тематических наук професор кафедри вищої математики доцент Грибняк С.

Работа добавлена на сайт samzan.net:

УДК 517.2

ББК 22.161.1

Щ92

Диференціальне числення функцій однієї змінної.

Автори:

Щоголев С. А., доктор фізико-математических наук, професор кафедри вищої математики, доцент

Грибняк С. Т., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики, доцент

Рецензенти.

Попов В. Г. – доктор фізико-математичних наук,

                       завідуючий кафедрою вищої математики Одеської національної

                       морської академії, професор

                                            

Плотніков А. В. – доктор фізико-математичних наук,

                              завідуючий кафедрою прикладної та обчислювальної

                              математики і САПР Одеської державної академії

                              будівництва та архітектури, професор

Григор’єв Ю. О. – кандидат фізико-математичних наук,

                               доцент кафедри вищої та прикладної математики

                               Одеського національного морського університету, доцент

    Навчально-методичний посібник написано відповідно до навчальної програми дисципліни «Математичний аналіз» для підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів за спеціальностями «фізика», «прикладна фізика», «астрономія».

    Посібник містить основні поняття, методи, теореми та формули, багато розв’язаних типових задач, а також завдання для самостійної роботи студентів.

    

    Рекомендовано науково-методичною радою ОНУ імени І. І. Мечникова (протокол № 1 от 24.10.2013).

1. Задачі що приводять до поняття похідної.

    Диференціальне числення – це розділ математики, в якому вивчається дослідження функцій за допомогою нескінченно малих (див. розділ «Вступ до аналізу»).

    Деякі задачі диференціального числення було поставлено та розв’язано ще у стародавні часи. Але загальні методи були розроблені І. Ньютоном та Г. Лейбніцем у XVII ст. А у XIX ст.  у працях О. Коші, К. Вейєрштрасса та ін. було дано обґрунтування цих методів на підставі теорії границь.

Центральним поняттям диференціального числення являється поняття похідної. Розглянемо декілька задач, які приводять до цього поняття.

    1. Задача про дотичну до графіка функції.

    Розглянемо деяку криву лінію  (рис. 1) і візьмемо на цій кривій точки  і . Пряму , яка проходить через ці точки, називають січною.  Тепер припустимо, що точка  починає рухатись вздовж кривої , наближаючись

до точки .  Відстань  прямуватиме до нуля.                

                                                  

                                                                    

                                      Рис. 1.

    Граничне положення  січної  називається дотичною до кривої  у точці .

    Розглянемо тепер графік деякої функції  і візьмемо на ньому точку  (рис.2). Надамо значенню  приріст  і відмітимо на графіку точку . Функція  отримає приріст . Проведемо через точки  і  січну . Кут , величину якого позначимо через  – це гострий кут у прямокутному трикутнику , де точка  має координати . З відомих співвідношень у прямокутному трикутнику маємо:

     .

Нехай тепер . Тоді точка , рухаючись вздовж графіка функції, прямує до точки , і січна , повертаючись навколо точки , переходить в дотичну . Кут  при цьому прямує до деякого граничного положення  . Тобто можемо записати:

    .

Тоді, оскільки функція  неперервна при , отримаємо, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює:

     .

Рис. 2.

    Отриману границю називають похідною функції  у точці . Нижче ми побачимо, що до таких самих границь приводять і багато інших задач.

    2. Задача про миттєву швидкість точки.

    Нехай матеріальна точка  рухається вздовж деякої координатної прямої (рис. 3).

 Рис. 3.

    Позначимо через  – координату точки  у момент часу . Нехай за проміжок часу  точка пройшла відстань . Тоді середня швидкість точки на протязі проміжку часу  дорівнює:

     .

Але це саме середня швидкість. Разом з цим на протязі часу  точка  може рухатися нерівномірно: спочатку, наприклад, швидко, потім повільно, а певний час взагалі стояти на одному місці, потім знову швидко (приблизно так відбувається рух транспорту по міським вулицям). Таким чином середня швидкість не є достатньо адекватною характеристикою руху. Тому часто виникає задача знаходження швидкості не на протязі якогось проміжку часу,  а в будь який момент часу, тобто так званої  миттєвої швидкості. Як її можна знайти? Як границю значення середньої швидкості  при прямуванні проміжку  до нуля, тобто:

     .

Як бачимо, з точністю до позначень вийшла точно така сама границя, що й у задачі про дотичну, тобто виникла та ж сама похідна.

    3. Задача про густину неоднорідного стрижня.

    Розглянемо тонкий прямолінійний стрижень довжини  (рис. 4) і розмістимо його на осі  так, щоб лівий його кінець збігався з початком координат. Будемо вважати стрижень неоднорідним, тобто його густина не є сталою, а змінюється від точки до точки.

Рис. 4.

Позначимо через  масу частини стрижня, що розташована між початком координат і точкою з координатою . Розглянемо точку з координатою . Тоді маса частини стрижня між точками  та :

    .

    Середньою густиною  стрижня на відрізку  називають відношення:

     .

    Лінійною густиною стрижня у точці  називають границю

    ,                                                   тобто знову прийшли до тієї ж похідної.

    4. Задача про швидкість хімічної реакції.

    Нехай  – кількість речовини, що вступає в хімічну реакцію у момент часу . За проміжок часу довжиною  ця кількість змінилася і дорівнює тепер . Середньою швидкістю реакції за проміжок часу  називається відношення:

     .

Границя середньої швидкості при  є швидкість реакції у момент часу :

     .

Легко помітити, що знову виникає похідна.

    5. Задача про інтенсивність виробництва.

    Нехай  – обсяг виробництва деякої галузі промисловості у момент часу . За проміжок часу  цей обсяг змінюється і становить . Приріст обсягу виробництва дорівнює .

    Середньою інтенсивністю виробництва називається відношення:

     .

Інтенсивність виробництва у момент часу знайдеться як границя середньої інтенсивності при , тобто:

     .

І знову та ж сама похідна.

    Отже ми навели декілька прикладів – з геометрії, фізики, хімії, економіки. І всі вони привели до одного й того  поняття – похідної. Існує ще ціла низка задач, які приводять до того ж поняття. Це добре ілюструє факт універсальності математичних понять і методів: різнорідні за своєю природою реальні процеси можуть описуватись одною й тою ж математичною моделлю. У цьому, зокрема, полягає сила математики. Як зауважив видатний французький математик Анрі Пуанкаре, «математика – це мистецтво давати різним речам одне й те ж найменування».

 

2. Означення похідної функції в точці.

    А тепер ми можемо відійти від конкретного змісту задачі і розглянути її в абстрактному сенсі.

    Нехай на деякому числовому проміжку  задано функцію . Візьмемо довільну точку  і надамо  приросту  такого, щоб точка  також належала проміжку . Тоді функція  отримає приріст .

    Означення.  Похідною функції   в точці  називається границя відношення приросту функції  в цій точці до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля.

    Похідна позначається одним з символів:

     .

    Таким чином, за означенням:

     .

    Користуючись цим означенням, розв’язки задач 1–5, що розглянуто вище, можна тлумачити так:

    1. Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  у точці  дорівнює похідній  у цій точці:

    .

    У цьому полягає геометричний зміст похідної.

    2. Миттєва швидкість точки в момент часу  дорівнює похідній від її координати в цей момент часу:

   .

    У цьому полягає механічний зміст похідної. У задачах механіки похідну частіше позначають точкою: .

    3. Лінійна густина стрижня у точці з координатою  дорівнює похідній від маси  частини стрижня, що відповідає проміжку :

     .

    4. Швидкість хімічної реакції у момент часу  дорівнює похідній від кількості  речовини у цей момент часу:

     .

    5. Інтенсивність виробництва у момент часу  дорівнює похідній від обсягу  виробництва у цей момент часу:

     .

    Розглянемо приклади.

    1. Знайти похідну функції  (сталої).

    Маємо для довільного :

    .

Тобто похідна сталої функції дорівнює нулю.

    2. Знайти похідну функції .

    Маємо для довільного :

    .

    3. Знайти похідну функції . Знайти значення цієї похідної у точці .

    Маємо для довільного :

    

.

Зокрема, якщо , то

    .

    4. Знайти похідну функції .

    Маємо для довільного :

(внаслідок першої важливої границі і неперервності функції ).

    5. Знайти похідну функції .

    Маємо для довільного :

                                         (на підставі третьої супутньої границі – див. розділ «Вступ до аналізу»).

    Як ми відповімо на таке питання: чому дорівнює похідна функції ? Деякі не зовсім уважні студенти, керуючись останнім прикладом, відповідають, що похідна дорівнює . А як вважаєте ви?

3. Однобічні та нескінченні похідні.

    За аналогією з однобічними границями та однобічною неперервністю вводяться поняття однобічних похідних – лівої та правої.

    Означення. Якщо функція  неперервна зліва в точці , та існує границя

    ,    

то ця границя називається лівою похідною функції  в точці , та позначається як .

    Якщо  функція  неперервна справа в точці , та існує границя

    ,

то ця границя називається правою похідною функції  в точці , та позначається як .

    Таким чином, за означенням:

    ,    .

    Похідна  функції  в точці  існує тоді і тільки тоді, коли існують обидві похідні ,  і вони співпадають. При цьому:

    .

    Приклад 1. Знайти ліву та праву похідні функції  в точці .

    Маємо:

    ,

    .

    Зауважимо, що оскільки , то похідної функції  в точці  не існує.

    Розглянемо тепер поняття нескінченної похідної. Нехай функція  неперервна в точці , і нехай:

    .

Тоді кажуть, що функція  має в точці  нескінченну похідну. Пряма  у цьому випадку називається дотичною до графіка функції  в точці .

    Якщо , то кажуть, що функція  має в точці  похідну, яка дорівнює . У цьому випадку однобічні границі  та  називають відповідно лівою та правою похідною функції  в точці  і позначають також як  та . Таким чином, якщо , то ,  і навпаки. Відповідно, якщо , то ,  і навпаки.

    Приклад 2. Розглянемо функцію . Знайдемо:

    .

В точці (0;0) дотичною до графіка даної функції є пряма лінія  (рис. 5).

                    Рис. 5.

    У випадку, коли , або , кажуть, що функція  має в точці  нескінченну похідну певного знаку.

    Розглянемо тепер випадок, коли , але не виконано жодну з умов , . Тоді кажуть, що  не є нескінченістю певного знаку. Наприклад, така ситуація має місце, якщо , а . Таку властивість має, наприклад, функція  в точці  (рис. 6).  Дійсно:

    ,  .

 Рис. 6.

4. Диференційовність функції в точці, її зв’язок з

неперервністю.

    Введемо таке означення.

    Означення. Функція   називається диференційовною у точці , якщо її приріст  може бути подано у вигляді:

    ,                                                                                де  від  не залежить, а величина  залежить і прямує до нуля разом з , тобто .

    Звідси випливає, що

     при .

    Приклад. Доведемо, що функція  диференційовна у будь якій точці числової прямої. Дійсно, розглянемо приріст нашої функції у довільній точці :

    .

Таким чином: , і , тобто функція  диференційовна у точці . Внаслідок довільності  це означає, що функція диференційовна  у будь якій точці числової прямої.

    Зауважимо, що функція  є не що інше, як похідна функції , тобто , як ми покажемо нижче.  Чи випадково це? З’ясовується, що ні. Поняття диференційовності функції у точці  тісно пов’язано з існуванням у цій точці похідної, що встановлюється наступною теоремою.

    Теорема. Для того, щоб функція  була диференційовною у точці , необхідно і достатньо, щоб у цій точці існувала скінченна похідна .

    Доведення. Доведемо спочатку достатність. Нехай у точці  існує

     .

Тоді на підставі теореми про розкладання функції, яка має границю, на сталу і нескінченно малу (див. розділ «Вступ до аналізу») можемо записати:

    ,                                                                                        де  прямує до нуля разом з . З цієї рівності отримуємо:

   ,                                                                               що й треба було довести. Тут .

    Тепер доведемо необхідність. Нехай:

    ,                                                                                де  при . Поділимо обидві частини цієї рівності на . Маємо:

    .

Перейдемо до границі при :

    .

У лівій частині рівності стоїть похідна . Тобто довели потрібне, причому дійсно коефіцієнт  дорівнює  .

