Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Всероссийская интернет-олимпиада
e-mail: olimpiada@internet-olimpiada.ru
ЗАДАНИЯ
Всероссийской интернет-олимпиады по математике для 10-х классов.
Задание №1. На 11 листках бумаги написаны 11 фраз (по одной на листке):
1) Левее этого листка нет листков с ложными утверждениями.
2) Ровно один листок левее этого содержит ложное утверждение.
3) Ровно 2 листка левее этого содержат ложные утверждения.
. . .
11) Ровно 10 листков левее этого содержат ложные утверждения.
Листки в некотором порядке выложили в ряд, идущий слева направо. После этого некоторые из написанных утверждений стали верными, а некоторые - неверными. Каково наибольшее возможное число верных утверждений?
Задание №2. В шахматном турнире участвовали 8 шахматистов, причем каждый сыграл с каждым ровно по одной партии. Известно, что любые два шахматиста, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное число ничьих в этом турнире. (За выигрыш партии шахматисту начисляется 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0.)
Задание №3. По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел.
Задание №4. 2011 складов соединены дорогами так, что от любого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по x1, …, x2011 кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой склад по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по y1, …, y2011 кг цемента соответственно, причём x1 + x2 + . . . + x2011 = y1 + y2 + . . . + y2011. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел xi и yi и любой схеме дорог?
Задание №5. Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?
Задание №6. К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел, в ответе укажите их количество.
Задание №7. В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а также что участников, решивших
• хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;
• хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;
• хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;
• хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;
• хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.
Сколько школьников не решили ни одной задачи?
Задание №8. Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто –– арбитр). Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является –– спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?
Задание №9. У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?
Задание №10. Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?
PAGE \* MERGEFORMAT2