Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
16. Корни n –степени из 1
Корнем п-степени из 1 называется комплексное число п-степень которого равна 1.
Zn -1=0(или решение ур-я)
Теорема: все решения ур-я Zn -1=0 имеют вид , k=1..n. , …, =cos2π+isin2π=1 n= (n раз)
zk= – каждое из чисел является корнем уравнения
т. Образом мы нашли nразличных корней. Согласно основной теореме алгебры др. корней ур-е не имеет. Т.е. мы нашли все корни ур-я. Теорема доказана. Замечание: Ве корни n степени из 1 лежат в вершинах прав. n –угольника вписанного в окр-ть единичного радиуса.
17. Возведение комплексного числа в целую степень
Комплексное число z=a+b можно возвести в целую степень по формуле бинома-ньютона.
(a+b)n=an+c1nan-1b+cn2an-2b+…+cn-1nabn-1+bn
Числа сkn наз. биномиальными коэффициенты (из n повторений по k )
ckn= k!=1*2*3…k 0!=1
(a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 c12=
(a+b)3=a3+3a2 b+3ab2+b3
(a+b)4= a4+4a3 b+ba2b+ 4ab3+b4
c24=
При возведении комплексного числа в степень удобнее представить его в тригонометрической форме
z=, φ=Argz
z1=()n=n=n
zn=n
zn-n(cos nφ+sin nφ)
Чтобы возвести комплексное число в целую неотрицательную степень нужно возвести в эту степень модуль и в n раз увеличить аргумент.
n<0 -n>0
zn=
(1+i)33
z=1+i,
z=, z33=()33=216*216i
18. Извлечение корня n-степени из комплексного числа
Корнем n-степени из комплексного числа z называется такое комплексное число α, что при αn=z
Представим числа z и α в показательной форме
z=
α=, n*=, n=, nArgα=Argz+2πk, , Arg=, (2) α=,
Покажем что α имеет n различных значений
ω0,ω1,…ω n+1, который получается из формулы (2) при к=0,1,2…,n-1
ωk=,
αn=z
Рассмотрим ωt, ωm, 0<=t, m<=n-1, t<>m
Предположим что ωt= ωm. Замечая что у них одинаковые модули сравним их аргументы . t<>m, ωt=<>ωm
Вывод : Операция извлечения корня п-степени из комплексного числа z всегда выполнима и этот корень имеет n различных значений, имеющих один и тот же модуль и отличающихся только аргументом, причем ω0: , ω1: + и т. д. Т.е. если изобразить значения корня n-степени точками комплексной плоскости, то все они будут лежать на окружности с центром начальных координат, радиусом и являться вершинами правильного п-угольника, вписанного в эту окр-ть
19. Понятие матрицы
Матрицей называется прямоугольная таблица элементов. Числа, составляющие матрицу наз. ее элементами. Элементы матрицы, стоящие на одной горизонтали наз. строкой матрицы. . Элементы матрицы, стоящие на одной вертикали наз. столбцом матрицы. Строки нумеруются сверху-вниз. Столбцы-слева-направо. Если матрица имеет m-строк и n-столбцов, ее размерность mхn. 2 матрицы называются равными, если они состоят из одинаковых элементов
Сложение матрицы
Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В.
Вычитание матриц
А - В = А + (-В).
Умножение на число.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на число
Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей строкой. Матрица, состоящая из одного столбца называется матрицей столбцом. Нулевой матрицей наз. матрица, состоящая из одних 0.
Умножение матрицы
Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.