Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Ответ: .
1.5.6. На экваторе некоторой планеты (плотность вещества планеты ) тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Определить период обращения планеты вокруг собственной оси. Ответ: .
1.5.7. Определить отношение гравитационной потенциальной энергии искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, к его кинетической энергии. Ответ: .
1.5.8. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с другом. Определить, как изменится потенциальная энергия взаимодействия, если из того же материала изготовить шары с вдвое большими массами и тоже привести их в соприкосновение. Ответ: .
1.5.9. Луна притягивает к себе тело, находящееся на большом расстоянии от нее в состоянии покоя. Полагая, что атмосфера на Луне отсутствует, определить скорость падения тела на поверхность Луны. Ответ: .
1.5.10. Спутник поднимают на высоту, равную радиусу Земли, над ее поверхностью, а затем запускают по круговой орбите на той же высоте. Определить отношение работ на подъем спутника и на его запуск. Ответ: .
1.5.11. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли при условии, что спутник периодически раз в двое суток, проходит над точкой запуска. Радиус и период обращения Земли вокруг своей оси, а также ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными. Ответ: (), ().
1.5.12. Радиус Луны равен 0,27 радиуса Земли . Средняя плотность вещества Луны равна 0,61 средней плотности вещества Земли . Зная ускорение свободного падения на поверхности Земли, определить по этим данным ускорение свободного падения на поверхности Луны. Ответ: .
1.5.13. На какую высоту над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты будет равна первой космической скорости. Ответ: .
1.5.14. Радиус малой планеты , средняя плотность вещества . Определить вторую космическую скорость у поверхности этой планеты. Ответ: .
1.5.15. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли вертикально с начальной скоростью ? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ: .
Справочные сведения
Уравнение гармонических колебаний , где - собственная частота колебаний системы. Решение уравнения имеет вид , где - амплитуда, - фаза, - начальная фаза колебаний.
Периоды колебаний маятников: математического - ; пружинного - ; физического - .
Уравнение затухающих колебаний , где - коэффициент затухания. Решение уравнения имеет вид , где - частота затухающих колебаний.
Логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний системы, в течение которых амплитуда колебаний уменьшается в раз. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации .
Уравнение вынужденных колебаний , где и - амплитуда и частота внешней вынуждающей силы. Решение этого уравнения равно сумме решений однородного уравнения (затухающих колебаний) и частного решения неоднородного уравнения, которое имеет вид .
Резонансная частота и амплитуда вычисляются по формулам , .
При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты и получается результирующее колебание , амплитуда и начальная фаза которого вычисляется по формулам , .
Примеры решения задач
При решении задач на свободные или вынужденные колебания, как правило, не требуется решать уравнения соответствующих колебаний. Достаточно определить значение силы, вынуждающей движение тела к положению равновесия и тогда, из сопоставления полученного уравнения и соответствующего уравнения колебаний можно определить период и частоту колебаний, а значит и найти закон движения тела. Рассмотрим конкретные примеры.
Задача 1. Математический маятник подвешен вблизи вертикальной стены и колеблется в плоскости, параллельной стене. В стену вбит гвоздь так, что середина нити маятника наталкивается на него каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия справа налево. Найти длину нити, если период колебаний такого маятника (с помехой в виде гвоздя) .
Решение
Очевидно, что период колебаний такого маятника равен полусумме периодов колебаний маятника с длиной нити и маятника с длиной нити .
Используя известное выражение для периода колебаний математического маятника, получаем
. (1.6.1)
Выражая из (1.6.1) длину нити, находим
.
Подстановка числовых значений дает
.
Задача 2. Груз массой сбрасывается с высоты на чашку пружинных весов. Жесткость пружины , масса чашки . Определить амплитуду колебаний. При какой высоте произойдет отрыв груза от чашки в верхней точке? Считать, что удар груза о чашку неупругий, но груз не прилипает к чашке.
Решение
Воспользуемся законом сохранения энергии и определим скорость груза в момент удара о чашку
. (1.6.2)
Для определения скорости чашки вместе с грузом сразу после удара применяем закон сохранения импульса
. (1.6.3)
Пусть удлинение пружины перед падением груза равно , а в момент максимального растяжения пружины после падения груза - . Тогда применяя для движения чашки с грузом закон сохранения энергии, получаем
. (1.6.4)
Так как из условия равновесия пружины под весом чашки следует , то используя (1.6.2), (1.6.3), получаем квадратное уравнение относительно :
. (1.6.5)
Решая (1.6.5), находим
.
Определим равновесное удлинение пружины под действием чашки вместе с грузом
.
Поскольку амплитуда колебаний есть максимальное смещение тела от положения равновесия, получаем
. (1.6.6)
Условие отрыва груза от чашки в верхней точке состоит в исчезновении силы реакции со стороны чашки. По второму закону Ньютона это дает , где - ускорение груза. Поскольку , а уравнение колебаний имеет вид , максимальное значение ускорения . Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле , следовательно, условие отрыва груза принимает вид
. (1.6.7)
Подставляя (1.6.6) в (1.6.7) и решая относительно высоты падения, получаем
.
Задача 3. К колесу радиуса с горизонтально расположенной осью прикрепили на ободе грузик массой . Найти массу колеса , предполагая ее однородно распределенной по ободу, если частота малых колебаний колеса вокруг оси равна .
Решение
Будем характеризовать положение колебательной системы при помощи угла отклонения радиуса колеса, проведенного через грузик, от вертикального направления. Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии колеса и груза и потенциальной энергии груза.
Кинетическая энергия может быть выражена через угол отклонения по формуле
,
где - момент инерции системы.
Потенциальная энергия груза выражается через угол отклонения по формуле
.
Из закона сохранения энергии следует
.
Дифференцируя это уравнение по времени, получаем
.
Рассматривая случай малых колебаний , получаем
. (1.6.8)
Таким образом, для частоты малых колебаний из (1.6.8) следует
. (1.6.9)
Выражая из полученной формулы массу колеса, находим
.
Задача 4. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями , . Определить уравнение траектории точки.
Решение
Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла
. (1.6.10)
Выразим из уравнения горизонтального движения и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
, . (1.6.11)
Подставляя (1.6.11) в (1.6.10) и затем – в уравнение вертикального движения, получаем
,
или, после возведения в квадрат,
.
Индивидуальные задания
1.6.1. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению . В какой-то момент времени смещение точки . При возрастании фазы колебаний в два раза смещение оказалось равным . Определить амплитуду колебаний . Ответ: .
1.6.2. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой , в момент времени проходит положение, определяемое координатой , со скоростью . Определить амплитуду колебаний. Ответ: .
1.6.3. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку . Напишите уравнение движения этой точки , если период колебаний равен 4 с, а начальная фаза . Ответ: .
1.6.4. Если увеличить массу груза, подвешенного к пружине, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определить массу первоначально подвешенного груза. Ответ: .
1.6.5. На горизонтальной пружине жесткостью укреплен шар массой , лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой , летящая с горизонтальной скоростью и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить: 1)амплитуду колебаний шара; 2)период колебаний шара. Ответ: , .
1.6.6. На чашку весов массой , подвешенную на пружине жесткостью , с высоты падает небольшой груз массой . Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определить амплитуду этих колебаний. Ответ: .
1.6.7. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна находиться точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. Ответ: .
1.6.8. Однородный диск радиусом колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии от центра диска. Определить период колебаний диска относительно этой оси. Ответ: .
1.6.9. Тонкий обруч радиусом подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определить период колебаний обруча. Ответ: .
1.6.10. Тонкий однородный стержень длиной может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии от его середины. Определить период колебаний стержня, если он совершает малые колебания. Ответ: .
1.6.11 Из тонкого однородного диска радиусом вырезана часть, имеющая форму круга радиусом , центр которого находится на середине радиуса диска (рис.1.6.1). Определить периоды колебаний получившегося маятника относительно горизонтальных осей, проходящих через образующие диска в точках А и В.
Ответ: , .
1.6.12. Математический маятник отклонили на от вертикали и отпустили. В тот момент, когда маятник проходил положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вверх с ускорением . На какой максимальный угол от вертикали отклонится маятник? Ответ:.
1.6.13. Математический маятник, состоящий из нити длиной и свинцового шарика радиусом , совершает гармонические колебания с амплитудой . Определить: 1)скорость шарика в момент прохождения им положения равновесия; 2)максимальное значение возвращающей силы. Плотность свинца . Ответ: , .
1.6.14. Математический маятник длиной подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением . Спустя время после начала движения кабина начинает двигаться равномерно, а затем в течение 3 с тормозится до остановки. Определить периоды гармонических колебаний маятника на каждом участке пути. Ответ: , , .
1.6.15. К наклонной стене подвешен маятник длины . Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найти период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие. Ответ: .
1.6.16. Тело массы , подвешенное на пружине жесткости , лежит на подставке. Подставку мгновенно убирают. Написать уравнение колебаний тела , если первоначально пружина не деформирована. Ответ: .
1.6.17. Складываются два гармонических колебания одного направления, уравнения которых и , см. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Ответ:
,.
1.6.18. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях согласно уравнениям и . Определить уравнение траектории точки и указать направление движения точки по ней. Ответ: , по часовой стрелке.
1.6.19. Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях согласно уравнениям и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .
1.6.20. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях согласно уравнениям и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .
1.6.21. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .
1.6.22. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .
1.6.23. Амплитуда затухающих колебаний маятника за уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания . .
1.6.24. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин. Ответ: .
1.6.25. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника . По истечении амплитуда становится . Определить, через какое время от начала колебаний амплитуда станет . Ответ: .
1.6.26. Тело массой , подвешенное к пружине жесткостью , совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний . Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2 )число полных колебаний, которые должно совершить тело за это время. Ответ: , .
1.6.27. При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период затухающих колебаний . Определить, какова была бы при этих условиях частота незатухающих колебаний. Ответ: .
1.6.28. Тело массой , совершая затухающие колебания, за потеряло 40% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления . Ответ: .
1.6.29. Гиря массой , подвешенная на пружине жесткостью совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления . На верхний конец пружины начинает действовать вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить для данной колебательной системы резонансную амплитуду. Ответ: .
1.6.30. Гиря массой , подвешенная на пружине жесткостью , опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний. Ответ: .
2.1. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
Справочные сведения
Уравнение Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа , где - универсальная газовая постоянная. Для газа постоянной массы .
Связь давления и температуры идеального газа , где - концентрация молекул газа, - постоянная Больцмана, связанная с универсальной газовой постоянной и числом Авогадро соотношением .
Закон Бойля-Мариотта при .
Закон Гей-Люссака при .
Закон Шарля при .
Уравнения адиабатного процесса (уравнения Пуассона) , , .
Закон Дальтона для смеси газов .
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа .
Средняя квадратичная скорость молекулы , средняя арифметическая скорость , наиболее вероятная скорость .
Барометрическая формула .
При нормальных условиях , .
Примеры решения задач
Решение задач этого раздела требует применения той или иной формы уравнения состояния идеального газа. В некоторых случаях, в зависимости от условия задачи, следует применять газовые законы и закон Дальтона. При решении большинства задач необходимо четко представлять, каково начальное состояние системы и какой процесс переводит ее в конечное состояние. Рассмотрим конкретные примеры.
Задача 1. Газ в цилиндрическом сосуде разделен на две равные части подвижным поршнем, имеющим массу и площадь сечения . При горизонтальном положении цилиндра давление газа в каждой половине сосуда равно . Определить давление газа над поршнем при вертикальном положении цилиндра. Температуру газа считать постоянной.
Решение
При горизонтальном положении цилиндра объем каждой его части обозначим через (эти объемы одинаковы). При вертикальном положении цилиндра объем верхней части станет равным , а нижней . Давление в нижней части цилиндра станет равным .
Согласно закону Бойля-Мариотта
. (2.1.1)
Исключая из (2.1.1) отношение , получаем квадратное уравнение относительно :
. (2.1.2)
Решая (2.1.2), находим
.
Физический смысл имеет только знак плюс перед корнем, так как в противном случае значение становится отрицательным. Поэтому, окончательно
.
Задача 2. Поршневой насос при каждом качании захватывает воздух объемом . При откачке этим насосом воздуха из сосуда объемом насос совершил качаний. Затем другой насос с тем же рабочим объемом начал нагнетать воздух из атмосферы в тот же сосуд, совершив также качаний. Какое давление установится в сосуде? Температуру воздуха во время работы насоса считать постоянной. Начальное давление в сосуде равно атмосферному давлению .
Решение
Согласно закону Бойля-Мариотта при откачке воздуха из сосуда после первого качания давление в сосуде станет равным
.
Аналогично, после второго качания находим
,
а после качаний
.
При нагнетании воздуха в сосуд после качаний давление в сосуде станет равным
.
77
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3