    Таким чином диференційовність функції однієї незалежної змінної у точці еквівалентно існуванню у цій точці скінченної похідної. Тому замість того, щоб казати «знайти похідну функції», кажуть «продиференціювати функцію». Але, як ми побачимо у розділі «Диференціальне числення функцій багатьох змінних», для функцій, які залежать від декількох незалежних змінних, диференційовність функції у точці та існування у цій точці похідних не еквівалентно одне одному. Тому й терміни різні.

    Поняття диференційовності функції у точці пов’язано також з поняттям неперервності функції у цій точці.

    Теорема.  Якщо функція  диференційовна у точці , то вона неперервна у цій точці.

    Доведення. Оскільки функція диференційовна у точці , її приріст  у цій точці має вигляд:

    ,                                                                                де  при . Переходячи у цій рівності до границі при , отримуємо, що , що й означає неперервність функції у точці .

    Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з неперервності функції у точці  не випливає її диференційовність у цій точці. Розглянемо приклади.

    Приклад 1. Розглянемо функцію  (рис. 7).

Рис. 7.

   Ця функція неперервна у кожній точці числової прямої, у тому числі у точці . Тем не менш, ця функція не є диференційовною у цій точці. Дійсно, у Прикладі 1 п.3 було показано, що дана функція в точці  не має похідної, а отже не є й диференційовною.  З геометричної точки зору це означає, що у точці  не існує дотичної до графіка функції.

    Приклад 2. Розглянемо функцію . Ця функція також неперервна на всій числовій прямій, у тому числі у точці  (рис. 5). У Прикладі 2 п. 3 було показано, що скінченної похідної в точці  ця функція не має. Отже вона не є диференційовною в точці .

     Якщо неперервна функція диференційовна у точці, то у цій точці існує невертикальна дотична; графік функції є гладкою лінією. Тому диференційовну функцію іноді називають гладкою. Якщо диференційовність у деяких точках відсутня, то на графіку функції в цих точках можуть виникати куточки, заломи (рис. 8).

Рис. 8.

    Німецьким математиком К. Вейєрштрассом (1815 – 1897) було побудовано приклад неперервної  функції,  яка   не  є  диференційовною у жодній точці. Це собі навіть важко уявити: суцільна лінія, яка у кожній своїй точці  має залом.  Деяке уявлення про те, як це можливо, може дати наступний приклад. Розглянемо рівносторонній трикутник і поділимо кожну з його сторін на три рівні частини. На кожній з середній з них з зовнішнього боку добудуємо ще рівносторонній трикутник (рис. 9):

 

Рис. 9.

Кожен з відрізків цієї шестикутної зірки знову поділимо на 3 рівні частини і на кожній з них з зовнішнього боку добудуємо рівносторонній три кутник. Отримаємо таку фігуру (рис. 10):

Рис. 10.

    На кожному з отриманих таким чином відрізків знов зробимо таку ж саму операцію і так далі.

    На рис. 10 зображено фігуру, яка отримується після 5 кроків:

 Рис. 11.

Існують комп’ютерні програми, які дозволяють будувати таку фігуру для будь якого числа кроків, деякі з них, зокрема можна знайти в Інтернеті.

Цей процес можна продовжувати нескінченно. У наслідку отримується крива лінія, яку називають сніжинкою Кох за ім’ям Гельге фон Кох (1870–1924), яка у 1904 році вперше побудувала її. І ця лінія у кожній точці  має залом. Лінії такого типу відносяться до так званих фрактальних множин. До них також відносяться відомі канторова множина, килим та губка Серпінського та інші. Останнього часу інтерес до цих множин постійно зростає. Вони знаходять свої застосування у багатьох галузях знань1.

    Існують і більш складні приклади ситуації, коли функція неперервна у точці, але не є в цій точці диференційовною. Розглянемо функцію:

Очевидно, що , оскільки при  функція  є добутком нескінченно малої функції  на обмежену . Отже функція  неперервна у точці . Покажемо, що ця функція не має навіть однобічних похідних у точці . Розглянемо:

    .

Цієї границі, як відомо, не існує (див. «Вступ до аналізу»), отже не існує правої похідної в точці . Аналогічно не існує й лівої. Таким чином функція  не є диференційовною у точці .

    Графік цієї функції у околі точки  навіть неможливо повністю накреслити. На рис. 12 показано графік цієї функції, наближено побудований за допомогою програми Maple V.

Рис. 12.

5. Правила диференціювання.

    Теорема.  Якщо функції  диференційовні в точці , то функції  також диференційовні у точці , і мають місце формули:

    ,

    ,

    .

Якщо додатково , то функція  також диференційовна у точці , і має місце формула:

    .

    Доведення. Для суми функцій маємо:

.

Аналогічно доводиться, що .

    Далі розглянемо:

.

Тут ми скористалися тим, що , оскільки функція  неперервна у точці  внаслідок її диференційовності у цій точці.

З цієї формули випливає наступний корисний результат: якщо  , то

    ,                                                                             тобто сталий множник можна виносити за знак похідної.

І нарешті доведемо формулу для похідної частки:

    

.

Знову тут скористалися тим, що , оскільки функція  неперервна у точці  внаслідок її диференційовності у цій точці.

    Наслідок. Якщо функції  диференційовні в точці , та   – сталі, то

    .

    Тобто похідна лінійної комбінації диференційовних функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації похідних даних функцій.

6. Похідна складеної та оберненої функцій.

    Розглянемо питання про похідну складеної функції  .     

    Теорема. Нехай функція  диференційовна у точці , а функція  диференційовна у відповідній точці . Тоді складена функція    диференційовна у точці , і має місце формула:

    .      (6.1)

    Доведення. Оскільки функція  диференційовна у точці , то її приріст у цій точці має вигляд:

    ,                                                                                де  при . Оскільки функція  диференційовна у точці , то її приріст у цій точці має вигляд:

    ,                                                                                    де  при . Тоді:

    

.

Поділимо обидві частини цієї рівності на  і перейдемо до границі при . Тоді  внаслідок неперервності функції , що у свою чергу випливає з її диференційовності, і отже . Тоді маємо:

    ,

Або:

    .

    Теорему доведено.

    Приклади.

    1. Знайдемо похідну функції . Ця функція є суперпозицією функцій  і . Таким чином за формулою (6.1) маємо:

    .

    2. Знайти похідну функції .

    Це теж суперпозиція функцій  і . Тому:

    .

    Розглянемо тепер питання про похідну оберненої функції.

    Теорема. Нехай функція  задовольняє умови:

1) ,

2) функція  строго монотонна на ,

3) функція  диференційовна на ,

4)  .

    Тоді існує обернена функція  , диференційовна на інтервалі , причому :

     .                                                                                            (6.2)

    Доведення. Існування функції , оберненої для функції , випливає з строгої монотонності функції . Оскільки функція  диференційовна, отже неперервна на , то функція  неперервна та строго монотонна на  (див. «Вступ до аналізу»). Нехай . Надамо цьому значенню приріст  так, щоб . Функція  отримає приріст  . Очевидно, що якщо , то  внаслідок строгої монотонності функції . Тому:

     .     (6.3)

Нехай , тоді  внаслідок неперервності функції . За умовою 3) теореми існує , і внаслідок умови 4) та рівності (6.3) маємо:

     .

    Теорему доведено.

    Ця теорема має простий геометричний зміст. Розглянемо графік функції  (рис. 13). Та ж сама лінія буде і графіком функції . З геометричного змісту похідної випливає, що:

    .

 Рис. 13.

Але  , тобто  .

7. Похідні основних елементарних функцій.

      1. Похідна степеневої функції.

    

.

(на підставі третьої супутньої границі). Зокрема:

    ,    .

     2. Похідна показникової функції.

                

( на підставі 2–ї супутньої границі). Зокрема при  отримуємо:

    .

Тобто функція  не змінюється при диференціюванні. Дуже цікавий результат. З цього приводу є такий старий анекдот, який розповідають студентам лектори з вищої математики на протязі десятків років. Один математик якось потрапив у будинок для божевільних з діагнозом «манія диференціювання»: він всіх диференціював направо і наліво. Оце ґвалтування продовжувалось поки в той самий будинок не потрапив інший математик. Перший математик до нього підбігає і кричить: «Я тебе зараз продиференцюю!»  А той відповідає: «А я тебе не боюся. Я ».

    3. Похідна логарифмічної функції.

    В п. 2 ми вивели, що  . Звідси випливає, що

     .

    4. Похідні тригонометричних функцій. 

    Як показали в п. 2: . Звідси:

    .

    Користуючись формулою для похідної частки, маємо:

    

.

    Аналогічно отримуємо:

     .

    5. Похідні обернених тригонометричних функцій.

    Користуючись теоремою про похідну оберненої функції, виведемо формули для похідних функцій        .

Для функції   оберненою є функція , область визначення якої звужена до відрізку . Тому маємо:

,                                         оскільки  при .

    Аналогічно:

     .

    Для функції  оберненою є функція , область визначення якої звужено до інтервалу . Тому:

     .

    Аналогічно отримуємо:

    .

    Зведемо тепер всі формули до єдиної таблиці.

Таблиця похідних основних елементарних функцій.

 

       

8. Логарифмічне диференціювання. Приклади на

техніку диференціювання.

    Розглянемо таку задачу: знайти похідну функції . Як її знайти? З одного боку це функція не є степеневою, оскільки у неї показник  змінний, а у степеневої функції  – сталий. І тому формулу похідної степеневої функції використовувати не можна. А з другого боку ця функція не є й показниковою, оскільки у неї основа  теж змінна, а у показникової функції  основа  стала. І тому формулу похідної показникової функції використовувати ми також не маємо права.

    Такого типу функції називаються показниково– степеневими. І знаходити їх похідні доцільно за допомогою так званого логарифмічного диференціювання. Полягає воно в наступному. Розглянемо функцію  таку, що . Візьмемо від цієї функції натуральний логарифм і продиференцюємо отриману таким чином складену функцію:

   .

Звідси отримаємо:

.

    Це й є формула логарифмічного диференціювання. Вона стверджує, що похідна функції дорівнює цій самій функції, яку помножено на похідну її натурального логарифму. А похідну від логарифму функції у деяких випадках взяти простіше, ніж похідну від самої функції.

    Приклади.

    1. Знайти похідну функції .

    Знайдемо похідну логарифму цієї функції:

    .

Отже згідно з нашою формулою:

    .

    2. Розглянемо більш загальний випадок, а саме знайдемо похідну функції

    .                   

    Маємо:

     .

Звідси:

.

Зокрема, наприклад:

    .

    Логарифмічним диференціюванням є сенс користуватися і в інших випадках.

    3. Знайти похідну функції

     .

    Взагалі кажучи, цю функцію можна було б продиференціювати і безпосередньо, використовуючи формули для похідних частки і добутку. Але це приведе до дуже громіздких викладок. Доцільніше скористатися логарифмічним диференціюванням. Отже:

,

,

.

    Далі ми розглянемо низку прикладів на знаходження похідних функцій, тобто на техніку диференціювання.

    Приклади. Знайти похідні функцій.

    1. .

    

.

    2.  .

.

    3. .

    

.

Тут використали формули для похідних частки і добутку.

    Далі розглянемо приклади на диференціювання складеної функції.

    4. .

.

    5. .

         

       .

    Як бачимо, іноді доводиться диференціювати функції багатократної складеності, тобто такі, в яких внутрішня функція у свою чергу уявляє собою складну функцію. І тоді похідна від цієї внутрішньої функції теж береться як похідна складеної  функції.    Наприклад,   якщо    ,   то    . Розглянемо такий, декілька неприродний приклад: знайти похідну функції:

     .

    Маємо:

    

.

    Диференціювання функцій такого типу нагадує автору казку про Чаклуна Невмирущого. Його смерть була на голці, яка була в яйце, яке було в качці, яка була в зайці, який сидів у скрині, яка висіла на дубі. І щоб вбити Чаклуна, треба було звалити дуб, розбити скриню, вбити зайця, вбити качку, розбити яйце і нарешті зламати голку. Приблизно за таким «алгоритмом» послідовного діставання і диференціюється складена функція.

9. Параметрично задані функції та їх диференціювання.

