5 |
1,64 |
32 |
12,8 |
|
92,9 |
106,4 |
289 |
244 |
74,3 |
110 |
4,6 |
1,69 |
38 |
14 |
|
106 |
103,2 |
295 |
256 |
92,9 |
106,4 |
4,7 |
1,74 |
34 |
15 |
|
99,8 |
103,2 |
300 |
271 |
106 |
103,2 |
4,9 |
1,8 |
45 |
17 |
|
105,2 |
102,9 |
305 |
288 |
99,8 |
103,2 |
4,8 |
1,75 |
37 |
16 |
|
99,7 |
100,8 |
316 |
289 |
105,2 |
102,9 |
4,8 |
1,65 |
55 |
22 |
|
99,7 |
101,6 |
332 |
297 |
99,7 |
100,8 |
5 |
1,73 |
48 |
23,1 |
|
107,9 |
101,5 |
347 |
312 |
99,7 |
101,6 |
5,1 |
1,81 |
47 |
23 |
|
98,8 |
101,4 |
376 |
335 |
107,9 |
101,5 |
5,3 |
1,87 |
45 |
26 |
|
389 |
347 |
98,8 |
101,4 |
5,4 |
1,88 |
56 |
28 |
||
|
60 |
29 |
y = 0,5787x + 17,625
0
10
15
20
25
30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16