тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод
Работа добавлена на сайт samzan.net:
План учебных занятий № 94-95.
дисциплины «Высшая математика»
Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий
Группа
Преподаватель Моисеева Т.И.
Раздел программы Числовые и функциональные ряды.
Тема: Степенные ряды.
Цель обучения: Сформировать понятие степенного ряда и разложения функции в степенной ряд.
Цель развития: Показать возможные способы представления функций через степенные ряды.
Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.
Тип занятия: Урок изучения нового материала.
Вид занятия: Урок-лекция.
Межпредметные связи: Науки, изучающие применение приближенного вычисления значений функций через степенные ряды..
Ход занятия:
- Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница.).
При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).
- Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.
Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.
Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.
Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Пример. Найти область сходимости ряда
Находим радиус сходимости .
Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.
Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .
- Действия со степенными рядами.
1) Интегрирование степенных рядов.
Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:
2) Дифференцирование степенных рядов.
Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:
3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:
Произведение двух степенных рядов выражается формулой:
Коэффициенты сi находятся по формуле:
Деление двух степенных рядов выражается формулой:
Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:
- Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
Пример. Разложить в ряд функцию .
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:
1 1 - x
1 – x 1 + x + x2 + x3 + …
x
x – x2
x2
x2 – x3
x3
……….
Если применить к той же функции формулу Маклорена
,
то получаем:
……………………………….
Итого, получаем:
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.
Пример. Разложить в ряд функцию
Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.
При получаем по приведенной выше формуле:
Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.
Тогда получаем:
Окончательно получим:
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:
1 1 + x2
1 + x2 1 – x2 + x4- …
- x2
- x2 – x4
x4
x4 + x6
………….
Тогда
Окончательно получаем:
2. тематизированные знания и именно в ней должны даваться знания о своем крае прививаться соответственное отно
3. Оператори GENERTE та параметри 2
4. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора філософських наук1
5. Г класса Второй Санкт ~ Петербургской Гимназии исполнилось 10 лет
6. Реферат- Содержание трудового договора
7. Контрольная работа- Управление качеством продукции на предприятии
8. Об объекте исследования в теории самообучения иностранным языкам с позиции си-нергетики
9. Учет основных средств и нематериальных активов в зарубежных странах (Англия, США)
10. Лабораторная работа 5 Определение кислотности топлив Цель работы- приобретение практических навыков о
11. . ОБЗОР МЕТОДИКИ АУДИТОРСКОГО АНАЛИЗА [3
12. . Сентенция ~ короткое высказывание нравоучительного содержания.
13. реферату- Основні засади техніки ефірного мовленняРозділ- Журналістика Основні засади техніки ефірного м
14. Лабораторная работа По дисциплине Химия
15. ПРИСВЯТА
16. Курсовая работа- Анализ деятельности Александра Невского в период раннего средневековья Руси
17. Правовое регулирование этого института обязательственного права осуществляется пар
18. Разработка стандарта рабочего места
19. Уильям Джеймс Многообразие религиозного опыта
20. Графика. Часть II.html