    У всіх задачах, що розглядалися вище, ми мали справу з функціями, аналітичне задання яких має вид: . Тобто за кожним значенням , знаючи функцію, ми можемо знайти відповідне значення функції . Така формула називається явною. Вона задає безпосередню залежність змінної  від змінної . Разом з цим часто доводиться мати справу з іншими видами аналітичного задання функції. Зокрема, з так званим параметричним заданням. Полягає воно в тому, що між змінними  та  не встановлюється безпосередня залежність, а кожна з цих змінних задається як функція  третьої змінної , яка називається параметром:

     .

    Розглянемо приклади:

    1. Нехай точка  рухається по координатній площині від моменту часу  до моменту . Траєкторією її є деяка лінія  на цій площині. (рис.14). Координати точки  змінюються з часом: тобто у кожен момент часу  точка  має свої координати. Тому ми можемо сказати, що координати  точки  є функціями часу:

 

    Рис. 14.

     .

Ці рівняння задають у параметричному вигляді лінію  як траєкторію руху точки . У якості параметра  тут виступає час. Такий опис руху матеріальної точки широко використовується у задачах механіки.
    2. Коло.

    Розглянемо коло радіуса  з центром у початку координат (рис.15).

                Рис. 15.

 

    Якщо  – довільна точка кола, то її прямокутні декартові координатні пов’язано рівнянням:   . З’єднаємо точку  з початком координат радіусом  і позначимо через  кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді

    .

Це й є параметричні рівняння кола.

    3. Еліпс.

     Розглянемо еліпс з півосями  (рис. 16). Рівняння цього еліпса у прямокутній декартовій системі координат має вигляд:

    .

Рис. 16.

Як і у випадку кола, з’єднаємо довільну точку  на еліпсі радіусом  з початком координат і позначимо через  кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді можемо отримати параметричні рівняння еліпса:

    .

    Від явного задання функції  завжди можна перейти до параметричного:

    .

Але від параметричного рівняння до явного перейти вдається далеко не завжди. Можливо це тоді, коли рівняння  вдається розв’язати відносно змінної :  . Тобто до функції  знайти обернену . Тоді, підставляючи її до другого параметричного рівняння, отримаємо: , тобто перейшли до явного рівняння.

    Існують лінії, рівняння яких найчастіше задається саме у параметричній формі.

    4. Циклоїда.

    Розглянемо у прямокутній декартовій системі координат коло з центром у точці  і радіусом  (рис. 17).

Рис. 17.

    Тоді вісь  буде дотичною до цього кола. Тепер припустимо, що коло котиться вздовж осі . Яку траєкторію буде описувати точка на колі? Такою траєкторією буде лінія, яка називається циклоїдою. Її параметричні рівняння мають вид:

    .

Тут у якості параметра  виступає кут повороту кола. Якщо він змінюється на проміжку , тобто коло повертається на , то описується перша арка циклоїди, якщо , то описуються дві арки тощо.

    Розглянемо питання про диференціювання параметрично заданої функції:

    .

    Теорема. Нехай функції  задовольняють умови:

1) ці функції неперервні на  і неперервно диференційовні на ,

2) .

Тоді має місце рівність:

    .

    Доведення. З того, що  на  та з неперервності функції  випливає, що на   або , або . Тоді функція  строго монотонна на , і має обернену функцію , причому:

    .

Тоді , і за формулою для похідної складеної функції маємо:

     .

    Приклад. Знайти , якщо  .

    Ці рівняння описують так звану астроїду (рис. 18).

Рис. 18.

Маємо:

    .

    Ще один спосіб аналітичного задання функції – так званий неявний спосіб. Тут залежність між змінними  та  задається у вигляді деякого рівняння, яке пов’язує ці змінні:

    .

Щоб продиференціювати таку функцію, потрібно взяти похідну від обох частин останньої рівності, вважаючи  функцією від , і отримане рівняння розв’язати відносно . Похідна від неявної функції виражається через незалежну змінну  і саму функцію.

    Приклад. Знайти , якщо .

    Візьмемо похідну від обох частин цієї рівності:

    .

Або:

    .

Звідси:

     .

    Більш детально питання про неявні функції та їх диференціювання розглядатиметься в розділі «Диференціальне числення функцій багатьох змінних».

10. Диференціал функції, його застосування до наближених обчислень. Рівняння дотичної до графіка функції.

    Пригадаємо означення диференційовної функції. А саме, функція диференційовна у точці , якщо її приріст  у цій точці може бути подано у вигляді (див. п.4):

    ,

де  при . Далі ми встановили, що .

    Перший доданок  виразу для  є лінійним відносно , тобто пропорційний  з коефіцієнтом пропорційності . А другий доданок  є нескінченно малою вищого порядку, ніж  при . Він не є лінійним відносно . Якщо  мале число, то цей доданок буде значно меншим, ніж перший. Тому перший, лінійний відносно  доданок, називають головною частиною приросту функції. При малих  величина приросту буде визначатися, головним чином, саме цим доданком. Цей доданок отримав назву диференціала функції і позначається  . Таким чином, за означенням:

    .

Покладемо в цій рівності , тоді , і  , тобто диференціал незалежної змінної збігається з її приростом. З урахуванням цього:

    .

Така форма запису диференціала найбільш поширена. Зокрема з неї випливає рівність:

     .

    Розглянемо приклади:

    1. Знайти диференціал функції  .

    Маємо:

    

.

    2. Знайти диференціал функції

а) при довільних  і

б) при  .

    Маємо:

а) .

б) .

    Всю таблицю похідних (п. 7) можна переписати як таблицю диференціалів:

                                        

                        

                     

                             

                       

                               

                     

   Відмітимо деякі важливі властивості диференціалів:

    ,

    ,

     .

    Ці властивості безпосередньо випливають з відповідних властивостей похідних. Ще одна, особливо важлива, властивість диференціала випливає з правила диференціювання складеної функції. А саме, розглянемо складену функцію  і знайдемо її диференціал:

    .

    Тобто диференціал 1-го порядку зберігає свою форму запису незалежно від того, чи є  незалежною змінною, чи є  функцією іншої змінної. Ця властивість диференціала називається його інваріантністю.

    Застосування диференціала у наближених обчисленнях.  

    Розглянемо приріст диференційовної функції  у точці :

     ,                                              де  при . Або:

    .

Як вже відмічалося, доданок  при малих  значно менший, ніж доданок . Тому при певних умовах ним можна нехтувати, і тоді отримуємо наближену рівність:

    .

Позначивши: , цю рівність можна переписати так:

    .                                                                  (10.1)

Ця формула є основою для наближених обчислень. Користуються нею так: нехай треба наближено знайти значення функції  у точці , тобто . Шукають іншу точку , яка не дуже значно відрізняється від точки  (тобто величина  мала), у якій відомо точне значення функції , а також відомо значення похідної цієї функції. І тоді значення    наближено знаходять за формулою (10.1).

    Приклади. Розглянемо функцію . Тоді  . Покладемо , де  – деяке мале за модулем число. Тоді формула (10.1) набуває вигляду:

     .

Цю формулу можна використовувати як наближену для обчислення квадратних коренів. Користуючись нею, знайдемо наближено . Маємо:

  

.

Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: .

    2. Розглянемо функцію  . Формула (10.1) дає:

     .

Обчислимо, наприклад, . Візьмемо: , і тоді:

    .

Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: 0,77017.

    Формулою (10.1) користуються, як правило, тоді, коли потрібна не дуже висока точність обчислень. В протилежному випадку користуються іншими формулами, які забезпечують вищу точність. Відповідні питання розглядаються в курсах чисельних методів.

    Геометричний зміст диференціала тісно пов’язано з дотичною до графіка функції. Розглянемо графік диференційовної у точці  функції  (рис. 19).

 

                     Рис. 19.

Проведемо в точці  дотичну. Рівняння її в формі  з кутовим коефіцієнтом має вигляд:

    ,                                                                                                            де  (пригадаємо геометричний зміст похідної). Оскільки ця пряма проходить через точку , її рівняння набуває вигляду:

    .                                                                     (10.2)

Це й є рівняння дотичної до графіка функції.

    Надамо значенню  приріст . Тоді функція  отримає приріст . Лінійна функція (10.2), яка є рівнянням дотичної, також отримає приріст:

     ,                        а це не що інше, як диференціал функції  у точці . На рис.19 це довжина катета  в прямокутному трикутнику . У цьому ж трикутнику:  .

     Таким чином, з геометричної точки зору диференціал функції  в точці  означає приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції  в точці .

    З’ясуємо тепер механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка  рухається вздовж координатної прямої. Позначимо через  – координату точки  у момент часу  (рис.3, п.1). Тоді згідно з механічним змістом похідної  – це миттєва швидкість точки у момент . Добуток , тобто саме , дає шлях, який пройшла б точка  за проміжок часу , якби рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю . Це й є механічний зміст диференціала. Фактично ж шлях , який пройдено точкою за проміжок часу , відрізняється від  на нескінченно малу ( при ) вищого порядку, ніж . Але, якщо  досить мале, то швидкість  не встигає суттєво змінитися, і рух точки на проміжку  є майже рівномірним.

    Приклади.

    1. Скласти рівняння дотичної до графіка функції   у точці .

    Користуючись рівнянням (10.2), отримаємо:

      ,                               і таким чином шукане рівняння має вигляд:

    .

Або:

    .

    2. Координати точки  у момент часу  виражається формулою: . Знайти наближено шлях, який пройдено точкою від моменту часу  до моменту часу .

    Маємо: ,

.

Справжній шлях дорівнює:

    .

11. Похідні та диференціали вищих порядків.

    Нехай функція  диференційовна на інтервалі . Її похідна теж є функцією від . Якщо ця функція також диференційовна на, то від неї також можна взяти похідну, тобто знайти . Ця похідна називається похідною другого порядку від функції   і позначається .

    Якщо  у свою чергу диференційовна на , то і від неї також можна взяти похідну , яка позначається  і називається похідною третього порядку від функції . Далі аналогічно:

     – похідна 4-го порядку,

     – похідна 5-го порядку,

…

     – похідна –го порядку.

Покажчик порядку похідної пишеться у дужках, щоб відрізняти його від покажчика степеня.

    Приклади.

    1. Знайти , якщо .

    Маємо:

   ,

   ,

   .

І продовжуючи так далі, отримаємо:

.

Зокрема:  .

    2. Знайти , якщо .

    Маємо:

   ,

   ,

,

.

   3. Знайти , якщо .

   Маємо:

  ,

 ,

 

.

   Похідні другого порядку можна знайти й від функцій, заданих в параметричній формі. Нехай:

   ,                                                                             де функції  неперервні і неперервно диференційовні на , і крім того . Тоді (див. п. 9):

     .

   Якщо функції  двічі неперервно диференційовні на , то

    

.

Аналогічно можна знаходити і похідні вищих порядків.

    Приклад. Знайти , якщо   .

    Маємо:

    ,   ;

    ,    .

Отже:

                     (пропущені спрощення проведіть самостійно).

    І нарешті розглянемо випадок функції, заданої неявно.

    Приклад. Знайти , якщо .

    Маємо: , звідки:

     .

Далі:

    

.

    Похідна другого порядку має простий механічний зміст. Якщо  – координата матеріальної точки в момент часу , то похідна , як ми встановили раніше, дорівнює швидкості точки в цей момент часу: . А друга похідна   характеризую швидкість зміни швидкості і дорівнює миттєвому прискоренню  точки в момент часу .

    Приклад. Знайти прискорення точки в момент часу , якщо рух точки відбувається згідно з законом:  .

    Маємо:  ;   

.

Звідси:  .

    Теорема. Якщо функції  і  мають в точці  похідні -ого порядку, то функція  також має в точці  похідну -ого порядку, причому:

    .  (11.1)

    Формула (11.1) називається формулою Лейбніца.

    Доведення формули Лейбніца. Застосуємо метод математичної індукції. При   формула (11.1) справджується, оскільки

    .

    Припустимо, що формула (11.1) є вірною для . Тобто виконується:

    .

    Доведемо її справедливість для . Розглянемо:

    

,

тобто формула (11.1) справджується й для . Тут скористалися формулою для біноміальних коефіцієнтів:

    .

    Таким чином формулу Лейбніца доведено. Її вигляд аналогічний вигляду відомої формули бінома Ньютона:

    .

    Аналогічно похідним можна також знаходити і диференціали вищих порядків.

