Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 3
высшего профессионального образования
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ-2
для студентов, обучающихся по специальностям:
080801.65 – «Прикладная информатика в экономике»
080116.65 – «Математические методы в экономике»
080800.62 – «Прикладная информатика (бакалавр)»
г. Набережные Челны
2010
Математический анализ-2. Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся по специальностям: 080801.65-«Прикладная информатика в экономике»; 080116.65–«Математические методы в экономике»; 080800.62 – «Прикладная информатика (бакалавр)».
/Составитель: Углов А.Н. -Набережные Челны: Изд-во: ИНЭКА, 2010, 110 с.
Рецензент: Шакиров И.А., кандидат физ.-мат. наук, доцент.
Учебно-методический комплекс составлен на основании требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальностям: 08080165 - «Прикладная информатика (по областям)»; 08011665 – «Математические методы в экономике»; 080800.62 – «Прикладная информатика (бакалавр)».
Учебно-методический комплекс разработан на кафедре «Прикладная математика» и предназначен для использования в учебном процессе студентами по дисциплине «Математический анализ».
Учебно-методический комплекс включает разделы: интегральные исчисления (неопределённый, определённый, несобственный интегралы, кратные интегралы), функциональные последовательности и ряды; дифференциальные и разностные уравнения.
В учебно-методическом комплексе изложены цели и задачи дисциплины, её содержание и структура, указана литература, рекомендуемая для изучения курса. В приложениях приведены: образец решения типовых задач, краткие теоретические сведения.
Печатается по решению научно-методического совета Камской государственной инженерно-экономической академии
© Камская государственная инженерно-экономическая академия, 2010
С О Д Е Р Ж А Н И Е
1. Цели и задачи дисциплины, её место в учебном процессе……..4
2. Содержание и структура дисциплины………………………….....5
3. Рекомендуемая литература………………………………………..8
4. Образец решения типовых задач ………………………………….9
5. Краткие теоретические сведения………………………................. 55
1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
Цель преподавания дисциплины «Математический анализ» - формирование системы базовых знаний по данной дисциплине, которая позволит будущим специалистам решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.
Основными задачами дисциплины являются:
- ознакомление студентов с ролью математики в современной жизни, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач;
- обучение студентов теоретическим основам курса;
- привитие практических навыков математического моделирования реальных социально-экономических задач с использованием математического аппарата данного курса;
- развитие у студентов навыков творческого и логического мышления, повышение общего уровня математической культуры.
Данная дисциплина является основой при изучении таких дисциплин, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Многомерные статистические методы», «Методы оптимизации», «Исследование операций», «Эконометрика», «Численные методы», а также других дисциплин, изучающих современные экономико-математические методы. В свою очередь, для изучения данной дисциплины необходимо знание элементарной математики.
В результате изучения данной дисциплины студент должен:
- знать теоретические основы дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных и разностных уравнений, числовых и функциональных рядов;
- уметь использовать полученные знания для решения практических задач.
Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных, практических занятий и самостоятельную работу студентов. В лекциях излагается содержание тем программы с учетом требований, установленных для специалиста в квалификационной характеристике. Практические занятия проводятся с целью закрепления теоретических основ курса, получения практических навыков решения математических задач. Контроль знаний осуществляется с помощью контрольных работ и итогового экзамена в конце каждого семестра обучения.
2. Содержание и структура дисциплины (2-ой семестр обучения).
Раздел. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
Тема 1. Неопределённый интеграл.
Первообразная функция, её свойства. Неопределённый интеграл, условия его существования, свойства. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование; интегрирование заменой переменной, интегрирование по частям. Неправильные и правильные рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простые. Интегрирование простых, правильных, неправильных рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.
Литература: [1] –C.162-187; [2] –C.247-276; [3] – C.315-348; [5] – C.159-177.
Тема 2. Определённый интеграл.
Определённый интеграл, условия его существования, геометрический смысл и свойства. Оценка интеграла и формулы среднего значения. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле. Применение определённого интеграла для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел.
Литература: [1] –C.187-233; 310-317; [2] –C.278-302; [3] – C.356-376; 401-411; [5] – C.177-207.
Тема 3. Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования и от неограниченной функции. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
Литература: [1] –C.237-249; [2] –C.302-306; [3] – C.378-384; [5] – C.209-214.
Тема 4. Кратные интегралы.
Понятия двойного и тройного интегралов, условия их существования, геометрический и физический смысл, свойства. Оценка интегралов и формулы средних значений. Понятие правильной области. Повторные интегралы по правильным областям. Вычисление кратных интегралов переходом к повторным в декартовых координатах. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Приложения двойных и тройных интегралов.
Литература: [1] –C.390-405; [2] –C.406-409; [4] –C.152-172; 190-199; [5] –C.307-318; 346-353.
Раздел.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. РЯДЫ.
Тема 5. Числовые ряды.
Понятие числового ряда. Частичная сумма, остаток, сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды, их свойства. Необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости ряда. Ряды с положительными членами, достаточные признаки их сходимости (признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши). Ряд геометрической прогрессии и обобщённый гармонический ряд, условия их сходимости, расходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка суммы и остатка знакочередующегося ряда. Знакопеременные ряды, достаточный признак их сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды, их свойства.
Литература: [1] –C.249-262; [2] –C.343-364; [4] –C.245-266; [5] –C.379-391.
Тема 6. Функциональные последовательности и ряды.
Понятия функциональной последовательности и функционального ряда. Частичная сумма, остаток, точка и область сходимости, сумма функционального ряда. Нахождение области сходимости.
Литература: [4] –C.266-275.
Тема 7. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Понятие степенного ряда. Признак Абеля. Интервал и радиус абсолютной сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда, её нахождение. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функций в ряд Тейлора. Применение ряда Тейлора в приближённых вычислениях.
Литература: [1] –C.262-272; [2] –C.366-382; [4] –C.275-292; [5] –C.391-409.
Тема 8. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. Тригонометрические системы функций, их свойства. Условия Дирихле. Достаточный признак Дирихле разложимости функции в ряд Фурье. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций, функций, заданных на половине периода.
Литература: [1] –C.272-282; [4] –C.318-332; [5] –C.410-416.
