Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР
Пермский политехнический институт
Кафедра математического анализа
Утверждено
на заседании кафедры
28 марта 1987 г.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методическая разработка
для самостоятельной работы студентов
и задания для расчетно-графической работы
Часть 3
Пермь 1988
ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.
Результаты наблюдений над случайными величинами используются для проверки правильности предположений относительно распределения генеральной совокупности. Всякое предположение о значениях параметров распределения или о виде закона распределения наблюдаемой случайной величины называют статистической гипотезой. Гипотеза называется параметрической, если предположения касаются значений параметров распределения, и – непараметрической, если содержит предположения о виде закона распределения. Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается Нₒ. Нулевые гипотезы обычно утверждают, что различия между сравниваемыми величинами (параметрами или функциями распределения) отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями выборки. Наряду с гипотезой Нₒ рассматривают одну из альтернативных гипотез H, конкурирующих с Нₒ в том смысле, что если нулевая гипотеза отвергается, то принимается альтернативная. Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра Θ некоторому значению Θₒ, т.е. Н: Θ = Θₒ, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих:
H:Θ≠Θₒ ; : Θ>Θₒ ; : Θ<Θₒ ; : Θ=Θ (Θ≠Θₒ)
Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретным содержанием задачи.
Задача статистической проверки гипотезы состоит в том, чтобы сформулировать такое правило, которое позволяло бы по результатам наблюдений принять или отклонить эту гипотезу. Правило, согласно которому проверяемая гипотеза Нₒ принимается или отвергается, называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы Нₒ. Так как решение принимается на основе выборки, необходимо выбрать подходящую выборочную статистику критерия, являющуюся функцией наблюдаемых значений, точное или приближенное распределение которой известно. При проверке простой параметрической гипотезы (гипотезы, содержащей предположение об одном значении параметра) в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки этого параметра
Пусть для проверки некоторой нулевой гипотезы Нₒ относительно параметра распределения служит выборочная статистика К. Предположим, что плотность распределения вероятностей выборочной статистики К при условии справедливости проверяемой гипотезы Нₒ равна , и имеет вид, изображенный на рисунке, а математическое ожидание статистики равно Кₒ. Тогда вероятность того, что случайная величина К попадет в произвольный интервал , можно найти по формуле: .
Зададим эту вероятность равной и вычислим квантили К-распределения и :
,
.
Следовательно, вероятность того, что случайная величина будет находится внутри интервала , равна , а вероятность того, что она окажется вне этого интервала, равна.
Зададим вероятность настолько малой, чтобы попадание К за пределы интервала можно было считать маловероятным событием. Тогда, из принципа практической невозможности маловероятных событий, можно считать, что если нулевая гипотеза справедлива, то при проверки ее с помощью критерия К наблюдаемое его значение (вычисленное по данным выборки), должно обязательно попасть внутрь интервала . Поэтому этот интервал называют областью допустимых значений критерия, при которых нулевая гипотеза не отклоняется, или областью согласия с гипотезой.
Если же наблюдаемое значение критерия К попадет за пределы рассматриваемого интервала, то это означает, что произошло маловероятное событие, т.е. что проверяемая нулевая гипотеза с вероятностью неверна. В связи с этим, области: и называются областями отклонения проверяемой нулевой гипотезы или критической областью критерия К.
Вероятность называют уровнем значимости. Уровень значимости определяет «размер» критической области. Положение критической области на множестве значений статистики К зависит от формулировки альтернативной гипотезы H. Например, если проверяется гипотеза Нₒ: Θ = Θₒ, а альтернативная гипотеза формулируется как H:Θ>Θₒ (Θ<Θₒ), то критическая область располагается справа (слева) от математического ожидания Кₒ статистики К и называется односторонней (см. рисунок). В этом случае критерий К также называется односторонним (правосторонним или левосторонним). Если альтернативная гипотеза формулируется как H:Θ≠Θₒ , то критическая область размещается по обе стороны от Кₒ и называется двусторонней. Соответственно и критерий К в этом случае называют двусторонним.
Квантили и в этих случаях определяются из условий:
и
.
Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости (критерия, основанного на использовании заранее заданного уровня значимости) может быть разбита на следующие этапы:
Принятие решения о согласии опытных данных с нулевой гипотезой и принятия ее или об отклонении выдвинутой гипотезы.
Пример 1. Техническая норма предусматривает в среднем 40 с. На выполнение определенной технической операции, поступили сигналы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки произведены измерения времени выполнения этой технической операции у 16 работниц т получены следующие результаты:
с.(среднее время заполнения операции);
.
Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости отклонить гипотезу о том, что действительно среднее время исполнения этой технической операции соответствует норме?
Решение. Из условия следует, что нам надо проверить нулевую гипотезу Нₒ:m=40 с. (техническая норма установлена верно) против альтернативной гипотезы H:m > 40 с. (техническая норма установлена неверно). Для проверки данной нулевой гипотезы применим t-критерий значимости с правосторонней критической областью.
Вычислим наблюдаемое значение t-критерия.
По таблице квантилей распределения Стьюдента по уровню значимости и числу степеней свободы находим значение , удовлетворяющее условию . Это значение .
Так как , то нет оснований для отклонения нулевой гипотезы (пересмотра технической нормы времени исполнения данной операции). Таким образом, мы доказали, что разность между средним временем (по хронометражу), затрачиваемым на данную техническую операцию, и нормой времени существенно незначима (случайна).
Пример 2. Выборка 50 электроламп завода А показала среднюю продолжительность работы ч. со средним квадратическим отклонением 80 ч, а такая же по объему выборка того же типа ламп завода ч со средним квадратическим отклонением 994 ч. Проверить гипотезу о том, что эти заводы выпускают лампы одинакового качества (средний срок службы лам обоих заводов одинаков). Уровень значимости принять равным 0,05.
Решение. Так как объемы выборок достаточно велики, то предложив, что продолжительность работы электроламп, выпускаемых заводами А и Б, являются случайными величинами, имеющими нормальное распределение: и , причем , а и неизвестны. Согласно условию, нам необходимо проверить нулевую гипотезу Нₒ:=(средний срок службы ламп, выпускаемых заводами А и Б, одинаков) против альтернативной гипотезы H:>(лампы, выпускаемые заводом А, имеют большой срок службы).
Для проверки нулевой гипотезы применим правосторонний u-критерий. Вычислим наблюдаемое значение статистики
По таблице значений функции Лапласа найдем критическую точку (квантиль) , удовлетворяющую условию
. Это значение равно 1,64. Так как , то нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной. Другими словами, считается «статистически доказанным», что срок службы ламп, выпускаемых заводом А, больше срока службы ламп, выпускаемых заводом Б.
Пример 3. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера деталей, которая не должна превышать . Взята проба из 11 случайно отобранных деталей, и получены следующие результаты (в миллиметрах): 100,6; 99,6; 100,0; 100,1; 100,3; 100,0; 99,9; 100,2; 100,4; 100,6; 100,5. На основании имеющихся данных проверить, обеспечивает ли станок заданную точность. Уровень значимости принять равным 0,05.
Решение. Из условия следует, что нам необходимо проверить нулевую гипотезу (станок обеспечивает заданную точность) против альтернативной гипотезы (станок не обеспечивает заданную точность). Альтернативная гипотеза сформулирована в виде , так как мы не считаем . Если в действительности т окажется, что , то это означает, что станок хорошо налажен и выпускает детали более высокого качества, чем предполагалось.