    Означення. Диференціалом другого порядку від двічі диференційовної функції  називається диференціал від диференціала 1–го порядку цієї функції.

    Позначається диференціал 2–го порядку символом  . Тобто:

    .

Оскільки  не залежить від , то , як константу, можна виносити за знак похідної, і тоді отримуємо:

    .

Звідси:

     .

    Аналогічно визначаються і диференціали вищих порядків:

    ,

    ,

     

    .

З останнього виразу маємо:

     .

    Зауважимо, що, на відміну від диференціалу 1–го порядку,  диференціали 2–го і більш високих порядків вже не мають властивість інваріантності, тобто рівність  при  справджується лише тоді, коли  являється незалежною змінною. Якщо ж  у свою чергу являється функцією іншої змінної, то ця рівність не має місця. Дійсно, нехай , тоді   . Отже  

    

,                                         тобто форма диференціала не зберігається.

    Приклад. Знайти , якщо .

    Маємо:  ,

,

.

Таким чином:

    .

12. Основні теореми диференціального числення.

    Тут ми сформулюємо і доведемо декілька важливих теорем, на яких значною мірою ґрунтується подальший матеріал. Всі ці теореми належать французьким математикам – П. Ферма, М.Роллю, Ж.–Л.Лагранжу та О.Коші..

    Теорема Ферма* Нехай функція  неперервна на інтервалі  і у деякій точці  цього інтервалу набуває найбільшого або найменшого на цьому інтервалі значення. Тоді, якщо в точці існує похідна , то .

    Доведення.  Припустимо для визначеності, що у точці  функція  набуває найбільшого на  значення. Тоді  виконано: . Надамо значенню  приріст  так, щоб точка  належала інтервалу . Функція  отримає приріст   . Розглянемо:

     .

Якщо , то , і тоді  (на підставі теореми про зберігання знаку границі). А якщо , то , і тоді . З цих двох нерівностей випливає, що . Теорему доведено.

    Ця теорема має простий геометричний зміст: якщо в точці  функція досягає найбільшого або найменшого на інтервалі  значення, і в цій точці існує дотична до графіка функції, то ця дотична паралельна осі  (рис. 20 а, б).

 

              а                                    б

                                 Рис. 20.

    Зауваження. Твердження теореми втрачає силу, якщо інтервал в умові теореми замінити півінтервалом або відрізком. Наприклад, функція  досягає найбільшого на відрізку  значення в точці , і похідна (ліва) в цій точці існує: . Але вона не дорівнює нулю.

    Теорема Ролля*. Нехай функція

1) неперервна на відрізку ,

2) диференційовна принаймні на інтервалі ,

3) на кінцях відрізку  набуває рівних значень, тобто .

Тоді на інтервалі  знайдеться принаймні одна точка  така, що виконується рівність .

    Доведення. Оскільки функція  неперервна на відрізку , то за другою теоремою Вейєрштрасса (див. розділ «Вступ до аналізу») вона досягає на цьому відрізку свого найменшого значення  та найбільшого значення . Очевидно, що . Розглянемо дві можливі ситуації.

1). . Тоді  на , і отже , тобто у якості точки  можна взяти будь яку точку інтервалу .

2). . Тоді з умови  випливає, що хоча б одне з цих значень не набувається на кінцях відрізка . Припустимо для визначеності, що цим значенням являється , тобто . А тоді в точці  досягається найбільше значення функції на інтервалі , отже за теоремою Ферма . Теорему доведено.

    З геометричної точки зору ця теорема означає, що при виконанні умов теореми на інтервалі  існує хоча б одна точка , в якій дотична до графіка функції паралельна осі . На рис. 21 дві такі точки  і  .

Рис. 21.

    З механічної точки зору теорема Ролля означає наступне: якщо в деякі різні моменти часу  і  точка, що рухається вздовж прямої, має одну й ту ж координату, тобто , то на проміжку часу  знайдеться такий момент , у який миттєва швидкість точки буде дорівнювати нулю:  . В цей момент точка починає зворотний шлях.

    Зауваження. Всі три умови теореми Ролля суттєві, тобто відмовлення хоча б від одної з них робить твердження теореми несправедливим. Розглянемо наступні приклади.

    1. Відмовимось від першої умови, зберігаючи при цьому другу і третю. Розглянемо на відрізку  функцію (рис. 22).

    

Рис. 22.

Для цієї функції не існує точки, у якій похідна дорівнює нулю, оскільки .

    2. Відмовимось від другої умови, залишивши при цьому першу і третю. Тепер розглянемо функцію  на відрізку  (рис. 23).

Рис. 23.

Знову не існує точки ,  де , оскільки  при ,   при , а у точці  похідної не існує (див. п. 3).

    3. Відмовимось від третьої умови, залишивши першу і другу. Розглянемо функцію  на відрізку  (рис. 24). І знову нема точки, у якій похідна дорівнювала б нулю, оскільки .

    

Рис. 24.

    З теореми Ролля випливають наступні корисні наслідки.

    Наслідок 1.  Між будь якими двома коренями неперервної і неперервно диференційовної функції лежить принаймні один корінь її похідної.

    Наслідок 2. Якщо неперервна та диференційовна функція періодична з періодом , то на будь якому інтервалі  () існує точка, у якій похідна функції дорівнює нулю. 

    Теорема Лагранжа*. Якщо функція  неперервна на відрізку  і диференційовна принаймні на інтервалі , то на інтервалі  знайдеться принаймні одна точка  така, що виконується рівність:

    .

    Доведення. Введемо допоміжну функцію , де сталу  підбираємо з умови: . Тоді , звідки:

     .

Тоді функція  на відрізку  задовольнятиме всі умови теореми Ролля. Дійсно, вона неперервна на , як сума двох неперервних функцій, диференційовна на  як сума двох диференційовних функцій, і на кінцях відрізку  приймає рівні значення. Згідно теореми Ролля  така, що . А оскільки , то

     ,                                                                                що й треба було довести.

    Теорема Лагранжа має наступний геометричний зміст. Розглянемо графік функції  на відрізку  (рис. 25). Проведемо січну . Її кутовий коефіцієнт:

     .

Рис. 25.

З іншого боку, оскільки

    ,                                                                                      то з геометричного зміста похідної випливає, що кутовий коефіцієнт дотичної, яку проведено до графіка функції в точці , співпадає з кутовим коефіцієнтом січної, тобто дотична паралельна січній. Таким чином з геометричногї точки зору теорема Лагранжа означає, що при виконанні умов теореми на інтревалі  знайдеться принаймні одна точка  така, в якій дотична, проведена до графіка функції, паралельна січній . На рис. 25 таких точок дві –  і .

    Теорема Лагранжа має також і механічну інтерпретацію. Якщо   – координата точки, що рухається, то відношення

                                                                                                             дає середню швидкість точки за проміжок часу . Теорема Лагранжа стверджує, що знайдеться момент часу , в який миттєва швидкість точки  буде дорівнювати середній:

     .

    Приклад. Для функції  на відрізку  знайти точку, в якій дотична до графіка функції паралельна січній.

Маємо: ,  . Тоді за теоремою Лагранжа:

    ,

,   тобто    .

    Теорему Лагранжа (її ще називають формулою скінченних приростів) ми неоднократно будемо використовувати у подальшому.

    Теорема Коші*  Нехай функції  неперервні на відрізку , диференційовні принаймні на інтервалі , і крім того  : . Тоді на інтервалі  знайдеться принаймні одна точка  така, що виконується рівність:

    .

    Доведення. Як і в теоремі Лагранжа, введемо допоміжну функцію:

    ,                                                                                          де число  підбираємо з умови: . Тоді:

     ,                                                                                               і отже функція  на відрізку  задовольняє всі умови теореми Ролля, згідно з якою  .  А оскільки  ,      то , і отже:

    .

    Теорему доведено.

    Теорема Лагранжа є частинним випадком теореми Коші  (). Але теорема Лагранжа настільки важлива, що ми дали окреме її доведення.

    Може скластися враження, що теорему Коші легко довести на підставі теореми Лагранжа, а саме: функції  та   на відрізку  задовольняють, очевидно, всі умови теореми Лагранжа, тому:

     .

Насправді точка  для кожної функції в теоремі Лагранжа своя, і правильний запис такий:

     .

А теорема Коші стверджує наявність точки  єдиної для обох функцій.

    Інше питання, яке може виникнути, таке: в теоремі Коші є умова . Цілком зрозуміло, адже  міститься в твердженні теореми у знаменнику. Але ж там є ще інший знаменник: . Чому ж нема умови  ? З’ясовується, що вона зайва. Дійсно, якби виконувалась рівність , то функція  на відрізку  задовольняла б всі умови теореми Ролля, згідно якій на інтервалі  існувала б точка  така, що , а в умові теореми Коші:  .

    Геометрична інтерпретація теореми Коші – та ж сама, що й теореми Лагранжа. Для того, щоб в цьому переконатися, перейдемо від явного задання функції  , що фігурує в теоремі Лагранжа, до параметричного:  , ;  ,  ,  , . Тоді формула Лагранжа набуває вигляду:

     ,                                                                              (12.1)            де  – таке значення параметру , при якому . Тобто отримали формулу Коші. Ліва частина формули (12.1) також дає кутовий коефіцієнт січної, що з’єднує кінці кривої  , , а права – кутовий коефіцієнт дотичної у деякій внутрішній точці цієї кривої, яка відповідає значенню .

    

    

13. Правило Лопіталя.

    На підставі теореми Коші можна отримати важливе правило для обчислення границь функцій у випадках різних типів невизначеностей

    Теорема (правило Лопіталя*). Нехай функції  визначені і диференційовні на інтервалі , причому , , і  : . Тоді, якщо існує границя , , то існує границя  , і ці границі рівні між собою, тобто

    .

    Доведення. Нехай . Довизначимо функції  та  в точці , покладаючи: . Тоді з умов теореми випливає, що функції  та  неперервні на відрізку . Тоді вони задовольняють всі умови теореми Коші, згідно якій існує точка  така, що

    . (13.1)

Якщо , то , і внаслідок умов теореми існує . Тому з рівності (13.1) випливає існування .

    Зауваження 1. Теорема зберігає силу і  випадках, коли  та .

    Зауваження 2. Теорема справедлива і тоді, коли  або , якщо ,  при , та існує . І у цьому випадку існує . Дійсно, розглянемо:

.

    Приклад. Знайти границю   .

    Маємо невизначеність типу  . Застосуємо правило Лопіталя (або, як жартівливо кажуть математики, «пролопітуємо»).

    .

    Зауваження 3. Якщо похідні  задовольняють ті самі умови, що й функції , то правило Лопіталя можна застосувати ще раз. Тоді матимемо:

     .

І взагалі, при виконанні відповідних умов, правило Лопіталя можна використовувати доти, поки не прийдемо до зникнення невизначеності.

    Приклад.

    .

 

    За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначеності типу  .     

     Теорема. Нехай функції  визначені і диференційовні при  , причому при, , .

Тоді, якщо існує , то існує ,і виконується рівність:

     .

    Доведення цієї теореми ми не наводимо*. Зауважимо тільки, що вона легко розповсюджується на випадки , , .

    Приклади.

    1. Знайти

     .

Цю границю можна обчислити і без використання правила Лопіталя шляхом ділення чисельника і знаменника почленно на . Правило Лопіталя в цій ситуації дає:

     .

    2. Знайти  .

    Маємо невизначеність типу , тому за правилом Лопіталя маємо:

     .

З цього факту випливає, що логарифмічна функція зростає повільніше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником.

    3. Знайти

     .

    Знову маємо невизначеність типу  . Застосуємо правило Лопіталя, причому декілька разів. Розглянемо два випадки.

а). . Застосуємо правило Лопіталя  разів. Отримаємо:

     

.

б). . Позначимо:  (через  позначено цілу частину числа ). Тоді . «Пролопітуємо»  разів. Отримаємо:

.

З цього факту випливає, що експонента зростає швидше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником.

    За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначеності інших типів шляхом зведення їх до невизначеностей типу   або   .

    Приклади.

   1.  .

   Тут невизначеність типу . Зведемо її до невизначеності типу , після чого використаємо правило Лопіталя:

  .

    2.  .

    Тут невизначеність типу . Зведемо до невизначеності  та «пролопітуємо»:

     

.

    3. .

    Тут невизначеність типу . Зведемо до невизначеності типу  за допомогою логарифмування.

    .

Обчислимо тепер границю . Це невизначеність типу . Зведемо її до невизначеності типу  та «пролопітуємо»:

    

.

Отже .

    4. .

    Маємо невизначеність типу . Шляхом логарифмування зведемо її до невизначеностей інших типів:

    .

Далі:  

.

Отже наша границя дорівнює .

14. Формула Тейлора.

    У розділі «Вступ до аналізу» ми навели класифікацію елементарних функцій. Одним з найпростіших класів функцій є клас многочленів. Нагадаємо, що многочленом (або поліномом) степеня  називається функція вигляду:

      .

Многочлени дуже зручні з точки зору обчислювання їх значень. Для цього потрібна лише скінченна кількість арифметичних дій – множення та додавання. Можна використовувати, наприклад, схему Горнера. Для многочлена 4-го степеня, зокрема, вона має вигляд:

      .

Решта функцій (наприклад, такі, як  та ін.) з цієї точки зору набагато складніші. Для обчислювання їх значень вже недостатньо скінченного числа арифметичних дій. У зв’язку з цим виникає запитання: чи можна довільну функцію, хоча б наближено, подати у вигляді многочлена? Цьому питанню, зокрема, і присвячено цей параграф.

    Розглянемо функцію  і припустимо, що у деякій точці вона має похідні до -го порядку включно, тобто існують , , … , . Поставимо задачу: знайти многочлен  степеня  такий, що у точці  він сам і його похідні до -го порядку включно відповідно дорівнюють значенням у цій точці функції  та її похідних, тобто:

    ,

    ,

    …

    ,

    .

Якщо це буде виконано, то при певних умовах можна буде очікувати, що у точках, достатньо близьких до точки , значення такого многочлена будуть не дуже відрізнятися від значень функції .

    Шукатимемо цей многочлен у вигляді:

 

,

тобто не за степенями , а за степенями .

    Знайдемо послідовно похідні:

    

,

    

,

    

,

…

    

,

…

    ,

    .

    Покладемо в цих рівностях  і дорівняємо до відповідних значень функції  та її похідних в точці :

    ,

    ,

    ,

    ,

    …

    ,

    …

    ,

    .

Звідси:

    ,   ,   ,   , … ,

, . . . ,  ,  .

Таким чином шуканий многочлен має вигляд:

    

.

Цей многочлен називається многочленом Тейлора8 функції .

    Якщо функція  сама є многочленом степеня не вище, ніж , то між нею і многочленом Тейлора виконується точна рівність:

      .

Але у загальному випадку виконання такої рівності ми не можемо стверджувати. Ми можемо очікувати лише наближену рівність:

    .

Точність цієї рівності залежить від величини різниці:

    ,

яка називається залишковим членом. Існує декілька виразів (форм запису) цього залишкового члена. Ми доведемо одну з них, яка називається формою Лагранжа. Але спочатку доведемо наступну лему.

    Лема 1. Нехай функції  та  визначені в -околі точки  та задовольняють наступні умови:

1)   ,

2)  ,

3)  :  .

    Тоді  існує точка , яка розташована між точками  та , така, що

    .

    Доведення. Нехай для визначеності . Тоді за теоремою Коші маємо:

     ,   .

     ,   .

Тобто

     ,   .

Застосовуючи теорему Коші послідовно до функцій  та ,  та , … ,  та  на відповідних відрізках, отримуємо:

     ,                                                                де , що й треба було довести.

    Аналогічно розглядається випадок, коли .

    Теорема 1. Нехай існує  таке, що функція  має в -околі точки  похідні до -го порядку включно. Тоді  існує точка , яка розташована між точками  та , така, що

    .

    Доведення. Нехай ,  – многочлен Тейлора для функції , . За побудовою многочлена Тейлора виконано:  , отже  .

    Розглянемо функції , . Ці функції задовольняють всі умови леми, отже

    ,                             де точка   розташована між точками  та  (тут скористалися тим, що похідна -го порядку від многочлена -го степеня є тотожним нулем). Звідси маємо:

    ,                                                                       (14.1)             звідки й отримуємо твердження теореми.   

    Форма (14.1) залишкового члена формули Тейлора й називається формою Лагранжа.  Існують також інші форми запису залишкового члена. До розгляду однієї з них ми зараз переходимо.

    Лема 2. Якщо для функція  має в точці  похідні до -го порядку включно, і виконано умови:

    ,                                                               то  при .

    Доведення проведемо методом математичної індукції по числу . Нехай . Тоді . Розглянемо:

    ,                                                               що й означає, що  при . Припустимо тепер, що твердження леми справедливе для , і доведемо його справедливість для . За умовою леми виконано:

    .

Тоді для функції  виконано:

    ,                                                                і за припущенням індукції:

    .

За теоремою Лагранжа маємо:

    ,                                                                          де точка  міститься між точками  та . Оскільки , то

    ,                                                                          а тоді , що й треба було довести.

    Теорема 2. Якщо існує  , то

    ,                                                                        (14.2)   де  – многочлен Тейлора для функції .

    Доведення. Нехай  – залишковий член формули Тейлора. Оскільки існує , то існує , причому:

    ,                                                                        звідки на підставі леми 2 отримуємо , і теорему доведено.

    Формула (14.2) називається формулою Тейлора з залишковим членом в формі Пеано9.

    Приклад. Розкласти функцію  за степенями  до члена з .

    Знайдемо:

    ,

    ,

    ,

    .

  

За формулою (14.2) при  маємо:

    .

15. Розкладання за формулою Тейлора основних елементарних функцій.

    Відмітимо важливий частинний випадок формули Тейлора, який отримується при :

    ,                                                                      (15.1)

де  – нескінченно мала вищого порядку, ніж  при . Формула (15.1) називається формулою Маклорена10. Знайдемо розкладання за цією формулою деяких основних елементарних функцій.

    1..

     Маємо: , отже  . Підставляючи в формулу (15.1), отримуємо:

    .                              

    

    2..

    Скористаємось формулою:

     .

Звідси:

     .

   При  парних, тобто , цей вираз дорівнює нулю, а при  непарних, тобто , дорівнює . Таким чином формула Маклорена для функції   буде містить лише непарні степені  (це цілком узгоджується з тим, що функція  непарна). Отже:

    .                                     

Ми написали у залишковому члені , а не , оскільки наступний за останнім виписаним доданком член формули Тейлора дорівнює нулю.

    3. Аналогічно

    .                                             

    4. .

    Маємо:

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

…

    

    Підставивши в формулу Маклорена, отримаємо:

    ,                                

     5. .

    Якщо  натуральне число, то  – многочлен, і формулою Маклорена для нього (при цьому без залишкового члену) буде формула бінома Ньютона. У випадку, коли  не є натуральним, формула бінома Ньютона не має місця, і тому користуємось загальною формулою Маклорена.

   ,

   ,

   ,

   ,

    …

    ,   .

Підставляючи в формулу Маклорена, отримаємо:

    

.                                                               

Зокрема

,

тобто отримали уточнення формули  , наведеної в п. 10.

    Приклади.

1.  Розкласти за формулою Маклорена функцію  до .

    Безпосереднє послідовне диференціювання даної функції приводитиме до громіздких виразів. Але, використовуючи розвинення за формулою Маклорена функції , цю задачу можна розв’язати простіше. Розглянемо:

    

.

З формули

                                                                                  дістаємо:

    .

Таким чином:

    

.

1.  Розкласти за формулою Маклорена до  функцію .

    Маємо:

    .

З формули

                                                                                   дістаємо: ,

.

Звідси маємо:

    .

    

16. Деякі застосування формули Тейлора.

    Розглянемо деякі з чисельних застосувань формули Тейлора.

    I. Наближене обчислення значень функції.

    Наближене обчислення значень функції за допомогою формули Тейлора полягає в тому, що значення функції у точці наближено замінюється значенням многочлена Тейлора (або Маклорена) для даної функції у цій точці. При цьому величина похибки оцінюється величиною залишкового члена формули Тейлора. Саме так робиться в програмах для сучасних комп’ютерів.

    Приклади.

    1. Обчислити наближено , використовуючи для цього три члени розкладання за формулою Тейлора. Оцінити утворену похибку.

    Скористаємось наближеною формулою:

     .

При цьому залишковий член у формі Лагранжа набуде вигляду:

     ,

де  знаходиться між точками  і . Маємо:

    

.

    Оцінимо похибку (тут ):

    .

З урахуванням множника 3 похибка  оцінюється так:

    .

    2. Обчислити наближено число  з точністю 0,001.

    Скористаємось формулою Тейлора:

     ,                                                                 де

    ,                                                                                          точка  знаходиться між точками 0 та .

Поклавши тут , матимемо:

,                                                               (16.1) де

.

Оцінимо:

     .

Підберемо  з умови:

    .

Тоді , звідки . Таким чином для досягнення заданої точності треба в формулі (16.1) покласти , тобто:

    .

    Аналогічним чином обчислюються наближені значення інших функцій. Наприклад, для функції  для цього можна використати послідовні наближені формули, які отримуються з формули Маклорена для цієї функції, якщо в неї послідовно брати один, два, три члени:

    ,    ,   .

Графіки функції  та многочленів Тейлора , , , які послідовно наближають цю функцію, зображено на рис. 26.

                             Рис. 26.

    II. Обчислення границь функцій. 

    Нехай треба обчислити границю

                                                                                                                   у випадку невизначеності типу  . Припустимо, що функції  та  мають в точці  похідні до деякого порядку  включно. Тоді функції  і  у околі точці  розкладають за формулою Тейлора, записуючи залишковий член у формі Пеано. Виникає границя, яка обчислюється простіше.

    Приклади.

    1. Знайти   .

    За формулою Маклорена маємо:

    ,

.

Звідси отримаємо:

    

.

Тут ми скористалися тим, що .

    Розглянемо невизначеність типу .

    2.  .

    Маємо:

    

.

Тут використали рівності:    .

    

17. Застосування диференціального числення

для дослідження і побудови графіка функції.

    Диференціальне числення дає змогу ефективно досліджувати властивості функцій, їх поведінку, будувати графіки функцій. Теоретичні основи цього застосування подаються у вигляді наступних теорем.

    I. Інтервали монотонності функції.

    Нагадаємо, що монотонною ми називаємо таку функцію, яка належить до одного з наступних класів: зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні (див. розділ «Вступ до аналізу»). Одна й та ж функція на одних інтервалах може бути зростаючою, а на інших спадною. Тому важливою є задача виявлення інтервалів монотонності, тобто інтервалів зростання або спадання функції.

    Теорема (достатня умова зростання (спадання) функції). Якщо функція  диференційовна на інтервалі  та  виконано нерівність , то функція   зростає (спадає) на інтервалі .

    Доведення. Припустимо для визначеності, що . Розглянемо два довільних значення  таких, що . Згідно з теоремою Лагранжа, між точками  знайдеться точка  така, що буде виконано рівність:

    .

Оскільки  і , то , або , тобто функція  зростає на  , що й треба було довести.

    Зауваження. Обернене твердження несправедливе, тобто з того, що функція  зростає (спадає) на інтервалі , не випливає, що  . Дійсно, розглянемо функцію  на інтервалі . Вона є зростаючою на цьому інтервалі (і взагалі на всій числовій прямій), але .

    Теорема (необхідна умова зростання (спадання) функції). Якщо функція  диференційована на  та зростає (спадає) на , то      .

    Доведення. Припустимо для визначеності, що функція  зростає на . Візьмемо довільне  і надамо  приріст  так, щоб . Тоді, якщо , то , а якщо , то . В обох випадках відношення

    .

Звідси за теоремою про зберігання знаку границі:

    ,                                                                                            що й треба було довести.

    З цих теорем випливає, що інтервали монотонності (тобто інтервали зростання та інтервали спадання) функції можуть відділятися один від одного точками, у яких похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Такі точки називаються критичними точками I роду. Отже для знаходження інтервалів монотонності треба:

1) знайти критичні точки I роду;

2) відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали;

3) визначити знак похідної функції в кожному з отриманих інтервалів; на тих інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де похідна від’ємна – функція спадає.

    Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції

     .

    Знайдемо:

    

.

Критичні точки дві:    (в ній  ) і   (в ній  не існує). Відмітимо їх на числовій прямій:

                  Рис. 27.

Отримали три інтервали. Визначимо знак  на кожному з них:

1)   – функція зростає;

2)    –  функція спадає;

3)    –  функція зростає.

    II. Точки екстремуму.

    З проміжками монотонності функції тісно пов’язано таке важливе поняття, як екстремум функції. Введемо наступні означення.

    Означення.  Точка  називається точкою максимуму функції  , якщо існує такий окіл   цієї точки, що ,   виконано нерівність .

     Означення. Точка  називається точкою мінімумуу функції  , якщо існує такий окіл   цієї точки, що,  ,   виконано нерівність:

    .

    Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму функції.

   З наведених означень випливає, що поняття екстремуму носить так званий локальний характер. В точці екстремуму досягається найбільше або найменше значення функції, але не в усій області її визначення, а лише в деякому, взагалі кажучи, достатньо малому околі цієї точки. А в точках, розташованих за межами цього околу, функція може приймати більші (менші) значення, ніж в точці максимуму (мінімуму). Таким чином точок екстремуму функція може мати декілька, навіть нескінченну кількість (рис. 28).

Рис. 28.

    

    Тут  – точки максимуму, а  – точки мінімуму. Як видно з рисунку, значення функції в точці мінімуму може бути більшим, ніж значення в точці максимуму  ().

    Розшукання точок екстремуму функції є одною з важливих задач математики. Тому треба мати умови, за яких можна стверджувати, що дана точка є точкою екстремуму. Ці умови формулюються у вигляді наступних теорем.

    Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо в точці  функція  досягає екстремуму і диференційовна у цій точці, то .

    Доведення. Оскільки  – точка екстремуму, то існує інтервал  такий, що в точці  досягається найбільше або найменше на цьому інтервалі значення. Тоді згідно теоремі Ферма (див. п. 12) .

    Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з того, що у деякій точці похідна функції дорівнює нулю, не випливає наявність у цій точці екстремуму.

    Приклад. Розглянемо функцію . Похідна цієї функції  у точці  дорівнює нулю. Разом з цим екстремуму в точці  ця функція не має (рис. 29).

Рис. 29.

    З іншого боку екстремум може існувати в тих точках, де похідна не існує. Як ми знаємо, в точці  функція  має мінімум. Але похідної в цій точці не існує. Але знову ж таки, не в усіх точках, де похідна не існує, функція має екстремум. Наприклад, функція  не є диференційовною в точці  і не має в цій точці екстремуму (рис. 5).

    Таким чином ті точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує (тобто критичні точки I роду) тільки можуть бути точками екстремуму. Але для того, щоб переконатися, чи дійсно там є екстремум, потрібні достатні умови екстремуму.

    Теорема (перша достатня умова екстремуму). Нехай  – критична точка I роду функції , яка в цій точці неперервна, і яка диференційовна в деякому околі точки , крім, можливо, самої цієї точки. Тоді, якщо при переході через точку  похідна  змінює свій знак, то точка  є точкою екстремуму. А саме максимуму, якщо зміна знаку відбувається з мінуса на плюс (тобто  при , і  при ), і мінімуму, якщо зміна знаку похідної відбувається з мінуса на плюс (тобто  при,  і   при ).

    Якщо при переході через критичну точку зміни знаку похідної не відбувається, то ця критична точка не є точкою екстремуму.

    Доведення. Припустимо для визначеності, що для деякого  виконано:

      при   ,

      при  .

Тоді на інтервалі  функція  зростає, а на інтервалі  – спадає. Тоді  справджується нерівність: . А це й означає, що  – точка максимуму.

    З наведених теорем випливає наступний алгоритм знаходження точок екстремуму функції.

    1. Знайти критичні точки I роду.

    2. Дослідити знак похідної при переході через ці точки. Якщо відбувається зміна знаку, і функція  неперервна в критичній точці, то ця точка є точкою екстремуму. Якщо зміни знаку не відбувається, то в даній точці екстремуму нема.

   Приклади. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції .

    Знайдемо: .

Похідна  дорівнює нулю при  і не існує при . Отже критичні точки  . Складемо таблицю.

				0
	+		–	не існує

     Тут символом  показано проміжок зростання, а символом  – проміжок спадання функції. Отже   точка максимуму, а   – точка мінімуму.

    2. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції ,  .

   Знайдемо:

 .

  

Маємо дві критичні точки:  (там )  і  (там  не існує). Складемо таблицю:

				2
	–	0	+	не існує	–

Отже точка  є точкою мінімуму, а точка  точкою екстремуму не являється, оскільки в цій точці функція не є неперервною.

    3. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції .

    Знайдемо:

     .

Маємо дві критичні точки:   (там  не існує) і  (там ). Складемо таблицю:

		0
	+	не існує	+	0	–

Отже точка  є точкою максимуму, а точка  не є точкою екстремуму, оскільки при переході через неї не відбувається зміни знаку похідної.

    Теорема (друга достатня умова екстремуму). Нехай в точці  функція  має неперервні похідні 1–го і 2–го порядків, причому ,  . Тоді в точці  функція  має екстремум. А саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

    Доведення. Припустимо для визначеності, що . Тоді внаслідок неперервності  існує такий окіл , у якому . Отже функція  є зростаючою в цьому околі. А тоді  при , і   при , тобто  похідна функції  при переході через точку  змінює свій знак з мінуса на плюс. І отже за попередньою теоремою в точці  функція  досягає мінімуму. Теорему доведено.

    Приклад. Знайти точки екстремуму функції ,  .

    Знайдемо:

    .

Дорівнюючи цей вираз до нуля, і, скорочуючи на , дістаємо:

,  звідки . Отже єдина критична точка .

    Далі знайдемо:

    .

Підставляючи сюди точку , отримаємо:

    ,

отже в точці  наша функція досягає мінімуму.

18. Застосування диференціального числення

для дослідження і побудови графіка функції (продовження).

    III. Інтервали опуклості та вгнутості функції.

    Розглянемо графік функції:

Рис. 30.

    Що можна сказати про цю функцію? Очевидно, що вона зростає. Але на різних проміжках характер зростання різний. До точки  функція зростає швидко, а після неї повільно. Така ситуація характерна, наприклад, для змін в економіці: зростання обсягу виробництва може бути в деякі періоди швидким, а в деяких повільним, хоча у будь якому випадку все одне є зростання обсягу. Таким чином необхідно вміти знаходити відповідні інтервали для заданих функцій, а також точки, що відокремлюють такі інтервали один від одного.

    Якщо ми проведемо дотичні до графіка функції на рис. 30 в різних точках, то в точці  ця дотична буде нижче графіка функції, а в точці  – вище. Цей факт і покладено в основу наступного означення.

    Означення. Функція  називається опуклою (вгнутою) на інтервалі , якщо дотична, яку проведено до графіка функції у довільній точці інтервалу, лежить вище (нижче) графіка функції.

На рис. 31 (а) показано графік опуклої функції, а на рис. 31 (б) – графік вгнутої функції.

а                                     б

                                     Рис. 31.   

    Теорема (достатня умова опуклості (вгнутості) функції). Нехай функція  є двічі диференційовною на інтервалі , і  виконано нерівність: . Тоді функція  є опуклою (вгнутою) на інтервалі .

    Доведення. Припустимо для визначеності, що  на . Проведемо в довільній точці  дотичну до графіка функції. Її рівняння (див. п. 10) має вигляд:

    .

Візьмемо тепер довільне  і розкладемо функцію  за формулою Тейлора:

    ,                                                      де  – деяка точка між  та . Звідси:

    ,                                                                             тобто , а це й означає, що графік функції  лежить нижче дотичної, тобто функція   опукла.

    Аналогічно розглядається випадок .

    Означення. Точка , яка відокремлює проміжок опуклості функції від проміжку її вгнутості, називається точкою перегину функції (рис. 32).

       Рис. 32.

З попередньої теореми випливає, що у точці перегину друга похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Точки, де  дорівнює нулю, або не існує, називаються критичними точками II роду функції .

    Теорема (достатня умова перегину).  Нехай функція  в деякому околі точки  має неперервну похідну 2–го порядку, за винятком, може бути, самої точки . Якщо при переході через точку  похідна  змінює свій знак, то точка  є точкою перегину функції.

    Доведення. Припустимо для визначеності, що  при , і  при . Тоді за попередньою теоремою функція  опукла при  і вгнута при , тобто  – точка перегину.

    З цих теорем випливає алгоритм дослідження функції на проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

    1. Знайти критичні точки II роду функції .

    2. Відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали.

    3. Визначити знак  в кожному з отриманих інтервалів. В тих інтервалах, де  – функція  опукла, а в тих, де  – функція  – вгнута.

    4. Якщо при переході через критичну точку  змінює свій знак, і в цій точці функція  неперервна, то ця критична точка є точкою перегину.

    Приклад. Знайти проміжки опуклості та вгнутості функції .

    Маємо: ,

     .

Критичні точки II роду  ( не існує) і   (). Складемо таблицю:

	опукла	перегин	вгнута	перегин	опукла
	–	не існує	+	0	–

Таким чином проміжки  і  є проміжками опуклості функції, а проміжок  – проміжком вгнутості. Точки  є точками перегину.

    IV. Асимптоти графіка функції.

    Означення. Пряма  називається асимптотою графіка функції , якщо відстань  від змінної точки  графіка до цієї прямої прямує до нуля, якщо відстань  від точки  до початку координат прямує до нескінченності (рис. 33).

Рис. 33.

Тобто .

    Асимптоти графіків функцій поділяються на два типи: вертикальні та похилі (зокрема, горизонтальні). На рис. 34 (а) показано вертикальну асимптоту, на рис. 34 (б) – похилу, на рис. 34 (в) – горизонтальну.

                            а                              б                                             в

                                                   Рис. 34.

    Розглянемо спочатку питання про вертикальні асимптоти. З означення асимптоти випливає, що для існування в точці  вертикальної асимптоти  необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наступних умов:

    .

Дійсно, в цьому випадку:

       при  .

З цього факту випливає, що вертикальні асимптоти можливі лише у тих точках, де порушується неперервність функції.

    З відомих нам основних елементарних функцій вертикальні асимптоти мають такі функції, як   (пряма ),   (прямі ),    (прямі ).

    Перейдемо до похилих асимптот. Вони у свою чергу поділяються на два види: праву (рис. 35а) і ліву (рис. 35б) похилу асимптоту.

а                               б

                                         Рис. 35.

У першому випадку точка на графіку функції наближається до асимптоти при , а у другому – при . Розглянемо випадок правої похилої асимптоти. Оскільки вона не є вертикальною прямою лінією, її рівняння можна шукати у вигляді:

     .

Нехай  – довільна точка на графіку функції. Тоді, як відомо з курсу аналітичної геометрії, відстань від цієї точки до асимптоти може бути знайдено за формулою:

     .

За умовою . Тому:

    .

З цієї рівності необхідно випливає, що

    ,                                                                                         і оскільки , то

     .                                                                                             (18.1)

А оскільки , і  , то

    .                                                                                    (18.2)

Отже, права похила асимптота існує тоді і тільки тоді, коли існують скінченні границі (18.1) , (18.2).  Зокрема, якщо , то похила асимптота стає горизонтальною: .

    Аналогічно, ліва похила асимптота існує тоді і тільки тоді, коли існують скінченні границі:

,         ,                                                     і тоді її рівняння:

    .

    Приклади.

    1. Дослідити на асимптоти функцію

     .

    А. Вертикальні асимптоти. Така асимптота можлива лише в точці , оскільки в цій точці функція має розрив. Знайдемо:

    ,         .

Отже пряма  є вертикальною асимптотою.

    Б. Похилі. 

    1). Права.

    ,

    

.

Отже права похила асимптота існує, та її рівняння має вигляд .

    2). Ліва.

    ,                                                           (неважко переконатися, що ті самі границі будуть і при ). Отже ліва похила асимптота також має рівняння .

    2. Дослідити на асимптоти функцію .

    Вертикальних асимптот нема, оскільки функція неперервна на інтервалі . Дослідимо похилі.

    1). Права

    ,

     

(див. п. 13). Отже  – права похила (у даному випадку горизонтальна) асимптота.

    2). Ліва.

     , отже лівої похилої асимптоти нема.

    3). Дослідити на асимптоти функцію

    Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на множині . Дослідимо похилі.

    1). Права.

    ,

    

     

.

Таким чином пряма  є правою похилою асимптотою.

    2). Ліва.

    

,

    

.

Таким чином пряма  є лівою похилою асимптотою.

19. Загальна схема дослідження і побудови графіка функції.

    На підставі результатів, викладених у попередніх параграфах, можна сформулювати наступну загальну схему дослідження та побудови графіка функції .

    1. Знайти  – область визначення функції .

    2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. Для знаходження точки перетину з віссю  (вона, якщо є, то єдина) треба знайти значення , а для знаходження точок перетину з віссю , треба знайти нулі функції, тобто розв’язати рівняння .

    3. Дослідити функцію на парність, непарність і періодичність. Якщо функція парна (тобто ), або непарна (тобто ), то достатньо побудувати її графік лише у правій півплощині, а потім відобразити симетрично відносно осі   (у випадку парної функції), або відносно початку координат (у випадку непарної функції). Якщо функція періодична з періодом , то достатньо побудувати її графік на будь якому проміжку довжини   (наприклад ), а потім повторити цей графік на решті проміжків довжини . Зрозуміло, що якщо функція-періодична і водночас парна або непарна, то доцільно побудувати її графік на проміжку  .

    4. Знайти асимптоти графіка функції.

    5. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму.

    6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості та точки перегину.

    7. Побудувати графік.

    Розглянемо декілька прикладів.

    Приклади.

    1.  .

    1). Область визначення  .

    Функція визначена на всій числовій прямій за виключенням точки . Тому  .

    2). Точки перетину з осями координат.

    При :  , отже точка перетину з віссю :  .

Розв’яжемо рівняння:

   .

Це рівняння не має дійсних коренів, отже графік функції не перетинає вісь .

    3). Парність, непарність, періодичність.

    Функція не є ні парною, ні непарною, ні періодичною (перевірте самостійно), тобто маємо функцію загального вигляду.

    4). Асимптоти.

    А). Вертикальні асимптоти.

    Оскільки функція не визначена в точці , то в цій точці можливо наявність вертикальної асимптоти. Знайдемо:

    ,

    .

Тобто пряма  є вертикальною асимптотою.

    Б). Похилі асимптоти.

    Знайдемо

    ,

    

.

Отже пряма  є правою похилою асимптотою. Неважко переконатися, що та ж сама пряма є й лівою похилою асимптотою.

    5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

    Знайдемо:

     .

Цей вираз перетворюється на нуль в точках   і не визначений в точці . Це й є критичні точки I роду. Складемо таблицю:

	+	0	–	не існує	–	0	+

 

Точка  є точкою максимуму ( в ній ), а точка  є точкою мінімуму (в ній ). Звернемо увагу, що значення функції в точці максимуму з’явилося меншим, ніж значення функції в точці мінімуму, що, як ми знаємо, не суперечить означенню максимуму та мінімуму.

    6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

    Знайдемо:

     (перевірте самостійно).

Цей вираз ніде не дорівнює нулю, але його не визначено в точці . Це критична точка II роду. Складемо таблицю:

		1
	опукла		вгнута
	–	не існує	+

Тобто на  функція опукла, а на  – вгнута.

    7). Графік.

Рис. 36.

    2. .

    1). Область визначення.

    

    2). Точки перетину з осями координат

    :   

     :    .

    3). Парність, непарність, періодичність.

    Функція загального вигляду.

    4). Асимптоти.

    Вертикальних нема, оскільки наша функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо похилі. Знайдемо:

     ,             тобто правої похилої асимптоти нема. Аналогічно показуємо, що нема і лівої. Таким чином асимптоти у даної функції відсутні взагалі.

    5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

    Знайдемо:

     .

Похідна перетворюється на нуль в точці  і не існує в точці . Складемо таблицю:

		0
	–	не існує	+	0	–

    

    6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

     .

Звідси видно, що критичними точками II роду є точки  і .

				0
	вгнута	перегин	опукла		опукла
	+	0	–	не існує	–

   

7). Графік

Рис. 37.

    3.   .

    1). Область визначення  .

    2). Точки перетину з осями координат.

    :    ;        .

З віссю  точок перетину нема, оскільки  .

    3). Парність, непарність, періодичність.

    Дана функція загального вигляду. Але можна звести її дослідження до дослідження парної функції, якщо зробити наступне перетворення:

    .

Звідси видно, що достатньо побудувати графік парної функції , а потім зсунути його на 3 одиниці вправо. Тому далі будемо досліджувати саме функцію . Її графік перетинає вісь  в точці .

    

    4). Асимптоти .

    Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо на похилі, причому внаслідок парності функції достатньо дослідити лише праву похилу асимптоту.

    ,

   .

Отже пряма  є правою похилою (у даному випадку горизонтальною) асимптотою.

    5). Проміжки монотонності та точки екстремуму .

    .

Єдиною критичною точкою I роду є точка . При :  , отже на проміжку  функція спадає.

    6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину .

    .

Звідси видно, що на правій півосі єдиною критичною точкою II роду є точка . Складемо таблицю:

		1
	опукла	перегин	вгнута
	–	0	+

    7). Побудуємо спочатку графік функції .

 Рис. 38.

А тепер побудуємо графік функції  , зсунувши графік функції  на 3 одиниці вправо.

                                  Рис. 39.

    Функції такого типу відіграють важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці та носять назву кривих Гаусса*. Вони тісно пов’язані з так званим нормальним розподілом випадкових величин, яке має дуже велике значення в статистичних дослідженнях. А в статистичній фізиці така функція використовується у відомому розподілі Максвелла молекул за швидкостями.

    4.  .

    1). Область визначення .

    Вираз, що стоїть під знаком логарифму, повинен бути додатним, отже:

   .

Розв’язком цієї нерівності є об’єднання інтервалів вигляду       

    , де  – ціле.

    2). Точки перетину з осями координат .

    З віссю  точок перетину нема, оскільки точка  не входить в . Знайдемо точки перетину з віссю , для чого розв’яжемо рівняння:

    .

Тоді   ( – ціле), тобто вісь  перетинається в точках .

    3). Парність, непарність, періодичність .

    Дана функція є періодичною з періодом  і, крім того, є парною. Тому достатньо побудувати графік функції лише на відрізку , а з урахуванням  – на півінтервалі .

  

    4). Асимптоти.

    Функція може мати лише вертикальні асимптоти, оскільки досліджується на скінченому проміжку, а похила асимптота пов’язана з прямуванням  до нескінченності. Вертикальна асимптота можлива в точці  .

    Розглянемо

    .

Таким чином пряма  – вертикальна асимптота.

    5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Маємо:

         ,                                                                    отже функція зростає на .

    6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

    Знайдемо

    ,                                                                    отже функція опукла в усій області визначення.

         

    7). Графік.

Рис. 40.

20. Найбільше та найменше значення функції.

    Розглянемо функцію , яка неперервна на відрізку . Згідно з другою теоремою Вейєрштрасса (див. розділ «Вступ до аналізу») вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значень. Поставимо задачу розшукання цих значень. Зрозуміло, що вони можуть досягатися або на кінцях відрізку , або в критичних точках функції, які знаходяться всередині відрізку, тобто на інтервалі . Звідси випливає алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку .

    1). Знайти критичні точки функції.

    2). Відібрати серед них ті, які знаходяться на інтервалі .

    3). Обчислити значення функції в цих точках.

    4). Обчислити значення функції в точках  і .

    5) Серед всіх знайдених в попередніх двох пунктах значень відібрати найбільше та найменше.

    Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції  на відрізку .

    1). Знайдемо критичні точки функції:

    .

     2). На інтервалі  розташовано точки .

    3). .

    4)  .

    5). Отже  .

    Якщо функція  неперервна тільки в інтервалі , то вона може і не досягати найбільшого та найменшого значень. Отримати інформацію про їх наявність можна дослідженям поведінки функції на кінцях інтервалу, обчислюючи  та  і знаходженням значень функції в критичних точках, які належать інтервалу .

    Приклад.  Знайти найменше та найбільше значення функції  на інтервалі .

    Дана функція не є неперервною на відрізку  (розриви I роду в точках ), а на інтервалі  неперервна. Знайдемо:

    .

      .

На інтервалі  єдина критична точка , причому . При :    ;  при  :   . Таким чином, при переході через точку  похідна функції змінює свій знак с плюса на мінус, отже в точці  функція має локальний максимум. Таким чином, найбільше значення функції на інтервалі  дорівнює  , а найменшого нема.

    До знаходження найменших та найбільших значень функції приводить велика кількість задач прикладного характеру.

    Приклади.

    1. Проектується канал зрошувальної системи, поперечний переріз якого є рівнобедрена трапеція (рис. 46). Ширина каналу по дну дорівнює , а глибина води  . Яким повинен бути кут  (див. рис. 41), щоб омита поверхня каналу була найменшою?

Рис. 41.

    Бічна сторона даної трапеції очевидно дорівнює  . Отже периметр, що омивається:

.

Кут .

    Знайдемо:   . Ця похідна дорівнює нулю при . Знайдемо:

    .

Отже в точці   периметр найменший, тобто поперечний переріз каналу повинен бути прямокутним.

    2. З всіх прямокутників, які вписано в еліпс

                                                                                                              знайти той, площа якого найбільша (рис. 42).

 Рис. 42.

    Оскільки прямокутника вписано в еліпс, то одна з вершин прямокутника лежить в першому квадранті. Позначимо її . Площа прямокутника дорівнює:

.

Очевидно, що , і таким чином треба знайти найбільше значення функції  на відрізку . Для цього достатньо знайти найбільше на цьому відрізку значення функції .

    Маємо:  , і   при  ,   ,   . На інтервалі  знаходиться лише точка . Знайдемо:

     ,                                                                          отже  і досягається він в точці  . таким чином шуканий прямокутник має розміри  , і його площа

    .

Зокрема при  (тобто, коли еліпс перетворюється на коло) найбільшу площу з вписаних прямокутників має квадрат.

    3. Судина з вертикальною стінкою висотою  стоїть на горизонтальній площині (рис. 43).

 Рис. 43.

На якій глибині  треба розмістити отвір, щоб дальність вильоту води з отвору була найбільшою?

    Швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічеллі дорівнює , де  – прискорення вільного падіння. Позначимо через  – дальність вильоту. Тоді , де  – час вильоту з отвору на площину. З відповідного закону фізики відомо, що

     ,                                                                                                         звідки

.

Тоді

        .

Далі маємо:

      ;        при   .

Знайдемо:

    

Отже висота  й є шуканою. Там досягається найбільше значення функції  на відрізку .

     Контрольні питання.

1.  Що таке похідна функції в точці? У чому полягає геометричній зміст   похідної? У чому полягає її механічний зміст?
2.  Як визначаються однобічні похідні функції в точці?
3.  Що таке диференційовність функції в точці? Чи випливає з диференційованості функції в точці її неперервність у цій точці? Чи випливає з неперервності функції в точці її диференційовність у цій точці? Наведіть відповідні приклади.
4.  Що таке диференціал 1-го порядку функції у точці? Що розуміється під інваріантністю форми запису диференціалу?
5.  Чи дорівнює похідна від добутку двох функцій добутку похідних від цих функцій?
6.  Який внесок зробив в техніку диференціювання функцій Чаклун Невмирущий?
7.  Що таке задання функції у параметричній формі? Як диференціювати функцію, яку задано параметрично?
8.  У чому полягає геометричний зміст диференціалу функції? А його механічний зміст?
9.  У чому полягає ідея використання диференціалу функції для  наближених обчислень?
10.  Який механічний зміст похідної 2-го порядку?
11.  Чи залишиться справедливою теорема Ролля, якщо відмовитись в неї від умови набування функцією рівних значень на кінцях відрізку?
12.  Чи має місце теорема Ролля для функції  на відрізку ?
13.  У чому полягає геометричний зміст теореми Лагранжа? А її механічний зміст?
14.  У чому полягає правило Лопіталя розкриття невизначенностей?
15.  Які існують застосування формули Тейлора? Як формула Тейлора використовується для наближеного обчислення значень функцій?
16.  Чи необхідно для зростання функції на інтервалі, щоб похідна цієї функції була додатною на цьому інтервалі? Наведіть відповідний приклад.
17.  У чому полягає відмінність поняття екстремуму функції в точці від поняття найбільшого чи найменшого значення функції на деякому проміжку?
18.  Чи обов’язково екстремум функції досягається в точці, у якій похідна функції дорівнює нулю? Наведіть відповідний приклад?
19.  Чи може екстремум функції досягатися у точці, у якій не виконано умову рівності похідної функції нулю? Наведіть відповідний приклад.
20.  Що таке опуклість та вгнутість функції? Яка достатня умова вгнутості функції на інтервалі?
21.  Що таке точка перегину функції? Яка достатня умова перегину?
22.  Чи достатньо для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку знайти значення функції в її критичних точках, що лежать всередині відрізку?

     Вправи для самостійного розв’язування.

1.  Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.
2.  ;  2) ;  3) ;   4) ;  5) ;

6) ;  7) ;  8) 4  9) ;  10) .

2. Тіло, яке вільно падає, рухається за законом , де м/ – прискорення вільного падіння. Знайти середню швидкість руху за проміжок часу з с до  с, приймаючи с; 0,1с; 0,05с; 0,001с; знайти швидкість тіла в кінці п’ятої та десятої секунди падіння. Визначити формулу для швидкості падаючого тіла у довільний момент часу .

3. У тонкому неоднорідному стрижні  довжиною 30 см масу (у грамах) розподілено за законом , де  – довжина частини стрижня, що відраховується від точки . Знайти: 1) середню лінійну густину стрижня: 2) лінійну густину: а) у точці, віддаленій від точці  на відстань 5 см; б) у самій точці ; в) у точці .

4. Знайти похідні функцій.

1) ;  2) ;  3) ;

4)  ;  5)  ;  6) ;  7) ;

8) ; 9) ;  10) ;

11) ;  12) ; 13) ;

14) ;  15)  ;  16)  ;  17) ; 18) ;

19) ;  20) ;  21) ;

22) ;  23) ;  24) ;

25) ;  26) ;

27) ;  28) ;  29) ;

30) ;  31) ;  32) ;

33) ;  34) ;  35) ;

36) ;  37) ;

38) ;  39) ; 40) ;

41) ;  42) ;  43) ;

44) ;  45) ;  46) ;

47) ;  48) ;  49) ; 50) .

5. Використовуючи логарифмічне диференціювання, знайти похідні функцій.

1)  ;  2) ;  3) ;  4) ;

5) ;  6) ;  7) ; 8) .

6. Знайти похідні від функцій, які задано у параметричній формі.

1)   2)    3)

4)      5)   6)

7)     8)     9)

7. Знайти диференціали функцій.

1)  ;  2) ;  3) ;  4) ;

5) ;  6) ;  7) ;  8) .

8. Обчислити наближено за допомогою диференціала.

1) ;  2) ;  3) ;  4) ;  5) ;

6) ;  7) ;  8) ;  9) ;  10) .

9. Показати, базуючись на законі Ома , що мала зміна  струму , яку зумовлено малою зміною  опору , може бути знайдена за формулою: .

10. За законом Клапейрона об’єм , що його займає газ, тиск газу  і абсолютна температура  пов’язано формулою , де  – універсальна газова стала. Знайти наближений вираз для приросту  об’єму  при зміні тиску  на величину , вважаючи сталою температуру .

11. Скласти рівняння дотичної до графіка функції  у точці з абсцисою .

1) ,  ;  2) ,  ;  3) , .

12. Знайти похідну -го порядку від функцій.

1) ;  2) ;  3) ;  4) ;  5) .

13. Знайти похідну 3-го порядку від функцій.

1) ;  2)  4  3) ;  4) ;  5)  .

14. Точка рухається прямолінійно за законом . В які моменти часу  миттєве прискорення точки дорівнює нулю?

15. Точка рухається прямолінійно за законом . Знайти прискорення в кінці третьої секунди.

16. На дузі параболи , обмеженій точками  і  знайти точку, дотична в якій паралельна січній .

17. Сформулювати теорему Коші для функцій  і  на відрізку ; знайти значення .

18. Знайти границі за правилом Лопіталя.

1)  .  2)  ;  3)  ;  4) ;

5) ;  6)  ;  7) ;  8)  ;

9)  ;  10)  ;  11)  ;

12) ;  13) ;  14) ;

15) ;  16) ;  17) ;  18) .

19. Розкласти многочлен  за цілими додатними степенями двочлена .

20. Написати формулу Тейлора -го порядку для функції , якщо . Записати формулу залишкового члена.

21. Написати формулу Маклорена 4-го порядку для функції .

22. Написати формулу Тейлора 3-го порядку для функції , якщо . Побудувати графік цієї функції та вказаного многочлена Тейлора.

23. Користуючись розвиненням за формулою Маклорена, обчислити границі.

1)  ;  2) ;  3)  ;  4)  .

24. Користуючись формулою Маклорена 4-го порядку, наближено обчислити  і оцінити похибку.

25. Обчислити  за допомогою формули Маклорена з точністю до . Скільки для цього потрібно взяти у цій формулі членів?

26. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функцій.

1) ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) ;  7) ;

8) ;  9)  ;  10) ;

11) ;  12) ;  13) .

27. Знайти точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості графіка функції.

1) ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) ;  7) ;

8) ;  9)  ;  10)  ;  11)  .

28. Знайти асимптоти графіків функцій.

1)  ;  2)  ;  3) ;  4) ;

5)  ;  6)  ;  7) ;  8) .

29. Провести повне дослідження та побудувати графік функції.

1) ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) ;  7) ;

8) ;  9) ;  10) ;  11) ;

12) ;  13) ;  14) ;  15) .

30. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1) ;      2) ;  

3) ;     4) ;   

5) ;  6) ;  7) ;

8) ;  9) ;  10) .

31. Число 48 розкласти на два доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

32. Число 30 розкласти на два доданки так, щоб сума їх кубів була найменшою.

33. Об’єм правильної шестикутної призми дорівнює . Якою має бути сторона основи, щоб повна поверхня призми була найменшою?

34. Знайти висоту конуса найбільшого об’єму, який можна вписати в кулю радіуса .

35. На гіперболі  знайти точки, відстань від яких до прямої  була б найменшою.

36. Канал, ширина якого 27 м, під прямим кутом впадає в інший канал, ширина якого 64 м. Якої найбільшої довжини стовбур можна сплавити цією системою каналів?

37. На сторінці книжки друкований текст повинен займати . Верхнє та нижнє поля мають бути по , праве і ліве – по . При яких розмірах сторінки на неї піде найменше паперу?

38. Завод  потрібно сполучити шосейною дорогою з прямолінійним відрізком залізниці, на якій розташовано місто . Відстань від заводу до найближчої точки  на залізниці дорівнює . Вартість перевезення по шосе в  разів вища, ніж залізницею. В яку точку  залізниці треба провести шосейну дорогу, щоб вартість перевезення була найменшою?

39. Знайти висоту, на якій слід підвисити лампу над круглим столом радіусу 80 см, щоб освітленість краю столу була найбільшою. Яскравість освітлення визначається формулою:

    ,                                                                                                          де  – кут нахилу променів,  – відстань від джерела освітлення до площадки,  – сила джерела світла.

40. Обчислити швидкість течії струменя газу, при якій питома витрата газу досягне максимуму. Питома витрата газу визначається формулою:

    ,                                                                                        де   – густина газу,   – швидкість течії,   – максимальна швидкість течії газу.  

Рекомендована література.

Базова.

1.  Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988.
2.  Зорич В. А. Математический анализ. Ч.I. М.: Фазис, 1997.
3.  Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.

М.: Наука, 1978.

    3.  Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому

          анализу. М.: Астрель, 2004.

                                       

Допоміжна

1.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.  Т.1. М.: Наука, 1969.

    2. Ильин В. А. Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1.

         М.:  Наука, 1982.

     3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: ВШ, 1988.

                                                                                             

Зміст.

1.  Задачі, що приводять до поняття похідної………………………….. . 3

2.  Означення похідної функції в точці…………………………………..  7

3.  Однобічні та нескінченні похідні……………………………………. . 9

4. Диференційовність функції в точці, її зв’язок з неперервністю…….. 11

5. Правила диференціювання…………………………………………….. 17

6. Похідна складеної та оберненої функцій……………………………... 19

7. Похідні основних елементарних функцій…………………………….. 21

8. Логарифмічне диференціювання. Приклади на техніку диференцію-

   вання……………………………………………………………………..  24

9.  Параметрично задані функції та їх диференціювання……………… . 28

10. Диференціал функції, його застосування до наближених обчислень.

     Рівняння дотичної до графіка функції………………………………..  32  

11. Похідні та диференціали вищих порядків……………………………  37

12. Основні теореми диференціального числення……………………….  42

13. Правило Лопіталя………………………………………………………  48

14. Формула Тейлора……………………………………………………….  53

15. Розкладання за формулою Тейлора основних елементарних функцій 58

16. Деякі застосування формули Тейлора…………………………………. 61

17. Застосування диференціального числення для дослідження і побудови

     графіка функції………………………………………………………….. 65

18. Застосування диференціального числення для дослідження і побудови

     графіка функції (продовження)………………………………………… 71

19. Загальна схема дослідження і побудови графіка функції……………. .79

20. Найбільше та найменше значення функції…………………………….. 87

     Контрольні питання…………………………………………………….. 91

     Вправи для самостійного розв’язування……………………………….. 92

     Рекомендована література……………………………………………… .99

1 Див., напр.: Федер Е. Фракталы. – М., Мир, 1991. – 254 с.

* Ферма П’єр (1601–1665) – видатний французький математик. Разом з Декартом є засновником аналітичної геометрії, а також зробив значний внесок в теорію чисел та інтегральне числення. Автор славнозвісної Великої теореми Ферма.

* Ролль Мішель (1652–1719) – французький математик. Працював головним чином у галузі алгебри.

* Лагранж Жозеф–Луї (1736–1813) – видатний французький математик і механік, засновник аналітичної механіки і варіаційного числення. Зробив значний внесок в розвиток математичного аналізу.

* Коші Огюстен–Луї (1789–1857) – видатний французький математик. Зробив величезний внесок в розвиток математичного аналізу, теорії функцій комплексної змінной, диференціальних рівнянь, алгебри.

* Лопіталь Гійом Франсуа де (1661–1704) – французький математик. Видав перший підручник з диференціального числення «Аналіз нескінченно малих».

* Доведення можна знайти, наприклад, у підручнику: Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1. – М.:”Наука”, 1969. – С.320–321.

8 Тейлор Брук (1685–1731) – англійський математик.

9 Пеано Джузеппе (1858–1932) – італійський математик.

10 Маклорен Колін (1698–1746) – шотландський математик.

* Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – видатний німецький математик

1. Аккомодация
2. Богатый Папа даст вам необходимые знания которые позволят создать и сохранить богатство на долгие годы
3. Тема Педагогика- предмет задачи и основные понятия 1.html
4. Транспортный налог
5. Лабораторная работа по курсу ldquo; Сети ЭВМ и средства телекоммуникацииrdquo; Версия от 28
6. Райнер Мария Рильке
7. Tourkievu Tel-Fx- 38 044 2010478; MTC- 38 066 5404392 KS- 38 098 2809000 Стажиро
8. Экономический рост Российской Федераци
9. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук7
10. Методы очистки выбросов литейного производства
11. . Этика менеджмента бизнеса и предпринимательства 2
12. Задание 31- научимся считать частичную корреляцию Коэффициент частичной корреляции можно посчитать так S
13. Встречная торговля- международно-правовое регулирование
14. 2013 10-14-22 2 ~ытай тіліні~ жазуы ~ыс~аша байандап бер ’1 17
15. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук1
16. Сучасний стан та тенденції розвитку українських екологічних організацій
17. Національні стандарти бухгалтерського обліку 116
18. I Как выбрать кондиционер для жилого помещения
19. ти лет Авед ~ восточная красавица невеста Ныса Таткид ~ потомственный герцог Летадерпский Себ ~ верный
20. Тема 1 Комплексний проект з розробки ldquo;інфографікиrdquo; на екологічну тематику та її використання в об~єкта

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе