Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
7.1. ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА. НЕРАЗРЫВНОСТЬ СТРУИ
Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.
Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.
Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором (рис.7.1.). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линий к величине перпендикулярной к ним площадки , через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.
Величина и направление вектора меняется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.
Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S(рис.7.2.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения . Следовательно, за время через сечение S пройдет объем жидкости, равный , а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный . Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениями и (рис.7.3.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения и , должны быть одинаковыми:
.
Таким образом, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:
.
Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.
7.2.УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Рассматривая движение жидкостей, в ряде случаев можно считать, что перемещение одних жидкостей относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис.7.4.). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и .За время этот объем переместиться вдоль трубки тока, причем сечение переместиться в положение ,пройдя путь , сечение переместиться в положение , пройдя путь .В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину :
Энергия каждой частицы жидкости равна сумме ее кинетической энергии и потенциальной в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема (например точка O на рис. 7.4. ), имеет такую же скорость (и такую же кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии всего рассматриваемого объема равно разности энергий заштрихованных объемов и .
Будем считать, что сечение трубки тока и отрезки настолько малы, что все точки каждого из заштрихованных объемов имеют одинаковые значения скорости , давления и высоты h. Тогда приращение энергии
(7.1)
В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому приращение энергии (7.1) равно работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц и работы не совершают. Работа сил, приложенных к сечениям и равна
. (7.2)
Приравняв (7.1) и (7.2), получаем
. (7.3)
Так как сечения и были взяты произвольно, то можно утверждать, что выражение остается постоянным в любом сечении трубки тока, т.е. в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие
.
Это уравнение Бернулли. Для горизонтальной линии тока уравнение (7.3) принимает вид:
7.3.ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ
Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из малого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, верхнее сечение которой лежит на поверхности жидкости, а нижнее совпадает с отверстием (рис.7.5). В каждом их этих сечений скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми, давления в обоих сечениях равны атмосферному и также одинаковы, скорость перемещения открытой поверхности будем считать равной нулю. Тогда уравнение (7.3) принимает вид:
где - скорость истечения жидкости из отверстия. Обозначим , сократим на , тогда
.
Это формула Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает тело, падая с высоты h.
Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис.7.5) уносит с собой за время импульс (здесь -плотность жидкости, S-площадь отверстия, -скорость истечения струи). Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости за время импульс , т.е. испытывает действие силы
.
Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то он придет в движение в направлении, противоположном движению струи. Подставив значение скорости истечения, получаем выражение для модуля силы реакции струи
.
Если бы сила совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое оказывала бы жидкость на пробку, закрывающую отверстие, то была бы равна . На самом деле оказывается в два раза большей. Это связано с тем. Что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем вблизи стенки, лежащей против отверстия, давление оказывается несколько большим, чем вблизи стенки в которой сделано отверстие.
7.4 . СИЛЫ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ
Идеальная жидкость, т.е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение.
Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия сил, его вызвавших, постепенно прекращается.
. Рассмотрим две параллельные друг другу пластины, помещенные в жидкость (рис.7.6). Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними d. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой
скоростью. Экспериментально доказано, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью необходимо воздействовать на нее вполне определенной постоянной по величине силой . Пластина не получает ускорения, следовательно, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине силой, которая и есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее. Из опыта известно, что
(7.4)
Где -коэффициент вязкости жидкости.
Нижняя пластина при движении верхней также оказывается подверженной действию силы , равной по величине. Для того, чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу необходимо уравновесить силой .
Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин друг относительно друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (7.4).Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если в любом месте зазора провести плоскость, параллельную пластинам, то часть жидкости, лежащей над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащей под плоскостью, с силой , а часть жидкости, лежащей под плоскостью, действует на часть жидкости, лежащей над плоскостью, с силой . При этом и определяются формулой (7.4). Таким образом, эта формула выражает силу между соприкасающимися слоями жидкости.
Экспериментально доказано, что скорость частиц жидкости изменяется в направлении z, перпендикулярном пластинам (рис.7.6) по линейному закону
. (7.5)
Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Из формулы (7.5) получаем
Знак модуля в этой формуле поставлен по следующей причине. При изменении направления движения производная скорости изменит знак, в то время как отношение всегда положительно. С учетом сказанного выражение (7.4) принимает вид
. (7.6)
Единицей вязкости с СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем , приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1м поверхности касания слоев. Эта единица называется Паскаль -секундой (Па ).
7.6. ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЯ
Известны два вида течения жидкости (газа) – ламинарное, при котором жидкость как бы разделяется на слои, скользящие друг относительно друга, не перемешиваясь, и турбулентное, при котором возникает энергичное перемешивание жидкости. Характер течения определяется числом Рейнольдса , где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость потока, - коэффициент вязкости , - характерный для поперечного сечения размер, например, радиус. Начиная с некоторого определенного значения , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного параметра для круглой трубы взять ее радиус, то критическое значение числа Рейнольдса примерно равно 1000.
Отношение называется кинематической вязкостью. Тогда.
7.7. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Считая движение ламинарным, определим закон изменения скорости с расстоянием r от оси трубы.
Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины
(рис.7.7). При стационарном течении по трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, действующих на выделенный объем жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна .. Эта сила действует в направлении движения жидкости. На боковую поверхность цилиндра действует сила трения . Условие стационарности имеет вид.
Скорость убывает с расстоянием от оси трубы, следовательно,
Разделим переменные:
.
Проинтегрировав получаем:
.
Подставив граничные условия ( на стенках трубы при r=R скорость равна нулю), находим постоянную интегрирования:
.
Тогда закон изменения скорости
На оси трубы .
Окончательно имеем:
Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону.
При турбулентном течении скорость меняется беспорядочно.
Вычислим поток жидкостиQ (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени) при ламинарном течении. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины dr (рис.7.8).
Через кольцо радиуса r пройдет за секунду объем жидкости
.
Проинтегрировав, получаем:
,
Здесь S – площадь поперечного сечения трубы. Подставив значение, получаем:
.
Это формула Пуазейля, из которой следует, что поток жидкости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы и четвертой степени радиуса.
7.8. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
При движении в жидкости или газе на него действуют силы, равнодействующая которых имеет две составляющие- , направленную противоположно движению тела и называемую лобовым сопротивлением, и , перпендикулярную к движению и называемую подъемной силой (рис.7.9).
На тело, симметричное относительно направления движения действует только лобовое сопротивление, подъемная сила в этом случае равна нулю.
В идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Жидкость свободно скользит по поверхности тела, полностью обтекая его (рис 7.10).
В вязкой жидкости полного обтекания не происходит. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри (рис.7.11).
Давление в этой области оказывается пониженным, поэтому результирующая сила давления будет отлична от нуля и является причиной лобового сопротивления. Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления определятся числом Рейнольдса. При малых его значениях основную роль играет сопротивление трения, при больших – сопротивление давления.
При малых Re, т.е. небольших скоростях движения тел, сила сопротивления пропорциональна коэффициенту динамической вязкости , скорости движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела . Эта зависимость была установлена Стоксом, поэтому сила носит название силы Стокса. Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шарика движущегося в жидкости эта сила равна .