Найдем точечные оценки параметров нормального закона:
Для проверки нулевой гипотезы применим критерий с правосторонней критической областью. Вычислим наблюдаемое значение тестовой статистики:
.
По таблицам квантилей -распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку , удовлетворяющую условию . Это значение равно 18,307.
Так как , нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной. Это значит, что станок не обеспечивает заданной точности и требует подналадки.
Пример 4. Двумя методами произведены измерения одной и той же физической величины. Первым методом эта величина измерялась 10 раз. Получены следующие результаты:
.
Вторым методом эта же величина измерялась 8 раз. Получены следующие результаты:
.
Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность. Уровень значимости принять . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы
Решение. Из условия следует, что нам необходимо проверить нулевую гипотезу (оба метода обеспечивают одинаковую точность) против альтернативной гипотезы (второй метод измерения обеспечивает более высокую точность).
Вычислим наблюдаемые значения F-критерия:
,
По таблице квантилей F-распределения по уровню значимости и числу степеней свободы и находим критическую точку .
Так как, то нет основания для отклонения нулевой гипотезы. Другими словами, имеющаяся информация о точности этих методов не дает основания считать, что второй метод измерения лучше первого.
ОШИБКИ, ДОПУСКАЕМЫЕ ПРИ ПРОВЕРКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.
При проверке статистических гипотез всегда существует риск принятия ложного решения. Пусть выборочное значение статистики попадет в критическую область и в соответствии с критерием гипотеза Нₒ отклоняется. Если тем не менее эта гипотеза верна, то принимаемое решение ошибочно. Ошибка, совершаемая при отклонении правильной нулевой гипотезы Нₒ называется ошибкой первого рода. Очевидно, вероятность допустить ошибку первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область, т.е. равна уровню значимости .
Ошибка второго рода происходит в том случае, если гипотеза Нₒ принимается, но она неверна, а верна в действительности альтернативная гипотеза . Вероятность совершения ошибки второго рода принято обозначать и можно вычислить по формуле:
,
Если критерий К левосторонний. Геометрическая интерпретация ошибок первого и второго рода дана на рисунке:
Из рисунка видно, что уменьшая вероятность совершения одной ощибки, мы тем самым увеличиваем вероятность другой ошибки. При этом выполняются следующие предельные соотношения:
, .
Доказательства этих соотношений мы не приводим. Первые два равенства говорят о том, что статистические доказательства истинности гипотез и становятся достоверными только при бесконечно большом объеме выборки и единственным способом одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода является увеличение объема выборки. Последнее равенство говорит о том, что уменьшая вероятность ошибки первого рода до нуля, мы при фиксированном объеме выборки допускаем неограниченный риск сделать ошибку второго рода.
Как же следует выбирать уровень значимости статистических критериев? Ответ на этот вопрос зависит от потерь, вызываемых ошибками первого и второго рода. Если совершение ошибки первого рода приведет к большим потерям по сравнению с потерями, вызываемыми совершением ошибки второго рода, то следует принят по возможности меньшее значение . При этом нельзя выбирать , так как будут приниматься все нулевые гипотезы, в том числе и неправильные, т.е. с практической достоверностью будут допускаться ошибки второго рода.
Рассматриваемые здесь критерии значимости – это односторонние действующие критерии, так как с их помощью принимается (с заранее фиксированным риском) только одно решение: «Отклонить проверяемую нулевую гипотез». Если же нет оснований отклонить нулевую гипотезу данным критериям, то утверждается, что данные выборки не противоречат выдвинутой гипотезе (согласуются с ней). Статистические критерии значимости не позволяют принять решение: «Нулевая гипотеза является правильно», так как при применении указанных критериев вероятность принятия ложной нулевой гипотезы остается неизвестной.
Практик-экспериментатор, как правильно, хочет проверить, дают ли результаты эксперимента право отклонить нулевую гипотезу, с тем чтобы принять вместо нее альтернативную, которую он отстаивает (новая технология производства, усовершенствование некоторого узла и т.д.). Доказательство истинности нулевой гипотезы (например, подтверждения эффективности старой технологий) его не интересует. Поэтому в большинстве случаев для практических приложений достаточно статистических критериев значимости, позволяющих только отклонять выдвинутую нулевую гипотезу с фиксированной малой вероятностью отклонить верную гипотезу.
Выбор уровня значимости до некоторой степени произволен. Стало обычным выбирать в качестве одно из стандартных значений: 0,005; 0,01; 0,05; 0,10; это, однако, не означает, что нельзя выбирать, например, . Принятая стандартизация позволяет сократить объем таблиц критических значений (квантилей) статистических критериев.
Необходимо учитывать такие, что чем меньше значимости , тем труднее отклонить нулевую гипотезу. Поэтому не следует стремиться выбирать уровень значимости слишком малым.
ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.
При обработке результатов эксперимента над случайной величиной экспериментатор по выборке подбирает теоретико-вероятностную модель (нормальную, показательную, биномиальную и т.д.). Предположим, что по виду гистограммы или полигона частот или из каких-либо других соображений выдвинута гипотеза относительно общего вида функции распределения наблюдаемой случайной величины, т.е. гипотезы вида или , где - класс функций распределения определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т.д.). Такую гипотезу называют нулевой непараметрической гипотезой. Гипотетическая функция распределения может быть определена полностью, либо с точностью до параметров. В последнем случае по данным выборки может быть произведена точечная оценка неизвестных параметров. Но как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая распределения, между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными причинами или они являются существенными и связаны с тем, что плохо подобрана вероятностная модель. Для ответа на этот вопрос производится проверка нулевой гипотезы с помощью так называемых критериев согласия. Принципы построения таких критериев и методика проверки остаются практически такими же, как и в случае параметрических гипотез. Для того чтобы принять или опровергнуть гипотезу , рассматривают некоторую выборочную статистику (критерий), характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. По распределению этой статистики, полученному в предложении истинности нулевой гипотезы, и заданному уровню значимости находятся критические значения и сравниваются с наблюдаемым значением критерия. Наиболее распространенными из непараметрических критериев значимости являются критерий согласия Пирсона и -критерий Колмогорова. Мы рассмотрим здесь критерий согласия Пирсона. Относительно критерия А.Н.Колмогорова отметим только, что он выгодно отличается своей простой от критерия , но применяется только в случае, когда гипотетическое распределение полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известны не только вид функции распределения, но и все определяющие ее параметры. Такой случай сравнительно редко встречается на практике.
Критерий согласия (Пирсона).
Пусть произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла определенное значение. Результаты опытов сгруппированы в K разрядов и оформлены в виде статистического ряда:
|
разряды |
. . . |
|||
|
Относительные частоты |
. . . |
Зная теоретический (гипотетический) закон распределения, можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый из разрядов: , , . . . , .
Проверяя согласованность теоретического и статистического распределений, будем исходить и расхождений между теоретическими вероятностями и наблюденными частотами. Естественно выбрать в качестве меры расхождения между ними сумму квадратов отклонений (-), взятых с некоторыми «весами» :
.
Коэффициенты («веса» разрядов) вводятся потому, что отклонения нельзя считать равноценными по значимости для всех разрядов: одно и то же по абсолютной величине отклонения может быть малозначительным, если сама вероятность велика, и очень заметным, если она мала. Поэтому естественно «веса» взять обратно пропорциональными вероятностям разрядов.
К.Пирсон показал, что если положить , то при больших n закон распределения величины К практически не зависит от функции распределения наблюдаемой случайной величины и от числа опытов и при увеличении их числа приближается к распределению с степенями свободы (К-число разрядов, r-число параметров гипотетической функции F(x), оцениваемых по выборке). Таким образом, .
В дальнейшем мы эту статистику будем обозначать и для удобства вычислений записывать в виде: , где -частота i-го разряда.
Критерий использует тот факт, что случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному N(0;1). Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие . Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними.
Такими образом, процедура применения критерия согласия (Пирсона) состоит из следующих этапов.
Критерий сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия, тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Поэтому критическая область критерия правосторонняя.
Пример. В течение 100 дней фиксировалось число аварий водопроводно-канализационной сети в некотором районе города. Получены следующие данные:
|
Число аварий, |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Частота, |
8 |
28 |
31 |
18 |
9 |
6 |
Проверить гипотезу о том, что число аварий имеет распределение Пуассона. Уровень значимости принять равным 0,05.
Решение. Согласно условию
Теоретические вероятности появления равно аварий в течение 100 дней вычислим по формуле Пуассона:
Результаты дальнейших вычислений сведем в таблицу:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
8 |
28 |
31 |
18 |
9 |
6 |
100 |
|
|
0,122 |
0,257 |
0,270 |
0,189 |
0,099 |
0,063 |
1,000 |
|
|
12,2 |
25,7 |
27,0 |
18,9 |
9,9 |
6,3 |
100 |
|
|
17,64 |
5,29 |
16,00 |
0,81 |
0,81 |
0,09 |
||
|
1,45 |
0,21 |
0,59 |
0,04 |
0,08 |
0,01 |
2,38 |
Таким образом, . По таблице -распределенная по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы найдем критическое значение . Так как , то для отклонения нулевой гипотезы нет оснований. Значит, с вероятностью ошибки 0,05 принимаем, что число аварий водопроводно-канализационной сети распределено по закону Пуассона с параметром .
ЛИТЕРАТУРА
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ И ЗАЩИТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
5. На станке-автомате изготовляется деталь с номинальным контролируемым размером Известно, что распределение контролируемого размера является нормальным с математическим ожиданием и дисперсией 0,5. Отдел технического контроля в течение смены произвел измерение 36 случайно отобранных деталей и подсчитал средний размер контролируемого параметра мм. Можно ли утверждать, что станок-автомат изготавливает детали уменьшенного размера и поэтому требуется произвести подналадку станка? Уровень значимости принять равным 0,05.
6. Стрелок произвел по 10 выстрелов по каждой из 100 мишеней. В таблице приведено число мишеней, имеющих то или иное число попаданий:
|
Число попаданий |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Число мишеней |
0 |
1 |
3 |
5 |
20 |
22 |
25 |
16 |
6 |
2 |
0 |
Проверить с помощью критерия гипотезу о согласии опытного распределения числа попаданий с биноминальным распределением, приняв в качестве приближенного значения вероятности наблюденное статистическое значение частоты. Уровень значимости принять равным 0,05.
7. Выпуск некоторым предприятием промышленной продукции по годам семилетки характеризуется следующими данными:
0,5 0,5 1,5 3,5 6,5 10,5 15,5 млн.руб.
Выравнять зависимость объема производства от года по параболе.
Вариант 2.
5. Выдвинута гипотеза, что применение нового типа резца сокращает время обработки детали. Проведено 10 измерений времени, затрачиваемого на обработку этой детали старым и новым резцом. Получены следующие результаты (в минутах): старый тип резца – 57, 586, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67; новый тип резца – 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54. Проверить гипотезу равенства времени (среднего), затрачиваемого на обработку этой детали с помощью двух типов резцов. Уровень значимости принять равным 0,05.
6. Из большой партии радиоламп наугад отобрано 500 шт. с целью исследования закона распределения времени работы радиоламп. Результаты опытов приведены в таблице:
|
Время работы (к-во часов) |
Число радиоламп |
|
1985-1995 |
165 |
|
1995-2005 |
120 |
|
2005-2015 |
75 |
|
2015-2025 |
55 |
|
2025-2035 |
35 |
|
2035-2045 |
20 |
|
2045-2055 |
15 |
|
2055-2065 |
10 |
|
2065-2075 |
5 |
Проверить с помощью критерия гипотезу о согласии распределения выборки с показательным распределением:
.
Уровень значимости принять равным 0,05.
7. Темпы роста производительности труда рабочих в государственной и кооперативной промышленности БССР (без промышленности колхозов) за 1950-1961 гг. приведены в таблице:
|
Годы |
1950 |
1955 |
1956 |
1957 |
1958 |
1959 |
1960 |
1961 |
|
Темп роста, % к 1950. |
100 |
156 |
170 |
184 |
194 |
205 |
220 |
229 |
Предполагая, что зависимость темпов роста от года линейная, найти коэффициенты линейной функции по методу наименьших квадратов.
Вариант 3.
5. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера деталей, которая не должна превышать 0,04. Взята проба из II случайно отобранных деталей, и получены следующие результаты измерений (в мм): 100,6; 99,6; 100,0; 100,1; 100,3; 100,0; 99,9; 100,2; 100,4; 100,6; 100,5. На основании этих данных проверить, обеспечивает ли станок заданную точность. Уровень значимости принять равным 0,05.
6. Произведены измерения роста 1000 мужчин. Результаты измерений заполнили промежуток от 144 до 189 см. После разбивки его на 15 разрядов подсчитаны частоты разрядов: 1, 3, 7, 26, 66, 114, 186, 200, 172, 120, 64, 28, 9, 3, 1. С помощью критерия проверить гипотез о том, что данная выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением, равными соответственно выборочному среднему и несмещенной выборочной оценке среднеквадратичного отклонения. Уровень значимости принять равным 0,05.
7. В «Основах химии» Д.И. Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого натрия в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворяется следующее число частей азотнокислого натрия при соответствующих температурах:
|
Температура |
0 |
4 |
10 |
15 |
21 |
29 |
36 |
51 |
68 |
|
Число частей |
66,7 |
71,0 |
76,3 |
80,6 |
85,7 |
92,9 |
99,4 |
113,4 |
125,1 |
Предполагая, что количество растворившегося натрия зависит от температуры линейно, найти параметры этой зависимости методом наименьших квадратов.
Вариант 4.
5. Новый метод измерений длины деталей был опробован на эталоне. Дисперсия результатов измерений, определенная по 10 замерам, составила 100 . Согласуется ли этот результат с утверждением: «Дисперсия результатов измерений по предложенному методу не превосходит 50 »? Уровень значимости принять равным 0,05. Предполагается, что генеральная совокупность распределена по нормальному закон.
6. Группа социологов исследовала влияние стажа работы по профессии на производительность труда рабочих механического цеха некоторого завода. Получены следующие данные:
|
Количество деталей, обрабатываемых за смену одним рабочим |
Стаж работы |
||
|
До 10 лет |
От 10 лет до 15 лет |
От 15 до 20 лет |
|
|
135 156 165 - - |
176 196 204 180 - |
155 160 149 171 140 |
Предполагается, что производительность труда рабочих, имеющих различный стаж работы, имеет нормальное распределение с одной и той же дисперсией. Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о равенстве средней производительности труда рабочих с различным стажем работы.
7. Соберите данные об успеваемости студентов Вашей группы за предыдущий семестр по теории вероятностей и механике и с помощью статистических методов изучите зависимость между результатами сессии по этим предметам.
Вариант 5.
5. Из продукции автомата, обрабатывающего болты с номинальным значением контролируемого размера 40 мм, была взята выборка болтов объема 36. Выборочное среднее контролируемого размера составило 40,2 мм. Результаты предыдущих измерений дают основание предполагать, что действительные размеры болтов образуют нормально распределенную совокупность с дисперсией 1 . Можно ли по результатам проведенного выборочного обследования утверждать, что контролируемый размер в продукции автомата не имеет положительного смещения по отношению к номинальному размеру? Уровень значимости принять равным 0,01. какова критическая область в этом случае?
6. В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены в таблице:
|
Число вышедших из строя станков |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Число случаев |
41 |
62 |
45 |
22 |
16 |
8 |
4 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Проверить гипотезу о том, что число выбывших из строя станков распределения Пуассона. Уровень значимости принять равным 0,05.
7. Измерялась чувствительность видеоканала и звукового канала первой программы 40 телевизоров. Данные измерений (в мкВ) приведены в таблице:
Найти выборочный коэффициент корреляции наблюдаемых случайных величин. Найти и построить прямые регрессии.
Вариант 6.
5. В соответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 часов со среднеквадратичным отклонением (с.к.о.) 100 часов. Выборочное среднее время безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов оказалось равным 970 часам. Предположить, что с.к.о. времени безотказной работы для приборов в выборке совпадает с с.к.о. во всей партии. Можно ли считать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям, если уровень значимости равен а) 0,10; б) 0,01? Генеральная совокупность распределена нормально.
6. Во время второй мировой войны на Лондон упало 537 самолетов-снарядов. Вся территория Лондона была разделена на 576 участников площадью 0,25 : Ниже приведены числа участков , на которые упало К снарядов:
|
К |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 и более |
|
229 |
211 |
93 |
35 |
7 |
1 |
Согласуются ли эти данные с гипотезой о том, что число снарядов, упавших на каждый из участков, имеет распределение Пуассона? Уровень значимости принять равным 0,05.
7. Данные анализа 100 проб руды, добытой на руднике, на предмет содержания в ней окиси железа и закиси железа (в %) приведены в таблице:
|
х у |
0-6 |
6-12 |
12-18 |
18-24 |
24-30 |
30-36 |
|
30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
- - - - - 4 6 |
- - - 6 6 8 - |
- 1 2 14 3 - - |
1 5 18 2 - - - |
- 4 10 2 - - - |
1 5 2 - - - - |
Найти выборочный коэффициент корреляции, написать уравнения прямых регрессий, построить их.
Вариант 7.
5. Утверждаются, что шарики, изготовленные станком-автоматом, имеют средний диаметр 10 мм. Распределение диаметров – нормальное. Используя односторонний критерий при уровне значимости 0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из 16 шарики средний диаметр оказался равным 10,3 мм. Рассмотреть два случая : а) дисперсия равна 1 ; б) несмещенная оценка дисперсии по выборке равна 1,21 .
6. Имеются данные о числе деталей, поступивших на конвейер в течение 600 двухминутных интервалов:
|
Число деталей |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Число интервалов |
400 |
167 |
29 |
3 |
0 |
0 |
1 |
Используя критерий , проверить гипотезу о пуассоновском распределении числа деталей при уровне значимости 0,05.
7. Измерялись длина и диаметр 50 роликов. Результаты измерений сведены в таблицу:
|
х у |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
|
4 8 12 16 20 24 |
2 - - - - - |
- 1 4 2 - - |
2 4 3 - - - |
- - 10 2 - - |
- - - 3 5 - |
- - - 6 4 1 |
- - - - - 1 |
Найти выборочный коэффициент корреляции, написать уравнения прямых регрессии и построить их.
Вариант 8.
5. Из большой партии резисторов одного типа и номинала случайным образом отобрано 36 шт. Выборочное среднее величины сопротивления при этом оказалось равным 9,3 кОм. Считая, что генеральная совокупность распределена нормально, с помощью двустороннего критерия при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что выборка взята из партии с номиналом 10 кОм, если а) дисперсия величины сопротивления равна 4 ; б) выборочная дисперсия равна 6,25 .
6. При испытании радиоэлектронной аппаратуры фиксировалось число отказов. В результате 59 испытаний получены следующие данные:
|
Число отказов |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Число испытаний |
42 |
10 |
4 |
3 |
При уровне значимости 0,10 проверить гипотезу о том, что число отказов имеет распределение Пуассона.
7. Полученные на 15 заводах данные о количестве выпускаемых деталей (в тысячах штук) и о полных затратах (в сотнях рублей) приведены в таблице:
|
х у |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
10 |
12 |
13 |
14 |
19 |
20 |
24 |
|
2 4 9 18 |
- 1 1 - |
- 1 - - |
- - - 1 |
- - 1 - |
- 1 - 1 |
- - 1 - |
- - 1 - |
- 1 - - |
1 1 - - |
1 - - - |
1 - - - |
1 - - - |
Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение регрессии и найти выборочный коэффициент корреляции.
Вариант 9.
6. Технология производства некоторого вещества дает в среднем 1000 кг вещества в сутки со средним квадратическим отклонением среднего 80 кг. Новая технология производства в среднем дает 1100 кг вещества в сутки с тем же с.к.о. Можно ли считать, что новая технология обеспечивает повышение производительности, если а) уровень значимости – 0,05; б) уровень значимости – 0,10? Распределения генеральных совокупностей считать нормальными.
7. 200 отклонений размера вала от номинального значения приведены в таблице:
|
Середина интервала |
-0,14 |
-0,12 |
-0,10 |
-0,08 |
-0,06 |
-0,04 |
-0,02 |
|
Частота |
8 |
8 |
11 |
20 |
27 |
36 |
29 |
|
0,00 |
0,02 |
0,04 |
0,06 |
0,08 |
0,10 |
0,12 |
|
18 |
17 |
17 |
8 |
4 |
1 |
1 |
Приняв 10%-ый уровень значимости, проверить гипотезу о том, что данные получены из нормально распределенной генеральной совокупности.
8. При изучении влияния механизации уборочных работ на себестоимость центнера кукурузы в районе в отчетном году были получены следующие данные (процент механизации и себестоимости 1 ц в рублях):
|
х у |
1,5-2,1 |
2,1-2,7 |
2,7-3,3 |
3,3-3,9 |
3,9-4,5 |
|
50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
- 1 3 6 10 |
- 4 6 3 3 |
1 1 1 - 3 |
1 - - - - |
1 - - - - |
Методом наименьших квадратов определить выборочное уравнение регрессии и оценить при помощи корреляционного отношения тесноту связи между рассматриваемыми величинами.
Вариант 10.
5. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды. Оценки жесткостью воды до и после добавления специальных веществ 40 и 50 пробам соответственно показали средние значения жесткости (в градусах жесткости), равные 4,0 и 3,8 градуса. Дисперсия измерений в обоих случаях предполагается равной 0,25. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект? Уровень значимости принять равным 0,05. Считать, что жесткость имеет нормальное распределение.
6. Даны результаты 150 измерений отклонения диаметра цапфы передней оси от номинального размера:
|
Середина интервала |
26 |
29 |
32 |
35 |
38 |
41 |
44 |
47 |
50 |
53 |
|
Частота |
1 |
4 |
13 |
23 |
22 |
29 |
29 |
16 |
11 |
2 |
Приняв 10%-ый уровень значимости, проверить гипотезу о том, что они получены из нормально распределенной генеральной совокупности.
7. Пусть над элементами выборки системы двух случайных величин , выполнено линейное преобразование , , .
Показать, что выборочные ковариация и коэффициент корреляции связаны соотношениями: , .
Используя подходящее линейное преобразование, вычислить оценку коэффициента корреляции для следующей выборки:
|
х |
55 |
71 |
53 |
67 |
81 |
75 |
59 |
89 |
65 |
81 |
|
у |
206 |
116 |
221 |
113 |
32 |
128 |
248 |
113 |
284 |
215 |
Вариант 11.
5. Два штурмана определили пеленг маяка по нескольким замерам, используя различные пеленгаторы. Результаты замеров: 70,2˚ при 9 замерах другим штурманом. При помощи двустороннего критерия проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что различие результатов вызвано случайными ошибками. Средние квадратические отклонения пеленгаторов равны 0,5˚ и 1˚ соответственно. Распределение генеральной совокупности считать нормальным. Что собой представляет генеральная совокупность в данном случае?
6. Величина контрольного размера 68 деталей (в мм), изготовленных на одном станке:
|
Границы интервалов |
2,9-3,9 |
3,9-4,9 |
4,9-5,9 |
5,9-6,9 |
6,9-7,9 |
|
Частота |
5 |
15 |
23 |
19 |
6 |
При уровне значимости 10% проверить гипотезу о том, что эти данные извлечены из нормально распределенной генеральной совокупности.
7. Пусть над элементами выборки системы двух случайных величин , выполнено линейное преобразование , .
Показать, что выборочные ковариация и коэффициент корреляции связаны соотношениями: , .
Используя подходящее линейное преобразование, вычислить оценку коэффициента корреляции выборки:
|
х |
65,8 |
68,3 |
72,7 |
66,1 |
73,1 |
71,8 |
73,1 |
66,5 |
|
у |
166,0 |
115,2 |
157,8 |
152,5 |
149,3 |
181,0 |
173,2 |
120,4 |
|
69,3 |
73,4 |
67,3 |
73,6 |
67,9 |
68,7 |
69,7 |
|
124,5 |
163,2 |
125,2 |
173,3 |
146,7 |
157,9 |
134,5 |
Вариант 12.
5. Точность наладки станка-автомата характеризуется дисперсией длины производимых им деталей. Если эта величина будет больше 400 , станок останавливается для наладки. Выборочная дисперсия длины 15 случайно отобранных деталей из продукции станка оказалась равной 680 . Нужно ли производить наладку станка? Уровень значимости принять равным а) 0,01; б) 0,10. Распределение признака считать нормальным.
6. Входное сопротивление наудачу выбранных 130 электронных ламп (в Омах) распределилось следующим образом:
|
Границы интервалов |
3,0-3,6 |
3,6-4,2 |
4,2-4,8 |
4,8-5,4 |
5,4-6,0 |
|
Частота |
2 |
8 |
35 |
43 |
22 |
|
6,0-6,6 |
6,6-7,2 |
|
15 |
5 |
При уровне значимости 10% проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
7. Предел выносливости при изгибе (Н/) для стали оценивается на основании другой ее характеристики – предела упругости на кручении (Н/). По опытным данным для 12 марок стали найти уравнения линейной регрессии и оценить коэффициент корреляции между характеристиками стали. Результаты измерений:
|
х |
51 |
67 |
84 |
81 |
101 |
109 |
71 |
97 |
109 |
51 |
105 |
89 |
|
у |
25 |
30 |
43 |
44 |
57 |
58 |
43 |
46 |
62 |
45 |
55 |
45 |
Вариант 13.
5. При применении определенно процедуры проверки коэффициенты трения шины по мокрому асфальту установлено, что дисперсия результатов измерений этого коэффициента составляет 0,1. Выборочное значение дисперсии, вычисленное по результатам 25 измерений коэффициента трения, оказалось равным 0,20. Используя двусторонний критерий, проверить гипотезу о том, что дисперсия результатов измерений коэффициента трения равна 0,1 при уровне значимости 0,1. Распределение признака считать нормальным.
6. Свидетельствуют ли на уровне значимости 0,10 о нормальном распределении роста (в см) 16-летних девушек данные 1004 измерений?
7. В таблице приведены результаты лабораторного анализа 64 образцов сланцевых пород на содержание кремния и алюминия (в условных единицах):
|
57,8 |
17,2 |
54,6 |
17,9 |
54,8 |
18,8 |
51,7 |
19,9 |
|
61,1 |
16,0 |
62,3 |
17,8 |
52,2 |
18,8 |
49,2 |
19,3 |
|
53,9 |
16,1 |
60,0 |
14,8 |
56,2 |
17,0 |
55,2 |
17,8 |
|
53,3 |
19,9 |
57,9 |
17,1 |
54,0 |
15,5 |
52,6 |
17,6 |
|
53,8 |
16,3 |
53,6 |
17,2 |
51,5 |
15,8 |
54,0 |
15,0 |
|
50,4 |
14,4 |
53,0 |
15,3 |
53,3 |
16,6 |
51,6 |
14,9 |
|
50,9 |
14,7 |
49,6 |
16,1 |
52,2 |
19,5 |
50,5 |
15,6 |
|
51,1 |
18,1 |
52,2 |
19,5 |
49,2 |
15,7 |
49,3 |
13,2 |
|
48,8 |
16,4 |
53,5 |
15,9 |
52,8 |
15,9 |
52,9 |
14,8 |
|
52,1 |
19,8 |
47,3 |
18,7 |
49,8 |
20,2 |
49,3 |
17,6 |
|
50,1 |
19,2 |
54,4 |
18,2 |
49,0 |
16,8 |
48,9 |
18,2 |
|
51,3 |
19,7 |
51,6 |
19,6 |
46,2 |
19,1 |
50,4 |
20,2 |
|
50,7 |
21,5 |
53,1 |
21,3 |
52,9 |
20,3 |
51,3 |
20,1 |
|
52,7 |
17,2 |
46,6 |
15,6 |
46,5 |
16,0 |
51,3 |
15,5 |
|
51,0 |
19,2 |
47,5 |
18,5 |
47,7 |
19,0 |
44,9 |
16,6 |
|
49,4 |
16,0 |
48,9 |
18,6 |
48,8 |
19,4 |
50,6 |
18,9 |
Оценить коэффициент корреляции между этими признаками, предварительно сгруппировав данные в корреляционную таблицу. Написать уравнения прямых регрессии и построить их.
Вариант 14.
5. Два токарных автомата изготовляют детали по одному чертежу. Из продукции первого станка было отобрано 9 деталей, из продукции второго – 11 деталей. Выборочные дисперсии контрольного размера найденные по этим выборкам, оказались равными 5,9 и 23,3 . На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве дисперсий, если альтернативная гипотеза: а) дисперсии не равны; б) дисперсия размера для второго станка больше, чем для первого. Распределение признака считать нормальным.
6. В тонком слое раствора золота через равные промежутки времени регистрировалось число частиц золота, попадавших в поле зрения микроскопа. Результаты наблюдений занесены в таблицу:
|
Число частиц |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Частота |
112 |
168 |
130 |
68 |
32 |
5 |
1 |
1 |
Проверить, используя критерий , согласие с распределением Пуассона, приняв уровень значимости равным 0,05.
7. Оценить коэффициент корреляции и найти уравнения прямых регрессии (Х на У и У на Х) по данным выборок:
а)
|
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
|
|
10-11 11-12 12-13 13-14 |
2 1 3 2 |
11 19 6 3 |
3 2 27 3 |
2 4 6 8 |
б)
|
7,0-7,2 |
7,2-7,4 |
7,4-7,6 |
7,6-7,8 |
7,8-8,0 |
|
|
2,15-2,45 2,45-2,75 2,75-3,05 3,05-3,35 3,35-3,65 3,65-3,95 |
5 0 0 0 0 0 |
4 12 0 0 0 0 |
0 8 5 4 0 0 |
0 1 5 7 12 0 |
0 0 0 0 1 1 |
Охарактеризовать степень связи рассматриваемых случайных величин.
Вариант 15.
5. Для наладки станка была проверена точность изготовления 10 втулок и найдена несмещенная оценка дисперсии диаметра – 9,6 . После наладки подвергались контролю еще 15 втулок и получено новое значение оценки дисперсии: 5,7 . Можно ли считать, что в результате наладки точность изготовления деталей увеличилась. Уровень значимости принять равным 0,05, распределение генеральной совокупности считать нормальным.
6. По каждой из 100 мишеней произведено из спортивного пистолета по 10 независимых выстрелов. Результаты стрельбы приведены в таблице:
|
Число попаданий |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Частота |
0 |
2 |
4 |
10 |
22 |
28 |
18 |
12 |
4 |
2 |
0 |
Проверить, используя критерий , подчиняются ли результаты стрельбы биноминальному закону распределения. Уровень значимости принять равным 0,10.
7. Считая, что зависимость между случайными величинами имеет вид квадратного трехчлена, методом наименьших квадратов найти оценки параметров этой зависимости по выборке:
|
х |
0,07 |
0,31 |
0,61 |
0,99 |
1,29 |
1,78 |
2,09 |
|
у |
1,34 |
1,08 |
0,94 |
1,06 |
1,25 |
2,01 |
2,60 |
Вариант 16.
5. Давление в камере контролируется двумя манометрами. Для сравнения точность этих приборов их показания фиксируются одновременно. По результатам 10 замеров несмещенные оценки получились следующими: средних – 15,3 и 16,1, дисперсии – 0,0 и 0,15. Используя двусторонний и односторонний критерии, проверить на уровне значимости 0,1 гипотезы о равенстве средних и дисперсии. Генеральная совокупность предполагается распределенной нормально.
6. Семь монет подбрасывались одновременно 1536 раз. Каждый раз отмечалось число выпавших гербов. Получены следующие данные:
|
Число гербов |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
частота |
12 |
78 |
270 |
456 |
386 |
252 |
69 |
13 |
Пользуясь критерием , проверить согласие гипотезы о наличии биноминального распределения с опытными данными. Уровень значимости принять равным 0,05.
7. Себестоимость в рублях одного экземпляра книги в зависимости от тиража в тыс. экз. характеризуется данными, собранными издательством в течении ряда лет:
|
Тираж |
1 |
2 |
3 |
5 |
10 |
20 |
30 |
50 |
|
Себестоимость |
10,15 |
5,52 |
4,08 |
2,85 |
2,11 |
1,62 |
1,41 |
1,30 |
|
100 |
200 |
|
1,21 |
1,15 |
Подобрать коэффициенты для гиперболической зависимости вида методом наименьших квадратов.
Вариант 17.
5. На двух станках А и Б производят одну и ту же продукцию, контролируемую по внутреннему диаметру изделия. Из продукции станка А взята выборка из 16 изделий, а из продукции со станка Б – выборка из 25 изделий. Выборочные оценки средних и дисперсий контролируемых размеров при и при . Генеральные совокупности распределены нормально. Используя двусторонний критерий, проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий контролируемых размеров в продукции обоих станков, если уровень значимости принять равным: а) 0,05; б) 0,10.
6. Ниже приведены отклонения диаметров валиков от заданного размера:
|
Границы интервалов |
0-5 |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
|
частота |
15 |
75 |
100 |
50 |
10 |
Проверить, используя критерий , гипотезу о согласии наблюдений с законом нормального распределения на уровне значимости 0,05.
7. В результате продувок в аэродинамической трубе для модели самолета были получены данные (см. табл.) о зависимости угла отклонения руля высоты от скорости воздушного потока :
Методом наименьших квадратов найти оценки параметров этой зависимости.
|
Скорость м/с |
80 |
90 |
10 |
110 |
120 |
140 |
|
Угол отклонения |
-3˚44΄ |
-2˚58΄ |
-2˚16΄ |
-1˚39΄ |
-1˚21΄ |
-0˚38΄ |
|
Число измерений |
8 |
12 |
11 |
9 |
14 |
6 |
|
160 |
180 |
200 |
|
-0˚07΄ |
0˚10΄ |
0˚35΄ |
|
9 |
12 |
10 |
Вариант 18.
5. При исследовании влиянии двух типов покрытия на удельную проводимость телевизионных трубок получены следующие результаты (в условных единица):
|
№ трубки |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Тип 1 |
6 |
5 |
12 |
9 |
10 |
- |
|
Тип 2 |
14 |
11 |
0 |
5 |
6 |
8 |
Можно ли на основании этих данных считать, что тип покрытия влияет на удельную проводимость трубок. Уровень значимости принять равным 0,10.
6. Цифры 0,1,2,…,9 среди 800 первых десятичных знаков числа появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно. Проверить с помощью критерия гипотезу о согласии этих данных с законом равномерного распределения при уровне значимости 0,10.
7. Результаты равноточных измерений глубины проникновения тела в преграду при различных значениях его удельной энергии (т.е. приходящейся на единицу площади соприкосновения) приведены в таблице:
|
Энер-гия |
41 |
50 |
81 |
104 |
120 |
139 |
154 |
180 |
208 |
241 |
250 |
|
Глу-бина |
4 |
8 |
10 |
14 |
16 |
20 |
19 |
23 |
26 |
30 |
31 |
|
250 |
269 |
301 |
|
31 |
36 |
37 |
Подобрать линейную зависимость вида: и найти оценку коэффициента корреляции рассматриваемых величин.
Вариант 19.
5. Чтобы определить, какое влияние оказывает температура окружающей среды на систематическую ошибку угломерного инструменты, проведены измерения горизонтального угла объекта утром (10˚С) и днем (26˚С). Результаты измерений следующие:
|
Утром |
38,2 |
36,4 |
37,7 |
36,1 |
37,9 |
37,8 |
- |
- |
|
Днем |
39,5 |
38,7 |
37,8 |
38,6 |
39,2 |
39,1 |
38,9 |
39,2 |
Можно ли считать, что температура окружающей среды влияет на систематическую ошибку угломерного инструмента? Уровень значимости принять равным 0,05, распределение ошибок считать нормальным.
6. Отсчет по шкале измерительного прибора производится приблизительно в долях деления шкалы. В таблице приведено 200 результатов отсчета (последняя цифра). Установить, пользуясь критерием , согласуются ли наблюдения с законом равномерной плотности, при котором вероятность появления любой цифры одна и та же. Уровень значимости - 0,05.
|
Цифра |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Частота появления |
35 |
16 |
15 |
17 |
17 |
19 |
11 |
16 |
30 |
24 |
7. Найти параметры зависимости между переменными Х и У по данным выборки:
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
у |
16,50 |
13,75 |
13,31 |
12,50 |
13,52 |
12,75 |
12,30 |
12,83 |
12,28 |
12,34 |
Вариант 20.
5. Во время испытания радиодальномера проведено 16 независимых измерений дальности до контрольного объекта. Обработка результатов измерений дала следующие значения оценок средней и дисперсии ошибок радиодальномера: -0,03 км и 0,0324 соответственно. После юстировки устройства произведено еще 18 независимых измерений и получены оценки: 0,05 км и 0,0225 .
Можно ли считать, что юстировка не повлияла на систематическую ошибку радиодальномера? Уровень значимости -0,10.
6. Результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха в течении 320 суток приведены в таблице:
|
Границы интервалов |
-40 - -30 |
-30 - -20 |
-20 - -10 |
-10 – 0 |
0 – 10 |
|
Частота |
5 |
11 |
25 |
42 |
88 |
|
10 – 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
|
81 |
36 |
20 |
8 |
4 |
Проверить с помощью критерия , с каким из двух законов распределения – нормальным или Симпсона (законом треугольника) – лучше согласуется статистическое распределение при уровне значимости 0,03.
7. Найти оценки параметров модели по данным выборки:
|
х |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
5,5 |
6,0 |
|
у |
0,4 |
0,3 |
1,0 |
1,7 |
2,1 |
3,4 |
4,1 |
5,8 |
7,7 |
9,4 |
11,4 |
13,6 |
|
6,5 |
7,0 |
7,5 |
8,0 |
|
15,6 |
18,6 |
21,2 |
24,1 |
Вариант 21.
5. При исследовании стабилизатора напряжения самолета на стенде проведено 9 независимых испытаний и получена оценка дисперсии выходного напряжения, равная 0,08 . В полете проведено еще 15 испытаний, в результате которых оценка дисперсии входного напряжения оказалась равной 0,13 . Есть ли основание полагать, что факторы, воздействующие на стабилизатор в полете, оказывают существенное влияние на его точность? Уровень значимости – 0,10.
6. С помощью контрольного прибора было измерено расстояние (в микронах) центра тяжести детали от оси ее наружной цилиндрической поверхности для 602 деталей:
|
Границы интервалов |
0-16 |
16-32 |
32-48 |
48-64 |
64-80 |
80-96 |
96-112 |
|
Частота |
40 |
129 |
140 |
126 |
121 |
45 |
19 |
|
112-128 |
128-144 |
144-160 |
|
8 |
3 |
1 |
Проверить, используя критерий , согласуются ли наблюденные данные с законом распределения Рэлея: , оценку параметра а которого определить по оценке математического ожидания r, используя формулу . Уровень значимости принять равным 0,05.
7. Найти оценку для параметров модели по выборке
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
у |
2,11 |
2,45 |
2,61 |
2,73 |
2,75 |
2,81 |
2,87 |
2,91 |
2,96 |
3,03 |
|
11 |
12 |
|
3,05 |
3,12 |
Вариант 22.
5. На двух станках производят одну и ту же продукцию, контролируемую по внутреннему диаметру изделия. Из продукции первого станка была взята выборка из 13 изделий, а из продукции второго – из 25 изделий. Выборочные оценки средних и дисперсий контролируемых размеров для первой выборки 38,3 мм и 3,08 , для второй – 36,8 мм и 1,44 . Используя двусторонний критерий на уровне значимости 0,10, проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий контролируемого размера в продукции станков.
6. Испытания 200 ламп на продолжительность работы (в часах) дали следующие результаты:
|
Граница разряда |
Частота разряда |
Граница разряда |
Частота разряда |
|
0-300 300-600 600-900 900-1200 1200-1500 1500-1800 |
53 41 30 22 16 12 |
1800-2100 2100-2400 2400-2700 2700-3000 3000-3300 3300-3600 |
9 7 5 3 2 0 |
Используя критерий при уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о согласии опытных данных с экспоненциальным законом распределения: .
7. Методом наименьших квадратов найти оценки параметров модели по опытным данным:
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
у |
0,10 |
0,21 |
0,43 |
0,51 |
0,62 |
0,81 |
1,01 |
1,23 |
1,47 |
1,53 |
|
11 |
12 |
|
1,75 |
2,25 |
Вариант 23.
5. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем. Выборочное среднее расхода топлива по результатам испытаний составило 9,3 л. Предположим, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с дисперсией 4 . Проверить гипотезу о том, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива. Уровень значимости принять равным 0,05.
6. Для контрольных испытаний ста однотипных станков, выпустивших за смену каждый партию в 40 изделий 1-м и 2-м сортом, отобрано по 10 изделий из каждой партии и для каждой выборки подсчитано имеющееся в ней число изделий 2-го сорта:
|
Число изделий 2с. |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 и более |
|
частота |
1 |
10 |
27 |
36 |
25 |
1 |
0 |
Количество изделий, выпускаемых вторым сортом, за длительный срок работы предприятия составляет 30 %. Проверить гипотезу о согласии опытных данных с биноминальным законом распределения, использовав критерий и приняв уровень значимости – 0,10.
7. Подобрать оценки параметров зависимости двух случайных величин по выборке:
|
х |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
|
у |
2,47 |
2,86 |
3,01 |
2,91 |
2,55 |
2,11 |
2,61 |
1,25 |
0,97 |
1,03 |
|
5,5 |
6,0 |
|
1,34 |
1,70 |
Вариант 24.
5. При измерении производительности двух агрегатов получены следующие данные (в кг вещества за час работы):
|
Агрегат А |
14,1 |
10,1 |
14,7 |
13,7 |
14,0 |
|
Агрегат В |
14,0 |
14,5 |
13,7 |
12,7 |
14,1 |
Можно ли считать, что производительности агрегатов одинаковы в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей? Уровень значимости – 0,10.
6. Результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха в течение 320 суток приведены в таблице:
|
Границы интервалов |
-40 - -30 |
-30 - -20 |
-20 - -10 |
-10 – 0 |
0 – 10 |
|
Частота |
5 |
11 |
25 |
42 |
88 |
|
10 – 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
|
81 |
36 |
20 |
8 |
4 |
С помощью критерия при уровне значимости 0,03 проверить, с каким из двух законов распределения – нормальным или Симпсона – лучше согласуется статистическое распределение, полученное в результате наблюдений.
7. Найти оценки параметров зависимости между двумя случайными величинами, если результаты наблюдений над ними дали следующие результаты:
|
х |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
1,2 |
1,5 |
1,8 |
2,1 |
2,4 |
2,7 |
3,0 |
|
у |
4,39 |
4,75 |
4,98 |
5,11 |
5,12 |
5,18 |
5,28 |
5,36 |
5,45 |
5,52 |
|
3,3 |
3,6 |
3,9 |
4,2 |
|
5,53 |
5,57 |
5,63 |
5,64 |
Вариант 25.
5. Количество бракованных изделий в партии не должно превышать 5%. В результате контроля 100 изделий из этой партии обнаружено 6 бракованных. Можно ли считать, что процент брака превосходит допустимый при уровне значимости 0,01.
6. Последняя цифра результата измерения определяется приблизительно в долях деления шкалы измерительного прибора. Эта цифра в результате 200 измерений получила следующие значения:
|
Цифра |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Частота появления |
35 |
16 |
15 |
17 |
17 |
19 |
11 |
16 |
30 |
24 |
С помощью критерия при уровне значимости 0,05 установить, согласуются ли данные наблюдений с законом равномерной плотности. Вероятность появления любой цифры одна и та же.
7. По данным эксперимента методом наименьших квадратов найти оценки параметров зависимости: .
|
х |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
5,5 |
|
у |
4,11 |
4,16 |
4,23 |
4,29 |
4,36 |
4,42 |
4,53 |
4,57 |
4,63 |
4,75 |
|
6,0 |
6,5 |
7,0 |
|
4,78 |
4,88 |
5,01 |
Вариант 26.
5. Из суточной продукции цеха случайным образом отобрано и проверено 20 приборов, 16 из которых признаны годными к эксплуатации. Можно ли считать, что годная продукция цеха составляет 90%, если уровень значимости принять равным 0,10?
6. Цифры 0,1,2,…,9 среди первых 800 десятичных знаков числа появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно. С помощью критерия при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о согласии опытных данных с законом равномерного распределения.
7. Методом наименьших квадратов найти оценки параметров зависимости: .
Данные выборки таковы:
|
х |
8,0 |
8,5 |
9,0 |
9,5 |
10,0 |
10,5 |
11,0 |
11,5 |
12,0 |
12,5 |
|
у |
2,83 |
2,31 |
1,95 |
2,05 |
2,21 |
2,58 |
3,10 |
8,25 |
8,75 |
4,15 |
|
13,0 |
13,5 |
14,0 |
|
3,87 |
3,43 |
3,07 |
Вариант 27.
5. При исследовании 50 корпусов микросхем, случайным образом отобранных из большой партии этих изделий, оказалось, что два из них не имеют необходимой прочности. Согласуются ли эти данные с утверждением о том, что данная партия содержит 99% прочных корпусов, если уровень значимости принять равным 0,10.
6. В тонком слое раствора золота через равные промежутки времени регистрировалось число частиц золота, попадавших в поле зрения микроскопа. Результаты наблюдений сведены в таблицу:
|
Число частиц |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Частота |
112 |
168 |
130 |
68 |
32 |
5 |
1 |
1 |
С помощью критерия при уровне значимости 0,05 проверить согласие этих данных с распределением Пуассона.
7. Методом наименьших квадратов найти оценки для параметров модели по данным выборки:
|
х |
0,00 |
0,05 |
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,45 |
|
у |
25 |
26 |
4 |
7 |
6 |
13 |
30 |
26 |
32 |
40 |
|
0,50 |
0,55 |
0,60 |
0,65 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 |
|
32 |
21 |
11 |
5 |
16 |
3 |
21 |
22 |
19 |
32 |
Вариант 28.
5. Два пресса штампуют детали одного наименования. Из партии деталей, изготовленных первым прессом, проверено 1000 деталей, из которых 25 оказались негодными. Из 800 деталей, изготовленных вторым прессом, негодными оказались 36 деталей. Согласуются ли эти данные с предложением о равенстве доли брака в продукции обоих прессов при уровне значимости 0,10.
6. С помощью контрольного прибора измерено расстояние от центра тяжести детали до оси ее наружной цилиндрической поверхности (в микронах). Результаты измерений:
|
Границы интервалов |
0 – 16 |
16 – 32 |
32 – 48 |
48 – 64 |
64 – 80 |
80 – 96 |
|
Частота |
40 |
129 |
140 |
126 |
121 |
45 |
|
96 – 112 |
112 – 128 |
128 – 144 |
144 – 160 |
|
19 |
8 |
3 |
1 |
Согласуются ли эти данные с законом распределение Рэлея .
Проверку произвести с помощью критерия при уровне значимости 0,05, параметр а оценить, пользуясь формулой: , - математическое ожидание.
7. Используя метод наименьших квадратов, найти оценки параметров модели: по выборке:
|
х |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
|
у |
0,22 |
0,23 |
0,31 |
0,43 |
0,56 |
0,82 |
1,06 |
1,25 |
1,72 |
|
5,5 |
6,0 |
6,5 |
7,0 |
7,5 |
8,0 |
8,5 |
9,0 |
9,5 |
10,0 |
|
2,28 |
2,67 |
3,26 |
3,72 |
4,32 |
5,11 |
5,98 |
6,64 |
7,02 |
8,32 |
Вариант 29.
5. Предполагается, что применение новой технологии в производстве микросхем приведет к увеличению выхода годной продукции. Результаты контроля двух партий продукции, изготовленных по старой и новой технологиям, приведены в таблице:
|
Старая технология: |
Годных – 140 |
Негодных – 10 |
|
Новая технология : |
Годных – 185 |
Негодных - 15 |
Подтверждают ли эти результаты сделанное предположение, если уровень значимости принять равным 0,01?
6. Семь монет подбрасывались одновременно 1536 раз. Каждый раз подсчитывалось число выпавших гербов. Получены следующие данные:
|
Число гербов |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Частота |
12 |
78 |
270 |
456 |
386 |
252 |
69 |
13 |
Пользуясь критерием , при уровне значимости 0,05 проверить согласие с биноминальным распределением.
7. По данным выборке:
|
х |
2,7 |
4,6 |
6,3 |
7,8 |
9,2 |
10,6 |
12,0 |
13,4 |
14,7 |
|
у |
17,0 |
16,2 |
13,3 |
13,0 |
9,7 |
9,9 |
6,2 |
5,8 |
5,7 |
Найти оценки для параметров линейной регрессии У и Х, вычислить коэффициент корреляции (найти оценку).
Вариант 30.
5. Для изучения эффективности профилактического лекарства против аллергии обследовались две группы людей, предрасположенных в этому заболеванию. Результаты обследования следующие:
|
Принимавшие лекарство |
Не принимавшие лекарство |
||
|
Заболели |
Не заболели |
Заболели |
Не заболели |
|
3 |
172 |
32 |
168 |
Показывают ли эти результаты эффективность лекарства при уровне значимости 0,05?
6. По каждой из 100 мишеней произведено по 10 независимых выстрелов из спортивного пистолета. Результаты стрельбы:
|
Число попаданий |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Частота |
0 |
2 |
4 |
10 |
22 |
26 |
18 |
12 |
4 |
2 |
0 |
Используя критерий , при уровне значимости 0,05 проверить согласие этих данных с биноминальным распределением.
7. Имеется выборка:
|
х |
7,9 |
11,6 |
12,8 |
14,9 |
16,3 |
18,6 |
20,3 |
21,9 |
23,6 |
|
у |
13,0 |
22,8 |
24,8 |
28,6 |
31,6 |
38,7 |
40,0 |
44,9 |
43,0 |
Найти уравнения прямых регрессии и вычислить коэффициент корреляции (оценить)