Раздел. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ, РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Понятие дифференциального уравнения (ДУ). ДУ 1-ого порядка, основные сведения о них (формы записи, решение, начальные условия, общее и частное решения). Задача Коши. ДУ с разделёнными и разделяющимися переменными. Однородное ДУ. Линейное ДУ и уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Литература: [1] –C.477-489; 516-523; [2] –C.319-334; [4] –C.16-37; 45-47; [5] –C.416-425.
Тема 10. Дифференциальные уравнения высших порядков.
ДУ порядка , основные сведения о них (формы записи, решение, начальные условия, общее и частное решения). Задача Коши. ДУ порядка , допускающие понижение порядка. Линейное ДУ порядка . Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости систем функций. Фундаментальная система решений (ФСР). Структура общего решения ЛДУ порядка . Принцип суперпозиции частных решений. Однородные и неоднородные ЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение ФСР и общего решения ОЛДУ для различных типов корней характеристического уравнения. Нахождение частного и общего решений НЛДУ в случае специальной правой части уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.
Литература: [1]–C.489-515;523-527; [2]–C.334-341; [4] –C.55-94; [5] –C.431-449.
Тема 11. Системы дифференциальных уравнений.
Нормальная система ДУ, основные сведения о них (формы записи, решение, начальные условия, общее и частное решения). Задача Коши. Понятия фазового пространства, фазовой траектории, точки покоя, устойчивости решения нормальной системы ДУ. Нахождение решения нормальной системы ДУ методом исключения. Линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Точки покоя однородной линейной системы ДУ с постоянными коэффициентами, их классификация и устойчивость. Литература: [1] –C.508-510; [4] –C.103-127.
Тема 12. Обыкновенные разностные уравнения.
Понятие сетки, сеточной функции, конечной разности порядка . Разностное уравнение, основные сведения о них (формы записи, решение, начальные условия, общее и частное решения). Линейные РУ порядка . Линейно зависимые и независимые системы сеточных функций. Фундаментальная система решений (ФСР). Структура общего решения ЛРУ порядка . Однородные и неоднородные ЛРУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение ФСР и общего решения ОЛРУ для различных типов корней характеристического уравнения. Нахождение частного и общего решений НЛРУ для специальной правой части уравнения.
Литература: [1] –C.527-544.
3. Рекомендуемая литература:
Основная литература:
4. Образец решения типовых задач.
1. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Нахождение неопределённого интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражения , чтобы получить интегралы (возможно по новой переменной интегрирования) из таблицы основных интегралов (приложение 6.3).
Решение.
а) Интеграл вычислим непосредственным интегрированием. Получим:
.
б) Интеграл вычислим методом замены переменной интегрирования. Замену переменной интегрирования выполним методом подведения функции под знак дифференциала, используя для этого таблицу дифференциалов основных элементарных функций (Приложение 6.3). Получим:
.
Замечание. Замену переменной интегрирования в данном интеграле можно выполнить и следующим образом. Положим . Тогда , откуда . Подставив все это в интеграл, получим:
Ответ: .
в) Интеграл вычислим методом интегрирования по частям, используя формулу .
Положим: , . Найдём ,
.
Интеграл в формуле интегрирования по частям вычисляется с точностью до постоянной, т.е. в качестве функции выбирается одна из первообразных для функции .
Для вычисления интеграла можно использовать и следующее свойство неопределённого интеграла: если , то , где - табличный интеграл. В данном случае, так как , то .
Тогда, получим:
Ответ: .
г) Интеграл относится к интегралам вида . Для его вычисления сначала выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, затем сделаем замену переменной интегрирования. Получим:
=[представляем интеграл в виде суммы интегралов].
Вычислим каждый из интегралов в отдельности: 1)
.
Одним из часто выполняемых преобразований является преобразование: , где- некоторые числа.
2)
Тогда:
.
Ответ: .
Конечное выражение для неопределённого интеграла записывают, указывая одну из первообразных и добавляя к ней произвольную постоянную .
д) Интеграл относится к интегралам от рациональных дробей. В данном случае подынтегральная функция является правильной рациональной дробью.
Для вычисления интеграла, сначала разложим дробь на простые дроби: , где неизвестные постоянные найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этого выражение в правой части разложения приведем к общему знаменателю:
и приравняем числители правой и левой дробей. Получим:
Два многочлена одинакового порядка равны, тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях .
Приравняв соответствующие коэффициенты этих многочленов, получим систему линейных уравнений относительно : .
Решив систему (например, методоми Гаусса или Крамера), найдем , , . Тогда .
Затем подставим это разложение в исходный интеграл и используем свойство линейности интегралов.
, где -некоторые числа.
Получим: .
Вычислим теперь каждый из интегралов в отдельности:
1) .
2) .
3) .
Тогда получим: .
Ответ: .
е) Интеграл относится к интегралам вида . Вычисление интеграла сводим методом замены переменной интегрирования к вычислению табличных интегралов от новой переменной, с последующей обратной заменой переменной.
Так как для подынтегральной функции выполняется условие , то сделаем подстановку . Получим:
.
2. Вычислить определённые интегралы: а) б)
Определённый интеграл для функции , непрерывной на отрезке , вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница: , где -одна из её первообразных, используя для нахождения все приёмы и методы вычисления неопределённых интегралов.
Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются:
1) формула интегрирования по частям , где функции и непрерывно дифференцируемы на ;
2) формула замены переменной интегрирования
, где функция - непрерывно дифференцируема на отрезке . Часто замена переменной в определённом интеграле выполняется с помощью подстановки по формуле: , где функция - непрерывно дифференцируема на отрезке .
Решение.
а) Первообразная для подынтегральной функции принадлежит к классу первообразных вида . С помощью подстановки (в нашем случае ) и формулы замены переменной в определенном интеграле получим:
.
Для вычисления последнего интеграла используем формулу понижения степени: . Тогда
.
б) Первообразная для подынтегральной функции относится к первообразным вида , где - целые числа. С помощью подстановки , где - наименьший общий знаменатель дробей (в нашем случае – подстановки ), данный интеграл сводим к интегралу от рациональной функции новой переменной :
.
Последний интеграл является интегралом от неправильной рациональной дроби. Для его вычисления, разделим «уголком» числитель на знаменатель и представим подынтегральную функцию в виде:
.
Тогда
.
Для нахождения первообразной вида , где - многочлен порядка , можно использовать также подстановку .
Ответ: а); б) .
3. Вычислить несобственный интеграл I-ого рода или установить его расходимость.
Решение.
По определению несобственного интеграла имеем . Определенный интеграл, стоящий под знаком предела, вычислим методом замены переменной: Тогда .
Ответ: Несобственный интеграл сходится и равен .
4. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями: , , , .
Площадь фигуры , где -непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением, вычисляется по формуле: .
Площадь фигуры где -непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением, вычисляется по формуле: .
Решение.
1) Изобразим фигуру :
2) Представим в виде .
Если или , то фигуру прямыми, параллельными осям координат, разбивают на части, такие, чтобы они имели вид или . При этом площадь фигуры находят как сумму площадей её частей.
3) Вычислим площадь:
.
Ответ: .
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением: , .
Длина дуги кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле .
Решение.
1) Сначала найдём: . Тогда
.
2) Вычислим длину: . Последний интеграл является интегралом от неправильной рациональной дроби. Для его вычисления, разделим «уголком» числитель на знаменатель и представим подынтегральную функцию в виде: . Тогда:
.
Ответ: .
6. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры , ограниченной линиями: , , , .
Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры , где - непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением, вычисляется по формуле: .
Решение.
1) Изобразим фигуру :
2) Представим в виде .
Если , то фигуру прямыми, параллельными оси , разбиваем на части, такие, чтобы они имели вид . При этом объём тела, образованного вращением фигуры находим как сумму объёмов тел, образованных вращением её частей.
Так как это сделать невозможно, то фигуру разобьём прямыми , на три части ,,, такие что и представим их в виде:, , . При этом .
3) Вычислим объём тела вращения: . Так как
,
,
то: .
Ответ: .
7. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах (изобразить область интегрирования):
.
Повторным интегралом называют: 1) интеграл вида по области , называемой элементарной в направлении оси , где-непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением; 2) интеграл вида по области , называемой элементарной в направлении оси , где -непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением.
При изменении порядка интегрирования в повторных интегралах:
1) Если и , то область прямыми, параллельными оси , разбивают на части , такие, чтобы . При этом повторный интеграл по области представляют в виде суммы повторных интегралов по областям .
2) Если и , то область прямыми, параллельными оси , разбивают на части , такие, чтобы . При этом повторный интеграл по области представляют в виде суммы повторных интегралов по областям .
Решение.
1) Представим области интегрирования и , являющиеся элементарными в направлении оси для каждого из данных повторных интегралов, в виде и :
, .
2) Изобразим на одном рисунке области интегрирования и .
Очевидно, что .
3) Представим в виде - элементарной области в направлении оси : .
4) Запишем повторный интеграл для функции по области :
.
Таким образом, изменив порядок интегрирования, получим:
.
Ответ: .
Неявное уравнение окружности с центром в точке и радиусом представляют явными уравнениями:
8. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями:
Если , где - непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением, то двойной интеграл вычисляется по формуле . Если где -непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением, то двойной интеграл вычисляется по формуле .
Решение.
1) Изобразим область интегрирования :
2) Представим в виде : .
Если или , то область прямыми, параллельными осям координат, разбивают на части, такие, чтобы они имели вид или . При этом двойной интеграл по области находят как сумму двойных интегралов по её элементарным частям.
3) Вычислим двойной интеграл:
В повторном интеграле сначала вычислим внутренний интеграл по переменной , считая переменную постоянной величиной:
.
Теперь вычислим внешний интеграл по переменной :
Ответ: 11.
9. Найти среднее значение непрерывной функции в области , ограниченной линиями: .
Среднее значение функции непрерывной в области находится по формуле: , где - площадь области .
Решение.
1) Изобразим область :
2) Представим в виде : .
Если и , то при выборе формулы для вычисления двойного интеграла через повторный интеграл, следует учитывать вид подынтегральной функции и выбирать такую формулу, для которой вычисления будут наиболее простыми. В данном случае следует выбрать формулу, в которой повторный интеграл записывается для области .
3) Вычислим двойной интеграл :
.
В повторном интеграле сначала вычислим внутренний интеграл по переменной , считая переменную постоянной величиной:
.
Затем вычислим внешний интеграл по переменной :
.
4) Вычислим площадь области : . В повторном интеграле сначала вычислим внутренний интеграл по переменной , считая переменную постоянной величиной: . Затем вычислим внешний интеграл по переменной : Таким образом .
Если область представляет собой классическую фигуру (прямоугольник, треугольник, круг,…), то её площадь можно найти по известным для таких фигур формулам. В данном примере - прямоугольник, площадь которого .
5) Найдём среднее значение функции:
Ответ: .
10. Найти площадь (с помощью двойного интеграла) фигуры , ограниченной линиями: .
Решение.
1) Изобразим фигуру :
2) Представим в виде .
В направлении оси область элементарной не является, т.е. .
Если и , то фигуру прямыми, параллельными осям координат, разбивают на части, такие, чтобы они имели вид или . При этом площадь фигуры находят как сумму площадей её частей.
С этой целью составим систему уравнений: и найдем ординаты точек пересечения окружности с параболой. Для этого, исключив переменную , получим уравнение относительно переменной : . Решив данное уравнение, найдём . Таким образом: , - ординаты точек пересечения окружности с параболой. Тогда .
3) Вычислим площадь фигуры : .
В повторном интеграле сначала вычислим внутренний интеграл по переменной , считая переменную постоянной величиной:
.
Затем вычислим внешний интеграл по переменной :
.
Так как
;
, то
. Тогда .
Ответ: .
11. Исследовать на сходимость ряды и указать применяемые признаки:
а) ; б) ; в) .
Если общий член числового ряда представляет собой отношение многочленов или алгебраических функций относительно аргумента , то исследование его на сходимость следует начинать с проверки необходимого признака сходимости. Если он не выполняется, то ряд расходится, в противном случае проводят дополнительное исследование на сходимость, используя предельный признак сравнения, где в качестве ряда сравнения выбирают обобщённый гармонический ряд.
Если в выражение общего члена числового ряда входят: ,, то для исследования его на сходимость следует применить признак Даламбера. Если выражение для можно представить в виде , то для исследования ряда на сходимость следует применить радикальный признак Коши.
Решение.
а) Для данного ряда проверим сначала выполнение необходимого признака сходимости: (если он не выполняется, то ряд расходится). Получим
. Так как необходимый признак сходимости выполняется, то требуется дополнительное исследование ряда на сходимость.
Используем для исследования на сходимость предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения выберем ряд , который сходится, как обобщённый гармонический ряд с показателем степени .
При выборе в качестве ряда сравнения обобщённого гармонического ряда руководствуются следующим, если , где - некоторое число, то ряд сравнения имеет вид .
Тогда, по предельному признаку сравнения, так как , то ряды и или одновременно сходятся, или одновременно расходятся. Поскольку ряд сходится, то ряд также сходится.
Ответ: Ряд сходится по предельному признаку сравнения.
При исследовании рядов на сходимость следует иметь в виду следующие предельные значения функций: , , , , , , а также известные пределы: (), , , , .
б) Данный ряд исследуем на сходимость по признаку Даламбера. Для этого вычислим предел , где В полученном для выражении выполним преобразование с факториалом и сократим числитель и знаменатель на общие множители. Получим .
Так как , то по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: Ряд сходится по признаку Даламбера..
в) Данный ряд исследуем на сходимость по радикальному признаку Коши. Для этого вычислим предел , где . С учётом известного предела , получим
. Так как , то по радикальному признаку Коши ряд сходится.
Ответ: Ряд сходится по радикальному признаку Коши.
12. Найти интервал, радиус и область сходимости степенного ряда .
Интервал сходимости степенного ряда обычно находят решая неравенство , где , , - радиус сходимости.
Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки , если в них ряд сходится. Для исследования сходимости ряда на концах интервала сходимости обычно применяют признаки сравнения (для рядов с положительными членами) и признак Лейбница (для знакочередующихся рядов).
Решение.
1) Найдём интервал сходимости степенного ряда. Для
этого сначала вычислим предел
. Затем решим неравенство . Полученное неравенство равносильно системе неравенств , откуда: . Таким образом, интервалом сходимости данного ряда является интервал .
2) Радиус сходимости степенного ряда найдём, учитывая, что интервалом его сходимости , где , является интервал , т.е. из условия или . Откуда .
3) Для нахождения области сходимости степенного ряда исследуем его сходимость на концах интервала сходимости , т.е. в точках и .
При получим знакочередующийся числовой ряд . Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд , где , сходится, если: 1); 2) (может выполняться начиная с номера ).
Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница:
1) ; 2) . Оба условия выполняются и, следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
При получим числовой ряд , являющийся обобщенным гармоническим рядом с показателем степени . Так как , то этот ряд сходится.
Таким образом, в точках и степенной ряд сходится и тогда областью его сходимости является промежуток .
Ответ: Для степенного ряда: - интервал сходимости; - радиус сходимости; - область сходимости.
13. Найти первые три отличные от нуля члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки .
Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд
.
Решение.
Найдём сначала первые три отличные от нуля производные функции в точке : ,,,. Получим:
;
;
.
Теперь подставим найденные ненулевые значения производных в ряд Тейлора функции в окрестности точки и получим:
.
Ответ: .
14. Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию определённую следующим образом: (в ответе указать первые пять отличные от нуля члена ряда). Построить график функции .
Разложение в ряд Фурье -периодической функции - кусочно-монотонной и непрерывной на промежутке , за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, во всякой точке её непрерывности имеет вид: ,
где коэффициенты и определяются формулами:
,; , .
Решение:
1) Найдём коэффициенты ряда Фурье: и :
[для вычисления интегралов применим метод интегрирования по частям]
;
[для вычисления интегралов применим метод интегрирования по частям]
.
Таким образом, получили, что:
, , .
2) Запишем разложение -периодической функции в ряд Фурье: .
Полученное равенство имеет смысл во всех точках.
Если -периодическая функция имеет точки разрыва 1-го рода, то:
полученное равенство имеет смысл во всех точках, кроме точек её разрыва.
3) Запишем разложение, указав в нём первые пять ненулевых членов ряда Фурье. Для этого вычислим первые пять ненулевых коэффициента ряда Фурье: :, , , , , , , , , , , , , . Таким образом, первыми пятью ненулевыми коэффициентами ряда Фурье являются коэффициенты , , , , и разложение -периодической функции в ряд Фурье имеет вид: .
4) Построим график -периодической функции :
Ответ:
15. Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.
а) б)
Решение.
Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.
а) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде
.
Действительно, осуществив в исходном уравнении замену и умножив его затем на , получим: , т.е. уравнение с разделяющимися переменными.
Нахождение общего решения уравнения, путём деления обеих его частей на , сводится к интегрированию уравнения с разделёнными переменными , где , , общее решение которого записывается в виде .
Разделим обе части уравнения на множитель , получим ДУ с разделёнными переменными:.
Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:
, где - произвольная постоянная.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно обязательно содержать одну произвольную постоянную.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):
,
Тогда общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:
.
Ответ: , где - произвольная постоянная.
б) Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, так как его можно записать в виде . Действительно, выполнив преобразования: , получим .
При выполнении преобразований однородного ДУ первого порядка к виду следует учесть, что .
Нахождение общего решения однородного ДУ первого порядка с помощью подстановки , или , где - новая неизвестная функция, сводится к нахождению общего решения ДУ с разделяющимися переменными относительно функции с последующей заменой .
С помощью подстановки , уравнение или приведём к ДУ с разделяющимися переменными вида относительно новой неизвестной функции . Получим:
.
Последнее уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Сведём его, разделив обе части уравнения на множитель к уравнению с разделёнными переменными. Получим:
.
Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:
, где - произвольная постоянная.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):
;
.
Тогда общее решение последнего дифференциального уравнения запишется в виде: илив виде: , где - новая произвольная постоянная.
Теперь в найденном решении вернёмся к старой неизвестной функции , выполнив обратную замену . В итоге получим:
или .
Ответ: , где - произвольная постоянная.
, .
Решение.
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде , где , .
Общее решение ЛДУ первого порядка находится с помощью подстановки , где ,- новые неизвестные функции. Одну из них, например , находят в виде , где - какая-нибудь первообразная для функции , тогда другую неизвестную функцию находят в виде общего решения ДУ: . В итоге будет найдено и общее решение исходного уравнения в виде
Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию получают из общего решения данного уравнения при конкретном значении произвольной постоянной . Находят как решение уравнения, получаемого подстановкой в общее решение начального условия.
Сначала найдем общее решение линейного ДУ первого порядка. Его ищем в виде , где и - новые неизвестные функции.
Функцию найдём в виде , где - какая-нибудь первообразная для функции . Вычислив интеграл, получим . Тогда .
Простейшим ДУ первого порядка называется уравнение вида . Общее решение такого уравнения находится интегрированием и записывается в виде .
Функцию найдём как общее решение ДУ: , где , . Данное уравнение является простейшим ДУ первого порядка. Его общее решение найдём интегрированием и запишем в виде . Вычислив интеграл (с точностью до постоянной), получим:
.
Таким образом .
Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде:
.
Теперь найдём частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Его получим из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной , которое найдём из уравнения, полученного подстановкой начального условия в общее решение. В результате получим: . Тогда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию , запишется в виде:
.
Ответ: - общее решение; частное решение.
17. Требуется найти:
а) общее решение простейшего ДУ порядка : ;
б) общее и частное решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
, , .
Решение.
Общее решение простейшего ДУ -го порядка находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде:
.
Общее решение дифференциального уравнения порядка должно обязательно содержать разных произвольных постоянных.
а) Данное уравнение дважды проинтегрируем.
После первого интегрирования получим: . Интеграл вычислим (с точностью до постоянного слагаемого) методом интегрирования по частям. Получим:
. Тогда .
После второго интегрирования получим: .
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:
;
; .
Тогда
.
Ответ: .
Общее решение однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где - фундаментальная система его частных решений; -произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид ; 2) если - пара одинаковых действительных корней, то ФСР имеет вид ; 3) если - пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид .
Корни характеристического уравнения , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:
1) если дискриминант уравнения , то ;
2) если дискриминант уравнения , то .
б) Сначала найдём общее решение ДУ в виде: , где - фундаментальная система его частных решений.
Для нахождения ФСР, составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .
Тогда общее решение данного ДУ запишется в виде:.
Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: , . Для этого сначала найдём производную общего решения: . Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных и :
.
Решив систему, найдём: , . Тогда частное решение данного ДУ запишется в виде: .
Ответ:
Общее решение: ; частное решение: .
18. Требуется найти:
а) общее решение линейного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: ;
б) общее решение ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (с точностью до неизвестных постоянных в частном решении): .
Общее решение неоднородного ЛДУ 2-го порядка имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частью равно сумме частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями (принцип наложения решений).
Решение.
а) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющего правую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Для определения значений постоянных и , найдём производные и подставим выражения для вместо в неоднородное уравнение . Учитывая, что:
, ,
получим:
.
Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и : . Решив систему, найдём: , . Частное решение запишется тогда в виде: .
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ: .
б) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; -какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то, т.е. характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня , где , . Следовательно, ФСР имеет вид .
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения с правой частью . В данном случае функция не является функцией специального вида , но представляет собой сумму функций и , каждая из которых уже имеет специальный вид. Поэтому, используя принцип наложения решений, частное решение неоднородного ДУ с правой частью найдём в виде суммы частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями .
Сначала найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющего правую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём тогда в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому ; 2) , поэтому , , где - некоторые постоянные. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде: .
.
Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющего правую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём тогда в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - некоторые постоянные. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Общее решение исходного уравнения запишется тогда (с точностью до неизвестных постоянных в частном решении) в виде:
.
Ответ:
.
19. Найти общее решение разностного уравнения:
Общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения; - фундаментальная система частных решений (ФСР) однородного уравнения; - произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид ; 2) если - пара одинаковых действительных корней, то ФСР имеет вид ; 3) если -пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид, где;.
Частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , ….. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Решение.
а) Общее решение данного разностного уравнения найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного разностного уравнения ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного разностного уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного РУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного разностного уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющего правую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число , для которого и , является корнем характеристического уравнения кратности 1 (это число совпадает с корнем характеристического уравнения кратности 1:, для которого , ), поэтому ; 2) , поэтому , , где - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде: .
Для определения значения постоянной , найдём и подставим выражения для вместо в неоднородное разностное уравнение . Учитывая, что: ,
,
получим:.
Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим уравнение относительно неизвестной : . Решив уравнение, найдём: . Частное решение запишется тогда в виде: .
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ:.
20. Для заданных функций спроса и предложения на некоторый товар, найти зависимость равновесной цены от времени , если в начальный момент времени цена . Является ли равновесная цена устойчивой?
Равновесной ценой на некоторый товар называют цену для которой спрос и предложение на данный товар равны, т.е. . Равновесная цена является устойчивой, если существует .
Решение.
1) Найдём зависимость , такую что . Для этого приравняем и . Получим:
.
Таким образом, равновесная цена , такая что , является частным решением дифференциального уравнения при начальном условии .
Полученное дифференциальное уравнение является ДУ первого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать, с учётом того, что , в виде .
Сначала найдём общее решение данного ДУ, как уравнения с разделяющимися переменными. Получим:
, где -произвольные постоянные.
Теперь найдём для данного ДУ частное решение, удовлетворяющее начальному условию: . Для этого подставим начальные данные в общее решение и получим уравнение для определения :
Решив последнее уравнение, найдём:. Тогда частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию: , запишется в виде:
. Полученное решение и является равновесной ценой, такой, что .
2) Выясним, является ли равновесная цена устойчивой? Для этого вычислим предел . Получим: . Так как выполняется условие , то равновесная цена является устойчивой.
Ответ:-устойчивая равновесная цена, такая, что.
21. Для заданных функций спроса и предложения на некоторый товар, найти зависимость равновесной цены от времени , если в начальный момент времени : , . Является ли равновесная цена устойчивой?
Решение.
1) Найдём зависимость , такую что ,. Для этого приравняем и . Получим:
.
Таким образом, равновесная цена , такая что ,, является частным решением дифференциального уравнения при начальных условиях ,.
Полученное дифференциальное уравнение является неоднородным линейным ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Сначала найдём общее решение данного ДУ в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ:; -какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Для нахождения ФСР , составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения , имеющего правую часть специального вида (здесь , , , ), найдём в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Для определения значения постоянной , найдём производные и подставим выражения для вместо в неоднородное уравнение . Учитывая, что: , , получим: . Откуда .
Частное решение запишется тогда в виде: , а общее решение исходного дифференциального уравнения в виде:
.
Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: ,. Для этого сначала найдём производную общего решения: . Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных и :
.
Решив систему, найдём: , . Тогда частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: ,, запишется в виде: . Полученное решение и является равновесной ценой, такой, что ,.
2) Выясним, является ли равновесная цена устойчивой? Для этого вычислим предел . Получим: . Так как , то равновесная цена является устойчивой.
Ответ: - устойчивая равновесная цена, такая, что ,.
5. Краткие теоретические сведения.
Тема 1. Неопределённый интеграл.
Функция называется первообразной для функции на промежутке, если для всех . Функция может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для содержатся в выражении , где - произвольная постоянная, которое и называется неопределённым интегралом от функции и обозначается . Таким образом, по определению .
Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Функция для которой на промежутке существует первообразная или неопределённый интеграл называется интегрируемой на этом промежутке. Первообразная и неопределённый интеграл на промежутке существуют у любой непрерывной на этом промежутке функции. Нахождение неопределённого интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражения, чтобы получить интегралы из таблицы основных интегралов (приложение 6.3).
Основные свойства неопределённого интеграла:
1. . 2. .
3. ().
4. .
5. Если , то , .
Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и по частям.
Непосредственным интегрированием (интегрированием методом разложения) функции называют отыскание неопределённого интеграла с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции , свойств 3-4 неопределённого интеграла и таблицы основных интегралов.
Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интеграла к нахождению более простого интеграла с последующей заменой .
Существуют два варианта замены переменной интегрирования:
1) Метод подведения функции под знак дифференциала.
Если подынтегральное выражение может быть записано в виде
, где - дифференцируемая функция, то осуществляется замена . Тогда
.
При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 6.3), в частности, преобразования:
; ;
, .
2) Метод подстановки.
Если функция дифференцируема и имеет обратную на соответствующем промежутке, то справедливо равенство
.
Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.
Если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:
или кратко .
Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл может оказаться проще интеграла .
Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,
, , , причём в качестве выбирается ; 2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , причём в качестве выбирается одна из указанных выше функций. Указанные группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
Интегрирование основных классов элементарных функций.
Вычисление интегралов вида и , выделяя в квадратном трёхчлене полный квадрат и делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению табличных интегралов (см. приложение 6.3) и интегралов вида и , которые сводят к табличным заменой переменной .
Вычисление интегралов вида , делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению интегралов, рассмотренных выше.
Рациональной дробью называется рациональная функция вида . Если , то дробь неправильная, в противном случае – правильная. Всякую неправильную дробь всегда можно представить в виде , где , -многочлены от , причём . Выделение целой части (многочлена ) в неправильной дроби производят делением числителя на знаменатель, выполняемое «уголком». Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.
Интегрирование правильной рациональной дроби основано на её представлении в виде конечной суммы простейших дробей вида , , , , причём трёхчлен не имеет действительных корней. Вид этого разложения определяется разложением знаменателя дроби на линейные и квадратичные множители (не имеющие действительных корней).
Каждому линейному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида . Каждому квадратичному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида .
Неизвестные постоянные , , в разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей определяют методом неопределённых коэффициентов. Для этого правую часть искомого разложения приводят к общему знаменателю (им будет многочлен ), после чего у получившегося в числителе многочлена с неизвестными постоянными и у многочлена приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получают систему линейных уравнений, решая которую находят неизвестные постоянные. Можно также определять , , , подставляя в равенство, полученное приравниванием числителя к числителю дроби с неизвестными постоянными, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю , вместо некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя ) (метод частных значений). Часто, при нахождении неизвестных постоянных, комбинируют оба способа.
Интегралы вида , где -рациональная функция относительно аргументов и , приводятся к интегралам вида , где -рациональная функция относительно аргумента , с помощью универсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы
, , .
Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:
1) , если , при этом: , ;
2) , если , при этом: , ;
3) , еслиили, при этом: , , ;
4) , если , при этом . Здесь - рациональная функция относительно аргументов , .
Интегралы вида , где , - целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул: , .
Интегралы вида ,, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:
;
;
.
Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:
; ; ; .
Интегралы вида , где -рациональная функция своих аргументов, -целые числа, вычисляются с помощью подстановки , где - наименьший общий знаменатель дробей .
Вычисление интегралов вида , где -рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене и заменой , сводится к вычислению интегралов вида:
1) ; 2) ; 3) , где - рациональная функция своих аргументов.
Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:
1) или ;
2) или ;
3) или
приводятся к интегралам вида или , где - рациональная функция своих аргументов
Тема 2. Определённый интеграл.
К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , , и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа , называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на данном отрезке.
Если функция интегрируема на , то, по определению, полагают , .
Основные свойства определённого интеграла:
1. .
2. .
3. .
4. Если на , то .
5. Если непрерывна на отрезке , - наименьшее, - наибольшее значения на , то (теорема об оценке определённого интеграла) .
6. Если непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что справедливо равенство (теорема о среднем значении). Число называется при этом средним значением функции непрерывной на отрезке .
Понятие определённого интеграла тесно связано с понятием неопределённого интеграла (первообразной).
Если функция непрерывна на отрезке и - одна из её первообразных, то справедливо равенство:
(формула Ньютона-Лейбница).
Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле.
Если функции и непрерывно дифференцируемы на , то
(формула интегрирования по частям).
Если функция - непрерывно дифференцируема на отрезке и функция непрерывна на отрезке , где , ( -образ отрезка , т.е. отрезок для которого при всех ), то
(формула замены переменной).
При замене переменной в определённом интеграле в отличие от вычисления неопределённого не нужно возвращаться к исходному аргументу, так как преобразованный определённый интеграл берётся по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.
При вычислении неопределённого интеграла по умолчанию предполагалось, что первообразная находится на тех промежутках, на которых выполняемые преобразования подынтегральной функции являются тождественными. При вычислении же определённого интеграла первообразная находится на заданном отрезке, поэтому здесь уже необходимо следить за тождественностью выполняемых преобразований.
Геометрические приложения определённого интеграла.
Площадь фигуры (рис.1) , равна
.
Площадь фигуры (рис.2) , равна
.
Рис.1 Рис.2
Если фигура (рис.3) ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями ,, прямыми , и осью , то её площадь равна , где и определяются из уравнений , ( на отрезке ).
Площадь криволинейного сектора (рис.4) , , где - полярные координаты, равна .
Рис.3 Рис.4
Длина дуги плоской кривой , равна
.
Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями
,, , равна .
Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , , равна:
.
Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , равна .
Если - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси , в точке с аппликатой , то объём этого тела равен , где и - аппликаты крайних сечений тела.
Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры (рис.5) , равен .
Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры (рис.6) ,, равен .
Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры (рис.7) , , равен .
Рис.5 Рис.6 Рис.7
Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
Объём продукции , произведённой за отрезок времени при производительности , равен .
Издержки производства при известной функции издержек и заданном изменении объёма производства равны .
Тема 3. Несобственные интегралы.
Интегралы с бесконечными пределами.
Если функция интегрируема на отрезке , то несобственным интегралом первого рода от функции на промежутке называется и обозначается , т.е. . Аналогично: .
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Несобственный интегралопределяется равенством:
, где - произвольное число, причём интеграл в левой части равенства сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.
Интегралы от неограниченных функций.
Если функция интегрируема при и , то несобственным интегралом второго рода от функции на отрезке называется и обозначается , т.е.. Аналогично, в случае и : .
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Тема 4. Кратные интегралы.
Замкнутую область , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , будем называть элементарной в направлении оси и обозначать (рис.8).
Замкнутую область , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , будем называть элементарной в направлении оси и обозначать (рис.9).
Рис.8 Рис.9
Область, элементарная в направлении одной из осей, не обязана быть элементарной в направлении другой.
Выражение называется повторным интегралом от
функции по области , а выражение называется повторным интегралом от функции по области .
В повторных интегралах сначала вычисляются внутренние интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешняя переменная считается постоянной. В результате получится подынтегральная функция для внешнего интеграла, интегрируя которую получим число.
Имеет место равенство =, если . Если не является множеством такого вида, то при изменении порядка интегрирования, её представляют в виде конечного объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей , каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Тогда в силу аддитивности повторный интеграл по области будет равен сумме повторных интегралов по областям .
Представление области в виде , часто существенно упрощается при изображении области на чертеже.
Двойным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой области называется число , где , и суммирование ведётся по тем значениям и , для которых .
Двойной интеграл по области вычисляется по формуле
.
Двойной интеграл по области вычисляется по формуле
.
Если не является множеством такого вида, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей , каждая из которых является элементарной в направлении той или другой оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла
.
При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , связанным с прямоугольными координатами соотношениями , , имеет место формула , где - область интегрирования в плоскости переменных и .
Если область имеет вид , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , то двойной интеграл , где , вычисляется по формуле . Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
Площадь области вычисляется по формуле . При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , имеет место формула , где - область интегрирования в плоскости переменных и .
Среднее значение непрерывной функции в области вычисляется по формуле .
Объём υ цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область , вычисляется по формуле υ. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , имеет место формула υ, где - область интегрирования в плоскости переменных и .
Тема 5. Числовые ряды.
Выражение вида , где - последовательность чисел, называется числовым рядом и обозначатся . Ряд называется остатком -ого порядка исходного ряда и обозначается . Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел и расходящимся, если предел не существует. Число называется суммой сходящегося ряда, при этом пишут . Одновременно с рядом сходится и расходится его остаток . В случае сходящегося ряда его остаток записывают в виде .
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости ряда). Обратное утверждение неверно.
Если , то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).
Признак сравнения. Если для рядов и , начиная с некоторого , для всех выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Предельный признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если ~ при ), то ряды и (, начиная с некоторого ) сходятся или расходятся одновременно.
Для применения признаков сравнения необходимо наличие «эталонных» рядов, сходимость или расходимость которых известна. В качестве «эталонных» рядов широко используются: 1) обобщённый гармонический ряд , который сходится при и расходится при; 2) геометрический ряд , который сходится при , при этом его сумма равна и расходится при . Таким образом, для применения признаков сравнения нужно найти последовательность или , где - некоторые числа, такую, что ~ или ~ при .
Полезно иметь в виду эквивалентности (при , ):
~~~~~,
~,
а также оценки (), имеющие место, начиная с некоторого , для всех .
Признак Даламбера. Если для ряда (начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.
Признак Коши (радикальный). Если для ряда (начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.
При применении признака Коши полезно иметь в виду, что: , , , где - многочлен порядка относительно .
Интегральный признак Коши. Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд сходится. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.
Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при перестановке членов ряда. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому числу.
Если ряд абсолютно сходится, то он является сходящимся (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).
Для исследования ряда на абсолютную сходимость используют известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В частности, ряд сходится абсолютно, если или . В общем случае из расходимости ряда не следует расходимость ряда . Но если или , то расходится не только ряд , но и ряд .
Ряд называется знакочередующимся, если все его соседние члены имеют разные знаки.
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда () модуль его общего члена монотонно стремится к нулю, т.е. выполнены условия: 1) (может начать выполняться начиная с некоторого ); 2) , то знакочередующийся ряд сходится (по крайней мере условно). Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка .
Сумму знакочередующегося ряда с заданной степенью точности вычисляют по приближённой формуле , где - минимальный из номеров, дл которых .
Тема 6. Функциональные последовательности и ряды.
Выражение вида , где - последовательность функций, определённых на одном и том же множестве , называется функциональным рядом, определённым на и обозначается . Функция называется -ой частичной суммой функционального ряда.
Точка , в которой сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество , состоящее из всех точек сходимости функционального ряда, называется его областью сходимости. Область сходимости функционального ряда обычно уже, чем область его определения .
Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если при всех сходится ряд . Всякий ряд, абсолютно сходящийся на множестве , сходится на этом множестве. Область абсолютной сходимости ряда обычно уже его области сходимости .
Функцию , определённую в области сходимости функционального ряда такую, что при любом фиксированном , называют суммой ряда и пишут . При остаток ряда представляет собой также функцию , где при и при любом .
Для нахождения области сходимости ряда применяют известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным.
В частности, на основании признаков Даламбера и Коши (радикального) можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если и , соответственно, и расходится, если . В точках , в которых , сходимость ряда исследуют с помощью других признаков (например, признаков сравнения, интегрального признака Коши, признака Лейбница) .
Тема 7. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - действительные числа. Числа называются коэффициентами ряда.
Всякий степенной ряд сходится в точке .
Радиусом сходимости степенного ряда называется число такое, что при ряд сходится (и притом абсолютно), а при расходится. Интервал при этом называется интервалом сходимости ряда. На концах интервала сходимости, т.е. в точках , ряд может как сходится, так и расходится.
Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки , если в них ряд сходится. В частности, радиус сходимости может быть равен , тогда область сходимости ряда состоит из одной точки , и , тогда областью сходимости ряда является вся числовая прямая) .
Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), вычисляя пределы или и решая неравенство .
Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:
.
Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:
1) ;
2) .
Степенной ряд называется рядом Тейлора функции в точке . При ряд Тейлора называется рядом Маклорена: .
Представление функции в виде , называется разложением в ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток ряда при для всех из некоторой окрестности точки , входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой , где .
При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.
Тема 8. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется функциональный ряд вида , где числа и , называемые коэффициентами Фурье функции , вычисляются по формулам:
, , .
Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.
Если функция на отрезке кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке , в которой непрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье . В точках разрыва функции и точках сумма ряда Фурье определяется формулами и .
В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение ,где ,;
2) функция - нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение , где , .
Если функция задана только в интервале , то её можно продолжить в интервал либо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервале в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.
Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида , где - искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.
Уравнение вида , где - заданная функция переменных и , называется ДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать в дифференциальной форме: , где и - заданные функции переменных и .
Условие , где , -заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.
Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной , такое, из которого при надлежащем выборе значения постоянной можно получить решение , удовлетворяющее заданному начальному условию . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.
Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной (при этом не исключаются и значения ). Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом уравнения.
Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).
ДУ вида называется уравнением с разделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .
ДУ вида или называется уравнением с разделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или , сводится (с учётом ) к интегрированию уравнения с разделёнными переменными.
При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или . Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения ) или являются особыми решениями.
Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл ; 2) найти то частное решение (частный интеграл ) которое удовлетворяет заданному начальному условию .
Дифференциальное уравнение вида или , где и - однородные функции одинаковой степени, называется однородным.
Функция , обладающая свойством при всех , называется однородной функцией степени .
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , или , где - новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функции и возвращаясь к искомой функции , находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки , использовать подстановку , где - новая неизвестная функция.
Уравнение вида называется линейным. Уравнение , в котором правая часть тождественно равна нулю, называется однородным линейным уравнением.
Общее решение неоднородного линейного уравнения находится подстановкой , , где и - неизвестные функции от . Уравнение тогда примет вид . Приравняв нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его частного решения , где - какая-нибудь первообразная для . Подставив затем найденное выражение в уравнение , получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его общего решения. В результате найдём и общее решение исходного уравнения в виде .
Уравнение вида , где и , называется уравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли, также как и линейного, находится подстановкой .
Тема 10. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнение вида , где - искомая функция, называется дифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называется интегралом уравнения.
Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называют нормальной.
Условия ,,…,, где ,,,…, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.
Общим решением ДУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям ,,…,. Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.
Частным решением ДУ -го порядка называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных . Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом.
Если для искомого частного решения уравнения заданы начальные условия ,,…, и известно общее решение уравнения, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений
.
Уравнение вида называется простейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде
.
Уравнение вида , , не содержащее явно искомой функции , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению порядка .
Функции ,,…, называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные ,,…,, не все равные нулю, такие, что для всех . Если равенство выполняется для всех только при условии , то данные функции называются линейно независимыми на .
Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) -го порядка , где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если , то уравнение называется однородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид .
Любая система из линейно независимых частных решений ,,…, однородного линейного уравнения называется фундаментальной системой его решений.
Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные .
Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения .
А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение дифференциального уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: ,,,…,; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , ; 4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности , то ей в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , , , ,, .
Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частью равно сумме частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями (принцип наложения решений).
Частное решение уравнения с любой правой частью может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде , где неизвестные функции , определяются из системы уравнений:
.
Тема 11. Системы дифференциальных уравнений.
Система дифференциальных уравнений вида , где - искомые функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Число называется порядком системы. Совокупность функций ,,…, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.
Условия ,,…,, где ,, ,…, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения нормальной системы уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.
Общим решением нормальной системы ДУ называется решение:
,,…,,
зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,…,. Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом системы.
Частным решением системы называется решение ,,…,, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных . Если для искомого частного решения системы заданы начальные условия ,…, и известно общее решение ,,…,системы, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений .
Нормальные системы ДУ с небольшим числом уравнений решают методом исключения неизвестных функций приводя их к одному дифференциальному уравнению -го порядка или к нескольким уравнениям порядка, меньшего чем .
Для нахождения решения, например, нормальной системы двух уравнений ,, где , - неизвестные функции независимой переменной поступают следующим образом. Сначала дифференцируют по первое из уравнений системы и получают уравнение . Затем определяют из первого уравнения системы и подставляют найденное выражение в уравнение . В результате получают ДУ второго порядка относительно неизвестной функции , решая которое находят , где и -произвольные постоянные. Подставляя в формулу , определяют функцию . Совокупность функций , даёт общее решение системы.
Тема 12. Обыкновенные разностные уравнения.
Если неизвестная функция и заданная функция являются функциями одного целочисленного аргумента , то уравнение вида , , где - постоянные коэффициенты, называется линейным разностным уравнением (ЛРУ) го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение называется однородным.
Функция , , обращающая разностное уравнение в тождество, называется его решением.
Условия ,,…,, где ,,…,- заданные числа, называются начальными условиями.
Общим решением РУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям ,,…,. Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .
Общее решение однородного ЛРУ -го порядка ищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения , в виде , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.
Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядка называется любая система из линейно независимых частных решений ,,…, этого уравнения.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение разностного уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: ,,,…,; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , , где , .
Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного разностного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
По аналогии с нормальными системами дифференциальных уравнений рассматриваются также и нормальные системы разностных уравнений вида , где - искомые функции, - заданные функции целочисленного аргумента , . Число называется порядком системы. Совокупность функций ,,…, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.
Условия ,,…,, где, ,…, - заданные числа, называются начальными условиями.
Общим решением системы РУ -го порядка называется решение:
,,…,,
зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,,…,.
Частным решением системы называется решение ,,…,, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .