Частные случаи дифференциальных уравнений

Работа добавлена на сайт samzan.net:

1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

= (1)

При такой записи коэффициенты k,k,...,kn называют коэффициентами передачи, а T,...,Tn постоянными времени данного звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как

размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)

размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)

Постоянными времени T,...,Tn имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

= (2)

.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА

Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):

y(t)==

=W(s)+W(s)+...+Wn(s)

Здесь W(s),W(s),...,Wn(s) - передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:

w(t)=

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный j.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)=.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(j)=U()+jV()

где U() и V() - вещественная и мнимая части.

W(j)=A(),

где A() - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной, - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A()=W(j)

АЧХ строят для всео диапазона частот , т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

=argW(j)

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=g(t)

y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==k(t) (6)

. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=21(t)

w(t)=2(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=k

W(j)=k (7)

W(j)=U()+jV()

U()=k

V()=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A()=2

()=0

L()=20lg2

U()=2

V()=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=bog(t-) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

bo=4

=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)= g(t-)

y(t)=kg(t-) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t-) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t-)=G(s)e-s

Y(s)=kG(s)e-s

W(s)= ke-s (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==k(t-) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=21(t-)

w(t)=2(t-)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на =0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=k e-s

W(j)=k e-j =k(cos-jsin) (7)

W(j)=U()+jV()

U()=k cos

V()=-ksin

A()=W(j)

A()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()= (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A()=2

()=0,1

L()=20lg2

U()=2cos0,1

V()=-2sin0,1

Вывод:

4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a+aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=1,24

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

T+y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

TsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T=0.62

h(t)=2 1(t)

w(t)=3.2e1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)=U()+jV()==-j

U()=

V()=

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk - arctg

()=-arctgT (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T=0.62

A()=

()=arctg0.62

L()=20lg

U()=

V()=

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a-aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=1,24

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)=g(t)

T-y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

TsY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e 1(t) (6)

k=2

T=0.62

h(t)=2 1(t)

w(t)=3.2e1(t)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)==j=U()+jV()

U()=

V()=

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk - arctg

()=-arctg(-T) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T=0.62

A()=

()=-arctg(-0.62)

L()=20lg

U()=

V()=

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a+a+aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=0,588

a=50,4

ao=120

bo=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T+y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=,T=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T>2T), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T=0,42

T=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p+Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

sY(s)+TsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== , где

T,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) =

=k 1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j) ==

U()=

V()=

. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()==..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=................

()=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a+a+aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=0,588

a=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T+y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=,T=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T<2T), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T=0,042

T=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, - декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p+2Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

sY(s)+2TsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j)=

U()=

V()

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(2Tj - T+1)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a- a+aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=0,588

a=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

- +y(t)=g(t)

-T+y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=,T=-постоянные времени.

T=0,042

T=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, - декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p- 2Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

sY(s) - 2TsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j)=

U()=

V()

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(1 - 2Tj - T)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a+aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=0,0588

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

+ y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при =0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

TsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Заменим .Тогда

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= ksint1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

U()=

V()=0

A()=W(j)

A()==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(1-T)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=1,24

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a:

=g(t)

=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kt1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

w(t)==k1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)=

U()=0

V()=

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - argj

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

+a=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=0,0588

a=0,504

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a:

+ =g(t)

T+=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

TsY(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= - kT1(t)+kt1(t)+kT1(t)=

= (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)

U()=

V()=

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - argj - arg

()= - arctg - arctgT (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a=b+bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=1,24

bo=4

b=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a:

=+g(t)

=k+kg(t) (2),

где k=, k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=(kp+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(t)

sY(s)=ksG(s)+kG(s)

W(s)= (4)

. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k(t)+k1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

U()=k

V()=

A()=W(j)

A()=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=............

()=............ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=b (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

b=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=

y(t)=k (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

Y(s)=ksG(s)

W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=k

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k(t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1=ks

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k (6)

. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=ks

W(j)=jk (7)

W(j)=U()+jV()

U()=0

V()=k

A()=W(j)

A()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.

4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a+aoy(t) =b (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a=1,24

ao=2

b=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a:

+y(t)=

T+y(t)=k (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=(t) e 1(t) (6)

. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)=

W(j)==

6.Найдем АЧХ:

A()=W(j)

A()==

Найдем ФЧХ:

()=argW(j)

()=arctgk-arctgT

L()=20lgA()

L()=20lg

4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Данное звено описывается следующим уравнением:

a0y(t)=b1+b0g(t)

y(t)=+g(t)

k1=

y(t)=k1pg(t)+kg(t)

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

Y(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=k1s+k

H(s)==k1+

h(t)=k1(t)+k1(t)

W(j)=k1j+k

U()=k

V()=k1

A()=W(j)

A()=

()=argW(j)

()=arctg

L()=20lgA()

L()=20lg

4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

a0y(t)=b2+b1+b0g(t)

y(t)=++g(t)

y(t)=k2+k1+kg(t)

y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)

Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)

W(s)=k2s2+k1s+k

H(s)=k2s+k1+

h(t)=k2+k1(t)+k11(t)

w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k

w(t)=k2+k1+k(t)

W(j)=k1j+k - k22

U()=k - k22

V()=k1j

A()=

()=arctg

L()=20lg

1. Тема 2 Борьба Руси с нашествием с Запада и Востока
2. The Silent Lnguge. Згідно представленої їм типології в будьякій культурі виділяються десять значущих різновидів
3. ТЕМА 8. ПРОФЕСІЯ ~ ЕКСКУРСОВОД План 1
4. Срочный рынок в России
5. Статья 1. Предмет регулирования настоящего Федерального закона Настоящий Федеральный закон регулирует о
6. Основные темы, персонажи и образы мифологии
7. Соціальне управління ~ це а Вид вольової діяльності вираженої у цілеспрямованому й організуючому вплив
8. . Сущность цели и место налогового администрирования
9. Не рекомендуется применять при гипертонии кровотечениях воспалительных процессах
10. Действие лекарств на сексуальную функцию мужчины
11. Филосо~фия ~~ любовь стремление жажда ~~ мудрость др
12. ЧУДЕСА ПОД НОВЫЙ ГОД Картина первая Современная деревенская изба
13. оборачиваемость в финансовой деятельности определяется как весь спектр действий направленных на продвиж.html
14. Кабеля для компьютерной сети
15. реферату- Фінансування та кредитування ЗЕД підприємстваРозділ- Економіка підприємства Фінансування та кре
16. Согласовано кафедра Педагогика психология и частные методики
17. Особливості вуглеводного метаболізму та кисневого бюджету головного мозку у хворих з декомпенсованим цукровим діабетом та його патогенетична інтенсивна терапія
18. Тема- Проблемы оценки психического развития и его нарушений Выполнила- Студентка 4 курса ОЗО 6
19. Об аудиторской деятельности аудит проверка в целях выражения независимого мнения о финансовой отчетнос
20. Zeitung Es hndelt sich um einen rtikel us der XYZeitung Gliederung ngeben Der rtikel behndelt die folgenden 3 Punkte Frgen

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе