У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

ТЕМАТИКА ББК 87.

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.12.2024

ФИЛОСОФЫ РОССИИ XX ВЕКА

Д.Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ

МОСКВА

СЕРЕБРЯНЫЕ НИТИ

1998

МАТЕМАТИКА


ББК 87.22 М.77

Издание осуществлено при финансовой поддержке

Российского гуманитарного научного фонда

(РГНФ)

проект 96-03-16161

Редакционная коллегия серии

"Философ i.i России XX века"

Огеппн B.C., председатель: Блюхер Ф.И., ученый секретарь;

Гусейнов А.А.; Зотов А.Ф.; Лекторский В.А.; Миксшипа Л.А.;

Огурцов А.П.

Составление, предисловие, библиография А.В.РОДШ1

Д.Д.Мордухан-Болтовской. М77  Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити, 1998.-560 с.

Настоящая книга - сборник избранных работ выдающегося русского математика и философа Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Бол-товского (1876-1952). Учитывая широту диапазона его интересов -трудно найти исторшю-философско-математичесную проблему, которую в той или иной форме он не затронул в своих многочисленных работах - перед составителями стояла проблема отбора тех его статей, которые наиболее адекватно отражают основные черты его творчества. В сборник включены работы, отражающие подход ученого к триаде; "Философия -Психология - Математика". Материалы книги впервые публикуются для широкого ознакомления.

Книга рассчитана как на специалистов - философов, математиков, психологов, преподавателей школ и вузов. - так и на широкого читателя, интересующегося наукой и проблемами ее развития. ISBN 5-89163-009-5

9785891630093

llllllllllllllllllllll III ББК88'22

II     11|| IIIII С) Издательство "Серебряные нити", 1998

„ ШИШ! 11 ШИШ IL        © А.В. Родни, составление, 1998



Философская  математика Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского

Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовсжой (1876-1952), как и многие ученые его времени не был узким специалистом. Его интересы не только охватывали ту науку, которой он жил и мыслил - а именно, математику - в ее целом, но и простирались за пределы обычно понятой математики и даже вовсе за пределы обычно понятой науки - "в сферу гипернауки, мистического опыта, предполагающего предпосылки, восполняющие положительную науку и даже противоречащие некоторым [ее] законам" (Проблема смерти). Было бы неправильно относить подобную широту интересов Дмитрия Дмитриевича на счет меньшего развития науки по сравнению с ее современным состоянием: и в начале нашего столетия в математике было много частных проблем, решением которых можно было заниматься всю жизнь. Но одно только решение частных задач не могло удовлетворить Дмитрия Дмитриевича хотя бы потому, что он мыслил свои занятия наукой не как частное но как целое дело своей жизни И поэтому мир науки Мор-духай-Болтовского - это не часть целого мира, а сам мир целиком.

Все, с чем Дмитрий Дмитриевич сталкивается в жизни и в культуре - все, с чем он сталкивается в своей культурной жизни - втягивается в сферу его науки. И если искать для этой универсальной науки имя, ее прежде всего нужно назвать просто математикой. Математикой, взятой imiversaliter как mathesis universalis. По отношению к природе Мордухай-Болтовской не становится физиком, химиком или биологом - он остается математиком, когда пишет о космологии или о радиоляриях. Мы привыкли отождествлять научный взгляд на мир (мир науки) с физическим миром (миром физики), включающим в себя математику на правах своего инструмента -абстрактного языка описания. Очевидно, для Дмитрия Дмитриевича не геометрические формы являются инструментом описания радиолярии, а радиолярия является инструментом демонстрации геометрических форм. В этом смысле математический мир (и взгляд на него) следует отличать от физического. И его нужно считать научным наравне с физическим, если мы считаем математику наукой наравне с физикой. В данном случае речь идет не просто о том, чтобы использовать объекты других наук для иллюстрации тех или иных математических результатов, но, собственно, о том, чтобы сделать другие науки частями математики - таким же образом,как, например, сама математика является частью современной математической физики: если мы говорим, что математика является для современной физики инструментом то это конечно, не значит что современная физика может существовать и без математики. Так, выясняя отношения математики с психологией, Мордухай-Болтовской только в качестве подготовитель-

5


него этапа рассматривает возможность применена психологии в математике (в частности, для анализа убедительности доказательства) и математики в психологии (например, для описания процесса восприятия). Целью нее оказывается построение "математической психологии" (см. "Четыре лекции по философии математики ", лекция III), которую вернее было бы назвать психологической математикой - математической дисциплины, предпосылки которой имели бы психологический смысл. То, что имеет в виду Мордухай-Болтовской, в данном случае оказывается легче понять, поскольку, по его словам, один раздел такой математической психологии уже разработан - это теория вероятности, аксиомы которой, по его мнению, имеют именно психологический смысл. По-видимому, в этом же духе нужно понимать у Дмитрия Дмитриевича и проект математической биологии: не математизация биологии вслед за математизацией физики, а превращение биологии в математическую дисциплину, имеющую свою особую аксиоматику.

Вопрос об отношении Мордухай-Болтовского к философии является для нас предметом особого интереса. Это отношение строится по той же предельной схеме: философия должна стать частью математики. Впрочем идея математической философии в начале века, похоже, витала в воздухе: этот термин использовал Рассел, к математической философии можно отнести всю полемику вокруг канторовской теории множеств. Мордухай-Болтовской опирался и на отечественную традицию математической философии, связанную с деятельностью Московского философско-мате-матического общества (см. "О законе непрерывности"). Однако ни Рассел, ни московские математики-философы (например, Флоренский), похоже, не подходят к вопросу столь радикально, как он, отказывая философии в какой бы то ни было самостоятельности за пределами математики. Нематематическая философия, согласно Мордухай-Болтовскому во-первых, менее строга, чем математика: там, где математик доказывает, философ довольствуется убеждением. Это можно назвать классически аргументом против нематематической философии: вслед за Спинозой Дмитрий Дмитриевич считает необходимым придать философии математическую строгость. Отсюда - его несогласие с Кантом и Гегелем. Но более важным оказывается другой, неклассический аргумент: "в мышлении философа работа мысли идет только в сфере сознания, мало распространяясь в подсознательные области. Мышление математика, наоборот, глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность [т.е. выходя в сознание -А.Р.], то погружаясь в глубину". ("Психология математического мышлени-я").То есть и философ, и математик работают и в области сознания, и в области бессознательного, но только философ делает и то, и другое с меньшим размахом, чем математик: в области сознания философ не доходит до высот математической строгости а в области бессознательного - до глубин математической интуиции. Из этого следует, что предметы, которыми занимается философия, могут и должны исследоваться математически: та-

б


кой род исследования и можно было бы назвать математической философией. Тем более Мордухай-Болтовской не допускает никакой независимой от математики логики: логика для него есть логика математическая. Для этого вывода могут быть, по-видимому, использованы те же аргументы.

Укорененность математики в бессознательном, которую постулирует Дмитрий Дмитриевич, позволяет отождествить математику с "гипернаукой", которую он противопоставляет "положительной" науке ("Проблема смерти"). Сама приставка "гипер-" здесь, безусловно, математического происхождения - от "гиперплоскости" многомерного пространства. "Гипернаука" отличается от обычной науки расширением сферы сознательного опыта за счет сфер бессознательного опыта, в частности, мистического и гипнотического опыта. При этом соотношение сфер сознания и бессознательного Дмитрий Дмитриевич мыслит аналогично соотношению трехмерного и бесконечного числа п—мерных пространств: сознание - поверхность океана бессознательного, сознательный опыт - поверхность океана бессознательного гиперопыта, существующая эмпирическая наука. - верхний слой гипернауки прошлого и будущего. Математика, укорененная в бессознательном оказывается или частью гипернауки, или гипернаукой в целом -после того, как она освоила процедуру собственного гиперрасширения. Это значит, что Мордухай-Болтовской понимает математику как гиперэмпирическую науку, включающую эмпирические науки как свой конечномерный частный случай.

Отдельно нужно сказать об отношении Дмитрия Дмитриевича к истории. Математический мир для него, это не мир современности, а мир культурной традиции. Перечитывание, пересказ, перевод (упомянем хотя бы перевод евклидовых "Начал", который надолго останется классичес-дшм) неразрывно связаны в мышлении Дмитрия Дмитриевича с самым решительным ниспроверганием основ и авангардным конструированием. Для него не существует ничего когда-то пройденного, к чему не стоило бы возвращаться - ни в истории, ни в своей собственной биографии. Уже будучи профессором и проводя невероятное число математических курсов одновременно в нескольких высших учебных заведениях, Мордухай-Бол-товской находил еще время для работы со школьниками и, по-видимому, делал это с не меньшим интересом. Этот интерес к элементарной математике он сохраняет всю жизнь. Он не боится в своих работах повторять достаточно известный математически материал, просто пересказывать прочитанное. Похоже, что новоевропейский канон оригинального научного исследования не имеет для него безусловного значения, что позволяет ему избежать историцистских предрассудков: история у Дмитрия Дмитриевича это сложный многомерный генезис, а не линейная последовательность этапов развития. Сам он противопоставляет свой подход к истории математики как эмбриологический анатомическому и физиологическому подходам ("Исследования о происхождении некоторых основных идей современ-

7


ной математики." Введение). Под анатомией истории он понимает кумулятивную хронологию открытий, под физиологией - изучение культурного контекста математики прошлого. Самого же Мордухай-Болтовского интересует внутреннее развитие математики, генезис самой математической мысли, сама математическая мысль как генезис. Конечно, в его эмбриологическом подходе существует прогрессистская предпосылка: развитие идет от простого к сложному, от зародыша к взрослому организму. Однако на деле картина получается более сложной, и во многих случаях Дмитрий Дмитриевич сам критикует прогрессистские представления о том, что исторически более поздние теории обесценивают более ранние. Как говорит Мордухай-Болтовской, эволюционирует не решение проблемы - от несовершенного решения к совершенному - эволюционирует сама проблема ("Аксиоматика XVII века"). Поэтому, как представляется, историю у Дмитрия Дмитриевича следовало бы считать не столько эмбриологией, сколько генеалогией мысли: исторический вопросу него это именно вопрос о "происхождении", а не вопрос о пути развития (см. также "Биографический очерк"..

Для изучения эволюции проблем Мордухай-Болтовской-берет математические учебники, где самые элементарные и фундаментальные понятия только вводятся, а не предполагаются известными. И здесь, в области рождающихся, а не устоявшихся понятий математика смыкается с философией, понимаемой как пред-математика или как введение в математику. Для Дмитрия Дмитриевича философия в его исторических штудиях - это не просто некоторое культурное явление, существующее наряду с математикой и оказывающее на нее свое влияние - таков подход "исторической физиологии" - а это сама математика в свои началах. Отсюда же - его интерес к методике математики, преподаванию математики в школе. Методика для него - это школьная философия, школьная работа с элементарными понятиями.

Таким образом, отмеченный нами "математический радикализм" Дмитрия Дмитриевича, его понимание математики как универсальной науки, превосходящей философию по своим возможностям, оказывается согласным с традиционным пониманием философии как начала науки - во всей двусмысленности этого "начала". Однако принципиально важно, что для Мордухай-Болтовского философия оказывается началом именно математики. С этой точки зрения его штудии приобретают несколько иной смысл: это не только история математики, прочитанная в своих началах и основаниях, то есть прочитанная философски, но это и история философии, прочитанная математически. Все основные проблемы европейской метафизики трактуются им как математические проблемы - не сводя философию к математике как к чему-то данному, не применяя математический аппарат для решения философских проблем, а открывая философское измерение в самой математике.


Философия у Дмитрия Дмитриевича это философская математика, а не математическая философия. И равным образом история математики - это историческое измерение математики, историческая математика, а не специальный раздел знания о прошлом. Математика сама оказывается у Мордухай-Болтовского историей и философией. Это и обуславливает тождество традиционализма и радикализма мышления Дмитрия Дмитриевича: он не изобретает какую-то новую неклассическую математику рядом с классической и не только расширяет классическую математику до неклассической, а исторически воспроизводит математик}' в ее первозданности там, где она не отличает себя ни от физики, ни от биологии, ни от философии, ни от логики, ни от самой истории.

Таковы, как представляется, те основные идеи, которые связывают в одно целое на первый взгляд очень разнородные тексты Мордухай-Бол-товсгаго, в том числе представленные в этой книге.

Мордухай-Болтовской, принадлежит к тому типу ученых XX века, для которых наука была чем-то большим, чем наука в том смысле, как мы привыкли говорить о науке сегодня. К такому типу ученых принадлежат Эйнштейн и Гейзенберг, Вейль и Пуанкаре (с Пуанкаре, насколько можно судить по публикациям, Дмитрий Дмитриевич находился в продолжительном внутреннем диалоге). Мы называем эти громкие имена не для того, чтобы уныло сетовать на новейшую отечественную историю, лишившую российских ученых той академической свободы, которой обладали их коллеги на Западе и которой обладали они сами до утверждения в России советской власти. И не для того, чтобы гадать, что значило бы сегодня имя Мордухай-Болтовского для мирового культурного сообщества, получи он в свое время возможность свободно передвигаться по миру или пользоваться Интернетом. (Те возможности общения, которые у Дмитрия Дмитриевича были, он использовал сполна. В частности, он долгое время поддерживал переписку с отечественными учеными того же самого "универсалистского" типа - астрономом Воронцовым-Вельяминовым и биологом Лю-бищевым).

Мы соотносим Дмитрия Дмитриевича со знаменитыми учеными XX столетия с другой, чисто прагматической целью: чтобы сегодня правильно подойти к его наследию. Никто из перечисленных выше ученых не был школьным философом, каждый из них начинал работать в научной, а не в философской традиции (а к началу XX века это были разные, достаточно далекие друг от друга традиции), однако то, что они делали в науке, имеет и сегодня философское звучание. Очевидно, то, что придает работам Мордухай-Болтовского и его знаменитых западных коллег философское звучание, это сама тотальность их научных проектов, не допускающая существования рядом с собой никакой независимой научной дисциплины или философской системы. Математик остается математиком-ученым, когда имеет перед собой ограниченную предметную область, соседствующую с предметными областями других научных дисциплин. Но когда математик

9


старается сделать математическое мышление всеобщим, когда он последовательно преодолевает все дисциплинарные границы, он неизбежно философствует. Тогда даже специальные научные задачи он решает токе philosophico. Такого рода философствование мы и находим у Мордухай-Болтовского.

Вообще говоря, ни из чего не следует, что такая философизащга науки является абсолютным благом, что наука должна ставить себе цель "дорасти до философии". Для науки, которая хочет сохранить свою самостоятельность перед лицом философии (и не стать при этом самой философией - возможно ли это?) это является скорее злом. И сегодня, кажется, пути науки и философии вновь разошлись. Но это значит, что важная часть наследия ученых-философов XX века не была востребована научной традицией. И, следовательно, тем более это наследие должно быть востребовано философией.

Этой цели служит и настоящее издание, в котором мы собрали некоторые работы Дмитрия Дмитриевича, не относящиеся к числу специальных математических. Это именно те работы, по которым мы можем судить о его "философской математике". Конечно, таким образом картина творчества Дмитрия Дмитриевича оказывается не просто неполной, но лишенной центральной ее части - специальных математических работ. Однако мы и не претендуем на полноту - издание специальных математических работ Мордухай-Болтовского представляет собой совершенно иную по своему характеру задачу. В настоящий том вошло большинство изданных (и ставших библиографической редкостью) работ, представляющих несомненный философский интерес. Некоторые из них представляют собойтолько резюме больших работ, имеющихся в рукописном наследии. Издание обширного рукописного наследия Дмитрия Дмитриевича остается делом будущего: в данный том мы смогли включить только одну рукопись 1921 г. "Проблема смерти", любезно переданную Эмилией Дмитриевной Болтов-ской.

Заметим еще, что многие вошедшие в этот том работы были ранее изданы в неподготовленном виде; фактически они представляли собой тиражированные рукописи, набранные с огромным количеством ошибок и не вычитанные. Даже если бы мы стремились везде сохранить стилистические, грамматические, орфографические и пунктуационные особенности автора, кстати сказать, часто очень далеко выходящие за рамки современного русского языка, мы бы не смогли этого сделать, не будучи в состоянии отделить эти особенности от ошибок машинистки. Тем более - когда речь идет о математических выкладках, где малейшая неточность приводит к бессмыслице. Поэтому составителю и редактору этой книги пришлось на свой страх и риск и в меру собственного понимания править тексты Дмитрия Дмитриевича. Мы также постарались везде, где это возможно, указать позднейшие русские переводы используемых автором текстов, кроме того, мы привели переводы иностранных слов, выражений и предложений, ко-

L0


торые отсутствуют у Дмитрия Дмитриевича. Небольшой комментарий, выполненный в виде редакторских примечаний, преследует одну цель -сделать текст понятным; так, в ряде случаев мы более подробно провели те математические рассуждения, которые у автора сделаны своего рода намеками, требующими хорошего предварительного знакомства с предметом. В некоторых исключительных случаях мы сочли необходимым в нескольких словах пояснить мысль Дмитрия Дмитриевича.

А. Родин


БИОГРАФИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

По семейному преданию, пересказанному нам внучкой Дмитрия Дмитриевича Людмилой Филаретовной Болтовской, род Мордухай-Болтовских восходит к ордынскому вельможе по имени Кутлуб-ага, потомки которого перешли на русскую службу. Упоминаются также польские и литовские корни этого рода. По преданию, Мордухай-Болтовские имели родовое поместье в районе реки Сурош па территории нынешней Белоруссии. В семьях рождались преимущественно мальчики. 1

Несмотря на преследования аристократии при советской власти, Дмитрий Дмитриевич никогда не скрывал своего происхождения и более того, кажется, не мыслил себя вне своего отношения к роду. Происхождение, как представляется, было для него категорией не социальной, не культурной и не этической ("аристократия духа"), но конкретно-исторической. Свое происхождение Мордухай-Болтовской мыслил как собственную историю - историю, которая, с одной стороны, не вмещается в узкие рамки личной биографии, но которая, с другой стороны, чужда абстракциям всякой общей истории - общемировой или общенациональной. Именно на такой конкретной историчности, как мы уже говорили, у Дмитрия Дмитриевича, стоит все теоретическое мышление.

Перейдем теперь к более близким родственникам Дмитрия Дмитриевича. Его отец, Дмитрий Петрович, был известным железнодорожным инженером. Мать, Мария Ивановна (урожденная Власова), согласно семейному преданию, обладала способностями, которые сегодня называют экстрасенсорными. По-видимому, следуя примеру отца в своей приверженности к строгости и точности, Дмитрий Дмитриевич унаследовал также от матери богатое воображение, питавшее его интерес к мистике, к всякого рода неординарным психическим явлениям, к "бессознательному".

Доминирование мужского начала, характерное для всего рода Мордухай-Болтовских, сказалось и в семье Дмитрия Дмитриевича, родившегося 27 июля 1876 года. У него было пятеро братьев: Иван, Александр, Константин, Петр и Владимир. А у самого Дмитрия Дмитриевича, впоследствии было три сына: Дмитрий, Филарет и Степан. Одна деталь из детства Дмитрия Дмитриевича и его братьев неожиданно приобретает первостепенное значение в советское время: в семье Болтовских находился в услужении Михаил Иванович Калинин, будущий председатель сначала ЦИК, а затем Президиума ВС СССР. Вот что передает по этому поводу со слов Дмитрия Дмитриевича Эмилия Дмитриевна Болтовская - жена Филарета Дмитриевича, прожившая вместе со своим мужем большую часть жизни под одной крышей с тестем:

12


"Пришла мать Калинина - из деревни. И слезно просила: "Муж- пьяница. Возьмите хорошего мальчика в услужение!" Сама попросила. В его обязанности входило: играть с детьми, немножко следить за одеждой... Поскольку семья была интеллигентная, можно сказать передовая, их отношения с Калининым были не отношениями слуги и барина, а просто дружеские: Миша читал, они разговаривали, Миша многим интересовался... Однажды при советской власти в газете появилась статья: кто-то написал о том, что, мол, Болтовские помещики, эксплуататоры и так далее. И вот Калинин, когда об этом узнал, поместил в газете опровержение, рассказав о том, что его отношения с братьям Болтовскими были дружескими.

Отец Дмитрия Дмитриевича помог Калинину устроиться в Питере на завод. Уже в 50-е годы к нам заходил кто-то из родственников Калинина и говорил, что они в своей семье очень почитают Мордухай-Болтовских". Приведем далее выдержку из автобиографии Дмитрия Дмитриевича, написанной в 1931 году. В нашем распоряжении оказалась рукописная копия этого документа.

"Среднее образование получил в С.-Петербургской 1-й классической гимназии, в которую поступил в 18S6 и окончил которую в 1894 г. В том же году я поступил в число студентов физ.мат. факультета С.-Петербургского университета и окончил его весной 1898 года. Сейчас же по окончании Университета я был оставлен по представлении проф. К. А. Поссе при Университете для подготовки к профессорскому званию [так тогда называлась аспирантура - А.Р.] по кафедре Чистой Математики.

В этом же 1898 году (с 1 ноября) я начал свою преподавательскую деятельность в Варшавском Политехническом Институте в качестве преподавателя вначале нештатного, а с 1 октября 1899 года - штатного с функциями ассистента (при покойном профессоре Вороном, а затем также при В.А. Ани-симове).Одновременно я готовился к магистерским [гсандидат-ским - А.Р.] экзаменам, каковые и сдал при Петербургском Университете в 1900-1901 годы.

В 1906 году я вместе с частью преподавательского персонала Варшавского Политехнического Института был откомандирован в г. Новочеркасск для организации открывающегося здесь Донского Политехнического Института. Здесь я работал в качестве профессора, читая лекции и ведя практические занятия по разным отделам Высшей Математики.

13


С 1 июля 1909 года я был назначен, согласно избранию факультета, экстраординарным профессором Варшавского Университета, а в 1914 год утвержден в должности ординарного профессора". Кроме упомянутого Дмитрием Дмитриевичем К. А. Поссс его учителями на физико-математическом факультете Петербургского университета были A.M. Коркин, А.А. Марков, Ю.В. Сухоцкий. В 1906 Дмитрий Дмитриевич защитил магистерскую (кандидатскую) диссертацию на тему "О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным". Отсутствие в автобиографии упоминания о защите диссертации не случайно: в 1931, которым датирована автобиография, старые ученые степени еще не восстанавливались. В 1935 г. ученая степень Дмитрия Дмитриевича была восстановлена - как степень доктора математики.

Упомянем также произведение Мордухай-Болтовского в 1910 г. в статские советники - вскоре после получения должности в Варшавском университете. Разумеется, что в советское время об этом лучше было не упоминать. Далее в рукописной автобиографии Дмитрия Дмитриевича следует зачеркнутый текст:

"Э^гу ка<]]>дру я, собственно говоря, занимаю и по сей день, считая, что Донской, затем Севорокавказский Университет и, наконец, [Ростовский- А.Р.] Пединститут являются наследниками друг друга и при соответствующих реформах состав преподавателей оставался в общем тот же". Очевидно, последнее замечание Дмитрий Дмитриевич посчитал не соответствующим официальному стилю и назначению документа, но оно вполне отражало реальное положение дел. Созданный в 1869г. Императорский Варшавский Университет был в связи с обстоятельствами военного времени в 1915 г. эвакуирован в Ростов-на-Дону - город, добившийся к тому времени экономического процветания, но не имевший ранее своего университета. В мае 1917, когда стало ясно, что возвращение в Варшаву в ближайшем будущем невозможно, постановлением Временного правительства университет был переименован в Донской Государственный университет. В 1925 г. университет уже Советским правительством был переименован в Северо-Кавказский Государственный университет. В конце 1930 г., университет был фактически распущен: каждому из существовавших в то время трех факультетов - педагогическому, медицинскому и экономическому - был придан статус самостоятельного института. Это было сделано Советской властью, как представляется, из политических соображений - чтобы разобщить старую профессуру и уничтожить университет как крупный центр академического вольнодумства. Однако на этом реорганизация не закончилась, и в сентябре 1931 г. университет был вновь образован с новым составом факультетов и, разумеется, преподавателей (но прежним названием). Во вновь организованном университете появился физико-математический факультет, на котором впоследствии и работал Дмитрий

14


Дмитриевич. В 1934 г. в связи с административным разделением Северо-Кавказского края и Ростовской области университет был переименован в Ростовский Государственный университет. Это название университет сохраняет по сегодняшний день. Автобиография Дмитрия Дмитриевича, цитированная выше, датирована июнем 1931 г. - в это время университет был распущен и еще не восстановлен, и именно поэтому Дмитрий Дмитриевич называет Педагогический институт (бывший педагогический факультет) прямым наследником университета. Кстати, весьма вероятно, что нужда в написании автобиографии возникла у него именно в связи реорганизацией. По-видимому, вопрос состоял в том, будет ли Дмитрий Дмитриевич работать в восстановленном университете или останется в Пединституте. Заметим еще, что существующий поныне Ростовский Педагогический институт является потомком не только бывшего педагогического факультета Донского университета, но и Ростовского Учительского института, с которым образованный в 1930 г. Педагогический институт был слит в 1947 г.

В Варшаве Дмитрий Дмитриевич познакомился со своей будущей женой Людмилой Филаретовной, урожденной Ганжулевич, отец которой был в Варшаве городским судьей. Они поженились 9 апреля 1906 г. и после свадьбы совершили недолгое путешествие по Европе. Были ли переезд Дмитрия Дмитриевича в Варшаву и его знакомство с Людмилой Филаретовной случайными? По воспоминаниям Татьяны Филаретовны, другой .внучки Мордухай-Болтовского, молодых людей познакомили родственники. Возможно, здесь сыграли свою роль какие-то родственные и дружеские связи семьи Мордухай-Болтовских. Так или иначе, близкие люди подчеркивают необыкновенную нежность, с которой супруги относились друг к другу всю жизнь. Таким образом, к 1910 году жизнь Дмитрия Дмитриевича полностью сложилась: он женился, получил профессорскую должность в университете и чин статского советника. Дмитрий Дмитриевич продолжает:

"За все это время [имеется в виду с 1909 по 1930 гг.] я прочел следующие курсы:

1) Аналитически! геометрия [...], 2) Интегральное исчисление, 3) Кратные интегралы, 4) Интегральные уравнения в частных производных, 5) Вариационное исчисление, 6) (неразборчиво), 7) Синтетическая Геометрия, 8) Проективная Геометрия, 9) Определенные интегралы, 10) Эллиптические функции, И) Теория функции комплексного переменного, 12) Теория функции вещественного переменного (теория множеств), 13) Теория алгебраических кривых, 14) Математическая Логика, 15) Элементарная Математика с точки зрения Высшей, 16) Векторный Анализ, 17) История Физико-Математических наук (т.е. Математики, Механики, Физики и Астроном™), 18) История Математики, 19) Методика Математики, 20) Исчис-

15


ление конечных разностей, 21) Теория вероятностей, 22) Теоретическая Астрономия и Небесная Механика, 23) Сферическая Тригонометрия.

Одновременно с работой в университете я читал лекции: 1) в Варшавском Политехническом Институте (1909-1915), 1) на Варшавских Женских Курсах с 1909 по 1915, 3) на Ростовских В.Ж, курсах с 1915 до момента их слияния в 1920 г. с Университетом!...],

  1.  в Ростовском Практическом Политехникуме (1920-1924),
  2.  В электромонтажном Институте!... ] (1930),
  3.  В Ростовском механическом институте путей сообщения (1930-1931).

В них кроме курса Анализа бесконечно] м[алых] и Аналитической Геометрии по программе для Высших Технических заведений читал еще курсы Проективной Геометрии, Теории вероятностей, 24)Высшей Алгебры, 25) Номографии, 26) Методики начальной Арифметики, 27) Методики Алгебры, 28) Методики Геометрии.

Кроме того, я преподавал в ряде техникумов и средних учебных заведений различных городов, как то: 1) в Политехникуме [...]Водных Путей Сообщения, (2)Ростовском Индустриальном техникуме, 3) в Донской Гимназии для взрослых, 4) в Вечерней Школе повышенного типа им. Октябрьской Революции, 5) в 32-й Советской Трудовой Школе, б) в [неразборчиво] Екатерининской Ж[енсюй] г[имназии] (ныне школе им. Покровского), 7) в Донском Женском Институте, 8) на курсах для преподавателей Красной Армии и др.

Читал систематические лекции по математике и 29) Астрономии (1) на общеобразовательных курсах при Варшавском Университете (190]-1903); 2)Народном Университете(29) Космологические гипотезы и 30) популярные лекции по Астрофизике; (3) читал лекции по 31) Философии Математики для преподавателей средней школы при Варшавском Учебном Округе летом 1912 г.; (4) лекции по 32) Методике Математики и Физике[...] в Нахтевани. Административная деятельность:

  1.  с 7/XI 1912 по 11/ХП 1915 состоял секретарем Физ.-Мат. Факультета Университета
  2.  2 года - деканом Физ.-Мат. Факультета Ростовских и Д[онских] Высших Женских курсов
  3.  2 года-деканом Физ.-Мат. Отд. Донских Педагогических курсов
  4.  


s

ч

I 1

* a

s §

3" я

И С?

SJ о

I


Братья Мордухай-Болтовские (слева направо): Иван, Дмитрий, Александр и Петр (1885 г.).

Мария Ивановна.- мать Дмитрия Дмитриевича (1895 г.).


'■•wi

Дмитрий Дмитриевич с исеной Людмилой Филаретовной и сыновьями (слева направо) - Дмитрием, Филаретом и Степаном.


Дмитрий Дмитриевич в Варшаве (1914 г.).

Дмитрий Дмитриевич в Ростове (1929 г.).

Дмитрий Петрович - отец Дмитрия Дмитриевича (1908(9)г.).


  1.  2 года - деканом Инженерно-Мелиоративного Факультета Ростовского Практического Политехникума
  2.  1 год -директором Донской Гимназии для взрослых
  3.  полгода (1930) - ученым секретарем Электромонтажного Института
  4.  Председателем физико-математической испытательной комиссии в 1919 году при Донском Университете
  5.  Председателем родительского комитета 1-й Ростовской гимназии и др.

Организационная деятельность [помимо работы в уже упомянуты* учебных заведениях - А.Р.] [,..1

9) Организация Математического кабинета в Варшаве с
1911 года

  1.  такого же, безусловно, наиболее богатого в СССР в Ростове начиная с 1919 г.
  2.  Семинарской библиотеки при физмате в Варшаве и в Ростове
  3.  Семинария в Варшаве и в Ростове
  4.  Математической Секции студенческого педагогического кружка при Варшавском, а затем Ростовском Университете
  5.  Ростовского, Новочеркасского и Варшавского методических математических кружков
  6.  Ростовского Педагогического Общества
  7.  в 1917 г. Математического Отделения Общества Естествоиспытателей при С[евсрН кавказском] Государственном] Университете].
  8.  в 1920 г. Философского Общества в Ростове
  9.  в 1924 г. Методического Colloquium по Математике

Т Ч"' ГГ "ТТ R fi

шеим образом, Дмитрий Дмитриевич дает нам образец публичного типа ученого, для которого живое академическое общение было во всяком случае не менее важно, чем кабинетная работа. Болеетого, Дмитрий Дмитри-евич, очевидно имел вкус к формальной стороне академической жизни был увле юн институализацией академической среды. При этом условия в которых ему приходилось работать, по большей части были весьма далекими от академического спокойствия. Вот что вспоминает ученик и коллега Мордухай-Болтовского MГ.Хапланов о своем докладе на семинаре, которым руководил Дмитрии Дмитриевич осенью 1922 г.:

В аудиториитемпература была ниже нуля, в разбитое окно задувал холодный ветер и пришлось перейти в другую аудиторию, где хотя бы стекла были целы. Дмитрии Дмитриевич просидел почти двухчасовой доклад, усы его покрылись ине-

21


ем, руки и ноги у всех окоченели от холода... Однако, по окончании доклада Дмитрий Дмитриевич почти в течение часа с увлечением рассказывал о геометрии Лобачевского... Пальцы рук Дмитрия Дмитриевича так закоченели, что он не мог держать в руках мел, часто клал его и дыханием отогревал пальцы". 2 Всю жизнь Мордухай-Болтовского преследовали война и разрушение: сначала эвакуация из Варшавы (первая мировая война), затем гражданская война, имевшая на Дону особенно разрушительный характер, затем снова эвакуация, уже из Ростова (вторая мировая война). И это заставляло Дмитрия Дмитриевича быть готовым не только в любой момент все потерять, но и в любой момент начать все заново. Так он трижды создавал "геометрический кабинет" - собрание моделей, требующее огромного труда и внимания. Первый такой кабинет был создан в Варшаве и потерян при переезде в Ростов. Второй был создай в Ростове и пропал в 1942 г. во врем бомбежки Ростова. После войны в возрасте 71 года Дмитрий Дмитриевич вновь принимается за организацию геометрического кабинета.

Ясно, что превознесение героического характера, которое мы находим в послевоенной статье "Средние века" (см. настоящее издание), не было для него только литературным увлечением. Героическим характером обладал он сам, не изменяя своим литературным увлечениям собственной жизнью.

Нам известно о нескольких героических эпизодах из жизни Дмитрия Дмитриевича. О первом, относящемся ко времени гражданской войны, Эмилия Дмитриевна Болтовская смогла только сообщить, но, к сожалению, не смогла рассказать ничего конкретного. Известно только, что когда в дом ворвался вооруженный красноармеец, Дмитрий Дмитриевич мужественно себя повел и сумел охладить его революционный пыл. Кстати сказать, по словам Эмилии Дмитриевны, Дмитрий Дмитриевич, несмотря на свое дворянство, не был безусловным сторонником старой власти, хорошо понимал необходимость перемен и ддже мог быть причислен к "передовой интеллигенции". Вместе с тем, мы не находим никаких следов того, что Мордухай-Болтовской увлекался теми политическими теориями, которые были популярны среди "передовой интеллигенции" в начале века в России, и которые новая власть взяла на вооружение. Поэтому "передовым" Дмитрия Дмитриевича можно считать только в смысле его свободы от старой социальной догматики, но не в смысле скорейшего освоения новой.

Следующий эпизод носит скорее комический характер - в том сильном смысле слова, когда речь идет о смехе на краю гибели. Рассказывает Эмилия Дмитриевна Болтовская:

"В 1937 г. проводили "чистку" профессоров, Все желающие послушать, как будут "чистить" профессоров, сидели в зале, профессоров вызывали на сцену, и они должны были изложить свою "идеологию", взгляды. Был у нас такой биолог Волков -

22


ему дали этикету "ползучий эмпирик" - честно говоря, я совсем не погашаю, почему он оказался ползучим... Профессора выходили и высказывали свои взгляды. Когда очередь дошла до Дмитрия Дмитриевича, он сказал: "Я, пожалуй, воздержусь высказывать свои взгляды, потому что боюсь соблазнить малых сих". Его не тронули... " Возможно, что его не тронули благодаря вмешательству Калинина или благодаря силе одного имени Калинина, хотя Эмилия Дмитриевна этого не подтверждает. Такую версию приводит писатель Александр Исаевич Солженицын, который в 1936-41 гг. был студентом Мордухай-Болтовского 3 и который вывел Дмитрия Дмитриевича под вымышленным именем Дмитрия Дмитриевича Горяинова-Шаховского в романе "В круге первом" (гл. 10), что нам подтвердил сам писатель. Впрочем, как это видно подругам эпизодам, относящимся к жизни Дмитрия Дмитриевича, историческая правда в романе Солженицына настолько тонко переплетена с художественным вымыслом, то есть исторической неправдой, что его вряд ли можно принимать во внимание в качестве исторического свидетельства. Скорее всего, сам Солженицын или его источники в данном случае сами исходили из вероятности, а не из фактов.

Добавим еще, что идеологические нападки на Мордухай-Болтовского имели место и ранее. Так М. Выгодский в своей рецензии на "Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики", опубликованной в 1931 году в сборнике "На борьбу за материалистическую диалектику в математике" - в целом, кстати сказать, весьма благожелательной - упрекает автора в том, что он "далек от материалистического понимания истории".

Третий эпизод оказался трагическим. И это как раз тот случай, когда педантичность и героизм оказываются попросту одним и тем же. Рассказывает Эмилия Дмитриевна Болтовская:

"У него должна была быть лекция как раз во время бомбежки. Мы его отговаривали идти на лекцию, аон говорит: "Нет, я не могу не пойти, я все-таки пойду". Мы все очень волновались. Через некоторое время один преподаватель из Университета приносит часы Дмитрия Дмитриевича и говорит, что Дмитрий Дмитриевич ранен в голеностопный сустав и в голову". Далее события развивались следующим образом (Эмилия Дмитриевна продолжает):

"Один из учеников Дмитрия Дмитриевича, который занимал в Армавире какой-то государственный пост, специально для Дмитрия Дмитриевича прислал вагон - во время войны, когда все это было невероятно трудно! В этом вагоне мы вывезли раненного Дмитрия Дмитриевича из Ростова, и поехали к моим родственникам в Ессентуки. Это было в 42-м году".

23


Вероятно, это было 8 июля 1942 г., когда немецкая бомба попал в здание физ.-мата и убила 12 человек.

В Ростове сгорело все имущество Мордухай-Болтовского и его семьи, включая богатую личную библиотеку. Пропали и некоторые рукописи, хотя часть их был вывезена. Пропавшие рукописи Дмитрий Дмитриевич впоследствии кропотливо восстанавливал по памяти.

"Когда воина кончилась и мы жили в Иваново, к нам на квартиру пришел страховой агент чтобы застраховать имущество. Тогда Дмитрий Дм итриевич достал подстаканник и сказал: "Вот мое имущество", Определенно молено судить о вмешательстве бывшего слуги, превратившегося в могущественного покровителя, в жизнь Дмитрия Дмитриевича на основании только одного эпизода:

"Когда мы жили в Ессентуках [1943 г - А.Р.], то ужасно нуждались. Калинин узнал об этом от Владимира - брата Дмитрия Дмитриевича, который жил в Москве и часто с ним общался - и прислал нам 3000 р. В то время это были большие деньги. Я пошла на почту получать эти деньги, а мне говорят; "Эти деньги уже получили". Смотрю - за эти деньги расписался другой человек. Оказалось, что кассирша сбежала с деньгами вместе с каким-то офицером, который и уговорил ее взять эти деньги. Когда Владимир узнал об этом, он пересказал эту историю Калинину. Калинин посмеялся и прислал деньги еще раз. На этот раз их принесли прямо на дом. Старшего брата Дмитрия Дмитриевича, Ивана, по свидетельству Эмилии Дмитриевны, спасла от ареста стоявшая на его столе <1ютокарточка, на которой он бы запечатлен вместе с Калининым. Однако младшего брата, Владимира, который теснее своих братьев был связан с Калининым, это знакомство не только не оберегло от ареста, но может быть, наоборот, ему способствовало; после войны Владимир был арестован и сослал в Магадан. Что, конечно, неудивительно, поскольку в это :ке время находилась под арестом жена самого Калинина. Эмилия Дмитриевна продолжает:

Потом, когда Дмитрий Дмитриевич стал лучше себя чувствовать, ему предложили работу в пятигорском Педагогическом Институте. Он согласился [1943 г. - А.Р.1. Тогда нам стало немножко легче. Потом мы переехали в Иваново: там жила сестра жены Дмитрия Дмитриевича, у нее была большая квартира, Там Дмитрию Дмитриевичу дали место в ивановском пединституте [1944 г. -А.Р.]". В первый послевоенный учебный год Дмитрий Дмитриевич возвращается в разрушенный Ростов - возвращается в свой университет, к своему делу, за верность которому он чуть было не расплатился жизнью. Но здесь Дмитрий

24


Дмитриевич неожиданно оказывается в роли жертвы, а не победителя. С этой ролью он, похоже, не соглашается никогда.

"Но все-таки Дмитрий Дмитриевич стремился в Ростов и потом мы туда переехали. И вот там совершилась самая большая трагедия. Поскольку какое-то время Дмитрий Дмитриевич и мой муж находились на оккупированной территории, это было ужасное пятно. На физико-математическом факультете университета был большой вестибюль, где висели портреты всех известных математиков университета. Там был и портрет Дмитрия Дмитриевича. Однажды Дмитрий Дмитриевич приходит в университет и видит, что его портрет сняли. Почему? Потому что он был на оккупированной территории. То. что он пострадал от немецкой бомбы, не посчитался ни с чем, пошел на лекцию и выполнил свой долг - не имело значения. Это переполнило чашу весов. Дмитрий Дмитриевич обиделся и написал в пятигорский пединститут, что он хочет туда вернуться. Дмитрий Дмитриевич уехал в Пятигорск, а мы с Филаретом Дмитриевичем остались в Ростове". Возможно, что именно вынужденные ограничения публичной активности позволили Дмитрию Дмитриевичу в этот последний период жизни закончить труд, который можно было бы назвать трудом его жизни, если бы только в его жизни не было других трудов, отличающихся по своему характеру, но ие по своему масштабу - полный перевод на русский язык "Начал" Евклида с уникальными комментариями, в которых анализируется не только античная, но и европейская традиция геометрического учебника. Скончался Дмитрий Дмитриевич все-таки в Ростове - в городе, к которому бы особенно привязан.

"В 1952-м году Дмитрий Дмитриевич гостил у нас на каникулах. Однажды ночью ему внезапно стало плохо. Вызвали "скорую помощь"; когда врач приехал, все уже было кончено".

А. Родин

25


ЧЕТЫРЕ ЛЕКЦИИ ПО ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ1

Введение

М.1У

Бесспорно, что одна из характерных черт современной математики - ее связи с науками философскими. В настоящее время математик, который не желает ограничить всю деятельность узкой сферой какого-нибудь специального исследования должен быть хотя бы немного философом. Математика и философия, можно сказать, два близнеца, родившиеся в одно время и в своем младенчестве лежавшие в одной колыбели. Судьба их то разъединяет, то снова приводит к тесному единению. Рационалисты XVII века все мировоззрение хотели построить ordine geometrico и математика служила образцом для их метафизических построений. Критицизм разбил эти прекрасные заблуждения и этим указал два далеко расходящиеся пути для философии и математики.

Спекулятивный идеализм смотрел свысока на математику, его диалектическая логика представлялась божественным откровением, заглушающим земной лепет силлогистической логики математиков. Представлялось, что философия не может заимствовать у математики ни ее метод, ни ее содержание.

В противоположность идеализму материализм очень любил выдвигать значение математики. Но материалистические похвалы математике -это похвалы чернорабочему, который работает для ряда наук, образующих иерархическую лестницу вплоть до той наивно-реалистической догматики, которая атом считает единственным объясняющим принципом. Но вот, эволюция мысли, идя по зигзагообразной кривой, снова возвращается к старым идеям. Рационализм возрождается в виде современных интеллектуали-стических течений3. Чистый разум старается теперь разорвать те цепи, в которые его заковал критицизм.

Война все еще продолжается. Победа будет одержана рационализмом и чистый разум опять овладеет метафизическим царством, если будут взяты самые сильные крепости: будет опровергнуто кантовское учение о пространстве и геометрических аксиомах и будет отбита актуальная бесконечность.

Мы видим таким образом, что предметы, которые должны интересовать гносеолога лежат в области математики. Если математик не глух и не слеп к тому, чем волнуется философская мысль, созидающая синтез всех человеческих знаний, то он со своей стороны будет стараться выработать

26


определенный и ясный ответ на обращенные к нему запросы гносеолога и метафизика.

Мы выше сказали, что спекулятивный идеализм, совершающий свои построения с помощью высшей, диалектической логики смотрит свысока на ту логику, которая толчется на одном месте, маскируя на разные лады А=А.

Если диалектическую логику отвергнуть, то останется только эта бедная математическая логика и критицизм смело сможет утверждать, что с А=А также нельзя доехать до Абсолюта, как барону Мюнхаузену вытащить себя за волосы из болота. Не будет ли единственным путем для защиты позиций создать новую логику, опирающуюся на математику, изыскать в математической логике другие принципы, чем А=А, не зависящие от последнего, «усмотреть в Математике силы, не усмотренные Аристотелем и Кантом? Отсюда следует необходимость логическо-математических исследований, связь между логикой и математикой.

Но следует помнить, что связь между гносеологией и метафизикой с одной стороны и математикой [с другой] существовала и раньше. Совершенно новой представляется связь [математики] с психологией. Значение психологии для математики, впрочем, и теперь сознается довольно слабо. Едва ли вполне сознается, что все логические построения приобретают ценность только благодаря психологическом факту очевидности основных аксиом. Но уже одного этого факта достаточно, чтобы убедить в необходимости психологических исследований.

Эмпиризм, опирающийся на психологию, можно обсуждать лишь опираясь на эту последнюю. Психология мышления не должна совпадать с ассоциативной психологией. Необходимо ее более глубокое исследование и лучшие факты может дать математика.

Психологическое исследование дает особое значение истории математики. В последней мы приучаемся видеть не только прагматическую сторону, но и усматривать общие законы, которым подчиняется эволюция различных психологических элементов, приучаемся рассматривать историю математики только в связи с историей мысли в более общем смысле и даже с общей историей человечества.

Вместе с тем, мы приобретаем психологические основы для методических теорий. В настоящее время экспериментальное исследование служит основой последних, но экспериментальные факты следует пополнять, а в иных случаях и полностью заменять результатами психологического анализа, относящегося не только к истории различного рода открытий, но и к готовым математическим построениям.

Предметом наших лекций и послужит разбор тех философских и математических проблем, которые связуют логику, гносеологию, психологию, метафизику с математикой.

27


Лекция I. Логика и Математика

Существуют математические истины, которые не доказывают, в существовании которых убеждаются непосредственно путем интуиции. Эти истины высказываются в начале изложения системы математических положений. Это - аксиомы. Таковы следующие истины: "две величины, равные порознь третьей, равны между собой", "две прямые не могут заключать пространства". Раз установив систему очевидных истин, к признанию других приводят с помощью доказательств, т.е. связывая каждую из них логической связью с непосредственно очевидными положениями. Устанавливая такую связь, мы, конечно, этим не делаем доказуемые положения очевидными, но истинность их становится для нас необходимой в силу того, что:

  1.  исходные положения очевидно имеют место

все те положения, которые связываются цепью силлогизмов с ними должны быть, как и он, истинны.

Из двух посылок силлогизмом извлекаем третье предложение - заключение. Если мы изобразим точками всю совокупность положений какой-либо математической дисциплины, например элементарной геометрии, и точку А, отвечающую какому-нибудь положению будем соединять прямыми с В, С, D... положениями, из которых А выводится, то получим сеть, которая начинается в точках, отвечающих начальным т.е. очевидным положениям. Можно сказать, что математика обычно интересуется не самой сетью, а только ее узлами. Для нее важно указать какой-нибуьь путь, ведущий от очевидных положений А, В, С, D... к интересующему его положению G, существование которого почему-либо подозревается и, если этот путь найден, то математик со спокойной совестью может сказать, что положение G им доказано. Более же глубоким, но еще не успевшим внедриться во все области математики является взгляд, по которому исследование логической сети является не менее важным, чем исследование ее узлов. Нужно предполагать, что логический анализ в будущем будет приобретать все большее и большее значение и интеллектуальная совесть математика будущего времени будет гораздо чувствительнее, он будет искать не какой-нибудь путь от А, В, С... к G, а путь определенного типа, идущий от наперед заданной части аксиом через положения определенных типов.

На первый взгляд кажется, что подобные исследования не предмет математики, а предмет логики.

Конечно, основания подобных исследований черпаются в логике, но результаты, которые получаются путем логических исследований, относятся, тем не менее, к математике.

Возьмем силлогизм т.е. одно из звеньев упомянутой выше логической сети (например 1-ю фигуру)

А есть В

все В есть С

следовательно А есть С.

28


Им утверждается, что А присуще некоторое свойство (С) определяющее принадлежность А к классу и именно потому, что ему присуще свойство (В).

Можно сказать, что, делая это заключение мы пользуемся только одним из свойств объекта А. Но ведь тому же объекту А могут быть присущи еще другие свойства (Е), (F), (G)... отнюдь не необходимо связанные с (В). Эти последние в нашей логической операции остаются логически не действующими.

Объект А мы могли бы заменить другим объектом Л, которому было бы присуще свойство (В), но признаки (Е) (F) (G)... были бы заменены другими (e),(f).(g)...

Иван - человек,

все люди смертны:

следовательно Иван смертен. Иван человек, но Иван может быть стар, высок, худ. Но я могу также сказать:

Петр - человек,

Все люди смертны

следовательно Петр смертен. Хотя Петр в противоположность Ивану может быть молод, низок и толст.

Вместо одного звена, можно взять несколько звеньев, т.е. некоторую логическую цепь, начинающуюся аксиомами. Мы будем тогда доказывать, что объекту

А присущи свойства: а1, а", а"1...

В b',b",b'"...

С с', с",с'"...

При этом мы можем использовать не все признаки А, В, С... а только

А а',а",а'"

В Р\ р", р'"

С у',у",у"

наличность которых утверждается системой использованных нами аксиом.

Таким образом нами будет доказываться, что А присущи свойства: я', а", а'"...

В: b',b",Ь'"...C: с',с",с'"..только потому,  что А присущи:

а',а",а'"...В: |}',|3",Р'"...С: у',у""\..

Если бы А, В, С... были присущи еще другие от взятых независимые свойства

а^а^аГ...р',р"\Р"'...у',у"""...

29


то таковые следует признать логически не действующими. Заменяя их другими с?, оД ^Г ...j^jnr ..Г.Г.Г-, мы получаем вместо А, В, С... новые объекты А, В, С ■.., относительно которых должны утверждать то же, что о А,. В, С, т.е. наличность для  Асвойства:   ?/,?..., для

В:b',b",b"\. для С:с',с",с'"ит.д.

Мы будем иметь таким образом одну логическую схему для различных объектов: А, В, С... и А,В,С...

Можно назвать (А,В,С...) и (А, В, С... ) логическими эквивалентами относительно взятой системы постулатов.

В современной геометрии имеет огромное значение эквивалентность точки и прямой относительно одной группы аксиом. Все геометрические свойства можно разделить на две довольно обширные категории.

Теорема Пифагора устанавливает известную зависимость между длинами гипотенузы у катетов. Это не что иное, как соотношение между результатами некоторых измерений. Такие свойства, которые зависят от какого-либо сравнения или, лучше сказать, измерения величин, называются метрическими. Такого рода свойствами занимается почти исключительно низшая, элементарная геометрия.

Но существуют еще совершенно другого рода свойства. Эти последние совершенно не зависят от измерения. Это так называемые зрительные свойства.

Они определяются взаимным расположением геометрических объектов, но при этом предполагается, что это расположение определяется не измерением, а зрительной интуицией весьма общего типа.

На вопрос: "где точка?" - следует отвечать не "на таком-то расстоянии от прямой вправо или влево", а "на прямой, направо или налево".

На вопрос: "где прямая?" - следует отвечать, "на плоскости или в ту или другую сторону от нее" и т.д.

Ясное представление о зрительных свойствах дают уже зрительные аксиомы, относящиеся к основным элементам геометрии.

На плоскости:

Две точки определяют одну прямую, через них проходящую.

Две прямые определяют одну точку их пересечения.

Эти аксиомы обыкновенно формулируют так:

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две прямые определяют точку им принадлежащую.

В пространстве:

Три точки, не принадлежащие одной прямой, определяют плоскость.

Три плоскости, не принадлежащие одной прямой, определяют точку.

Две точки определяют прямую, им принадлежащую. 30


Две плоскости определяют прямую, им принадлежащую.

И другие.

Мы не будем перечислять все зрительные аксиомы, но отметим следующее их свойство, которое можно легко усмотреть и на четырех только что приведенных.

Каждой зрительной аксиоме отвечает ей взаимная, получаемая заменой плоскости на точку, точки на плоскости (прямая остается на месте).

Из системы зрительных аксиом выводится зрительная геометрия или геометрия положения - главная и важнейшая часть проективной геометрии.

Можно сказать теперь, что веете свойства точки, прямой и плоскости присущи им только потому, что точке, согласно зрительным аксиомам, присущи свойства а', а", о"'.., а плоскости р", ,3"" Р"'„.

Таким образом, для доказательств а зрительных теорем имеет значение не то, что плоскость представляется интуицией совершенно в ином виде, чем точка, а то, что три точки определяют плоскость, две точки -прямую и т.д.

Так как согласно двойственности аксиом мы можем приписать плоскости свойства а', а", а'".., а точке [свойства] |У, Р", |3"\., то мы будем иметь логическую эквивалентность [А (точки), В (прямой), С (плоскости)]

и [А (плоскости), В (прямой), с (точки)], взаимные положения будут существовать не только для аксиом, но и для всякой зрительной теоремы.

Мы, таким образом, получаем закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое заменой точки па плоскость и плоскости на точку.

Приведем примеры двух взаимных теорем.

Молено сказать, что прямые, между собой пересекающиеся, т.е. имеющие попарно общие точки и не лежащие на одной плоскости, проходят через одну точку.

Взаимная теорема:

Прямые, между собой пересекающиеся, т.е. лежащие попарно в одной плоскости и ие проходящие через одну точку, лежат в одной плоскости.

Существует теорема плоской зрительной геометрии, которую дока-зывшот стереометрическими соображениями - это теорема Дезарга. В двух треугольниках ABC и А,В, С, соответствующие вершины которых лежат на прямых, проходящих через одну точку, соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и [существует] теорема ей обратная.

Эта теорема вместе с плоскостными зрительным теоремами представляет основание зрительной плоскостной геометрии. Легко усмотреть в этих основных положениях тоже двойственность, существование взаим-

31


кых положений, получаемых обменом точки и прямой. В плоскостной геометрии имеет место закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое взаимным обменом точки и прямой.

Теореме Паскаля; во вписанном в кривую второго порядка шестиугольнике противоположные стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, отвечает, гак взаимная, теорема Брианшона: в описанном около кривой второго luiacca (или, что то же самое, второго порядка) шестиугольнике прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке1.

Логический эквивалент является главным орудием исследования логической сети. Предположим, что мы имеем ряд независимых постулатов, т.е. таких, что ни один из них не может быть выведен из остальных. Каким образом решается следующая основная задача: теорема G выводится из постулатов А, В, С, D..., как убедиться в том, что эта теорема не может быть выведена из меньшего числа постулатов, например, [из] А, В, С.

Для решения этого вопроса следует только подыскать к исследуемым объектам Р, Q, R... их эквиваленты относительно постулатов:

А,В,С: P,Q,R...Eom теперь для  Р,Q,R...He имеет места теорема G, то

следует безусловно заключить, что G не может быть выведено из А, В, С.

Так можно доказать, что теорема Дезарга не может быть выведена из одних плоскостных зрительных аксиом. А именно, имеет место следующая альтернатива: или приходится доказывать эту теорему метрически, например, методом аналитической геометрии или же пользоваться зрительными пространственными аксиомами, отказавшись от самостоятельного, не зависящего от пространственной геометрии, обоснования плоскостной зрительной геометрии.

Чтобы убедиться в этом, можно употребить, согласно Гильберту, следующие логические эквиваленты прямой относительно системы зрительных аксиом.

Берем эллипс С, который назовем основной окружностью, и точку Р (основную точку) вне ее. Назовем пропрямой такой объект, который совпадает со всякой прямой, не пересекающей основную окружность. Если же прямая пересекает основную окружность в точках А, В, то пропрямой будет объект, образованный частью прямой вне этого эллипса и кругом, проходящим через А, и ocuOBir/io точку Р.

Пропрямая представляет [собой] эквивалент прямой, так кис простые геометрические соображения убеждают, что при надлежащем выборе эллипса:

Две точки определяют пропрямую.

32


Две пропрямые определяют одну и только одну точку, им принадлежащую и т.д.

Если бы теорема Дезарга могла быть выведена из плоскостных зрительных аксиом, то соответствующие стороны-пропрямые двух про-треугольников пересекались бы в точках, лежащих на одной пропрямой, если соответствующие вершины лежат на пропрямых, проходящих через одну точку. Но пример, в котором вершины берут то внутри, то вне окружности С, легко убеждает нас в противном.

С помощью логических эквивалентов доказывается также возможность неевклидовых геометрий.

Неевклидовой геометрией называется геометрия, в основе которой лежит отрицание 11-й евклидовой аксиомы или ей равносильной аксиомы о параллельных, состоящей в том, что из данной точки можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если принять все аксиомы евклидовых "Начал", кроме 11-й2, то мы получим геометрию Лобачевского.

В этой геометрии из данной точки можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную, заключающихся между двумя предельными прямыми, которые Лобачевский называет параллельными.

Геометрия Лобачевского может быть развита, как и геометрия Евклида, не встречая логических противоречий, но приводя к теоремам, в большей или меньшей мере идущим против интуиции.

По геометрии Лобачевского, сумма углов в треугольнике меньше двух прямых и т.д.

Меньшая степень очевидности аксиомы о параллельных линиях (и еще меньшая 11-й евклидовой аксиомы) в сравнении с другими евклидовыми аксиомами убеждала математиков в ее зависимости от более очевидных положений.

Как известно, в продолжение 2000 лет математики старались ее доказать. Сперва делались попытки прямого доказательства, затем доказательства приведением к абсурду т.е. построения системы теорем, в основе которых лежало бы отрицание аксиомы о параллельных и которая приводила бы к логическому противоречию.

Труды Лобачевского составляют эпоху в геометрии, в них заложено зерно логическо-математических исследований. Лобачевский не доказал 11-й аксиомы, не доказал и невозможность такого доказательства, т.е. независимость этой аксиомы от других евклидовых аксиом. Он дал систему геометрии, вполне отвечающей евклидовой, в основе которой лежало отрицание аксиомы о параллельных и которая была свободна от всяких логических противоречий.

33


За его работой должно было последовать исследование, доказывающее, что и при дальнейшем своем продолжении геометрия Лобачевского не может встретить противоречия.

Для этого необходимо было отыскать объекты, реализованные в обыкновенной евклидовой геометрии, представляющие [собой] эквиваленты плоскостей, прямых и точек относительно тех зрительных и метрических аксиом евклидовой геометрии, которые остаются по исключении аксиомы о параллельных.

Путь, избранный Бельтрами (который ограничивался лишь плоской геометрией) был следующим: за эквиваленты прямых геометрии Лобачевского ои принимал геодезические линии на некоторой поверхности (псевдосферы).

Эти геодезические линии определяются двумя точками, могут быть безгранично продолжены и т.д.

Через данную точку проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную геодезическую линию и заключающихся между двумя геодезическими линиями. К сожалению, задача не была вполне решена. Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы только в некоторой определенной области совпадает с геометрией Лобачевского.

Другие эквиваленты, например, указанные Клейном, более успешно привели к цели. Установив общую логическую схему для различных объектов

А,В,С...    и   А,В,С...

естественно искать субстраты для этой схемы, понятия более широкого

объема, чем А, В, С... А, В, С...; классы, видами которых являются, как

А, В, С. так и   А,В,С...

Упомянутые выше двойственные зрительные аксиомы и выводимые из них двойственные теоремы могут быть заменены единичными, объединяющими каждую пару, если установить чисто абстрактные объекты:

  1.  элементы - которыми могут быть как точки, так и плоскости
  2.  носители первой ступени - прямые второй ступени - плоскости или точки.

Тогда аксиомы об определяемости тремя точкам плоскости, и тремя плоскостями точки объединяются в следующей абстрактной аксиоме:

Три элемента, не принадлежащие одному носителю первой ступени, определяют носителя второй ступени.

34


Итак, наш логический анализ ведет нас к построению все более и более общих классов, ведет от объектов интуиции к все более и более абстрактным-объектам.

Он вскрывает дальше, что некоторые математические понятия подходят под чисто логические понятия. И многие теоремы вытекают из некоторых свойств, наличность которых может быть установлена для этих логических объектов, не математизируя их.

В высокой степени интересна и поучительна история идеи группы, одной из кардинальных идей современной математики.

Предположим, что мы имеем совокупность некоторых объектов: av агу..ап...(а) и некоторую операцию Р, которую мы производим над некоторыми числами этих объектов. Операция эта может дать, или не дать результата.

Если результат получается, то он может не принадлежать совокупности (а). Если результаты операции Р приводят всегда к объектам (а), то последняя совокупность объектов будет группой относительно операции Р.

Возьмем совокупность целых чисел. Мы будем иметь группы относительно сложения и вычитания, ибо сложение и вычитание целых чисел приводит опять к целым числам. Таким же образом целые положительные числа будут группой относительно сложения.

Совокупность рациональных чисел будет представлять группу относительно всех четырех арифметических действий.

Приведем еще геометрический пример. За операцию Р будем считать определение по трем точкам четвертой гармонической: тогда совокупность всех точек прямой (пуиктуал) будет представлять [собой] группу. Понятие группы, конечно, чисто логическое понятие. Это понятие, разумеется, более широкое, чем число, ибо только частью арифметических аксиом утверждается следующее свойство чисел: что их совокупность относительно 4-х арифметических действий образует группу.

Идея группы может выступить и там, где нет никакого намека на математику. Можно, например, сказать, что все человечество относительно брака образует группу.

За упомянутые объекты: аГ о,... можно принять также некоторые операции.

В этом случае Р будет операцией над операциями. За Р обычно принимают просто соединение двух операций, т.е. совершение двух операций в последовательном порядке.

Тогда определением группы будет условие: а а = а т.е. последовательное совершение"двух операции - совокупность (а), равносильно одной операции (а).

35


Группу операций образует совокупность всех проективных преобразований.

Проективное преобразование на прямой определяется формулой

,_    ах + b Х ~    сх + d   ' связующей координату точки с координатой ее преобразования (образа). Совокупность двух проективных преобразований

ах + b а'х'-ЫУ

^'= , х„ =

cx+d c'x' + d'

дает проективное преобразование:

х" = ах + |-

ух+5

Не останавливаясь на многочисленных примерах групп, укажем на то, что молено доказать ряд теорем, относящихся к группе, правда не наиболее общего типа, но столь общего, что под него подходят все те труппы преобразований, с которыми до сих пор имела дело математика. Для этого следует установить ряд постулатов, определяющих тип группы, который молено назвать нормальным.

Молено написать их в символической форме, обозначая через операцию и имея в виду, что а о Ь вообще отлично от b ° а.

I) а о Ь = с, т. е. всегда имеется результат, причем, согласно оп
ределению группы, оно входит в совокупность
а, Ь, с,

II) ( а о Ь) о с = а о (Ь о с) (ассоциативный закон),

III) i о 1 = i

(постулируется существование идемпотента (т.е. каким является 1 для умножения, 0 или i для сложения))

-IV) постулируется единственность идемпотента,

V) модулей направо и налево

а о i = a i о а=а

,1 s

VI) взаимных элементов S

а о а' эл а' оа= i

Это постулаты. Основываясь на них можно доказать теоремы:

Тождество обоих модулей и обоих взаимных элементов Если ао Ь - а о Ь' то b о b'

понятию ™1гиче™1 н, меняо гпмогг, м^пТи^г пептпния мк
поглеГч это.понятне ГспчьтГен пял ^пем^п^яя гнмвппиот
подобную мптем'ггиче,кой
 употрьол, <у,

36


Отсюда вполне естественно вытекает стремление свести все математические понятия и аксиомы к чисто логическим, найти чисто логические субстраты тем логическим схемам, в которые укладывается арифметика и геометрия.

Это направление принадлежит школе логиков, [к которым относятся] Пеано, Рассел, Кутюра и т.д.

В основу арифметики и геометрии они кладут чисто логические аксиомы, арифметические и геометрические объекты они определяют логически.

Сводя операции формальной логики к нескольким основным, они приводят их к операциям над символами и таким образом в логике мыслят математически.

Таким образом, если так можно выразиться, производится единовременно и логизация математики и математизация логики.

Но это сближение, или это поглощение математики логикой, становится возможно только при расширении старой классической логики, при включении в нее новых элементов.

Прежде всего приходится развивать наряду с логикой классов, каковой является классическая логика, еще логику предложений.

Классическая логика изучает операции над классами. Классический силлогизм представляет [собой] включение и исключение индивидуумов и видов в классы и из классов.

"я есть A, Ь есть с, следовательно, а есть с" представляет [собой] такую операцию:

"а, принадлежащее классу Ь, включается в класс с, ибо Ь принадлежит с".

Но в том же силлогизме можно видеть операцию над предложениями, установку связи между большой посылкой и заключением. Заключение вытекает из большой посылки в силу малой посылки.

Таким образом операция силлогизма подводится под весьма общее понятие выведения. Из предложения р может вытекать предложение а в силу малой посылки но можно рассматривать этот вывод р—Ьц совершенно независимо от того что o6vcjiiiBJiiiB3.6T этот вывод Можно

Логика предложений раскрывает нам, что не все логические операции сводятся к приложению принципов тождества и противоречия.

Но этого мало. Силлогизм устанавливает отношение индивидуума к класс}'. Понятие отношения - предмет логики, но не всякое отношение есть отношение индивидуума к классу. Необходимо поэтому логику предложений и логику классов дополнить логикой отношений.

Но логики имеют немало врагов.

37


Пуанкаре видит в их определениях ложный круг, определение неизвестного через неизвестное.

В особенности резким выступает это в определении Кутюром единицы:

Ч   "Один, - говорит Кутюра, - есть число элементов класса, два любых элемента которого тождественны".

Один здесь определ5гется через два, и, если бы Кутюра попросили определить два, то, по мнению Пуанкаре, он определил бы два через единицу.

Мы не считаем, что логики были бы так виноваты, как это представляется Пуанкаре, чтобы все их определения грешили бы в том же отношении.

Приведенное выше словесное определение освободится от этого обвинения, если его несколько иначе выразить:

"Один есть число элементов класса со всеми тождественными . элементами".

Число два, неприятно резавшее ухо, исчезло.

Класс со всеми тождественными элементами - это вместе с тем [есть] тот [класс], в котором любые два элемента являются тождественными.

Обнаружимость тождественности любых двух элементов - это не характерный признак, служащий определением такого класса, а только лучший способ проверки, что данный класс именно таков.

Здесь делается такая же ошибка, как при определении равных треугольников их конгруэнтностью, т.е. возможностью полного положения одного на другой. На это последнее свойство следует смотреть как на свойство, определяемое некоторой аксиомой, имеющей место для треугольников (в то время, как аналогичная аксиома не имеет места для тетраэдров): из нее вытекает способ для удостоверения в равенстве треугольников.

Но я вполне согласен, что логики не дали чисто логических определений арифметических объектов, да и не могут их дать.

Всякое истинное определение должно однозначно соответствовать определяемому объекту, но, конечно, такого соответствия в определениях логиков не имеется.

Говоря о логиках, мы приходим к вопросу о математических определениях, причем будем говорить только о геометрических определениях.

Вот два кардинальных вопроса, касающиеся математических определений: что можно определить и какую роль играет определение в математическом доказательстве?

Очевидно, не все может быть определено. Если логики и стараются логически определить число, то конечно, они не имеют никакого

38


намерения определить логические термины, входящие в их определения.

Основные геометрические элементы: плоскость, прямая и точки и связи между ними являются неопределимыми геометрическими объектами.

Можно выставлять как определение те основные постулаты, которым подчиняются эти элементы. Но постулаты эти не определяют ни каждый в отдельности, ни даже все вместе ни точки, ни прямой, ни плоскости.

Те признаки, которыми приходится дополнять признаки, задаваемые постулатами, определяются интуицией и выразить их логическими терминами настолько же возможно, как объяснить цвет слепому с помощью звуков.

Всякая попытка определить, например, точку, приводит в лучшем случае к определению точки с помощью других интуитивных данных, в худшем - к определению х через х.

Определения могут быть чисто словесными сокращениями - тогда [мы] будем иметь номинальные.определения.

Пример номинального определения: катет - сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

Роль номинального определения вполне ясна. Номинальное определение сокращает изложение доказательства, дает возможность вместо того, чтобы каждый раз говорить "сторона прямоугольного треугольника" и т.д., употреблять одно слово "катет".

Так что логического, в собственном смысле, значения номинальное определение не имеет.

Но, конечно, не все геометрические определения таковы. Нельзя назвать обычное определение круга номинальным.

Некоторые относят это определение к генетическим и считают, что кроме номинальных определений в геометрии возможны только генетические, т.е. такие, в которых дается способ образования определяемого объекта с помощью известных элементов.

Определяя окружность как геометрическое место точек, отстоящих на одно и тоже расстояние от данной точки, мы вовсе не указываем этим способ образования или вычерчивания круга (хотя это сейчас же выводится из его определения). Мы определяем совокупность точек (пун-ктуал), удовлетворяющих определенному условию. Этому пунктуалу отвечает одна и только одна определенная кривая - носитель этого пунк-туала. Пунктуал не составляет кривой, ио он однозначно с ней связан.

Таким образом дело обстоит так:

Объект В дается заданием объекта А, однозначно с ним связанного, т.е. таким, что, если дается А, то вместе с тем дан В и если дан В, то дан и А. Но связь между А и В не может быть определена в логических терминах, а дается только интуицией. В этом случае имеет место

39


логическая эквивалентность А и В, как для постулатов, так и для выводимых из них положений. Так, в предложении: "две точки определяют пунктуал", пунктуал можно заменить прямой и сказать: "две точки определяют прямую".

Литература к лекции I

На русском языке:

  1.  Кутюра. Принципы математики. Перев, Линда.Изд. Карбасникова.Спб. 1913. (богатая библиография).
  2.  Кутюра. Алгебра логики. "Матезис". Одесса. 1909.
  3.  Пуанкарэ. Гипотеза и наука.
  4.  Пуанкарэ. Метод и наука.
  5.  Фосс. О сущности математики."Физика", Спб. 1911.
  6.  Каган. Основы геометрии. Одесса. 1905-07.
  7.  Бонола. Неевклидова геометрия.
  8.  Вебер-Вильштейн. Энциклопедия элементарной математики. Т. 1.Матезис. Одесса. 1909.
  9.  Энрикес. Вопросы элементарной математики.
  10.  Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с примечаниямими.

11) Далеман. Проективная геометрия. Пер. Лагутинского.
На французском языке:

  1.  Peano. Formulaire de Mathemaliques.
  2.  Peano. Notations de logique Mathemaliques. Turin. 1894.
  3.  Padoa. La logique deductive. Paris. Gauthier Villars. 1912.
  4.  Liard. Definitions mathematiques. Paris. Alcan. 1903.
  5.  Favaro. Lecons de statique graphique t. I. Geometric de Position.Paris. Gauthier Villars. 1879.

На немецком языке:

  1.  Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Leipzig. Teubner. 1903.
  2.  Killing imd Hovestadt. Handluch des Math. Unterrichts. t.I. Leipzig. Teubner. 1910 (библиография).
  3.  Genochi. DUTerentialrechnung und Integralrechnung. Anhang I.Tcubner. 1899.

1 Лекция IL Гносеология и Математика.

В заключении находится только то, что дано в посылках. Не дают ли правила формальной логики одну тавтологию, маскировку тождеств А есть А. Не представляют ли логические схемы только мертвое орудие, оживить которое могут лишь интуиция и опыт? Пуанкаре отрицает, чтобы живое математическое рассуждение, ведущее нас от истин к новым истинам, представляло бы одну мертвую логическую схему. За живительный дух, кото-

40


рый движет математическое рассуждение вперед, он считает полную математическую индукцию, логически неопределимую. Шаг вперед делает математика всякий раз, когда принимает этот принцип:

Если какое-либо свойство справедливо для 1 и если установлено, что оно справедливо для п+1, коль скоро оно справедливо для п, то оно верно для всех целых чисел.

Пуанкаре считает, что применение этого принципа заключает в себе бесконечное множество силлогизмов:

Теорема верна для числа 1.

Если же она справедлива для 1, то верна и для 2.

Следовательно верна для 2.

Если верна для 2, то верна для 3.

Следовательно верна для 3 и т.д.

С таким мнением нельзя согласиться. Конечно, применение принципа полной индукции можно представить бесконечным числом силлогизмов, но все эти силлогизмы нетрудно свести к одному, если только признать принцип индукции или за определение целого конечного числа (как Кутюра) или за характерное свойство, обнаружимое одной из аксиом, к нему относящейся.

Неверно и то, что правила формальной логики дают только замаскированное тождество А=А. Ибо не только на этом принципе зиждутся эти правила.

Существуют принципы, отмечаемые новой логикой, совершенно не выводимые из этого принципа, как, например, принцип упрощения, относящийся к логике предложений, выражаемый логической формулой:

pnq-)-p1 т.е. утверждение двух положений p.q влечет утверждение одного из них, содержащее в себе операцию логического умножения, которой иет в принципе тождества. Поэтому опасение, что математические построения по правилам формальной логики будут замаскированными утверждениями А=А не имеет основания.

Трудность, а может быть, и полная невозможность чисто логического обоснования математики происходит вследствие следующих двух препятствий:

  1.  вначале выступает невозможность чисто логического определения математических понятий по причинам, указанным в первой лекции,
  2.  в дальнейшем чисто психологическая невозможность проведения чисто логических операций без обращения к интуиции.

Правда, нам кажется странной возможность построения всей математики только с помощью такого рода операций, нам кажется невероятным, чтобы математика представляла [собой] только комбинацию одних и тех же элементов.

41


Но причина такой кажущейся невероятности чисто психологически!, это факт скрытых аксиом, которые и дают нам своего рода ходули при логических построениях. Полную систему аксиом нам трудно, а может быть, психологически и невозможно собрать.

Но, если мы предположим ее собранной, то можно утверждать, что выведение всех положений математики может быть совершено по правилам формальной логики, при этом возможность эта рассматривается с логической точки зрения, а ие с психологической.

То, что может быть невозможно психологически, возможно логически. Но логическая точка зрения отличается также и от гносеологической. Возможность выведения математических положений из аксиом не есть еще возможность их познания, ибо познание не дается одной логикой.

Установка логических аксиом для интуитивного материала, подведение последнего под логические категории требует операций, которые ие могут быть выражены никакими логическими формулами.

Интеллектуализм Рассела и Кутюра заходит слишком далеко, утверждая, что построение всего математического знания возможно из чисто логических понятий и аксиом.

Кант называет аналитическими такие суждения, в которых только раскрывается содержание подлежащего, и синтетическими [те суждения] в которых подлежащему прибавляется нечто новое.

"Тело протяженно" - суждение аналитическое, ибо уже в понятие тела входит признак протяженности.

"Тело весомо" - суждение синтетическое.

Для обоснования интеллектуализма следует прежде всего доказать, что математические суждения не представляют [собой] суждений синтетических.

Для этого, конечно, открывается единственно возможный путь: доказать возможность чисто логических определений математических объектов и выведения из этих определений всех положений математики. Но легко увидеть, что этим Кант еще не опровергнут. Синтетический момент [состоит] отнюдь не в выведении из аксиом, относящихся к некоторым логическим признакам геометрических объектов (принимаемых логиками за определения), дальнейших положений, по в приписывании объекту, данному интуицией, определенных .логических признаков.

Прямая дается нам интуицией, в этом интуитивно данном отнюдь не заключается определяемость прямой двумя точками или пересекаемость двух прямых в одной точке или аксиома о параллельных. Для этого необходим акт, привносящий нечто, не заключавшееся в первоначально данном представлении прямой.

Синтетические суждения в геометрии именно и возможны, согласно Канту, благодаря пространственной интуиции. Гносеология поэтому

42


выдвигает на первый план проблему пространства и реальной (но не логической) возможности неевклидовых пространств.

В популярно-научных сочинениях, относящихся к неевклидовым геометриям, часто для оправдания существования последних приводятся аргументы в пользу возможности реального существования пространства с устанавливаемыми ими свойствами. Наиболее доступной для понимания является иаивно-реалистичсская и эмпирическая точка зрения. Пространство рассматривается как вещь, которая представляется нам почти такой же, какова она в действительности. Опыт знакомит нас со свойствами пространства совершенно так же, как он знакомит нас со свойствами окружающих предметов и совершенно так же, как мы можем сделать незначительную ошибку в каких-либо опытных измерениях, мы можем сделать или даже делаем в тех основных свойствах, которые мы на основании опыта приписываем пространству. Мы можем, например, ошибиться относительно аксиомы о параллельных, утверждая существование одной прямой, проведенной через точку М и не пересекающей данную L, не заметив бесконечного множества таких прямых, заключающихся в очень малом пространстве, или может быть совершенно недоступном опыту.

Согласно этому воззрению, математические знания становятся возможны только благодаря опытной индукции, предшествующей логическим построениям.

Эти взгляды развиты Гельмгольцем. По Гельмголыгу, например, аксиома свободной подвижности, утверждающая возможность неизменного передвижения геометрических фигур, лежащая в основе учения о конгруэнции, дается опытом, наблюдением твердых, не деформирующихся тел. Существо, живущее в мире быстро деформирующихся облаков и водных течений, не могло бы иметь подобной аксиомы.

Но уже в этом взгляде ясно выступает ошибка эмпириков. Неизменность или деформация твердого тела сознается сравнением его формы с первоначальной, т.е. измерением. Измерение же само предполагает неизменную меру, т.е. логически постулирует свободную подвижность.

Но, если, стоя на реалистической точке зрения, признать пространство реально существующим, но не только субъективной формой нашей интуиции, как это делает Кант, то было бы разумнее предполагать ошибку в его восприятии гораздо больше, чем та, которая обнаруживается взамен действительно существующей геометрии Лобачевского "неточной" евклидовой геометрией.

При реалистических предпосылках несравненно последовательнее Дельбеф. По его мнению прямые, круги, параболы нашего ума ие суть средние приближения, результаты опытной индукции, это типы, подражания реальным явлениям, то, что мы получаем первым, так сказать, грубым приближением, в предположении, что нет разнообразия в пространстве и времени. Поэтому, по Дельбефу, мы получаем два пространства: одно иде-

43


альное, геометрическое, другое эмпирическое, причем последнее есть вместе с тем и реальное.

Постулат возможности существования подобных фигур (аксиома Валлиса), эквивалентный постулату параллельных, выставляется Дельбе-фом как одно из основных свойств идеального пространства, как основной постулат однородности (гомогенности), который формулируется следующий! образом:

"Всякий quantum можно рассматривать как уменьшенный или увеличенный образ большего и меньшего quantum ".

"Сказать, - замечает Дельбеф,- что пространство, которое мы населяем, евклидово, что фигуры могут быть вычерчены в различных масштабах, сводится к тому, чтобы сказать, что, если все измерения во Вселенной будут увеличены или уменьшены в одинаковом отношении, мы не будем в состоянии заметить этого изменения; это сказать: наша вселенная не имеет абсолютной величины, а только относительную". Чтобы образно показать, что реальному пространству не присуще свойство гомогенности, Дельбеф заставляет фиктивное существо Мегамикрос совершать путешествие, изменяя свои размеры, переходя из нашего мира в мир лилипутов, но являясь в этом последнем не в роли Гулливера, а сокращаясь до размеров лилипута. Перелет Мегамикроса в это волшебное царство совершается во время его сна. Предположим, что в этой стране сохранена полная пропорциональность частей, что планета лилипутов представляет нашу землю во всех ее деталях, но только с радиусом, уменьшенным, скажем, в 20 раз.

Если эмпирическое пространство однородно, как геометрическое, то Мегамикрос никогда не догадается, что он совершил во время сна путешествие. Но на самом деле будет не так. На каждом шагу он будет встречаться с такими явлениями, которые совершенно ясно будут говорить ему, что он находится не на своей родине. Так например, если для утоления жажды на своей родине он выпивал ежедневно 4 стакана воды, то в стране лилипутов, он сейчас же заметит, что 4 лилипутовых стакана будет ему мало, ибо в то время как объем стакана уменьшился в 203= 8000 раз, поверхность тела его, а потому и скорость испарения, уменьшилась лишь в 202 = 400 раз. Поэтому ему придется выпить не 4, а 80 стаканов.

Ясно, что при воззрениях Дельбефа неевклидова геометрия не найдет себе места, ибо геометрическое пространство евклидово, а эмпирическое таково, что для него не может быть уже никакой геометрии. Но против Дельбефа можно выставить возражение, состоящее в том, что он опровергает однородность не пространства, а вселенной. Пространство получается только по исключении различного рода чисто физических свойств.

Мегамикрос должен был совершить прогулку в пространстве; как бесплотный геометрический дух, интересуясь только геометрическими фигурами. Если бы ему необходимо было создать более богатую обстановку, т.е. окружить эти фигуры вселенной, "подобной" настоящей, такой, что-

44


бы невозможно было уловить изменение, то необходимо было бы уменьшить в соответствующей пропорции молекулы, а в этом случае, как показал Лешаля, вычисления Дельбефа оказываются неверными.

Если Дельбеф отделяет геометрическое пространство от эмпирического и последнее признает реальным, то Истце, тоже противник метаге-ометрии, отожествляет геометрическое с эмпирическим, противополагая ему реальное. У него тоже два пространства, причем второе еще менее походит на геометрическое, чем эмпирическое пространство Дельбефа. Оно, по выражению самого Лотце, также отличается от геометрического пространства, как интервал между двумя нотами отличается от прямой линии. Оно состоит во взаимоотношении между монадами, сознающими эти взаимоотношения, как модификацию их внутренних состоянии. Таким образом это "второе" пространство таково, что для него какая-либо геометрия представляется невозможной. А так как первое пространство единственное, представляемое нами евклидовым, то отсюда вытекает невозможность других пространств, кроме евклидова.

Влияние Канта достаточно сильно в гносеологии, чтобы грубо реалистические и эмпирические взгляды могли бы долго выжить. Более глубокий анализ естественно приводит метагеометров к Канту. В основе гносеологических взглядов Канта лежит учение о пространстве и времени как априорных формах интуиции. По учению Канта пространство не дается нам опытом, а само предваряет всякий опыт и, в противоположность учению Ньютона, не представляет собой находящееся вне нас вместилище вещей, [также как], в противоположность учению Лейбница, не является свойством этих последних, а представляет собой субъективную форму, находясь не вне нас, а внутри нас.

Аксиомы арифметики и геометрии даются интуицией и представляют [собой] синтетические суждения.

Защитники иного существования метагеометрии, чем логическое, должны были сделать уступки Канту. Сдаться ему вполне они не могли, ибо "чистый Кант" признавал только одну геометрию, т.е. ту евклидову геометрию, которая дается интуицией. Априорность пространств доказывается Кантом аподиктичностью (т.е. характером безусловной необходимости) аксиом и, обратно, из априорности выводится аподиктичность аксиом.

Признавая другие геометрии, мы посягаем на аподиктичность аксиом и вместе с тем и на априорность пространства.

Поэтому следовало не во всем уступать Канту, необходимо было создать нового Канта или "полу-Канта".

Полукантианцем является Рассел, справедливо отделяющий гносеологическую точку зрения от психологической, смешение которых наблюдается у Канта. Отличая вопрос о субъективности пространства, как вопрос психологический, от вопроса об априорности, как вопроса гносео-

45


логического, Рассел исследует только последний, признавая только некоторые свойства пространства предваряющими опыт.

Но в то время, как для Канта пространство представляет [собой] голую интуицию, причем аксиомы геометрии даются только интуицией, по Расселу пространство предваряет опыт, как концепция, понятие, из которого вытекает логически ряд пространственных аксиом. Априорным пространство является только как концепция формы внешности, дающей возможность рассматривать объекты опыта, как находящиеся во внеположен-иости, одно вне другого. Все остальные признаки пространства не предваряют опыт, а являются элементами апостериорными, данными опытом.

Нельзя сказать, чтобы выводы априорных аксиом из концепции формы внешности можно было бы признать строгими и едва ли Рассел мог бы их уложить в строго логические схемы, построенные по правилам его формальной логики.

Аксиомами априорными являются прежде всего его зрительные аксиомы. Из аксиом метрических:

  1.  Аксиома свободного передвижения: пространственные величины могут быть перемещаемы без деформаций.
  2.  Аксиома измерений: пространство имеет конечное число измерений.
  3.  Аксиома расстояния: существует одно и только одно отношение между двумя точками.

Аксиома о параллельных является одной из апостериорных аксиом.

Нам представляется главным возражением против реальности не-еквилидовых геометрий то, что при эмпирическом взгляде Гельмгольца и полуэмпирическом взгляде Рассела остается необъясненной аподактичность геометрических аксиом. Поэтому приходится или отрицать этот факт, или давать то объяснение якобы кажущейся аподикгичности аксиом, которое мы находили у Юма и недостаточность которого вполне доказана Кантом. Сколько бы раз ни повторялся опыт, он никогда не мог бы дать тот характер безусловной необходимости, который имеют геометрические аксиомы. Степень очевидности аксиомы о гомогенности пространств едва ли меньше, чем аксиомы об изогенности пространства, утверждаемой первой метрической аксиомой Рассела, и этот факт допускает единственное объяснение, что обе аксиомы имеют одно и тоже происхождение, одну и ту же гносеологическую ценность.

Как одну из аксиом, логически вытекающих из концепции формы внешности, Рассел выставляет аксиому измерений, требующую обязательно конечного числа измерений для пространства. Трехмерность же пространств, т.е. тот факт, что число измерений равно трем, Рассел считает за опытное данное. Вследствие того, что число измерений [есть] число целое, а эмпирическое пространство должно мало отличаться от действителыго-

46


го, то трехмерность нашего пространства должна быть признана за достоверный факт.

Отсюда следует, что, например, геометрия четырехмерного пространства не может претендовать на того рода возможность, которая предоставляется геометрии Лобачевского. По Расселу и эмпирикам, евклидова геометрия может представлять и, вероятно, представляет приближение к "истинной" геометрии Лобачевского или Римапа. Что касается четырехмерной геометрии, то она имеет исключительно логическое значение.

Нам кажется, что дело обстоит как раз наоборот. Если сознательная душевная жизнь не представляет всей полноты психической жизни, если сознание должно быть дополнено подсознанием, в котором психическими явлениями управляют те же законы, которые мы усматриваем в области, озаренной сознанием, то будет вполне естественно мыслить форму интуиции для расширенного опыта бессознательной психики тоже шире. Если сознанию доступна только гиперплоскость, или только поверхность четырехмерного пространства, то в глубине бессознательного может выступить интуиция четвертого измерения, не отвергающая трехмерную геометрию, а дополняющая ее.

Интуиция нам говорит, что то пространство, которое находится в нашем сознании, имеет три измерения, но она ничего не может сказать о четвертом измерении, которое оказывается под порогом сознания.

Совершенно иначе с неевклидовой трехмерной геометрией. Здесь прежде всего следует отвергнуть то, что утверждает в нашем сознании интуиция. Последняя дает нам не только факты, но вместе с тем и характер безусловной необходимости этих фактов.

Геометрия четырех измерений получается, если мы к основным геометрическим объектам: точке, прямой и плоскости присоединим еще гиперплоскость и дополним постулаты трехмерного пространства некоторыми постулатами, относящимися к четырехмерному. Найти последние нетрудно. Для этого следует усмотреть, каким образом совершается переход от постулатов двухмерного к постулатам трехмерного пространства. Так, можно сказать: четыре точки, не лежащие в одной плоскости или на одной прямой, определяют гиперплоскость, и четыре гиперплоскости, ие проходящие через одну плоскость или одну прямую, определяют точку.

Многие теоремы четырехмерного пространства могут быть построены непосредственно, как аналогоны соответствующих теорем трехмерного пространства. Примером ряда поиятий-аналогонов может служит ряд простейших образов:

в пространстве

одного измерения -две точки,

двух - три прямые - треугольник,

трех - четыре плоскости - тетраэдр.

47


Следуя правилу, по которому переходили от одного аналогона к следующему, можем четвертым членом упомянутого ряда поставить:

в пространстве 4-х измерений,

четырехмерное тело, образованное пятью гиперплоскостями - пен-таэдроид.

Изучение пентаэдроида производится проектированием его в гиперплоскость, которую представляет все наше трехмерное пространство.

Чтобы получить проекцию треугольника на прямую, надо взять три точки на прямой и отрезки ими образуемые,

тетраэдра на плоскости - четыре точки на плоскости и треугольники, ими образуемые.

Отсюда следует, что проекция пентаэдра получится, если взять пять точек в пространстве (гиперплоскости) и пять тетраэдров, ими образуемых.

Можно, следуя правилу аналогонов, создать и механику четырехмерного пространства.

По пути смелых обобщений молено идти и дальше, рассматривая время, как многообразие не одного, а двух измерений, мысля то, что относительно данного момента не представляет [собой] ни настоящее, ни прошедшее, ни будущее. В последнее время много шума наделали еще более смелые взгляды Минковского. В механике четырехмерного пространства приходится, следуя аналогии трехмерной механики, рассматривать при движении точки ее четыре координаты: х, у, z, и, как функции времени т.

Движение будет происходить в гиперплоскости, т.е. в нашем трехмерном пространстве, если х, у, z, и для всякого I связаны линейным соотношением:

Ах + By + Cz + Du + Е = О, представляющими уравнение гиперплоскости.

Мы получим уравнение движения на некоторой гиперповерхности, если свяжем (х, у, z, и,) общим уравнением:

Q (х, у, z, и) = 0 (*)

Можно сделать такое предположение: наше пространство не гиперплоскость, а некоторая, отличная от нее гиперповерхность; для четырехмерного пространства (а следовательно и для гиперплоскостей, в нем заключающихся) объемлющего эту гиперповерхность имеет место неевклидова геометрия. Источником ошибочного взгляда на наше пространство, как пространство евклидово, служит то, что мы некоторые кривые, мало отличающиеся от прямых, принимаем за прямые, приписывая последним те свойства, которые на самом деле присущи первым.

Воздерживаясь от возражений на эти взгляды, укажем, в каком, направлении должно идти дальнейшее их обобщение. Для этого следует только уравнение (*) заменить более общим

П (х, у, z, и, т) = О т.е. принять эту гиперповерхность деформирующейся в течение времени. 48


В этого рода пространстве и строится механика Минковского. Физические явления происходят в четырехмерном пространстве (>:, у, z, и). Но, что представляет собой координата и?

Этой координатой является время t, но только иное, чем упомянутое выше т.

В механике Минковского приходится различать абсолютное время t от собственного х,

В этих воззрениях мы имеем не одно пространство, а особое сочетание пространство-время, находящееся в таком же отношении к геометрическому пространству и абсолютному времени, в каком у эмпириков-метагеометров неевклидово пространство находится в отношении к евклидову.

Возражения, упомянутые нами, остаются и здесь еще в большей силе.

Но воззрения Минковского имеют еще свой специальный недостаток: это чрезвычайная сложность и искусственность.

Если в них видеть нечто большее, чем одну геометрическую интерпретацию, то надо сознаться, что фигурирование четвертого измерения времени, наряду с однородными другими тремя измерениями, совершенно отличными от этого четвертого, уже достаточно для того, чтобы признать весь этот сложный аппарат хотя и гениально задуманным, но совершенно невероятным.

Литература к лекции II

На русском языке:

  1.  Кант. Критика чистого разума. Пер. Соколова. Спб. 1897.
  2.  Куно Фишер. История философии.

2)   Челпанов. Проблема восприятия пространства, ч. II. 4)   Богомолов.   Современные воззрения на геометрию. Журнал Физико-химического общества. 1907. (?)   Минковский. Пространство и время."Физика". Спб. 1911. 6)   Новые идеи физики. Закон относительности. Изд. "Образование". На французском языке:

1) Russel. Les principes cle geometric trad. Cadenat. Paris. Gauthier Villars.

1901. (библиография).

2) Dclboeuf. Prolegomenes de la geometric, et solution despostulats. Liege.
I860
и другие его сочинения (см. Russel).

2)   Lechalas. Introduction a la geometrie generate.

  1.  JoufTret Traite elemental de geometrie a quatre dimensions. Paris. Gauthier Villars. 1903.
  2.  Bucher. Essai sur 1'hyperespace. Paris. Alcan. 1905.

49


6)   Brunschvigg. Les etapes de la philosophic mathematique. Paris. Alcan.

1912. На немецком языке:

  1.  Rietmaim. Ueber die Hypothesen welche der Geometric zu Grande liegen. Werke. s. 255-268.
  2.  Erdmann. Die Axiome der Geometrie.

Лекция III Психология и Математика

Может ли быть тесная связь между столь разнородными науками, кис математика и психология? Я думаю, Вам покажется весьма странным мое намерение защитить в настоящей лекции следующий двойной тезис: математика, или, лучше скажу, будущая математика в своих доказательствах будет выполнять требования психологии, а будущая психология проникнется математикой.

Мы уже теперь довольно капризны к доказательствам. Мы ищем не какое-либо доказательство, а доказательство простое и изящное. Удовлетворить требованиям логики мало, необходимо принять во внимание и притязания психологии.

Изучая теорию функций комплексного переменного, мы интерпретируем геометрически комплексное переменное z = х + yi, представляя его точкой на плоскости с координатами (х, у).

Изменение z мы представляем движением этой точки. Конечно, мы могли бы изучать комплексное переменное и чисто аналитически, не прибегая к геометрическому образу.

Теорему: "модуль суммы меньше или равен сумме модулей" мы можем доказать, не вводя геометрического представления комплексного числа, хотя всякий согласится [с тем], что эта теорема проще всего доказывается именно геометрически.

В настоящее время в анализе геометрический метод получил особенное распространение, главным образом благодаря идеям Ф. Клейна. В двух отделах чистой математики твердо установился геометрический характер мышления, в теории дифференциальных уравнений, благодаря теории характеристик, и в теории абелевых интегралов, благодаря исследованиям Клебша.

Абелев интеграл, т.е. интеграл от алгебраической функции можно представить в форме

jF(x,y)dx,

где F- рациональная функция (х, у), а у определяется алгебраическим уравнением

f(x,y) = 0

50


Говорят, что Абелев интеграл JF(x,y)dx определяется алгебраической кривой f(х,у) = 0, воображая точку (х, у), определяемую координатами (х, у). Введя этот геометрический язык, основную абелеву теорему можем сформулировать следующим образом:

"Если пересечь кривую f(x,y) = 0 некоторой деформирующейся кривой ф (х, у) = 0, то сумма интегралов первого рода

У   F(x,y)dx,

*—'JCo.Yo)

относящихся к точкам пересечения этих кривых, сохраняет при деформировании постоянное значение".

Не представляет труда освободить эту теорему от ее геометрической оболочки, не представляет труда и все вытекающие из нее теоремы переложить с геометрического языка на чисто алгебраической и молено продолжать мыслить, двигая вперед теорию абелевых интегралов, отказавшись от всяких геометрических образов.

От всех этих образов, с чисто логической точки зрения, мы ие имеем никакой выгоды. Скажу более, есть известная невыгода. Здесь имеется своего рода грех против логики построения. С этой точки зрения анализ должен быть свободным от геометрических образов, черпая из одного определенного источника свои методы, но не забегая в области геометрии, которую анализ должен предварять.

Кроме того, легко видеть, что те образы, которые служат нам помощью при введении упомянутых выше геометрических интерпретаций есть, в сущности говоря, логически недозволенные образы. Пересекая кривую, определяющую абелев интеграл, какой-либо другой кривой, мы говорим и воображаем себе точки пересечения, как в том случае, когда эти точки вещественны, так и в том случае, когда они мнимы. Причина того бессилия логики, о котором говорит Пуанкаре, указывая, как на одну из побед, на выведение с помощью 27 уравнений результата: "единица есть число", чисто психологическая.

Интуиция, а не формальная логика с логическими обозначениями представляет [собой] те крылья, на которых мы улетаем в самые отдаленные области абстракции. Эти крылья дает, в форме вышеупомянутых геометрических интерпретаций, психологическое чутье. Бессознательно наше мышление движется по линии наименьшего сопротивления. Но то, что мы теперь делаем бессознательно, в будущем может послужить предметом сознательного научного исследования и после может дать результаты, на основании которых мы будем предпочитать один путь другому, сознательно считаться с экономией мыслительной работы.

51


Почему нам так трудно идти исключительно логическим путем и почему мы чувствуем такое облегчение, когда параллельно умозрению раскладываются и соответствующие образы?

Отрешаясь от интуиции, мысль уподобляется человеку, который должен говорить со связанными руками и ногами. Способности души так тесно между собой связаны, что невозможно привести в действие одну, не затрагивая другой, и, стесняя одну, мы подвергаем стеснению и другие.

Психологическое исследование доказательств с точки зрения их восприимчивости имеет значение не только для преподавания, но имеет и научное значение.

Жизнь коротка и наука должна позаботиться о том, чтобы в кратчайшее время и легчайшим путем были усвоены ее результаты для того, чтобы у ученого хватило времени не только на изучение сочинений других, но и на движение вперед научного исследования.

Но психологии суждено не только изыскивать средства, ведущие к большей усвояемости доказательств, но и пути, где, представлялось бы меньше вероятности ошибиться. Психология математических ошибок ждет психологов-исследователей; важным представляется даже один фактический материал, который должен послужить основанием для теоретических выводов, имеющих значение для психологии не только математического мышления, но и мышления в более широком смысле,. Известные математические софизмы прежде всего дают такой материал.

Обыкновенно удовлетворяются только их опровержением. Но следует взглянуть на них несколько глубже и исследовать их происхождение.

Возьмем для примера следующий известный софизм. На сторонах АС, АВ тупоугольного треугольника ABC опишем, как на диаметрах, полуокружности. Точки пересечения D, Е с третьей стороной ВС соединим с А. Углы ADB и АЕС, как опирающиеся сторонами на диаметры - прямые. Откуда заключаем, что на прямую ВС из точки А молено провести два перпендикуляра AD и АЕ.

Источник ошибки заключается в неправильности черте- в41 жа. Легко обнаружить, что прямая СВ как раз проходит через точку Q пересечения полуокружностей и, конечно, в этом случае все наше доказательство о существовании двух перпендикуляров рушится.

Ошибка произошла оттого, что мы употребили "недоказанный" чертеж, были слишком доверчивы к интуиции. Интуиция дает нам идеальные точки, прямые и плоскости, дает простейшие свойства, но более сложные взаимоотношения она определяет только в общих чертах. Она говорит

52


о пересечении кругов прямой СВ, но она ничего не говорит о том, что это пересечение будет именно в точке Q. Другой род софизмов основывается на смешении чисто интуитивных элементов с их чувственными образами, например, в смешении точек с очень малыми отрезками или кругами очень малых радиусов. Сюда относится ряд софизмов, указываемых Клейном, грубым представителем которых является следующий.

Взяв полуокружность ABC радиуса =1, получим для ее длины значение = п. Построим на ее радиусах как на диаметрах другие две полуокружности АС'B,, B,C,'D.

Для суммы их длин будем иметь значение опять = п. Поступая с этими полуокружностями так, как мы поступали с АСВ, полуокружности диаметров = '/ АС " В/, АС " В В С "В ', В 'С "В, сумма длин которых = я. Продолжая таким образом дальше, доказываем, что длина полуокружности ABC равна длине кривой, образованной полуокружностями, построенными на частях АВ, как бы малы ни были эти части. Но с уменьшением их диаметров кривая эта приближается к прямой АВ, откуда заключаем о равенстве длины АСВ (полуокружности) диаметру, т.е. приходим к явно абсурдному результату.

Конечно, ошибка кроется в утверждении, что предел исследуемой, составленной из полуокружностей, кривой равен АВ, которое предполагает отождествление полуокружностей бесконечно

малых радиусов с их диаметрами,  

бесконечно малыми отрезками А      с      в      С,     d в

АВ. Это ошибка не чистой интуиции, а грубого чувственного образа, ибо чистая интуиция при указанной выше операции приводит нас всегда от полуокружностей к полуокружностям, никогда не делая скачка к отрезку.

Однако чувственный образ, например тот, который мы получаем, вычерчивая упомянутые полуокружности чернилами, после некоторого числа операций дает уже не полуокружность, а маленькое чернильное пятно, т.е. тот образ, который отвечает бесконечно малому отрезку АВ.

Такой же источник имеет тот неправильный взгляд, который рассматривает прямую состоящей из точек. Как бы мы ни делили прямую, мы никогда не получим точек. Прямая является только носителем точек. Она неизменно и однозначно связана с непрерывным рядом точек или пунктуа-лом, ей принадлежащим.

Если дан пунктуал, то дана и прямая, и если дана прямая, то вместе с тем дан и пунктуал.

Определить, в чем состоит эта "принадлежность" в логических терминах, конечно, невозможно.

53


Такого же рода заблуждение - отождествление отрезка прямой с прямоугольником бесконечно малого основания.

В младенческую эпоху исчисления бесконечно малых эти ошибки выступают у Кавальери в его "исчислении неделимых". Криволинейная трапеция бесконечно близкими прямыми 11ОУ разбивается им на "неделимые", на бесконечно малые криволинейные трапеции, при вычислении предела суммы которых он совершенно правильно заменяет их входящими прямоугольниками. Но последние он уже совершенно неправильно отождествляет с отрезками прямых I i ОУ и считает за определение суммы неделимых подсчет этих отрезков.

Этого рода ошибки чаще всего встречаются в рассуждениях филосо-<|юв-нематематиков, менее привыкших к чистой геометрической интуиции.

Интересным психологическим исследованием является исследование тех математических ошибок, которые происходят при самом процессе мышления. Такие математические ошибки [есть] не что иное, как погрешности памяти или внимания.

Вот схема математических ошибок довольно общего типа.

Объекту А приписывается признак а: означим это положение через (А, а). Внимание отвлекается от А к В, затем В приписывается признак р, отвлекаются от В к С, вспоминают (В, (3). Ошибка состоит в том, что вместо (В, Р) берут (В, а).

Но под этот тип еще не подходят все математические ошибки. В ошибках доказательств мы имеем следующий факт: посылка (А, а) заменяется другой, (А, J3), где р не приписывался еще ни одному объекту, но по своему сходству или по смежности может легко смешаться в памяти с а. Наиболее частой и трудно избегаемой ошибкой является та, при которой р представляет более общий случай, чем а. Положение (А, р) сперва утверждается при некоторых, часто только подразумеваемых условиях. Об этом в дальнейшем ходе доказательства совершенно забывается и положение (А, р) берется во всей его общности.

Я говорю, что эти ошибки в математике весьма часты и трудно избегаемы, так как, если бы математик всякий раз упоминал об ограничениях, которые должны подразумеваться, он сделался бы слишком скучным, и, утруждая внимание отклонениями от основной темы, мог бы проиграть в ясности. Так, математики говорят в нескольких главах о функциях, подразумевая их непрерывными, хотя об этом ограничении упоминается только на первой странице первой главы. О том, что функция принадлежит к типу аналитических функций иногда не говорят совсем, считая такое предположение вполне естественным.

Ясно, что предпринимающий дальнейшие исследования читатель может совершенно забыть об этих ограничениях, в особенности, если применение положений, годных только при этих ограничениях, не только ие приво-

54


лит его ни к каким противоречиям, но далее открывает новое широкое поле исследований.

К этим типам математических ошибок следует присоединить еще третий: ошибки в обозначениях.

Какой-нибудь объект А обозначается знаком о, другой В знаком Ь. Если между а и b есть сходство, то память может спутать и отнести ЬкАа а к В. Причина смешения может быть в восприятии: один знак можно принять за другой. Можно, например, греческую букву а, принять за латинское д. В то время как указанные выше два типа ошибок представляют [собой] ошибки памяти, ошибки последнего типа во второй своей форме представляют [собой] уже ошибки внимания.

Все эти психологические исследования относятся к тому пути, по которому движется мысль в поисках логических связей между различными положениями.

Но возможно другого рода исследование. Возможно сделать сами узлы логической сети, сами положения предметом психологического исследования. То, что делает возможным доказательство в смысле убеждаемости в той или другой истине, это психологический факт очевидности некоторых положений,

При этом эти положения обладают различной степенью очевидности. Так, геометрические аксиомы менее очевидны, чем чисто логические, и среди геометрических аксиом есть более и менее очевидные.

В высокой степени интересным является то, что устранение движения как средства доказательства конгруэнтности приводит к включению в систему аксиом положений, обладающих весьма невысокой степенью очевидности в сравнении с другими аксиомами той же системы.

Так, в системе аксиом Гильберта находится в качестве аксиомы положение о конгруэнтности треугольников, имеющих равные углы и прилежащие стороны. Бесспорным является независимость психологических свойств аксиом от логических [свойств]. Существуют положения очевидные, например, равенство прямых углов, которые могут быть доказаны в том смысле, что они могут быть связаны с системой очевидных положений, принятых за аксиомы. С другой стороны, те положения, которые обладают пониженной степенью очевидности, как, например, знаменитая 11-я Аксиома Евклида, являются независимыми от более очевидных аксиом.

Но довольно о психологии математики. Психологии предстоит довольно завоеваний в математике, если даже ограничиться только вышеизложенным. Посмотрим, каковы завоевания математики в психологии. Скажем несколько слов о математической психологии. Прежде всего коснемся психофизических формул. Это еще не математическая психология.

Это скорее преддверие ее. Психофизически формула связует не психологические элементы между собой, а психологические элементы со связанными с ними определенным образом физическими элементами.

55


Первая психофизическая проблема была поставлена математиками XVIII столетия в связи с задачей о безобидности игр.

Ограничиваясь для простоты случаем двух игроков, мы будем иметь следующее условие безобидности игры:

Если а, Ь ставки игроков, р, q их вероятности проиграть партии, то необходимо иметь

а     р

~ь-~ или aqpbp= 0

Называя aq + (-%, т.е. выигрыш, умноженный на вероятность выигрыша плюс проигрыш со знаком минус, умноженный на вероятность проигрыша математическим ожиданием игрока, можно сформулировать условия безобидности игры еще следующим образом:

Математические ожидания игроков равны нулю.

В частном случае, когда р = q, то а = Ь. Это условие безобидности игр, строго не доказуемое, приводит в большинстве случаев к следствиям, вполне согласным с указаниями здравого смысла.

Но существуют и такие случаи, которые заставляют усомниться в этом основном принципе безобидности игр.

Это те случаи, когда возможный проигрыш одного игрока ничтожен в сравнении с его состоянием, между тем как тот же проигрыш приводит его противника к разорению.

Возьмем богача с состоянием в 1 00О 000 рублей и бедняка с ссстоянием в 10 рублей. Если мы заставим их играть в орлянку со ставкой 10 руб. для каждого, то при равной вероятности для обоих условие безобидности игры будет соблюдено, но вряд ли здравый смысл сочтет такую игру безобидной. По мнению Даниила Бернулли и других, подобная несообразность проистекает от того, что выигрыш и проигрыш оцениваются не числом выигранных или проигранных рублей, а тем нравственным удовлетворением а или неудовлетворением (3, которое мы получаем от выигрыша или проигрыша. Таким образом предложено было ввести в теорию вероятностей некоторый психический элемент, чувство удовольствия или неудовольствия от приобретаемого или теряемого физического имущества. Принцип безобидности игр при этом получает следующую поправку: a, b следует заменить а, р. aq-bp следует заменить <щ-рр, так называемым нравствен-ным ожиданием. Входящие сюда величины а, р следует выразить через а, Ь, т.е. следует решить следующую психофизическую задачу:

В какой зависимости находятся нравственное имущество и отвечающее ему физическое имущество?

Математическая формулировка этой задачи будет следующей:

Обозначая через х физическое имущество, через у нравственное и полагая

у = ф) найти функцию <<р

56


Психологический анализ дает нам некоторые общие свойства функции <р(х))

Наиболее простой и согласной с этими данными является формула, данная Даниилом Бернулли

х

y = klg~, где к, а - постоянные.

Эйлеру принадлежит открытие другого психофизического закона, выражающего зависимость между высотою топа и числом колебаний, ему отвечающим,

На основании психологического опыта, который учит, что мы непосредственно ощущаем только отношение числа колебаний, но не абсолютные их разности, и что одинаковым отношениям чисел колебания отвечают одинаковые абсолютные различия в ощущении, Эйлер выводит логарифмическую зависимость:

У = klk— а

между у - высотой тона их- числом колебаний, ему соответствующим. Вебер установил при помощи психофизиологических измерений аналогичный закон, выражающий зависимость между ощущением давления и тяжестью, ему отвечающей.

Этот закон распространен исследованиями Фехнера на различного рода ощущения: зрительные, звуковые и осязательные. Для всех родов ощущений имеет место закон Вебера-Фехнера:

Ощущение выражается логарифмом раздражения.

Фехнер высказывает мысль о существовании универсального основного психофизическооо закона, обнимающего, как частные случаи, упомянутые законы Даниила Бернулли, Эйлера, Всбера и Фехнера, по которому между физическими и телесными функциями существует логарифмическая зависимость.

Но одна психофизическая формула не может быть источником математической психологии.

Только установив ряд психологических законов, выражаемых математическими формулами, можно получить цепь математических теорем.

Известная математическая психология Гербарта и начинается с установки таких законов. Но эти законы устанавливаются не путем наблюдений или измерений, а с помощью спекулятивных рассуждений, при этом недостаточно убедительных.

Основанием психической статики служит учение о суммах задержек представлений. Гербарт рассматривает представления как объекты, находящиеся во взаимодействии, причем равновесие, к которому последнее приводит, устанавливается путем взаимной задержки интенсивностей у обоих представлений.

57


Простейшим случаем является случай противоположных представлений.

Если из двух представлений А, В напряженностей а, Ь (а>Ь) более слабое В не реагирует на А, стремящееся вытеснить В, тогда А уничтожит В, задержав таким образом Ь из суммы их напряженностей. Но В реагирует на А; сумма задержек, которая должна быть распределена между А, В, т.е. не только В, но и А, должна потерять часть своей напряженности. Задержка должна быть распределена между А и В, при этом на более сильное, в виду большей с ее стороны реакции, должна пасть меньшая часть. Гербарт предполагает, что части, на которые делится задержка, обратно пропорциональны напряженностям представлении, так что из А берутся -^-, из В --• и

а+b а+ь

А остается в сознании с силой

Ъ2 D „   .     ab b2

,айсиштои b--

a + b a + b     a + b

Рассуждения Гербарта, имеющие по внешности математический характер, изложены неясно и неубедительно, в особенности, для читателя-математика. Скачок от факта, что если х>у, то Ф(х)< <р(у) к пропорции х:у = ф(*))ф()0не представляется еще смертельным для его теории. Но гораздо хуже ничуть не оправдываемое опытом и, в сущности говоря, произвольное положение о необходимости задержки = Ь.

Ученики Гербарта заменяли это основное допущение другими

столь же произвольными. По Виттштейну от А задерживается  , от

а2 а+ь

Гораздо более убедительна основная формула психической динамики, или учения о погружении задержки за порог сознания. Гербарт дает формулу для усиления интенсивности представления при его возникновении в сознании, откуда выводится формула забвения.

Гербарт доказывает то, что можно вполне признать за психологический факт: усиление представлено не пропорционально времени, но что оно асимптотически приближается к полной напряженности по следующему закону: бесконечно малое приращение напряжения, отвечающее дифференциалу времени, тем меньше, чем ближе представление к полной его силе, т.е. обратно пропорционально разности между полной напряженностью и напряженностью в данный момент. Это выражается формулой:

(3(a-x)dt=dx.

Уравнение это дает:

-£- = pdt,

откуда, имея в виду, что при

/ = 0... х=0,

58


выводится, что

x = a(-е--1l) Для получения формулы забывания нужно положить а = 0. Начальные же данные: 1 = 0, х = а, где а первоначальная сила представления. В этом случае имеем:

х = аё~П' Может быть, Вас очень удивит, если я вскрою Вам в одной из математи-

^       Т . noJmое1npfBO гражданства, предпосылку

математической психологии или психофизики.

Среди математических дисциплин совершенно особняком стоит теория вероятностей, соединяя строго математический метод с неочевид-ными и не допускающими строго математического обоснования предпо-сылками.

В ее основе лежит определение вероятности . Вероятность определяется как отношение числа благоприятных случаев к числу единственно возможных. Но, во-первых, это определение содержит ложный круг, ибо оно годно только в том случае, когда эти единственно возможные и благоприятные случаи равновозможны, т.е. обладают одинаковой степенью вероятности. А во-вторых, некоторое, может быть и темное понятие о вероятности мы имеем еще до установки этого "математического" определения вероятности, и мы создаем теорию вероятности, именно интересуясь вероятностью как известным понятием, а не числом. Указанное в определении число есть только "мера вероятности".

Вероятность- отношение числа благоприятных случаев к числу единственно возможных - это не определение вероятности, а основная аксиома или, лучше сказать, постулат. Но что такое вероятность? Здесь следует отметить две точки зрения: субъективную и объективную, С первой точки зрения, вероятность это мера нашей веры в появление определенного события. Тогда теория вероятности представляется главой математической психологии.

С объективной точки зрения, вероятность получает смысл только в силу закона больших чисел, состоящего в том, что чем больше произво-дится испытаний, тем отношение числа испытаний, при которых событие имело место, к числу всех испытаний — , ближе к мере вероятности,

v

т.е. отношению числа благоприятных случаев к числу единственно возможных       .

_тот закон не доказывается математически, он дается опытом или выводится как кледствие из стремления природы к разнообразию. Именно волько благодаря ему и получаен теприр вероятностей объективный смысль В популярные книжках по теории вероятностей этоо закон часто смешивается с теоремой Якова Бернулли и изучающему кажетсяо нто ма-

59


тематика может чудесным образом из вышеприведенного определения вероятности логическим путем выудить законы мироздания.

Теорема Бернулли вовсе не доказывает этот закон, а только ука-

вероятности, ц      m между двумя дробями — и — меньше заданного числа.

Но в силу закона больших чисел исчисление вероятностей имеет безусловно объективное значение, если мы имеем в виду заключение относительно частоты повторяемости события при большом числе испытаний.

Какое объективное значение может иметь исчисление вероятности одного события? Данное опытом мы всегда мыслим в категории причинности. Если актуальной причины мы не в состоянии усмотреть и событие относится только вследствие нашего незнания к типу случайных, то, тем не менее, мы мыслим его вероятность, т.е. как его причину мы ищем основания его существования в совокупности не действительных, но возможных событий.

Так как при отсутствии благоприятных случаев такую "причин}'" следовало бы гшинять равной нулю а при всех возможных случаях бла-гоприятствующих событию - бесконечности, то правильнее было бы называть объективной вероятностью не число —,    отношение числа бла-

n1 m

гоприятиых случаев к числу единственно возможных, а   отноше-

n-~

ние числа благоприятных случаев к числу неблагоприятных.

гТп fiTKVjn iwi»t MfiWEM RWRGPTu *tv ттпт-f nnvrvwi iwGnv TTTIif ППТ^РКТИВНОИ

вероятности? Из аикош) больших чисел это не выуодится ибо он ничего не говорит относительно единичногчиспытания. Остается ,олько ннихологи-ческий опыт. Этот последнич дает субъективную вероятность, о для оправдания меры объективной вероятности следует сделать переход от первой ко второй Пои этом н силу психофизического закона пельхя считать ий равными они иолжны быть связаны логаошЬмической зависимостью

Если оценить объективную вероятность —-—, то субъективная

fivnpxH, ^JB_    up   m —   m

оудетне и не   -—,  а

m

klg  , (*)

*   (n-m)а      '

где а - то малое значение  , при котором у нас не остается никакой

_     n-m веры в наступление события.

Если психологический анализ дает формулу (*) для субъективной

вероятности (*), то объективная оказывается пропорциональной -^-.

Психологический анализ не может доказать формулы (*), но он указьма-

60


ет, как в случае, формулы Даниила Бернулли, ряд свойств для этой функции вполне, согласных с теми, которые указываются этой формулой.

хак как

klg

k m    к2   т2

= +—: +...

а|1

а п    2а2 п2

m то при к = а дробь — будет первым приближением для субъективной вероятности.

Литература к лекции III

На русском языке:

  1.  Обреимов. Софизмы. Изд. Павлеигова.
  2.  Д. Мордухай-Болтовской. Психология математического мышления. Вопросы философии и психологии за 1908.
  3.  Буняковский. Теория вероятностей.
  4.  Гербарт. Психология.
  5.  Вундт. Душа человека и животных.

6) Вундт. Физиологическая психология, Москва. 1880-81.
На французском языке:

  1.  Delboeuf. Elements de psychophisique. Paris.Germer-Bailliere. 1883.
  2.  Klein. Conferences. На немецком языке:

  1.  Fechner. Psychophysik. Leipzig. Breiftoff.1889.
  2.  Drobich. Mathematische Psychologie.

Лекция IV. Метафизика и Математика.

В двух областях знания выступает идея бесконечности. В той, которая в силу особой строгости своих рассуждений считается образцом науки и в той где полет фантазии часто становится на место тщетно стремящегося к наиболее близкому сердцу мыслящего человечества неизвестному.

В математике мы говорим о бесконечно большом и бесконечно малом. В метафизике проблема актуальной бесконечности - это тот фокус, к которому сходятся лучи умозрения. На бесконечность можно взглянуть с двух сторон. Прежде всего со стороны конечного, рассматривая тог процесс постоянного возрастания, который ведет нас к бесконечности, никогда не приводя к последней, но известным образом ее характеризуя. Можно рассматривать бесконечное в становлении, количество способное расти выше всякого предела, про которое можно сказать словами Пуанкаре, что оно, перейдет все границы, но нельзя сказать, что оно их уже перешло', Одним словом, можно изучать бесконечно большие и вместе с тем бесконечно малые величины, и математика дает нам и беско-

61


иечно большие и бесконечно малые в анализе, т.е. в исчислении бесконечно малых.

Но на бесконечность можно взглянуть с противоположной стороны. Можно изучать ее, так сказать, на самом месте, глядя из бесконечности в конечное и изучая его сравнением с последним. Это изучение актуальной бесконечности, бесконечности, уже перешедшей через все границы.

Под анализом разумеют дробление целого на части для его изучения. Трудно познать целое непосредственно: необходимо предварительное разложение его на части более простые и более доступные для изучения, чем это целое. В этом смысле употребляется термин: „химический анализ". Неизвестное сложное вещество для изучения разлагается на простейшие элементы.

В математическом анализе величина дробится на бесконечно малые элементы, кривая - на бесконечно малые дуги, площадь - на бесконечно малые площади.

Синтез состоит тогда в соединении элементов в целое. В математическом анализе при определении величины целого за анализом всегда следует синтез, целое дробится на малые части, определяются выражения для последних, после чего остается суммировать эти части, что достигается синтезом.

В исчислении бесконечно малых имеет место, как синтез, так и анализ, ио первым всегда является анализ и там лежит центр тяжести всего метода, почему исчисление бесконечно малых и получило название „Анализа".

Метод исчисления бесконечно малых скрытым образом содержится в главе элементарной геометрии „Измерение площади круга".

Для определения этой последней, мы вписываем в круг правильный многоугольник и, удваивая число сторон последнего, получаем бесконечный ряд:

s(, sB, S24, S4g...

площадей таким образом получаемых многоугольников.

предел членов этого ряда и Оудет [являться] площадью круга

.^дел  .л.„и» «шо Нлда «, будах L»,«i«*j "™W^-.

Каждаяг вдi площадей представляется суммой площадей р„ р,... тре
угольников Осф, Оуб... на которые с помощью радиусов, проведенных от
вершин многоугольника к центру круга, можно
 р

разделить его. -  «*—г

Представим эту методу в такой форме, чтобы резко выступали моменты анализа и синтеза.

1) Разделив окружность на бесконечно великое число частей и соединяя точки деления с центром, круг делится на бесконечно малые секторы.

Можно написать, что S (площадь круга) равна сумме этих секторов и.

62


или, что тоже, 8=111112(7!, ибо ^CTi приуменьшении af не меняется.

Круг разбили на сектора, но непосредственное суммирование секторов является невозможным. Необходимо найти такую сумму £р;, чтобы предел £Р, равнялся 5>, и чтобы в то время, как £>; непосредственно иайти невозможно, Hm^р| легко находился бы.

2) Таким образом изыскивают такие |i, чтоиmЗД =lim£a, . Это операция дифференциального исчисления. По основной лемме

lim£p\=lunE0.

r если Р., а. эквивалентные бесконечно малые т.е. такие, что lim—=1.

В настоящем случае эквивалентны бесконечно малый сектор и вписанный в него треугольник.

Можно доказать, что площадь круга можно рассматривать ие только как предел площадей вписанных или описанных многоугольников при удвоении числа сторон, но вообще как предел безразлично правильных или неправильных многоугольников при увеличения числа сторон и при уменьшении этих последних. Последнее выражение следует понимать следующим образом:

От многоугольника со сторонами: aa> aci) a()

переходим к многоугольнику со сторонами

причем, во-первых n(2) > п(1\ во-вторых наибольшая из величин

величины    из

а|1)...а(1)(2)наибольшей   величины    из    а,, а^,..,,а(% .    От

a('\a<2)...a(^ переходимка[3>,а53>...а0(,3),гдеn(3))п3))- а(3)(2) ит.д. Можно сказать, что площадь круга рассматривается, как предел бесконечно великого числа бесконечно малых.

Если ciJ площадь секторов Оац|3, то за р. можно принять площади треугольников Ооф,

3) Остается произвести синтез. Найти

liM£pl. Это операция интегрального исчисления.

63


По идее Кавальери, задачу об определении площади, ограниченной одной или несколькими кривыми, стараются свести к определению площади так называемой криволинейной трапеции, т.е. площади ACDB, ограниченной

  1.  другой кривой CD: у y=f(x)
  2.  осью ОХ

3) двумя прямыми АС и BD 11 OY
на расстояниях х=а и х=Ь

ACDB делят на элементы ст( =аРу5(,

разделив АВ на равные части и проведя из 0 .

точек деления прямые ау, (35 L ОХ.

Тогда площадь криволинейной трапеции

Если мы из точек С... у ... D проведем прямые, параллельные ОХ, то получим ряд сходящих и выходящих прямоугольников, площади которых обозначим через c^hoJ".

Но ст; =ар- h^ а; h~, обозначая через fa. высоту входящего, а

через п; выходящего прямоугольник!,

а, _ ь.

и в пределе, когда число делений АВ бесконечно велико lim-L = 1, откуда

ZL

следует эквивалентность а; иа;.

Но а,<а£^

а^     CTj откуда будет следовать также и

liin—=1иНтДг=1 т.е. <7иС|,сис; эквиваленты. Можно написать

или S=limY'cri

64


т.е. можно рассматривать S, как предел суммы площадей, входящих или выходящих прямоугольников. Вводя символ определенного интеграла

ff(x)dx=lim|V)(*i-XH)

■л j=l

можно написать, формулу

ь S=Jf(x)dx

а

Следует подчеркнуть, что идея интегрального исчисления гораздо шире, чем то ее частное осуществление, которое мы имеем в теории пределов этого типа сумм.

Не только само понятие интеграла, но и целый ряд теорем, относящихся к основам интегрального исчисления, могут быть рассматриваемы, как

частные случаи более общих. Если интегральное исчисление выбирает ту сум-

ь му, предел которой представляет Jf(x)dx, то вычисление этого предела при-

а

водится к решению задачи, обратной задаче дифференциального исчисления, т.е. к нахождению функции по ее производной.

От анализа переходим к теории множеств. Каким образом изучаются бесконечные множества? Прежде всего следует заметить, что возможно изучать только такие [множества], для которых можно найти всю совокупность признаков, их вполне определяющих.

Всякое множество задается генетически, т.е. дается способ образования этого множества. Так как множества могут изучаться только с помощью сравнения, исследованием общих и необщих элементов, то для изучаемых множеств выставляется еще другое условие. Множество должно быть таково, что всегда имеется средство определить, принадлежит ли ему дан-ное число или нет. Такое множество называется определенным. Исследуются только определенные множества.

Логическим определением равенства двух конечных целых чисел является однозначное соответствие между единицами. Это свойство может иметь место и для бесконечных множеств. Эквивалентностью (понятием, соответствующим равенству двух конечных множеств) будет однозначное соответствие между элементами этих множеств (т.е. каждому элементу одного множества отвечает один и только один другого и обратно).

Характерное свойство бесконечного множества состоит в том, что оно эквивалентно своей части.

Возьмем для примера бесконечный ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4... л...

65


Ряд 2, 3, 4.... будет составлять его часть. Но эквивалентность обоих множеств очевидна, ибо возможно установить следующее соответствие между элементами

(1.2), (2.3), (3.4)...(ям +1). Для конечных же множеств, без сомнения, свойство это не может иметь место.

Это характерное свойство обыкновенно и служит математическим определением бесконечного множества.

Среди множеств особенное значение имеют так называемые счетные множества. Эти множества эквивалентны ряду натуральных чисел:

I, 2, 3... «,

множества, элементы которых могут быть подвергнуты нумеровке, могут быть представлены в форме бесконечного ряда

Такое множество представляет'из'себя совокупность всех рациональных чисел. Чтобы убедиться в том, что рациональные дроби могут быть в действительности пронумерованы, следует только посмотреть следующую табличку:

В этой сетке каждый квадратик отвечает дроби, знаменатель которой - номер строки, а числитель - номер столбца.

i

2

3

А

1

1

3

6

10

2

2

5

!)

3

4

8

А

7

Легко убедиться также, что совокупность всех алгебраических чисел, т.е. чисел, определяемых уравнением:2

айх,11х"-, +...ап_1 х + ал=0, где а целые числа, представляет счетное множество.

Этот факт имеет огромное значение в математике, ибо дает возможность простейшим путем доказать существование бесконечного множества трансцендентных чисел.

молено

и.

Для этого следует только заметить, что, когда дается бесконечный ряд вещественных чисел и,, и2, и3 ,.., то между каждой парой из этих чисел ии вставить бесконечное множество чисел.

Располагая в подобный ряд алгебраические числа, что возможно, так как эти числа образуют счетное множество, мы можем найти бесконечное множество чисел не алгебраических, т.е. трансцендентных. Можно получаемый таким образом результат выразить (правда, в грубой и не строгой форме) так: число всевозможных вещественных чисел в бесконечно раз больше числа алгебраических чисел.

Таким образом уже, так сказать, в первой главе теории множеств устанавливается два типа множеств:

66


Счетное - таково, например, множество, образуемое всей совокупностью алгебраических чисел.

Continuum - совокупность всех чисел, причем молено считать эквивалентной ему совокупность всех вещественных чисел в конечном промежутке (0, 1).

Предположим, что вселенная бескойечна. Мы получим тогда космологический пример: звезды будут представлять счетное множество, а точки мирового пространства continuum.

Рассмотрим теперь так называемое линейное множество, элементы которого могут быть представлены бесконечным множеством точек прямой. Сгущение этих точек в различных местах будет различно.

Точкой сгущения, или предельной точкой, будет такая, около которой будет бесконечное число точек множества. Исследование множества по точкам сгущения дает прежде всего понятие производнооо множества, образованного из точек сгущения, и затем понятия о замкнутом и о совершенном множествах. Замкнутое - это [множество], которое содержит свою производную, совершенное [множество] ему тождественно.

Простейшим (первого порядка) будет то множество, для которого нет точек сгущения, т.е. Р'=0.

Затем следует простейшее (простейшие второго порядка) то, для

которого Р"=0 и т.д.

Совокупность элементов, общих двум множествам Р, Q образует наименьший делитель D(P,Q) этих двух множеств. Нетрудно видеть, что производное множество всегда замкнутое, так что

D(P',P") = P" D(P",P'")=P'" ит.д.

вообще p(")=D(P',P"...P{tl)...) Среди множеств существуют и такие что ряд производных может быть бесконечно продолжен. Изучение этого рода множеств и приводит к трансфинитным числам, к установке теории бесконечных чисел, различающихся между собой, как числа конечные и подвергающиеся некоторым операциям, соответствующим тем, которые производятся над конечными числами. Для этих множеств

D(P',P"...P(")...) т.е. общий наибольший делитель бесконечного ряда производных можно рассматривать как производную бесконечного порядка

рМ Каждое из конечных чисел: 1, 2, 3... л, служивших значками Р, можно получить из 1 последовательным прибавлением 1 или с помощью, так называемого, первого принципа образования.

67


Производное множество может служить также средством различения множеств с Р (м) отличным от 0.

Возьмем последовательные производные от P<оо>: Pоо'Pоо"... Может случиться, что один из членов этого рода нуль, но может случиться, что это не имеет места.

Тогда рассматриваем

oo)co = D(Poo';Poo",..) Уже здесь мы видим необходимость обобщения числа, в рассмотрении бесконечных чисел, различных между собой, отвечающих Poo, Poo', Роо" и т.д., из которых первое можно обозначить символом са, а другие, получаемые с помощью опять первого принципа: ш+1, ou+2, <м+3...

(Роо)оо будет отвечать ш+ш=2со. Переход от конечных чисел к СО й от со к 2ш производится не в силу первого принципа а совершая, так сказать, скачок (через бесконечность) - в силу второго принципе. В то время как первый принцип дает число, которому предшествует определенное число, второй принцип дает число, предшествующее которому нельзя указать.

Так fi) больше всех конечных чисел, а из конечных чисел нельзя указать наибольшее.

Совершенно     таким     же     образом     строятся     числа

2и,3й),4(в....пш...т2ссо2+йй)...пйсйт+...пт_1сй+пт„..сйш"...и    т.д.     все

трансфинитиые числа, получаемые первым и вторым принципом, образующие 1-ый класс трансфинитных чисел.

От трансфинитных чисел 1-го класса нетрудно перейти к трансфинитным числам 2-го класса. Первое из них будет число отвечающее Р(D>, общему наибольшему делителю всех Р, отвечающих транс финитным числам 1-го класса. Получается оно с помощью Ш-го принципа и т.д.

Мы видим теперь, каким образом изучение множества приводит нас к актуально-бесконечному числу.

Совершенно в тагом же отношении, в каком находится метагео-метрия к гносеологическим предпосылкам, утверждаемым полным или частичным эмпиризмом, теория траисфинитных чисел находится к учению об актуальной бесконечности. Мы должны повторить, что, если было бы строго доказано, что актуальной бесконечности нет, что мир не бесконечен, что время не бесконечно и т.д., учение о трансфинитных числах ничуть не было бы поколеблено, если только ряд постулатов, лежащих в его основе, представляет систему совместимых положений.

Теория комплексных чисел не приводит к противоречию и представляет один из наиболее плодотворных отделов математического анализа, хотя комплексное число не имеет реального субстрата.

68


Но изучающему современное учение о математической бесконечности, конечно, трудно удержать свою мысль от полета из области чистой математики в область метафизики. Бесконечность имеет две стороны, одна обращена к математику, другая к философу и, конечно, философски настроенный математик пожелает осмотреть этот предмет со всех сторон.

Спор о реальном существовании актуальной бесконечности - это довольно старый метафизический спор.

Проблема, существует ли бесконечное число или бесконечное пространство, имеет, конечно, огромное космологическое значение, ибо представляется, что решение этой проблемы в отрицательном смысле приводит к необходимости признания конечности вселенной. Самым сильным аргументом против бесконечности вселенной в пространстве и во времени издавна считались неразрешимые парадоксы бесконечности. Невозможность существования актуального бесконечного числа доказывают вскрытием противоречий, якобы в нем заключающихся, таким образом посягают не только иа реальное, но и на математическое, или логическое, существование бесконечности.

Финитисты (т.е. защитники существования исключительно конечных величин) указывают на то, что ю одновременно представляет ряд абсурдных свойств, оно [есть] куб, квадрат и половина самого себя - оно поэтому оказывается больше или меньше самое себя.

Но легко видеть, что подобные возражения отпадают, если вспомнить, что они основываются на тех свойствах, которые присущи только конечным числам. Квадрат целого числа а1 больше самого а, это верно для а=2, 3, 4... и ничто нас не обязывает признать это верным для а=°о.

Все доводы, за невозможность существования бесконечного числа, - говорит Кантор, - неверны, вследствие того, что они приписывают наперед бесконечному числу все свойства конечных чисел, что представляет уже противоречие, так как если бесконечное число существует, то только при условии обладания свойствами иными, чем конечные числа. Оно должно составлять род нового числа в противоположность конечному. Вводя в математику бесконечные актуальные числа, мы, конечно, должны признать неравные бесконечности, хотя бесконечность и означается одним символом 00.

Мерсенн возражает против существования бесконечной линии на том основании, что она должна была бы содержать бесконечное число аршин и саженей, причем сажень в три раза больше аршина, откуда следовало бы, что одна бесконечность больше другой, чего, говорит Мерсенн, быть ие может. Что бесконечности все должны быть равны, Мерсенн и другие выводят из того, что так как бесконечное число наибольшее из всех чисел, то может быть только одно бесконечное число.

69


Но упомянутая выше теория трансфинитных чисел Кантора совершенно иначе смотрит на бесконечное число.

Трансфинитное число со вовсе не наибольшее и не последнее из чисел конечных, наоборот, первое среди чисел бесконечных.

Совершенно верно указывает Кутюра на то, что все аргументы, направленные в продолжение нескольких веков против возможности бесконечного зиждятся на следующих двух ошибочных принципах:

  1.  Число бесконечное - наибольшее из всех чисел;
  2.  Все бесконечные числа равны.

Ошибочность второго принципа сознавал Лейбниц, первого - Кант.

Опровергнуть возражения против актуального бесконечного числа еще ие значит доказать реальность этого числа. Это не значит, что этим доказана возможность существования трансфинитного числа небесных тел. Кантор расширяет область вещественных целых чисел, пополняя конечные числа, которым присущи некоторые свойства, например, что целое больше части, другими числами, которым не присуще уже это свойство, которые определяются меньшим числом независимых постулатов. Упомянутые выше опровержения доказывают только то, что эти последние не находятся между собой в противоречии. Но то же можно сделать и для комплексных чисел, но, конечно, было бы опрометчиво выводить отсюда существование совокупности предметов, определяемых комплексным числом.

Судьба трансфинитных чисел вовсе ие находится в зависимости от решения, к которому прейдет метафизика относительно актуального бесконечного числа. Трансфинитное число осталось бы в математике даже в том случае, если бы удалось чудом найти строго математическое доказательство невозможности реальной бесконечности или если бы был вполне строго доказан закон Дюринга: закон определенной численности. По этому закону, число событий, проистекших по настоящей момент - число определенное и ограниченное, несмотря на то, что позади нас лежит целая вечность. Точно так же, число мировых тел в пространстве в данный момент [есть] число определенное и конечное, хотя пространство безгранично. Из этого закона Дюринг выводит, что мировой процесс должен иметь абсолютное начало во времени.

Возражения против существования бесконечно большой величины, например, бесконечно большого пространства или времени, обыкновенно основываются на невозможности актуального бесконечного числа, на невозможности бесконечного числа кубических саженей и бесконечного числа лет. При этом предполагается, что всякая величина, как конечная так и бесконечная, характеризуется числом. Но возможна и такая точка зрения, и ее весьма основательно защищает Мильхауд, по которой бесконечной величине нет соответствующего числа. Державин в оде "Бог", находит весьма удачный эпитет бесконечному Богу, говоря, что в нем „числа и меры" нет. Не равенство целого части является характерным признаком беско-70


нечной величины, а именно ее неизмеряемость, невозможность определения ее числом.

Существуют и непосредственные выступления против бесконечности, носящие метафизический и гносеологический характер. Следует заметить, что в доказательствах гносеологического типа уже с самого начала обсуждения вопроса о том, существует ли идея бесконечности в нашем уме или нет, противники бесконечности выставляют против себя смертельный аргумент.

Могут ли они говорить о бесконечности, о том существует ли она в нашем разуме или нет, если по их мнению, они не имеют никакой идеи о бесконечности?

В гносеологических возражениях все вертится на том, что единственный путь, могущий привести нас к идее бесконечности - это процесс постоянного возрастания.

Идея о бесконечном может получится только через прибавление к пространству, занимаемому нашей солнечной системой, такого же пространства и т.д. Но этим дается только никогда не прекращающийся процесс, и предположение актуальной бесконечности является невозможным, так как влечет за собой предположение законченности этого процесса.

Но бесконечность постигается вне этого процесса.

Вот что говорит Гегель о бесконечности. Рассудок, размышляя вообще о бесконечности, держится по преимуществу количественного бесконечного процесса. Но эта форма процесса выражает собой не истинную, а дурную бесконечность, которая не превышает понятия „долженствования" и постоянно остается в сфере конечного.

Спиноза называет эту бесконечность мнимой. Поэты, например Гал-лер и Клопшток, нередко пользовались этим представлением, чтобы наглядно изобразить бесконечность природы и самого Бога.

У Галлера мы встречаем знаменитое описание бесконечности Бога, где он говорит: „Я слагаю огромные числа, целые горы миллионов, я нагромождаю время на время и миры на миры, и когда, с этой страшной высоты, отуманенный, я снова возвращаюсь к Тебе, это громадное число умноженное в тысячу раз, не составляет части Тебя". К этому описанию дурной бесконечности Галлер прибавляет прекрасное заключение; „Я откидываю все эти числа и Ты весь передо мной" и в самом деле, истинное бесконечное лежит только за пределами конечного и чтобы привести его к сознанию, необходимо оставить бесконечный процесс.

Возражают, что идея бесконечности предполагала бы бесконечный разум. Но в таком наивном возражении на разум смотрят как на какую-то урну, которая для вмещения бесконечного числа шаров сама должна быть бесконечной.

Помощь актуальной бесконечности идет оттуда, откуда, казалось бы, менее всего ее можно было бы ожидать.

71


Космология, вырастающая из точного естествознания, имеющая свои корни в астрономии, возвышает свой голос за бесконечность вселенной во времени и в пространстве.

Спор о бесконечности вселенной ведется главным образом на логической и гносеологической почве; аргументы те, о которых мы говорили уже выше - решение проблемы о бесконечности вселенной в положительном или отрицательном смысле, становится в зависимость от того, признается ли актуальная бесконечность свободной от противоречия, познаваема она или нет.

Но против бесконечности вселенной существуют возражения, так сказать, чисто астрономического характера. Упомянем одно из них. Еще в 1826 году знаменитый астроном Ольберс сделал следующее замечание: „Если число тел Вселенной, испускающих тепло и свет бесконечно, то каждая точка пространства должна получить бесконечное число световых и тепловых лучей, и, поэтому, должно быть бесконечно [много] тепла и света". Отсюда делается вывод, что число звезд не бесконечно велико, а конечно. Но при этом остается и другой выход, именно: предположение о поглощаемости световых и тепловых лучей межзвездным пространством.

Кант в споре о бесконечности вселенной занимает, так сказать, нейтральную позицию. Он считает, что два положения:

а) вселенная имеет начало во времени и границы в пространстве и

б) вселенная безначальна и безгранична в пространстве, - пред
ставляют так называемые антиномии.

Как первое положение (тезис), так и второе (антитезис) могут быть с равным успехом доказаны в предположении, что мировое целое, т.е. полный ряд явлений, в нем дан. Но как то, так и другое положение должны быть в действительности отвергнуты, поскольку мир сам по себе не существует. Мир, каков он во времени и в пространстве, - это только наше представление; мир как он [существует] в себе, (вещь в себе) недоступен нашему восприятию.

Мир во времени и в пространстве, это только ряд последовательных обзоров явлений. Часть вселенной в пределах нашей солнечной системы - это тоже только продолжение ряда восприятий. Говорить о бесконечном мире, значит признавать возможность беспредельного продолжения того же ряда восприятий.

Говорить о конечном мире, значит указывать границы этому ряду.

Мы не будем исследовать кантовское разрешение антиномий. По нашему мнению, ни тезис, ни антитезис не являются доказанными. Тезис доказывается логически. Кант основывается на невозможности актуального бесконечного числа. Об этого рода доказательствах мы уже говорили.

Но антитезис доказывается отнюдь не чисто логическим путем, а с помощью гносеологических исследований, т.е. учения о субъективности времени и пространства.

72


Литература к лекции IV

На русском языке:

  1.  Больцано. Парадоксы бесконечного. "Матезис". Одесса.
  2.  Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Перев. Шатунов-ского. "Матезис". Одесса. 1909.
  3.  Васильев. Введение в анализ.

4) Жегалкин. Трансфинитивные числа. Москва. 1907.
На французском языке:

i) Carnot. Reflexions sur la methaphisique du calcul infinitesimal. Paris. Gauthier Villars. 1881.

  1.  Cauchy, Sept lecons de physique generale.
  2.  Conturat. Uinfini mathematique (богатая библиография).
  3.  Evellin. Infinic etquantite. Gernier Baillere. 1880.
  4.  Borel. Theorie des fonctions. Paris. Gauthier Villars. 1898. На немецком языке:

  1.  Cohn. Geschichte des Unendlichkeitsproblems. Leipzig. Engehnaiin. 1896.
  2.  H. Cohen. Das princip der Infinitesimal-Methode und seineGeschichte. Berlin. 1883. (богатая библиография).
  3.  Du Bois-Reymond. Allgemeine Functionen theorie.
  4.  G. Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigskeitslehre (einmatheniatisch-philosophischer dersuch in derLeh're des Unendlichen). Leipzig. Teubner. 1883. См. также его статьи в Mathematische Annalen t. V, XV, XVIL XX, XXI, Journal de Crelle: t. LXXXVII, LXXXIV, Acta Mathematics t.VII.
  5.  Geissler. Die Grundsatze und das Wesen des Unendlichen in der Mathematikund Philosophie. Leipzig. Teubner. 1902.
  6.  


Психология математического мышления.

Введение.

Современная эмпирическая психология, идя по пути других эмпирических наук, кропотливо собирает факты, чтобы не иначе, как опираясь на них, получить общие выводы, относящиеся к различным явлениям психической жизни. При этом очевидно, какое значение должны иметь для психологии всевозможные монографии, относящиеся к различным, порой весьма специального характера, явлениям.

Эти монографии являются часто драгоценными хранилищами фактических данных. Но этим не ограничивается их значение для более общего характера вопросов психологии.

Изучая какую-либо специальную душевную способность, например, талант художника или поэта, мы встречаемся с более яркими и более дифференцированными проявлениями различных психических способностей, чем те, которые мы можем заметить, наблюдая психическую жизнь с более общих точек зрения. Изучая, например, фантазии поэта, мы, правда, изучаем фантазии со специальной окраской, но бесспорно, что в этом изучении мы черпаем и более глубокие познания о фантазии вообще, так как поэзия - это именно та область, где эта способность является в наибольшем своем блеске.

Во французской психологической литературе мы находим отдельные психологии специальных способностей: Внимания, Памяти, Страсти (Рибо), Смеха, Трусости (Дюгас), Радости и Грусти (Дюма) и т.д., затем психологии различных профессий: музыканта (Дорьяко), художника (Ар-реа)ит.д.

Нам представляется не лишенной интереса и значения и психология ученых разного рода, среди которых особенного внимания заслуживает психология математика и главным образом не психология характера, а психология мышления.

В виду совершенно специфического характера математического мышления и математического таланта, такого рода монография была бы в особенности интересна.

Чем ум математика отличается от ума другого ученого? Может ли всякий даровитый ученый стать хорошим математиком? Может ли способность к математике считаться мерилом ума?

Тот факт, что такие светила, как Гете и Дарвин, сознавались в полной своей неспособности к математике, указывает на то, что способность к математика не всегда присуща даже гениальным людям, что между мате-

74


магическим умом и нематематическим есть существенная разница, исследование которой представляет большой интерес для психологии.

Предлагаемый нами краткий труд на эту тему отнюдь не представляет собой работы вполне в духе французской психологической школы. Мы не имеем возможности собрать достаточно фактов. В то время, как поэты и художники о себе пишут много и порой даже слишком много, математики при своей объективности в противоположность субъективности поэтов, говорят о себе очень мало, а чаще даже совсем не говорят.

От недостатка фактических данных, а равным образом от того, что исследуемая область заключается в области на наш взгляд еще мало исследованной, а именно в психологии мышления, выводы наши могут местами показаться несколько смелыми и значительно выходящими за рамки намеченной нами темы.

Мы позволяем себе назвать психологию мышления малоисследованной, несмотря на широко развитую теорию ассоциаций, так как последняя, по нашему мнению, скорее относится к свободному течению представлений, к мышлению образами, но не к отвлеченному мышлению понятиями математика, и едва ли она дает разгадку тому, каким образом математик может с большей или меньшей скоростью и с большей или меньшей удачей вызывать в мысли длинную цепь умозаключений, ведущих его к намеченной цели. Нам кажется, что при всех этих недостатках предлагаемая в настоящей статье попытка может иметь некоторое-значение главным образом потому, что она написана специалистом-математиком. На месте фактов, собранных от многих лиц, у нас стоит самонаблюдение, которое, конечно мы не претендуем считать равносильным тем богатым фактическим материалам, которые даются в вышеупомянутых французских монографиях. Мы льстили себя надеждой, что может быть эта еще не вполне совершенная попытка вызовет другие, более удачные, вызовет собирание более полного фактического материала и более строго на нем обоснованных выводов.

§1. Закулисная работа математической мысли.

В математическом мышлении следует различать два процесса: постановку проблемы и ее решение.

Первый процесс вовсе не сокращается до произвольного выбора. Научным математическим мышлением не может быть названо последовательное решение ряда уравнений, произвольно нами написанных. Взятая для решения проблема не выбирается, а скорей разыскивается. Научную ценность она приобретает только тогда, когда она полезна для науки.

Под пользой следует разуметь отнюдь не практическую жизненную пользу, а значение проблемы для стройности и простоты всей науки, как синтез различных дисциплин в том смысле, что решение этой пробле-

75


мы может создать большую гармонию между различными ее частями указывая, что

1)иекоторые истины представляют только частные случае более общих,

2)что части, па первый взгляд, грубые и разнородные, имеют между собой интимную связь и, наконец,

3)что к уже открытым истинам через ряд новых проблем открывается более простой и скорый путь.

Конечно, для успешной постановки подобного рода проблемы главным необходимым условием является творческое воображение. Оценка проблемы предполагает иногда как бы наперед ее решение. Для того, тюбы утверждать, что данное положение служит звеном, связующим более кратким путем два положения, следует знать это положение.

Относительно положения: "все В суть D", мы не можем утверждать, что его связуст положение "А есть В и А есть С", раньше чем не узнаем, что все "D суть С". Таким образом, уже при самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение.

Процесс разыскания решения поставленной проблемы начинается с составления гипотетического плана ее решения, разбивки ее на несколько частных вопросов, решение которых, по нашему расчету, приводит нас к решению интересующей нас проблемы. Так, при решении геометрической задачи на определение какой-либо геометрической величины через другие, мы рассчитываем прийти к определению неизвестного через последовательное определение других неизвестных. Приступая к решению первого вопроса, а затем, в случае удачи, второго и всех остальных вопросов, мы первым делом прибегаем к памяти, стараясь подвести его, как частный случай, под уже известные нам проблемы.

Только в случае неудачи, которая может явиться следствием как недостаточного запаса познаний, так и отсутствия вполне подходящих методов на современной стадии развития науки, мы приступаем к самостоятельному поиску решения. Если мы теперь проанализируем эти поиски, то увидим, что закулисная, сторона точного мышления носит совсем другой характер, чем тот ряд теорем в готовом и законченном виде, каждый член которого не колеблясь тянет ппследующие.

Точный разум, двигающей эту цепь теорем, повернут спиной по направлению своего движения; он видит тот путь, который прошел, но не видит того, который ему следует пройти. Один он шел бы действительно вперед; из посылки он вполне точно выводил бы заключение, но он никогда бы не знал, куда идет, он не мог бы решить ни одной наперед поставленной задачи. Решение какой бы то ни было задачи, не подходящей прямо под общий случай, делающий решение чисто механическим, требует помощи гипотезирующего и колеблющегося разума. Мы делаем ряд попыток, более или менее удачных, при нахождении решения. Конечно, при

76


выборе различных путей для решения мы не предоставлены вполне игре воображения, Главным двигателем здесь является аналогия. Если нам приходит в голову та или иная попытка, так именно потому, что она приносила успех в аналогичных случаях, Что же касается степени аналогии данного случая со случаем известным, то эта аналогия может быть весьма поверхностной. Если нам дано какое-либо дифференциальное уравнение, то, отчаявшись подвести это уравнение под уже известные типы, мы стараемся проинтегрировать его, применяя различные методы, применявшиеся к интегрированию других аналогичных дифференциальных уравнений. Но очевидно, что те аналогии, которые заставляют блуждающую мысль остановиться на той или другой методе, часто не идут дальше внешнего вида предложенного уравнения, Вполне естественно, если математику в тот момент, когда он убедится, что уравнение:

4х + Ъ$® + (а,х + Ь()у<"-> + ... (ал_(х + Ьи)у'у' + (апx + Ьл)y = О

не подходит ни под один из известных ему типов дифференциальных уравнений, придет на мысль попытка интегрировать это уравнение подстановкой y=e«, как линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Конечно, такая мысль придет только вследствие чисто внешней аналогии формы этих двух весьма различных по своим свойствам уравнений.

У опытного математика не будет детального проведения этой попытки, приводящей, конечно, к неудаче, Такая мысль пробежит в один момент поле его сознания, так как, при привычной ему быстроте в этой области соображения, неудача ему будет почти очевидна. Но начинающий воспроизведет все выкладки.

Возьмем более сложный пример. Известно, что эйлеровское уравнение

dx dy

WWY

где R (х) полином 4-ой степени имеет алгебраический интеграл. Обобщение эйлеровских исследований на случай, когда R (х) полином какой угодно степени, может иметь интерес и значение для науки. Бесспорно, что не один исследователь, до развития теории ультра-эллиптических интегралов, делал попытки обобщения, при этом конечно он вполне доверялся построенной им гипотезе о возможности существования алгебраического интеграла у обобщенного эйлеровского уравнения. Приступая затем к интегрированию такого уравнения, этот исследователь не обладал другим оружием, кроме заключения по аналогии, и конечно первой мыслью у него должна была бы явиться попытка применения к тому же уравнению тех методов, которые употреблял Эйлер для своего уравнения; эта попытка не увенчалась бы успехом, так как при производстве выкладок обнаружилось [бы], что успех методы Эйлера зависит от сокращения некоторых членов, которые не сократятся в общем случае, и поэтому в известном пункте цепь рассуждений обрывается. В этом примере мы видим не только ошибоч-

77


ность предположения, относящегося к методе решения предложенной проблемы, но и ошибочность сделанного предположения относительно результата, который придает главным образом ценность исследуемой проблеме.

Подобное описание механизма закулисной работы математической мысли согласно с показаниями математиков.

"В разговоре о роли воображения в научных трудах, - говорит Ли-бих, - один великий французский математик выразил мнение, что большинство математических истин приобретены ие дедукцией, а воображением".

Цитируя это место, Рибо1 справедливо замечает, что этот математик мог бы сказать "все", не сделав ошибки.

"Всякое математическое открытие - сперва гипотеза, которую следует доказать, т.е. привести к общим принципам, предварительно установленным; перед решительным моментом рациональной проверки она только воображаема"...

Мы со своей стороны должны сделать только следующую поправку: эта гипотеза не только воображаема, она выбрана не пустой игрой воображения, она есть плод или аналогии, как мы упомянули выше, или индукции, как гипотеза эмпирической науки.

"Рассуждение, - говорит также Рибо, - это только средство контроля и проверки; оно преобразует труд воображения в следствия - допустимые и наличные. Если предварительно не воображали, метод без цели и без употребления, так как невозможно рассуждать о совершенно неизвестном.

Даже когда кажется, что проблема движется одна к решению одним рассуждением, воображение беспрестанно входит под формой ряда попыток...".

$2. Синтез и анализ.

Обыкновенно различают две методы разыскания решений математических проблем: анализ и синтез.

Дюамель в "Методах умозрительных наук", подвергая строгой критике различные определения анализа и синтеза, останавливается на следующем описании анализа:

1-я форма анализа. Метод для доказательства гипотез: "Когда требуется найти доказательство данному предложению, то сначала ищется - может ли оно быть выведено как необходимое следствие из принятых предложений, и если так, то оно само должно быть принято и будет, следовательно, доказано. Если нельзя открыть, из каких известных предложений оно может быть выведено, то отыскивают, из какого непринятого еще предложения оно могло бы быть выведено, и тогда вопрос сводится к доказательству истины последнего предложения. Если оно может выводиться из принятых предложений, то будет признано истинным, сле-

78


дователыю, и предложенное; если же нет, то нужно искать, из какого непринятого еще предложения оно могло бы быть выведено, и вопрос опять приводит к тому, чтобы доказать истину этого последнего. Таким образом следует продолжать до тех пор, пока не будет достигнуто предложение, признанное истинным, и тогда истина предложенного будет доказана. Отсюда видно, что метод, названный анализом, состоит в установлении цепи предложений, начинающейся с того, которое желают доказать и кончающейся известным; цепь составляется при этом такими предложениями, из которых каждое, начиная с первого, должно быть необходимым следствием последующего. Откуда происходит, что первое является следствием последнего и поэтому столь же истинно, гак последнее" §5.

Анализ Дюамель называет методой приведения. Роль гипотезиру-ющего разума здесь состоит в установлении следующих гипотез, требующих проверки;

  1.  Предположения, которое следует доказать. Это основная гипотеза, в которую мы не перестаем верить во все время анализирования.
  2.  Целого ряда гипотез, относящихся к каждому из предложен™, которые мы хотим включить в цепь доказательства, которые во время процесса анализирования отстраняются одна задругой по причине или их ложности, или бесполезности для нашей цели, т.е. для нахождения связи предложенной гипотезы с известной, вплоть до того момента, когда удастся найти полный ряд подходящих промежуточных положений.

Отмечаемая Дюамелем другая форма анализа, названная "аналитической методой решения проблем", состоит в сведении предложенной для решения проблемы к другой, так что при решении ее первая будет решена, этой другой к третьей и т.д., пока не достигнем такой, решение которой известно §28; все в конце концов переходят в первую. Для того, чтобы судить о том, что та проблема, к которой сводится данная, проще нее, надо иметь хоть какое-либо представление о том, как она может быть решена, т.е. необходима гипотеза, к ней относящаяся, необходимо иметь доказательства, хотя бы спорные, для некоторых положений.

"Синтез, другая метода математического исследования, состоит, по Дюамелю, в том, что из предложений, принятых истинными, выводятся другие, как необходимые следствия, из этих новые и таким образом далее до тех пор, пока не достигнем данного, которое в этом случае само признается истинным". §38. Это, по мнению Дюамеля, метод редуктивпый. Таким образом и в синтезе устанавливаются гипотезы для проверки:

  1.  основная, относительно истинности высказанной теоремы.
  2.  гипотеза, что данную известную теорему можно взять за исходный пункт, и что выводимые из нее другие теоремы идут в надлежащем направлении.

Относительно второй формы синтеза, указываемой Дюамелем, мы можем сделать совершенно то же замечание, гак о второй форме анализа.

79


С какой методы свойственно математическому уму начинать свои исследования?

Вообразим себе, что мы перенесены с завязанными глазами в какое-либо неизвестное нам место, где мы видим ценные сокровища, которые мы желаем постепенно перетащить в свой дом. Должны ли мы искать тотчас дорогу домой или ждать, когда мы опять тем же образом попадем домой и начать поиски уже оттуда? Я думаю, что покуда нам не снимут с глаз повязки, мы не больше будем иметь надежды перенести к себе эти сокровища, чем в том случае, если бы мы их видели во сне. Если мы в конце концов благополучно решаем проблемы и к высказываемым нами теоремам приставляем доказательства, так это именно потому, что наши глаза не завязаны непроницаемой повязкой. До того, как лучи строгого и ясного познания осенят наш мозг, мы все-таки видим, хотя видим весьма мало и в густом тумане, Мы не можем сказать начинает ли мысль с альфы или с омеги? Но мы наверное знаем, что она вначале указывает, хотя бы гипотетично, на основании самых поверхностных аналогий, что здесь альфа, а там омега, что высказанную теорему или заданную проблему можно связать именно с этим данным и уже известным положением или проблемой. Затем ощупью мы начинаем разыскивать и промежуточные звенья.

"За синтезом, - говорит Дюамель, - важная невыгода, что он ие указывает причину, заставляющую выбирать пункт отправления, так и всякое из последовательных следствий".

Поэтому может показаться, что мысль, чувствуя себя более колеблющейся при гипотезе, всегда предполагает начинать с более верной методы, именно с анализа, Но то же обвинение ложится и на анализ.

Откуда мы можем знать, что то положение, к которому приводится данное, ведет нас ближе к цели? Верно, что в синтезе гипотетична точка исхода, но нет сомнения, что в этом случае направление самого движения более определяется, чем в анализе. Ведь мы здесь находимся в том же положении, как в том случае, когда соединяем две точки линией. В анализе же такая точка только одна, это то положение, к которому подыскиваем доказательство, и направление линии здесь находится еще в большей неопределенности, чем в первом случае.

Нам представляется совершенно ошибочным мнение Дюамеля, по которому "синтетический метод совершенно неприложим для открытия способа решения предложенных проблем, что им можно открывать только случайные проблемы". Если бы это было так, то такой метод не имел бы никакой цены, как метод исследования, за ним оставалось бы значение только методы изложения и, притом, методы крайне искусственной. Ведь, как мы выше заметили, случайных проблем, не находящихся в связи с целым, наука ие признает; мы не должны предаваться в науке свободному течению представлений. Из данной теоремы можно выводить бесконечную массу следствий, но вряд ли это можно признать за научное мышление.

80


На такой точке зрения относительно синтеза стоит пор-рояльская логика, считающая анализ за метод разрешения, а синтез за метод составления или метод доктрины.

Совершенно справедливо говорит Арно (Дюамель), что доказывать происхождение данного лица от Людовика Святого можно двояко: указывая его отца, деда и т.д. вплоть до Людовика (анализ), или, начиная с Людовика, переходить к его детям, внукам и т.д. вплоть до данного лица (синтез). Мы прибавим, что таким образом не только доказывают, что данное лицо - потомок Людовика Святого, но и разыскивают генеалогию данного лица. Для доказательства происхождения данного лица от Людовика, причем, конечно, до начала разыскания, должно быть какое-либо основание подозревать это высокое происхождение; не идут только в одном направлении от данного лица к его предкам, но стараются подробнее изучить и генеалогию Людовика, и именно в том направлении, в котором могут встретить какие-либо намеки на возможность происхождение фамилии данного лица от потомков Людовика, Вернее всего, что мысль поступает аналогично тому, как мы поступаем, желая продеть нитку в иголку: • мы двигаем как ниткой, так и иголкой. Движение идет с обоих концов: мы попеременно и приводим и редуцируем.

Из известного положения, представляющегося иам подходящим, мы выводим следствия, обещающие привести нас к цели, неизвестное или недоказанное приводим к другим, тоже недоказанным, и так продолжаем, пока оба наши движения не столкнутся на одном общем положении и не обратятся в непрерывное течение.

§3. Сводятся ли математические способности к

трудолюбию, соединимому с хорошей памятью?

Успех, более или менее быстрый, при разыскании решения задачи зависит от числа неудачных попыток и от большей или меньшей скорости отдельных проверок. Как то, так и другое находится в зависимости от памяти и содержания последней, т.е. в зависимости от более или менее сильных воспроизводительных способностей.

Отсюда следует, что хорошая, математическая способность, предполагает сильную память и причем, главным образом, на предметы того типа, с которым имеет дело математика. Следует заметить, что очень полное содержание памяти может до известной степени компенсировать слабость последней. Если много знающему трудно вспомнить какую-либо определенную методу, то в его распоряжении остается целый выбор других метод, из которых хотя бы одна придет ему на ум, и в этом случае может столько же выиграть как сильная, но бедная память, принужденная оставаться при одной в ней содержащейся методе.

81


Таким образом, на первый взгляд может показаться, что познание может вполне заменить способности или же, что последние, поскольку они касаются математики, сводятся только к большему или меньшему интересу к науке, соединенному с трудолюбием. К такому мнению приходит Шопенгауэр2. Доказывая рядом фактов и подтверждая своими метафизическими соображениями наследование от матери интеллектуальных свойств, а от отца характера, он отмечает поразительный факт, [который], по его мнению, лишь видимо противоречит его теории.

Оказывается, что в то время, как биографии поэтов и философов на стороне Шопенгауэра, математики и представители ближайших к ней наук дают факты другого рода, якобы говорящие [в пользу] наследования ума от отца. Существуют целые семьи Бернулли, Кассини, Гершелей, Струве, в которых математические способности идут по мужской, а не по женской линии.

Шопенгауэр объясняет это тем, что "математика требует прежде всего прилежания и настойчивости". Это-то и наследуется вместе с характером от отца, а что сверх этого, это столь ничтожно, что для этого особого наследования не требуется.

Против такого взгляда говорят те факты, что существуют лица, обладающие достаточным прилежанием и, тем не менее, с трудом усваивающие математические истины. Если объяснять это недостатком памяти и сводить способность к тому или другому роду мышления к памяти, то следует признать, как мы будем еще ниже иметь случай говорить, [существование] особой специфической памяти математика, так как лица, неспособные к математике могут обладать прекрасной памятью на события своей жизни или на музыкальные мотивы. Откладывая пока анализ математической памяти, мы постараемся теперь указать другие характерные черты математического мышления.

Большая быстрота одного ума в сравнении с другими в разыскании решений, при одинаковой эрудиции и опытности в математических изысканиях, указывает на то, что не одна только память является необходимым условием математической способности, что необходимо присутствие еще других специфических психологических элементов. В то время, как сильный математический ум мало отклоняется от прямого пути, ведущего к цели, делает мало неудачных попыток и в ложности каждой из них быстро и легко убеждается, ум более слабый долго блуждает среди тщетных попыток и детальных проверок, сделанных предположений.

82


§4. Необходимость для объяснения математического мышления введения в рассмотрение бессознательного мыслительного процесса.

Отчего в то время, как одному уму почти фазу является прямое решение, другой должен долго блуждать, прежде, чем придет к желанной цели? В чем состоит волшебное свойство тех людей, которые, как говорит Кант3, "как бы с волшебным жезлом в руках умеют отыскивать сокровища познания, хотя бы они никогда этому не учились. И этому они не могут научить и других, но только могут идти впереди них: это уже дар природы".

Мы думаем, что на этот вопрос рефлексия нам вполне не может ответить. Поскольку мы анализируем сознательную мысль, мы в ней находим только большее или меньшее число гипотез и их вполне сознательных проверок. В сильном и быстром уме эти гипотезы создаются и гибнут с большой быстротой. Едва успевает такая гипотеза родиться, как ум наносит ей смертельный удар. Откуда появляются эти враги, борьба которых проектируется на экране сознания? Если мы вспомним, что многие психические явления находят свою разгадку в бессознательной психической деятельности, что наш ум способен, как крот под землей, производить не менее кропотливую и сложную работу в потемках подсознания, чем при свете сознания, то мы будем в состоянии дать следующее указание, где искать разгадку.

До того, как в работающую сознательную мысль приходит какое-либо предположени,, в бессознательной мысли, всегда работающей параллельно сознанию, гибнет масса других предположений, только наиболее обещающие выступают за порог сознания.

В то время, как в слабом и медленном уме вся работа вчерне совершается в сознании, в сильном и быстром [уме] в мир сознания все является в почти готовом виде. Чудесный волшебный жезл следует искать в бессознательном мыслительном процессе.

§5. Роль бессознательного мыслительного процесса при проверке предварительных гипотез.

Проверка сделанного предположения обыкновенно бывает не полной. Принятая гипотеза отвергается, если имеется хоть один аргумент против нее, но этот аргумент в большинстве случаев бывает столь же неточного характера, как аргумент в пользу этой гипотезы.

Так, сделанная гипотеза об интегрируемости в конечном виде эллиптического интеграла, после большого числа попыток найти для него выражение, отвергается как ложная, и уже не возбуждает интереса математиков, доказательство же интегрируемости дается много позже. То же относится и к решению в радикалах буквенного уравнения пятой степени.

83


Здесь против сделанного предположения говорит только шаткий аргумент, состоящий в том, что масса опытных и, более того, гениальных математиков, произвели ряд тщетных попыток его решения, к которым присоединились, может быть, еще менее успешные попытки с нашей стороны. Впрочем, гипотеза может быть отвергнута не только как ложная, но и как бесполезная, в том случае, когда проверка се требует решения проблем, заведомо очень трудных, которые мы никак не рассчитываем решить.

Если мы говорим, что только наиболее обещающие гипотезы всплывают в сознании, то нам незачем предполагать, что бессознательное мышление произвело их детальную и точную проверку, достаточно, чтобы на основании неточных заключений по аналогии оно остановилось на этих гипотезах.

Высказывая такое объяснение, мы находим необходимым изложить наш взгляд на свойства бессознательной мысли, может быть, несколько идущий вразрез с общепринятыми.

§6. Ошибается ли бессознательная мысль?

Характерное отличие сознательных и бессознательных актов состоит в меньшей погрешности послодешх. Все бессознательные действия отличаются особой правильностью и первый луч пробудившегося сознания часто является подобным тормозящему стержню, попавшему между спиц быстро и правильно вертящегося колеса. Шитье, игра на рояле и многие другие действия идут тогда наиболее успешно, когда те элементы, на которые они разлагаются, находятся на пороге сознания или спускаются еще ниже, т.е. представляют так называемые лейбницевы перцепции.

Мы охотно признаем только меньшую погрешность бессознательных актов, в частности бессознательного мышления, ею мы будем оспаривать положение Гартмана о безусловной безошибочности бессознательных психических актов.

Наоборот, везде где [мы] стараемся дополнить сознательный процесс бессознательным, в последнем предполагаются свойства, присущие первому.

Внезапное появление в сознании готового решения какой-либо задачи, которую мы не могли долго решить, мы объясняем бессознательным мышлением, которое в то время, как сознание было занято посторонними вещами, продолжало заниматься [этой] задачей. Здесь возможны две гипотезы: или бессознательная мысль является, как "deus ex machjna", "не колеблется и не сомневается, но мгновенно обнимает в один и тот же момент и результат, и производящий его целый мыслительный процесс, мыслит все члены процесса зараз" (Гартман), или же эта мысль продолжает совершать ту же кропотливую работу, что сознательная мысль, переходя через ряд сомнений и ошибок к истине, per aspera ad astra. При первом предположении, стадия в которой получается верный результат, должна

84


сейчас же следовать за моментом, когда обсуждение задачи перешло из сознания в область бессознательного, процесс бессознательного мышления затем обрывается и через некоторое время задача опять воскресает в сознании: в психической жизни таким образом предполагается сомнительный разрыв.

Гораздо вероятнее второе предположение, при котором весь процесс предполагается непрерывно заполняющим все время, когда сознание не занято обсуждением задачи вплоть до результата, который всплывает за порог сознания.

Таким образом, по нашему мнению, бессознательное мышление так же ошибается (хотя и в меньшей степени), как сознательная мысль.

Большая быстрота и легкость бессознательной мысли зависит еще от следующих причин. В то время, как в сознании может быть в данный момент только одна мысль, бессознательная мысль может сразу совершать по нескольку работ. Возможно в одно время слушать чтение и шить.

На этом основании можно предположить, что в напряженной мысли с главным, так сказать, центром притяжения, с главной системой движущихся психических элементов, представляющих сознание, образуются еще частные центры притяжения, частные системы. Между различными системами устанавливается сообщение только в критических случаях.

§7. Различные роли бессознательной мысли в мышлении

математиаа и философа.

Если мы от математического мышления перейдем к философскому, которое, как математик, мыслит отвлеченно, причем в иных случаях пользуется, как математик, дедукцией, то легко увидим разницу в конструкции их мыслительных способностей, именно в том значении, которое имеет для мыслителей этих двух типов подсознательная работа мысли.

В то время, как математик доказывает, философ только убеждает. Как тот, так и другой начинают с гипотезы, но второй большей частью и кончает гипотезой.

Как тот, так и другой творческим воображением создают несколько предположений, из которых и производят выбор через проверку каждого. В математике проверка может быть признана вполне законченной лишь тогда, когда к проверяемым предположениям может быть приставлено строгое доказательство. В философии же порой эта проверка сводится лишь к невозможности увидеть какие-либо противоречия, содержащиеся во взятом предположении, и к способности этого предположения служить объяснением возможно широкого круга явлений.

Таким образом, философский ум в силу своей меньшей точности, чем ум математический, скорее и легче приходит к цели в этом закулисном выборе сперва только воображаемых, а затем- или строго доказуемых, или подтверждаемых рядом аргументов предположений. Но, кроме меньшей

85


точности философского ума, этот факт обусловливается еще другой причиной. Даже самый широкий творческий ум не в состоянии создать столько философских объяснений, сколько может прийти даже посредственному математическому уму различных предположений, относящихся к решению какой-либо задачи. В то время, как мысли в голове математика вспыхивают и тухнут, пока не зажжется, наконец, последняя и единственно истинная, философ зажигает и тушит одну иллюминацию за другой. Но можно наверно сказать, что тагах иллюминаций бывает обыкновенно немного. Философ это полупоэт, полуученый; начинает он мыслить, как поэт; каждая его мысль при первом появлении - это фантазия поэта, и только затем она идет на суд философа-ученого.

Мышление философа представляет [собой] мышление меньшего напряжения, чем мышление математика, поскольку оно касается не первой своей стадии, именно, построения философской гипотезы, а второй - проверки ее или отыскания ряда подтверждающих ее аргументов.

Вполне естественно предполагать, что в мышлении философа работа мысли идет тольков сфере сознания, мало распространяясь в подсознательные области. Мышление математика, наоборот, глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая па ее поверхност,, то погружаясь в глубину.

Математик не сознает каждого шага своей мысли, как виртуоз -движения смычка.

Известны случаи, когда в состоянии эпилептических припадков продолжали играть на рояле или когда трудно разыскиваемое решение геометрической задачи всплывало с утренним пробуждением ото сна, в продолжение которого неусыпная бессознательная мысль продолжала работать; но нам неизвестны философские теории, созданные в эпилепсии или во сне.

§8. Разница между склонностью и способностью улм.

При анализе математической способности следует резко отличать: склонность к известному роду занятий от способностей. Мы думаем, что всякая стоящая выше нормы способность соединена с некоторой склонностью, избыток силы всегда стремится проявиться. Человеке сильными мускулами почти всегда имеет любовь к физическим упражнениям. Если сила не разряжается в серьезном деле, она находит себе выход в игре. Но мы не можем сказать обратного. Если человек выказывает к чему-либо особенную склонность, то эта склонность не является показателем особенной, выше нормы стоящей, способности. В иных случаях она указывает лишь на относительное превосходство одной способности над другой. Человек мыслит не всегда по доброй охоте, а часто лишь по принуждению неумолимых обстоятельств и, в таком случае, вполне естественно, что ум выбирает для своей цели легчайший путь, т.е. тот путь, к которому у него более всего

86


способностей. Но все-таки нельзя утверждать, что так именно всегда бывает. Характер человека откладывает свой отпечаток не только на чувствах и желаниях, влияние его распространяется даже на манеру мыслить.

Более или менее подвижный характер должен сказаться в тех или других склонностях даже самого отвлеченного ума.

Ипохондрик, живущий более своим внутренним миром, чем окружающим, будет иметь ум, более склонный к самоанализу, чем к наблюдению окружающей его природы; для него мышление отвлеченными понятиями будет более подходящей сферой, чем индукция естественных наук. Сколько людей рождается с характером и склонностями ученого, но с умом, едва достигающим будничной нормы.

Собственно говоря, большинство классификаций относится к склонностям, а не к способностям ума.

Выражения: остроумный, глубокий, тупой, поверхностный и т.д. определяют способности ума, ум индуктивный и дедуктивный, как мы постараемся доказать, определяют склонности.

Под какой из общеизвестных типов подвести математический ум?

§9. Остроумие как одно из характерных свойств математической способности.

Одна из трудностей при ответе на этот вопрос, это сравнительная неясность общепринятых терминов для свойств, характеризующих эти типы. Кант' определяет остроумие следующим образом: "способность к общему правилу подыскивать частное есть способность суждения, способность для частного подыскивать общее есть остроумие". С таким определением, сводящим остроумие к способности к индукции, мы едва ли можем согласиться.

Острый ум может, как меткая стрела, идя издалека, попадать в цель. Остряком называют человек!, способного находить общие черты в видимо совершенно разнородных предметах; конечно, ему должна принадлежать способность идти от частного к общему, но центр тяжести его остроумия лежит не в этом, а в способности обнимать умом сразу два совершенно разнородных предмета. Таким образом, остроумие - это способность обнимать в одном суждении понятия из двух мшюсвязанных областей мысли. Психологический анализ математического мышления показывает, что математикам главным образом присуще остроумие. В предварительной работе над созданием и проверкой делаемых гипотез мысль математика должна перелетать к различным уже известным ему положениям и методам, отыскивая в них признаки по своей аналогии с теми, которые ои находит в поставленной проблеме, дающие надежды на удачу. Отчаявшись найти помощь вблизи, ему приходится обращаться за ней в самые отдаленные области в сфере его математического мышления, связь которых с областью настоящего исследования может быть, открывается впервые. Ма-

87


тематик должен быть остроумным, и лучшей школой остроумия является математика.

§10. Быстрота математического мышления.

Другое характерЕюе свойство математического ума это его быстрота. Если читатель вспомнит наш взгляд на механизм математического мышления, то он легко увидит, что это свойство обуславливается той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному. Бесспорно, что из всех ученых наиболее быстро мыслят математики, но бесспорно также и то, что этот класс мыслителей-теоретиков значительно уступает в быстроте многим мыслителям-практикам, финансистам, политикам и полководцам.

В самом деле, последние гораздо более связаны временем, они должны прийти к окончательному результату не позже определенного дня и часа. Такого определенного ограничения времени для математика нет, он должен только недолго останавливаться на каждой гипотезе, так как иначе, вследствие огромного их числа, он слишком долго не мог бы дойти до результата. -

Это свойство, обуславливаемое, как мы выше уже заметили, значительной ролью бессознательного мышления, не особенно выделяется в том случае, когда ум, не представляя чистый тип математического ума, приближается своим характером к философскому. Подобно тому, как всякое движение совершается быстро и без колебаний, если это движение автоматическое, без вмешательства сознания, точно так же и мышление, поскольку оно принимает во всех своих стадиях характер сознательного философского размышления, проигрывает в бывтроте.

§11. Философ и математик.

Но есть одно свойство ума, которым вознаграждается менее быстрый, в сравнении с умом математическим, ум философский. Такова широта ума, если под последней разуметь способность ума познавать в виде связного г\елого широкие области.

В то время как в быстром уме главную роль играет бессознательный момент, в широком уме главным двигателем является ясное, недремлющее сознание.

Заметим кстати, что остроумие более присуще философскому уму, чем быстрота мысли. Смелые и удачные скачки принадлежат иногда и философским умам. Но все-таки, остроумие принадлежит преимуществен-но к характерным свойствам математического ума. Если философ широк, в то время, как математик быстр, то вместе с тем философ глубок, в то время как математик остроумен.

88


Мы уже выше сказали, что в то время, как в математике главная трудность - в доказательстве, в оправдании сделанных предположений, в философии - не оправдание, а, главным образом, построение этих предположений, составляет затруднение. Затруднение это и устраняет глубокомыслие - способность делать вперед к намеченной цели большие шаги. При этом валена не столько строгость и простота доказательства, главную роль играет именно разыскание последовательного ряда проблем, прямо, не отклоняясь ни в одну сторону, ведущего в самые недра исследуемой области.

§12. Шахматист и математик.

Обнаруженные нашим анализом характерные свойства математического ума - остроумие и быстрая сообразительность, не дают полной его характеристики. Эти свойства присущи также в большой степени и шахматисту, и другого рода игрокам, принужденным мыслить очень быстро в сфере огромного числа комбинаций.

Механизм мышления игрока, в сущности говоря, почти тот же, что у математика. Первая стадия - гипотеза, воображаемый ход, вторая - проверка, т.е. вывод некоторого более или менее длинного ряда последствий из него, и в случае присутствия явно неблагоприятных среди последних -отказ от этого хода. Но мы должны здесь отметить одно существенное различие.

В то время, как математик успокаивается окончательно лишь [тогда], когда будет найден весь комплеюп аргументов за сделанное предложение, игрок мирится, с ними при более скромном требовании, чтобы не было никаких возражений против.

Конечно, в этом отношении математик находится в более затруднительном положении, ему трудно, так сказать, не находя около себя друзей, идти искать их в более далекие области, в то время как для игрока, важно только убедиться, что около него нет врагов. Таким образом, у математика будет перевес в остроумии, в то время как у игрока, по тем же причинам, гаку финансиста, полководца и т.д., перевес в быстроте соображения.

§13. Поэт и математик.

Мы уже сказали, что математическое мышление начинает с воображения. Здесь мы должны отметить разницу, которая существует, по нашему мнению, между понятиями: воображение и фантазия. Воображенее это деятельность, соединяющая в себе как воспроизведение, сознательное или произвольно,, пережитых сложных впечатлений, так и воссоздание, при помощи разложения и комбинирования, составных частей, при помощи фантазии, в новые, еще не пережитые представления.

89


Таким образом, фантазию мы рассматриваем как составную часть воображения, именно воображение в его созидательном моменте.

Для того, чтобы быть хорошим математиком, нужно обладать хорошим воображением. Это же требование предъявляется и поэту. Вследствие своего могучего воображения, математик кажется поэтом среди других ученых.

Но отсюда слишком далеко до того, чтобы выводить, что поэтическое творчество родственно математическому.

"Я понимаю - пишет Шабельской Софья Ковалевская, - что вас так удивляет, что я могу заниматься зараз и литературой и математикой. Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит: совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел это одно и то лее. Мне кажется, что поэт должен только видеть, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен математик".

Мы со своей стороны не считаем нужным выступать защитником математики от обвинения ее в сухости. Мы считаем, что хороший математик е то время, когда от мыслит как математик, никогда не бывает поэтом. Мы скорей склонны думать, что математическому воображению присущ совершенно специфический характер: существует огромная разница между воображением математика и поэта. Здесь нет ошибки, порожденной предрассудком, о которой говорит С. Ковалевская.

К тому же еще следует заметить, что фантазия и вымысел это не одно и то же - с этим легко согласиться, но что фантазия поэта должна быть без вымысла, что поэт должен видеть одну реальность, обратившись из художника в фотографа, это положение весьма спорно и во всяком случае совершенно не согласуется с фактическими данными психологии творчества поэтов.

Воображение математика и воображение поэта принадлежат к двум различным типам воображения, отмеченным Вуидтом5,

"Индивидуальное воображение, - говорит Вундт- может отличаться или способностью к чрезвычайно живым и ярким представлениям, или же способностью к весьма разнородному комбинированию представлений: первую форму фантазии можно назвать воспринимающей, вторую комбинирующей. Редко вообще бывает она развита в обоих этих направлениях. Чем значительнее чувственные силы представляющего воображения, тем труднее для апперцепции быстро переходить от одного представления к другому".

90


Математикам, спекулятивным философам и изобретателям присуща, по Вундту, комбинирующая фантазия. Естествоиспытатели преимущественно обладают воспринимающей фантазией. Этого последнего типа фантазией вооружены и поэты. Классификация Вундта будет более полной, если тип воспринимающей фантазии [мы] распределим на два подтипа, но, смотря по тому, относится ли она к чувствам или к ощущениям, в первом случае она может быть названа субъективной, во втором случае объективной. Конечно, фантазия поэта должна быть отнесена к первому из этих подтипов.

Вундт из математиков выделяет геометров, которым приписывает вместо комбинирующей воспринимающую фантазию, которая должна быть, конечно, объективного характера.

В мнении Вундта, как нам кажется, правильно только то, что геометр отличается от алгебриста большим развитием ввспринимающей фантазии. В этом смысле геометр ближе к поэту, чем алгебрист. Можно сказать, что в синтетической геометрии древних более поэзии, чем в современной аналитической. Все эти отличия создают совершенно различные облики умам поэта и математика, ставят их в виде двух различных полюсов на сфере человеческого мышления.

Математикам часто доставляет удовольствие, когда сравнивают их науку с поэзией, им представляется, что подобное сравнение служит только похвалой для их любимого занятия и снимает вечно тяготеющее над ними обвинение в сухости. Между тем сходство только в том, что как в поэзии, так и в математике необходима мощная сила воображения, и быстрое и энергичное течение в первом случае образов, во втором - отвлеченных мыслей, заставляет мыслителя позабыть об окружающем, улетать в надзвездные сферы. Фактические данные отнюдь не говорят за какое-либо интимное родство математики и поэзии. Наоборот, среди математиков слишком мало находится любителей поэзии. А среди поэтов, можно сказать не гиперболизируя, любителей математики совсем нет. Достаточно вспомнить Гете, Надсона и т.д.

§14. Активное и пассивное воображение.

Таким образом, не только поэту и математику не присуще одно и то же воображение, одна и та лее фантазия, но различного рода математики, геометры и алгебристы, отличаются между собой характером своего воображения.

"Следует заметить, - говорит Рибо6, что не существует вообще научного воображения, что форма его должна меняться сообразно природе наук и что, следовательно, она разлагается на некоторое число родов или даже видов. Отсюда следует необходимость монографий, из которых каждая принадлежала бы лицу компетентному".

91


Никто не сомневается, что математикам присущ особый род воображения, но это еще слишком общо. Арифметики, алгебристы и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прерывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут воображать, как геометр.

Можно ли думать, что творец начертательной геометрии Монж, который освободил своим трудом строителей, архитекторов, механиков от их рутинных правил, мог иметь то же воображение, как математик, посвящающий себя теории чисел.

Мы выше видели, что особые окраски воображения зависят от того, такая из фантазий, воспринимающая или комбинирующая, преобладает в них. Мы укажем сейчас еще другой пункт различия.

Согласно Вундту, у фантазии существует два рода деятельностей, которые всегда бывают между собой перемешаны.

Пассивная деятельность фантазии состоит в том, что ум предается игре представлений, не делая в них сознательного выбора.

Активная деятельность состоит в том, что воля выбирает известные представления из конкретных элементов, на которые разложилось сложное представление, и таким образом соединяет эти элементы в стройное целое.

Характер той и другой деятельности определяется тем, в каком направлении может возбуждаться течение представлений в первом случае при пассивном состоянии души, а во втором - при активном.

Иначе говоря, пассивная деятельность воображения определяется главным образом характером ассоциаций, а активная - свойствами памяти. Фантазия представляется функцией именно этих двух переменных. Комбинациям различных родов этих способностей отвечают различные типы воображения.

Мы имеем теперь возможность отметить еще другое отличие между воображением научным, в частном случае математическим, и воображением поэта. Это отличие состоит, между прочим, и в большем преобладании у поэта пассивной, а у ученого активной деятельности ввображения.

Конечно, ученый также начинает с пассивной деятельности; первым толчком бывает ассоциация (например, при открытии закона всемирного тяготения - падающее яблоко), но воля раньше вступает в свои права, и течение мыслей более в ее власти, чем это бывает у поэта, к которому поэтические образы слетаются часто без всяких усилий с его стороны.


§15. Роль пассивного воображения в математическом

мышлении.

Весьма интересно исследовать участие бессознательной мысли в пассивной деятельности воображения.

Ассоциация идей распространяется не только па сознательную область, она может вызывать образы и представления, стоящие ниже сознания.

Такое утверждение может показаться необычайно парадоксальным. Мы предполагаем все области, сознательную и бессознательную, связанными между собой, так сказать, потенциально. Ощущения, находящиеся в сознании, вообще не вызывают тех ощущений, которые составляют предмет бессознательного мышления, но при некоторых особенных состояниях мозга порог сознания может значительно понизиться, бессознательные ощущения могут тогда дойти до той степени интенсивности, при которой они должны быть осознаны. В этот момент потенциальная связь переходит в актуальную, и эти ощущения могут войти в ассоциативную цепь и быть вызваны сознательными ощущениями, так как если бы эти ощущения сами были когда-либо сознательными.

Только таким именно образом объясняется факт, что в процесс сознательного мышления могут проникнуть результаты бессознательной мыслительной деятельности.

Эти результаты находились у самого порога сознания, который постоянно находится в состоянии колебания, то понижаясь, то повышаясь. В том случае, когда порог сознания настолько понизился, что результат этот поднялся над порогом сознания, то может всегда случиться, что какая-либо сознательная мысль, имеющая какое-либо сходство с этим результатом, вызовет его в сознание по ассоциации.

Отсюда мы видим, сколь важную роль играет пассивная деятельность воображения в математическом мышлении. Мысля, мы то натягиваем, то распускаем волоки, то наша мысль направляется актом воли по определенному направленно, то она пассивно отдается свободному течению мыслей.

Момент соприкосновения сознания с бессознательной мыслительной деятельностью это, в сущности говоря, вторая фаза процесса творения по схеме Рибо, которая состоит в следующем:

  1.  фаза. Приготовление (бессознательная деятельность).
  2.  фаза. Появление в уме идеи, вдохновение, вторжение (irruption). (Переходный момент).
  3.  фаза. Период построения и развития (сознательная деятельность).

Более крупные математические способности предполагают больше связей между сознательной и бессознательной областями. Для этого необходима более энергичная, более интенсивная бессознательная деятель-

93


ность, при которой большое количество результатов придвигается к самому порогу сознания.

Здесь будет уместно также упомянуть, в каком смысле ассоциация идей может явиться тормозящей причиной для математического мышления. А именно, она заставляет мысль, как только воля распускает вожжи, возвращаться в те же дурные области. Здесь замечается особый автоматизм мысли. Мысль, от отвергнутой новой идеи по ассоциации, невольно возвращается к одной из старых и, попав на нее, затем автоматически быстро и легко движется по старой дороге, повторяя все те же ошибки. Во избежание этого необходимо постоянное вмешательство воли, управляемой сознательной памятью.

§16. Психология математических ошибок.

Исследование конструкции математического мышления приводит нас естественно к вопросу о психологических причинах математических ошибок.

Вопрос о заблуждениях очень стар, если заблуждения рассматривать с логической точки зрения. В этом смысле он рассматривался еще Аристотелем. Первое же психологическое исследование может быть отнесено только к Бэкону, которому принадлежит известное учение об идолах (обманчивых признаках истины, иллюзиях). Но ясно, что все классифицированные Бэконом заблуждения могут касаться только неточного мышления, когда нет еще речи о доказательствах. Все эти заблуждения если и могут иметь место при процессе подыскивания предварительных гипотез, то во всяком случае, окончательно фильтруются производимой затем проверкой и влияние аффектов, даже высших интеллектуальных типов, сводится к нулю.

Математическее ошибки суть ие что иное, как погрешности памяти или внимания.

Чтобы понять это, возьмем простейший пример. Проанализируем, в чем состоит ошибка при вычислении, например, при слежении нескольких многозначных чисел.

Желая сложить три числа

53890987

34567848

55166239

мы складываем сперва в уме 7+8+9 и фиксируем в памяти вторую цифру полученного числа 24. Затем складываем 8+4+3=15, прикладываем к нему вторую цифру фиксированного первого числа - 2.

Далее ход мысли следующий: 15+2=17, единица фиксируется, складываем 9+8+2=19, 19+1=20 и так далее.

94


Когда мы дойдем до сложения седьмого столбца, т.е. цифр 3,4, 5 у нас в памяти будут следующие цифры: от первого сложения 2, от второго 1, от третьего 2, от четвертого 1, от пятого 2, от шестого 1. Бесспорно, что при производстве действий интенсивность нашего внимания сильно колеблется, а вследствие этого колеблется и сила, с которой запоминаются упомянутые выше числа, и они вспоминаются с различной степенью легкости. При быстром вычислении импульс воли для вызова в памяти желаемой цифры ничтожно мал, участие воли можно сравнить с рукой, которая отклоняет на секунду упругий стержень, чтобы этот последний сам собой принял первоначальное свое положение. Фиксируя цифру 1 при 6-м сложении, мы на секунду отвлекаем внимание, чтобы написать цифру 6, когда же мы перестаем думать о ней, единица сразу всплывает в нашей памяти.

Такой акт вполне аналогичен следующему: мы смотрим в окно, затем отвлекаем наше внимание, смотрим, например, на лежащую перед нами книгу, затем закрываем глаза- перед нами восстает без усилия воли образ окна. Если теперь при падении внимания цифра 1 недостаточно фиксировалась памятью, она уже не может восстановиться. Тогда в сознание проникают другие цифры, более резкие отпечатки результатов других, только что сделанных вычислений при более интенсивном внимании. Обыкновенно одна из таких цифр, а именно та, которая является первой, т.е. та, которая резче сохранилась памятью, и принимается за искомую.

Подобного же рода ошибка, хотя более редко, может быть при сложении цифр одного столбца без перехода к следующему. По сложении 7 с 8 запоминается число 15, для прочтения 9 употребляется краткий промежуток времени, в который 15 может забыться.

Помимо этой погрешности элементарной памяти, т.е. памяти, связующей элементарные звенья мыслительного процесса, возможна еще погрешность удерживающей памяти. Мы можем недостаточно хорошо вспомнить в краткий промежуток времени, употребленный на вычисление, тот пункт таблицы сложения или умножения, который нам необходим. Подобная ошибка, невозможная в спокойном состоянии достаточно опытного в вычислениях ума, не представляется невозможной, когда при быстром вычислении сознание постоянно наполняется различными мыслями. Среди массы незнакомых лиц можно легко не узнать и хорошо знакомого, как это часто с нами случается на улице. В сущности, все то, что мы сказали об ошибке в сложении, дает полную схему весьма общего типа математических ошибок. Вот в общем виде эта схема:

Объекту А приписывается признак а, означили это положение через (А, а). Внимание отвлекается от А к В, затем возвращается к А, причем припоминается (А, а), затем В приписывается признак р, отвлекаются от В к С, вспоминают (В, $). Ошибка состоит в том, что вместо (В, PJ берут (В, а).

95


Но под этот тип вполне подходят далеко не все математические ошибки. В отличие от ошибок, о которьтх сейчас велась речь и которые могут быть названы ошибками исчисления, ошибки, о которых мы сейчас будем говорить, могут быть названы ошибками доказательств. Они состоят в том, что посылка (А,- а) заменяется другой (А, р\), где |3 не приписывалось еще пи одному объекту, но по своему сходству или по смежности может легко быть смешано памятью с а. Наиболее частой и наиболее трудно избегаемой ошибкой является та, при которой [3 ппедставляет более общий случай, чем а. Положение (A, р\> при этом утверждается при некоторых, часто только подразумеваемых условиях. Об этом в дальнейшем ходе доказательства совершенно забывается, и положение (А, $) берется во всей его общности.

Я говорю, что эти ошибки в математике весьма часты и трудно избегаемы, так как, если бы математик всякий раз упоминал об ограничениях, которые должны подразумеваться, он сделался бы слишком скучным и, утруждая внимание отклонениями от основной темы, мог бы проиграть в ясности. Так, математики говорят в нескольких главах о функциях, подразумевая их непрерывными, хотя об этом ограничении упоминается только на первой странице первой главы. О том, что функция принадлежит типу аналитических функций, об этом иногда и не говорят совсем, считая вполне естественным такое предположение.

Ясно, что предпринимающий дальнейшие исследования читатель может совершенно забыть об этих ограничениях, в особенности, если применение положений, годных только при этих ограничениях, к общему случаю, не только не приводит его ни к каким противоречиям, но и открывает новое широкое поле исследований.

К этим типам математических ошибок следует присоединить еще третий: ошибки в обозначениях.

Какой-нибудь объект А обозначается знаком а, другой В знаком в. Если между айв есть сходство, то память может спутать их и относить ъкА и а к В. Причина смешения может быть в восприятии: один знак можно просто принять за другой.

Можно, например, греческую ос принять за латинское а. В то время, как указанные выше два типа ошибок представляют ошибки памяти, ошибки последнего типа, во второй своей форме, представляют уже ошибки внимания.

Мы еще укажем один тип ошибок внимания, совершенно иного рода.

Знакомому с научными математическими мемуарами хорошо известно, что в этих мемуарах доказывается не все, ведь в противном случае и маленький мемуар вырос бы в целый том. Не доказываются мелочи, не доказываются такие утверждения, в которых каждому опытному читателю не доставляет большого труда убедится. Таким образом, некоторые звенья

96


в цепи умозаключений пропускаются, их следует вставить уже самому читателю.

Но нам кажется, что таким же образом до известной степени поступает не только читатель, но и сам автор.

Доказательство теоремы составляется следующим образом. Сперва [набрасываются] эскизы, намечаются главные пункты, которые следует доказать. Доказываются сперва они вчерне, т.е. так, что детали пока остаются без рассмотрения, остается еще кое-что спорное, кое-что недоказанное. Только постепенно обезвреживаются всевозможные возражения и производится проверка различных второстепенных утверждений. При несколько раз производимой проверке всего построения, мы не разбираемся в некоторых выставленных нами положениях, доказательство которых нам представляется простым и обычным, мы проходим мимо них с мыслью, что здесь именно все обстоит благополучно, не воспроизводя для каждого из них всего доказательства. Случается, что даже при последней окончательной проверке мы оказываем то же пренебрежение на вид обычным и простым положениям, но таящим в себе смертельный яд и гибель для всего организма нашего построения.

Иногда к подобному пренебрежению деталями нас склоняют и другие факторы. В геометрии, например, такую роль может играть чертеж, на .котором случайно пересеклись какие-нибудь две прямые, пересечение которых нам представляется очевидным в том смысле, что доказательство этого так просто и обычно, что нечего себя им утруждать.

Не такого ли рода ошибка Декарта, утверждавшего, что нормали к двум плоским кривым, именно к проекциям, линии двоякой кривизны, сами будут проекциями нормали этой кривой. Вот психология подобной ошибки:

  1.  Доказательство этого неверного положения показалось Декарту настолько же простым, насколько просто доказательство подобного положения для касательных.
  2.  Весьма вероятно, что в этом его убедило и неправильно представленное геометрическое построение.

Подобного рода ошибки могут быть и при вычислении, когда мы отбрасываем различные члены в виде упрощения. Нам кажется очевидным, что такое отбрасывание мало повлияет на результат, причем кажется, что доказательство этого так просто, что не стоит на нем останавливаться, а между тем это часто ведет к роковым ошибкам.

§17. Ум математика как ум дедуктивный.

Существуют, помимо намеченных выше типов, еще два типа, на которые принято делить умы и таланты. Эти два типа выражаются терминами: де-

97


дуктивный и индуктивный. К первому типу относят математиков и философов.

"Важнейшие индивидуальные различия,- говорит Вундт7 - в направлении умственной деятельности обусловливаются соединением известных сторон способности воображения с известными сторонами способности собственно мыслительной. Происходящее отсюда умственное предрасположение называется обыкновенно талантом. Соответственно двум направлениям воображения и двум направлениям ума можно различать четыре главных формы таланта".

О различных типах воображения мы уже говорили выше. Направление же ума по Вундту следующее; индуктивный ум склонен связывать отдельные факты, т.е. отдельные объекты наших представлений в форме понятий. Дедуктивный же ум, напротив, в высшей степени склонен подводить отдельные факты под общие формы, созданные мышлением. Первый стремится собрать наблюдения и обобщить их, второй выводит следствие из общих понятий и правил, или, взяв общий принцип, разлагает его на отдельные частные случаи. Если классификация умов по типам воображения является классификацией по способностям, то деление на ум индуктивный и дедуктивный отвечает скорей делению по склонностям. Способности к чистой дедукции или силлогизму, как главному двигателю ее, нет. Не требуется особой способности, чтобы из фактов: люди смертны и Петр человек, вывести, что Петр умрет. Трудность дедуктивного мышления состоит в направлении ряда силлогизмов к намеченной цели, в подведении данного случая под тот из более общих, к каждому из которых он принадлежит, который приводил бы к решению интересующих мыслителя проблем. Иначе говоря, от дедуктивного мыслителя требуются только тогда особые способности; когда он перестает быть дедуктивным мыслителем.

Ведь для такой цели, как мы выше видели, ум пользуется воображением, индукцией и аналогией. Поэтому нельзя противополагать математика и философа натуралисту, как умы способные к двум противоположного рода операциям: дедукции и индукции. Математик в своей закулисной работе - мыслитель индуктивный; различие его способностей от способностей натуралиста лежит только в специфических видах воображения и в способности приводить в движение при закулисной работе бессознательную мысль в самых широких размерах.

Классификация умов и талантов на дедуктивные и индуктивные, таким образом, есть классификация по склонностям ума. Как мы выше сказали, такие склонности могут обуславливаться характером человека.


§18. Некоторые соображения, относящисся к

памяти вообще.

Мы уже упомянули, что характер воображения зависит от свойства памяти. Для воспроизведения пережитых впечатлений мыслителем необходима память, причем именно такая, которая могла бы вызвать именно того рода впечатления, которые относятся к области его мышления. Музыкальное воображение не может существовать без музыкальной памяти. Математическое воображение не может быть без математической памяти. Поэтому вполне естественно, коснувшись специфических свойств математического воображения, перейти к анализу математической памяти.

Этому анализу мы предпосылаем некоторые соображения, относящиеся к памяти вообще. Необходимым условием мышления во всех его разновидностях является память, которая, как цемент, связывает различные звенья мыслительного процесса,

В памяти могут быть отмечены три момента:

  1.  Усвоение памятью известного состояния.
  2.  Сохранение воспринятого в потенциальной форме.
  3.  Воспроизведение его.

Различные ощущения, чувства и мысли могут нами запоминаться с различной степенью легкости на различные сроки, с различной ясностью сохраняться в памяти и, наконец, более или менее легко могут быть ею вызваны.

Мы различаем первый и второй момент как два различных момента. Некоторые состояния, хотя и вполне нами сознаваемые, могут быть совершенно не усвоенными памятью. Произнесенное подряд большое число цифр или слов не может быть нами воспроизведено, хотя бы мы пожелали это сделать тотчас по их произнесении. Этот акт усвоения содержания сознания памятью отнюдь не тождествен с переходом данного состояния за порог сознания. Произносимые слова ясно сознаются нами не только как совокупность определенных звуков, но как знаки определенно и ясно сознаваемых нами понятий.

Если взять обычное сравнение памяти с отпечатком на мягкой поверхности, то бессознательному акту будет соответствовать движение отпечатываемого предмета в некотором отдалении от этой поверхности, сознательному акту, не усвояемому памятью, соприкосновение с данной поверхностью без оставления на ней следа. Если же предполагать, что тот же предмет производит давление на эту поверхность, то соответственно тому, принадлежит ли эта поверхность вполне упругому телу, после давления возвращающемуся тотчас к первоначальной форме, или, в силу некоторой неупругости, оставляющему на себе след от давления, мы получаем два явления, отвечающие или одному первому моменту, или совокупности двух первых.

99


Мысля, мы связываем памятью различные звенья мыслительного процесса. Для того, чтобы вывести умозаключение, нужно помнить, покуда оно не выведено, отдельные посылки. Эту самую первичную форму памяти, которая проявляется в каждом, даже наиболее грубом, мыслительном процессе и действие которой ие идет дальше простого связывания отдельных моментов мышления, мы называем элементарной памятью8.

В элементарной памяти, позволяющей перейти от одной посылки к последующей, второй момент, можно сказать, почти исчезает, получаемый промежуточный член усваивается для того, чтобы тотчас воспроизвестись и затем подверпгуться забвению. Для того, чтобы хорошо мыслить, необходимо, чтобы весь мыслительный процесс представлял неразрывную и крепкую цепь, необходима известная чувствительность некоторых нервных элементов, но эти последние могут обладать большой степенью упругости и могут воспроизводить данное состояние достаточно сильно только в скором времени от момента усвоения, сохраняя эти состояния на более или менее долгое время. Для того, чтобы шахматист играл хорошо или математик хорошо вычислял, необходимо, чтобы первый помнил свои ходы, а второй свои числа; но по окончании игры или вычисления, и те и другие могут совершенно стереться из памяти.

Большим или меньшим развитием способности сохранения данного восприятием содержания обусловливается развитие человека. В то время, как для человека дела эта способность не играет существенной роли, ученый без памяти, как хранилища необходимых познаний, является совершенно бессильным.

§19. Удерживающая память математика.

Но не у всех ученых удерживающей памяти дано то же значение. Ясно, что чем более связи между различными объектами, запечатлеваемыми памятью, тем легче их запомнить. Всякая связь делает необходимым запоминание только части их числа, так как часть может уже без усилия воли вызвать и всю остальную совокупность. Математику нет необходимости удерживать в памяти все доказательство теоремы, необходимо лишь помнить исходный и конечный пункт, и идею доказательства.

Правда, ученый-математик должен удерживать в памяти огромное число формул и метод, но объем его памяти должен быть гораздо меньше, чем у натуралиста или историка.

В то время, как математик, утеряв в памяти что-либо, может это искать, восстанавливая промежуточные логические звенья между вспомянутым и забытым, натуралист, историк, химик и т.д., имея часто дело с совершенно обособленными и ненаходящимся между собой в связи объектами, должны совершенно в этом отчаяться.

100


Быстрое соображение, дающее возможность произвести подобные розыски в самое короткое время, позволяет математику и при сравнительно ничтожном объеме удерживающей памяти хорошо мыслить, между тем как, например, натуралист без памяти огромного числа фактов и терминов своей обширной номенклатуры совершенно бессилен.

От памяти математика требуется главным образом чувствительность, требуется, чтобы она быстро усваивала каждое звено той длинной цепи, через которую проходит мысль, и чтобы быстро и в неискаженном виде воспроизводила его при переходе к последующим звеньям.

От математика требуется главным образом элементарная, а не удержиаающяя память, требуется не 2-й, а 1-й и 3-й вышеупомянутые моменты акта запоминания.

Взяв приведенное выше сравнение, можно сказать, что память математика должна быть подобна гибкой и упругой поверхности.

§20. Различные роды памяти.

Нельзя сказать, что в этом исключительно состоит отличие математической памяти. Нельзя сказать, что память совершенно равнодушна к содержанию.

Иной легко запоминает музыкальные мотивы, другой, лишенный этой способности, быстро запоминает цифры.

Правда, память, как мускулы, развивается упражнением, но для существования памяти к известному классу восприятий, необходимо, все-таки, наличие некоторых элементов. Известно, что с музыкальной памятью родятся, и из двух братьев, слышавших одни и те лее мотивы, один может запомнить все, а другой ни одного.

"Фактические данные современной психологии, - говорит Рибо9, - говорят против воззрения, приводимого Дюгальдом Стюартом, что неравенства в способности сохранения памятью состояний различных типов зависит от неравенства употребляемого нами внимания по отношению к различным предметам и выбора, который ум делает из явлений и вещей, обращающих на себя внимание. Мы имеем случаи удивительной зрительной памяти художников Горация Вернэ и Густава Доре, рисующих портреты на память, шахматистов, могущих a l'aveugle10 играть несколько партий, знаменитых счетчиков вроде Диаманди и Иноди, производящих в уме большие вычисления <...>.

Психологический анализ, таким образом, показывает, что не существует единичной памяти, а есть только память множественная; точно также нет и какого-либо определенного местонахождения памяти, а есть столько различных мест, сколько [есть] различных видов памяти".

101


Воспоминание вовсе не находится, как часто говорят, в душе, оно пребывает в месте своего возникновения в той или другой части нервной системы.

Для такого рода частных памятей необходимо поэтому особое анатомическое устройство (например, органа зрения), соответствующее данному чувству.

§21. Классификация родов памяти.

Какая память главным образом свойственна математику? Психологический анализ не может удовольствоваться одним признанием существования специфической математической памяти, он должен исследовать простейшие элементы, на которые разлагается этот сложный психический акт, дав возможность с различных точек зрения отнести ее к более общим видам памяти.

Прежде, чем провести на наш взгляд наиболее естественную классификацию видов памяти, мы сделаем одно замечание, на первый взгляд представляющееся парадоксальным.

Память не сохраняет непосредственно отвлеченных понятий, она сохраняет лишь ощущения, которые при своем воспроизведении заставляют пас мыслить об этих понятиях.

Процесс воспоминания представляет движение от центральной нервной системы к периферической, где, по мнению Рибо, мы и находим искомое, но, прибавим, не мысль, а лишь отпечаток пережитого периферическим нервом ощущения, и только через обратное центростремительное движение воскресает понятие. Желая вспомнить, в чем состоит система Спинозы, мы вспоминаем раньше термины: субстанция, атрибут, модус и т.д., которыми пользовался Спиноза, и только затем, постепенно, по ассоциации идей, воскресают в нашей голове различные пункты его системы. Желая вспомнить математическую теорему, мы сперва вспоминаем или алгебраическую формулу, или чертеж.

Такой взгляд нас склоняет к признанию стольких видов памяти, сколько существует видов ощущений. Но помимо этого, за ту же классификацию говорят и факты, ясно обнаруживающие специфический и независимый характер, слуховой, зрительной и т.д., к отдельным видам ощущений относящихся памятей. А именно, возможно, например, существование сильной слуховой памяти при слабой зрительной, и обратно.

Итак, мы говорим, что существуют памяти: слуховая, зрительная, обонятельная, осязательная, вкусовая и мышечная..

Содержание обоняния, вкуса и осязания является слишком редким предметом отвлеченного мышления.

Слова запоминаются некоторыми лицами слуховой памятью, так что они вспоминают ухом, так сказать, слышат то слово, которое желают вспомнить. Другие лица, вспоминая, вызывают зрительный образ напи-

102


санного слова. Это лица с преимущественным развитием зрительной памяти. К этим двум типам, отмеченным некоторыми психологами, присоединяем еще третий, когда запоминаются не звуки, не изображение ряда букв, а манера писать данное слово, т.е. рад мышечных ощущений руки. Этому типу свойственна мышечная память,

В виду того, что форма и размеры предмета познаются как собственно зрительными ощущениями, т.е. действием на нервные элементы, соединенные с сетчаткой оболочкой глаза, так и мышечными чувствами, непосредственно связанными с аккомодацией и конвергенцией глаза, то и память о форме и размерах предметов может быть как зрительной, так и мышечной, вследствие чего легко возможно смешение обоих видов памяти.

Пространственная память, или память на взаимное расположение предметов в пространстве, (в частном случае, их расстояние) есть частный случай мышечной памяти.

§22. Пространственная память математика.

Геометру необходима именно этого рода, т.е. пространственная память, его элементарная память должна быстро усваивать и легко воспроизводить геометрические построения.

Память геометра - не зрительная память, геометр не помнит зрительный образ чертежа, ои помнит только взаимное расположение линий и поверхностей, или их частей.

Следует заметить, что, хотя память зрительная и пространственная представляют различные виды памяти, как различны ощущения цвета и ощущения мышечные, тем не менее, они могут быть смешаны. Организм человека не имеет безупречной гармонии в том смысле, что ко всякому движению, направленному к известной цели, присоединяются вторичные автоматические движения, которые от низшей стадии развития до высшей постепенно сокращаются, никогда, впрочем, окончательно не уничтожаясь.

Ребенок, начинающий писать, совершенно не может производить движения только рукой, он двигает, обыкновенно, и языком, и мускулами лица, и даже ногой, но мало-помалу он перестает делать эти излишние движения. Точно таким же образом, желая запомнить фигуру, мы запоминаем невольно и цвета и тратим на последнее психическую энергию напрасно. Бесспорно, что у шахматиста, как и математика, центр тяжести лежит в пространственной памяти, но к ней частью примешивается и зрительная.

Впрочем, в иных случаях, те движения, которые являются до известного момента вторичными, могут потом заменить главные. Душа, стремясь по линии наименьшего сопротивления, может поступить таким образом с целью легчайшего достижения известной цели. "Между шахматис-

J03


тами-игроками, - говорит Бинэ", имеющими способность играть, не глядя на доску, существует огромное число говорящих, что во время игры они воображают шахматную доску и фигуры, как будто бы их видели. Иные видят формы фигур, дойке цвет".

Бинэ называет их память конкретной зрительной памятью.

По нашему мнению, цвет и фигуры в большинстве случаев - это только вторичная память. Игроку достаточно помнить расположение коня относительно пешки, но не цвет или те, или другие, особенности формы этих фигур. Зрительная память, таким образом, большей частью здесь является бесполезной, но с другой стороны, бывает, что с ее помощью мысль игрока бессознательно выбирает кратчайший, легчайший способ фиксирования и различения фигуры, Ей нет необходимости всегда помнить ход; ей достаточно до поры до времени помнить только цвет и, хотя бы в очень неясной форме, фигуру, и только в случае необходимости, по цвету и фигуре восстанавливать ее ход. Впрочем, в вид}' того, что несколько пешек, два коня, две туры и т. д.- одного цвета, необходимы еще другие признаки их различения, которые, вероятно, всегда исключительно пространственного характера, так, правая тура, т.е. стоящая с правой руки, отличается от левой.

Эту конкретную зрительную память Бинэ отличает от зрительной геометрической памяти тех шахматистов, которые, воображая шахматную доску, не видят ни цвета, ни форм фигуры.

Единственным различием фигуры является тот путь, который она должна сделать, чтобы достигнуть армии неприятеля. Такая зрительная геометрическая память сводится к почти чистой пространственной памяти; зрительная память имеет очень слабый эффект.

Тем не менее она действует побочно и воспоминанием ходов различных фигур воскрешает вид шахматной доски; эти шахматные игроки все-таки видят.

Исследование Бинэ устанавливает, что к пространственной памяти шахматиста примешивается еще зрительная, Тот же факт имеет место и у геометра, Вспоминая доказательство какой-либо теоремы, он мысленно чертит чертеж таким именно образом и вспоминает взаимное расположение его частей; в этом воспоминании непрерывного ряда мышечных ощущений и состоит геометрическая память. Но к этой памяти безусловно, как в вышеприведенном примере шахматиста, примешивается и зрительная память. Геометр часто видит чертеж, как видит шахматист доску при обеих разновидностях шахматной памяти.

Здесь, как и в мышлении шахматиста, могут быть как полезные, так и вредные элементы. Вместе с необходимым запоминаются и затем воспроизводятся памятью обозначения различных точек и углов, и другие детали, являющиеся лишь балластом при мышлении. Но иногда переход

104


от мысленного черчения к видению есть акт полезный для души: это бессознательный выбор линии наименьшего сопротивления.

В то время, как пространственная память разлагается на ряд мышечных ощущений во времени и подобно осязанию ощупывает предмет, зрение схватывает его во всей его целостности. Мысленное черчение дает нам действительно чертеж, который мы видим в воображении и который может сохраняться зрительной памятью.

Сделаем еще одно важное замечание, относящееся к математической памяти.

На первый взгляд представляется, что математикам свойственны два рода памяти: память геометрическая, т.е. память к геометрическим построениям, и алгебраическая, т.е. память к алгебраическим формулам и цифрам,

Но мы думаем, что память алгебраическая ничем существенно не отличается от геометрической, и представляет ту же пространственную память.

Мы ведь запоминаем не зрительный образ формулы (а -I- Ь)2 = а2 и- 2ab + Ь2

а22

= а + b и т.д.

а - b

а запоминаем эти формулы совершенно так же, как геометрические построения, т.е. как известное расположение буш а, в и цифры 2 по отношению друг к другу.

То же самое относится и к цифровой памяти,

§23. Педагогическое значение математики.

В связи с психологическим исследованием математической способности находится разрешение вопроса о педагогическом значении преподавания математики.

Специфический характер математической способности является причиной существования у некоторых лиц других умственных способностей, значительно превосходящих норму, с почти полным отсутствием математических способностей, Достаточно вспомнить два глубоко философских ума, широкие области которых, хотя и соприкасались между собой, но в общем не совпадали, Я говорю о Гете и Дарвине.

Более того, наше исследование нам показало, что философский и математический умы обладают психологическими элементами, находящимися друг с другом в антагонизме. Философу, мысль которого работает всецело в лучах сознания, математические открытия могут показаться рядом каких-то фокусов. Он согласится с доказательствами математика, но ему покажется естественным задать вопрос (как [это делал] Шопенгауэр), отчего при доказательстве теоремы проводят ту или другую линию, и он ие

105


удовлетворится разъяснением, что такое действие потом приведет к желанной цели. Ведь мы, покуда ведем исследование, скажет он, еще не знаем этой цели. Что это за суфлер, который раньше времени нам все подсказывает? Этот суфлер, как мы показали выше, это неточное мышление, глубоко заходящее в подсознательные области.

Повторяем, математик подобен музыканту, который часть своих быстрых и ловких движений должен совершать бессознательно, и для которого сознание может явиться лишь тормозом.

Математик мыслит быстро, математику присуще остроумие, но мы не можем назвать математический ум умом высшей ценности.

Математический ум не видит того, что видит ум философский. Он не видит, да и ие стремится увидеть, весь предмет; он видит только часть его, ту часть, которая служит как бы крючком, на который он прицепляет те логические цепи, при помощи которых желает связать все им мыслимое.

Обычное заблуждение, присущее математикам, состоит в смешении всего предмета с этой небольшой частью, доступной их взору, в смешении математических определений, скользящих, так сказать, только по поверхности, с самой сущностью предмета. Разве понятие о вероятности совпадает с понятием о некоторой дроби, которая служит в математике определением вероятности? Понятие о кривизне шире, чем то определение, которое дает геометрия. Математики с трудом могут примириться |с тем], чтобы даже в геометрических аксиомах находилось что-либо, не поддающееся математической формулировке, что-либо кроме крючков, за которые можно было бы привесить длинную цепь доказательств. Знаменитый математик Пуанкаре12 доходит до того, что совершенно забывает созерцательный характер геометрических аксиом н считает их за скрытые определения... ergo, между геометриями четырех и трех измерений нет существенной разницы!

Таким образом, ум в своем сознательном развитии, в стремлении обнять окружающий мир более глубоким и широким взором, не найдет себе в математике подходящей сферы, Такой ум должен необходимо выйти за границы логических определений и математических терминов и доказательств, он должен видеть в предмете также и то, что не может быть выражено никакими математическими формулами, то, для чего не только формула, но и слово может служить только намеком.

Таким образом, математические способности - ненадежное мерило ценности ума.

Такое мерило аналогично оценке богатств человека по одному количеству десятин земли, забывая другое движимое и недвижимое имущество, которое может существовать совершенно независимо от земли и давать еще лучший доход. Специфический характер математической способности делает математику доступной не всем: некоторый, и довольно большой, процент ее совершенно не понимает, у некоторых ее изучение почти сводится к одному заучиванию механических действий над символами.

J 06


Чисто интеллектуальный ее характер, не говорящий ничего чувству, делает ее интересной только крайне ограниченному кругу учеников.

Таким образом, не все могут ею заниматься и очень немногие желают ею заниматься.

Поэтому в общем цикле преподавания в общеобразовательных заведениях (а таковыми должны быть средние учебные заведения) математические щуки не должны, представлять основу общего среднего образования. Мы должны стараться, чтобы в предметах, ближайших к математике (таковы физика и космография) и неспособный к математике приобретал максимум познаний.

Педагогическое значение предмета может быть трояко:

  1.  предмет может быть полезен,

может давать гимнастику ума, упражнением развивающую его гибкость и другие качества,

3) может развивать, расширяя кругозор учащегося.
Удовлетворяя первым двум требованиям, математика вряд ли удов
летворяет третьему.

Едва ли математика, этот фундамент, но не вершина наук, может расширить кругозор. Можно знать математику и кроме нее не знать ни одной науки. Между тем, как физику необходимо до известной степени знать также и математику.

Существование совершенно юных математических гениев, вроде 12-летнего Клеро, представляющего свой мемуар академии, или 20-летнего Галуа, создающего один из величайших отделов алгебры, указывает, при каком узком кругозоре можно быть не только хорошим, но и гениальным математиком.

Мы слишком далеки от мнения Платона, начертавшего при входе в свою академию слова: " Ауеашетрптос unSsic; еклто" (да не входит не знающий геометрии). Если бы в душе самого хозяина академии не уживался рядом с геометром еще поэт, который контрабандой, вопреки вывеске вошел в академию, то мы не имели бы платоновской философии. Но этот случай уживания в одной душе геометра и поэта, создающего двойственность души, случай очень редкий, явление вроде двойственности сознания. Обыкновенно звук каждой из этих струн души заглушает другую.

Не полагая математику основой среднего образования, мы тем ие менее далеки от взгляда Шопенгауэра, по мнению которого единственная непосредственная польза математики заключается в том, что она может приучить рассеянный и легкомысленный ум сосредоточивать свое внимание.

Главное педагогическое значение математики состоит в гном, что в математике, преимущественоо перед другими предметами, ученику предоставляется самостоятельная умственная работа.

107


В других предметах ему главным образом приходится понимать мысли других, в математике при решении задач ему приходится мыслить самостоятельно.


Случай и бессознательное.

§1. Теория вероятностей и будущее.

По теореме Якова Бернулли, по вероятности какого-либо события можно судить о том, насколько часто будет появляться это событие при предстоящем ряде испытаний. Если вероятность игрока выиграть партию равна-,

то следует ожидать на две партии одного выигрыша.

Если последнее правило будет систематичесии нарушаться, если у игрока будут непрерывные полосы проигрышей по 20-30 раз, то мы сочтем такое явление настолько исключительным, настолько противоречащим выводам теории вероятностей, которая в подобных элементарных выводах является здравым смыслом, выраженным математическими формулами, что будем вынуждены прийти к убеждению, что не случай определяет исход событий, а нечестные действия партнеров.

Вероятность есть отношение числа благоприятных событию случаев к числу всех единственно возможных случаев, причем все случаи предполагаются рае невозможными. Если в урне 10 белых и 10 черных шаров,

то вероятность вынуть черный (или белый) шар равна 10/20 =^. При этом

предполагается, что вероятность выхода каждого определеннооо шара одна и та же. Но если игрок сознательно вынимает белый шар, руководствуясь осязанием по царапинам, предварительно нанесенным на каждом из черных шаров, то равновозможность случаев уже не имеет места, вероятность

уже ие определяется числом ^, и белый шар не следует ожидать 1 раз на 2

выхода.

Равновозможность случаев мы устанавливаем при предположении совершенно идеальной обстановки, предполагая отсутствие каких-либо факторов, действующих в строго определенном направлении, в сторону появления событий какой-либо определенной категории. При определении вероятности выхода черного шара из урны, где находятся как черные, так и белые шары, мы предполагаем, что эти шары мы не видим, что мы не можем осязанием различить черного от белого, что шары не положены в урну преднамеренно нами же в таком порядке, что белые шары оказываются наверху, а черные - внизу, и потому белые первыми попадаются под руку.

Несходство действительно наблюдаемого числа появлений событий, например, появления черного шара при последовательных выниманиях шаров из урны, с тем, которое дается теорией вероятностей, указывает на наличие факторов, нарушающих эту идеальную обстановку, которы-

109


ми мы при машем вычислении вероятности и предвычислении ожидаемого числа появлений события не могли пренебречь вследствие значительного их влияния.

Обстановка, при которой производились испытания, оказывается значительно отклоняющейся от той математической схемы, с которой она отождествляется в теории вероятностей.

Теория вероятностей учит, что вероятность последовательного появления счастливой карты равняется произведению вероятностей ее появления в каждой из партий, что эта вероятность мала, что случаи, когда игрок выигрывает несколько раз подряд, очень редки. Если вероятность выигрыша при одной партии а, то вероятность последовательных выигрышей при п партиях равна а". Но теория вероятностей смотрит на вероятность событий, как геометр - на тела, или как механик - на движение, принимая в расчет только наиболее значительные силы. Теория вероятностей предполагает, что ход игры зависит только от числа благоприятных комбинаций карт и пренебрегает теми факторами, которые, хотя и имеют место, ибо мы имеем дело с действительностью, а не с идеальной схемой, но оказывают слишком слабое влияние на исход игры.

§2. Математическая схема жизни и действительность.

Но столь ли незначительны тс силы, которые выводят действительность за рамки этой геометрической схемы? Факты, о которых говорит и народная мудрость, и горький опыт тех, которые имеют постоянное дело с случаем, иногда резко идут против принципов теории вероятностей, указывая, что геометрическая схема слишком тесна для жизни, мрачную глубину которой нельзя ни измерить, ни вычислить.

Они учат о полосах, счастливых и несчастных случаев, о неумолимой и капризной судьбе, имеющей своих любимцев и пасынков. Во всех этих случаях мы должны признать действие силы, которую теория вероятностей не в состоянии изловить и выразить в числах.

Если вероятность выиграть в первую партию d, то, по теории вероятностей, вероятность последовательных выигрышей в п партий равна

а". Но, вследствие действия неведомого фактора, склоняющего судьбу в

сторону игрока, вероятность во вторую партию не а, а а+ее, где е2 хотя и малая, но некоторая, отличная от нуля, положительная величина, при третьей партии вероятность не а и не а-|-s2, а а+е3, где е3 > е2, затем а4, е4 > б2 и т.д. Вероятность п последовательных выигрышей

a(a + s2)(a+83)... (a + s„_t)>a"

ПО


и может быть значительно больше а" и даже очень велика, если члены ряда

ej.Bj.-.s,,., быстро возрастают. Под действием такой силы, вероятность выигрыша (или проигрыша) при последовательных партиях возрастает.

Но такое действие, как учит горький опыт, имеет место лишь пока полосы несчастных и счастливых событий продолжаются. Как известно каждому, эти полосы обрываются сразу, игрок подобен канатному плясуну, который каждую минуту рискует оборваться; он движется шаг за шагом, счастливый шаг дает ему уверенность в новом шаге, пока не дойдет до последнего рокового шага, который и ввергнет его в пропасть. Счастье игрока подобно приятному сновидению, которое внезапно обрывается, возвращая его к прежней действительности. Посмотрим, что говорит "игрок" Достоевского.

"Не помню я уже тут ни расчета, ни порядка моих ставок. Помню только, как во сне, что я уже выиграл, кажется, тысяч шестнадцать флоринов, вдруг тремя несчастными ударами спустил из них двенадцать; потом двинул последние четыре тысячи в "раз" (но уже почти ничего не ощущал при этом, я только был каким-то механизмом бессмысленным) опять выиграл, загнем выиграл четыре раза сряду. Помню только, что я забирал деньги тысячами, запоминаю я тоже, что чаще всех выходило двенадцать средних, к которым я и привязывался. Они выходили как-то регулярно, непременно раза три, четыре сряду, потом исчезали на два раза и потом возвращались опять раза на три или четыре сряду. Эта удивительная регулярность встречается иногда полосами и вот это-то и сбивает с толку записных игроков, рассчитывающих с карандашом в руках1.

Эти фанты отнюдь не приводят нас к признанию метафизического элемента, действия трансцендентной сущности, живущей вне времени и пространства и направляющей судьбу игрока разумно к выполнению своих, нам неведомых целей.

Нам представляется совершенно бесцельным и бессмысленным распределение даров фортуны, как между различными людьми, так и для одного человека в различное время.

Эти полосы счастливых и несчастных случаев представляют [собой] нелепые подражания однажды происшедшему, причем не носят на себе никакой печати разумной целесообразности и какого-либо интереса к тому, несут ли они счастье или гибель человеку.

Здесь невольно возникает образ обезьяны или идиота, который тупо повторяет телодвижения стоящего перед ним человека.

"Математическая" точка зрения устанавливается теорией вероятностей и на всю человеческую жизнь, которую можно рассматривать как ряд игр в том широком смысле слова, каким пользуется теория вероятностей, где игроком является сам человек, ставящий себя на карту по своему

Ш


желанию или по принуждению безжалостных случайных обстоятельств, в которые он попадает на жизненном пути. С этой "математической" точки зрения судьба не представляется жестоким существом; она может блестяще оправдать себя от неприятных обвинений с помощью теории вероятностей.

Вот два человека: Павел и Петр, приблизительно одной и той же среды, с одной и той же жизнеспособностью. Павел и Петр - это два игрока, выигрыш которых определяется выходом [для] первого - белых, [для] второго - черных шаров из урны, причем в урне [находится] одинаковое число белых и черных шаров. Если на голову Павла повалятся несчастья, то причиной этому не гнев богов, а только то, что этот человек или слаб и не может вынести то, что другие выносят, не может побеждать и должен быть побежден, или то, что он безумно смел и рискует там, где не следует рисковать.

Василий Фивсйский не укладывается в математическую схему, как и бедный Макар русской пословицы.

Но жизнь много глубже, много трагичнее и злей, чем наша схема, в которую мы желаем ее всунуть. Она смеется над математическими расчетами там, где результаты последних ожидаются с наибольшей уверенностью. Иногда с жестокой настойчивостью тянутся полосы удач и неудач, и все усилия человека порвать их не достигают цели. Перстень Поликрата, брошенный в море, возвращается снова к Поликрату хотя бы [и] чудесным путем.

§3. Мое и не мое.

Всякое сознательное действие слагается из элементарных актов, из которых только часть сознается, большинство же находится под порогом сознания. Когда я иду по дороге к наперед намеченному мною месту, то совершаю ряд шагов, из которых большинство совершается бессознательно, как движение смычком музыканта. Во время ходьбы мое сознание может быть всецело занято каким-либо размышлением, которое прерывается время от времени в те моменты, когда процесс ходьбы всплывает в сознании. Встреченный по дороге человек, перед которым следует посторониться, неровная почва, препятствующая ровной ходьбе и т.д. являются причинами таких разрывов. Независимо от прогресса мышления, протекающего в сознании, бессознательная мысль свершает свою работу, управляя ходьбой, как бы по данному приказанию или инструкциям сознания, и только в исключительных случаях обращается за помощью к высшей инстанции.

Всю цепь элементарных актов, из которых, слагаются наши действия, можно представить себе в виде неровного дна реки, то поднимающегося над уровнем воды, то опускающегося вглубь.

112


Направление наших бессознательных шагов, даже, более того, средняя их скорость определяется некоторой сознательной целью, которая определяет сознательное действие. Но, конечно, сознание заинтересовано только общим направлением шагов, в иных случаях их скоростью, но для него являются безразличными детали, оно допускает произвольность в известных границах; шаги могут быть то меньше, то больше, движение может отклоняться то влево, то вправо, не направляясь с геометрической точностью по одному направлению, отмеченному сознательной волей.

Таким образом, элементарные акты определяются сознанием не вполне, а только частично. Чем определяется эта остающаяся, независимая от сознания часть? Следует ли предполагать, что бессознательная деятельность только слепо выполняет то, что ей приказывает сознание, что, например при ходьбе, ее деятельность сводится только к производств}' шага в данном направлении и с данной скоростью, намеченными сознанием? Следует ли думать, что, если один из ряда актов отличается от другого, то это только вследствие того, что тот механизм, который находится в распоряжении бессознательной психики, не вполне совершенен и не дает возможности в точности выполнять ей веления высшей инстанции?

Или, наоборот, следует предположить некоторую автономность в деятельности бессознательной психики, признать, что существует некоторая область, на которую не распространяется власть сознания, в которой бессознательное эмансипируется, где направление и характер действий определяется не выставленной сознанием целью, а другими целями, лежащими ниже порога сознания?

§4. Механизм бессознательных актов.

Для решения этого вопроса нам кажется необходимым установить особую точку зрения на бессознательные процессы. Нам представляется, что только тогда введение в рассмотрение бессознательных актов является в науке плодотворным, если предполагать, что механизм их совершенно тот же, что механизм сознательных актов. Мы должны совершенно отбросить взгляд на бессознательную психическую деятельность, как на непосредственное проявление Абсолюта, этот источник самых серьезных заблуждений. По этому учению под порогом сознания мы носим какого-то бога, который безошибочно, с искусством, завидным для вечно колеблющегося и полного ошибок сознания, работает для [реализации] своих метафизических целей. Это драгоценное свойство бессознательной деятельности, служащее печатью трансцендентного происхождения бессознательной психики, должно быть раз и навсегда отвергнуто. Если мы теперь проследим все те случаи, где является необходимым для объяснения введение бессознательных процессов, то легко увидим необходимость представления их вполне аналогичными сознательным, с единственным различием в том,

113


что в них отсутствует сознание. Приходится говорить и о бессознательном мышлении, и о бессознательных воле и ощущении,

"Бессознательная деятельность,- говорит Геффдинг,2 - несет на себе отпечаток тех же принципов и законов, которые управляют и сознательной работой".

Противникам введения в психологию понятия о бессознательной психической деятельности необходимость признания бессознательного ощущения наряду с бессознательным мышлением, с которым еще, может быть, их молено примирить, может показаться доказательством Reductio ad absurdum ложности этого учения. Молено ли ощущать, не сознавая этого ощущения? Не представляется ли это воплощенным абсурдом, так как сознание должно явиться неотъемлемой частью каждого ощущения, и только через сознание мы узнаем, что такое ощущение?

§5. Низшие сознания.

В споре о бессознательном возможно примирение во многих отношениях между противными сторонами. [Это возможно], если сгладить и последнее различие между бессознательной и сознательной психической деятельностью, если признать, что то, что мы называем бессознательной деятельностью, лишено не вообще сознания, а того сознания, которое определяет единство нашей личности, если признать, что порог сознания не указывает конец сознания, что те ощущения, интенсивность которых опускается ниже границы, отвечающей порогу сознания, могут существовать в области низшего порядка сознания. На этой точке зрения и становится Э. Гельтман в своем учении об относительном бессознательном в противоположность Абсолютному.

Тот же вывод делает и Геффдинг, основываясь на психофизическом параллелизме. "Бессознательное, - по его мнению, - как таковое, понятие чисто отрицательное, ничего не объясняющее; пололсительное в этом понятии есть сознательная душевная жизнь в низших центрах сознания, и только после признания этого положения, бессознательное становится положительным объяснительным принципом. Физиологически это объясняется тем, что каждое раздражение, доходящее до большого мозга, разветвляясь на пути, вызывает также и в подчиненных нервных центрах возбуждения, которые, отчасти, самостоятельно превращаются в движения, а отчасти вновь посылают модифицированные раздражения к большому мозгу". Того же мнения придерживается и Паульсен.

Итак, наряду с главным, властвующим, царственным сознанием мы признаем другие сознания низших порядков.

Мы рассматриваем психическую исизнь состоящей из целого ряда психических центров, около которых группируются системы психических актов.

114


Да не покажется странным признание таких ощущений, которые мы не сознаем, но которые тем ие менее сознаются. Ощущения Павла не сознаются Петром, но тем не менее Петр не имеет основания отрицать ощущения Павла. В то время как то, что называют сознательной психической деятельностью, представляет [собой] систему основного центра С, совокупность низших центров определяет бессознательную или, лучше сказать, подсознательную жизнь.

Взаимоотношения между этими центрами следует понимать отнюдь не в смысле какой-либо социалистической общины, каждый член который пользуется равными правами или, лучше сказать, равным бесправием, служа всецело безопасности и благосостоянию этой общины. С представляет [собой] тирана, захватившего власть, но каждый момент рискующего потерять ее, если не во всем своем царстве, то хотя бы в небольших его частях. Борьба с самим собой - вот главное содержание жизни. Это - борьба ангелов и дьяволов, живущих не вне нас, а в нас самих, это война различных душ, разлггчных сознаний. Это ряд заговоров рабов против повелителей, усмирение их или гибельная для господина и них самих победа! Но даже бесправный раб имеет свое, хотя бы и весьма жалкое, имущество, имеет хотя бы и весьма узкую область, в который уже он является неограниченным владыкой. Низшее сознание, или, как мы будем называть, низшая психика, в силу присущей ей воли к власти, должна захватить ту область, которая оставлена ей господином без внимания. То что в элементарных актах не определяется цептральным сознанивл!, принадлежит низшим сознаниям. Итак моим телом владеет не одно Я а многие ведя время от времени борьбу за обладание и не инстинкт самосохранения а воля к власти - главный фактор этой борьбы. Как богач, заняв квартиру в двенадцать комнат, загоняет бедняка в подвальную каморку, так и центральное Я, овладев главной частью организма, оставляет низшему Я незаметную ему область, которая тем не менее может таить в себе то, что может послужить к его гибели.

§6. Гиперстззия низших сознаний.

Есть области, где порог сознания низшей психики ниже, чем для С, и это является причиной того, что эти ощущения нами не сознаются. Низшая психика может слышать и видеть, когда С ничего не видит и не слышит. Как центральная психика в своей широкой области, так и низшая в своих узких, эволюционируют, и низшая психика, связанная, например, с нервами осязания, может, будучи в остальном неизмеримо ниже центральной, лучше осязать и знать то, чего не знает эта последняя.

Орел со своим ничтожным мозгом обладает зрением, о котором не может мечтать ни один человек, и которое служит ему не для раскрытия тайн пестрой природы, его окружающей, а для выслеживания с тех огром-

1.15


ных высот, на которые он поднимается, тех жертв, которые служат ему пищей.

Что такое предчувствие, как не результат большей чувствительности одной из низших психик? Начало процесса - первое ощущение и ряд умозаключений находится под порогом сознания, и только гонец, то сильное чувство, которое является как бы заключительным аккордом, всплывает, как туманное предчувствие, в область сознания.

Этот взгляд дает возможность представить в ясной форме то объяснение вещих снов, которое дает Вундт, опираясь на факт бессознательной психической жизни.

Вундт рассказывает о библиотекаре, который три ночи подряд видел во сне пожар вверенной ему библиотеки, пока, нагонец, ие заметил одно место на полке, где книги, прилегая к печной трубе, начинали тлеть. Таким образом во сне библиотекарь получил как бы предупреждение и, если бы он, под влиянием сновидения, не произвел тщательного осмотра, то сон мог бы оказаться вещим.

Явление это объясняется так. Запах гари был настолько слаб, что не мог быть ощущаем библиотекарем в бодрственном состоянии. Запах гари был недоступен сознанию, но тот же запах ощущался низшим сознанием, которое и создавало ряд отвечающих ему образов.

Во сне произошло колебание порога сознания С, и в него устремилось содержимое низшего сознания.

Во сне имеет место понижение деятельности только главной, основной психики, но психики низших порядков могут проявить, наоборот, повышенную, в сравнении с нормальной, деятельность. Когда хозяин спит, слуги чувствуют себя хозяевами.

Во сне колеблется единство личности; в сознании выплывают такие образы, ощущения и мысли, которые не могут быть связаны со всей системой психических элементов, образующих нашу личность. Эти образы, ощущения и мысли принадлежат низшим психикам. Из темных недр души на светлую поверхность сознания происходят извержения.

Случается, что во сне предлагают нам какой-либо вопрос или загадку, на которую мы не можем ответить, но на нее отвечают другие, и в верности их ответа мы точно убеждаемся во сне или по пробуждении.

Можно было бы стараться объяснить это воспоминанием. Загадку, может быть, мы знали раньше и знали также и ее решение. В образах сновидения проектируются только наши воспоминания. Но подобное объяснение является неправильным в том случае, когда наверняка известно, что такой загадки мы не могли прочесть и весьма мало вероятно, чтобы могли ее от кого-либо услышать.

Автору пришлось увидеть следующее сновидение: войдя в комнату, он увидел своих братьев, которые предложили ему шараду: "первый слог - известный трагик, второй - предлог,третий - местоимение, а все вместе - лошадь" и, когда автор, по размышлении, не смог ответить, ему

116


была дана разгадка: "Россинато". Очевидно, в этой шараде ошибка: лошадь Дон-Кихота - не Россинато, а Россинант, "нан" не может быть предлогом. Такой шарады, конечно, не приходилось ни читать, ни слышать и вряд ли приходилось и самому сочинять, так как тотчас по пробуждении была найдена ошибка. Продолжая начатую сознанием перед началом сна работу, низшая психика продолжала ее тогда, когда сознание было полно образами сновидений.

Колеблясь около порога сознания, мыслительная работа низшей психики только частью проникла в сознание. Сперва проникло задание загадки и проектировалось в образы сновидений, затем, под давлением течения образов, всплывает и разгадка.

Строение низшей психики то же, что и высшей. Она желает, ощущает и мыслит. Будучи в общем ниже по развитию, она может, тем ие менее, проявить некоторые специальные способности, равные и даже превосходящие соответствующее способности высшей психики.

§7. Убожество низшей психики.

Мы считаем необходимым подчеркнуть тот факт, что общее развитие низшей психики очень низко.

Из того, что в величайших открытиях принимала участие, бессознательная мысль, не следует ей, главным образом, приписывать в этом заслугу. Выстроен тысячами рабочих храм, - но не рабочих, а архитектора мы должны признать творцом этого храма. Выиграно сражение, кто же главным образом победитель: сражавшиеся солдаты или их гениальный полководец? Архитектор без рабочих, полководец без солдат - ничто, так как их идеи остаются неосуществленными.

Бесспорно, что огромная часть мыслительной работы совершается в тайниках подсознательной жизни, рядом с главной психикой прядут свою пряжу и низшие психики. Но работа последних определяется высшей. Если задача, не решенная сознанием, решается в подсознательной области, то отнюдь ие потому, что за порогом сознания сидит лучший, более смышленый работник, а только потому, что здесь, хотя и лучший, да только один, а там их тысячи, хотя эти тысячи хуже мыслят и кругозор их уже, но на тысячу неудач может быть одна удача, и эта-то удача и всплывает в сознание. Вот как характеризует Бинэ3 бессознательную жизнь нормального человека: "ходить, садиться, перевернуть страницу книги, - это все акты, которые мы совершаем, не думая, но довольно трудно изучить у человека нормального бессознательную деятельность: и, более того, эта деятельность представляется консервативной, состоящей из привычек, живущей повторениями, вообще она выдумывает мало, иногда кажется судящей и рассуждающей но эти суждения и заключения - старые, которые она повторяет, и почти никогда не возвышается до ступени независимой личности".

117


§8. Лторичное Я истеричных.

В нормальном состоянии центральное Я. властвует над другими, низшими Я, властвует, как неограниченный монарх. Но может случиться, что рядом с тираном встанет узурпатор части или даже всей его власти. Обе руки поднимаются велением основного центрального сознания. Боль от укола руки доходит до него, как сигнал об опасности, и, в свою очередь, мышцы производят то, что отвечает решению, принятому главным Я для отражения опасности. Но, когда равновесие нервной системы нарушено, когда мы имеем не нормального, здорового человека, а истерика, то может случиться, что рука не почувствует боли и не будет повиноваться сознательному желанию.

Власть над ней отнята от центрального Я. Она не принадлежит ему. Владения тирана разделены. Здесь мое, но рядом с моим есть то, что не Я, что другое Я считает своим.

Нечувствительная рука истеричного нечувствительна только для центрального сознания, но она чувствительна для другого сознания, для того, которое узурпировало власть главной психики. Именно на эту точку зрения становится Бинэ при своих объяснениях явлений сомнамбулизма.

В явлениях истеричной нечувствительности, когда, по мнению Бинэ, мы имеем, так сказать, перед нашими глазами, два сознания, одно, хотя и потеряло часть своей власти, но еще настолько сильно, что составляет независимую личность, другое находится наполовину в эмбриональном состоянии, подобное ребенку, который, выйдя из утробной жизни, еще не все видит и не все слышит. И вот, изучая эти сознания, мы можем, так сказать, воочию наблюдать подтверждения того, что выше сказано о низших психиках.

Прежде всего резко выступает возможность гиперстезии. Низшие психики могут лучше видеть, лучше слышать, чем основные.

"В явлениях отрицательных галлюцинаций (или, как ее называет Бинэ, систематической анестезии) субъект по внушению, сделанному ему в гипнотическом состоянии, не видит определенных, указанных в этом состоянии предметов.

Так, например, не видит из пяти карт одну определенную карту, например, туза пик. Совершенно справедливо замечает Бинэ, что для того, чтобы субъект не видел определенной карты, необходимо, чтобы он предварительно ее узнал, необходимо, чтобы подсознательное Я его видело. Все это весьма ясно доказывает, - говорит Бинэ, - что субъект поступает, как личность, имеющая желание, волю не видеть невидимый объект, он устанавливает себя так, чтобы не видеть, он приспособляет себя к этому: и он стремится в особенности не смешать его с тем, который ему оставлен, он различает его от других, он его узнает, но иногда ошибается, это значит - не узнал его".

118


§9. Тенденция к подражанию низшей психики.

В тех же явлениях видно и общее низкое развитие вторичного сознания в сравнении с главным, Действия его определяются большей частью не сознательными целями, а только волевыми представлениями. Образ или идея влечет его к соответствующему действию так же, как движения человека влекут обезьяну или ребенка к подражанию им или взгляд с высоты горы или высокой башни влечет нас к падению. В основе недоразвитая и только односторонне гиперстезированная низшая психика обнаруживает резко склонность к подражанию и повторению. Вот простейшие опыты над истеричными, о которых упоминает Бинэ5.

"Пусть нечувствительная рука субъекта спрятана за экраном. Дадим этой руке медленное или быстрое правильное движение, например, движение ко рту и обратно, или будем вертеть руку около локтя или будем сгибать палец. Если мы теперь внезапно остановим член во время движения, то увидим продолжающимся некоторое время движение, которое будет различно для разных субъектов. У одних сообщенное движение продолжается очень мало, палец, который сгибали несколько раз, разгибается очень трудно, если его оставить: движение слабо и неустойчиво. Наоборот, у других больных сообщенное движение может повторяться несколько раз подряд, и мы видели истеричных, у которых повторение имело место сто раз без перерыва".

Эта склонность к повторению замечается и при более высоких актах подсознательного. Это можно усмотреть и в автоматическом письме истеричных.

Особа пишет по несколько раз одну и ту же букву.

В указанных нами опытах подсознательное повторяло свое, но можно указать случаи, когда оно повторяет то, что начало сознательное*. Можно попросить истеричного написать несколько раз букву А, и затем остановить, - вопреки его желанию рука продолжает писать, и часто молено прекратить это, лишь отбросив перо в сторону. Если чувствительная рука истеричного выводит какие-либо буквы, то нечувствительная рука вложенным в нее карандашом пишет те же буквы.

Низшее сознание, управляющее ею, не понимает их, оно ие может о них судить и рассуждать, оно только тупо подражает тому, что делает главное сознание.

§10. Раздвоение личности.

Может случиться, что гордый тиран, сверженный узурпатором, уступит хотя бы на короткое время свое место этому последнему. Тогда прежнее Я заменится новым Я, и это новое Я, как и прежнее, обратится в личность, оно притянет к себе иные, чем прежнее Я, элементы, оно начнет новую жизнь в чужом жилище. Мы будем иметь тогда не два сознания, а две личности, мы будем иметь две жизни в одном теле, последовательно друг друга сме-

U9


ияющих. Сегодня эта голова, эти руки и эти ноги принадлежали А, который имеет свой характер, завтра это же принадлежит В, который ие знает А, который помнит то, что не помнит В, который весел, когда А угрюм, который нравственен, когда А полон самых грязных пороков. Во многих психологических сочинениях мшено найти описание известных наблюдений доктора Азама над некоей Фелицией, которая жила двумя жизнями, разделенными между собой истеричным припадком и сном. То же случилось и с одной американкой. При этом при переходе из одного состояния в другое ей приходилось всему снова учиться, так что вторичное сознание все-таки и по одержании полной победы осталось значительно ниже развитым в сравнении с первичным.

§11. Уроды.

Там, где само высшее сознание не высоко, низшее сознание может по его исчезновении легко занять его место, хотя бы на короткое время. Организм будет продолжать жить совершенно так же, вдк продолжает существовать и идти к цели отряд солдат, в котором убитого офицера замещает один из солдат.

Животное7, лишенное всего головного мозга, может приспосабливать свои движения к изменившимся внешним условиям и притом приспосабливая так, что, если бы мы имели право видеть здесь сознание и волю, мы должны были предположить у лягушки полное знание положения гак всего тела, так и отдельных его частей.

Если у лягушки отрезана нога на той стороне, на которой действует на тело кислота, то лягушка сначала делает бесплодные попытки стереть раздражающую жидкость культей, но потом употребляет ножку другой стороны тела. Если положить обезглавленную лягушку на спину и помазать кислотою внутреннюю сторону одного из бедер, то она, стараясь удалить кислоту, трет бедрами друг о друга: если при этом оттянуть одно бедро в сторону, то, после некоторых попыток в прожнем роде, она вытягивает другое бедро по направлению к первому и снова достает им до раздраженного места и т.д.

Но самостоятельное положение двух сознаний в одних и тех же областях может проявиться и единовременно, именно тогда, когда анатомическое строение организма дает повторение одних и тех же органов, т.е., когда мы имеем дело с уродом.

"У уродов паразитного типа, - говорит Рибо, - по мере того, как организация делается почти единичною, все жизненные отправления, все проявления воли совершаются почти также, гак и у нормальных существ. Меньший из двух индивидуумов, являясь придатком и инертной частью большого, имеет на него лишь очень слабое влияние, ограничивающееся самыми малыми из отправлений".

120


Урод, известный под назвавшем "Epicone de Home", имел одну паразитную голову, которая представляла [собой] лишь весьма несовершенный очерк нормальной жизни. "Я ие есть, - заключает Рибо*, - сущность, действующая как и где ей угодно, произвольно управляющая органами и произвольно ограничивающая свою область... Область ее определяется анатомическими связями с мозгом и оно представляет то целое тело, за изъятием одной нераздельной части, то половину тела, то такую ничтожную область, как у уродов паразитного типа, что ие может существовать и обречено на гибель",

§12. Низшая психика в элементарных действиях.

Для того, чтобы уяснить, каким образом можно найти фактор, изменяющий вероятности случаев видимо равно возможных и создающий полосы счастий и несчастий в бессознательной жизни, в деятельности тех низших психик, о которых мы говорили, возьмем сперва явление, так сказать, простейшего механизма. Возвратимся к процессам ходьбы. Предположим, что, свершая свой обычный путь от квартиры до университета, я однажды споткнулся на каком-либо месте. Неудачный шаг был также (относительно) бессознателен, как и большинство остальных шагов. Вина в неудачном шаге лежит на низшем сознании, которое, как мы уже не раз утверждали, может ошибаться так же, как и главное сознание. Расчет длины шага был неправильно сделан. Если эта ошибка повторится второй раз, то она еще легче повторится и третий, а затем и четвертый раз, если только не вмешается сознание, т.е. я не обращу на это внимание, сознательно не сделаюсь более осторожным. Опыт показывает, что низшая психика имеет склонность повторять ошибки, действовать не в направлении пользы и безопасности всего организма, а слепо воспроизводить несколько раз свершившееся вредное действие. Таким образом поступает низшая психика Горбуновского ямщика, сваливающего тарантас "кажиниый раз на этом месте"'.

Такая повторяемость является возможной вследствие автономности низшей психики в известных границах, правда довольно тесных. Сознание С, как нами было показано, не интересуется деталями, оно требует ряда шагов, свершаемых в намеченном направлении, не интересуясь механизмом каждого шага. Споткнуться или не споткнуться, пока сознательное внимание не направлено на движение йоги, всецело зависит от психики низшего порядка.

Если эта последняя находится под властью какого-либо довольно сильного представления, способного вызвать соответствующий ему волевой импульс, то действие ее может оказаться вполне неразумным. Она может направить все то, что поручено ей высшей психикой, к опасности. Она может под очаровывающим действием какого-либо образа увлечь ее и себя к окончательной гибели,

121


§13. В силке подсознательного.

Передо мной опять находится урна с 10 белыми и черными шарами. Вероятность вынуть белый шар равна вероятности вынуть черный. Вынимая последовательно на удачу один шар за другим и возвращая его в урну, я должен рассчитывать, что черный и белый шары будут выходить одинаково часто. Условившись с кем-либо получать с него I рубль за белый и отдавать 1 рубль за черный, я должен ожидать, что не буду ни в большом проигрыше, ни в большом выигрыше. Такая игра должна быть признана безобидной для меня и для моего партнера. И мы выше указали, что такие выводы имеют место только если выходом руководит случай, если действительность близко подходит к математической схеме, если Я не знает, где белый и где черный шар, или, точнее, если никто из власть имущих над моей рукой [этого] не знает.

Но то, чего не знает главное .я, то может быть известно низшему Я, что не известно начальству, то может знать подчиненный. Движения руки в урне, которые приводят к поднятию того или другого шара, это и есть те малые движения, которые не подчинены центральному Я, но про которые еще нельзя сказать, что это движения чисто механические, что человек в этих движениях - автомат, наподобие декартовых животных.

Эта область принадлежит низшему Я, это тот угол, в который победитель, торжествующий своей неограниченной властью, центральное Я, загнал своего побежденного врага. Но там, в этом темном углу, в этой скрытой засаде, враг лучше видит, и больше знает, чем его победитель. Он может оказаться именно таким низшим сознанием, которое в известных отношениях обладает большей силой, гиперстезией каких-либо способностей. Как вторичное Я спящего или сомнамбула оно может обладать более тонким осязанием, различающим поверхность черного шара от поверхности белого, может иметь и такие способности, которые у главного Я или [пребывают] в эмбриональном состоянии или даже совершенно отсутствуют.

Где белый и где черный шар? Центральное Я этого не знает. Но ведь "Я" библиотекаря, о котором мы выше говорили, не слышало того запаха, что был доступен другому Я, вызвавшему образы его в сновидении. Низшее Я, властитель моей руки, которое по существу ничем не отличается в тот момент, когда я вынимаю шар, от вторичного Я сомнамбулы, оно именно и является помехой для законов случайности. Вмешательство этого низшего Я и нарушает приблизительную правильность поочередных выходов белого и черного шара, создавая полосы последовательных удач и неудач.

Оно знает, что сейчас вышел черный шар два раза, и его тянет направить руку, чтобы снова вышел черный шар, место которого оно знает. И опять за выходом черного шара оно направляется к новому черному шару

122


и продолжает так, пока не ошибется, ибо ему свойственно ошибаться также, как и высшему Я. Но если низшее Я знает, где белый и где черный шар, если оно может вынуть тот, который оно пожелает, то отчего же оно не вынимает тот, который является наиболее желательным центральному Я и тот, который, может быть, является необходимым и полезным всем Я, как высшему, так и низшим. Это происходит только потому, что это Я именно низшее и не только низшее в том смысле, как низшим является подчиненный к своему начальнику, но и в том смысле, что в общем (а не в некотором специальном направлении) оно менее развито, оно не может так мыслить, как мыслит центральное Я. Если оно поступает предательски, то не потому, чтобы оно желало сгубить своего монарха и себя самого; оно поступает так потому, что на той низкой степени развития, на которой оно находится, оно не может иначе поступать, оно, как вторичное Я сомнамбулы, главным образом должно повторять в своей автономной области.

При этом эта тенденция к повторению тем сильнее, чем сильнее тот образ черного шара, который опускается в низшее Я из сознательного Я, все более и более волнующегося то страхом, то отчаянием, при следующих друг за другом проигрышах, и все возрастая, он выступает все более и более могущественной силой против случая. Но весь ужас, как грозная туча окружающий в сознании образ черного шара, остается наверху, ибо низшее Я уже не способно ни бояться, ни отчаиваться так, как боится и отчаивается его властитель. Происходит то же, что с рукой сомнамбулы, но только в обратном направлении. Анестезированную руку сомнамбулы подвергают девяти уколам, в сознании его ярко возникает идея девяти, которую он не знает, куда отнести. В автоматическом письме10 главное сознание думает о слове, а вторичное сознание пишет слово; ассоциация идей совершается между сознаниями, но каждое из них остается в своих границах: сознание А ничего не знает об идеях и движении, производимых в В. Из А в В проникает только очищенная идея, без указания на то, что ее окружает, и она вВ производит действие, ей отвечающее. Сомнамбула иногда вспоминает явления бодрственной жизни, но не приписывает их себе, она говорит о бодрственной личности, как о посторонней, она вспоминает ее, как другую, ибо в сознание ее проникли лишь образы из жизни последней, очищенные от чувств, с ними связанных.

Совершенно такое же явление наблюдается в тех случаях, когда страх перед каким-либо явлением и все вытекающие отсюда старания центрального сознания избежать его, роковым образом разбиваются при встрече с какой-то более могучей силой, которая быстро возрастает вместе со страхом.

Достигая необычайной яркости при конвульсивных постоянных возвращениях трепещущего по нему под давлением ужаса сознания, представление опускается в низшее сознание, обращаясь в волевое представление, влеча последнее к действию, соответствующему ему. Идиот Достоевс-

123


кого" боится разбить китайскую вазу, столь дорогую Аглае, и вот страх роковым образом приводит к тому, что то из движений его, которое было для него бессознательным, свершает столь страшную для него катастрофу. Итак, мы видим, что сознание, отдавая себя случаю, отдает себя во власть низшим сознаниям, незаметно для себя выпуская из клетки диких зверей, добычей которых и делается. Подобно тому, как стадо коров, убежав от пастуха, мчится по полотну железной дороги, влекомое не инстинктом самосохранения, а очарованное огненными глазами приближающегося чудовища, под влиянием одного, все время возрастающего образа, сознание низшего порядка с упорством воспроизводит все те же действия в той узкой области, которая была обойдена вниманием его властителя и от которой зависиттеперь его судьба, с упорством движется навстречу тем событиям, которые несут гибель ему вместе с его опрометчивым господином.


О ЗАКОНЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ.

Natura поп facit saltus1 - это одно из тех положений, в которые крепко верит современное естествознание,

Бесспорно, что эта вера или, что то же, недоверие к кажущимся скачкам в ходе явлений оказала бесценные услуги науке. Действительно, очень часто непрерывное течение явлений представлялось нам прерывистым только вследствие того, что не все его стадии проходили через наше сознание. Лейбниц2, которому принадлежит открытие закона непрерывности, предлагает им руководствоваться в метафизических и естественнонаучных исследованиях. "Замечая, - говорит он, - нечувствительную постепенность в частях мироздания, начиная с человека до самых низших частей, на основании правила аналогии мы должны считать вероятным существование той же постепенности и выше нас, вне сферы нашего наблюдения, и этот род вероятности, - заключает Лейбниц,- есть великое основание разумных гипотез".

Закон непрерывности может быть строго сформулирован в двух следующих постулатах: первый относится к исследованию группы неизменных объектов, второй - к исследованию изменений во времени и в пространстве.

I. Наблюдая в объектах ABC... некоторый признак а, имеющий последовательно значения

а> b > с..., мы должны предполагать существование объектов А'В'С'..., признаки которых имеют значения а'Ь'с'...; промежуточные между (a b) (Ь с), сколь бы малы ни были эти промежутки.

Собирая, например, в роще листья и размещая их в ряд по их длине, я убежден в том, что, продолжая сбор листьев, я заполню промежутки в том ряду.

Зная двух сильных людей, из которых А побеждает В, я убежден в существовании где-нибудь третьего С, который, как и А, побеждает В, [но] как и В, побеждается сам А.

ТТ. Наблюдая при различных значениях одного признака х объекта A: х х ... изменение другого у, последовательные значения которого:

мы должны предполагать в промежутках (х,х2) (хЛ).„ такие значения х'х".., для которых у имеет значения у'у"..„ заключающиеся в промежутках: (у,У2)(у2У3)..., сколь бы ни были малы эти промежутки.

Так, например, при различном количестве топлива моя печь развивает различную температуру. При х} пудах топлива температура ур при

125


х2 она возросла до у,, но, вне сомнения, мне удастся положить столько топлива, чтобы температура была больше у1 и меньше уг

Частными случаями И-го постулата являются два следующих: Па. Наблюдая в различные моменты времени t,l2 изменение а признака объекта А, последовательные значения которого

371

бы малы ни были эти промежутки.

lib. Наблюдая в различных точках х, х... изменение признака объек-

мы должны предполагать в промежутках (t,!,)( уз)..., моменты U ..., для которых а имеет значения: а а ..., промежуточные между (aLa2)( аА).., сколь «ч малы ни были эти промежутки. lib. Наблюдая в различных т« та А, значение которого последовательно:

аиследишисльно:

а.>а,>аз..„ мы должны предполагать на рассто2ниях (х,х,) (х2х3)... точки хх ..., для

которых я имеет значение а'а"..., промежуточны) между .а,а,)( и2а3).... сколя

бы малы ни были эти промежутки.

Математическая формулировка этих законов будет следующей:

I) Область изменения признакоэ объектов вепрерывнау

II) Все законы природп выраэ/саются непрерывными функциями,
в частности, непрерывными функциями от

П)а ,ремени,

JIкоординат в пространстве.

Положение Па ясно сознается Ле.бницем, который выводит из него необходимость существования бетсознательной психической деятельности, заполняющей разрывы между сознательнымп актами.

Положение lib смутно сознается Декартом, утверждающим невозможность существования пустого пространства.

Но уще здесь возникают возражения против универсальности закона непрерывностис

При принятии гипотезы бессознательной психической деятельности достигается непрерывность психической деятельности, но факт прорывдости сознательной деятельнпсти остается налицо.

Что же касается до утверждаемого на ясновании закона непрерывности пустого пространства то ньютоговская физика з атомистическая теория окончательно нас разубедили в этом.

Вопреки положению lib представляется следующая альтернатива:

Или признавая единство материи признать пустое пространство т.е. разрывы между его отдельныма частями атомами или молекулами.

Или ме признавая различные роды материи например эфир и собственно материю признать промежутки между частями первой запол-ненными второй

Последняя гипотеза. будет янялогичня. тесгоии бессознательного мышления в психической де ятельш

126


В обеих гипотезах мы идем вразрез с выше формулированным законом непрерывности.

Многие другие примеры из естествознания также говорят против универсального значения закона непрерывности.

Сила природы, обратно пропорциональная квадрату расстояния, выражается функцией, непрерывной для всех значений расстояния, кроме равного нулю, когда она обращается в бесконечность. Будем менять угол отклонения в выражении времени, потребного для отклонения маятника на этот угол. Дойдя до известной величины, мы получим для времени уже мнимое значение, т.е. функция, выражающая время, претерпевает разрыв.

Сам Лейбниц утверждает, что разрывы в природе - лишь одна видимость.

"Все в природе, - утверждает ои3, - идет постепенно, а не скачками, и это правило относительно изменений является частью моего закона непрерывности. Но красота природы, требующая различающихся впечатлений, требует видимости скачков или, так сказать, музыкальные интервалы в явлениях, и соединяет вместе различные ступени. Так, хотя в некотором мире и могут обретаться виды, промежуточные между человеком и животным и, по-видимому, где-нибудь находятся разумные животные, за нами следующие, - природа сочла лучшим отделить их от нас, чтобы дать нам без помех превосходство на нашем земном шаре".

Но если согласиться с Лейбницем, что в естественных науках разрыв может быть только видимостью, в метафизических и теологических исследованиях мы должны признать хотя бы один разрыв между высшей из монад и следующей за монадой монад, т.е. Богом и этой последней.

Таким образом:

Функции, выражающие законы природы, не для всех значений переменных ннпрерывны.

Но мы можем также прибавить:

Область изменения переменных не всегда ннпрерывна.

Некоторые признаки предметов, например, температура не может быть ниже известного предела (-273°).

Кроме того, некоторые признаки объекта могут определяться только целыми числами, числами однородных объектов, агрегат которых представляет данный объект. В этом случае законы изменения других признаков могут выряжаться функциями от переменного, переходящего только через целые значения, Natura lacit saltus - природа делает скачки, но эти скачки - редкое исключение из общего правила.

Функции, выражающие законы природы, непрерывны, за исключением некоторых отдельных значений их. Такие функции представляют предмет исследования математического анализа, почему они и называются аналитическими функциями.

127


Таким образом, мы приходим к следующей формулировке закона непрерывности, принадлежащейН. В. Бугаеву', подвергшему остроумной критике закон непрерывности.

Законы природы выражаются аналитическими функциями.

Научное мировоззрение, основанное на этом законе, справедливо названо Н. В. Бугаевым аналитическим. Это направление до сих пор сказывалось во всех областях знания, всякое изменение в природе рассматривалось им как результат ничтожных изменений во времени, без резких и сильных переворотов. Если в иных случаях трудно было избежать признания крупных переворотов в сравнительно короткое время, то эти перевороты признавались за особые исключения из общего правила.

Лучшим выразителем этого направления является эволюционная теория Дарвина: происхождение высших видов из низших при помощи ряда ничтожных изменений их признаков под действием естественного отбора и борьбы за существование. Конечно, этот закон не является научным доказательством теории Дарвина, но все-таки положение: "natura поп tacit saltus" представляет своего рода философский аргумент в ее пользу [и] может служить лишней причиной пристрастия к ней.

В том же направлении идет и современная геология, признающая медленное и постепенное течение геологических процессов в противоположность прежним теориям катаклизмов.

Горячим защитником этого направления и непреложности закона непрерывности является Дюринг, автор "Философии Действительности"5.

"Если настоящее делается мерилом прошедшего и будущего, и если настоящий способ действия сил в природе представляет единственный образец для всех действий, то мировых катастроф в точном смысле слова нет.

Во всяком физическом процессе природы эпоха, за которой наступает перемена в свойствах процесса, приготовляется посредством медленного, постепенного повышения в количественных переходах".

С односторонностью аналитического направления в науке вступает в борьбу Московская философско-математическая школа* с покойным Н.В. Бугаевым во главе. Ей представляется возможным и необходимым соединить это направление с другим, с направлением арипшологическим, признающим возможность выражения некоторых законов природы численными функциями. Вместо того, чтобы считать разрывы только исключениями из общего правила, она справедливо признает в иных случаях их общим правилом. Она указывает, что не всякому отношению атомных весов двух химических элементов соответствует существующее соединение, а только некоторому определенному конечному числу его значений. Не всякому атомному весу отвечает химический элемент. Не всякое сочетание звуков производит гармонию, а только тоны, в которых высоты звуков находятся в определенных соотношениях.

128


Не определяются ли все эти законы числовыми функциями и не представляют ли они случаи, где применение аналитических функций для их объяснения является невозможным?

При таком взгляде, не отказываясь окончательно от аналитического объяснения явлений, мы можем предполагать существование и таких явлений, при которых этот взгляд может быть признан несостоятельным. Независимо от опытных данных, подтверждающих или опровергающих теорию Дарвина, мы должны отказаться от пристрастия к ней, к которому призывает нас принцип "Natura поп facit salius", так как в иных случаях природа совершает скачки через ряд промежуточных значений между значениями некоторой численной функции..

Желание философско-математической школы вселить в науку веру в возможность численных соотношений между различными элементами природы идет дальше химии и теории Дарвина.

Так, В.Г. Алексеев7 видимо желает видеть эту аритмологическую закономерность и в истории, делая намек на некоторые численные законы в истории. Н.В. Бугаев8 делает возражения против детерминизма, предполагая в психических явлениях возможность систематических разрывов.

Нет сомнения, что к этому новому направлению, которое может быть названо возродившимся пифагорейством, приводит столько же желание подвести иеподдававшиеся до сих пор математическому исследованию явления, сколь и желание нанести удар принципам позитивного знания, выступившим против дорогих сердцу исследователя идеалов, желание, по выражению Н.В. Бугаева, "уничтожить опасность с этической и эстетической точек зрения" аналитического мировоззрения.

Московская философско-математическая школа верит, что арит-мологическое направление убьет и детерминизм, и эволюционную теорию Дарвина, и железную закономерность социальных явлений, сделает волю человека свободной, человека оторвет от низших форм а промежутки между клочками природы, доступные исследованию науки, заполнит предметами веры. Вера в возможность этой победы красной нитью проходит через все сочинения Бугаева, Алексеева и Некрасова.

"С вопросами аритмологическими, - говорит Н,В. Бугаев, - часто связываются самые возвышенные интересы человека. Философ не может отказаться от них во имя одностороннего аналитического мировоззрения. Целесообразность и гармония не могут быть выброшены за борт из истинного научно-философского миросозерцания. При изучении явлений природы следует также с ними считаться. Аритмологическое миросозерцание указывает, что целесообразность также играет роль в мировых явлениях. Оно приводит к убеждению, что добро и зло, красота, справедливость и свобода - не только иллюзии, созданные воображением человека. Оно убеждает нас, что корни их лежат в самой сущности вещей, в самой природе мировых явлений, что они имеют не фиктивную, а реальную подкладку.

129


Аритмологическое миросозерцание не принуждает нас понимать течение событий только в их роковой и необходимой последовательности. Оно освобождает нас от фатализма".

Нам кажется весьма сомнительным такое чудотворное значение аритмологического направления. Столь ненавистный Н.В. Бугаеву и В.Г. Алексееву детерминизм состоит в закономерности психических явлений, которые вовсе не устраняются заменой непрерывных функций численными. Я буду одинаково несвободен, заставят ли меня непрерывно двигаться по дороге или перескакивать с одного камня на другой.

Аритмолог может оказаться таким же детерминистом, как аналитик, причем именно детерминизм аритмолога должен быть по преимуществу назван фатализмом. В самом деле, по его мнению, его поступки определяются не только мотивами, зависящими от внешних обстоятельств и его собственной природы, прежними его хотениями и действиями, но еще какими-то фатальными аритмологическими законами.

Можно, например, представить себе аритмолога, который будет утверждать, что желание сделать какой-либо добрый поступок у него по непременному аритмологическому закону должно являться в четные дни недели.

Он может вообразить еще целую массу таких законов, может, наконец, признать свою волю вполне определяемой совокупностью таких законов. Не будет ли такой детерминизм большим фатализмом, чем, например, детерминизм Вундта, строго проводящей разницу между механической причинностью и психической мотивацией.

Приверженцы аритмологического направления стараются убедить в его истинности двояким путем:

  1.  указывая на ряд явлений, в которых можно предвидеть аритмо-логические законы и
  2.  указывая, что принятие этого направления приводит нас к религиозным и нравственным понятиям, полезным для жизни, в противоположность тем, которые создает аналитическое направление.

Но при этом только аргументы первого рода могут иметь значение. Что касается до аргументов второго рода, то, во-первых, как мы уже выше заметили, сомнительно, что аритмологическое воззрение может дать для защиты религиозных и нравственных идеалов больше, чем аналитическое, если эти идеалы ставить, как Н.В. Бугаев, в зависимость от решения проблемы о свободе воли, во-вторых, если бы это и удалось, все-таки оставалось бы недоказанным, что истинное знание есть вместе с тем и наиболее полезное. Нам представляется, что философу следует брать себе примером ту самую математику к содействию которой обращается Н.В. Бугаев в своих умозрениях. Разве, определяя площадь квадрата, мы должны при выборе для этого формулы руководствоваться ее полезностью, а не выбирать просто ту, которая истинна? Разве для геометрии имеет значение

130


то, что эта формула может нас убедить в том, что принадлежащее нам поле меньше, чем мы предполагали раньше к нашей гордости и удовольствию?

Что же касается до примеров, приводимых в пользу аритмологи-ческого воззрения, то можно также усомниться в их убедительности. Из того, что химические элементы могут соединяться в определенных пропорциях, вытекает ли, что эти пропорции должны определяться численной функцией? При решении некоторой математической задачи мы получаем четыре решения, вытекает ли отсюда, что при решении ее мы пользовались численными функциями, что полученный результат определяется как численная функция заданных величин? Гораздо естественнее ожидать, что мы обычными путями, т.е. пользуясь только аналитическими функциями, решили это уравнение и получили четыре решения.

При решении механической задачи об определении положения равновесия системы точек или тела мы получили четыре решения для расстояния одной из точек системы от начала координат; философу-аритмологу едва ли уместно было бы вводить здесь численные функции. Пользуясь законами механики, выражаемыми исключительно аналитическими функциями, мы составили бы уравнение четвертой степени, откуда и получили бы четыре решения.

Во всех примерах, которые приводятся артпмологами, мы имеем дело с явлениями равновесия, не менее подчиненными закономерностям, чем явления движения.

Сомневаясь в возможности введения в естественные науки численных функций, мы тем не менее разделяем взгляд Московской философско-математической школы, что существуют явления, в которых правилом является не непрерывность, а разрыв. В этом именно и состоит, по нашему мнению, заслуга покойного Н.В. Бугаева.

Ошибки современного естественно-научного мировоззрения следует искать не в применении исключительно аналитических функций, а в одностороннем пристрастии к эволюции, в окелании видеть непрерывные переходы там, где имеет место только явление равновесия и его нарушение.

Уничтожение этих ошибок дает не соединение аналитического направления с аритмологическим, а динамического воззрения со статическим. То, что мы рассматривали как непрерывное движение в одном направлении, мы должны рассматривать как ряд скачков через положения равновесия.

Таким образом, ошибка [заключается] не в применении ненадлежащего типа функций, а в ненадлежащем способе их применения. Формулировка закона непрерывности Бугаева остается в силе, но должна быть дополнена следующим образом.

Законы, природы, выражаются аналитическими функциями в следующем смысле:

131


  1.  Задается уравнение, составленное при помощи аналитических функций, решениями которого будут некоторые признаки объектов;
  2.  или же один признак задается в аналитической функции от других,

При истинном синтезе динамического и статического мировоззрений мы должны отказаться от слишком оптимистического и самодовольного взгляда на устойчивость мироздания, по которому все и всегда обстоит благополучно, так как возможные изменения всегда будут ничтожно малы. Не будем обещать вместе с Дюрингом, что "если бы в самом деле планеты когда-либо прикоснулись к солнцу, то поперечники их орбит изменялись бы понемногу и постоянно, так что мыслимо даже постоянное приспособление к новым обстоятельствам живущих на этих планетах организмов..."9.

Не будем улетать на планеты, которые должны обратиться в газ от таких катастроф, как взрыв водорода на солнце, которым, например, объясняется появление некоторых новых звезд, не будем искать примеров и на нашем земном шаре, где в несколько часов под вулканической лавой гибнут цветущие города и деревни.

Нам кажется, что уже одна жизнь человеческая опровергает эту непрерывную приспособляемость к обстоятельствам, и горе и болезнь, подступая к человеку неслышными шагами, хватают его сразу за горло и проявляют не большую предупредительность к своей жертве, чем Везувий к Помпеям.

Аритмологическое мировоззрение подвергает критике эволюционную теорию Дарвина и дает новые аргументы в пользу старой теории неизменности видов10. При переходе от одного вида к другому существует возможный при этом мировоззрении скачок. Вся эта совокупность отделенных друг от друга животных видов существует или вечно, или с момента создания их Творцом.

Во взглядах защитников неизменности видов вид рассматривается как устойчивое равновесие. Равновесие может быть двух родов. В то время, как в неустойчивом равновесии малейшие отклонения приводят к полному его нарушению, в устойчивом - они влекут за собой возвращение системы к первоначальному положению.

Относя вид к равновесию этого последнего рода, мы получаем возможность ничтожных отклонений от нормального вида, но таких, после которых вид стремится возвратиться к своей первоначальной форме. Такие отклонения не отрицаются и некоторыми защитниками неизменности видов.

В то время, как ничтожные отклонения приводят устойчивую систему в прежнее положение, более крупные могут ее совершенно вывести из равновесия или привести к новому положению равновесия. Переход от одного вида к другому, этот saltus совершается самой природой и представляет просто переход от одного положения равновесия к другому. Не-

132


прерывное изменение видов должно быть заменено прерывистым рядом скачков через ряд единственно возможных форм. Этот именно взгляд и проводится в теории гетерогенезиса Коржинского и других, защищаемой Гартманом в его знаменитой критике дарвинизма, по мнению которого, все факторы изменения видов, отличаемые Дарвином: борьба за существование и естественный отбор, в состоянии произвести лишь ничтожные отклонения, не могущие произвести прогрессивное развитие видов. Крупные же изменения признаков следует искать в перерождениях зародыша.

"Изменяемость, производимая естественным отбором, - говорит Гартман, - не может быть названа расширением в бесконечность, напротив того, заслуживает определения колебательного качания вокруг центра ~ нормального типа'".

Естественный отбор сводится только к удержанию вида на высоте достигнутого равновесия в приспособлении. Генетическое превращение одного типа в другой в большинстве, и притом наиболее важных, случаев совершается не путем постепенного изменения, а скачками, гетерогенным зарождением при помощи закономерно развивающейся метаморфозы.

Таким образом, здесь изменение признаков вида представляет [собой] не сумму ничтожно малых изменений через длинный ряд поколений, а скачок, совершаемый при одном переходе от родителей к ребенку.

Подобного рода теории (мутационная теория де Фриза и теория гетерогенезиса Коржинского) неправильно называются В.Г. Алексеевым орнитологическими. Если бы возможно было здесь применение математических функций, то эти функции были бы отнюдь не численными, а теми же самыми аналитическими функциями, которые мы встречаем в каждой задаче статики.

Заметим, что и возражения Тейхмюллера против дарвинизма сводятся только к возражениям против непрерывного развития.

"Непрерывные и незаметные переходы, - цитирует Алексеев Тейх-мюллера, - возможны только там, где мы не имеем дела с системами и где рассматриваемые элементы трактуются только по их абсолютной, а не относительной величине, гак например, падающие капли постепенно выдалбливают углубления в камне, но, если падают на негашеную известь, то на ряду с механическим действием, производят также и химическое, которое подлежит объяснению из другого закона. Даже в чисто физической области можно указать качественные точки, например, в кристаллизации непрерывное убывание теплоты действует при образовании льда не непрерывно, а скачкообразно".

Эти качествени ые точки Тейхмюллера - это те точки, в которых от динамики мы должны обратиться к статике.

Какие силы заставляют производить при развитии видов существенные и важные для последнего отклонения - этот вопрос выходит за преде-

133


лы настоящей статьи. Мы только указываем на общую схему эволюции видов.

Существуют положения устойчивого равновесия, около которых происходят колебания, которые, возрастая под действием некоторых сил, главным образом проявляющихся при начале формирования особи, могут достигнуть размеров, при которых равновесие нарушается или переходит в другую форму устойчивого равновесия.

Та же схема годится и для исторических событий, в которых не всегда может быть усмотрена непрерывная эволюция. В своих действиях государства или общественные группы консервативны в том смысле, что все новые созидаемые ими законоположения не выходят из некоторых границ, определяемых основными законами и обычаями, и разрушение которых грозит гибелью тех форм, в которых они существуют. Все отклонения от этих форм обычно приводят их к первоначальному положению устойчивого равновесия. История и этнография дают нам примеры инертности обычаев и законов, в особенности на низших стадиях культуры, характерным выражением которых является виденная в Бубасте Диодором Сицилийским колонна, на которой было начертано: "Я Изида, царица сей страны, воспитанница Гермеса, я установила законы, которые ничто не может изменить".

"Как отдельный индивидуум, - замечает Ломброзо,- так и, в особенности, общество инертно в своих взглядах, оно боится всего нового, мизонеизм - это одно из характерных свойств нормальной жизни"11. Ре-нан нашел, что в Сирии [сохранились] те же права и обычаи, которые господствовали во время Великой Империи, Дореволюционный период характеризуется возрастанием отклонений от прежних форм. Под действием экономических и идеологических факторов общая воля все дальше и дальше отклоняется от косных привычек, увлекая за собой консервативные элементы. При достижении этими отклонениями известных границ становятся возможными два исхода: или гибель государства, иди внезапный переход его к новым, столь же устойчивым, как и первоначальные, формам. История государства есть история революций, между краткими периодами которых тянутся длинные периоды застоя.

Подобный скачкообразный прогресс замечается не только в развитии политических форм государства, но и в научном, нравственном и религиозном развитии человечества.

В психическом росте человека при переходе его через различные возрасты жизни мы видим то же развитие скачками. В течение довольно длинного периода ребенок играет в одни и те же игры, и, как сравнительно краток тот промежуток времени, в который он переселяется из мира детской фантазии в реальный мир.

Если внешние обстоятельства играют более или менее важную роль в создании характера человека, то действие их должно представляться в

134


следующем виде: в тусклой и однообразной в своем нормальном течении жизни отдельные события мало и на короткое время меняют отдельные черты человеческого характера, жизненная неприятность превращает веселого человека в меланхолика, но время возвращает ему прежнюю веселость и в душе восстанавливается прежнее равновесие. Когда же на жизненном небосклоне разражается настоящая гроза, тогда гнев, печаль или безмерная радость доводят душу до крайних границ напряжения, для которых представляется только следующая альтернатива: или гибель, разрушение в виде сумасшествия, смерти, или перерождение характера, как это произошло с апостолом Павлом, св. Августином и другими.

Сознательная жизнь - это течение представлений, начинающееся с внезапного появления какого-либо ощущения или представления и прерываемое другими, более сильными течениями, всплывающими из недр бессознательной души. Эта прерывность сознательной жизни находит себе объяснение в смысле статического воззрения.

На такой именно точке зрения стоит Авенариус, по взглядам которого сознательный акт является только переходом от одного положения устойчивого равновесия к другому. Явление, начинающее физиологический жизненный ряд, есть нарушение какой-либо из частных нервных систем одного элемента всей нервной системы организма, грозящее его жизни, явление, завершающее ряд, - это реакция, приводящая эту систему к первоначальному положению или к дегенерации этой системы в другую.

В этом случае, когда отклонения или жизнеразности достигают размеров, грозящих жизни ие только частной, но и центральной нервной системе, сознательный акт служит для устранения этой жизнеразности и, соответственно, или возвращает систему в первоначальное положение, или переводит ее в новое положение устойчивого равновесия.

Аналогичный этому взгляд на явления сознания проводит в своей психофизике Дельбеф, по которому, с точки зрения физиологической: "чувствование есть нарушение равновесия".

"Организм, - говорит Дельбеф,12 -подобен эластичному телу, молекулы которого способны различно располагаться между некоторыми границами, но предоставленные самим себе возвращаются в свое прежнее положение".

Графически всякое изменение у в зависимости от х может быть представлено, как движение точки по некоторой кривой, если за у принимать одну координату точки, т.е. расстояние ее от одной из двух взаимно перпендикулярных прямых, а за х другую координату. Таким образом можно представлять развитие различных способностей индивидуума, общественной группы или, наконец, всего человечества.

При признании закона непрерывности эта кривая должна быть непрерывной, а при формулировке Н.В. Бугаева - аналитической кривой. Всякое возрастание мы можем представлять в конкретной форме движе-

135


лия различных элементов, образующих систему. Таким представлением и соответствующим языком пользуются, когда говорят о движении науки, искусства и т.д.

Пользуясь этим языком и резюмируя теперь все вышесказанное, мы можем утверждать, что ошибка аналитического воззрения состоит не в пренебрежниии численными функциями, а в ошибочном взгляде па некоторые явления, как на поступательное непрерывное движение элементов, в то время, как они представляют собой только ряд скачков через положения равновесия.

Но было бы также односторонне предполагать, что всякое движение вдет скачками.

Общая схема для исследования явления должна дать следующие элементы:

  1.  находящиеся в иепрерывном движении;
  2.  колеблющиеся около положения устойчивооо равновесия;
  3.  неподвижные, эти элементы могут находиться, в положении неустойчивого равновесия.

Под эту схему подходит следующий конкретный пример.

Ветер гонит по земле осенние листья. Листья - это элементы второго рода - поддуваемые ветром, скачут по земле. Воздух, находящийся в непрерывном движении, это элемент первого рода, наконец, неподвижная земля - элемент третьего рода. Обычную погрешность мировоззрения следует искать в упущении из виду элементов второй категории. Но было бы также ошибкой одностороннего статического воззрения строить мир только на элементах второго и третьего рода. Ошибочным было бы мировоззрение, в котором бы мир рассматривался, как ряд колебаний около положений равновесия.

При таком мировоззрении, возрастание отклонений от положения равновесия, влекущее скачок от одного положения равновесия к другому, оставалось бы неразъясненным. Мы всегда должны предполагать элементы непрерывно прогрессирующие и именно эти элементы, неизменно связанные с другими, колеблющимися около положения равновесия, заставляют возрастать колебания, последних и доводят их до размеров, приводящих их в новое положение равновесия, или мы должны признать непрерывно действующую силу, увеличивающую отклонения колеблющихся элементов. Так, при движении по земле листьев, мы должны признать ветер it воздух [находящимися] в непрерывном движении, В исторической эволюции, в действительности, усматриваются элементы непрерывно прогрессирующие в то время, как другие находятся в колебании. В то время, как наши формы общежития колеблются в тесных границах, наш ум и чувствительность непрерывно прогрессируют.

Если в заслугу Авенариусу может быть поставлена оригинальная идея рассматривать явления сознания со статической точки зрения, то, с

136


другой стороны, нельзя не усмотреть односторонности, состоящей в исключении элементов первого рода нашей схемы. Состоят ли все явления сознания в одном возвращении к первоначальному положению равновесия? Нет, и Авенариус находит возможной дегенерацию систем, переход к новым положениям равновесия. А если это так, то ие следует ли искать этому объяснения в элементах непрерывно-прогрессирующих или в непрерывно действующей силе?

Не находят ли все эти явления объяснение в том, что к принципу самосохранения должен быть прибавлен другой принцип, который может находиться с первым в антагонизме? Стараясь все явления психической жизни объяснить из принципа самосохранения всего организма или частных нервных систем, не уподобляемся ли мы физиологу, который, признав функцию питания, упустил бы из виду непрерывный рост организма? Невозможность подвести все явления психической жизни под односторонний принцип самосохранения, в особенности ясно осознан величайшими современными индивидуалистами: Ницше и Гюйо.

Правда, философия Ницше берет начала в философии Шопенгауэра и эволюционной теории Дарвина, но в последних стадиях своего развития она уже становится к ним во враждебное отношение.

Пессимизм и аскетизм Шопенгауэра исчезает перед верой в явление сверхчеловек!. Принцип непрерывности развития отвергается признанием внезапного обращения человека в сверхчеловека через уничтожение человеческой морали, борьба за существование уже не главный фактор эволюции, ведущий от низших форм через человека к сверхчеловеку, самосохранение уже не представляет единственную цель индивидуума. Ницше отмечает новый двигатель, это стихийное стремление к проявлению своего могущества, стремление, которое может встать в противоречие с сохранением целости индивидуума. Еще яснее сознается недостаток одного принципа самосохранения Гюйо, который отмечает в человеке стремления, идущие вразрез с эгоизмом, по мнению которого наши нравственные действия имеют своим источником стремление нашей души к более интенсивной и экстенсивной жизни, стремление, ведущее нас к риску и к самопожертвованию.

Итак, выражение "природа не делает скачков" мы заменяем следующим:

Природа делает скачки не видимые, а действительные. Мы видим преимущественоо те ее элементы, которые инертны ко всякому движению и которые, приняв положение устойчивооо равновесия, с упорством его сохраняют. Нов то же время, невидимые нами силы совершают непрерывную работу, до поры не влияющую на перемену положения инертных элементов, и только в момент достижения известных границ выводящую их из положения равновесия для разложения или приведения в новое устойчивое равновесие.

137


Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем.

§ 1. Два типа логических операций.

Следует различать два. типа логических операций. Первый - анализ и синтез понятий. Понятие А не строится, но находится уже готовым, и путем рефлексии определяются существенные признай!: а, Ь, с..,, с помощью которых оно относится к определенным классам.

Наряду с признаками а, Ь, с, наличность которых представляется непосредственоо очевидной, вскрываются еще признаки; а, Д у..., наличность которых является уже спорной, так как эти признаки как бы освещены колеблющимся светом, при одном употреблении понятия погружаются в мрак, при других - всплывают на свет. Исследование этих смутных элементов анализа состоит в определении, т.е. в исследовании правомочности и неправомочности этих признаков путем подбора наиболее убедительных случаев, в которых при особенно ясном выступлении контуров этого понятия спорные признаки совершенно стушевываются или же, наоборот, вполне определенно выступают на свет.

С анализом связуется и синтез, выводящий из элементов анализа понятия А другие понятия В, С ..., тоже обретающиеся в разуме, как и А, уже готовыми.

Такого рода анализ понятий мы очень часто производим. Например, когда решаем вопрос о том, что такое глупость и что тате тупость, мы ищем типичные случаи, в которых мы определенно говорим: это - глупый человек, и такие, где мы скажем: тупой человек.

Другим примером является исследование определений злости и черствости, скупости и жадности, которые иногда смешиваются между собой. Юридическое1 мышление во всяком случае принадлежит к этому типу. Оно ищет определения понятий, которые находит в мысли уже готовыми. Этот тип может быть назван схоластическим2, так как он .характеризует схоластику, которая занимается почти исключительно определениями.

Ко второму типу относятся операции силлогистические, пополняющие признаки а, Ь, с ... другими неочевидными, но, в силу законов логики, неизменно связанными с а, Ь, с... В этой операции внимание направлено не во внутрь понятия, а вне его. Сперва понятие а берется как оно есть, даже без анализа, очищающего его от неправомочных признаков а, Д у.,,, и из совокупности а, Ь, с ... а, Д у... и свойств, присущих классам, к которым относятся эти признаки, извлекаются другие

138


свойства A: a', b', с'... а', /3', у'... Жизнь понятия здесь существенно отличается от жизни в среде операций первого типа.

Этот второй тип мышления присущ математике. Но было бы ошибочно думать, что при убеждении в чем-либо (а к убеждению и сводится доказательство в обычном смысле слова) действует только эта вторая, силлогистическая операция.

Раньше всего необходимо разобраться в понятиях, выявить определение того, о чем идет речь, и здесь-то мы имеем, конечно, не вторую, а первую операцию; ведь в каждом споре мы раньше всего, да и больше всего являемся схоластиками. Сами же выводы мы делаем, ие смешивая силлогистические операции с различными приемами, большей частью чисто психологического характера, заставляющими наших противников или учеников склоняться к признанию положений, нами ие доказываемых, но представляющихся нам верными в то время, как другим - неверными или только спорными.

Вся история математики3 от средневековья до настоящего времени идет по пути от анализа ясивых понятий к оперированию над мертвыми символами, от схоластического спора к формальному, алгебраическому аппарату, от убеждения к доказательству в смысле только установки формально-логических связей.

В начале кустарное производство ковров, в конце - фабричное их производство.

Рамус4 и рамисты - это схоластики-математики. Декарт и рационалисты5 еще на полпути, они уже имеют аппарат, который работает над элементарными понятиями, которые еще остаются понятиями, и подход к ним чисто схоластический. Пеано и логистики оперируют уже только символами.

Резче всего эта смена настроения выражается в физике. Средневековье живет аристотелевской физикой, анализируя свойства материи. Рационалисты эти свойства сводят к движению и комбинациям элементов-атомов, или монад. В новейшей же физике эта "модель" расширяется в формально математический аппарат.

§2. Аристотель и схоластика.

Обычно принято отказывать схоластикам6 в оригинальности, сводить всю деятельность схоластики к комментированию уже данных Аристотелем7" решений им же самим поставленных проблем.

В указанной мной схоластической проблеме об определении тогда можно видеть только проблему самого Аристотеля, т.е. не средневековья, а античной мысли. Но более глубокий анализ Аристотеля и схоластики вскрывает глубокое между ними различие, хотя это различие и скрывается под аналогичной внешней формой словесной формулировки проблем.

139


В противоположность схоластике Аристотель в случае нескольких понятий, означаемых одним и тем лее словом, не ищет то, которое он должен считать правомочным на это название. Он говорит о субстанциях с различных точек зрения, Он даже говорит о том, что больше и что меньше является субстанцией, Математические сущности, говорит он, менее субстанции, чем чувственные тела.

Для Аристотеля характерны двойственные положения: с одной стороны, А есть В, с другой стороны, А не есть В.

Первое положение отвечает одному смыслу В, второе другому.

"То, что более просто, - говорит Аристотель,-то скорее принцип, чем то, что менее просто, Но последние виды, заключающиеся в родах, более просты, чем роды, так как они неделимы, в то время как род может делиться на большое число различных видов; поэтому, как мне кажется, виды - более принципы, чем роды. Но, с другой стороны, в виду того, что уничтожение рода влечет уничтожение вида, роды имеют в большей мере характер принципов, так как то является принципом, что влечет за собой другое".8

Таким образом, здесь.принцип понимается в двух смыслах: во-первых, то, что не может быть разделено, во-вторых, то, что влечет другое.

Сам Аристотель не ставит проблемы: что такое принцип! Это уже схоластическая проблема. Схоластический комментарий к этому аристотелевскому рассуждению должен состоять в решении проблемы: что такое принцип, каково содержание смутного понятия о принципе, вскрываемого в душе и проясняемого с помощью тщательного анализа, с которым смешиваются другие смутные, колеблющиеся понятия, не допускающие такого прояснения.

Единственное' решение этой проблемы и будет отвечать верному из двух намечаемых Аристотелем положений. Другое же должно быть безусловно отброшено,

А называется В, С, D ,.., и каждое положение: А есть В, А есть С, А есть D - по Аристотелю - верно со тоей точки зрения.

"Подобными10, - говорит Аристотель, - мы называем вещи, которые, не будучи абсолютно тождественны, различаются в отношении субъекта, но тождественны относительно формы. Четырехугольник больший подобен меньшему, неравные прямые подобны между собой, хотя и не абсолютно тождественны.

Но называют также подобными вещи, которые, имея ту же сущность и будучи в состоянии делаться больше или меньше, тем не менее не делаются ни больше, ни меньше, иначе говоря, качество которых специфически одно и то же. Именно в этом смысле говорят, что очень белое подобно тому, что менее бело, так как в них единство рода, Наконец, называют подобными вещи, представляющие больше сходства, чем различия, абсо-

140


лютно или только по видимости; так, свинец больше походит на серебро, чем на золото; золото походит на огонь своим красноватым цветом и т.д."

Таким образом, Аристотель только наблюдает, и наблюдения его дают эти три смысла подобия, но он не решает проблемы, что такое истинное подобие, которая является уже схоластической проблемой. Сущность античного мышления и состоит в собирании с помощью наблюдения признаков изучаемой вещи и выключения тех признаков, которые находятся между собой в противоречии, с отнесением их к обману чувств, в определении той совокупности признаков, которые выявляют, так сказать, реальный скелет вещи.

Античная мысль не реализует абстракции, как это делает средневековая. Платоновские идеи" - это вовсе не реализованные универсалии, это образцы, которым подражают реальные единичные вещи, образцы, тоже реально существующие, но в каком-то другом мире. У Аристотеля эти идеи обращаются в формы и уже в нашем мире, в самих вещах, так сказать, души вещей, носители определяемых ими целей. В схоластическом реализме общее понятие - универсалия - получает реальное существование, проблема об определении приобретает онтологическое значение.

Что такое А? - с античной точки зрения, это - что в А - обман чувств, и что - правда?

На вопрос, что такое субстанция, Аристотель не отвечает ее определением. Но перед постановкой этой проблемы он дает определение субстанции. Это, говорит он, первое сущее, при этом не тот или другой модус сущего, но сущее, взятое в абсолютном смысле, прибавляя, что понятие первого понимается в различных смыслах в отношении понятия, знания, времени и природы.

Вполне сознавая несовершенство определения, он разбирает различные смыслы слова "субстанция". Субстанция'2, говорят, - сущее, сущность относят также к субстанциям, субстанцией является род, и субстанция - субъект. На этом последнем он более всего и останавливается, поясняя, что субъект есть то, чему все остальное является атрибутами, но сам он не является атрибутом чего-либо. Выбрав именно этот последний смысл, Аристотель исследует, что из признанного им реально сущим может быть названо в этом смысле субстанцией, и если приходит к заключению, что материя не вполне может быть названа субстанцией, то потому, что ей, как обладающей только потенциальным бытием, он не дает всей полноты реального существования.

Что такое А? - со схоластической точки зрения, это - какие характерные свойства присущи сущности, означаемой нами словом А, и наиболее стойкое из всех означаемых тем же словом.

Античная мысль" воспринимаемое извне перерабатывает внутренней работой. Средневековая - смотрит внутрь, вполне доверяя своему внутреннему взору, проецирует его материал вовне, в сферу реального транс-

141


субъективного существования. Всякая проблема для нее имеет онтологическое значение, оно раскрывает содержание реальной сущности, разъясняя то, что в первый момент рефлексии представляется в смутном виде.

Вот все это следует хорошо продумать, чтобы понять, почему логика схоластическая и рамическая, которая ближе к первой, чем о ней думают, относится так враждебно к Евклиду, который является кровью от крови, плотью от плоти аристотелевской логики.

Для Аристотеля и Евклида определение вовсе ие имеет того значения, которое ей приписывает Рамус. Евклид вовсе не строит системы геометрии, ни в смысле Рамусаии Арно, развертывая ее соответственно определенной иерархии понятий, ни в смысле Гильберта13, выводя все ее содержание как формально-логические следствия групп постулатов. Он только убеждает в том, что некоторые геометрические факты, им наблюдаемые, часто представляющиеся совершенно очевидными, не представляют обмана чувств, а в действительности имеют место, причем большинство из них имеют только посредственное значение для установки свойств правильных тел, имеющих кардинальное значение в платоновско-пифагорейском мировоззрении и без изучения которых нельзя войти в святилище метафизики,

§ 3. Схоластика в современной пауке.

Для нас интересней положительная, а не отрицательная сторона прошлого. Пройденный нами путь - это не ряд одних заблуждений, это скорее ряд истин, хотя и смешанных с заблуждениями. Чистая истина недоступна уму человеческому. Познаваемое всегда представляется в искаженном виде, но искажения эти весьма различны, так как сильно меняется точка зрения, с которой мы смотрим. Можно сделать сравнение с предметом, который мы не можем обнять одним взором и который отделен от нас туманом, мы ходим вокруг него, рассматривая его с различных сторон и ни с одной стороны мы не видим его полностью и во всей чистоте.

Схоластическая точка зрения, вызываемая схоластическим типом мышления, вовсе ие дает одни заблуждения. И теперь может ставиться схоластическая проблема, но она уже не будет привлекать того внимания, что раньше, вследствие того, что человеческий интеллект изменился и в своих вкусах, и в своих способностях.

Схоластическое исследование было бы не больше, чем подражанием средневековой схоластике, совершенно таким же образом, как современная католическая архитектура является подражанием готике. Речь может идти не о восстановлении схоластической науки, а только о схоластическом элементе, который не может быть совершенно изъят из современной науки. Существует область, где в довольно широких размерах должна еще жить схоластаческая проблема определения, а именно в методике.

142


Здесь формальная точка зрения совершенно невозможна. То, что изучается, должно быть определено, причем именно в схоластическом смысле.

Определение16 здесь не может быть только ярлыком, наклеиваемым на совокупность признаков.

Взяв понятие как оно есть, в своем смутном виде, в душе учащегося, следует вместе с ним проанализировать его и вскрыть его характерные признаки и очистить его с помощью последних. Мы не будем говорить, каким образом учащийся приводится к окончательному определению и какие из определений основных математических понятий являются наиболее подходящими. Это все проблемы методики, важность которых современной методикой вполне осознана.

Но и в чистой научной области чистый формализм все-таки недостижим; все определения не сводятся к чисто поминальным. Конечной целью науки является познание вещей, которые некоторым образом уже частично познаны, так как мы, приступая к научному познанию, уже знаем, к чему его прилагать. Мы не будем сейчас заниматься гносеологическим вопросом, каким образом это первичное до-научное знание приобретается, но мы укажем только на то, что оно есть и что оно дает познаваемую вещь как цель, переизложенной и еще не выраженной в логических терминах.

Проблема определения состоит в изыскании характерных признаков а, Ь, с ..., но не следует думать, что вскрытие признаков дает полиостью эквивалент определенному. В конечном итоге все познаваемые вещи неопределимы.

Схоластическая проблема дает не полное, а только приближенное значение.

То, к чему относятся определения, аксиомы и выводимые отсюда положения, никогда целиком не совпадает с тем, к чему относятся выставляемые наукой проблемы. Пересечение двух кривых не может быть определено. Геометрия говорит об общей точке кривых, а не об их пересечении.

§4. Доказательства: что это так, и почему это так.

Аристотелевское определение17: "знать - это иметь доказательство не из акциденций", схоластикой толкуется уже, чем его понимал сам Аристотель, разумея акциденцию в чисто логическом смысле.

Акциденциальное, случайное свойство, по Аристотелю, то, которое может оказаться в виде, принадлежащем роду А, и может не оказаться.

Ему противополагается существенное свойство, присущее только видам рода А.

Аристотель привносит в логику элемент времени. Самая формулировка закона противоречия, отвергающая возможность вещи в одно и то

143


же время быть и не быть, содержит этот временной момент. Вне сомнется и понятие случайности носит этот характер и понимается в том смысле, что свойство не всегда присуще А; такова, например, болезненность, отнесенная Аристотелем к случайным свойствам не только потому, что она присуща и птицам, но и потому, что каждый человек может быть сегодня болен, а завтра здоров.

От существенных свойств Аристотель требует, чтобы они были присущи видам только данного рода, причем всегда.

Схоластическая мысль, с одной стороны, освобождается от пут времени, с другой стороны, идет дальше в смысле предъявления требований к существенным свойствам как основе знания.

Она ищет не только устойчивые признаки, могущие служить определением, но и такие, которые обладают своего рода приоритетом, выступая в мысли и раньше и выпуклее, претендуя достигнуть, так сказать, нутра вещи. Из них другие свойства вещей должны выводиться.

Понятие о существенных свойствах подвергается метаморфозе, при которой переступается сфера чисто логического анализа даже с аристотелевским временным элементом и за существенными свойствами усматривается уже онтологическое значение.

После этой длинной характеристики схоластического настроения читатель поймет атиматематиков18 XVT и XVII веков. С яростью набрасываясь на математику, они приводят в пользу своих антиматематических взглядов авторитеты древних, толкуя их, конечно, по-своему.

Прежде всего приводятся слова Прокла: "геометрия менее всего познает причины".

Всякое знание разъясняет (demonstrat) причину по эффекту, эффект

по причине (causam per effccium, vel effectum per causain). У Прокла causa и eftectus понимается в физическом смысле и противополагается логическому основанию и следствию, из него вытекающему, а антиматематиками

именно в этом последнем смысле, так что математик обвиняется в том, что даст не те логические обоснования, какие следует дать.

Ссылаются и на Сенеку, который говорит, что аргументы геометрии не убеждают, а вынуждают. Соглашаясь с первой аксиомой "Начал" Евклида, антиматематик недоволен доказательством, на ней основанным. Он ие видит в нем знания, ибо всякое знание - это изучение существенных причин (principia per se).

Причина равенства А и В вовсе не это третье, но только их количество, и не существуй это третье, они все равно были бы равны. Отношение равенств А к С, В к С с чисто аристотелевской точки зрения можно отнести к существенным свойствам, но схоластическая мысль видит тут внешний характер, ничего ие говорящий о сущности А и В и относит их к несущественным свойствам.

Характерна критика 1-й теоремы I книги "Начал" Евклида.

144


"Здесь, - говорит Снмплициус19, - доказывается, что треугольник равносторонний, из того, что он построен между тремя кругами и имеет все свои стороны проходящими через центры окружности. Никто здесь не видит истинной причины существования. Ведь не потому треугольник равносторонний, что он достроен между тремя окружностями, ибо, если бы он и не был построен между ними, все равно был бы равносторонним. Откуда следует, что такая причина - только случайная причина этого свой-ства. - Вот идеал математики: она должна, определив треугольник его существенными свойствами, затем извлечь оттуда и все его свойства совершенно так, как схоластик из определения бога20, как совершеннейшего существа, извлекает его бытие, единство и т.д. К чему Евклиду проводить круг, когда истинная причина всех свойств треугольника лежит в нем самом?"

Характерно также возражение Валлиса21 уже в XVII веке. Он соглашается с тем, что это так, что математики часто оперируют не per veram proximam causam (не через истинную ближайшую причину), но прибавляет, что все-таки математика достаточно научна, ибо она выводит все из природы вещи per medium necessarium (через среднее необходимое), т.е. все-таки выполняет хотя бы часть предъявляемых Аристотелем требований.

Он соглашается, что доказательство первого положения "Начал" Евклида во всей своей целостности есть ш cm (что это так) и что идеалом доказательства является тсо 6toxi (почему это так)22, и отмечает, что у Евклида имеются и последнего рода доказательства.

Но какой пример он приводит?

Вывод из определения: "круг - плоская фигура, заключенная в кривой сточками, равноотстоящими от центра", - заключение: радиусы равны.

Самая природа круга, говорит Валлис, требует, чтобы точки окружности равно отстояли от центра; немедленно отсюда следует уже по истинной и ближайшей причине, что все радиусы, которыми измеряются эти расстояния, равны. Анализируя доказательство положения Евклида, Валлис приходит к заключению, что и здесь последний вывод делается из истинной причины. Равносторонность треугольника выводится из того, что стороны равны, а вовсе не из того, что он оказывается в трех равных кругах, а равенство сторон, действительно, выводится из этого последнего; так что только промежуточные доказательства делаются не per veram causam.

Савилий, ссылаясь на Геминуса, находит, что ярким примером, когда математик учит не только тому, что есть, но и тому, почему это тале, является исследование пяти платановых тел; в то время, как в окружность можно вписать правильные многоугольники с каким угодно числом сторон, в сферу можно вписать только пять правильных тел; математик дает

J 45


разъяснение, почему это так, исходя из существенных свойств многогранников.

§ 5. Требования пор-роялевской логики.

С течением времени доказательства "это так" все меньше смущают ум, и у рационалистов сомнение касается только доказательства от противного, которое у них не только получило полное право гражданства, но и представляет наше главное орудие доказательства.

Но отзвуки этих нападений антиматематиков имеются у Арно.

Арно25 вооружается ие только против апагогического доказательства, но и против доказательств слишком удаленных (Demonstrations par des voies trop eloignes).

"Этот недостаток, - говорит он, - общий для всех геометров. Они вообще не заботятся о том, откуда их аргументы берутся, лишь бы они были убедительны, но между тем это - доказывать вещи очень несовершенно, если доказывать с помощью чуждых им путей, откуда они не вытекают согласно их природе".

Здесь, конечно, заключается нечто совершенно иное, чем лежанд-рово требование простоты ддказательства,

Как доказательство, грешащее против этого правила, Арно выставляет евклидово доказательство:

I. 5-го положения 1 книги "Начал" (на школьном средневековом
жаргоне:
elefugia).

В равнобедренном Д ABC:

  1.  углы ABC и АСВ при основании ВС равны между собой;

если продолжить равные стороны АВ и ВС, то углы, образованные ниже основания, DBC и ЕСВ, будут также равны.

Евклид доказывает, беря на продолжении BD стороны АВ произвольную точку F и на АЕ точку G так, что AG = AF, соединяя прямыми F с С и G с В и затем доказывая, что A ACF = A ABG H A FBC = A CBG.24

II. 47-го положения I книги, т.е. теоремы Пифагора.

Арно представляется совершенно невероятным, чтобы доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. такой простой, почти очевидный факт, требовало столь сложного логического аппарата, зависящего от иных, чем данный, треугольников, получаемых через продолжение сторон данного, гак это делает Евклид15. Арно кажется очевидным, что простая истина и просто доказывается.

Впрочем, в это верили и Лежандр26 и его современники.

Но Арно верит и в то, во что уже не верил Лежандр, а именно, что для всякого простого положения должно быть не только простое, но и натуральное доказательство.

146


Что такое натуральное доказательство, Арно не определяет, но видно, что это что-то приближающееся к доказательству "почему?", о котором мы выше говорили, но в котором "существенность" свойств и причин заменена их "простотой" и "естественностью" - элементами, включающими, как и картезианская "очевидность", моменты психологические.

По Арно, доказательство пифагоровой теоремы у Евклида совершенно не натурально, ибо равенство квадратов, о котором в этом доказательстве говорится, в простейшей, натуральной зависимости находится не от равенства треугольников, употребляемых при доказательстве, а от пропорциональности линий, которую следует доказать, не прибегая ии к какой линии, кроме перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на основание треугольника.2'

Здесь Арно говорит как будто в духе Симплициуса, но его натуральное доказательство - это не что иное, чем вывод свойств бога из его определения. Рекомендуемым им перпендикуляром антиматематик XVI века остался бы так же недоволен, как кругами в первом положении "Начал" Евклида.

§ 6. Апагогическое доказательство у Евклида.

Евклид довольно широко пользуется так называемым приведением к абсурду, иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том, что положение А доказывается опровержением противного не-А с помощью вывода из последнего невозможного следствия. Этот прием доказательства, конечно, пускает свои корни с софистики28. И в самом деле, именно он является наиболее удобным для софиста. К признанию высказанного софистом положения собеседник приводится, доходя вместе с софистом от противоположного своему положения к абсурдному следствию. Именно этот способ давал наиболее легкий способ одурачивания: принуждением его остановиться на явно нелепом положении, возбуждающем улыбки присутствующих. В разделительном силлогизме: первая посылка- А есть или В или С или D - давалась неполное, опуская почему-либо менее бросающееся в глаза "... или Е". Вторая посылка - D не есть ни В, ни С - доказывалась извлечением из "А есть В", "А есть С" нелепостей. Тогда заключением этого условного силлогизма (modus lollcndo ponens) получалось "А есть D", откуда тотчас выводилась нелепость, являющаяся непосредственно очевидной.

Начало апагогического доказательства должно отнести к элейцам. Этим приемом Парменид доказывает, что бытие не происходит и ие уничтожается. Основная аксиома: небытие не может быть бытием (ex nihilo nihil fit). Если А происходит из В, то В становится А, т.е. небытие становится бытием. Бытие не уничтожается, так как бытие всегда есть бытие.

J 47


Античная математика не заботится о системе геометрии, о каких-либо принципах или общих свойствах пространства, из которых вытекают свойства геометрических фигур. Она только старается убедить читателя в истинности подмеченных свойств.

Можно сказать, что математик эпохи Платона, Аристотеля, Евклида терроризован софистами, он боится каждую минуту попасть в расставленные последними силки и борется или, вернее, строит укрепление против их нападений по всем правилам искусства, ими же самими выработанным.

Чтобы заставить согласиться со своими теоремами, он должен прежде всего заставить, не приводя доказательства, согласиться со своими аксиомами и постулатами, и, конечно, он может тем скорее рассчитывать на это согласие, чем меньше этих аксиом и постулатов. Но сокращение последних должно вести к ограничению свободы выбора логических путей, ведущих от них к теоремам: наряду с прямыми доказательствами приходится применять и косвенные, апагогические.

Современный математик (вне сферы чисто аксиоматической работы) заинтересован не столько в сокращении начальных звеньев логической цепи, сколько в умножении конечных.

Трудность выставляемых современными математиками проблем является другой причиной трудности разыскания логических путей и необходимости привлечения [наряду] с прямыми доказательствами в широкой мере и косвенных.

§ 7. Типы апагогических доказательств.

Апагогическое доказательство отличается от прямого тем, что оно наряду с математическими аксиомами пользуется логической аксиомой, которой не пользуется прямое.

Всякое апагогическое доказательство предполагает приложение загона исключенного третьего.

Следует доказать А. Предполагается, что имеет место не-А и отсюда выводится абсурд - отрицание верного положения С - не-С. Таким образом, уже в начале догазательства утверждается альтернатива: А или не-А, и ничего третьего. Обратно, если в начале или в самом ходе доказательства применяется закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от противного, или последнее содержится в доказательстве как составная часть. В самом деле, приложение его предполагает в начале и в ходе доказательства альтернативу В или не-В и снятие одного члена альтернативы путем доказательства его невозможности. Если снимается не-В тем, что ие-В приводит к не-С, к отрицанию заведомо верного положения, то можем сказать, что положение доказывается апагогически. Если снимается В, то имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме.

148


Заменою В через не-(не-В) мы получаем его в чистой форме: не-В доказывается приведением не-(не-В) к не-С (абсурду).

Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд может быть трех родов:

  1.  противоречие с уже признанной аксиомой или уже доказанным положением;
  2.  противоречие с условием теоремы;
  3.  противоречие со сделанным предположением.

Чтобы яснее и глубже вникнуть в конструкцию каждого из этих типов, мы ограничимся только простыми апагогическими доказательствами с единичным приложением в самом начале закона исключенного третьего.

Доказать А.

Предположим не-А - абсурд.

Если принять обозначение:

Если В, то А через В, А,

то можно для первого типа наметить схему:

В, А; В - не-А - не-С.  .

В "Началах" Евклида29 пример такого простого разомкнутого доказательства - 27-е положение книги I: о параллельности прямых при равенстве накрестлежащих углов. Отрицание приводит к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника.

Десятая теорема III книги - о пересекаемости кругов не более, чем в двух точках. Отрицание приводит к противоречию с 5-й теоремой III кн. о неимении у пересекающихся кругов общего центра.

17-я теорема XI книги - о перпендикулярности прямой пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, к этой последней. Отрицание против 13-го положения XI кн. (о возможности восстановления только одного перпендикуляра к плоскости). Примеров простых разомкнутых доказательств, приводящих к отрицанию аксиом, очень много. У Евклида обычно такой аксиомой является 9-я I книги: целое больше части, причем доказательство носит полуинтуитивный характер. Таковы доказательства предложения 2^го III книги о том, что прямая, соединяющая две точки окружности, лежит внутри ее, предложение Ц-е о прохождении линии центров через точку касания кругов, предложение 18-е и 19-е книги 1II и 36-е книги VII о том, что наименьшее число, содержащее простые числа А, В, есть произведение АВ, - отрицание приводит к тому, что меньшее число содержит большее; к тому же приводит и отрицание 1-го положения книги VIII.

Второй тип апагогического доказательства, сомкнутый на условии:

В, А В, не-А-не-В, не-А.

Примеры: 25-е положение VII книги: если два числа взаимно просты, то число, содержащееся в одном из них, будет взаимно простым с другим. Отрицание приводит к признанию А и В не взаимно простыми.

149


Того же типа 26-е и 30-е положения III книги.

Третий очень редкий тип - сомкнутый на заключении, причем может быть два типа:

В, А-В, не-А-А.

Этот тип встречается у Евклида30 только один раз, а именно в доказательстве 12-го положения IX книги "Начал": "Пусть будет сколько ни есть от единицы непрерывно-пропорциональных чисел ABCD, говорю, что всякие первые числа, кои содержатся в D, будут содержаться и в А".

Говоря современным языком,

1, А, В, С, D -

члены геометрической прогрессии

1:A=A:B = B:C = C:D;

следует доказать, что всякий простой делитель D - делит также и А.

Евклид предполагает противное, что Е не делит А, и опровергает это предположение, выводя из него: Е делит А.

Этот редкий прием употребляется и Саккери в его "Euclides ab omni naevo restitutus" при его попытке доказать 5-й евклидов постулат. Саккери принимает за данные 26 первых положений "Начал", допускает предположительно ложность этого постулата и старается вывести из этого положения верность самого постулата.

Второй подтип - замкнутый не в начале.

Из не-А извлекаются двумя путями два противоположных заклю-чения:Еине-Е.

Первый подтип можно рассматривать как предельный ко второму, когда Е совпадает с А

В, А В - не-А - Е,

В - не-А - не-Е

Пример: положение 7-е I книги: "Если концы соединить с точками С и D по одну сторону, то расстояния СА и СВ точки С от концов АВ не могут быть равны, каждое каждому, расстояниям D А и DB точки D от концов АВ".

AD = AC; ZACD= ZADC, ZADC< ZBDC, ZBDC> ZBCD;

BD = DC, Z BDC - Z BCD,

что противоречит предыдущему.

Сложному апагогическому доказательству второго порядка отвечает схема:

В, А; В, не-А - D, С - абсурд.

Дне-С-абсурд.

Доказательство может быть дважды разомкнутым, когда оба колена приводят к отрицанию доказанного положения или аксиомы.

Может быть замкнуто-разомкнутым, если в одном колене имеется замкнутое, в другом разомкнутое апагогическое доказательство.

150


Наконец, возможен дважды замкнутый тип. При этом будем иметь подтип, смотря по тому:

  1.  имеет ли место замыкание на условии или на заключении,
  2.  на D, на В или ином положении Е.

Дважды разомкнутое доказательство употребляется Евклидом в положении 24-м III книги: подобные сегменты АСВ и CDF, построенные на АВ = СЕ, равны.

Если нет, то С: один вмещает другой; если не-С, - пересекаются.

Первое предположение приводит к противоречию с 23-м положением III книги, второе - с 10-м III книги.

Пример замкнутого на условии: так обычно доказывается теорема, обратная теореме: в выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов = 2d.

А именно, если сумма = 2d, то можно описать около четырехугольника окружность. Проводя окружность через три вершины, мы должны иметь четырехугольник внутри или вне круга; в обоих случаях доказывается, что сумма противоположных углов не = 2d.

Пример замкнутого на положении Е доказательства дает метод исчерпывания Евклида (предложения 1, 5, 11, 12 ХП книги).

§ 8. Борьба против апагогического ддказательства,

Аристотель31 только довольно робко выдвигает преимущество прямого доказательства перед косвенным.

При этом его аргументы, как совершенно не гармонирующие с настроением умов XVI, а тем более XVII века, в эту эпоху уже не повторяются.

По его мнению, более согласны с природой выводы, в которых мы от включения или выключения из класса В переходим к включению или выключению из класса С, объемлющего В.

Положение "ни одно А не есть С" первее, чем "ни одно А не есть В", мы в нем ближе подымаемся к принципам.

В апагогическом доказательстве порядок обратный:

Следует доказать, что А не есть В.

Предполагаем: некоторые А суть В. Все В суть С. Заключаем: некоторые А суть С, что неверно, и поэтому ни одно А не есть В.

Но, по Аристотелю, все-таки тем или другим путем достигается цель науки - построение связи между вещами и общими положениями, выставляемыми в начале науки.

Крайняя неприязнь рационалистов к косвенным доказательствам вытекает из их общего мировоззрения, старающегося все многообразие вселенной вывести из одного мирового принципа с помощью постепенного ряда ограничений, созидающих, так логическое следствие из простых,

151


так же легко формулируемых, как теоремы геометрии, свойств божества, все содержание вселенной.

В глазах рационалиста вся вселенная представляется как ряд взаимоотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к простейшим отношениям. В своих построениях, как метафизических, так и математических, он задается целью не только убедить, но и объяснить, т.е. представить ряд доказанных положений как связную систему истин в порядке, отвечающем установленной им иерархии истин.

Комментатор "Начал" Евклида этой эпохи занят выпрямлением евклидовых апагогических доказательств, что достигается введением явно и неявно новых аксиом.

В выпрямленные доказательства III книги "Начал" Озанама32 приходят в скрытом виде аксиомы теории пределов.

Вообще исчисление бесконечно малых33 со всей системой аксиом, на которых оно основывается, является как система выпрямленных доказательств вместо более сложного апагогического метода исчерпывания.

В XVI веке нападки на апагогические доказательства ведутся гак против доказательств "это так", идущих через несущественные свойства.

Но с нами легче мирятся, чем в XVII веке34.

Савилий», возражая Иосифу Скалигеру на его нападки против апагогического доказательства', объявляет, что "оно равно прямому в отношении истинности и необходимости, но ниже в отношении происхождения и достоинства" (scientiae generatione ei dignitaie inferior).

Совершенно в духе XVI века кладя центр тяжести интереса в методах изыскания истин, он не может признать (гак он выражается) однобокой геометрии, он ждет от сокращения методов и сокращения области обретаемых истин, но не потому, что их нельзя вообще добыть прямым доказательством, а потому, что этого нельзя сделать сейчас. В апагогических доказательствах он видит целый арсенал орудий.

§9. Полная математическая индукция.

На что указывает история доказательств?

На то, что приходится все понижать требования, к ним предъявляемые. Сперва желали доказывать не только прямым путем, но еще и натуральным, понимая это в смысле доказательств "почему", т.е. адекватными, существенными и непосредственными причинами. Потом, примирившись с ненатуральными доказательствами, требовали прямых, т.е. обходящихся без аксиомы исключенного третьего. Но пришлось и от этого требования отказаться. Более того, именно апагогическое доказательство явилось главным двигателем в лаборатории математической логики.

152


Возведение принципа полной36 математической индукции в определение целых чисел совершенно затушевывает его истинное значение, выявляемое его историей37, как логического постулата.

Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат, которым мы должны восполнить систему логических постулатов, чтобы быть в состоянии относительно чисел доказать то, что мы не можем доказать аристотелевской логикой.

Обоснованность такого рода рассуждений, так справедливо замечает Пуанкаре38, сводящегося к заключению из бесконечного ряда силлогизмов, могла быть признана только тогда, когда математическая мысль вполне свыклась с бесконечными операциями и установила постулаты, определяющие получение определенных результатов с помощью этих операций.

Это, конечно, не математическая аксиома, относящаяся к свойствам чисел или пространств, но и как логическая аксиома она коренным образом отличается от так называемых логических законов: тождества, противоречия и исключенного третьего.

Это, положение того же рода, что аксиома силлогизма, утверяедаю-щая истинность заключения при истинности посылок.

U верно. V верно. Из U и V выводится W. W верно, как U и V.

Отсюда вытекает более общего характера положение, которое тоже признается за очевидное. Если из U , U2, ...Un конечным числом силлогизмов выводится W, то при истинности Up U,, ...Un истинно также и W.

Из этой аксиомы ничего не выводится, она вовсе не включается в систему основных постулатов, а стоит совершенно особняком, санкционируя правила формальной логики, на основании которых совершается вывод.

Античными мыслителями признавались только те выводы, которые в действительности произведены, в которых прослежены все посылки и заключения.

В полной математической индукции узакониваются выводы через бесконечный ряд силлогизмов.

Входящие в этот процесс силлогизмы ие осуществляются в действительности, ибо нельзя произвести бесконечное число силлогизмов, но утверждается, что если U и W можно связать бесконечным рядом силло-гизмов-U,, UR ...Uoo и закон образования можно ясно уразуметь, то при истинности U следует признать и истинность W.

При этом в положении: "если U истинно и существуют силлогизмы U , U„ ...U , связующие U с W, то W истинно" понятие "существовать" подвергается эволюции.

В глазах античного математика существование не присуще актуальной бесконечности, противоречия которой доказывают ее небытие.

153


Поэтому такая аксиома для п = оо не только не была бы им признана очевидной, но более того - была бы признана совсем ие имеющей смысла, ибо относилась бы к тому, что невозможно.

Аристотель39 вполне определенно говорит, что в положительных доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при восхождении к высшему, нн при нисхождении к низшему понятию. Предполагая бесконечность доказательного пути, мы отвергаем самую возможность доказательства.

§10. Логика доказательств в будущем.

"Удивительно, что и теперь еще не все математики осознали, что основная проблема о доказательстве в смысле вывода истинного положения А из системы постулатов, обладающих психологическим свойством очевидности, совершенно того же рода", что задача об интегрировании в конечном виде или построении с помощью циркуля и линейки. Она может разрешаться, может и не разрешаться, причем в большинстве случаев обычно не разрешается. Постулатов очевидных просто может оказаться недостаточно для вывода.

В XVT веке выставлялось требование доказывать, только оперируя существенными свойствами, в ХУЛ - только прямым путем. Это очень интересные проблемы, и опыт показал, что они едва ли разрешимы. В будущем математики к ним вернутся, превратив их в аксиоматические проблемы, формулируя их следующим образом:

  1.  Можно ли положение А вывести из постулатов Р,, Р2, Р3... Рп (безразлично, зависимых или независимых), которые не включают определенных объектов а,, а2, ar..ari и, если возможно, построить этот вывод.
  2.  Можно ли положение А вывести из Р,,Р2... Рп, прямым путем и, если возможно, построить этот вывод4 .

Проблема о доказательстве с помощью принципа полной математической индукции будет ставиться таким образом:

Возможен ли вывод А из Р,, Р,... Рл, (вообще из очевидных постулатов) 1) с помощью конечного числа силлогизмов? 2) с помощью счетного их множества?

При этом и последняя проблема не всегда явится разрешимой.

Мы определенно предсказываем, что будущей математикой будет вполне осознана невозможность установки связей между всеми истинными положениями. Эта связь будет устанавливаться только в некоторых группах, причем основными, исходными положениями группы вовсе не будут обязательно очевидные положения, что будут скорее просто более простые, легче проверяемые.

Но, как и в других случаях, проблема о выражении через элементы определенного класса по основании ее неразрешимости должна эволюци-

154


онировать в другую, более общую проблему, получаемую путем расширения той области элементов, в которой ищется решение.

Изыскание связи между положениями будет пониматься в более широком смысле изыскания связей, определяемых не только формальными законами логики, но и другими формальными законами, аналогичными первым, но уже не имеющими логического смысла, - металогическими. Зачатки такой металогики мы уже имеем в логике трансфинитной, в которой устраняется закон исключенного третьего: кроме А и не-А выступает еще нечто третье, причем это третье мыслится как определенная третья возможность наряду с А и не-А.

Можно построить формальный аппарат такой металогики12, которая так будет относиться к логике, как четырехмерное пространство относится к трехмерному,

Такие выводы уже ничего не будут содержать из "почему", но правильные результаты, ими получаемые, будут говорить, что и в других случаях аппарат будет говорить: "это так".


МЕТААЛГЕБРА

Метаалгебра ставит целью исследование системы чисто формальных операций, являющихся аналогом той системы, которая лежит в основе арифметики и алгебры. Буквы в ней не имеют определенно выраженного смысла. Эти буквы, называемые нами гиперчислалщ, определяются чисто внешним образом с помощью постулатов, относящихся к формальным операциям над ними, вполне соответствующим операциям над числами.

Низшая ступень метаалгебры - это формализация внешнего отношения между гиперчислами. На этой степени еще нет ихс рав иеиия.-Формальный аппарат действует только аналогично гильбертовским аксиомам счета, которые лучше называть постулатами операций.

Эти операции в настоящем случае (в метаалгебре тройственных отношений) трех родов: гиперумнджеия abc, гиперсложения 1-го рода

abc , гиперсложепия 2-го рода abc.

Вот основные постулаты (в которых следует отличать знак тождества = от знака равенствам который вносится только с введением сравнения).

1. Циркулярный закон 1-го рода

abc = bca scab

аЬсsbса = саЬ (1)

2. Циркулярный закон 2-го рода

(abc)de=bcd(ea) (2)

эта формула справедлива для двух других действий.

3. Дистрибутивный закон 1-го рода. Этот закон показывает на
несимметричность метаалгебры в отношении основных операций.

agh.bgh.cgh= ate.gh (3)

agh.bgh.cghsabc.gh (3)

a^.bgii.cglisabc.gh (3)

4. Дистрибутивный закон 2-го рода

abc.def.ghi=adg.beh.cfi (4)

и другие, такие же формулы для гиперсложений.

5. Ассоциативный закон

[(abc)de].fg = а.bdf.ceg (5)

156


и такие лее формулы для гиперсложений.

К этим пяти постулатам еще прибавляется постулат.

6. О единственности решений уравнений:

L.xab = A;xab = A;xab = A (б)

§ 6. Формальный аппарат метаалгебры приводится в движение в теории гипердробй,, т.е. решений уравнений:

Хаа'^а (7)

которые мы будем означать символом

d

а|о' Гипердробн, в случае гипереложеиия, отвечают гиперразности 1-то и 2-го рода

а      _      а ■ /' >'

а|а' '       а|о£
Постулат (4) дает формулу умножения гипердробей:
a      
b      с abc

(8)

<х|а'  p|(J' у|у'    ару|а'Р'у'

Аналогичные формулы получаем и для гиперразностей. Дистрибутивный закон дает общую формулу сложения гипердробей (а также умножения гипперразностей и т.д)

_а b с   _ (aA^QA^A^+CbB^tJB'iB't-KcC^QC'iC't

сфх''р|р''у|у' -М|М' <9>

где М (аналогон наименьшего кратного) определяется системой

aA^-PB^j-yCfC^M

а'А'.А'.

jsp'B'.B'jsy'C^C'^M'

Вывоиггся 1 1. Аналогон

и другие формулы:

г

a

b _ota

a     b

в форме

a          (аар)а'р'

b|c

а|а"Р1Р'.

 157


2. Формулы сокращения:

a        m

а|а'    е|е' если

а=е|3|3'; а' = е'уу' а = (трР')уу' 3. Формулы для решения пшеруравненил 1-й степени

(xab)cd = b и более общего:

[(xab)cdl[(xaV)c'd"][(xa"b")c"d"] = b

Наряду с теорией простых гипердробей развивается и теория квадратичных, т.е. решений уравнений ахх з с и т.д.

§ 3. Следующая ступень мстаалгебры - формализация отношений сравнения. Здесь прежде всего постулируются свойства гиперравенства.

1. Циркулярное:

a = b = cb = c = a->c = a = b (10)

2. Транзитивное:

->a = d = g ,....

а = Ь = с b = d = e с = f = g

Понятиям "больше" и "меньше" отвечают шесть следующих символов, по три для каждого из двух равенств:

я = Ъ = с<-ш~- <-Ба-   ^jg

при этом случае стоящие в одном столбце должны быть совместны, а  в различных не совместны.

Аналогон Шj,гильбертовской аксиомы1 Из

вытекает

<  аЬс     иа = 13 = у; а' = р'=у'

*

158

 ааа'.Ьрр'.суу' Постулируя транзитивность


<-

БЗё" мы выводим, что при

 ■*<-

 щг

(12)

имеем

 ~Щ~^ а'Р'у'

§ 4. Третья ступень ставит аналогоны аксиом существования, постулируя чисто имманентное существование в смысле только полагания,

/\riilJi\jL\jn\jwl  1,.   ri'Wll>v)ti[jTUBLiI\Orl сПССиОМЫ /IHJLnHJL\wjV СЛЦЦуН)1-ЦИ(_1 по"

стулаты: уравнение xctoc = а имеет одно определенное решение только при

< ааа'    , а xaa' = а при < ааа'     или (  ааа'     .

Расширение области гиперчисел совершается совершенно так же, как расширение области чисел, и за существующие принимаются тольш натуральные гиперчисла, тогда как ненатуральные рассматриваются только как символы, операций над тройками натуральных гиперчисел.

Доказательства правильности постулатов для ненатуральных ги-тгерчиссл проводятся совершенно также, как в формальной теории рациональных дробей, в которой операции над обобщенными числами сводятся jc операциям над парами натуральных.

Можно, например, определить сумму:

(а.a|a')(b.|3|p')(с.Y|т') как

[ (aPy)P'Y'(ba)y'a'.(caP)a'p'.aPy|a'P'y'] и т.д.

§ 5. Выше этой ступени подымаемся, устанавливая процесс образования гиперчисел из трех идемпотентов |T.L отвечающих 1,0.

Приэтом постулируется 1)|Т1=1 2) наличность в аЬсТбез

sj

abc

1 приводит к т, мы будем это обозначать так

3-) П—^ = 1

~> abc ~-L

 4'     -т—     = |

 5) ТТ!1-Т '    abc

в) -k_t = |

-LL. abc    -

7) J-I_LTS | abc

 о, T1TI = | >   abc     -J-

»^-^

159


Из этих идемпотентов и образуются гиперчисла с помощью гиперсложений 1-го и 2-го рода, причем можно доказать, что новые гиперчисла далучаютсн только с помощью операций одного рода. § 6. Теория гиперчисел, аналогичная, гроссмановой теории чисел строится, полагая в основе аиалогоны гроссмановским аксиомам, например, ана-логон первый:

<а+Ь)+| =а+(Ь+|)

являются формулы:

abaj[ = a.bc|.|sa.b.c|j (13)

цШ = а.Ьс].|эа.Ь,с|( ^

abc.TTs а.ЬсТТ ша.Ь.сТТ ^3)

и принципом полной индукции: если формулы

I) верны для | и будут верны для а, верны для ajj ,то верны для всех а, полученных сложением 1-го рода.

Л) верны для | и будут верны для а, верны для а[|, то верны для

всех а, построенных сложением 2-го рода.

III) верна для Т и будучи верна для а будет верна для а ТТ то будет верна для всех а, полученных сложением 2-го рода.

Укажем переход от частного случая ассоциативности к общему. То, что формула, верная для  У

abc^isa.bcy.l = a.b.c7i будет верна и для у||, это выясняется цепью тождеств

abc.vll.l-abc.y.r.ll-a.bcrl.ll-a.bc.yll.1 А то, что и второй идемпотент можно заменить каким угодно гиперчислом 5, выяснено тождествами:

аЬс.у.бЦ ab. Ьсу.6.||з а.Ьсу.5.\\s а. Ьсу.бЦ

Литература:

  1.  Hilbert. GmndJagen der Geometric
  2.  Hermann Grassmann. Lehrbuch der Arithmclik, Berlin, 1861.
  3.  Васильев. Введение в анализ, т, I.

(Доложено на заседании Совета Института 22 марта 1936 г. )

160


О числовой характеристике утверждаемого тождества.

§ 1. Астроном, определяя эфемериды кометы А и находя элементы движения ее очень близкими к элементам одной из раньше наблюдаемых комет В, заключает отсюда о тождестве А и В.

Это и аналогичные, весьма важные в астрономии, заключения, подводятся под следующую общую схему:

При каждом из наблюдений наблюдается объект некоторого определенного класса Q;АW с признаками а, Ь, с... е.

Значения же этих  признаков  нам точно неизвестны.  Когда мы

приписываем а для A'j) значение ай), то а может иметь значение ряда:

a[ViJ)-.a(j) (а)

и когда мы приписываем b значение Ь® то b может иметь значение

bр>ь«...ьо> (b)

вообщее значения

e<J>,ep е? (е)

Вместе с Ай наблюдается и А!», для которого а придается значение а(о) тоже не точно, так что возможны все значения ряда

а<°>, а<°\...я<0> (о))

b....b[00,bf....   b<OJ (b(<!))

е....e[0),e<0)....ei0) (e(o))
Заключается тождество:

От этого случая дискретных конечных совокупностей значений а, Ь, с... е можно перейти к случаю непрерывных областей значений, что и имеет место в приведенном выше примере отождествления двух комет, так как элементы движения кометы определены не точно и поэтому возможны не только те значения, которые находятся в эфемеридах, но и близкие к ним.

Какой же числовой характеристикой охарактеризовать такое утверждение?

Бесспорно, что такое утверждение при различных обстоятельствах будет иметь различную цену.

А именно, если около а(о), Ь(о), &\ . . с<0) имеет место сгущение значения а, Ь, с ... е для различных А®, то ценность будет меньше, чем в

161


том случае, когда имеет место разрежени,, в особенности, когда близкими к а(о), ЬЧ . . с) значениями а, Ь, с... е являются только а®, Ь«>. .. с®.

Принципы исчисления вероятностей ие дают здесь определенной числовой характеристики.

Для исчисления вероятности такого тождества мы не имеем достаточно данных, невозможен подсчет благоприятных случаев. Единственное заключение, совершаемое иа основании принципов исчисления вероятностей - это вывод вероятности нового появления Ай) из того, что А® уже раз появилось, дающее для этой вероятности значение

^ независимо от вышеупомянутых обстоятельств,  влияющих на оценку

утверждаемых тождеств.

§ 2. Следует начинать с самого простого случая, так как при нем новые, не находящиеся в теории вероятностей постулаты представляются более убедительными и открывают в других, более сложных случаях путь аналогий.

Берем случай только одного признака а.

Предполагаем высшую степень разрежения - полное отсутствие совпадающих значений а для А*> и А® .

Чем больше совпадающих значений признаков А <*» и Л«>, тем утверждение имеет больше цепы.

Совершенно таким же образом, как в теории вероятностей из очевидного положения о возрастании вероятности вместе с числом благоприятных случаев, делается переход к математической мере вероятности как отношению числа благоприятных случаев к числу единственно возможных, так и в настоящем случае мы от упомянутого выше очевидного аналогичного положению о вероятности, переходим к математической характеристиее положения о тождестве, как отношения числа совпадающих возможных значений а, в А® и Л<1> к числу всех возможных:

п = С  (1)

С это высшая мера оценки. Для различных классов она различна. Совпадение признаков не есть еще доказательство безусловной тождественности носителей этих  признаков.

При этом постулируется равноценность совпадения возможных значений а совершенно так же, как при установке меры вероятности постулируется равновозлюжноань случаев.

Но такая равноценность не может быть признана, если значения а не равновероятны. Цена больше, если вероятность больше.

162


Эта вторая оценка численно определяется вероятностью р® для исчисляемых в знаменателе (1) значений а для А®. Но для значений А®, совпадающих с А®

„  (°j)    „  («В ,.   (PD

'l   1.     Л   2,   •■ Л „<°>

оценку следует производить иначе.

Как признак А® они получают определенную оценку Р g  (вероятность а с°} гак а®) как признак А<0) ...я {f (вероятность а<0), как а>).

Полная оценка определится числом Р в л в

Замечая, что 2 р ^ = 1 ? получаем:

Xpj)   7T{j)

Ер <? (2)

§3. В том случае, когда а® может принимать всевозможные значения в промежутке a(j'n) +a...a(ja) -(-а, где а«л» выводится из наблюдений значений а'31, а а"о) значение а^0)-а...а (jo) +a, то, обозначая через <p(s)ds вероятность отклонения от а^' на е = а^ а(^, получаем из® переходя к пределу

со = С J+" ф (а<j0) - §) ср (а(j) - §) dE (3)

Принимая же закон ошибок Гаусса

где a=2, |3=-(а01 + a(io)),y =a012 +ajo>2 Полагая £ + k = л, o^ = т| имеем

J=Lc l      JdH..e l    ldii

если положить k=-l,y'=ak2+2рк+у=-Д=ау-(32
a a

163


J- ^

или

ю=сАе-т(э0)-=Оо)

i-- (4)

V2

Такова числовая оценка утверждения:

д(о)3дО)

§ 4. Перейдем теперь к более сложному случаю совпадающих значений признака а для А® и Ам.

Число совпадающих значений а следует сравнивать не с п® значениями А0), но с числом большим, так как совпадение значения а для А® со значением а, совпадающим для А® и А00, является показателем возможности не только А(о) s A(j), но и А(о)(к).

Мы постулируем, что цепа утверждения А(о) = A|j| не меняется, если значение признака а для- А[к|, совпадающего с Ат заменить тем же

1 =1

числом новых значений а для Аш.

На основании этого постулат в (') следует заменить п® через

(5)

11   +2-,п    , где n число совпадающих признаков А(к) и А®. Формула (2) заменяется следующей Ep(ojVoj)

I+Sp(jk)7i(jk>

которая в случае непрерывной области будет

J-DL

д при .зяконс  ОШИООК 1 ЭуССи.

 (6)

1,2

_h_    ^(,о) _.«»)■

-4/2

ш = с ~г 

h     -l!i{„<i)_nao)^ (7)

l + Z~r= е  2 -    -

Когда имеется много объектов с   совпадающими признаками (сильное сгущение) и разность Ф - а«+|) колеблется около ^%равнамер-

164


нов сгущение,,  то получаем из (7)   приближенную   формулу,   заменяя суммы в знаменателе (7) интегралами

ь*^-»1     Л

II     f+oo    -— dE =  , 1,2

-Р     е ! х h     -^-s1 С  s=a0)-a(j°)

1

Взяв  С=-Ля имеем:

так как а мало, —велико в сравнении с 1.

со=hX,с_1 (8)

§ 5. Случай нескольких признаков сводится к рассмотренному случаю одного признака, а именно всю совокупность (а, Ь, с ... е) можно мыслить, как один признак, охарактеризованный несколькими числами.

Число возможных систем значений равно произведению чисел значений этих признаков.

На этом основании, обозначая признаки через ag, а их значение через a® g можем обобщить формулу (1) так:

т=СП:Р(?я(? (9)

в

Где 1 1 распространяется па все признаки. Таким же образом, обобщением формул (5) и (б) является

(oj)     (oj)

S S

Ер

(10)

f\p(a«-!;)<p(a(j>4№

и приближенно форм (№ 8)

Q-h1h2...h3,h, h2h3e  2

 (И)

(12)

165


ЛОБАЧЕВСКИЙ И ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В МАТЕМАТИКЕ1.

§ 1. Одно из характерных свойств, отличающих человека от животного, состоит в том, что человек стремится к недостижимому, между тем, животное ищет только то, что по его силам. Но всегда наступает момент, когда он сворачивает с пути к недостижимому в силу ли того, что им осознана недостижимость проблемы или в силу каких-то иных психологических факторов, ослабивших привлекательность проблемы. В своем пути к недостижимом)' человечество созидает, но всегда созидает не то, что оно желало создать. Созидающий не знает для чего он создает. Эволюция целей управляется отмечаемым Вундтом2 в своей этике законом гетерогонии целей: средство В для достижения какой-либо цели А превращается в новую цель В.

Прямой путь от С к А заменяется ломаным от С к В и от В к А, но последний путь забывается, Сосредоточение внимания на пути к В ослабляет интерес к уходящему в даль пути от В к А, и В овладевает психикой, стремясь сделаться самодовлеющей целью. Если в начале ценой всевозможных лишений копятся сбережения для получения тех жизненных благ, которые оправдывают все понесенные лишения, то затем эта первоначальная цель рассеивается, и деньги обращаются в конечную цель. Математическая физика ставит чистой математике проблему на решение, например, задачу Дирихле. Но эта задача становится чисто математической задачей, при решении которой уже забываются интересы физики.

К поставленной проблеме вначале всегда некритическое отношение, изыскание решения всегда начинается с наивной и совершенно необоснованной веры3 в то, что решение проблемы существует. Насколько теоретический ум относится доверчиво ко всякой проблеме, в этом можно убедиться с помощью простого эксперимента: в редких случаях лицо, которому предлагается задача, содержащая в своих условиях нелепость, начешет с анализа условий задачи, а не с изыскания решения, только неудача последнего наводит его на мысль, что он одурачен.

Но, более того, вместе с некритическим отношением к проблеме, не вызывающим анализа совместности данных проблемы, выступает и ослабленное внимание к самому содержанию проблемы, влекущее неясность и неопределенность, так что сама проблема не является неподвижной, но колеблется в некоторых границах.

Исследователи расходятся не только в своих попытках решить проблему, но и в самом понимании этой проблемы.

Спор идет не только о правильности предлагаемых решений, но и о сущности самой проблемы. Часто прекращение этих колебаний, строгая

166


устойчивая установка смысла вопроса осуществляется незадолго до критического анализа данных проблемы, приводящего к упразднению самой проблемы, как невозможной'.

История математики, да и история науки вообще, в настоящее время - это только сырой материал, правда, очень богатый, но в будущем история науки вскроет законы, которым следует ум человеческий, идя к решению проблемы через тернии заблуждений, причем история проблемы должна быть не только историей решения ее, но и историей ее метаморфозы.

Этическая проблема из норматичной проблемы о логическом выводе моральных норм из одного принципа превращается в генетическую о происхождении этих норм из одного корня5.

Алхимическая проблема о превращении неблагородного металла в благородный так, чтобы потраченная на этот неблагородный металл масса и труд стоил бы меньше, чем полученная масса благородного металла, эволюционирует из экономической проблемы в чисто естественно-научную, о превращении одного элемента в другой, причем мы находимся у порога решения этой проблемы, в то время как первая - неразрешима, как квадратура круга6.

Основная физическая проблема о механистическом объяснении чисто физических явлений эволюционирует в проблему объяснения физических явлений с помощью простых электромагнитных явлений в элементарных частицах материи7.

Задача об интегрировании дифференциальных уравнений в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных или квадратур, превращается в исследование особенностей функции, определяемой дифференциальным уравнением определенного типа8-9.

§ 2. Совершенно ошибочно думать, что 2000 лет велось размышление об 11-й аксиоме Евклида11. В связи с этой аксиомой ставились совершенно различные проблемы. В эпоху Возрождения Клавий вовсе не пытается вытянуть доказательство этого положения из объявленных Евклидом в I книге "Начал" - аксиом и постулатов. Основная проблема того времени" это еще чисто схоластическая проблема определений. Выявление правомочных и неправомочных признаков путем подбора наиболее убедительных случаев, в которых при особенно ясном выступлении контуров понятая, эти основные признаки стушевывались бы или вполне выступали бы на свет. Математикам того времени менее всего нравились евклидовы определения, в частности, определение параллельности.

Согласно основной идее схоластико-аристотелевской логики они старались все определения развить per genus proximum et differentiam specificain.

Понятию параллельности прямых Рамус предпосылает понятие параллельности вообще, выводя первое через ограничение второго12.

167


Принятие новых неевклидовых определений влечет изменение и в системе аксиом.

Если доказательство Клавия следует признать не разрешающим проблемы о параллельных прямых, то не в том смысле, как это теперь понимаем мы, т.е. усмотрев невозможность вывода использованных им положений без аксиомы о параллельных или эквивалентной ей аксиомы, а в том смысле, что поставленная Рамусом и рамистами проблема об исправлении геометрических определений, в частности, об определении параллелизма вообще и выводе отсюда параллелизма прямых, не решена им и даже, более того, и не может быть решена.

У математиков лее XVII века, те. рационалистической эпохи, место этой проблемы занимает другая: не о выводе этого положения из евклидовых аксиом, а о переработке этой системы, замене евклидовых очевидных истин-другими, более очевидными13.

К этому требованию присоединяется еще и другое - требование естественнооо порядка, идущего, согласно правилам Декарта и идеям пор-роялевской логики, от более простого к более сложному11.

Отсюда сдвиг теории параллельных к началу геометрии до теорем конгруэнции треугольников в сочинении Арно и в учебниках арнольдианс-коготшю:,

Эта проблема совершенно иная, чем лежандрова и риманова. Проблема остается тоже неразрешенной и тоже принадлежит к числу неразрешимых проблем, ибо евклидова геометрия является невыводимой из системы аксиом, не содержащей аксиомы той же степени очевдности, что и 11-я евклидова аксиома, если только не прибегнуть к общим положениям, может быть и более очевидным, но относящимся к чрезвычайно общим понятиям, не поддающимся уже чисто математической обработке.

Я считаю необходимым резко подчеркнуть различие этой рационалистической проблемы:

"Дано положение Q, можно ли его вывести из положений Р„ Р2, Р3, Рп, (не ограничивая их числа и не ставя ограничения их независимости) более очевидных, чем положения R|S R2, R3, Rn, из которых мы уже умеем вывести Q" и проблемы: "Дана система независимых постулатов Р,, Р2... Р   tde6vctc$t ич нее без введения новых постулатов вывйети положения Q"

В первой проблеме Р,, Р2... Р„ искомые, a Q задано, во второй проблеме Q - искомые, Р,, Р2... Р определенно заданы.

Нельзя сказать, что Лаграюк занят решением этой второй проблемы.

Лагранжева геометрия без аксиом15.

Упоминаемые в некоторых изданиях 5 аксиом, в других совершенно исчезают.

168


Рационалистическое направление в это время заменяется эмпирическим, аксиомы из откровений натурального света обращаются в опытное знание. Геометрия этого времени не желает искать скрытых аксиом.

Основным требованием Лагранжа является простота. Он ищет доказательства, опирающиеся на возможно меньшее число аксиом, которые приходится упоминать, оставляя под порогом сознания какое угодно число других аксиом, увеличение которого не может усложнить доказательств.

Мы здесь, конечно, стоим уже близко к строгой и вполне определенной постановке проблемы, невозможность которой доказуется аксиоматикой.

Эмпирическое направление второй половины XVIII века перенесло интерес к очевидности лежащих в основе геометрии положений на их простоту16.

Более простые факты и легче наблюдаются, и легче выверяются, очевидность простых фактов имеет меньше шансов оказаться иллюзией, чем очевидность сложных.

Истинное и недостаточно очевидное положение оставалось в глазах рационалиста таким же откровением свыше, что и вполне очевидная истина; разница заключалась только в силе освещения натурального света.

Иное дело для эмпирика. Здесь уже недостаточность очевидности является показателем недостаточной проверешюспш истины в ряде наблюдений, устанавливающих эту истину.

Отсюда мысль, что это недостаточно очевидное положение, осложняющее геометрию, в действительности неправильно, что из данной точки можно провести не одну прямую, не пересекающую данной, а бесконечное число, но в таких границах, что при той точности наблюдений, с которой устанавливаются основные положения геометрии, эти прямые оказываются неразличимыми.

Попытка построения "воображаемой" геометрии, той, которая должна заменить евклидову, в случае, если евклидов постулат о параллельных оказался бы неправильным, возможность чего в глазах математиков все возрастает, является попытками изыскания истинной геометрии определения свойств действительнооо пространства.

§ 3. Лобачевский стоит еще именно на этой точке зрения11. Он ищет истинное пространство18. Устранив постулат о параллельных, он строит геометрию, чуждую противоречий. Пространство более общего типа без свойства, выражаемого этим постулатом, имеет более шансов на существование. Только потому, что мы имеем дело с малыми измерениями, мы не можем заметить, что существует не только одна, а целый пучок прямых, не пересекающих данной, что сумма углов в треугольнике не два прямых [угла], а несколько меньше.

169


Не следует думать, что мысли о построении неевклидовой геометрии впервые пришли Лобачевскому". Но следует хорошо помнить, что до Ламберта математики из евклидовой системы постулатов с устранением 11-й аксиомы или заменой ее противоположной выводят положение только с целью привести к противоречию, т.е. с целью построения апагогического доказательства этого постулата.

Так делает Саккери-0, который, конечно, не достигает цели.

Так поступает и Ламберт21, но ему удается из двух гипотез о существовании четыреугольника с 3 прямыми [углами] и одним не прямым, тупым или острым опровергнуть только первую.

Но что касается до второй, то у нас уже является мысль, но довольно робкая, о логической возможности геометрии при этой гипотезе,

Гаусс идет дальше, он делает несколько заметок, относящихся к такой геометрии. Независимо от Лобачевского, но позже его, к построению неевклидовой геометрии приходит венгерский математик Больяй22. Лобачевский и Больяй взаимно дополняют друг друга.

Лобачевский обращает главным образом внимание на отличие неевклидовой геометрии от евклидовой, на те положения, которые не имеют места в евклидовой геометрии, которые выводятся из предположения, что из данной точки можно провести пучок не пересекающих данной прямую прямых, между тем Больяй занят преимущественно тем, что является общим как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрий, тем, что по его мнению составляет содержание абсолютной науки о пространстве, и, таким образом, он становится ближе к аксиоматическим исследованиям.

То, что и предшественниками Лобачевского проблема разумелась в указанном смысле, явствует из самого названия, которое дает Швейкарт такого рода геометрии, называя ее астральной. Эта геометрия - учение о пространстве (как в то время определяли геометрию), но о пространстве звездном, свойства которого таковы, что сумма углов в треугольнике меньше 2d, что невозможно безграничное возрастание высоты равностороннего треугольник! и т.д. И для Лобачевского эта геометрия прежде всего астральная. Он свои теоретические исследования сопровождает попытками путем измерения элементов больших треугольников, образованных звездами, [определить] суммы углов в этих треугольниках и таким образом решить вопрос о том, какая геометрия в действительности имеет место. Он, мысля пространство не как форму интуиции, а по-ньютоновски, как вместилище вещей, старается определить свойства этого вместилища в области как микрокосмоса, так и макрокосмоса, отражающегося на вмещаемых им вещах.

Микромегас, совершающий путешествие с изменением своего объема из мира млечных путей через окружающую нас обстановку в миры инфузорий и в миры молекул и атомов, будет видеть ие только изменение тех

170


форм, в которые облекается материал, но и простейших их геометрических свойств.

§ 4. Но созидающий никогда не знает, для чего он создает. Работая в этом эмпирическом направлении, отыскивая истину в небесах, Лобачевский ее находит в самом себе.

Геометрия Лобачевского бессмертна не как астральная геометрия, а как геометрия воображаемая или, лучше сказать, как мыслимая, но не воображаемая, разумея под последней термин в современном смысле.

Тог путь, по которому шел Лобачевский, не только не может дать доказательства того, что его геометрия представляет истинную геометрию, но даже и того, что она может быть таковой, так как сами операции измерения должны уже предполагать какую-либо геометрию.

Заслуга Лобачевского не в том, что он научил нас мыслить о том, чего мы не можем вообразить, но что существует, - его заслуга в том, что он научил мыслить о том. Чего нельзя вообразить и чего не только нет, но и быть не может, и довел до полной ограниченности различие между реальной и логической возможностями.

Ни один из математиков до Лобачевского не имел смелости освободить разум от цепей интуиции, сковывающих его, и дать полную систему геометрии, против которой говорил здравый смысл, но которая вела нас в широкие ворота царства разума.

Что важней в науке - анализ или синтез!

Выводить следствия из причин или обратно, подыматься к причинам, разыскивать силы, которые производят данное явление, или указать какие эффекты производятся данными силами? Оба направлеЕгая равноценны. Есть великие аналитики, как Ньютон, вскрывающие путем анализа основные законы вселенной, есть и великие синтетики, как Лобачевский, извлекающие из неполной системы евклидовых аксиом не менее логичную и стройную, чем евклидовы "Начала", систему геометрии.

Но за синтезом идет всегда анализ.

Сисгема Лобачевского не встречает противоречий. Почему? Можно ли сказать, что это происходит потому, что она относится к реальному пространству?

Гербарт, относя вместе с Кантом геометрическое пространство к духу, т.е. объявляя его нереальным, вне этого духа в сфере вещи в самой себе, находит другое умопостигаемое пространство, уже реальное, которому присуще не только субъективное, но и транссубъективнос существование.

Он получает это пространство своим обычным приемом исправления понятий, т.е. выбрасывая некоторые признаки и внося новые так, чтобы противоречия уже не оставалось.

Все пространство Гербарта возникает из понятий совместности, смежности и раздельности, продолжением в обе стороны, последователь-

171


ным разделением двух сначала совместных объектов А и В посредством В, и воссоединением посредством А23.

Гербартово пространство тщетно пытается выкарабкаться из смутной интуиции в области чисто логических понятий, является совершенно немощным для логической дедукции.

Конечно, не может быть никакой речи о геометрии такого умопостигаемого гербартовского пространства.

Но это математическое нежизненное пространство является матерью грассмановского протяжения, уже поддающегося некоторой математической обработке и, в свою очередь, вызвавшего математическое изучение "самого общего" пространственного многообразия, объемлющего пространства Евклида и Лобачевского, как частные виды (в работах Гельм-гольца, Римана, Софуса Ли)м,

У Гербарта только одно пространство логически возможно, чуждо противоречий, оно и должно совпадать с постулируемым им реальным пространством. Но около пространства Лобачевского скоро родятся и другие пространства, прежде всего римановское, в котором устранена 12-я евклидова аксиома, что две прямые не могут заключать пространство, а затем и другие, так называемые патологические пространства. Все эти пространства предъявляют право на свое транссубъективное существование, но все эти пространства обязаны доказать свое право не на реальное, а на чисто логическое существование.

Доказательство даже нескольких сот положений R,, R,, R3 ... Rn из системы постулатов:

Р,.Р„Р, .Р без встречи на своем пути логическиi противоречий еще не гарантируют от заких противоречий в иальнейшем, пще не доказывает совместности отих постулатов.

§ 5. Вос мы видим, как наша по существу метафизическая, или космологическая проблема, преврашаетсс в чисту логическую проблему об оправдании той или иной системы геометрии. От познания тех форму о боторых содержится вселенная, мы обращаемся О тем формам, котормми мыслит наш разум, в история человеческого разума это моменк наибольшего самоуглубления. Разум направляет свор взор не туда, вверх, в блестящие мириадами солнц пространства, т в темную безднудуши и зараз постигает м свою силу и свою слабость. С одной стороны, он видит, что те схемы, в которых иазвертывается, его построенйе, более однообразны, чем это раньше казалось, что в одни и те лее схемы вкладываются совершеннэ различные объекты, но, в другой стороны, разум может, экономизируя свой труд, ныелить сразу о совершенно различных вещахт прилагая эти яхемы к абстрактным понятиям, совершенно отвлекаясь от пространственных представлений полее того разум может мыслить ь о смутных понятиях и даже о противоречиях       '

172


Ибо теперь определенно осознано, что не все признаки вещей являются логически действующим,, что все те, которые не затрагиваются формально-логическим аппаратом, могут быть и смутны и противоречивы.

Эти мысли нас естественно возвращают к вере в разум, который может мыслить и о таких вещах, о которых раньше отказывались мыслить, считая контуры их слишком смутными.

Проблема доказательства логической возможности системы геометрии решается с помощью логических эквивалентов, т.е. таких объектов А, В, С, которые обладают логически действующими признаками, удовлетворяющими тем же постулатам, что объекты нашей системы А, В, С.

Но они могут содержать много признаков и чуждых А, В, С,- но только обязательно логически ие действующих. Если А, В, С, принадлежат такой области (например, евклидову пространству), где мы отвергаем возможность противоречия, то система геометрии тоже не может содержать противоречия.

Путь, избранный Бельтрами25 (ограничиваясь только плоской геометрией), был следующий: за эквиваленты прямых геометрии Лобачевского были приняты геодезические линии на некоторой поверхности (псевдосфере), эти геодезические линии определяются двумя точками, могут быть безгранично продолжены и т.д. Через данную точку проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную геодезическую линию и заключенных между двумя такими геодезическими линиями.

К сожалению, задача не была вполне решена.

Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы только в некоторой конечной области совпадает с геометрией Лобачевского.

Другие эквиваленты, указываемые Клейном20 и Пуанкарэ27, более успешно привели к цели.

§6. Основная проблема аксиоматики - доказательство совместимости и несовместимости аксиом, - сперва, это средство чтобы оправдать систему геометрии, установить, правда, недействительность, а только ее возможность. Теперь средство обращается в цель: аксиоматика приобретает право на вполне самостоятельное и независимое существование.

Математик! интересуют не только звенья логической сети, но и сама логическая сеть, ставится проблема не только доказать положение, но доказать определенным образом, исходя из определенной группы постулатов.

Такова Гильбертова проблема о знаменитой теореме Дезарга28: в двух треугольниках ABC и А,, В   С, соответствующие вершины которых

(А, А,,) (В, В,,) (С, С,,) лежат на прямых а, Ь, с, сходящихся в одной точке

173


О, соответствующие стороны (a, a,,) (b, Ь,,) (с, с,,) пересекаются в точках А, В, С, лежащих на одной прямой О и обратная теорема.

Эта теорема вместе с плоскостными зрительными аксиомами представляет основание зрительной плоской геометрии, иначе геометрии положения.

Доказательство ее фузионистическое, для чего приходится пользоваться стереометрическими зрительными аксиомами. Но есть ли в этом необходимость? Молено ли эту планиметрическую теорему вывести только из плоских зрительных аксиом?

Вот аксиоматическая проблема, которая ставится Гильбертом - типичная задача современной аксиоматики, для которой он получает отрицательное решение, подбирая очень остроумно логические эквиваленты прямых точек.

Задача Гильберта - типичная задача современной аксиоматики.

Логические эквиваленты для объектов геометрии Лобачевского "   ищут в евклидовом пространстве; эквиваленты объектов евклидова пространства - арифметические.

Для оправдания арифметики эквиваленты следовало бы искать в чисто логической сфере.

§ 7. Я не буду говорить о том, как далеко пошли в этом направлении, но я намечу другого рода проблемы, которые еще никем ие решались, но которые, вне сомнения, явятся проблемами будущего и при этом, прибавлю, недалекого будущего.

Прежде всего, выдвигается проблема об апагогических доказательствах. Всякое апагогическое доказательство предлагает приложение закона исключенного третьего: может быть А или не-А и ничего третьего. Предполагается, что имеет место не-А и отсюда выводится абсурд - отрицание верного положения С - не-С. Таким образом, в начале доказательства утверждается альтернатива: А или не-А.

Обратно, если в начале или в самом ходе доказательств прилагается закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от противного, или последнее содержится в доказательстве, как составная часть. В самом деле, приложение его предполагает в начале или в ходе доказательств альтернативу В или не-В и снятие одного числа альтернативы путем доказательств его невозможности. Если снимаете В, то В приводится к С, к отрицанию заведомо верного положения, то можно сказать, что положение В доказывается апагогически. Если снимаете не-В, то имеем опять апагогическое доказательство в замаскированном виде. Заменяя В через не-В, получаем его в явной форме, не-В доказывается приведением не-(не-В) к не-С (абсурду)25.

Аксиоматическая задача о том, можно ли привести доказательство какого-либо положения А исключительно прямым путем, сводится к зада-

J74


че о выводимости А из данной системы постулатов с помощью только двух законов формальной логики: закона тождества и закона противоречия (без закона исключенного третьего).

Эта аксиоматическая проблема представляется частным случаем следующей более общей.

Все постулаты разделяются на три группы:

(А): А,, А,, Ау Ап

(В):В,„В,,Вз,Вп

(С): С,, С2, С3, с"

Спрашивается, возможно ли вывести теорему Н только из группы (А) и (В), причем к группе (А) прилагается, а к (В) не прилагается закона исключенного третьего.

§8. Выпрямление евклидовых доказательств достигается только путем введения новых аксиом, относящихся к бесконечности30.

Логическая сеть, образованная косвенными доказательствами, богаче сети, образованной прямыми, если в основе той и другой лежат те же математические постулаты, ибо косвенные доказательства вводят логическую аксиому исключенного третьего и для обогащения второй требуется вначале этой сети поставить один из новых математических постулатов.

Современная математика движется, главным образом, апагогическими доказательствами2'', но она упорно остается при наследии прошлого - вере в возможность хотя бы не прямых доказательств всякого истинного положения. Стараясь выпутаться из затруднений, она присоединяет к бесспорно очевидным послулатам другие, уже сомнительной степени очевидности, уменьшая и даже уничтожая убеждающую силу доказательств, сводя последнее к логическому выводу более сложных положений из более простых, но уже не очевидных.

Так, Гильберт в своих "Основаниях Геометрии", стараясь дать строго формально-логическое построение геометрии отказывается от евклидовых доказательств методом положення первого случая конгруэнтности треугольников, возводя это положение в постулат31.

Неравенство в степени очевидности различных очевидных положений- это психологический факт, который был вначале определенно подчеркнут рационалистами и с которым следует считаться.

Положим, что некоторое положение II выводится из постулатов А, В, С, D, Е, но не выводится из укороченной системы В, С, D, Е. Эти постулаты различной степени очевидности, пусть А - то, которое имеет наименьшую степень очевидности.

Измените единовременно в разных отношениях степени очевидности всех постулатов, и очевидность А окажется под порогом сознания, Н окажется уже не выводимым из очевидной аксиомы, мы получаем недоказуемое, но во всяком, случае истинное, положение. Чисто психоло-

175


гический признак очевидности вряд ли связан с чисто логическими свойствами сети, образуемой положениями.

Психологическая гипотеза, что то конечное число положений, из которых выводятся логически все остальные, принадлежит к очевидным, маловероятна.

Недоказуемость некоторых положений теории чисел, за правильность которых довольно красноречиво говорят факты, находит свое объяснение не в слабости нашего ума, а в том, что те положения, на которых стараются обосновать доказательства, всегда выбираемые с признаком очевидности (ибо иначе невозможно было бы убедить), каковыми являются положения, лежащие в основе арифметики, недостаточны для этого.

Задача о выводе из очевидных постулатов теоремы Р является также неразрешимой, как ее вывод из некоторой другой группы постулатов31.

Приводимый Гильбертом взгляд на разрешимость в положительном или отрицательном смысле всякой поставленной математиками проблемы, следует призвгать неправильным.

Не две только возможности: знаменитое уравнение Ферма имеет еще неизвестные для нас решения или существует доказательство отсутствия таких решен™, но еще и третья: невозможность и решения этого уравнения и доказательства этой невозможности.

Проблема о логическом обосновании положения должна ставиться не так; доказать это положение, понимая под этим вывод его из очевидных положений, а так: определить, может ли данное положение быть доказано, т.е. выведено из очевидных положений, если это возможно, найти этот вывод32 . Совершенно таким же образом задача о решении уравнения 5-й степени должна ставиться не так: решить уравнение, а так: может или данное уравнение разрешиться в радикалах и, если может, то найти выражение для корня; или задача об интегрировании в конечном виде должна ставиться не так: найти данный интеграл, а так: может ли данный интеграл выразиться в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных и, если может, найти для него выражение32.

Аксиоматика" воспитывает человеческий ум в критическом отношении к проблемам34.

Лобачевский является величайшим революционером в области абстрактных наук, хотя он и не вполне сознавал, в чем состоял революционный характер его начинаний.

Революция Эйнштейна по внешности крупней, она охватывает большие области знания, но первый толчок был более глубокий - он принадлежит Лобачевскому, и Эйнштейн только продолжает дело Лобачевского.

J 76


Но, зная судьбу революции Лобачевского, можно предсказать й судьбу революции Эйнштейна, которая, впрочем, в последние годы начинает вырисовываться.

У нас осталась евклидова геометрия как геометрия здравого смысла. Ни Лобачевский, ни Эйнштейн не дали новое решение старой проблемы, старые решения остались правильными, но они поставили новые проблемы, открыв пути к их разрешению, - они не разрушили старых зданий, но положили основу для новых, еще более прекрасных35.


ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА О ПРОСТРАНСТВЕ.

§1. Учение о формах, и наглядная геометрия.

Следует выдвинуть как основной методический вопрос - вопрос о характере школьной геометрии и при этом остерегаться одностороннего решения, Я считаю ошибкой требовать осуществления в школе во всей чистоте одного из трех типов, о которых я собираюсь говорить. В школьную геометрию должны войти элементы из каждого из них и при этом в дозах, определяемых возрастом учащегося.

Первый тип - это наука о пространственыхх формах*,

На вопрос, что изучает геометрия, с этой точки зрения следует сказать: треугольники, четырехугольники, круг, цилиндр, конус, сферу и т.д.

Эту геометрию можно уподобить ботанике или зоологии. В основе ее лежат некоторые простейшие истины, относящиеся к геометрическим фигурам и телам; из этих истин она извлекает следствие уже дедуктивным методом.

Конечно, эта геометрия всегда будет представлять основную часть школьной геометрии, в особенности на низших ее ступенях. Геометрия, раньше чем сделаться логической, должна быть опытной или наглядной2.

Понятно, учение о формах и наглядная геометрия - понятия, которые не вполне совпадают. Но, вне сомнения, они теснейшим образом между собой связаны. Наглядная геометрия, конечно, будет говорить не о свойствах пространства, а лишь о фигурах и телах, и, с другой стороны, геометрия с таким разрозненным содержанием, естественно, идет по пути естествознания и не отрывается от опыта.

Но приемлем ли взгляд, согласно которому наглядная геометрия является только примитивной формой геометрии, что логическая геометрия., как форма более совершенная, устраняет ее? Я думаю, что это неверно.

Наглядная геометрия ставит определенную цель, восполнить данную конфигурацию пли так ее преобразовать, что в полученной новой конфигурации возможно ярко и убедительно увидеть некоторые геометрические свойства.

Конечно, если бы математика стала доказывать все истины, исходя из очевидных аксиом, то за такой наукой действительно оставалось бы лишь методическое и эвристическое значение. Но разве можно поручиться, что это так, что таких очевидных истин достаточно, чтобы доказать, пользуясь только ими, ее истинные геометрические положения? Но если их недостаточно, то области логической и наглядной геометрии только частично друг на друга накладываются.

178


Существуют положения, в которых мы убеждаемся лишь с помощью интуитивного характера операций.

§2. Учение о пространстве и рационалистическая геометрия.

Вторым типом геометрии я выдвигаю учение о пространстве3. Такая геометрия может быть уподоблена разве только общей биологии, исследующей, что такое жизнь. Здесь уже совсем определенно должно выступить требование дедуктивиости вывода. Признаем ли мы аксиомы за простые очевидные истины или будем считать их за результат индукции? Мы вначале, как Евклид4, должны все их собрать и выводить из них как следствие другие свойства силлогистически.

Правда, мы будем проходить через те теоремы, которые находим в наглядной геометрии, относящиеся к треугольнику и т.д., но фокус внимания будет не в них, а в том, что характеризует пространство: в общих преобразованиях, в инвариантах этих преобразований и т.д.

В качестве аксиом будут выдвигаться не случайные положения, а только те, которые выражают основную структуру пространства.

Возможна ли такая геометрия в школе? Частично ие только возможна, но и должна быть.

Во всяком случае этой точкой зрения должен определяться в некоторой мере подход к аксиомам, которые в начале обучения могут большей частью оставаться в скрытом состоянии, но затем должны быть выявлены.

Аксиомы пс должны выбираться по степени их очевидности или по большей легкости опытной проверки, но, с другой стороны, к ним в школе не должны предъявляться требования, которые ставятся формально-логической геометрией.

Можно сказать, что совершенно так лее, как учение о формах облекается в наглядную геометрию, учение о пространстве становится рационалистической геометрией3.

Рационалистическая геометрия настолько же логична, как философия рационалистов Декарта6 и Спинозы7. Облечение таких выводов в символическую форму математической логики является совершенно невозможным. Чисто формально-логического аппарата в ней нет. Оперируют они с не вполне ясными понятиями. Признаки вещей, о которых в них говорится, не выявлены в их определениях полностью. Они выступают уже в ходе самого рассуждения, и положения, к ним относящиеся, вовсе не всегда выводятся силлогистически из определенных, наперед высказанных постулатов. Они в ходе рассуждения выступают или с достаточной очевидностью, или с такой степенью ее, которая повышается с помощью особых приемов, состоящих, главным образом, в пояснении признаков, к которым они относятся.

J 79


Как на примеры таких философско-геометрических рассуждений, можно указать на рассуждения Рассела8 в его "Основаниях геометрии" или Дельбефа9, о которых ниже будем говорить.

Имеет ли научное значение такая рационалистическая геометрия? Не должна ли ее совершенно вытеснить та, которая старается осуществить чистоту своих логических выводов, вовсе ие стараясь начинать с общих характерных свойств пространства, а просто стараясь убедить в геометрических истинах, путем формально-логических выводов из возможно меньшего числа специальных и мало характерных неочевидных положений? Рационалистическая геометрия дает ответы на вопрос "почему", решает ту проблему, которую не берется решать формально-логическая геометрия, которая пока еще не превратилась в гипотетическую, а только старается убедить, что это так.

В истории геометрического учебника мы находим жаркие споры о доказательствах: "почему это так" и "это так", о неестественных и естественных доказательствах50. Конечно, неформально-логическая геометрия стремится к выявлению причин, т.е. к построению естественных доказательств, но которые не могут оказаться в смысле формально-логической геометрии безупречными.

§3. Формально-логическая и гипотетическая геометрия.

Третья геометрия - это гипотетически-формальная". Ее формула: "если, то потому".

Очевидностью аксиом она не заинтересована, она исследует не формы и не пространство, а логическую схему, в которую укладываются пространственные положения. Она интересуется не тем, что доказывается, а тем, как доказывается. Она заинтересована не узлами логической сети, а самой этой сетью.

К такой геометрии склоняется всякая геометрия, старающаяся выдержать логическую строгость и чистоту формально-логических построений. Было бы неправильно совершенно отвергать эту точку зрения в школьной геометрии. По мере роста геометрического образования учащегося, он должен все глубже проникать в конструкцию доказательств, все яснее представлять себе эту логическую сеть. На общую методическую задачу о степени проникновения школьной геометрии этой точки зрения составляющий учебник должен обратить внимание.

Я уже выше отметил, что эта третья геометрия, даже как научная геометрия, не единственна. Но я должен отметить, что формально-гипотетическая геометрия не во всей чистоте является такой. Она должна совершенно освободиться от тех целей, которые ставятся геометрией, изучающей формы, или геометрией, изучающей пространства.

180


Очевидные положения Р, Q, R... не должны иметь с ее точки зрения больше цены, чем неочевидные, из них извлекаемые. Задачи о логической сети не будут вполне исследованы, если мы будем знать пути, ведущие от Р, Q, R... кР', Q', К'..., но не будем знать путей, ведущих обратно отР', Q',R'... к Р, Q, R. Мы должны указать не только наименьшее число из Р, Q, R..., достаточное для построения системы геометрии, но также и наименьшее число из Р', Q', R', пригодное для этой цели.

Но и в том случае, если после такого исследования, относящегося к Р, Q, R..., мы провели бы его в отношении к Р', Q', R'... мы, все-таки, не освободились бы от зависимости от очевидных положений, логическая сеть оказалась бы действительно исследованной во всех направлениях, но только такая, которая прикреплена кР, Q, R...

Мы можем мыслить ие только Р' Q', R'.... получаемые го очевидных положений Р, Q, R..., но и Р', ОД R'...,'hc получаемые из них и, конечно, начиная с них сеть, мы получаем иное.

Но откуда мы должны выбирать такие положения:

P',Q',R'

P",Q",R"..V

Конечно, из тех, которые выводятся из Р, Q, R..,

Нам ничего не остается, кроме интуиции. Мы приходим к парадоксальному выводу о зависимости гипотетической формальной геометрии от геометрии интуитивной,

§4. Равенство

Мы будем говорить теперь о втором из указанных типов геометрии, причем возьмем ее на той ступени, когда она еще ие является определенно выраженным учением о пространстве.

Пространство как ясная концепция еще не выступает в науке. Геометрия говорит скорее о формах, чем о самом пространстве, но общие принципы, из которых она исходит в своих логических выводах, по существу представляют уже характерные свойства пространства, которые только должны быть облечены в более подходящие формы.

Попытка идти именно в таком направлении принадлежит еще Лейбницу* .

Идя в этом направлении, сильно отклоняясь от Евклида, не следует подробно доказывать даже такие теоремы, как: два треугольника ABС и А'В'С равны,если

ZA = ZA,, В = А'В\ АС = А'С Вместо того чтобы применять метод наложения, подвергаемый нападкам рационалистов, достаточно установить общие принципы: два геометрических объекта Р и О равны, если получаются одинаковым построением, производимым над равными объектами р, р', р" и q, q', q".

181


При этом равенство ие должно быть понимаемо в смысле конгруэнции, т.е. нало-жимости. Наложимость - это только следствие равенства, устанавливаемое аксиомой: "Равные объекты при наложении совпадают своими частямгГ.

Равные - это во всех отношениях, кроме положения, одинаковые. Мы говорим, что А А'В'С равен Д ABC, если это та же фигура, но только в другом месте.

Определение это резко отличается оттого, которым пользуется евклидова геометрия. В последней объест определяется только конечным теслом признаков а, Ь, с.

У Евклида наличность а, Ь, с определенно решает то, что данный объект - Р. У Лейбница же определение таково, что нельзя выверить, есть ли данный объект - Р, но ряд признаков а, Ь, с бесконечен и он ие может быть исчерпан. При выводах же, бесконечное множество а, Ь, с заметается таким же конечным, но это делается без доказательств. Так, в треугольнике берутся только углы А, В, С и стороны а, Ь, с.

Правда, число признаков, по которому можем судить о равенстве, понижается с помощью теорем, которые доказываются, исхода из общего принципа, выше нами формулированного. Термин "одинаковые" может быть истолкован различно: в смысле Евклида это будут построения только с помощью циркуля и линейки, с точки зрения Лежандра - это какие угодно операции, с помощью которых по данным строится новый объект.

Чтобы показать, каким образом прилагается общий принцип к вывод}'теорем, возьмем типичный пример.

Почему в двух равных треугольниках медианы равных углов равны?

По Евклиду, следует поступать так: доказывать, что Д АМС = А А'М' С', ибо-ZA = ZA, АВ = А'В'и AM = А'М'всилу равенства A ABC и Д А'В'С'. Рационалистическая геометрия отвечает: потому, что все построения для получения медиан AM и А'М' в одинаковых треугольниках одинаковы11.

Более сложный пример: в треугольники вписаны круги, центры их соединены с пересечением медиан прямыми ОЕ и О'Е' - если треугольники ABC и А'В'С равны, то ОЕ = О'Е'Ы .

Почему? Согласно Евклиду, пришлось бы устанавливать рад пар равных треугольников. Но можно сказать: потом)', что все построения одинаковы.

§5. Подобие.

Совершенно таим лее образом рассматривается подобие, которое следует рассматривать, кис одинаковость формы при различных размерах.

X. Вольф определяет подобие так: "Подобие есть тождество тех признаков, которыми вещи друг от друга отличаются". В схолии Вольф

182


дает пояснения: "Возьми, говорит он, две вещи А и В, направь свое внимание на признаки, которые могут наблюдаться в А, и наблюдение запиши. С равным вниманием отметь и признаки В, которые в ней можем распознать. Если теперь окажутся все признаю!, отмеченные в А и В, одинаковыми, то вещи А и В окажутся подобными". Но при этом исключен quantitas (размер), который нельзя формулировать в словах. Приведенный общий принцип равенства заменяется у Лейбница следующим:

Два объекта Р и Q подобны, если получены подобным построением над подобными объектами.

Это определение содержится в аксиоме Вольфа15: "Если две фигуры или линии одинаковым путем производятся, и при том, те элементы, с помощью которых они производятся, подобны, то подобны также эти линии". Необходимо пояснить, что у Вольфа для общих фигур предполагается по одному элементу, подвергающемуся одинаковым операциям.

Эта вольфианская аксиома может лечь в основание теорем подобия, если только признать подобие некоторых геометрических объектов, например, прямолинейных отрезков. Следует заметить, что углы следовало бы считать также подобными объектами.

Но Вольф не признает углы за элементы, а представляет только операциями над отрезками. Тогда в силу подобия отрезков прямых, принимаемых за радиусы двух кругов С и С и вследствие тождественных действий при описании этих кругов и, следовательно, подобия С( и С2, треугольники

А, и А2 с парой соответственно равных углов Z A, -Z A2,ZB, = ZB2 должны быть признаны подобными, ибо оба производятся с помощью построения в конце отрезков а( и а2 соответственно равных углов16.

По этой же причине подобны два отрезка с отложенными на их концах равными углами.

Если пересечь две пересекающиеся прямые двумя параллельными, то пары отрезков (a, b), (а', Ь'),17 получаемых на сторонах, следует считать, на основании аксиомы Вольфа, подобными, вследствие чего все признаки эти, как и, следовательно, их взаимные зависимости, в частном случае те, которые получаются при их количественном сравнении, одинаковы:

а : а' = b : b'

Отсюда выводится пропорциональность сторон в подобных треугольниках.

Чтобы показать, какое значение имеет аксиома Вольфа, приводим пример.

Взяв два подобных треугольника ABC и А'В'С и вписав в них круги, соединяем точки касания со сторонами. Полученные таким образом

треугольники EFQ и E'F'Q' подобны. Почему? Потому, что операции в обоих случаях подобны. А именно производится: 1) деление углов треугольника,

183


  1.  опускание из точки пересечения перпендикуляров на стороны, разлагаемые на элементарные подобные операции,
  2.  соединение оснований перпендикуляров прямыми18.

§ 6. Постулат дс Левека.

Бесспорно, что X. Вольф имел влияние и на французскую методическую литературу. В тех ранних французских учебниках начала XIX столетия, в которых отклоняются от лежандрова типа, можно усмотреть влияние X. Вольфа. Это влияние можно отметить, например, в книге Сюзанна'9.

Следует обратить внимание на доказательства равновеликое™ пи-рамид с равновеликими основаниями и равными высотами. В методическом отношении теоремы эти представляют большой интерес.

Деном и Каганом доказана невозможность вывода этой теоремы методом разложения на равновеликие части. Отсюда вытекает необходимость применения метода исчисления бесконечно малых (методы исчерпывания „чертовой лестницы" или принципа Кавальери). Сюзанн находит особый путь, обходящий "чертову лестницу", по которому идет Лежандр. В основе своего доказательства он ставит постулат де Левека. По всей вероятности, эта аксиома пускает свои корни в вольфианские идеи. То, что де Левек и Сюзанн называют операциями, определяемыми только формой, а ие размерами. Вольф называет короче: одинаковыми операциями.

Согласно его аксиоме, если подобны Q и ОД Р и Р\ то подобны также и пары (Р, Q) и (Р', Q') и потому отношения P:Q и P':Q' одинаковы. Постулат де Левека можно обобщенно сформулировать таким образом: если

мы имеем две подобные фигуры S и S' и с помощью одинаковых построений получаем из них (отрезки, площади, объемы) Р и Р\ а затем одинаковыми построениями -О и 0\ то:

PQ = P'Q' § а Общее определение изогешюсти.

странству лаол юветого и .гимана, может оыть выражено в следующих ело-

"Пространство здесь таково же, как там, т.е. не существует в пространстве какой либо абсолютной точки, с удалением от которой свойства пространства подвергаются изменению .

Если теорема Пифагора верна здесь, на этом столе, на котором я пишу, то она остается справедливой и в другой комнате, и в другом доме, и в Берлине и, наконец, на Марсе. Это свойство будем называть изогеннос->пыо10 пространства. Можно утверждать, что существуют такие изогенные пространства, в которых сумма углов треугольника не равна двум прямым,

184


но в шогенных пространствах эта сумма зависит не от положения треугольника, а только от его формы и размера, она - функция длины сторон, но вовсе не координат определяющих положение вершин. Среди неизоген-ных пространств следует выделить изотропные пространства, каковым, конечно, является евклидово.

§ 8. Л. Кертран об изогеиности пространства.

Изогенность пространства впервые выдвигается Л. Бертраном21.

Его „охотник", путем опыта вскрывающий одну за другой основные геометрические истины, отмечает прежде всего наиболее характерное, так сказать бросающееся в глаза, свойство нашего пространства: его изогенность, тождественность его свойств в различных частях: Дасть пространства, говорит Бертран, которое заняло бы тело в одном месте, не отличается от того, которое оно заняло бы в другом, к чему мы еще прибавим, что пространство около всякого тела то же, что пространство около того лее тела, помещенного в другом месте".

В высокой степени интересно, как Бертран устанавливает понятие о плоскости и прямой.

Изогенность пространства - это первое, что дается наблюдением. Второе, это возможность деления пространства на две изогенные относительно границы части. „Пространство можно разделить на две части такие, что нельзя будет ничего сказать об одной, что равным образом нельзя сказать о другой, и более того, -таких, что их общая граница будет иметь с каждой из них те же отношения в целом и частях".

Такая граница и определяется Бертраном как плоскость. Точно таким же образом прямая определяется, как граница, разделяющая плоскость на изогенные части.

Следует, однако, заметить, что аксиома об изогенности пространства и определение плоскости и прямой (или аксиомы о плоскости и прямой), как изогенных границ, не представляют у Бертрана рабочих аксиом. В теоремах они забываются. Бертран много ближе к Евклиду, чем это можно было бы ожидать. Между тем эти аксиомы он мог бы широко использовать.

Отчего окружность делится диаметром пополам? Потому, что обе полуокружности совершенно одинаково получаются с помощью диаметров. В обоих случаях центр, из которого описывается дуга, берется в одной и той же точке на диаметре, радиус один и тот же и границы те же на диаметре, но все это вполне определяет окружность.

Отчего равноудаленные от перпендикуляра наклонные равны? Потому, что для получения их в изогенных частях, на которые делит плоскость прямая, перпендикулярная данной, производятся одни и те же операции, вполне определяющие эти наклонные22; восстанавливается перпен-

Ш


дикуляр из одной и той же точки на прямую, откладываются на них одинаковые отрезки DB и DA, и соединяются концы их с той же точкой прямой23 .

Но если взять изотропное, но не изогетюс пространство, то ука-заннное свойство будет наверняка иметь место только для случая прохождения перпендикуляра CD через центр изотропности О. Но если этот перпендикуляр CD не пройдет через О, то при СА=СВ, DA вообще окажется не равным DB. Если длина отрезка убывает при вращении его около неподвижного конца с удалением другого от О, то DB<DA.

Отчего биссектриса двух прямых - геометрическое место точек, равноудаленных от этих прямых? Потому, что обе прямые одинаково расположены относительно биссектрисы и построения для получения перпендикуляров, измеряющих расстояние, одинаковы в изогенных частях плоскости.

В случае неизогенного пространства, но только изотропного, теорема верна, если прямые пересекаются в точке О - центре изотропности.

Из общей аксиомы об изогенпости вытекает возможность построения симметричных фигур (относительно плоскости в пространстве и прямой на плоскости), но это положение уже, чем приведенная аксиома.

§ 9. Гомогенность пространства.

Другое общее основное свойство евклидова пространства - его гомогенность24 . Оно остается неизменным и при изменении масштаба. Если все геометрические объекты уменьшить или увеличить в одной и той же пропорции, то свойства их остаются те же.

Валлис25 доказывал постулат о параллельных, устанавливая аксиому о возможности построения треугольника, подобного данному (или точнее, имеющего углы, равные углам данного). Но аксиома о возможности построения подобных фигур - это уже аксиома о гомогенности. Это свойство вскользь отмечается Лапласом26, который говорит: „Восприятие пространства заключает в себе особенное свойство, которое само по себе очевидно и без которого нельзя строго обосновать свойство параллельных линий. Представление об ограниченном протяжении, например о круге, не содержит в себе ничего, что зависело бы от его абсолютной величины. Но если мы мысленно уменьшим его радиус, то мы непреодолимо должны будем уменьшить в том же отношении его окружность и стороны вписанных фигур. Эта пропорциональность представляется мне постулатом более естественным, нежели евклидов"27. Вполне определенно и ясно гомогенность пространства выдвигается бельгийским философом Дельбефом28. Для него, как для крайнего сенсуалиста, математическое пространство представляет близкое к истинному пространство, данное опытом с некоторой небольшой погрешностью. Для него истинное пространство совпадает с

186


эмпирическим, а математическое коренным образом отличается от эмпирического.

В то время, как эмпирическое пространство не изогенно - ибо нельзя сказать, что мир небесных тел таков же, как мир инфузорий - математическое пространство и изогенно, и гомогенно (т.е. фигуры его сохраняют свои свойства при всяком уменьшении масштаба). Математическое пространство по Дельбефу-это схема эмпирического пространства, в котором последнее является упрощенным и, благодаря этому упрощению, -способным подвергнуться математической обработке. Интересно сравнить определение Л. Бертрана прямой линии, с определением Дельбефа, в общем приближающееся к евклидову" "Прямая ЛИНИЯ *-" ЭТО ЛИНИЯ ОДНО" родная (гомогенная) те такая части которой безочзлично как взятые подобны между собой или различаются только,™ длине". На это можно

UmnilHTIi    ЧТЛ ТП lli"^ ГЧЮИГТ'ПП ОГТИПППЛиП/~"ГИ ТТГ^Т.ГОиТТТР IT IftlUrV   tiо t^f*TflM П1Ш1Г

Hvrt в вьгоожение: "п^лич-погся только по длине" (иличто то же только

по величине)  и принять в сообптжение что Дельбе.1. выдвипет таи эле

мента по которым части линии n-пличтются -AoJ» величии* и паправ

ление,т во^ажение это отпадает ибо\ прямой «юомы и напгпвлеиие в

пазличных точкя* одно и то Гчпш ппямой п-пличгпотся по,томУ „юль
Г™«^ различаются поэтому шоль

Основной операцией при разрешении Дельбефом постулатов (т.е. вывод постулатов евклидовой геометрии из свойств изогенности и гомогенности пространства) является увеличение или уменьшите фигуры при сохранении ее формы, что мы будем называть преобразованием подобия. Доказательство Дельбефа того, что прямая определяется двумя точками из гомогенности пространства, можно представить в следующей форме:

  1.  В силу гомогенности прямой, всякий отрезок получается через подобное преобразование отрезка АВ так, что форма всякого отрезка определяется формой АВ и направление-направлением АВ. Совокупность всевозможных отрезков прямой, иначе говоря, сама прямая, определится, таким образом, отрезком.
  2.  Но такого рода преобразование достигается движением А или В по одному направлению, так что преобразование подобия сводится к вполне определенному движению точек А и В (раздвнжению или сближению концов, по выражению самого Дельбефа) и поэтому задание А и В вполне определяет бесконечную совокупность отрезков, т.е. всю прямую. Определяя параллельные, как прямые одного направления, Дельбеф легко выводит равенство соответственных углов при пересечении двух параллельных третьей. Но ему приходится доказывать эквивалентность этого определения обычному евклидову. А именно, что:

1) две параллельные (в смысле Дельбефа) прямые не могут пересечься, как далеко мы их ни продолжили бы;

187


2) две прямые не параллельные (в смысле Дельбефа), т.е. имеющие различные направления, встречаются.

С первой частью Дельбеф легко справляется, замечая, что в про
тивном случае эти прямые образовали бы различные направления. Вторая
же часть устанавливается с помощью преобразования
подобия.
 О

Пусть OR, PQ - различные направления, че- /

рез точку р проводим pq того же иапрааления, что и /

заставляет возрастать фигуру Opq, Тогда, вследствие р /  q

сохранения Opq формы, Ор будет возрастать, pq - со- Г      ~ ~

хранять направление. В результате pq обратится в PQ, / - —

причем точка пересечения pq и Ор, сохраняясь при пре-       / образовании, останется и тогда pq обратится в PQ, т.      /

е. PQ пересечет OR в некоторой точке R (черт. 1).        R " "

Черт. 1.

§10. Пространства иеизогеппо-гомогеппые и

пегомогенпо-изогенп ые.

В противоположность ев о идову пространству, пространства Лобачевского и Римана не гомогенны (изогенно-негомогенные), сумма углов в треугольнике зависит не только от формы треугольника, но и от его размеров. Чем меньше треугольник, тем сумма эта ближе к 2d.

Но может ли быть пространство гомогенным, но не изогенным? Таким пространством является зрительное пространство, в котором расстояние между точками определяется углом зрения. В движении от глаза расстояние между концами неизменяющегося отрезка будет убывать, при движении к глазу будет возрастать. Но такое пространство не будет зависеть от абсолютной длины (параметра), как пространство Лобачевского, и уменьшение и увеличение геометрической фигуры не будет влиять на его свойства, если только ко всякой фигуре будет присоединяться центр изотропности (в настоящем случае глаз), так что ABC всегда будет рассматриваться как часть • ABCD.

Пространство париосвязно30, если оно характеризуется взаимоотношением двух точек (аксиомой расстояния Рассела). В изогенном пространстве есть такие передвижения этих точек, при которых это взаимоотношение остается неизменным.

Пространство apuc/wemimtpoeaito, если всякое такое отношение выражается числом. Это число получается операцией над расстоянием ЫхМг и каким-то другим расстоянием AB=d. В пространстве гомогенном и изогенном нет абсолютного d; А и В берутся произвольно. В пространстве изотропном, но гомогенном, абсолютной меры тоже нет31. В пространстве неизогенном, в указанном выше смысле, парно связности быть не может, взаимоотношение всегда рассматривается, как отношение трех точек и цен-

Ш


тра пространства О. Здесь следует отметить, что изотропность можно понимать еще в ином смысле, чем в § 7. Расстояние обращается в 4-членное отношение (М, М2 OS). (О и S); при такого рода изотропности (относительно прямой) иет гомогенности и за абсолютную меру можно принять OS.

§11. Теория параллельности Лейбница.

Против евклидова определения параллельности как прямых, не пересекающихся при своем продолжении, выступал еще в XII векеРамус32. Он подчеркивал полное несоответствие этого определения общему понятию параллельности каких угодно линий, которые, оставаясь параллельными, могут вместе с тем и пересекаться».

Он определяет параллельные (и при этом не только прямые, но и какие угодно линии), как равноотстоящие. При этом, расстояние между двумя линиями им мыслится по прямой перпендикулярной (мы скажем теперь: по нормали к двум линиям). При таком рамическом определении параллельных нам иет необходимости вводить 11 евклидову аксиому.

Все свойства параллельных выводятся просто из этого определе
ния.
Но определение это именно предполагает эквивалентную аксиому о
том, что геометрическое место точек, равностоящих от прямой, представ
ляет прямую. Как известно, в геометрии Лобачевского это геометрическое
место, кривая -
гиперцикл. Лейбницианское34 определение, конечно, пред
полагает такую скрытую аксиому.
 д ВQ М

"Параллельные,- говорит Лей- —: ~

бниц, - это те, которые везде находятся взаимно в том же отношении".

„ParaIclIae possum definiri
rectae qualinvicem ubicunque habent
 P T

eodemmodo". leрт'

Лейбницианское определение предполагает, что не только операции восстановления перпендикуляров в различных точках прямой и откладывание равных отрезков дают параллельную прямую, но и что вообще одинаковые построения, производимые над прямой в различных точках, дают также параллельную упрямую.

Так, например, если мы в одном месте отложим отрезок АВ и в другом месте такой же отрезок QM и построим па них равносторонние треугольники, то вес вершины этих треугольников окажутся на параллельнон прямой (черт. 2).

Вместо этого построения молено взять и другое. Можно строить равные параллелограммы ABDE, LMNP и брать точки пересечения их диагоналей Т и Q.

То, что существует такое геометрическое место, такое, что каждое из построений, возможное в одном месте, возможно и в другом, - это

189


выводится из изогенности пространства, из того, что пространство здесь таково же, как там. Но из изогенности пространства, как это кажется Лейбницу, вовсе не вытекает то, что это геометрическое место - прямая.

м

По Лейбницу, из того, что геометрическое место находится в том же отношении к прямой, вытекает ее однородность, но только ие в смысле гомогенности, а в смысле изогенности -одинаковые построения в различных местах должны давать те лее результаты. Но подобные построения могут давать различные результаты.

Если на концах отрезка AD построить перпендикуляры AB=DC, то в силу изогенности пространства, следует ожидать, что углы В и С будут равны. Но равенство углов В и А,

D и С отсюда не вытекает, оно вытекает из гомогенности пространства.

Дальше Лейбницу следовало бы так рассуждать:

Если вместо AD взять A'D' и на нем построить четырехугольник A'D'B'C с прямыми углами при основании и с равными боковыми сторонами, то должны получить угол В' равный В.

Уменьшая A'D', мы должны бу
дем признать, что и в том случае, когда
A'D' обратить в точку а, В'С пойдет по
AD, углы, смежные углам В', С, окажут
ся равными углам, смежными с А' н D'.
Как и при доказательстве Валлиса, соб-
su
ственно одной гомогенности простран-  а А'        О

ства оказывается недостаточно. Необхо- Черт. 4.

димо еще применить общий принцип пределов: то, что остается неизменным при изменении переменных X, Y, Z..., остается верным и в пределе. Это Лейбницем высказано в форме очень общего положения, имевшего у него более метафизический, чем математический характер35. По существу оно совпадает с первой половиной принципа непрерывности Понслэ: если какое-нибуьь положение доказано при ограничении так, что некоторые величины, а, Ь, с... не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность и не принимают мнимых значений, то оно остается верно и тогда, когда эти ограничения сняты.

Но Лейбниц сам к этому принципу не прибегает. Он говорит, что в виду того, что смежные углы при А равны, нет основания чтобы они при В оказались неравными. Это довольно темно и требует разъяснения. Лейбницу представляется почему-то очевидным, что

У -может

 зависеть только от

 

 и если р = а, то обязательно у = § .

190

 


§12 Ватте.

Принцип изогенности пространства, конечно, шире, чем принцип § 4, а гомогенности - чем принцип § 5.

Аксиома § 4 вовсе не постулирует существование где угодно объектов, равных данным, а только указывает условие равенства уже данных, она вовсе не постулирует возможность производства какой-либо операции где угодно. Аксиома § 5 вовсе не постулирует возможности уменьшения в какой угодно мере с сохранением формы.

Но можно сказать, что возможность передвижения и возможность уменьшения объекта - положения тоже более узкие, чем принципы изогенности и гомогенности тел, когда это передвижение указывается в определенном направлении или уменьшение в определенных размерах.

Теорема параллельных Валлиса постулирует возможность построения на каком угодно отрезке треугольника, подобного данному, но он может требовать и меньшего, - только возможности построения такого на продолжении стороны, и при этом только прямоугольного.

Чтобы доказать, что наклонная BQ пересекается с перпендикуляром АР, Валлис строит с тем же углом прямоугольный треугольник АЬС так, чтобы он пересек перпендикуляр. Затем на АВ строит прямоугольный треугольник, существование которого доказывает пересекаемость BQ и АР в

\ силу того, что BQ пойдет вдоль ЬС.

А Ь В При этом и здесь неизбежно применяется

Черт- 5- общий принцип теории пределов. Возможность

пересечения ЬС с АР доказывается тем, что если бы это не было возможно

ни при каком АЬ, сколь мало оно ни было, оно было бьт невозможно и при

АЬ=0, т.е. когда ВС проходит через А.


Из прошлого пятой книги "начал" Евклида.

§1. История 5-й книги "Начал" Евклида, содержащей античную теорию пропорций, это - история арифметизации геометрии, история эволюции идеи числа.

Для Евклида число -это "собрание единиц" (кн. 7, опр. 2), так что и дробь для него еще не является числом. Между геометрическими величинами и числами еще нет взаимно-однозначного соответствия: отношение двух отрезков площадей или объемов а : в еще не сводится к отношению двух чисел. Евклиду придется строить две теории пропорций: величин в 5-й книге и чисел в 7-й. С нашей точки зрения ему, приходится повторяться,

Но это только с нашей точки зрения, а не с точки зрения Евклида. У Евклида не только нет взаимно-однозначного соответствия между геометрическими величинами и характеризующими их числами, у него нет идеи рода, объемлющего видовые понятия геометрической величины и числа, которое является результатом только дальнейшей эволюции математической мысли.

Чисто формальная точка зрения противна Евклиду, определение класса совокупностью формальных законов ему чуждо.

Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии - прямую) он не решается отнести к одному классу в силу тождественности формальных законов, которым подчиняются соответствующие операции над ними. Величины в I книге (см. акс. 8) взаимно налагаются.

Аксиомы: 1, 2, 3 ...

"Величины, равные одной и той же величине, равны между собой".

"Если к величинам равным придадим равные, то получим равные суммы".

"Если от величин равных отнимем равные, то получим равные..." и т.д. все относятся не к числам, а к геометрическим величинам, к классу, в который отнюдь не входят числа.

Но что является в высокой степени интересным - это то, что эти и другие аксиомы лежат в основе арифметики Евклида, так как все арифметические действия над целыми числами Евклид сводит к действиям над особым классом отрезков, составленных из одного определенного, отвечающего единице.

Между отрезками этого класса и целыми числами существует взаимно-однозначное соответствие и оно позволяет Евклиду, идя в обратном

J 92


современному направлении, свести не геометрию к арифметике, а арифметику к геометрии 1.

§2. Понятия об отношении чисел у Евклида нет, но есть понятие об отношении величии.

Опред. 3 - 5-й книги.

Отношение есть взаимная некая зависимость двух однородных величин по их количеству (пер. Петрушевского).

Понятие же о пропорциональности имеется как для величин, так и для чисел.

Для величин: опред. 6 5-й книги2.

Пропорциональными называются величины, имеющие то же отношение.

Для чисел: опр. 20 7-й книги.

Числа пропорциональны, если первое второго и третье четвертого

составляет то же кратное или ту же долю lI или ту же дробь I ~~\.

7-я книга проводится независимо3 от 5-й, так что не будучи в силах охватить эти два понятия пропорциональности чисел и пропорциональности величин в одном общем их объемлющем понятии пропорциональности вообще, конечно, в слитной форме у него имевшейся, Евклид дает эти понятия раздельно, так что общим у них остается только название.

Определение отношения величии, как и определения точки и прямой в первой книге, остается у Евклида мертвым, логически недействующим.

Рабочим определением является определение 5-е 5-й книги, определение тождественности отношении. "Величины, говорится, суть в том лее отношении, первая ко второй и третья к четвертой, когда равнократные первой величины и третьей, и равнократные второй величины и четвертой, взятые по какому-либо кратствованию, суть таковы, что попеременно каждая каждой, или купно равны, или купно больше, или купно меньше".

На алгебраическом языке

а: b = с: d

если при всяких целых числах m, п таких, что

ma)nb также mc)nd

ma (nb также mc(nd

ma = nb также mc = nd

Что такое отношение - Евклид определяет'. Но тогда следует считать известным и то, что представляет тождественность, или одинаковость отношений.

193


Положение здесь то же, что с прямыми углами и площадями, равенства которых Евклид не определяет, но дает аксиомой 8-й 1-й книги3 признак равенства.

В духе самого Евклида следовало бы признать определение 5-е не определением, а аксиомой.

То же самое относится и к определению большего и меньшего отношения (опред. 5-й книги), выражаемого в алгебраической символике так:

а:b>c:d если для некоторых целых га, п:

ma > nb тс < nd

История создания "Начал" Евклида для нас, собственно говоря, закрытая книга. Тем не менее, молено иногда, так сказать, ощупать психологию некоторых явлений, относящихся к "Началам".

Что произошло бы, если бы 5-е определение было объявлено аксиомой? Пришлось бы ее помещать в начале 1-й книги, пришлось бы пополнять систему определений этой книги и без того очень длинную, и идти против ясно выраженной тенденции помещать в начале книги только минимум определений и, вместе с тем, в силу методических затруднений -невозможности читателем обнять памятью всю этут таблицу - быть вынужденным опять повторять эти определения в начале 5-й книги.

Даи сама та аксиома обладала бы степенью очевидности еще меньшей, чем 11-я 1-й книги*. Автор, молено сказать, инстинктивно сделал то, что современные математики делают уже вполне сознательно: возвел не очевидную истину в определение, объявив: "называется А то, чему присущи свойства а, Ь, с...", между тем, как до тех пор называлось А то, чему были присущи свойства а', Ь', с'..., и из наличности а', Ь', с'..., уже извлека-

ЛЯСЬ НАЛИЧНОСТЬ а   Ь   С      ИЛИ ИНТУИЫИбЙ   ИЛИ ВЫВОДОМ   НС УКЛЯДЫВЛВШИМ"

С Я в СТПОГП логичную форму.

§ 3. Определение 5-е пускается в ход в теореме 4-й, а затем только в 7-й. 1, 2, 3, 5, б.7 Теоремы выводятся независимо от него и относятся к свойствам равнократных.

Доказанные на основании опр. 5-го свойства пропорций располагаются в табличку:

I) a:b = c:d->ma:nb = mc:nd теор. 4

II) а = Ь<н>а:с = Ь:с тсор, 7,9
Ш)a|Ь*»a:c|Ь:с
 теор. 8,10

IV) ab:=c:d;c:d = e:f-m:b = e:f теор. 11

V) a:b = c:d«*a:b = c:d = (a+c):(b + d) теор. 12

194


VI) a:b-c:d;c:d>e:f->a:b>e:f теор. 13

VII)a:b = c:d;a|c-»b|d теор. 14

VHT) a:b = na:nb теор. 15

IX) a:b = c:d->a;c = b:d теор. 16

X) a;b = d:e    b:c = e:f->a:c = d:f теор. 22

XI) a:b = e:f b:c=d:e-»a:c = d:f теор. 23»

Приводим для ознакомления с характером доказательств 5-й книги доказательство 11-го предложения (т.е. IV свойства). Берутся равнократные ■

а,с,в-а,с,ё (т.е.ma,mc,те)

b,d,f-b,d,f (T.e.nb,nd,nf)

Так гак а : b = с : d, то, согласно 5-му определению, если a |b, то

с|5.

Далее в силу того, что с: d = е: f , то по тому же определению, если

с|5,тоё|Г,

откуда извлекаем, что при а|Ь~, и e|f и согласно определению 5-щ', что a:b = e:f. Приводим также доказательство положения 16 (ГХ-го свойства). Взяв равнократные

a,b a,b(T.e.ma,mb)

c,d o,d(T.e.nc,nd)

мы имеем по свойству (VIII)

а: b = а: b

a:b=c:d откуда по свойству (IV)

c;d = a:b.

Но, так гак c:d = c:d,To u:b = c:d откудавсилу (VIICB.)npn а^с также Б^З. что согласно 5-му определению, дает;

a:c = b:d.

195


Эта теорема о перемене отношений может иметь смысл только в случае однородности всех четырех величин

(а, Ь, с, d).

Если взглянуть дальше в 6-ю книгу, то ясно представится, что Евклид признает пропорциональность только между величинами одного рода, а равенство отношений также между разнородными величинами. 1-е предложение 6-й книги формулируется так; "Два треугольника или два параллелограмма имеющие ту же высоту относятся, как основания. Но во 2-м предложении мы имеем на сторонах треугольника, пересекаемого параллельно основанию, пропорциональные отрезки, то же в 3-й теореме, где мы имеем четыре пропорциональные величины; стороны треугольника и отрезки, отсекаемые на третьей стороне биссектрисой. В 33-й теореме имеем равенство отношений углов и соответственных дуг. Следует думать, что в дальнейшем понятие пропорциональности подверглось обобщению. Неоднородные величины (а, Ь, с, d) стали называть пропорциональными, если

a:b = c:d,

например, углы и соответствующие дуги.

Известны две версии 8-го определения 5-й книгиs:

Пропорция - тождество отношений.

Пропорция - подобие отношений.

Первое - отвечает случаю однородности пар (а, Ь) (с, d), второе -неоднородности.

В определении 6-м пропорциональных величин, как имеющих равное отношение, вне сомнения недостает условия однородности.

В седьмой книге для чисел доказывается свойство IV (теор. 5, 6, 7, 8, 11), причем отдельно исследуются случаи доли и дроби, затем свойство IX (теор. 9, 10, 13) и свойство XI (т. 22).

Я выше сказал, что 7-я книга проводится независимо от 5-й. На это можно было бы возразить ссылкой на доказательство положения 19-го 7-й книги.

Если a:b=c:d, то ad=bc и обратно. Доказательство первой части ведется следующим образом. Положим ad=e, bc=f, ac=g.

Тогда согласно доказанному в 7-й книге независимо от 5-й: g:e=c:d и a;b=g;f,

Но согласно условию a:b=c;d, поэтому g;e=g;f, откуда e=f.

В издании Лоренца'° здесь стоит ссылка на теоремы 11 и 9 первой книги, устанавливающие свойства II и IV пропорций, которой в переводе Петрушевского не имеется. Если сам Евклид имел в виду эти ссылки, т.е. применение результатов теории пропорции 5-й книги к числам в 7-й, считая числа входящими в класс величин 5-й книги, то является в высокой

196


степени странным, почему ему тогда понадобилось выводить другие свойства чисел, которые можно было бы получить из той же 5-й книги.

Верней всего, что Евклидом применялась здесь скрытая арифметическая аксиома (этого рода аксиомы все находились под порогом сознания).

  1.  Если а составляет ту же часть Ь, что с - d, а с ту же часть d, что е - f, то а составляет ту же часть Ь, что е - f.
  2.  Если g составляет ту же часть е, что и f, то е и fравны.

§ 4. В противоположность математикам XVII века, Клавий" (известный комментатор Евклида XVI в.) больше всего говорит не о 5-м, а 4-м определении 5-й книги "Начал". "Величины называются имеющими отношение одна к другой, кои, будучи взяты кратно, могут быть больше одна другой".

Определение же 3 излагается пространнее с пояснением примерами понятия однородности: "Когда две величины одного рода, как два числа, две линии, две поверхности и два тела и т.д. между собой сравниваются относительно количества, т.е. того, что одно больше или меньше, или равно другому, то называется это сравнение или взаимная зависимость -отношением (Ratio sive proportio).

Определение 4-е представляет загадку более трудную.

Едва ли молено считать это другим определением того же, что дается уже 3-м определением.

Как и в других случаях, скорее всего здесь за определением рода следует определение вида.

Отношение одной величины к другой (опр. 4) - вид. Отношение (опр. 3) - род.

Какое отличие между этими двумя отношениями? Если в том, что первое есть отношение не вообще однородных величин, а однородных величин специального типа, причем такого, который определяется свойством: кои, будучи взяты кратно, могут быть больше одна другой, то придется признать, что Евклид ясно сознавал постулат Архимеда12 и возможность величин, ему неудовлетворяющих. Между тем везде и в 5-й, и в 6-й, и в 10-й книгах он привходит неявно, в виде скрытой аксиомы, которых было очень много под порогом сознания Евклида.

Ващенко-Захарченко'3 основательно думает, что свойство, отмечаемое определением 4-м, приписывалось Евклидом всем однородным величинам, но едва ли единственное назначение определения 4-го - это резче подчеркнуть то, что уже упомянуто в предшествующем определении, а именно, однородность величин.. Следует еще отметить, что перевод М. Е. Ващенко-Захарченко... "если меньшую из них можно повторить столько раз, чтобы результат был равен или больше большей" нечто весьма отличное от того, что стоит у Петрушевского или Лоренца:

197


"Ein Verhaltniss zu einaner haben Grossen welche vervielfaltigt einander iibertreffen konneu"14. В алгебраической символике, по Ващенко-Захарченко, утверждается существование целого m такого, что

шА>В (т-1)А<В

по Петрушевскому и Лоренцу для данного целого п - такое целое in, что

mA>riB (m-l)A<nB

При таком понимании, естественным является предположение, что "отношение 4-го определения" относится к таким же величинам, что "отношение 3-го определения". Сравнение количеств двух величин самого общего характера дает нам уже отношение. Таковым является отношение, дающееся элементарным сравнением, выражаемым словами больше или меньше.

А>В В<А.

Таким также является отношение, которое представляет результат того уже более определенного сравнения, который мы в наше время выражаем числом. Это сравнение разбивается на бесконечное число сравнений элементарного типа, относящихся не только к самим А и В, но и их кратным, в алгебраической символике, к определению для всех п таких т, что

mASiiiB (m-l)A<nB

Можно сказать так: как только для всех п мы будем мыслить такие in, что тА > nB, (m - 1) А < пВ мы получим не отношение, вообще, а отношение А:В.

Совершенно иначе разъясняет эту загадку Клавий.

По Клавию, что такое отношение, вполне разъясняется третьим определением. За этим определением ставится вопрос: все ли однородные величины имеют отношение?

В определении 4-м - Клавий видит отрицательный ответ.

Род величин он разбивает на два вида - находящиеся и не находящиеся между собой в отношении.

Первые это те, которые удовлетворяют постулату Архимеда, каковы прямолинейные отрезки, площади, объемы, прямолинейные углы. Вторые это те, которым присуще прекрасное свойство, состоящее в том, что прибавление к а-а, а... не дает возможности превзойти Ь.

Такими величинами, по мнению Клавия, является угол касания15, образуемый двумя касающимися кругами, и прямолинейный угол. Присоединение к углу касания других ему равных углов касания никогда не может, якобы на основании 16 теор. Ш книги дать прямолинейный угол или угол больший его.

198


"Неправильно, замечает Клавий, думают те, которые под выражением "величина одного рода" в евклидовом определении разумеют те, которые заключаются в одном ближайшем роде (sub eodem genere proximo sive infimo), так как для углов касания и прямолинейного угла таким genus proximus1* является угол".

§ 5. Комментаторы Евклида XVI века не критикуют, а разъясняют Евклида; высказываемое ими мнение выдается или за мнение Евклида, или за мнение, согласное с его взглядами.

В XVII веке выступает Euclides reslitutus'7. Евклида не только комментируют, его исправляют. Пополняют систему аксиом, исправляют определения, меняют части всей логической постройки и делают попытки полной ее перестройки.

Арце18, Озанам19, Такэ20, Борелли21, Саккери22, Арно - вот ряд ступеней все более и более существенных перестроек "Начал". Борелли обращает особенное внимание на 5-ю книгу. Имя его связано с историей теории параллельных ввиду очевидного влияния его на Саккери. Но сам он здесь находится еще в большей зависимости от Клавия, и вероятно, и от своих современников.

В его Euclides restitutus интереснее и оригинальнее всего исправленная 5-я книга Евклида.

Он резко критикует 5-е определение 5-й книги.

Всякое научное определение должно ясно изложить природу определяемой вещи через свойство возможное, истинное, первое и известнейшее, которым определяется вещь и отличается от какого-либо другого объекта. Свойство же, излагаемое в евклидовом определении таково, что "нельзя узнать, дается ли оно в действительности, так как мы не можем определить дается ли это бесконечное число равнократных единовременно больших или единовременно меньших остальных, так что не знаем, верно ли оно...". В определении же отношения и пропорции он видит неопределенность и неясность, он подчеркивает неопределенное "quidain"23 в определении отношения, указывая на возможность не одного, захватываемого определением, а многих взаимных зависимостей и то, что здесь дело идет о специального типа зависимости и равным образом в определении пропорциональности имеется в виду подобие определенного частного типа. Интересна критика Борелли, относящаяся к, так сказать, преждевременной арифметизации теории пропорций, сводящей определение пропорциональности к равенству показателей отношений (denominatores proportionis), получаемых делением'^ на А и с на d.

Говоря в своей критике о числах, Борелли разумеет под иррациональными числами только корни из рациональных чисел.

Невозможность представления всякого показателя отношения таким числом приводит его к заключению, что неверно, что всякое иррациональное отношение можно считать числовым.

199


Пропорции чисел и геометрических величин у него включаются в пропорции величин вообще, к которым и относится исправленная 5-я книга "Начал".

Соизмеримая- пропорциональность, т.е. пропорциональность двух пар соизмеримых величин (а, Ь) (с, d) им определяется так, гак Евклид определяет в 7-й книге пропорциональность чисел24.

Соединительным звеном между соизмеримой и несоизмеримой пропорциональностью является определение неравенства отношений:

a:b*c;d, где а, Ь несоизмеримы, а с иd соизмеримы.

В алгебраической символике это определение выражается так:

а>b п    ' если с : d=m : и, где m и п целые числа.

Словесная формулировка: отношение акb больше, чем с к d, если а больше той части Ь, какую составляет с от d.

Дальше идет определение а: b ^с: d в случае несоизмеримости а и Ь, с и d с помощью вспомогательного соизмеримого отношения е : f

а : b > с : d, если при а : b > е : f имеем с : d < е : f.

Наконец, пропорциональность определяется таким образом: a:bHe>c:dH не <c: d согласно указанным выше определениям.

§ 6. Критику Борелли интересно сравнить с критикой Такэ2, который становится на другую точку зрения. Борелли, выступая против определения, основанного на операциях над бесконечным классом, собственно говоря, старается исправить Евклида в духе самого Евклида, признающего только то, что может быть в действительности получено построением. Таю же старается исправить Евклида так, чтобы он согласовался с логическими идеями того времени, так ярко позже очерченными в пор-роялевской логике*.

По мнению Такэ, учение Евклида встречает следующие затруднения.

  1.  Его определение равенства отношений (т.е. 5-е определение) и зависящее от него определение пропорции (б-е), дает не сущность пропорции, а только один из его признаков.
  2.  То, что доказывает дальше Евклид относительно пропорций, опираясь на свое определение, не может быть без доказательстаа (т.е. без доказательства, что указанное им свойство действительно присуще равенству отношений) распространено на абсолютное равенстоо отношений, т.е. то истинное равенство отношений, идея которого предваряет всякое математичеко е исследование.

200


По мнению Такэ, "одно сказать, что отношение площадей треугольников с равьши высотами ABС и DEF равно отношению оснований АС и DF и другое - асазать, что для всяких m, п для которых

in ABC I nDCF, а также и m AC | nDF, и незаконно утверждать, что, если второе доказано, то доказано и первое, без особого оправдания евклидова определения пропорции". Определение же самого Такэ равенства отношений оказывается столь же мертвым, как определение отношения Евклида.

"Два отношения к b и с к d) подобны или равны, когда предыдущее а равно (aeque) или также (т.е. не больше и не меньше) содержит свое последующее Ь, как предыдущее с содержит последующее cl, или короче, сколько b содержится в <7, столько d в с". Входящее сюда понятие "содер-жанния" Такэ разъясняет для случая рациональнных отношений, а для иррациональных он не дает разъяснения, считая это само собой понятным: "Если пропорция иррациональная, то эта вещь не может и не должна разъясняться".

Так как из своего мертвого определения Такэ ничего не может извлечь, то к этому определению приходится приклеить аксиому, которую Дешаль27  возвел в определение, заменяющее евклидово.

"Отношения к b и с к d) р авны, если последующие (т.е. b и d) и их подобные части (paries aliquotae), каковы бы они ни были, равное число раз содержатся в предыдущих (т.е. а и с)".

В алгебраической символике это истолковывается следующим образом:

а : b = с : d,

если, обозначая через

(b1,d,),(b2,d2)....(bj,dj).... такие величины, что

b = mjbj        d = mjdj где m. целые числа, и в то же время

a = nJbJ+aj       c = Pjdj+Cj  (*) где

aj <bj      Cj <dj n., p. целые числа, то

ii.=Pjffl. Что касается до системы положений теории пропорций, то средством ее упрощения у Таю является обычный в XVIII веке способ обращения доказывавшихся раньше положений в очевидные истины.

201


В этом отношении существует большое сходство между рационалистами XVII века и современными логистиками29, разница лишь в том, что ту роль, которую раньше играли аксиомы, играют теперь определения, к которым не предъявляется других требований, кроме тех, чтобы из них могли бы извлечь наперед заданные теоремы,

К 4-му определению Евклида Таю присоединяет в качестве опять аксиомы положение о равенстве величин, имеющих к одной и той же величине (или к равным величинам) одно и то же отношение, и обратное положение, а также аналогичное положение, относящееся к неравенству: отношения, равные одному и тому же отношению, равны между собой.

Взгляды Такэ на 12-е и 15-е положения не вполне ясны. Он не называет их аксиомами, но поступает с ними так, как если бы это были теоремы, доказательства которых так просты, что их и не стоит приводить.

О 15-м положении:

"Две величины имеют между собой такое же отношение, какое имеют их равнократные", он говорит: "Это положение можно было бы принять и за аксиому".

Вне сомнения, такое обращение целого ряда раньше доказывавшихся положений в очевидные истины обусловливается не одним стремлением к сокращению теории пропорции для более легкого усвоения ее начинающими изучать Евклида; следует при объяснении этого факта учесть и то, что эти положения с постепенной арифметизацией ума стали приобретать хотя бы и не в сильной степени, ту очевидность, которая раньше им не была присуща.

Область понятия числа далеко расширилась за пределы евклидовых, т.е. целых чисел. Общность формальных законов, присущих отношениям и числам этой эпохи, прекрасно сознавалась математиками, она, можно сказать, каждую минуту вставала перед их глазами, они, так сказать, против воли приучались мыслить отношение, как число, и вследствие создававшегося через это настроения ума возникали иллюзии очевидности. § 7. Сам Евклид не мог бы признать обеих этих теорий. У Евклида геометрический объект получает право на существование только при условии доказанности его построения. Деление отрезка на m частей устанавливается

только в 6 книге. Для — о Борелли и ф., dp Такэ не дастся построений и

поэтому, с точки зрения Евклида, (кстати говоря, чуждой XVII в.) все эти теории являются незаконченными, и более того, они и не могут быть закончены.

Можно отметить различие в аксиоматическом отношении между теорией Такэ и евклидовой. Теория пропорций Евклида зависит от архимедова постулата, ибо на нем зиждется доказательство 8-го и 9-го положений.

202


Но независимы от него доказательства теорем 10-17 и независимо от него определение 5-е, которое сохраняет смысл и в том случае, если постулат Архимеда не выполнен. А именно, можно мыслить, что не для

всяких п существует такое т, что та > nb, но что существуют значения п без соответствующих т, и относить условия

ma^nb->mcnd

только к тем (т, п), для которых возможно первое неравенство.

Иное дело теория Такэ-Дешаля. Само определение уже предполагает возможность таких а. и с, что

что сводится к постулату Архимеда. § 8. Арно30 является еще в большей степени арифметизированным, чем Такэ.

Таблица аксиом у него еще дальше расширяется.

Следующие 10 истин по его мнению очевидны.

  1.  (а + b + с): d = (а : d) + (b : d) + {с : d).
  2.  а:d = (a-b):d + (b:d).
  3.  a: (b : m) > a : b, где m целое число,
  4.  (a: с): (b : с) = a: b.
  5.  (c;a))(c:b)=b:a.

6 V-»a:b = e:i.

°'e:f = c:dj

  1.  a : b = с : b —> a = с
  2.  Два из следующих условий влекут уже третье a=ca:b=c:d    b=d

a:b = c:d|

e:f = g;hj     :    Jb    )    (   ы K     '

10. a: b = с: d -> с : d = a: b.

Хотя некоторые он вследствие недостаточно сильной очевидности доказывает или, вернее, разъясняет.

Достаточно бросить взгляд на эту таблицу, чтобы усмотреть, что для Арно отношения уже величины, которые, как и числа, отрезки, площади, объемы и т.д. могут между собой складываться и вычитаться. Но только это величины относительны,, в то время, как последние величины абсолютные31 .

Для каждого типа величин можно выделить оба эти рода.

203


Числами абсолютными у Арно называются только целые числа,

5   7 относительные же - это дроби —,—.. .

Таким образом, дробь начинает рассматриваться, как отношение.

"Так как отношение есть величина, хотя бы и относительная, гово-рит Арно, то вес, что относится к величине, вообще относится и к отно-

ШС1ШЯЛ1.

Две величины (с : Ь) и (с : d) замечает Арно, хотя и относительные, мы можем подвергнуть, как а и Ь, сравнению, дающему или равенство или неравенство.

В случае равенства имеем пропорцию а : b = с: d. Случай неравен-ства дает то, что мы могли бы назвать относительной величиной уже второго порядка

(а : b):(c : d) и сравнение пары таких новых относительных величин дает опять пропорцию

(а:Ь):(с:d) - (е:I):(g:h) или то, что можно было бы назвать относительными величинами высших порядков и т.д.

Приведенная выше аксиома Таю, обращенная Дешалем в определение, становится у Арно теоремой.

Интересно доказательство этой теоремы для случая несоизмеримости; в этом доказательстве ярко выступает лежандровское настроение. Следует заметить, что в формулировке теоремы у Арно имеется несущественное изменение в сравнении с Такэ; предыдущее поставлено на место последующего и обратно.

"Если всякие подобные аликвотные32 части последующих b и d равно (т.е. равное число раз) содержатся в предыдущих, то а : b и с : d равны

а: b = с : d.

Доказательство:

Положим, что а : b не =с : d.

ToWaа:b>с;d,iumа:b<с:d.

Конечно, можно ограничиться первым случаем, ибо второй будет рассматриваться аналогично. Тогда, замечает Арно (пользуясь неявно аксиомой Клавия, о которой мы ниже еще будем говорить), к b молено прибавить такое \ , что

a:(b+£) = c:d. Но этого быть не может, ибо можно взять от а такую аликвотную часть а, что ос будет меньше £, и тогда с, будет содержаться в b ие столько

204


раз, сколько Y (подобная аликвотнал часть d) содержится в с, а на единицу больше, что противно условию33.

§ 9. Теорема о том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, входящая в современную арифметичеасую и алгебраическую теорию пропорций, у Евклида оказывается в 6-й книге, причем очень далеко от начала (16-е предл.) и в 7-й книге (19-е предл.).

Доказывается она только для отрезков и целых чисел, причем для случая отрезков формулируется таким образом:

"Если четыре прямые линии пропорциональны, то прямоугольник, построенный на крайних прямых, равен прямоугольнику, построенному на средних и обратно". Буквенная алгебра дает возможность выразить символически эту теорему.

Если а: b = с : d, то ad = be (*).

Под буквой вне сомнения разумелось раньше (даже в XVIII в.) не то, что мы теперь разумеем, не число, а величина (magnitude in geiiere)34, объемлющая как непрерывные, так и дискретные величины. Это можно усмотреть уже из самих старых определений алгебры, например:

Рейхер(1703)

Чистая математик! делится на общую (Universalis), называемую алгеброй, исследующую абстрактное количество (quanlitas abslracta), и частную, включающую геометршо, исследующую непрерывную величину и арифметику, исследующую множество или число.

Через 60 лет,

Лакайль (1762)-1'.

Алгебра, это, так сказать, общая арифметика или наука вообще о величинах, как арифметика - наука о числах.

При этом Лакайль отмечает, что quantilas vel magnitude)" может быть дискретно (partibus separates) - такие величины исследует арифметика - и непрерывно (continime), которыми занимается геометрия.

Еще в XVII веке алгебра помещается после арифметики и геометрии. Из "ars inveniendi"37, находящего свое обоснование только в геометрии, алгебра не скоро обратилась в систему общего учения о величинах.

Она содержала правила формальных операций и вытекающие из этих правил следствия, но смысл их совершенно различно истолковывался для геометрических величин, чем для чисел.

Для геометрических величин в равенстве (*) ad и be истолковывались, как площади треугольников, построенных на ad и be. Если а, Ь, с, d ..., это прямолинейные отрезки или, как выражались, линейные величины, то ab, cd... -плоские, abc...- телесные.

Что касается до abed, то это величина, воображаемая, мнимая, то

же, что для нас^Т. Так что одна и та же формальная алгебраическая операция могла привести или к реальному, или к мнимому результат)'.

205


Смотря по тому, производится ли она над числами или геометрическими величинами, например, отрезками.

5 Если а = 2, 3, -... то av а3, а, а}... имеют конкретный смысл.

Но если а отрезок, то я, площадь квадрата, as объем куба, аа^-в сущности говоря то же что /T J   Это коссическая величина "Существует

поверхность и тело, но мнимых (d'iraaginaires) - бесконечность: квадрат-квадрат, квадрат-куб, куб-куб и т.д.".

§ 10. Открытие аналитической геометрии вызвало отнюдь не окончательную арифметизацию геометрии, а ее алгебраизацию.

Координата у Декарта35 ни в каком случае не число, а прямолинейный отрезок. Роль чисел у него играют прямолинейные отрезки, между которыми и всякими геометрическими величинами устанавливается взаимно-однозначное соответствие, и все операции над геометрическими величинами сводятся к операциям над отрезками; ab, abc, х, х2, х3.... понимаются, как величины одного рода - отрезки; abed... х4, х5 получают такой же реальный смысл. Для этого оказывается достаточно истолковать ab, не как площадь, а как отрезок, получаемый построением:

на ОР откладывается ОВ=Ь

на OQ откладывается ОА=а

ОС=1

С соединяется с В

АХ||СВ->.ОХ = х

так, что х : а = b : 1 0

такой отрезок х и считается произведением а на Ь.

В основе этого определения лежит аксиома, которой пользуется Евклид так же неявно, как постулатом Архимеда и которую вскрыл Кла-вий: существует четвертая пропорциональная, т.е. существует такое х, что при данных а, Ь, с,

х : а = b : с. Эта аксиома применяется в доказательстве 18-го предл. 5-й книги:

а: b = с : d -> (а + b) : b = (с + а): d. Доказательство ведется от противного с помощью предыдущей обратной теоремы

(а + b): b = (с + d): d ->. а : b = с : d. Предполагается, что

(а + b) ; b не = (с + d): d, а = (с + d): е, roee^d. В первом случяс на основании теоремы 17

206


а : b = (с + d - е): е, откуда(с + с1):с1=(с+с1-e):е,атак как с + d>c + d-e, то должны иметь и d > е, что противно условию.

Таким же образом устраняется и второй случай.

Подлинность этого доказательства оспаривается Робертом Симп-со.ном.

Вайлати10 доказывает это утверждение ссылкой на то, что в латинском издании "Начал" Компаиуса", составленном по арабскому переводу, содержится другое доказательство, не зависящее от постулата Клавия.

Мы не будем приводить доказательство Компануса, дополненного Вайлати, отсылая читателя к статье последнего. В истории эволюции идеи числа это доказательство не играло роли.

Между тем, как метод доказательства 18 предл. 5-й книги составляет, именно, тот метод, который был применен Арно к доказательству аксиомы Такэ, а позднейшими математиками - к доказательству пропорциональности углов и дуг (в случае несоизмеримости) и других аналогичных полоясений (теор. 33 6-й книги).

Аксиома Клавия должна была оказать большой толчок в направлении арифметизации числа.

Как мы выше заметили, едва ли сам Евклид включал числа и геометрические величины в один класс. Но такое включение совершенно определенным образом свершилось при создании буквенного счисления.

Для Евклида пропорция (равенство отношений) а: b = с : d определяется или для геометрических величин разного рода (5-я книга), или для чисел (7-я книга). Для позднейших же математиков (а, Ь) и (с, d) - величины вообще, magnitudines in genere, и может быть случай, что (а, Ь) геометрические величины, а (с, d) числа, но при этом, если (а, Ь) одного рода, то и (с, d) одного рода.

Постулат Клавия тогда постулирует возможность к геометрическим величинам (Ь, с) и числу а найти такое число х, что

х : а = b : с.

Возьмем а= 1 и мы будем приведены к необходимости признать всякое отношение, даже несоизмеримых величин, за отношение числа к единице.

Если за с принять единицу меры, то результат измерения b : 1 представится отношением числа к 1. Остается отождествить отношение с числом, чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между геометрическими величинами и характеризующими их числами, §11. Не меньшую роль в арифметизации теории пропорций сыграло 5-е определение 6-й книги "Начал".

"Отношение называется сложенным (составленным) из отношений, когда количества сих отношений в них кратствованные делают некое количество" (не вернее ли - отношение?)12,

207


Оставляя в стороне вопрос о точности перевода Петрушевского, я не могу не признать, что, если этот перевод точен, то сам оригинал представляет какое-то искажение евклидового определения, об истинном содержании которого приходится строить предположение, пользуясь, например, вольным переводом Лоренца:

"Из трех или многих величин а, Ь, с, d.... из которых каждое предыдущее находится в отношении к последующему

(а : Ь), (Ь : с), (с : d).,. отношение первого к последнему называется составленным из всех этих отношений".

Перевод Ващенко-Захарченко:-'3

"Отношение называется составленным из отношений, когда эти отношения, будучи перемножены, дают отношение". Причем это поясняется рядом равенств в современной символической форме:

а _ k    b _ m   с _ s b~7' с"~"n' d

a. b  с _ к  m s b"e"cf~7" n r

Видимо этого рода понимание было у математиков второй половины XVII века с уже отчасти арифметизированиым математическим мышлением.

Евклид нигде ие оперирует с отношениями как с числами, в духе Арно. С его точки зрения не может быть умножения отношений.

Поэтому, если такой перевод правилен, то, как справедливо замечает Вайлати, - это определение ие может быть признано подлинным.

Но в этом случае и предложение 23-е 6-й книги-44 (о котором, видимо, Вайлати забывает) должно быть признано не подлинным.

Подробно анализируя доказательство этой теоремы, мы легко видим, что формулировка Лоренца не охватывает содержания того определения, которое лежит в основе этого доказательства.

Отношение а : d называется составленным не только из (а : Ь). (Ь : с), (с : d),

но и из

(о : b).(b : с), (с : d)

если

a:b= a:b,b:c = b : c,c:d=c:d.

Евклидово отношение было ближе к общему логическому понятию отношения, лежащему в основе современной логики отношений, чем к математическому отношению чисел, но, вероятно, у самого Евклида не было вполне ясного понимания отношения15,

208


В высшей степени интересно, как на промежуточной декартовой точке зрения, не объявляя еще отношение числом, математики старались, не скажу истолковать, а скорее исправить Евклида в этом месте.

За декартовым истолкованием умножения отрезков а на b и выте-

а

кающего отсюда истолкования - или а : Ь, истолковывалось также умно-

ас ас

жение отношений (или частных) -—так как - и - представлялись

отрезками.

а Джордано Витале* устанавливает для а : b или - ряд формаль-

иых законов, которым подчинены числя,

о. <\{pc)    (aojc 4. —-b=a.

ь

§ 12. Открытие Пифагором несоизмеримых величин положило конец наивному представлению о взаимно-однозначном соответствии между геометрическими величинами и рациональными числами (или, вернее, отношениями целых чисел).

Брюисвиг47, по всей вероятности, правильно предполагает целый ряд попыток выражения диагонали квадрата, со стороной =1, числом, раньше чем была установлена неразрешимость этой задачи.

Само пифагорейское мировоззрение должно было располагать к вере в разрешимость этой проблемы и открытие неразрешимости должно было нанести ему неисцелимую рану.

Интересно отметить, что установке логически не обоснованной, но психологически объяснимой, взаимно-однозначного соответствия между геометрическими величинами и числами, путем расширения идеи числа, предшествует краткий период особого понимания,

ab, abc... в котором постулируют взаимно-однозначное соответствие между геометрическими величинами и числами, при этом числами не только рациональными, но и целыми.

Но эти целые числа - это актуально бесконечные числа, которыми определяется сколько раз неделимое (актуально-бесконечно малое XVII и начала XVIII в.) содержится в конечной геометрической величине.

"Линия, говорит Ривар48 в своих "Элементах Математики", умножается на другую линию, если первая берется столько раз, сколько точек

209


во второй: например, чтобы умножить АС на CD, следует линию АС взять столько раз, сколько точек в линии CD, т.е. чтобы иметь произведение АС на CD, следует представить себе, что проведены линии равные и параллельные АС: они заполняют пространство ACDB, вот почему произведение одной линии на другую образует прямоугольник". § 13. Арно, Луи Бертран49, Лсжандр50 - вот три ступени арифметизации геометрии.

То, что у Бертрана высказывается в робкой форме, у Лежандра высказано уже вполне категорически.

Лежандр и авторы учебников51 лежандровского типа, всякое действие над отрезками заменяют соответствующим действием над числами, ab понимается только как произведение двух чисел

(АВ+ВС)2 =АВ2 + 2АВ.ВС + ВС2

ибо

(а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2 где а число определяющее AB, b - ВС.

Вполне понятно, что именно Лежандр, лучшие труды которого относятся к теории чисел, дожен был дойти до крайнего предела арифметизации геометрии.

а : b = с : d поэтому ad = be.

Эта истина, говорит Лежандр, в числах верна, она верна и при всяких других величинах, лишь бы только они изображались через числа, что всегда можно положить.

Например, если А, В, С, D - 4 линии, то можно вообразить, что одна из них служит мерой; тогда как А, В, С соизмеримы и несоизмеримы, и во всех случаях они выражаются числами, в первом случае соизмеримыми (рациональными), во втором несоизмеримыми (иррациональными).

Что касается чисто арифметического обоснования теории иррациональных чисел, математики в этом отношении и после Лежандра чувствовали себя несколько неловко в критических местах элементарного курса геометрии - это можно видеть в примечаниях учебника Лакруа52, в которых он как бы старается оправдаться перед читателем в своих арифметических тенденциях:

"Испытывается, говорит Лакруа, некоторое затруднение в перенесении на части пространства понятия отношения в таком виде, как оно понимается для чисел, в особенности, когда дело идет о несоизмеримых между собой линиях, но темнота рассеется, если обратить внимание на то, что сравнивать две линии возможно только относя их к общей мере, и тогда их отношение есть, действительно, число или дробь, члены которой, выраженные числами, представляют то, сколько раз мера заключается в

210


каждой линии. Хотя эту дробь невозможно точно указать в том случае, когда соотношение несоизмеримо, но она тем не менее существует", § 14, 5-я книга кончает свое существование. Арифметика побеждает геометрию и ставит последнюю в зависимость от себя.

Но с началом логистических тенденций еще в 70 и 80 гг. прошлого столетия в Италии раздается призыв к возврату к Евклиду, к освобождению геометрии от арифметики.

Но полного возврата к прошлому не бывает. Евклид итальянских геометров - это псевдо-Евклид.

Для Евклида в геометрии существует только то, что может быть построено, для Лежандра то, что может быть вычислено, для математиков-логистов то, что не содержит противоречий.

Уже в силу этого, иррациональные числа не существовали, да и не могли существовать для Евклида. Для Лежандра они, только они, были достаточны, ибо все вычисления над геометрическими величинами молено было свести к операциям над числами.

Логист не только имеет основания отказаться от иррациональных чисел, но естественно логизирует понятие иррационального числа и создает идею таких объектов, которые, не служа уже орудием вычисления, вкладываются в логические схемы арифметики.

Логист остается при взаимно-однозначном соответствии геометрических величин и чисел, и не подчеркиваемый им до последней главы факт существования такого взаимно-однозначного соответствия и делает возможным оперирование с отрезками, площадями и т.д. так, как оперируют в арифметике и алгебре с числами. Все, что приносится им как новое, в "Началах" Евклида - это в доказательствах - алгебраическо,, а именно, прилагается алгебраическая техника доказательств в приложении к величинам, которые не признаны алгебраическими (причем алгебра=алгебра чисел), в постулатах - экономическое сокращение числа их, стремление осуществить логический минимум, хотя бы в ущерб очевидности, в определениях - логистическое - переработка определений с сокращением интуитивного материала, в них входящего.

Первое совершенно чуждо Евклиду и потому дает не возврат от Лежандра к Евклиду, а дальнейшую за Лежаидром стадию эволюции.

Второе бесспорно имелось в виду и Евклидом, но не интересовало Лежандра. Для Евклида, чем меньше аксиом, тем меньше сомнений со стороны софистов, поэтому Евклид доказывает иногда совершенно очевидные истины.

Третье же в равной мере совершенно чуждо и Евклиду, и Лежандру.

Но для Евклида на первом плане очевидность, на втором минимум, для логиста же наоборот, он всегда готов принести в жертву очевидность минимуму.

211


Теории пропорций Саньо д'Овидио53 и Веронезе34 отнюдь не следует рассматривать как продолжения того удерживавшего арифметизацию геометрии течения возврата к Евклиду, которое проходит через д'Аламбе-ра и Гурьева55, а, как совершенно новое течение, представляющее продолжение основного потока, идущего через Арно и Лежандра.


Метод исчерпывания.

§ 1. Античная мысль и бесконечность.

Античная мысль не знает в нашем смысле математической бесконечности. Бесконечность как актуальная1, т.е. бесконечность множеств и трансфинитных чисел, так и потенциальная бесконечность предела вышли из средневекового схоластического мышления. Бесконечность медленно отвоевывала себе права. Долго в схоластике держится доказательство, которое молено назвать reductio ad infinitum2, которое существование объекта, небытие которого следует доказать, ставит в зависимость от существования недопустимой актуальной бесконечности. Актуальная бесконечность сперва Бога, затем вселенной и, наконец, числа.

Для античной мысли, носящей определенно статический3 характер, совершенством может обладать только вполне ограниченная форма; снятие границ ведет к неопределенности, к несовершенству. Это, конечно, точка зрения как раз противоположная епииозовской и канторовской, для которых конечное получается из бесконечного путем наложения границ на более совершенное. Более того, бесконечность, которая всегда приравнивается безграничному, теряет свое право на существование в силу вскрываемых противоречий.

В признании Аристотелем потенциальной бесконечности можно было видеть зародыш идеи предела.

Представляет ли эта бесконечность то, что вещь стремится достигнуть, но ие достигает?

Но такая формулировка совсем не в античном духе, античная мысль не знает движущейся переменной величины. Да, кроме того, идея предела характеризуется не только одним стремлением к ней, но и сколь угодно близким приближением, поэтому бесконечность и не может быть признана в собственном смысле пределом.

У Аристотеля актуально бесконечное - это снятие всех границ, потенциальное - это только возможность снятия всякой определенной границы, при этом вовсе не мыслится вся совокупность этих возможностей. Античный математик никогда не берет бесконечный ряд. Весь ряд у него мыслится конечным. Он только говорит, что в ряду А,, А2, А3. .. он может вы брать такое Ап, что разность А - Ап, окажете» меньше наперед заданной

1_ 1 1__

величины 'Too'Ю00 • • • ■ Он 1) вовсе не мыслит переменного X, проходящего через значения А„ А2, А3 и стремящегося к А; 2) вовсе не мыс-лит веси бесконечной совокупности А,, А,,, А3      а только конечное ЧИСЛО

213


операций, достигающих цели. На первый взгляд кажется, что внесение понятия предела в д'аламберовском'' смысле ничего не дает, что все доказательства, выдвигаемые методом пределов, при более строгой обработке в конечном итоге сводятся к античной методе.

Если признать, что идея предела в строгой обработке должна выпасть, являясь логически не действующей, то и тогда за ней следует признать большое значение уже в эвристическом смысле, признать, что эта общая идея явилась основной при построении, может быть, и недостаточно обоснованных методов, сменивших античные, носившие более случайный характер.

Но не трудно видеть и то, что такое возвращение к античной методе при требовании логической стройности не достигает цели.

Понятие предела содержит больше, чем то, что определяется условием, что А-Х может быть сделано менее всякой заданной величины; это большее выражается обычным в настоящее время добавлением; "и в дальнейшем остается меньше этой величины"^,

Это прибавление дает возможность выделить случай, когда ряд А,, А,, А3 имеет только одну точку сгущения среди случаев, когда этих точек вообще много, и даже бесконечно много. Но при этом необходимо то, что совершенно чуждо и Евклиду и Архимеду: необходима мысль о всем бесконечном множестве А„- А„ А, Собственно говоря, замена актуальной бесконечности метода неделимых потенциальной бесконечностью теории пределов вовсе не уничтожает первой, она ее, так сказать, загоняет в подполье, она существует сперва скрытно, а потом выступает явно. А именно, во всяком пределе мыслится весь процесс приближения к пределу в его целом. Процесс этот во времени всегда незакончен, а в мысли он является, как нечто существующее во всей своей полноте, и определяет так называемый фундаментальный ряд Кантора7. Там, где множество содержит бесконечное число точек сгущения, например, в случае континуума, метод древних всегда будет дефектным. Постулирование существования четвертой пропорциональной X в пропорции8:

A:X=а,:а2 определяет некоторое соотношение между множествами А. и а., и поэтому обоснование его ведет к рассмотрению непрерывных множеств.

Древние мыслили актуальную бесконечность пространства и числа, но отрицали их реальное существование. Но что касается до актуальной бесконечности какого-либо процесса, то здесь дело шло еще дальше: они т могли и мыслишь об этом. Этим разрешается следующая интересная загадка: Аристотель, отрицая бесконечность вселенной в пространстве, признает вечность ее во времени9. Чтобы понять это, следует хорошо продумать Аристотеля. Дело в том, что он очень далек от эмансипации математических и логических понятий, от элементов времени и пространства.

214


Аристотель, как и Евклид, мыслил только числа и величины геометрические; прошло не мало времени до появления понятия алгебраической величины, объемлющей как класс и дискретные, и непрерывные величины.

Формулировка основных логических аксиом содержит время: А не может быть в одно н то же время А и не А10.

Все данное является данным во времени.

Всякое доказательство относится к существованию чего-либо в определенный момент.

Бытие безотносительно ко времени не существует у Аристотеля. Поэтому и вопрос о существовании или несуществовании бесконечного времени им не может быть поставлен. Утверждение, что мир вечен, не следует понимать так: время бесконечно, а только так, что ко всякому моменту времени молено прибавить еще следующий момент. И Аристотель никогда ие прибавляет: и так до бесконечности, ибо никакой бесконечности он здесь не мыслит. Бесконечное пространство мыслится, хотя без права на существование.

Но бесконечное время и мыслиться не может, ибо нет для него момента времени.

Эта немощность вневременного мышления явно выявляется в зе-ноновских парадоксах11. Берется бесконечный процесс, с помощью которого строится бесконечное множество, [что призается немыслимым].

Мы объявляем, что асе элементы действительно строятся, и этот процесс мыслим как нечто целое и вне времени, в которое мы этот процесс вполне можем осуществить. Иное дело - античный мыслитель. Он утверждает, что не все элементы осуществляются этим процессом, причем при этом утверждении он не может отрешиться от субъективного бессилия, от невозможности конкретно достигнуть отдаленных элементов12.

10-е положение "Начал" Евклида" : "Даны две величины А, а, и от большей А берется более половины, от остатка опять более половины и т.д. Всегда можно прийти к остатку, который будет меньше данной величины а", на котором основывается апагогическое доказательство метода исчерпывания, вовсе не утверждает, что этим алгорифмом достигаются все случаи: < 0Д, < 0,01 < 0,001 ...

§1 Евклидова форма метода исчерпывания14.

Общая схема метода исчерпывания в его первой стадии развития, той, которая имеет место в "Началах" Евклида, следующая: Следует доказать, что

А : В = а : b (1)

Доказательство разделяется на две части. Если пропорция (1) не выполняется, то возможны два случая:

1)А:Х = а:Ь,гдеХ<В

2)А:X = а:Ь,гдеX>В (2)

215


Для исключения первого случая пользуются рядом величин:

р Ш   р (2)   р  (3)

иного рода, чем А, но таких, что все члены будут: 1) меньше А и 2) разность А-Рп(п>при надлежащем выборе п может быть сделана меньше

любой величины (можно сказать, в какой угодно мере исчерпана"). Такой же ряд берется и для В:

и доказывается, что

Ра00ь(,,)=А:Х (3)

Но тогда и можно взять настолько большим, что будет иметь Pb(n) X, ибо X и В будет какая-либо разность, меньше которой молено сделать В -Р<<">. Но, с другой стороны, по предположению:

Р„СП)<А Сравнение пропорций (2) и (3) дает:

PlM:Pbw=A:X Это же при P w < A, Р(|1) > X невозможно, как это следует из теории пропорций Евклида (5-ая книга "Начал").

Совершенно таким же образом с помощью рядов:

Q^.Р^.СQa00     Qa0>)>A Q.,(l),QbC22--Qb,,i;      QbC'°>B

таких, что разности Q.W - A, Qbw - В могут быть исчерпаны, исключается и второй случай.

Метод исчерпывания в "Началах" Евклида применяется для доказательства следующих положений:

1) Площади кругов относятся между собой как квадраты диамет
ров (ХП книга,

2-е положение).

Здесь А и В - площади кругов, а и b - квадраты их радиусов, P. w -площадь правильного вписанного многоугольника, Qa(l,)- описанного.

Паппус16 отсюда выводит теорему, что окружности кругов относятся как их диаметры, замечая, что это может быть выведено из того, что периметры подобных многоугольников с равным числом сторон относятся, как диаметры вписанных или описанных кругов.

2) Трехсторонние пирамиды равных высот относятся, как основа
ния (ХИ
3).

А и В - объемы пирамид, а и b - площади оснований, Ря - объем суммы входящих, Qa - выходящих призмочек.

216


3) Конус равен - цилиндра с одной с ним высотой и тем лее осно
ванием (
XII10).

А - объем конуса, В - цилиндра, Рч - вписанной, Qa - описанной пирамиды, Рь - вписанной, Q(i - описанной'около цилиндра призмы.

  1.  Конусы и цилиндры с одной высотой относятся как основания (ХПИ).
  2.  Подобные конусы и цилиндры находятся в тройном отношении как диаметров их оснований (ХП|2).
  3.  Сферы находятся в тройном отношении их диаметров (XII|3).

Тем же методом Архимед доказывает, что площадь эллипса относится к площади круга наибольшей оси как малая ось к большой - путем сравнения вписанных многоугольников с вершинами на перпендикулярах к большой оси.

Эта форма метода исчерпывания применяется часто в учебниках лежандровского типа, например, у Давидова при доказательствах57:

  1.  пропорциональности центральных углов и дуг,
  2.  пропорциональности площадей прямоугольников с равными высотами,
  3.  пропорциональности отрезков, отсекаемых на прямых параллельными,
  4.  пропорциональности двугранных и линейных углов,
  5.  пропорциональности объемов параллелешгаедов с равновеликими основаниями и высотами.

Форма Евклидова, метода исчерпывания с привлечением идеи предела и при соответствующей переработке превращается в прямой метод по схеме:

U<A<V S<B <Т

 U:S = a:b

,limU = A |IimS=B

1 нп U = hm V -» <..     . hm S = lim 1 -> ■

limV = A |limT = B

flimU:limS = a:b

U:S-:b->.шU:ШпT=a:b-'А:В":b

и вызывает следующие идеи:

1) принцип Гурьева18: если

U < А < V и lim U = lim V = С, то А = С, или в более общей форме:

u<w<v

217


lim U = lim V = С, то lim W = С. 2) Если U: S =а : Ь, то lim U: lim S =а: b. В методе неделимых этих идей нет, он пользуется актуально бесконечно малым, идет по другой линии.

§3. Первая архимедова форма метода исчерпывания.

Метод исчерпывания подвергается дальнейшей эволюции у Архимеда19. Исчерпывается не разность между дайной величиной А и членами ряда, дающего его приближенные значения:

рДрЛ Р;1<,1) (РД

а разность мелсду соответствующими членами ряда (РА), дающего приближение по недостать, и ряда;

(ЗЛ<2/Р, Qac,) (Q.).

дающего приблюкение по избытку.

Следует доказать, что А=В.

Для устранения предположения В > А пользуются двумя парами рядов:

&bw<Rbw<....<Kb

ь

Sa(l)>Sb(2)>....>Sut,,)

Q>>Q>>....Q>)

для которых

P„(U,)<A^Q4(,H)

R,/r,)<;B<sb<'0 (5)

при чем устанавливается возможность исчерпывания разностей q (по _ра('»\5 S(jOD -Rb<») и отсюда выводится, что отношения

Q    (111),   р   (ПО      g    <М)  .R    (П)

можно предполагать при надлежаще выбранных m, п меньше всякого отношения С : А, где ОА. Далее обнаруживается, что всегда при п можно выбратынтак, что

р  ("О < R   <«)   п   « > ^   

Полагая В = А', где А' - величина того же рода, что А, имеем тогда при некотором п

Но это невозможно, ибо

218


Sbw>A'=B Pa(m)<A'=B.

Таким же образом устраняется и случай

В<А.

По этой схеме ведется Архимедом доказательство ему принадлежащей (и потому в евклидовы "Начала" не входящей) теоремы;

Круг равновелик треугольнику с основанием, равным длине окружности, и с высотой, равной радиусу.

А - площадь круга,

В - площадь треугольника,

Рч("> - вписанный правильный многоугольник,

Q W- описанный правильный многоугольник,

R/"1 - треугольник с основанием, равным периметру первого и с высотой, равной радиусу,

S(n> - треугольник с основанием, равным периметру второго, и с высотой, равной радиусу.

2) Другой пример - это 13.-е положение книги о конусе и цилинд
ре
20 о том, что боковая поверхность цилиндра равна площади круга, диа
метр которого - среднепропорциональное между стороной (т.е. образую
щей) и диаметром цилиндра.

Здесь А - поверхность цилиндра, В - круга,

P:i<ш) . поверхность вппсагашой призмы, Q, w - описанной,

R^m) _ вписанного в круг многоугольника, Rb*1> - описанного.

  1.  Положение 15-е; поверхность конуса равна площади круга, имеющего радиусом среднепропорциональное между стороной конуса и радиусом его основания.
  2.  Поверхность шара равна учетверенной площади большого круга (положение 31-е),

За P (m', Q.<m) принимаются поверхности, описываемые вращением вписанного и описанного в полукруг многоугольника.

5) Объем шара равен учетверенному объему конуса, основанием
которого служит большой круг шара и высота которого равна его радиусу.

  1.  Поверхность сегмента шарового, меньше полусферы, равна площади круга, имеющего радиусом прямую, идущую от вершины сегмента к окружности основания (положение 40-е).
  2.  Объем сегмента равен объему конуса, основание которого равно поверхности сегмента, а высота - радиусу шара (положение 42-е).

Этот метод дает следующую форму ему соответствующей теории пределов:

TJ<A<V S<В<Т

219


U < S < Т < V: lim U = lim V -н> lim S = lim T = limU = lim V-> A = В и таким образом включающий принцип более общий, чем упомянутый выше принцип Гурьева.

§ 4. Вторая архимедова форма метода исчерпывания21.

В этой форме неравенства (5) заменяются более простыми

ра(,,0<А^да° Ра(,,1,*<^\

причем Р и Q выбирается так, что

Р1(щ)1(в0+а1<т)+ а$

Q™ =а™+а™ + а^+ар(т)

где ат)ппо мере возрастания m убывает.

Разность Q.(m)-Pa(п,), как равная а/П) может быть сделана как угодно малой.

Так поступает Архимед при определении объема коноида (тела

вращения параболы): oij представляет входящие и выходящие цилиндры,

Ра (ш), Q а (ш) представляют цилиндры, равновеликие сумме этих элементарных цилиндров, В - объем цилиндра основание которого - это основание коноида, а высота - половина высоты коноидов.

Этот метод применяется при выводе объема гиперболического конуса (гиперболоида вращения) и площади архимедовой спирали.

Этот метод и теперь применяется в школьной литературе при так называемой "чертовой лестнице", т.е. доказательстве равновеликости двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями. Но только в этом случае Архимедов метод представляется в несколько видоизмененном виде.

Ра(ш)<А«2.0,0

Pa('",<B<Q;1(m0'

P;i(m, = a,(m,+a2(,n>+ a£J

Q.w = a,w+a*w+ a^W*

Доказывается, что а/п) = а/",), откуда Ра<"° = Р,(,n>, Qa(ш) = Q,(m).

Архимеду приходится делать то, что избегается в этой последней форме, суммировать

220


S-, = a0(,B)+oc1(m) +

находить такую величину определенного рода, например, в первом примере цилиндра, для которой стр -1 служила приближением по недостатку, а

сумма ст,, - по избытку. Ему приходится суммировать

1 + 2 + 3 + + п

12+22+32 + + п2.

Ему не удается этим методом найти площадь сегмента параболы, так как приходится встречаться с суммой

^+72+^3+ Vn.

которую он, конечно, не может просуммировать.

Этот метод в обработке идеей предела приводит к основной идее интегрального исчисления22 в том виде, как она ныне (а не во время существования метода неделимых) представляется, а именно к представлению величины А как предела суммы бесконечно великого числа бесконечно малых элелентов. Тогда указанная выше форма сводится к следующей схеме:

А=lim £aj (анализ)

lim 2>j = liin £Pj  (синтез)

;>>-в

А = В

Указанное выше видоизменение архимедовского метода приводит к схеме:

А=lim 5>j В = lim £Pj

aj = Pj^A = B.

§ 5. Метод неделимых как выпрямление метода исчерпывания.

Характерная черта мысли эпохи Возрождения состоит в том, что в науке прежде всего существенен ars inveniendi, метод изыскания23 истин, а в несравненно меньшей мере - ars demousirandi, метод доказательства. Метод неделимых24, который нарождается в XVIII веке, вполне отвечает этой черте.

Он мало убеждает и современников, но много обещает открыть.

221


Берем его наиболее примитивную форму, которая находится у Кеплера.

Для определения площади д

круга Кеплер делит круг радиуса
ми на равные бесконечно малые
секторы (черт, 1). Эти бесконечно
малые секторы он признает тожде-
 _

ственными бесконечно малым тре-  С

угольникам с высотой, равной ра-  ,.— ■ '~~:Щ

диусу, и основанием, равным дуге  —-—'""" --'' / ■'' \   .

сектора К. К прямой РВ он восста- Р В3 В2 Bi В Q

иавливает перпендикуляр ВС = ОА е13Т'

и откладывает ВВ, = AAt, B(B, = АjAjii т.д. В силу равновеликое™ треу-гольников А,А2С,, ВВjC, ит.д.'он получает, что площадь 1фуга равна сумме площадей треугольников В . СВ = ВСР, т.е. теорему Архимеда.

В этом рассуждении признается существование актуально-бесконечно малых элементов круга, и при этом признается, что те признаки двух элементов, об уменьшении разности которых свидетельствует интуиция, для бесконечно малых элементов совершенно сравниваются.

Это доказательство прямое в противоположность апагогическому методу исчерпывания.

На это следует обратить внимание. Вне сомнения, в дальнейшем при нападках рационалистов на апагогические доказательства25 развитию метода неделимых способствует не столько его простота и практичность, как прямой характер его выводов.

В дальнейшем у Кавальери косвенная схема метода исчерпывания превращается в более простую схему метода исчерпывания.

Чтобы доказать, что

А : В = а : Ь,

А и В разбиваются, согласно идее второго метода Архимеда, на части, причем неделимые части (такое понятие, конечно, чуждо Архимеду)

Доказывается, что для всякого.)

oij:Pj = a:b путем отождествления

cij.HPj,ajHpj для которых не трудно установить пропорцию aj:^ =a:b

222


Легко видеть, какому изменению подвергается эта схема при установке понятия бесконечно малого в современном смысле - как переменного с пределом = 0.

Имеем, А = lim ^ а •, В = lim £ р j. Далее, ос j, J3 j не тождетвен-

«j -1 Pi

;/ыъ а только эквивалентны,6, aj и pj т,е, limа--1> Нш тг- = 1, поэтому

на основании второй леммы анализа

а так гак a j: pi = a : b, то

A : В = a : b, Сточки зрения Кавальери ai и J3j суть не эквиваленты частей А и В, а суть сами эти части, А и В - не пределы суммы, а сами суммы aj и Р j

или, что то же с^ и

р\.

Отсюда вытекает принцип Кавальери27, устанавливающий равенство величин из равенства их неделимых, равенство двух тел между двумя параллельными плоскостями из равенства площадей их сечений параллельными этим плоскостям плоскостями и т.д.

Этот метод совершенно чужд античной мысли.

Торичелли28 старается убедить в том, что метод неделимых служил у античных математиков методом открытия, который не совпадал с методом доказательств, но с этим едва ли можно согласиться.

В действительности же психология открытий тех теорем, которые доказывались Евклидом и Архимедом апагогическим путем, много проще, чем думал Торичелли. 2-е положение XII книги "Начал" - естественное распространение того, что уже доказано для подобных прямолинейных фигур и вообще подобных фигур. Таково же происхождение и 18-го положения XII книги.

Теорема Архимеда о площади круга составлена по образцу теорем, ОТИоС51ЩИХСЯ к площадям правильных многоугольнмтов. Значения поверхностен и объемов конусов и цилиндров верней всего были найдены развертыванием их в плоскости, что, конечно, проще метода неделимых.

Совершенно невероятно, чтобы этот метод, совершенно неудобный при нахождении объема и поверхности сферы, применялся Архимедом в этих случаях как эвристический.

Впрочем, сам Архимед в упомянутом выше сочинении совершенно ясно говорит об истории своих открытий. Аналогон круга - сфера, тре-

223


угольника- конус. Вот эта мысль и руководит Архимедом в поисках вывода, конечно ощупью, формулы для объема шара.

Архимед19 говорит: "Благодаря изложенной теории о том, что шар в четыре раза больше конуса, которого основанием служит большой круг, а высота равна радиусу круга, мне пришла в голову мысль, что поверхность шара в четыре раза больше его большого круга, причем я исходил из представления, что как круг равен треугольнику, основанием которого служит периферия круга, а высота равна радиусу круга, так и шар равен конусу, которого основанием служит поверхность шара, а высота равна радиусу этого шара".

В сочинении "О шаре и цилиндре" Архимед строит строгое доказательство (причем апагогнчески) этих положений.

Аналогии параболы - параболоид (коноид) и теоремы об объеме сегмента коноида - аналогон раньше открытой теоремы о площади параболического сегмента.

Теорема о сфероидах - естественное обобщение теоремы о сфере.

§ б. Третья архимедова форма метода исчерпывания.

В третьем методе Архимедова неравенства. (5) заменяются:

р <•"> < А

рb« < в.

То. что А - Р <"'> может быть сделано как угодно мало, выясняется построением.

рм .бразуется из частей, каждая последующая из которых получается из предыдущей деле ищем последней по определен тому зшсонп

РЖ)а, >Р„3>...>рят,

Дальше доказывается, что при взятии достаточного числа членов Paj- разность В - Ра(п1) может быть тоже сделана сколь угодно малой. Невозможно, чтобы А < В, ибо тогда

В-Р„<Щ,>В-А и невозможно, чтобы А > В, ибо тогда

А-Р:>(т)>А-В. В известном выводе Архимеда площади сегмента параболы за Ря1 принимается площадь Д АО.В, вписанного в сегмент, за Р,- Д OFB, вершина F которого на FM J. АВ и МС = MB и другого аналогичного треугольника за Р - Д FHB где HN _L СВ и MN = NB и других аналогичных тре-угольников и т.д.

224


К этой форме больше всего
подходит название
"метод исчер
пывания".
 А

Представление Р« суммой

^Paj   представляет ие что иное,

1"> -Ра1иищутегоприбли-

Это будет,

второй черпак. Рассматривая новый остаток 1-тиближение Р . и т л С. некотопым чеппком Р <'

-М"Р--

как приближенное вычисление Ра(т>, Берется величина Р„, близки! кР«, которая может быть признана за первое ее приблилсение. Это будет то, что можно назвать первым чертам. Затем берут остаток Ра жение Р

pi' находим его приближение Рй и т.д. С некоторым черпкомР« оконча-

тельно исчерпывается, получается полное::

исчерпывается, получается полное значение.

Но те же черпки служат и для приближенного вычисления А, но здесь точное значение уже ие достигается. Внося идею предела, молено сказать, что предел суммы таких черпков будет точно равняться исчерпываемой величине А, которая, таким образом, является пределом суммы бесконечно великого числа слагаемых, бесконечно убывающих, начиная с первого.

Чтобы выявить, каким образом эта форма приводит к этой другой точке зрения анализа, рождающей на ряду с интегралом еще ряды, мы представим способ Архимеда определения площади сегмента параболы в переработанном виде с привлечением понятия предела. Первое приближение

(черт. 2) площадей, вписанных в параболу у2 = х Д АОВ (ВС=1, ОО1), т.е. 1. Остаток - площадь сегментов АО и ВО.

Приближение их - площадь треугольников, в них вписанных. Удобнее всего брать OFB, где Е середина СВ и EF || OY

~     ОЕ „

^-.КОС(какуприх=КР=РЕ=-)раш1яется-

Bl=iS2,KL=-,LF=KF-KL=ffi-KL=--!-=-
ВС    ОС 4 2    4    4

пл. OBF    и

77ГГ=-, как высоты, опущенные на общую сторону ОВ. но после-

пл.ОБС     и

дние относятся как параллельные отрезки LF = ВС, т.е. как 1:4.

225


Таким образом приближение первого остатка

 1

Второй остаток - остальные еще меньшие сегменты, с которыми поступаем так же.

1 Сумма этих площадей оказавается равной -^ и т.д.

пл. ОАВ = Иш

 ,+ + —г + ...~ 4    42        4"J

 или

пл. ОАВ= 1+I+JL+....=-i

4    Г

и 3


Из истории метода наложения в элементарной геометрии

§ 1. Евклид и Лежандр.

Элементарный учебник геометрии в большей или меньшей мере представляет из себя методическую переработку евклидовых "Начал"', правда, пополненных некототрым новым материалом. Можно сказать, что изучение геометрии мы начинаем с Евклида. Но только этому положению следует придавать правильный смысл. Верно то, что мы изучаем те теоремы, что большей частью находятся у Евклида, но если глубже вникнуть в евклидовы "Начала", то увидим, что мы далеко отошли от них в самом существенном, в понимании основной проблемы - доказательства выставляемых положений, образующих систему геометрии.

Понятие о сущности математического доказательства подверглось через толщ>' веков глубочайшему изменению, хотя это изменение и ие было заметно самим исследователям так, как не заметно старение стареющему человеку. То. что Лежандр считает доказательством, не могло быть признано за доказательство Евклидом и, с другой стороны, Лежандр ие мог начать свои "Элементы" с построения равностороннего треугольника, как это делает Евклид.

Не следует думать, что Лежандр2 в своих упрощенных доказательствах додумался до тех более простых доказательств, которые ускользнули от Евклида. Евклид, очень может быть, знал эти доказательства, но отверг их как негодные, как находящиеся в решительном противоречии с его взглядами на доказательство. Почему ему не поступать так, как Лежандр, при доказательстве основного свойства равнобедренного треугольника, состоящего в том, что углы, противолежащие равным сторонам, равны?

Ведь, кажется, нет ничего проще, как соединить середину стороны BC-D с вершиной А и доказать на основании третьего случая конгруэнтности равенство треугольников ABD и ADC*,

Между тем, Евклид излагает другое, более сложное доказательство (так называемое elefuga). Ответим: потому, что Евклид признавал существование только тех объектов, которые могут быть построены.

Он потребовал бы от Лежащим указать построение точки D - середины отрезка ВС. Но построение это (предл. X, 1 книги) основывается на 9-м положении о делении угла на две равные части, последнее же - на третьем случае конгруэнтности, а третий случай конгруэнтности доказывается от противного на основании 7-го положения'1.

"Если мы соединим концы основания АВ с двумя точками С и D, лежащими по одну сторону прямой АВ, то расстояния СА и СВ точки С от

227


концов основания АВ не могут быть равны гаждое каждому расстояниям DA и DB от тех же концов АВ".

л^

Для доказательства невозможности
единовременного существования равенств
AC=AD, DB=BC Евклид (черт. 1), пользу
ясь
elefuga, доказывает, что ZADC=Z ACD
н   вторично   применяя   
elefuga,   что Ч       1

ZCDB=ZDCB, обнаруживает несовместность этих двух равенств углов, так как Z ADC>Z CDB и ZBCD Z ACD (мы берем только тот случай, когда D вне ABC).

И только благодаря коренному изменению требований, предъявляемых к доказательству, Лежандр получает возможность упростить геометрическую систему и перевернуть порядок теорем.

Он начинает с положения:

"Если две стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого и если в то же время угол между первыми более угла, заключенного между вторыми, то третья сторона первого будет больше третьей стороны второго".

Но это только 24-я теорема I книги "Начал" Евклида, т.е. весьма отдаленная от начала теорема, которая доказывается на основании третьего случая конгруэнтности треугольников.

Для доказательства того, что

при

 AB=FG

АС = GH    I также hBC>FH ZBAC>ZFGH

Лежандр3, откладывая (черт. 2) угол ZCAD = ZFGH и mmtmnt CAГ)   рJmrir FGH

Черт. 2.

руэнтностиХпроводггг биссек трису АЕ угла няет Е с D

ВАЕ EAD CD < ED + ЕС откуда CD < ВЕ+ЕС CD < ВС или FH < ВС.

Эта теорма дает сейчас же возможность вывести (апагогически) третий случай конгруэнтности.

Доказательство это, конечно, не может быть принято Евклидом, ибо построение биссектрисы является необоснованным.

228


Античное доказательство вовсе не чисто логическое. Античный математик убеждает не одним силлогизмом, но и актом, вычерчивающим геометрическую фигуру.

Выражения Аристотеля* очень напоминают Шопенгауэра7. Согласно Аристотелю, свойства геометрических фигур открываются приведением к актуальному существованию геометрической фигуры, вызывающим разложение данных фигур. Если фигуры уже даны разложением, то свойство уже очевидно, оно просто видно глазу. Но если они не разложены, то находятся только в потенции (лучше было бы сказать - их знание в потенции).

Почему сумма углов треугольника равна двум прямым?

Потому, что сумма углов, образованных около данной точки на одной линии, равна двум прямым углам. Если образовать внешний угол, продолжая стороны треугольника, непосредственное доказательство очевидно.

Почему угол, вписанный в полуокружность, неизменно прямой? Это потому, что имеет место равенство для трех линий: двух половин основания и прямой, проведенной от центра круга к вершине угла, противолежащего основанию: это то равенство, которое дает возможность познать свойство вписанного угла8.

§ 2. Постулаты.

Евклид, как и Аристотель, не задавался целью вывести все свои положения силлогистически из немногих высказанных им определений, постулатов и аксиом. Его целью было лишь убедить читателя в определенных истинах, но он вовсе не считал единственным способом убеждения формально-логический вывод положений из признанных читателем в начале истин. Очевидность (lux naturale, естественный свет) только рационалистами" XV.H века вполне определенно признана за критерий истинности положений, в аристотелевской же логике10 она ие играет этой роли.

За правильность предпосылок, с которых начинается цепь доказательств, говорит скорее общее их признание, вследствие чего аксиомы и называются xoivou8vvouxi (communes rationes). Доказательства Евклида вполне отвечают схемам, выработанным софистикой.

В начале следует привести противника к признанию некоторых положений, отнюдь не апеллируя к очевидности, ибо противник мог бы поднять вопрос об относительности понятия очевидности и признать для себя не очевидным то, что для противника - является вполне очевидным.

Более сильным фактором являлась общепризнанность необходимых для дальнейшего положений, необходимость противнику при их отрицании его встать в смешное положение. Отсюда стягивание аксиом к началу сочинения.

229


Но что такое постулаты, выставленные Евклидом тоже в начале сочинения наряду с аксиомами11.

Неправильно относить к аксиомам очевидные положения общего характера, т.е. положения, относящиеся к величинам вообще, а не только к геометрическим, какова, например, первая евклидова аксиома: "величины, равные одной и той же, равны между собой", и отождествлять постулаты12 с геометрическими аксиомами. 11-я аксиома фигурирует иногда 5-м постулатом, а 10-я (о равенстве прямых углов) 4-м, но 12-я (две прямые линии не заключают пространства) и 8-я (о равенстве совпадающих при наложении фигур) - всегда аксиомы.

Только отказавшись от проектирования в прошлое современных формально-логических тенденций, мы будем в состоянии понять, что представляют для Евклида постулаты. Евклид геометрическим объектам вовсе не приписывает идеального существования. Доказывающий какую-либо теорему сам вызывал к существованию геометрическую фигур}', с какового момента она и начинала свое существование.

Признание возможности существования прямой, круга и т;д. являлось равносильным признанию акта, их производящего, что и представляет содержание постулата13. Более того, признание этого акта вынуждало признание некоторых истин, нацэимер, признание третьим постулатом возможности описания кругов вызывало признание пересекаемости кругов, проходящих, через центры друг друга

Следующее объяснение дает ГЪминус14, согласное с нашим. "Постулат, - говорит он, - представляет требование найти или сделать (fabricari) то, что достигается просто и непосредственно, в чем ум не затрудняется ни в понимании, ни в построении".

Прокл, говоря о различии теорем и проблем и отмечая, что цель первых - познать, вторых - сделать, приводит в соответствие с первыми аксиомы, со вторыми постулаты, определяя последние близко к Геминусу. Гоббс15 вполне ясно выражает нашу мысль. То, что называется постулатами, это истинные принципы, но не доказательства, а построения поэтому не знания, а потенции.

§3. Метод положения у Евклида.

Большим диссонансом с общими тенденциями "Начал" представляется метод наложения при доказательстве первого случая равенства треугольников, если этот метод понимать так, гак мы обычно его понимаем.

Здесь не мы имеем идеальное существование начерченных геометрических фигур с идеальным их перенесением с одного места на другое, [как обычно считают].

Но мне представляется, что как мы, так и целый ряд предшествующих поколений, совершенно неправильно здесь понимают Евклида.

230


Положения 2 и 3, предшествующие положению, доказываемому наложением, наводят на мысль, что сам Евклид здесь вовсе не разумеет наложение в нашем лежандровом смысле.

Положение 2-е:10 Из данной точки А провести прямую, равную данной прямой ВС.

Почем)' Евклид не делает так, как мы делаем и как рекомендовали это делать некоторые авторы XVII века17: проведя через А какую-нибудь прямую, не переносят в нашем смысле отрезок ВС?

Почему он не может сделать с одним отрезком то, что в четвертом положении он делает с целым треугольником!

Отвечу: потому что он ие признает в нашем смысле перенесения, потому что то, что мы считаем перенесением идеального треугольника, -для него является построением тождественного данному треугольника о ином месте, чем он задан.

Евклид строит на АВ, на основании первой теоремы "Начал", равносторонний треугольник ABD, из В описывает радиусом ВС окружность до пересечения с b в G; из D описывает радиусом DG окружность до пересечения с AD в К. Если бы мы желали "перенести" ВС на определенную прямую AL, проходящую через L, то пришлось бы описать еще третью окружность радиусом АК до пересечения с AL в L (согласно предл. 3) .

Наложение DEF на ABС представляет:

  1.  построение на АВ отрезка, равного DE, начиная с А,

проведение другой прямой под тем же наклонением к АВ, что АС (согласно 8-му определению - угла), откуда следует, что DF пойдет по АС и

построение отрезка, равного DF на АС. откуда следует, что F совпадет с С. Легко видеть, что в этот момент, т.е. при заключении, что соединение точек Е и F прямой, т.е. построение третьей стороны EF дает АВ, должен возникнуть скачок. Софист возразит: "Я позволил от одной точки к другой провести прямую, но откуда мы знаем, что в одном случае получится одна, а в другом опять та же прямая?". Здесь становится необходимым подчеркнуть еще одйо общепризнанное положение - 12-ю аксиому: "Две прямые не могут заключать пространства" |!>.

Идеальное существование геометрических объектов - плод схоластического реализма2". Такое существование за ними закрепилось и в математической мысли XVI века. Математик XVI века понимает наложение уже в нашем смысле и обнаруживает тенденцию пользоваться им шире, чем Евклид.

У Клавия мы находим разновидность этого метода, чуждую Евклиду.

Верный духу своего времени, Клавий2' заменяет косвенное доказательство теоремы 6 1-й книги (обратной elefuga) прямым наложением Д АСВ на Д ABC (Z B = ZC), так. что треугольник подвергается мыслен-

231


ному раздвоению. Вместе с тем эволюционирует и само понимание равенства22 . Это уже не равенство количества, по нашему равновеликость, а тождество форм и размеро;; равные фигуры - это тождественные фигуры, помещенные в различных местах.

Аксиома 8-я обращается; наложимость является и достаточным и необходимым условием равенства.

На первый взгляд может показаться, что если Аристотель и Евклид не могли бы признать наложение с переносом идеального треугольника, то такая операция могла бы оказаться во вкусе Платона, объектиро-вавшсго идеи и геометрические формы. Видимо, Цейтен23 так и думает, Он говорит, что математические истины древним представлялись или как теоремы, или как проблемы. Первая точка зрения поддерживалась последователями Платона, думавшими, что проблема только устанавливает то, что уже предварительно существовало, независимо оттого факта, строится оно или нет, более того, построить что-либо, например, разносторонний треугольник, можно только потому, что идея равносторнннего треугольника имеет существование, предваряющее всякое построение.

Вторая точка зрения у учеников Евдокса; для них существенное -обнаружение истины построением.

В "Началах" Евклида Цейтен видит примирение этих точек зрения, Но для того, чтобы Платон и его ученики понимали геометрию так. как понимал ее, например, Декарт, для этого мало ему было признать идеальное существование геометрических фигур в каком-то другом мире, (тотго^ уог|то£)и том мире, бледным отражением или тенью которого является настоящий. Необходимо было признать их в этом мире, в самих вещах. При методе наложения переносится не платоновский идеальный треугольник из другого мира, а на этот, первый тот второй; треугольник и не материальный, а идеальный, который, так сказать, живет в первом.

§ 4. Рационалисты против метода наложения.

С развитием рационалистической25 логики и гносеологии, философы и математики XVII века становятся в явно враждебное отношение к этому методу доказательства. Этот метод, по их мнению, убеждает с помощью обращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только один и является судьей.

Первый случай конгруэнтности доставляет много хлопот. Мы видим ряд попыток замены обычного доказательства наложением - другим, без этой "механической операции", столь противной складу рационалистической мысли.

В "Элементах Евклида" Дешаля к евклидово доказательство 8-й теоремы I книги "Начал" предваряет другое, про которое, впрочем, и сам автор говорит; "В виду того, что это доказательство не представляется убе-

232


дительиым, привожу также и обычное (т.е. наложением). В своем доказательстве Дешаль старается убедить, что расстояние между точками двух пересекающихся прямых может зависеть только от угла между ними и расстояния этих точек от вершины угла.

Томас Симпсон относит первый случай конгруэнтности к аксиомам совершенно также, как Гильберт27 .который в группу аксиом конгруэн-

тности вводит: 111 Если для двух тпсугопьников ABC и А. 'В' С; имеют место конгруэнции

AB = A'B',AC = A'C',ZBAC = ZB'A'C'

то всегда имеют место и конгруэнции

АВС = А'В'С',АСВ= А'С'В'

Арно вводит новую аксиому: если две точки прямой равно отстоят от двух точек А и В, то то же относится и ко всем другим точкам прямой. Цель ее введения - не только установка арнольдианского порядка28, но и освобождение от метода наложения, что достигается Арно тем, что ему приходится пользоваться наиболее простым положением, относящимся к равенству прямоугольных треугольников, избегая слова "треугольник", а именно положением о равенстве прямоугольных треугольников, у которых катеты равны, кис чем-то вроде более низкой степени очевидности аксиомы с объяснением, повышающим эту степень21'.

Еще в XVI веке делают опыты построения доказательств равенства треугольников без метода наложения.

Доказательство Кандалы30 первого случая кошруэнтности треугольников, критикуемое Савплнем, состоит в следующем. Так как по предпо-

ложеншо в треугольниках af3y,5s£ прямые ар и 5е равны, то равны и

расстояния точек (а и р) и (5 и s). (Здесь Кандала берет определение прямых Прокла, которое последний считает эквивалентным евклвдовскому, а именно, что прямая линия между двумя точками равна их расстоянию).

С другой стороны, прямые (ap,ay ) и (6s,80, как содержащие

равные углы, согласно восьмому определению Евклида31 равнонаклонен-ны. Так как равенство углов зависит от равенства наклонений, то следует,

что (PHY)H(Sид находятся в тех же расстояниях. Поэтому и прямые (Зуиеу равны. Но если отдельные элементы (qimlilates) треугольников а|3у, 6i:Q соответственно равны, то ajly и 8е£ равны по восьмой аксиоме.

Поэтому и остальные элементы равны, т.е. углы |3 и У соответственно

равны siiC15.

Не будем останавливаться на критике Савилия, смотрящего на это доказательство как на неубедительное, как основанное на положениях не

233


более очевидных, чем доказуемое. Заметим только, что из защиты Сави-лия метода наложения видно, что при выработанной схоластическим реализмом объективации геометрических форм операция наложения сперва не представляется недопустимой. Идеальный треугольник переносится ие в действительности, так как его нельзя взять в руки, но только в воображении.

По Савплию," это вполне возможно в теореме (но не в проблеме), так как в теореме не требуеся никакого действия, требуется только обнаружить истинное или ложное, и нет ничего ложного в том перенесении, которое делаем только одним воображением, а не руками или операцией, употребляемой при построении.

К невозможности перенесения приводит лишь дальнейшее размышление об идеальных объектах, которые обявляются не только не ощущаемыми, но в собственном смысле и не воображаемыми.

Все действия над воображаемыми фигурами представляются как действия не над идеальными фигурами, а образами материальных тел.

Геометрия, наконец, объявляется возможной без чертежа не только конкретного, но и воображаемого.


ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИДЕИ XVI ВЕКА.

Введение.

Говорить о ([шлософско-математических идеях XVI века, это еще не значить говорить только о XVI веке. Предмет настоящего очерка я назвал идеями XVI века, потому, что именно в XVI веке эти идеи, выйдя из метафизического состояния, начали математизироваться, сделались предметом философских размышлений математиков и стали ложиться в основу новых, но еще несовершенных методов. Но я считаю необходимым говорить о генезисе этих идей и их дальнейшей судьбе. Для меня ясно, что метафизический период математической идеи - это ее утробная жизнь; эту жизнь следует изучать, но изучать ее, конечно, трудно.

В этой области утреннего тумана так трудно понять правильные очертания предметов. Мы так склонны проецировать настоящее в прошлое, мы склонны там, где не видим самих себя, видеть только отрицание наших идей, одну пустоту вместо богатства идей, окруженных атмосферой нам совершенно чуждого настроения и выраженных непривычным для нас языком. Неужели от Евклида до Декарта, как это думает Брюпсвиг1, иет ничего достойного внимания, неужели средневековая схоластика это одно заблуждение, о котором следует забыть, и вся христианская математика, с ее глубокими идеями извлечена из ничего гением одного Декарта? Я говорю о XVII веке не меньше, чем о XVI. Проследив судьбу философско-матема-тических идей XVI века до их вытеснения новыми идеями, стараюсь обрисовать различия двух эпох: эпохи живого, наивно доверчивого и чуждого критики, несколько боязливого детства и смелого, верующего в свои силы и в будущее, юношества.

Очень может быть, что в нарисованной мной картине этого отдаленного прошлого ие все правильно, но и у хорошего художника сходство в редких случаях с первого раза полное. Может быть мне, а может быть другим удастся в будущем замазать неправильно уловленные черты другими, приближающими к большему сходству.

Но я все таки льщу себя, что и мои несовершенный очерк может оказаться полезным.

Этот очерк- один из целой серии очерков, к которым принадлежит и моя статья "Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида", помещенная в журнале "Математическое Образование" за 19Jб г. - результат изучения старой учебной литературы, т.е. нижнего течения математической мысли, в котором простота материала дает возможность ясней проследить эволюцию идей.

235


В заключение считаю необходимым выразить свою благодарность приват-доценту Императорского Московского Университета В.В. Бобыни-иу за ряд для меня полезных советов и указаний, библиотекарю того лее университета и помощнику его за любезную помощь при моей работе в библиотеке этого университета, Факультету и Совету Императорского Варшавского Университета за средства к напечатанию этой работы.

Проф. Д. Мордухай-Болтовской. г. Ростов-на-Дону. Октябрь 1916 г.

§ 1. Общая характеристика мысли XVI века.

Нельзя отрицать своеобразной физиономии XVI века, во многом отличающейся как от средневековья, так и от рационализма XVII века. Это эпоха борьбы с авторитетом, эпоха юности, возрождающейся от гнета научной мысли.

Чисто юношеская жажда знания заставляет ее устремляться в те области, доступ в которые в позднейшее время рационалистического отрезвления был окончательно закрыт.

Уму философа XVr века круг научных исследований представляется много шире, чем позднейшим поколениям. В его глазах порядок материального мира чудесно переплетается с порядками других, нематериальных, трансцендентальных миров. Явления всех этих порядков могут быть наблюдаемы и должны составить части одного великого здания "Пансо-фии"2, универсальной науки.

Не убедить, а узнать - вот главная цель деятельности юного духа возрождения.

Сочинение Кардана "De Subtilitale"3, о котором мы будем говорить ниже содержит в себе наряду с заметками о геометрических парадоксах и заговоры от болезней, я описание явлений демонов его современниками. Обычное, будничное у него переплетается с чудесным. Тем же механическим законам, которым подчинены камни, подчиняются и сверхъестественные духи. Три мира Парацельса: земной, звездный и духовный находятся в симпатической зависимости, и медицина зависит от астрологии. Шти-фель в своей алгебре занимается доказательством того, что папа Лев X представляет го себя апокалиптического зверя с помощью операции над буквами его имени, получая апокалиптическое число 666.

Ум, который привык верить, перестав верить в то, во что он раньше горячо верил, ищет новой пищи для своей веры. Этой наивной веры уже нет у мыслителя XVII века, который, сохранив только пламенную веру в разум, старается всю вселеную заключить в бесспорно узкие для нее рамки геометрической логики.

Если у мыслителя XVI века ars inveniendr1 стоит на первом плане, заслоняя собой ars demonsfrandi5, то в конце XVT1 века в пустых содержа-

236


нием и водянистых вольфианских сочинснениях ars demonstrandi выдви-гается на первое место.

Увидеть самому, а не услышать от других это - характерное желание мыслителя XVI века. Но то, что ему приходится видеть, он как ребенок не подвергает критике; для него нет иллюзий, а только истины, более или менее воспринимаемые его умом.

Что характерно для математиков XVI века, это недостаток их artis demonstrandi; они хороши, когда ищут новые методы, ибо эти методы их оказываются правильными и могут быть обоснованы, но сами они не могут, да и не особенно стараются их обосновать. Как сын остается похожим на отца, хотя бы находился с ним в самых враждебных отношенаях, так и рамизм XVI века, враг схоластики, похож на схоластику, из которой он в конце концов вышел. Ваддингтон" указывает три принципа, характеризующие рамизм: право разума на свободное исследование, борьба с крайностями средних веков и упрощение наук употреблением правильных метод.

Но это, конечно, характеристика деятельности, а не мировоззрения рамизма.

С последней точки зрения, ои не далеко от схоластики. Естественная логика, которая им противополагается логике Аристотеля, представляет ту лее, но только несколько видоизмененную логику Аристотеля, изменение которой в то время казалось огромным, а в настоящее время ничтожным. Метод исследования остается по существу схоластическим.

Зачаткам новой философ™, говорит Виндельбанд7 свойственна инстинктивная оппозиция против "схоластики" и наивное непонимание общей зависимости, в которой сами они находятся от какой-либо ее традиции".

§ 2. Эволюция иерархического принципа в онтологии.

Согласно Аристотелю, конечная цель науки - это выведение частного из общего, которое выражается определением per genus et dinerenliam, с помощью родового понятия и специфического признака. Этот взгляд сохранился и в схоластическом мировоззрении.

Но у Аристотеля нет идеала иерархии классов, представляющих собой пирамиду, в основании своем имеющую индивидуумов, а в вершине genus generalissimuin8.

Этот идеал, конечно, создался средневековым реализмом, видевшим в возрастающей общности классов, возвышающиеся степени существования, так что genus generalissiuium является вместе с тем и одаренным наибольшей полнотой существования.

Легко отсюда видим, какое значение в глазах средневекового мыслителя имело определение.

237


И для рамиста, по существу ие изменившего взгляд на сущность знания - определение должно было иметь тоже значение.

В высокой степени интересно проследить эволюцию основного принципа, лежащего в основе иерархической лестницы существ. Вне сомнения, иерархические идеи пускают свои корни в политеистическое мировоззрение еще самых низших ступеней развития человека.

Далее - платоновские идеи образуют иерархическую лестницу, которая завершается высшей идеей - идеей блага. Вне сомнения при такой иерархии идеи имеется в виду аксиологическая точка зрения. Идеи являются здесь не столько universalia, сколько прототипами и образцами, подражанием которых является действительность. Идеализм Платона должен был пройти длинный путь через Аристотеля и новоплатонизм, чтобы превратиться в схоластический реализм. У Аристотеля эта иерархия обращается в иерархию форм, начинающуюся с низшего вида реальности ~ лишенной формы (ацорфоу) материи (vA.r|), И поднимающуюся через ряд промежуточных ступеней к Богу, к чистой форме.

Здесь уже реже выступает онтологическая точка зрения. Но она еще резче в ново платонизме, где Божество то 7tptnxov", абсолютное единство недоступное никакому определению, откуда истекают различные сущности умопостигаемого и материального, мира с постепенным ограничением в реальности вполне до материи как дт] ov10.

Этот живой н красочный мир Платона, в атмосфере схоластики, обращается в бесцветный и безжизненный мир абстракции, в восходящую до пустого понятия бытия иерархию теряющих в своем содержании и вы-игривающих в объеме соподчиненных друг другу универсалий, за которыми оставались, как за их предками, постепенно возвышающиеся степени реальности.

В борьбе реализма, проектировавшего universalia" вне нас, если ire в особый умопостигаемый мир Платона, то в самые вещи памтюлиша, объявлявшего идеи-словами (flatus vocis)", победителем оказался третий - концептуализм, нашедший универсалии в духе и приведший к последнему, как исходной точке метафизических исследований. То течение, которое могучим потоком идет от Декарта к Канту, идет не от Ансельма или Росце-лина, а от Абеляра через Оккама и Рамуса.

С окончательным падением реализма в ХШ-XIV вв. поколебалось и основание указанной выше иерархии, ибо большей общности уже перестала отвечать большая степень реальности.

Но в XV и XVI веках старались влить новое вино в старые меха, живую вселенную, которая открылась им, освобожденным от средневекового тумана глазам, включить в выработанные схоластикой омертвелые формы.

XVI век стоит уже недалеко оттого момента, когда гений Декарта разбил эти формы.

238


Наступает момент ясного сознания, что в основе науки должны лежать не столько определения, сколько аксиомы,;, что наряду с Божественным Откровением мы несем в своем разуме еще другое откровение: это рад истин, постигаемых нами с помощью своего рода интуиции, что наука не можеть развиться с помощью одних аналитических суждений, извлекаемых из определений: то, что может быть таким образом выведено, так же пусто, как пуст источник.

Наряду с логикой классов схоластиков, у рационалистов выступает логика отношений. Лежащие в основе науки аксиомы говорят не столько об отнесении данного объекта или вида к определенному классу, сколько о взаимоотношении различных объектов.

Иерархия истин теперь определяется не возрастающей общностью классов, а убывающей простотой отношений. Вся вселенная получается из основного мирового принципа с помощью постепенного ряда ограничений, созидающих как логическое следствие из простых, так же легко формулируемых, как теоремы геометрии свойств Божества все разнообразие Вселенной. Все вытекает из сущности Бога так, как теорема о сумме углов треугольника вытекает из сущности последнего14.

Глазам рационалиста вся вселенная представляется, как ряд взаимоотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к простейшим отношениям.

Но эта иерархия строится на некрепком материале, ибо понятие простоты - нечто более неопределенное, чем понятие общности. В дальнейшем ей суждепо распасться. XVIII век - это век демократизации истин, в которой значение их определяется только их полезностью (не только в фубоутилитарном смысле, но и в этическом).

§3. Логические идеи Рамуса.

Рамус" различает две части диалектики (иначе логики), одна - учение об открытии, другая - учение о суждении. Из этих двух частей, первое получает - первенствзтощее значение в XVI веке.

В математике на первый план выступает алгебра, в которой первая часть ее - эвристическая метода - резко отграничена от доказательства. Только для изыскания решения математик XVI века пользуется чистой алгеброй, при доказательстве он, как и арабы, прибегает к геометрическому язык)', переводя алгебраическую формулу на язык геометрии16.

Математика XVI века преимущественно интересуют задачи. Но при решении их он не проявляет критического отношения к постановке проблемы, ни к ее решению.

Вторая часть логики - учение о суждении - вовсе не сводится в глазах мыслителей XVI века к учению о доказательстве. Суждение у Рамуса проходит три ступени: от простого рассматривания предмета с данной

239


точки зрения дающего "enonciation"17, через силлогизм оно идет к "методе", при помощи определений и разграничений, объединяющей однородное знание в одно систематическое целое. Таким образом силлогистическое доказательство, т.е. ars demonstrandi, и здесь отступает на второй план, выше его становится Систематика знаний, основанная на определениях его, которые и составляют наиболее существенное в знании.

Родословное дерево классов молото всегда протести к диахотом-пой схеме. Род R, разделяющийся на виды А, В, С, соответствующие признакам а, Ь, с единственно возможным и несовместном можно разделить на два вида А и -А с признаком и без признака а. В свою очередь -А можно разделить на В и -В с b и без Ь, причем -В тождествено с С.

Так, например, вместо того, чтобы делить треугольники на прямоугольные, косоугольные и остроугольные, молено их делить теперь на прямоугольные и непрямоугольные, а затем последние на косоугольные и остроугольные.

Это та схема, которую проводит Рамус во всех своих классификациях. Эту схему отметил еще Боэций18 , как отвечающую делению рода на ближайшие виды.

Именно эта схема должна была оказаться боль
ше всего по сердцу
концептуалисту. л

Если Абеляр" выдвигал возможность такого диахотомного деления, как аргумент против крайнего номинализма Росцелина, указывая, что согласно ей, виды могут существовать независимо от имен, так как деление R на А и -А ведь имеет место, хотя -А может и не иметь специального названия.

С другой стороны, эта же схема менее всего подходит к реализму, ибо вид -А предстает искуствениьш созданием ума, который, можно сказать, всем существом своим противится приписанию -А равной реальности с А, В, С. Только крайние реалисты могли отважиться включить в их мир универсалий "не-человека" или "не-треугольнше".

С концептуалистической точки зрения, как А так и не А суть только модусы мыслящего духа и обладают, так сказать, равными правами. Поэтому для концептуалиста является весьма естественным остановиться именно на рамической дихотомной схеме, правильность и простота строения которой дает уже ие онтологическую, а логическую проблему.

Интересно, что у Рамуса ars inveiiiendi, даже в области естественных наук, носит чисто схоластический характер. Основным методом все-

240


гда является дедукция. Он приглашает сперва изучать общее - небо, затем частное - метеоры, сперва животных, затем человека.

Но позже, поиски естественно-научных методов увенчиваются учением об опытной индукции Фрэнсиса Бэкона и переходом от жившего методами прошлого и ищущего методов будущего гуманитарного периода, к периоду естественно-научиому,

Рамус выступает не только против Аристотеля, но и против Евклида. Он не ограничивается одной критикой, он старается дать образец исправленаых "Начал".

"Если бы, говорит Рамус, Евклид был бы настолько логиком, насколько был математиком, то на вопрос Птоломея: "Не существует ли к математической философии более короткого пути, чем тот, который дают "Начала", я думаю, никогда не ответил бы, что нет такого царственного пути.

Ибо царственный путь может быть ие только более кратким, более планомерным (planior) и более широким (amplior), но при этом, необходим логический аппарат, легкий для познания и трудный для осуществления. Путь можно исправить, но для этого необходим труд больший, чем это кажется".

Рамус вполне сознает, гак трудно вогнать геометрию в узкие схоластические рамки аристотеле-рамической логики. Задача им поставленная много трудней, чем задачи рационалиста Арно, эмпирика Бертрана или логистов Саньо и д'Овидио.     "

Геометрия Рамуса представляет не что иное, как комментарии к "Началам" Евклида, не соединенные с переводом последних, гак, например, комментарии его современника Клавия20, а изданные отдельно от "Начал".

Конечно, для Рамуса самым важным в геометрии являются определения, а за ними [логический] план геометрии.

В чем главный недостаток Евклида?

В том, что он идет от частного к общему вместо того, чтобы идти от общего к частному. С точки зрения Рамуса и его современников именно в определении происходит наиболее важный акт.

Всякий вид представляется носителем некоторого комплекса качеств, из которых каждое относит его к опредленному классу. Всякому индивидууму присущи наряд}' с этими качествами еще другие - несущественные, изменяющиеся при переходе от одного индивидуума к другому.

Математический объект дается готовым исследователю, последний должен только произвести логический анализ так, как ныне химик производит анализ воды. Он должен вскрыть существенные свойства объекта, позволяющие его отнести к определенному классу. Это для Рамуса - важная и трудная проблема. Этой проблемы теперь почти нет. Мы верим в то, что математические объекты мы сами строили, что судьба определения

241


вполне от нас зависит и со стройностью наших логических построений уживается хаос определений. Рамус возражает против евклидова определения параллельных как прямых, находящихся в одной плоскости и ие пересылающихся при своем продолжении.

Мы скажем: "Да не все ли равно, как определять параллельные;' лишь бы все, что затем следует [из определения], было бы правильно выведено".

"Нет!", возразил бы Рамус,. "математика имеет целью, как всякая другая наука, исследование свойств вещей, которые некоторым образом уже даны до начала математического исследования".

Концептуализм перевел идеи из внешнего мира в наш дух, но не перестал на них смотреть, как на неподвижные и неизменные сущности, изначально обретающиеся в нем, но не органически из него развивающиеся.

Последний взгляд был достоянием отдаленного будущего.

§4. Рамус о геометрических определениях.

Обратимся к геометрии Рамуса. Возьмем определение круга. Здесь и в настоящее время существует некоторая словесная путаница; "круг" употребляется и в смысле кривой, и в смысле площади, ограниченной этой кривой согласно 15-му определению I кн. "Начал"21 : "Круг есть плоская фигура, содержимая одной линией, называемой окружностью, к которой все прямые, исходящие от одной из точек, внутрь сей фигуры лежащих, взаимно равны".

Для кривой, ограничивающей круг согласно этому переводу, остается термин: "окружность". Но тогда следует говорить в 3-й книге о касании и пересечении в двух точках не кругов, а окружностей. Вообще вся третья книга должна быть отнесена к окружности. Рамус дает [следующее] определение окружности: "Окружность - та кривая, которая отстает равно от середины заключаемого в ней пространства".

Мы не вполне выразим то, что хочет Рамус, если скажем, что окружность - это кривая, равноотстоящая всеми своими точками от некоторой точки ее плоскости. Это определение per genus et differentiam.-2

Правильней его выразить так: оружность принадлежит к классу центральных кривых (которые имеют medium, или центр), но при этом это такая кривая, что расстояния от центра [до всех точек кривой] равны.

И Рамус говорит не только о центре круга, он говорит вообще о центрах.

Каждый из нас отнесет к одному классу и центр квадрата, и центр круга.

Все это центры- симметрии, о которых мы получаем идею много раньше, чем в состоянии облечь ее в научное определение.

242


Евклид, если и имел эту идею, то все-таки выключил ее из своих "Начал", так как она ему оказалась не нужной для выводимой цепи положений. Рамус же ие мог обойти этот обобщенный центр при присущем тому времени стремлении к построению иерархий объемлющих друг друга классов.

Определение центра у него [следующее]:

Centrum est punctum in figura medium.

Центр [есть] середина фигуры.

Т.е. им предполагается, что то, что нужно считать серединой (в тех, конечно, фигурах, где эта середина есть) каждый знает, и снабжает эту точку названием: центр.

Радиус [по Рамусу, есп>1 не только у круга.

Радиус [есть] у всякой фигуры, имеющей центр. Это- прямая, идущая от центра к периметру (отсюда выводится, что центр [находится] в пересечении диаметров).

Угол понимается Рамусом не в евклидовом смысле: как наклонения двух линий, которые встречаются в плоскости и имеют различные направления: как и у Евклида, [уРамуса] (в противоположность современному взгляду), в понятии угла заключается и смешанный угол (напр. угол сегмента, заключенный между дугой и прямой, согласно определению 6. III книги "Начал"). Но выше вида: угол "стоит" род: lineatum - соединение линий.

Angulus est lineatum in communi sectione terminorum.

Угол есть линеатум в общем сечении членов.

Параллелизм прямых подводится под общее понятие параллелизма линий (как прямых, так и кривых). Параллельными являются ие только прямые, но, например, два концентричных круга (или, вернее, окружности).

Под род параллельных линий подводятся два вида: параллельные кривые и параллельные прямые. Определять следует не "прямые параллельные", а вообще параллельные линии, из какового класса "прямые параллельные" выделяются благодаря признаку прямизны. Но, как основательно замечает Рамус, та идея о параллелизме, которую мы находим в себе, менее всего характеризуется несхождением прямых. Кривые не параллельные могут не сходиться, какова, например, конхоида или гипербола с их ассим-птомами.

Можно было бы добавить к тому, что
говорит Рамус, и обратное: что паралелытые
могут сходиться, если, впрочем, взять такие
кривые, которые самому Рамусу вероятно не
приходили в голову (см. черт. 1). Характер
ным признаком параллелизма является
рав- Чрпт   i

243


ноудалетюсть друг от друга. Lineae parallelae sunt quae ubique distant aequaliter.23-2'1

При этом свойство, что две линии, паралельные каждая третьей, параллельны между собой, распространяется и на случай кривых параллельных.

[У Рамуса] определяется не высота треугольника и затем высота призмы и т.д., а высота вообще.

Altitudo est perpendicuiaris a vertice figurae ad basin.

Высота - перпендикуляр от вершины фигуры до основания.

По Евклиду25:

"Когда прямая, поставленная на другую прямую, делает смежные углы взаимно равными, то каждый из равных углов называется прямым; а поставленная прямая называется перпендикулярной или отвесной к той, на которую поставлена".

По Рамусу:

"Прямые взаимно-перпендикулярны, если одна, падая на другую, равномерно между ними лежит (aequaliterinterjacet)".

Рамус не может определить перпендикулярность с помощью смежных углов, ибо, согласно его плану, общие свойства линий следует излагать раньше, чем свойства угла - одного из видов lineatum.

Как следует понимать aequaliter?

Конечно, не в смысле равенства смежных углов. Это значит - по
одну сторону от падающей кривой (или прямой) то же, что по другую. Это
безусловно верно для двух взаимно-перпендикулярных пересекающихся пря
мых. Радиус же круга и окружность удовлетворяют, так сказать, только напо
ловину этому требованию. Часть А такая же как С, но не
  

такая же как В, так что отношение перпендикулярности
[по Рамусу] является несимметричным: радиус перпен
дикулярен к окружности, но окружность не перпендику-
( 0
лярна к радиусу.

У

в"'

Для того, чтобы подвести подобие окружностей под общее опредление подобия, которое берется из

евклидового определения прямолинейных подобных ~~~г

фигур (см. 1 опред. 6 книги "Начал" - Figurae similes
sunt figurae aequiangulae et proportionalibus cruribus
aequarum angulorum).
26 Рамус мыслит круг как много
угольник с бесконечным числом сторон.
 Черт. 2.

Circuli aiitem et Sphaerae similes intelligentur ex illo polygone infmitoram latemm ut suo loco de singulis intelligetur27.

To, что у Рамуса является следствием совершенно определенных взглядов на сущность определения, в комментариях Клавия28 выступает в форме, может быть, и не вполне ясной тенденции.

244


Онне вооружается против евклидовых генетических определений, но выставляет в комментариях другие, не евклидова типа определения.

Евклид дает для шара, определение совсем не то, которое соответствует приведенному выше евклидову определению круга.

Такое определение дает Клавий в своих комментариях в дополнение к евклидову:

Sphaera est figura solida una superficie coraprehensa ad quam ab imo puncto eo rora quae intra figuram sunt posita cadentes rectae liniae inter se sunt aequales.

"Шар - телесная фигура, заключающаяся в поверхности, от которой идут к некоторой точке внутри фигуры прямые, все равные между собой."

Не трудно видеть, отчего Евклид не мог дать это определение, а дал другое:

14 опред. XI книги "Начал":

"Шар есть тело, производимое через обращение полукружия на неподвижном его поперечнике, пока оное опять восставится там, откуда началось его обращение".

В самом деле, Евклиду при определении Клавия, пришлось бы, как и к приведенному выше определению круга приставить постулат о возможности описания данным радиусом шара1",

Но такое описание производилось бы не движением прямой, а бесконечной совокупностью движений. Нет никакого сомнения, что Евклидом признавался один способ образования геометрических фигур на плоскости - с помощью черчения их циркулем и линейкой, сводящегося к образованию кривой, движущейся точкой, и площади, движущейся прямой. В стереометрии это представление получило естественное продолжение в смысле образования тел движущейся площадью.

Средневековое мышление положило свой отпечаток на понятие о геометрическом существовании, которое подверглось незаметной для самих математиков метаморфозе.

В то время, как существование геометрических объектов у Евклида определяется возможностью их построения, у математиков XVI и XVII веков, это существование признавалось в смысле существования проектировавшихся во вселенную универсалий средневековых реалистов30.

£5. Порядок геометрии по Рамусу

В "Началах" Евклида все аксиомы стянуты к началу I книги.

Вспомним эпоху Евклида, вспомним, что "Начала" Евклида являлись своего рода крепостью, которая должна была быть готова выдержать тяжелые орудия софистов.

Не трудно уяснить себе стратегические приемы софистов.

245


Чтобы победить противника, следовало прежде всего вырвать от него признания нескольких общепризнанных истин31.

Их должно было быть немного и с ними следовало, как можно скорее покончить.

Без сомнения, для софиста было в высокой степени выгодно делать это не в начале, а потом, при ходе дальнейшего изложения или спора требовать от собеседника или противника признания не высказанных раньше аксиом.

Вне сомнения, что чем позиция его противника становилась опасней и спор казался ближе к окончанию для противника неблагоприятному, тем менее последний становился чувствительнее к этим общепризнанным истинам.

Вся евклидова логика, как и логика Сократа и Платона вышла из софистической логики совершенно так же, как логика Рамуса из схоластической.

Та схема, в которую облеклись начала геометрии это схема - софистических споров.

Определения, в противоположность аксиомам оказываются распределенными между различными книгами.

Нужные для данной книги определения помещаются в начале ее.

Собственно говоря, и определение тоже следовало помещать в начале книги. Вероятно, так это и делалось бы, если бы "Начала" были меньше. Но в таком большом труде, как "Начала" Евклида это было бы уже невозможно, так как читатель не был бы в состоянии удержать в своей памяти всю ту массу необходимых определений, которые выставляет Евклид.

Такой порядок аксиом и определений в настоящее время является недопустимым. Система определений должна постепенно развертываться с цепью теорем.

Если мы определяем А совокупностью признаков: а, Ь, с..., то мы должны предварительно доказать совместность этих признаков а, Ь, с..., что возможно сделать только протянув уже часть цепи друг за другом следующих положений.

Необходимость оправдания определений некоторыми начала сознаваться еще в XVI i веке.

Борелли, определяя параллельные прямые как равноотстоящие, доказывает предварительно, что все точки, равноотстоящие отданной прямой лежат тоже на прямой.

Но проблема обоснования геометрических истин, вплоть до второй половины XIX века, сводилась к выводу положений из системы очевидных категорических суждений.

Если к категорическим суждениям присоединить условные, то дело изменится.

246


За аксиому можно было бы признать положение: "Если имеет место А, то также имеет место и В".

Но наличность А может быть не очевидной, и приходится доказывать ее из других уже очевидных категорических суждений. В таком случае аксиомы уже рассеиваются по всей сети доказываемых положений.

Это рассеивание будет еще большим, если идти дальше и признать своей целью вывод положений ие из очевидных истин, а только из простейших положений - постулатов, не предъявляя к последним требований очевидности.

Рамус тоже вооружается против евклидова порядка, но, исходя из совершенно иных, нам совершенно чуждых идей.

"Природа, говорит Рамус, ие создает лес таким образом, что производит сразу для всех деревьев корни, а затем к ним стволы; архитектор не будет строить город таким образом, что для всех домов сперва воздви-иет фундаменты, а затем займется самими постройками.

...Евклид должен определить треугольник там, где он начинает теорию треугольников, четырехугольник там, где начинает говорить о четырехугольнике".

Рамус представляет себе сперва родословное дерево соподчиненных родов и видов. Каждый член этого родословного дерева получает определение. Это, так сказать, ствол дерева с его ветвями.

Теоремы - это листва, его украшающая. Это не столько оправдывать определений (эта эпоха более далека от такой критической точки зрения), как просто полезные или любопытные сведения. Вследствие этого и геометрия Рамуса получает внешнюю физиономию практической геометрии, сближающей ее с геометрией Дюрера32.

"Для Рамуса, говорит Клейн, практические интересы стоят на первом плане, лишь на втором стоят у него логические дедукции, не как самоцель, а лишь как средство для нахождения новых практически полезных предметов, которые могут быть получены непосредственно из наблюдения"33 .

Но Клейн забывает сказать главное: еще выше практических интересов у Рамуса стоят схоластические интересы, построение delineatio34 геометрии, родословного дерева геометрических классов с удовлетворяющими его логике определениями.

О рамистах - последователях Рамуса мы еще будем говорить. У них идеи Рамуса получают дальнейшее развитие. Что же касается до геометров - предшественников, у которых те же схоластические идеи обнаруживались в менее развитой форме, то ограничимся упоминанием более близкого к Рамусу (XIII в.) Иордана Неморариуса и более отдаленного Псел-ла (XII в.). Последний в своем Quadrivium, можно сказать, дает ствол и очень мало веток, почти без листьев.

247


Это все - определения и определения; но в этих определениях Вы не чувствуете стремления связать их в одну стройную систему, установить основной род, определяющий вид с помощью специфического признака. Мы имеем там по несколько определений к одной вещи.

Punctum est cuius nulla pars existit. Linea cuius partes sunt puncta. Superficies cuius partes sunt lineae. Corpus cuius paries sunt superficies: vel aliter: Punctual est momentum quod пon fluit, linea punctum Aliens... itenun punctual est quod oinni dimenzione vacat и т.д.35

Определения же Неморариуса* совершенно другого характера -он уже ясно указывают на стремление подняться к высшим родам, не затрагиваемым Евклидом.

Таково определение contiouilas (непрерывности или, вернее, непрерывного геометрического образа), объемлющего собой виды линий, поверхности, тела...

"Contimiitas est indiscrecio lerminorura cum terminandi potentia".

Непрерывность - неразличимость границ с возможностью ограничения,

Angulus est continuarum in contiuutatis termine convencium.

Угол- схождение непрерывностен в непрерывной границе37.

§ 6. Delineatio геометрии Рамуеа.

Вот родословная классов, которую можно извлечь из геометрии Рамуса.

Соответственно этой delineatio порядок геометрии Рамуса такой: сперва говорится о наиболее общем, о том, что такое величина (magnitude), о границах ее, о наложимости, как условии равенства. Затем о линиях вообще, об их перпендикулярности и параллельности, отнюдь не только пря-

Mnflnitudo ве;ш,К,га

Г

Linea линия

1

Lmeatimi 1

|

1 1

Recta

1

1 OblonR.i крив™

'         ?

1

periferia кругов

helix     anfiulus некруговая угол

1                 1                          1 Пси j-a      superficies             coq фигура    rJeрxHocn,

248


38

superficies

corpus тело

i 1

1

!

rectiiineum

прямолинейная

|                     plana

obligLlneiun        ШЮсо11Ов кривмнкейная           1 1

fiibba кривое

\

pyramis пирамида

pyramedatunV пирамидах

1

|

trianguluro трехугольник

trlntwulatum39     prisma триашулят

pent. пентаэдр

 pent. сотр. композиция пентаэдров'1

мых. От linea следует перейти к lineatuin и, прежде всего, к углам: исследовать условия равенства углов и различные виды углов.

За углом же следует фигура вообще, но не частный ее тип, образованный тремя прямыми. Говорится о центре и диаметре вообще фигур или, лучше сказать, о фигурах, имеющих центр и диаметры. На нашем языке по этому плану приходится говорить прежде о симметрии вообще, а затем уже перейти к изучению треугольников, что и делается в некоторых современных учебниках" . Затем идут подобные и изоприметрические фигуры.

Термин треугольник, "triangulus", употребляется только в евкли-довском смысле площади, ограниченной тремя прямыми. Треугольник поэтому принадлежит к роду planum, а не lineatunr» и, согласно delineatio Рамуса, о нем приходится говорить значительно позже.

Но теоремы 24 и 25 I книги евклидовых "Начал"* :

"Ежели два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам, каждую каждой; а угол одного больше угла другого, а именно, кои содержатся теми равными прямыми: то и основание одного будет больше основания другого".

"Ежели два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам, каждую каждой; а основание одного, больше основания другого, то и угол одного, будет больше угла другого, а именно, кои содержатся теми равными прямыми". Рамус помещает в начале геометрии в форме свобод-ной от понятия треугольника.

249


Si anguhis angulo aequicrurus est major basi est. aequalis et si est aequalis aequatur basi. Если основания двух равнобочных углов равны, то углы равны и обратно, если равнобочные углы равны, то равны и их основания.

Si angulus angulo aequicrurus est major basi est major et si major est major basi. Если для двух равнобочных углов основание первого угла больше основания второго, то и первый угол больше второго и обратно.

Точно таким же образом и теорема 21:

"Ежели на одной из сторон треугольника, от концов ее, будут составлены внутри его прямые, то составленные прямые будут меньше прочих двух сторон треугольника, кои больший угол содержать будет"облекает в аналогичную форму:

Si aequatur basi est minor interioritms cruribus est major14.

Это изменение в I книге "Начал" Евклида имеет длинную историю, тянущуюся через Арно45 до Остроградского-'6. Треугольник - ограниченная плоскость, поэтому следует говорить сперва о площади неограниченной, плоскости вообще, а раньше еще и о поверхности вообще.

Может быть, Рамус и имел это в мысли, излагая за общими свойствами поверхностей вообще и плоскости, сечение угла на две равные части, свойство пар перпендикулярных прямых (деление плоскости на 2 и 4 равные части), свойства параллельных. Следующие главы (по Рамусу -

planum

ПЛОСКОСТЬ

indel:erminal:um rkterminatum

неограниченная ограниченная

angulus nngulatum        trlangulus trianguJatum

угол ангулят        треугольник триангулят

книги) о треугольниках и их сравнении (вообще), о различных родах треугольников, о геодезии прямоугольных треугольников, о подобии прямоугольных треугольников, о triaiigulatum, параллелограмме, прямоугольнике, квадрате и растянутом прямоугольнике (oblongo).

Ромб - четырехугольник, в котором все стороны равны, но углы не прямые. Параллелограмм - четырехугольник, в котором равны противолежащие стороны и углы, но при этом - не ромб и не прямоугольник. Все прочие четырехугольные фигуры называются у Евклида трапециями.

250


По Евклиду:

четырехугольная фигура

1 I 7 I

квадрат ромб параллелограм трапеция

По Рамусу же:

четырехугольник

I

гранения

.паралеллограмм

! {~ I

косоугольный прямоугольный

Г 1 I 1

ромб ромбоид квадрат растянутый

прямоугольник

Некоторое несогласие с планом представляет помещение следующей книгой De lineis in circulo", что следовало бы отнести к изучению линий, а не ограниченной плоскости (planum).

То же следует сказать и о следующих главах: De circuli segmentis, de descriptione circuli el trianguli, de adscriptione trianguli*. Согласно схеме, дальше идут главы о поверхностях и'телах вообще, о пирамидах вообще, о pyramidalum, куда входит и призма, которая и изучается сперва в общем виде, а затем в виде параллелепипеда, в частности куба. Кривые поверхности сперва изучаются вообще - затем идут сфера, конус, цилиндр (varia).

Коническую и цилиндрическую поверхности Рамус отличает от конуса и цилиндра. Conus est quod a conico et basi comprehenditur Cylindrus est quod a cilindrico et oppositis basibus comprehenditur".

Определение varium - это определение линейчатой поверности».

Varium est gibbum cuius basis est peripheria, iactus recta a termino vertici in terminum basibus5'.

Если peripheria употреблено в узком смысле окружности, то мы имеем только один вид линейчатых поверхностей.

Вне сомнения род gibbum и в том случае, если под peripheria разумеется вообще кривая и под varium - все линейчатые поверхности, является неполными, ибо некуда поместить например, эклипсоид.

У Евклида конус и цилиндр, для которых даны генетические определения (вращением треугольник! и прямоугольника) не подводятся под один класс поверхностен.

25)


У Рамуса же определение цилиндра per genus (varium) и differentiam lalera3J (т.е. прямолинейно-образующие направлены от точек верхнего основания к нижнему - все под одним и тем же углом).

Конус - тоже varium, но в котором они направлены от вершины к точкам основания33.

§ 7. Delineatio других рамистов.

Рамическая классификация получает дальнейшее развитие у учеников Рамуса. В рамических учебниках она выступает как главная и существенная части геометрии. Альстед34 (учитель Амоса Коменского) развертывает перед учеником, delineatio, напоминающее диалектическое развитие идеи у Гегеля.

Геометрия существует специальная и общая, и последняя трактует типы и принципы, или атрибуты вещей.

Типами являются линии и объекты, образованные с помощью линий (lineata).

Атрибуты лее или абсолютны, или относительны (т.е. определяются только относительно некоторых других объектов).

Lineatum - или угол, или фигура (образование из углов).

Фигура может быть образом (species), или "совокупностью свойств" (например, треугольник можно рассматривать как площадь, ограниченную тремя прямыми, или как совокупность трех прямых, не пересегающихся в одной точке). Фигуры - species, могут быть или телом, или поверхностью и т.д. Как и у Рамуса, Delineatio Альстеда35 отвечает выставляемым в "Speculum" требованиям:

1) Во всякой науке только то должно быть помещаемо, что имеет
отношение к ее цели.

(Этим определяется характерер признаков, на основании коих вид выделяется из рода).

  1.  Содержание должно быть расположено по степени общности, начиная с самого общего и кончая наиболее частным (чем постулируется направление delineatio).
  2.  Отдельно объясняемые части должны быть чем либо связаны (чем постулируется закон образования различных ветвей delineatio, логика построения системы).

Еще дальше идеи Рамуса эволюционируют в "Quaestiones" Riffa36.

Дихотомная схема проводится и для Data specieruin defmitionum37 иначе говоря, для геометрических объектов и для Quaesita datarum magmtudiiuim adjuncte sive habitudines58, для их свойств.

Свойства могут быть общие и специальные, относящиеся к геометрическому объекту вообще и относящиеся к специальным объектам. Затем, одни - это те, которые получаются через рассмотрение геометри-

252


ческих объектов в самих себе, независимо от других, другие - через сравнение объектов между собой. Конечно, и первые и вторые определяют некоторое взаимоотношение исследуемого объекта А с другими а, Ь, с... Но в первом случае а, Ь, с... лежат вне А, никаким образом с ним не связаны, во втором же случае они все в А, они граничат А или производят А.

Первый род взаимотношения дает учение о границах (terminatio), каковыми являются точки для отрезка, кривая для площади, поверхность для тела и т.д. Второй род - учение о том, что в современной терминологии можно назвать производителями и носителями, таковы точки, производящие прямую, прямые плоскости и т.д.

Внешние взаимотношения могут быть или прерывными (Discretae) или непрерывными (Continuae). В первом случае сравниваемые объекты А, В распадаются на дискретное число частей А - а а а ... В - b^b^b,... Взаимоотношение имеет место между а(.Ь . Оно может быть, между их ио-ноженншш или между их разя/ерами. Первое дает симметрию (Syminelria), второе - отношение (Ratio).

Для специальных свойств опять имеется два случая, сравнение внешних друг другу объектов и сравнение объектов, некоторым образом связанных и образующих один объект.

Первый случай дает Luiearuin Eulymetria», второй - Lineainentum.

Под первый случай подходит перпендикулярность и параллельность, которые, конечно, понимаются не в узком евклидовом смысле перпендикулярности и параллельности прямых, а в широком, рамическом смысле.

Lmeamenlum может быть углом или фигурой, в первом случае объект не вполне определяется, во втором он определен вполне. Собственно говоря, здесь следует употребить иные термины вместо терминов "угол" и "фигура". Речь идет не о геометрическом объекте, а о свойстве. Других терминов, как режущих ухо и несколько смешных - "угольность" и "фи-гурность" я не нахожу. Первое свойство присуще двум пересекающимся линиям, параболе... Второе кругу, эллипсу...

''Фигурность'' можно рассматривать общую и специальную.

Первую - саму в себе, и вторую - в взаимоотношении с другими внешними объектами.

Фигурность сама в себе может рассматриваться с трех точек зрения:

1) расположения элементов (ordinatio)
пример:

взаимная параллельность противоположных сторон параллелограмма:

2) свойства этих элементов (primatus)
пример:

свойство октаэдра обладать треугольными гранями;

3) относительных размеров элементов (ratio)

253


пример:

равенство углов равнобедренного треугольника.

Специальными lineainentum являются поверхностность и телесность и т.д.

Как я уже отметил, такое построение ума нам чуждо, но оно родственно диалектической логике Гегеля".

В естествознании мы обычно желаем видеть только одну сторону вселенной, только каузальные связи между явлениями. Мы не можем понять и не желаем признать, что параллельно каузальным связям идут телеологически,, которые должны получить то же право гражданства, что и первые.

В умозрительных науках мы признаем только дедукцию, только логический вывод одного положения из другого. Но существует особая диалектическая логика, устанавливающая между понятиями особые связи, позволяющие развернуть систему этих понятий, где каждое понятие получает свое определенное место, как это имет место в схемах Рамуса и Гегеля, основанных на совершенно различных принципах.

§ 8. Арно и Рамус.

То, что если не сам Рамус, то его современники, мыслившие так, как он сам, оставили след в математической мысли, можно заключить из того, что никто из нас не будет пользоваться определениями вроде определения 4-го III книги "Начал":

"В круге прямые называются равноотстоящими от центра, когда от центра проведенные перпендикулярные к ним суть равны", а будет сперва определять расстояние точки от прямой вообще.

Не будем говорить:

"Отрезок (сегмент) круга есть тот, который содержится [между] прямою и окружностью круга", а будет определять сегмент вообще и т.д. Схема Рамуса была забыта, но критика порядка положений "Начал", или, вернее, осуждение бессистемности последних не было забыто.

За Рамусом через одно столетие последовал Арно"1. Это уже не комментатор Евклида. Он ие намечает порядок теоремам, перечисляя их вместе со своими комментариями, он старается дать ряд положений с обосновывающими их доказательствами в порядке, определяемом некоторыми общими принципами.

Время Арно проникнуто уже другими настроениями.

Это время расцвета рационализма.

Это время, когда центр тяжести был перенесен с определений на аксиомы, на те очевидные истины, которые в глазах рационалистов суть своего рода откровения свыше, открывающиеся нашему уму непосредственно, как только рассеется окружающий его туман чувственности.

254


Эти сто лет оказались вполне достаточны, чтобы привести к сознанию, что логики классов недостаточно, что необходима еще логика отношений, что иерархию истины следует строить, основываясь не на соподчинении вида классу, а иа возрастающем осложнении отношений.

Нельзя сказать, чтобы Арио строго держался этой тощей зрения, иногда он стоит еще на точке зрения Рамуса. Евклид, по мнению Арно, не идет от более простого к более сложному, ибо в первых четырех книгах он излагает рад теорем на плоскости, доходя уже в первой книге до magisterum matlieseos (Повелителя математических наук (лат., метаф.)) - теоремы Пифагора.

В пятой книге он вдруг возвращается к теории пропорции, относящейся ко всем величинам.

Так что, он идет от частного к общему, вместо того, чтобы идти от общего к частному.

От более сложного - фигур, например, треугольников - он идет к более простому- параллельности и перпендикулярности двух прямых, вместо того, чтобы от более простого - изучения взаимоотношений двух прямых - идти к более сложному - к фигурам, ограниченным тремя прямыми. В 6-й книге Евклид возвращается к. плоским кривым, но не для того, чтобы покончить с этими вещами, а чтобы в 7, 8, 9 книгах заняться арифметикой.

Но принцип движения от простого к более сложному весьма часто находится в антагонизме с принципом движения от общего к частному.

С точки зрения рационалистов XVII века, кривая всегда есть нечто более сложное, чем прямая, ибо кривая разлагается на бесконечное число прямолинейных элементов. По плану Арно, изучение кривой вообще должно идти во всяком случае, после изучения прямой.

Во взглядах на кривую в особенности ярко выступает разница между математическими умами этих двух эпох. Для Рамуса линия - это прежде всего класс, объемлющий прямые и ие прямые (кривые); для Арно же линия это прежде всего совокупность прямых, находящихся в некоторых взаимоотношениях"2 .

Кривая - носитель точек, раньше не смешивалась с совокупностью производителей" - с пуиктуалом; в глазах же приверженцев метода неделимых, именно, имеет место это смешение.

Этот взгляд все резче и резче выступает, пока метафизика неделимых, наконец, не приводится в лабиринт несуразностей.

У де Лакайля*м прямая определяется так:

"Конечная прямая линия - это ряд бесконечного числа бесконечно малых прямых, которые в отдельности прямо положены без всякого сгибания, без наклонения друг к другу, кривая - ряд бесконечно малых, имеющих различное положение".

Это очень характерное определение.

Это не рамнческое определение per genus et diflcrenUam.

255


Не думайте, что первая часть этого определения - грубый circulus vitiosus*s, в котором прямая определяется с помощью прямой. Бесконечно малый прямолинейный отрезок здесь - некоторая концепция разума, но не чувственный элемент, из которого слагается как прямая, так и кривая.

Здесь определение обещает вскрыть сущность определяемого объекта, его внутреннюю структуру: прямая вполне определяется двумя точками, она кратчайшая [линия] между двумя точками и т.д. - это все свойства, уже вытекающие и:} ее структуры и ни в коем случае не могущие служить определением прямой.

Предпослав учение о величинах вообще, Арно прежде всего рассматривает прямые, а вовсе не линии вообще.

Параллелизм линий вообще для него не простое; понятие, а понятие разлоокимое. Простым является параллелизм прямых, а параллелизм кривых разлагается на бесконечное число параллелизмов между прямолинейными бесконечно малыми элементами, на которых разлагается кривая.

Как и у Рамуса угол фигурирует в двух видах: гак lineatuin и planum. Угол - lineatimi, помещается раньше угла planum, потому что в первом случае, мы имеем более простое взаимоотношение двух прямых, между тем как во втором случае - взаимоотношение двух прямых и плоскости.

Но в противоположность Рамусу, термин "угол" Арно относит не к углу lineatum, а к углу planum.

Это определение очень типично для той эпохи и резко отличается от рамических определений. Это - описание характерных свойств, которые чистый разум должен с помощью своего рода рефлексии узреть: "Прямолинейный угол, говорит Арно, это площадь, заключенная между двумя прямыми, сходящимися в одной точке с той стороны, куда они сближаются, неограниченные и неопределенные (indelinie et iiideternminee) по одному из измерений, а. именно, тому, которое отвечает длине прямых его обнимающих, и определенный по другому [измерению] с помощью пропорциональных частей круга, центр которого точка, где сходятся эти прямые". Это определение, вероятно, ведет свое происхождение от взглядов Рамуса, чуждых "Началам" Евклида и, в свою очередь, из него происходит определение угла Бертрана Женевского, вошедшее во многие учебники лежаид-ровского типа*.

Смешанные углы касания и угол касания, так беспокоивший математиков XVI века, о котором мы будем говорить ниже, исчезли в XVH веке.

Согласно Арно, угол представляет более простое взаимоотношение элементов, чем треугольник, где мы имеем не два, а три элемента, поэтому и изучение углов должно вестись раньше изучения треугольников.

Углы изучаются с помощью дуг и хорд (или синусов).

Сейчас же за определением угла Арно устанавливает понятие основания угла, т.е. прямой, соединяющей две точки на сторонах угла (так-

256


же. как Рамус, но с той разницей, что Рамус говорит об основании угла вообще, а Арно ограничивается простейшим прямолинейным углом):

Истинной мерой угла является дуга круга, но ввиду невозможности измерения кривой приходится измерять углы синусами и хордами.

Арно находит необходимым говорить о всех трех родах измерения углов. За теоремой о прямой пропорциональности углов и соответствующих дуге следует теорема о хордах, отвечающих равным и неравным углам.

Арно приходится (как Рамусу), не называя это своим настоящим именем, доказывать 2 случая конгруэнтности треугольников.

"Два неравносторонних угла равны, если соответствующие стороны и основания равны". Два равных и равносторонних угла имеют равные основания".

От этих несовершенных методов следует перейти к измерению дугами кругов, но с центрами уже не в вершинах, т.е. рассмотреть главу о вписанных и описанных углах.

От изучения углов, т.е. площадей, ограниченных пересекающимися прямыми, Арно переходит к изучению параллельных пространств или полос, образованных не пересекающимися прямыми67 (espaces paralleled которые представляются ему, как тип более сложного взаимоотношения, чем то, которое дается плоскостью и двумя пересекающимися прямыми, (ибо вводится ограничение, которого раньше не было).

Как при изучении углов рассматривались их основания, так при изучении параллельных полос должны рассматриваться отрезки прямых между ними.

Как синусу, так и хорде отвечает расстояние между параллельными.

Основаниям двух углов отвечают прямые рашюиаклоненные к сторонам двух полос.

Основным положением теории пропорциональных линий является следующее:

"Когда две прямые равнонаклонены в двух параллельных полосах, они относятся между собой, как перпендикуляры этих полос (т.е. широты последних) и как их удаления от перпендикуляров".

Отметим, что в дальнейшем изложении этой главы у Арно можно найти доказательство основной теоремы теории пропорциональных линий (об отрезках отсекаемых параллельными на двух пересекающихся прямых), которой не существовало и у Евклида, и котрой нету Лежандра и которое только начиная с Лакруа* входит в геометрические учебники.

За теорией пропорциональных линий по Арно, следует перейти к тому, что образовано во всей определенности с помощью прямых, т.е. к прямолинейным фигурам.

257


Дальнейший порядок очевиден: сперва следует рассматривать фигуры сами по себе, затем - в сравнении с другими.

Следовало бы ожидать, что за треугольниками последуют четырехугольники и, наконец, многоугольники.

Ибо первый проще второго, второй третьего и т.д., и многоугольник можно рассматривать состоящим из треугольников.

Но здесь выступает другой принцип - от общего к частному - и Арно сперва говорит о фигурах вообще, сообщая некоторые сведения о вписанных и описанных правильных многоугольниках.

Только в 13-й книге у Арно говорится о конгруэнции треугольников, и, конечно, все оказывается уже готовым, и только приходится полученный в предшествующих книгах материал перекладывать на язык треугольников.

Арно доказывает теорему о том, что большему углу отвечает большая сторона, описывая окружность около треугольника и ссылаясь на то, что большей дуге отвечает большая хорда.

Интересно здесь отметить, что в XVIII веке, когда в изложении учебников в большей или меньшей мере сказывался порядок Арно (orclo Anioldianus)4*, вместо обычного евклидовою доказательства теоремы о сумме углов треугольника, проводилось доказательство того же, с помощью описанного круга и ссылкой на теорему о вписанных в круг углах.

В теории треугольников обнаруживается опять тенденция идти от общего к частному, например от треугольников общего типа к равнобедренным треугольникам.

Геометрия Арно заканчивается определением площадей и, таким образом, является не законченной, представляя только образец для построения полного курса геометрии, согласно проводимым в ней принципам.

Новый порядок требует от Арно признания за аксиому положения:

"Если две точки прямой равно отстоят от двух точек А и В, то то же относится и ко всем точкам [прямой]".

Но этого мало. Одна эта аксиома не может заменить первого случая конгруэнтности треугольников, доказываемого наложимостью, которой Арно старается избегнуть™.

Необходимо ввести все-таки наиболее простое положение о конгруэнтности, относящееся к треугольникам, настолько простое, чтобы, согласно требованиям Арно, минуя процесс наложения, можно было бы выдать его за положение очевидное.

Так как в первой книге по причинам, которые мы выше изложили, Арно находит недозволенным говорить о треугольниках, это положение формулируется так, что слово: "треугольник" совершенно избегается.

При этом, положение это даже не выдвинуто, как особая аксиома, и отмечено в Avertissemen!" .

258


"Это то же самое, говорит Арно, рассуждать о двух наклонных прямых, рассматривая их или проведенными из одной точки на одну прямую, или из двух различных на две различные прямые, при том условии, что расстояния до этих точек от прямых равны", что сводится к утверждению равенства катетов прямоугольных треугольников, у которых другие катеты и гипотенузы равны.

£ 9. Теория параллельных от Рамуеа до Саккери.

В отношении к евклидовой теории параллельных математиков XVI века можно также ясно усмотреть характерные черты.

Эта теория основывается на 35-ом определении I книги "Начал".

"Параллельные прямые суть те, кои будут на той же плоскости, и продолженные в обе стороны беспредельно, нигде взаимно не встречаются" и на 11-й аксиоме72 той же книги: "Если на две прямые падает третья прямая, и делает углы внутренние и на ту же сторону, меньше двух прямых, то оные две прямые линии, продолженные беспредельно, взаимно встретятся на ту сторону, на которую углы меньше двух прямых", представлявшейся не достаточно очевидной или даже ие очевидной, и поэтому являющейся своего рода пятном на "Началах" Евклида.

Проблема о параллельных состояла в отыскании недостающих звеньев между 11-й аксиомой, которую следовало отнести к теоремам, и остающимися аксиомами "Начал". Эта проблема, интересовавшая античных математиков, не была проблемой XVI века.

Для них проблема о параллельных сводилась к исправлению евклидова определения 35-го и к выводу из нового определения согласного с требованиями их логики, 11-ой аксиомы и теорем "Начал", относящихся к параллельным.

При этом, в том, как понимать этот вывод, остается некоторая неопределенность.

Но в дальнейшем устанавливается такой смысл: кроме определения могут быть использованы только аксиомы более высокой степени очевидности чем 11-я аксиома Евклида и другие аксиомы, которыми она заменялась античными математиками. Определение параллельных прямых, как равноотносящих, вошло во все теории параллельных XVI и XV11 веков.

Сперва занимались только одним определением. Опровергали евклидово определение с помощью различных аргументов, вроде конхоиды и гиперболы, не параллельных своим асимптотам, но никогда их не пересекающих. Этот прием повторяется во всех комментариях XVII века.

Его же приводит и Клавий в своей критике прокловой теории параллельных, Интересно отметить, что анализ этого определения параллельных приводит Клавия к сознанию необходимости оправдания этого опрс-

259


деления; "Следует убедиться, что линия, все точки которой равноудалены от прямой, тоже: прямая", В этом состоит первое положение теории параллельных Клавия.

Но при этом положении в собственном смысле, нет доказательства, а только пояснение, имеющее целью повысить степень очевидности этого почти очевидного положения. Все сводится к ссылке на то, что линия такая, что АС = EF = DB =... должна обладать однородностью, равно лежать всеми точками. Делается попытка пустить в ход определение 4-й книги "Начал", остающееся у самого Евклида без употребления77.

Положение: "Если к прямой АВ восстановить два перпендикуляра АС = BD, равные между собой и соединить концы их прямой CD, то перпендикуляр EF, опущенный из всякой точки этой прямой будет равен АС и BD". Ибо иначе построив прямую CGD с точками равноотстоящими от АВ, в случае ее несовпадаемости с CD будем иметь две прямые CED и CGD заключающие пространство, что противостоит 12-й аксиоме I книги "Начал"74 .

Дальше идет теорема: "Если к прямой восстановить два перпендикуляра, равные менаду собой, и соединить концы их прямой, то эта прямая будет образовывать с общим перпендикуляром прямые углы". У Дешаля75 эта теорема, заимствованная у Клавия, формулируется так:

Перпендикуляр к одной из параллельных АВ вместе с тем перпендикулярнн и к другой CD.

Клавий в своем доказательстве устанавливает сперва (отложив от

F FA и FB равные между собой и проведя АС и BD±A В) равенство треуг.

л AEF и FEB (AF=FB, EF=EF и

\.Е

м

\

\

к

N

L \

"X

Z AFE =Z EFB). Отсюда выводится, что ZAEF = ZFEB И ZCAE=ZEBD.

Далее устанавливается, что ДСАЕ = EBD откуда ZAEC=ZBED

ZAEF+ZAEC =ZFEB +ZBEF, т.е. углы при E равны и FF1CD.

Постулат о параллель-
q
е   r 4 ~ ных может быть заменен посту-

260


лагом о пересечении перпендикуляра и наклонной.

Это последнее положение и доказывается Клавием.

Следует доказать, что АС и BD пересекаются между собой.

От А по АВ откладывается AF, затем AG = 2 AF, затем АН = 2 AG и т.д. пока не дойдут до точки 1 находящейся за В на АВ.

Проведем FE JLAB. Откладываем по AC АК= 2АЕ, AL=2AK и т.д. Из К проводим КМ 1FE, из L LN1 GK и т.д. Тогда на основании доказанного выше убеждаемся, что углы G и К прямые, GN1 AI. Точно таким же образом убеждаемся, что К и L прямые и т.д. Отсюда следует, что 1С 1 AI пересекает АС, а тем более с АС пересекается BD76.

Через сто лет после Клавия вид этой главы геометрии совершенно меняется. Центр тяжести переносится с определения на аксиомы. Уясе не ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям логики, среди возможных определений, но берется такое, исходя из которого можно было бы дойти до цели, пройдя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не выставляя современного требования minimum'а, совершенно чуждого XVIII веку.

У Борелли77, параллельные прямые (ею не линии вообще) опред-ляются, как перпендикуляры к одной и той же прямой.

Первое положение Клавия объявляется аксиомой и доказывается положение: "Если к двум прямым, лежащим в одной плоскости, перпендикулярна одна прямая, то всякая прямая, перпендикулярная к первой, тем самым будет перпендикулярна и ко второй. Доказательство ведется от противного. По условию EF1 CD и 1 АВ.

Откладываем CF = FD и проводим АС и BD 1 С D.

Пусть GH прямая, которая описывается перпендикуляром к CD равным EF78, тогда GC = EF=HD; Д GCF £ Д FHD откуда GF = FH, Z GFE - ZEFH, И ZGEF = ZFEH чего, очевидно, быть не может.

Из равенства Д АЕС и CFE следует, что
ZA прямой, и таким же образом, что Z В пря
мой.
 д

Отсюда сейчас же извлекается равенство внутренних накрест лежащих углов (см. черт. б -

из равенства A ADC и ABD). /

Если теперь обойти первое положение G --.
Клавия, объявленное Борелли аксиомой, то нам    /
удается вместе с Саккери7' доказать только, что с
Z А = Z В, но не то, что Z А и Z В прямые. Чсрг- 5-

Нам придется вместе с Саккери рассматривать три гипотезы:

1) тупых углов А и В,

261


  1.  острых и
  2.  прямых.

Первую гипотезу Саккери удается отвергнуть, исследование же второй ие приводит к доказательству абсурдности, удовлетворяющему автора и содержит скрытым образом основы геометрии Лобачевского, геометрии "острого ^ угла".

В этом исследовании ярко высту
пают свойства геометрического места рав
ных расстояний в той геометрии, где такое
геометрическое место ис представляется
уже прямой.
 д

Часто, приходится читать, что гео- тт        ,.

Черт. 6.
метры две тысячи лет размышляли над
 '

доказательством постулата о параллельных, что на попытки решения этого

доколдованного вопроса пошла колоссальнач энергия многих шеков.

Но это иллюзия поторак получаетая проектированихв недавнего прошлого в отпиленное пкошедшее нами почти забытое,

Можно сказать, что вплоть до Ламберта, начиная с возрождения геометрии в XVI веке геометры относились в общем довольво легкомыс-генно к этому вопросу.

Саккери в XVII веке - одни из немногих исследователей в этой области почему cmv и суж-ено было засл\огить внимания v совосмен-ников.  '

В человеческом уме есть склонность обращать положения.

"То что содержит протьворечие не может существовать" это — основная аксиоос при построении метафизических тистем рационалистов. в особенности в аоследнем периоде когда уже возникли первые разочарования в разуме погда прямпе доказательства уже стали пополняться кос-ванныви.

"То. что ие существует, то не существует потому, что содержит про
тиворечие"
что и ебратное положение в которое можно вполне не верить
прекрасно веря
- первое. '

Разуму прпсуще .собое самомнение вера в возможность все дока
зать как существовани
е осго-либо другого так а вв существование чего—
либо д
ругого. '

Так кис наиболее сильным орудем его доказательств является при-ведение к абсурду вскрысил противорееий в объекте несуществование ко~ tod ого ек подозревает то впглне естественно вепить что всяков necvuiC" сгаованис обуславливается именно абсурдностьюь Поэоому признание dovux геометпий не солсрж'Ншши ппотивооечий из которых некоторые лшгжнг не существоеать коглп существует евклидов*, зкометшш это нечто докое ы несу отт. мог лишь'лолго и в большим ттмкш пштучиться

262


Рационалистический период пришел к сознанию различной степени очевидности той груды аксиом, которые он вскрыл.

Недостаточная очевидность постулата о параллельных и его эквивалентов - вот что побуждало математиков XVIII века так много размышлять об этом предмете.

Положение:

"'Те положения, которые логически выводятся из очевидных истин, менее очевидны, чем эти истины" обращается в естественном заблуждении разума в положение: "Все менее очевидные положения должны выводиться из более очевидных" и отсюда начинается изыскание этих выводов50 .

Но при этом истина постулата о параллельных как бы начинает терять часть своей очевидности, она уже не представляется столь очевидной, как раньше, отвержение ее ие кажется столь невозможным, гак это казалось в XVII веке и при этом преимущественно в глазах эмпирически настроенных умов.

Идею о возможности построения чуждой логических противоречий иеевклидой геометрии мы находим впервые у Ламберта.

§10. История смешанных углов.

В то время, как восхождение от вида параллельных прямых к роду параллельных линий приводило к чуждому Евклиду определению о параллельных и в общих чертах сходным теориям параллельных у различных математиков, основанным на этом определении, восхождение от прямолинейного угла к роду его объемлющем)', к углу вообще, вело к жестокой проблеме о касательном угле (angulus conLingenliae), к ожесточенной полемике, родственной полемике об universalia в XI веке.

Совершенно верно, что метод схоластической философии отличается от метода той философии, которая развивается от Декарта до Канта. Утробная жизнь человека отличается от жизни человека уже родившегося иуже несвязанного с материнским организмом. Жизнь трехмесячного плода отличается от жизни девятимесячного, но в так мало похожем на человека эмбрионе можно усмотреть уже некоторым образом дифференцированными те части, из которых должны затем развиться определенные более важные органы.

Совершенно таким же образом и в схоластической философии можно увидеть в искаженном виде все важные идеи, из псе эволюционировавшей философской мысли.

Бесконечно малое в неясной форме выступает и в тумане средне-вковой мысли.

Этот туман начинает рассеиваться в эпоху возрождения. Метафизическое бесконечно малое начинает свою математическую жизнь.

263


В эпоху Петра Рамуса Вы видите не эмбрион современной научной мысли, а ребенка, правда, еще очень слабого, не могущего самостоятельно стоять на ногах. Прислушайтесь к тому, что говорят комментаторы Евклида, который является для математика XVI века таким же безошибочным, кале Аристотель для философов XI века, и Вы легко усмотрите, откуда произошло неделимое, бесконечно малое XVII века.

До Кеплера и Кавальери следует изучить Кардана, Клавия и Пеле-тария, а в особенности ожесточенный спор последних о 16-й теореме 3-й книги "Начал" Евклида88.

"Прямая, проведенная от конца поперечника круга под прямыми к оному углами, падает вне круга; в пространства лее между прямой и окружностью ие может упасть другая прямая; и угол полуокружия есть больше всякого прямолинейного угла, а остальной меньше".

Доказательство Евклидом ведется от противного.

Предполагается, что перпендакуляр        X из точки А к диаметру АС лежит внутри кру-     / га. Соединяя С и А мы находим, что угол С    /

равен А (т.к. АСО - равнобед. треуг.) и по-     

этому сумма углов в треугольнике больше   \
двух прямых (противно т. 17 I книги). \

Предполагая между окружностью и      \
AF прямую AG, не встречающую окружно- \.^ „/

сти, из О опускаем перпендикуляр OD на """"' """

AG. Тогда ОА (как наклонная) > OD, чего Черт. 7.

быть не может, ибо OD > ОА.

Отсюда выводится уже не Евклидом, а Проклом" следствие, что угол CAT касания менее всякого прямолинейного угла.

Такой угол, меньший всякого прямолинейного угла представляет ли собой величину?

Вот математическая проблема XVI века, в обсуждении которой они пользовались чисто схоластическим методом.

Проблема идет о возможности подведения угла касания под класс величины.

Но самый класс величин не определяется, он извлекается путем своего рода рефлексии уже готовым, и различные его свойства еще полней его определяющие извлекаются по мере надобности.

Это большое заблуждение - приравнивать схоластические споры к словесным спорам и видеть решение их проблем в надлежащем выборе терминов.

Если мы теперь не рассуждаем об угле касания, то вовсе не потому, что мы имеем правильное решение проблемы, волновавшей Клавия и Пе-

264


летария, а просто потому, что мы такого рода проблемы исключили из области математических исследований, мы разочаровались в возможности математизации сравнения прямолинейных и криволинейных углов, хотя в нематематизированном мышлении мы производим такое сравнение.

Нельзя считать решением ссылку на то, что угол между прямой и кривой - это угол между этой прямой и касательной к кривой, на основании которой все углы касания равны нулю. То, что мы назовем до начала математического изучения и следовательно то, что дается упомянутой выше рефлексией - углом между кривыми (хотя бы мы и не были в силах это точно формулировать словами), конечно, не тождествено углу между их касательными.

Эти два угла равны только в том случае, если признать угол касания равным нулю, так что упомянутый выше аргумент может родить только ложный круг.

"Угол между кривыми есть угол между касательными" • это или чисто номинальное определение, где термин "угол" употребляется в смысле безусловно расходящемся с тем, которое уже находилось раньше в нашем уме, или лее представляет положение, выдаваемое за аксиому, что наклонение двух кривых измеряется наклонением их касательных.

Но при этом, в этой формулировке, содержится гораздо больше, чем то, что может быть признано очевидным.

Очевидна не пропорциональность этих наклонений, которую невозможно было бы установить, ибо для этого необходим был бы третий член - мера наклонения двух кривых, соответствующая дуге-мере наклонения двух прямых. Очевидно только то, что с возрастанием наклонения касательных, возрастает наклонение кривых и обратно.

В 3-й книге "Начал" Евклида есть две интересные загадки:

Определения 7 и 11-е.

7-е. Угол отрезка (сегмента) есть тот, который содержится прямою и окружностью круга.

Так что этот смешанный угол, образованный дугой круга и прямой, угол сегмента, не следует смешивать с углом в сегменте, о котором говорится в определении 8.

8-е. Когда на дуге отрезка, возьмется такая ни есть точка, и от оной к концам прямой, которая есть основание отрезка протянутся прямые, то содержимый протянутыми прямыми угол называется углом в отрезке (в сегменте).

11-е. Подобные отрезки круга суть те, кои вмещают равные углы, или в коих углы взаимно равны.

Ни в одном из своих доказательств Евклид ие пользуется смешанным углом.

Теорему 24: "На равных прямых подобные отрезки (сегменты) кругов равны", Евклид доказывает на основании 23-й: "На той же прямой и

265


по ту же ее сторону ие могут быть составлены два отрезка кругов подобные и неравные".

В JJ-м определении совершенно непонятное повторение одного и того же определения. Мне представляется весьма вероятной следующая гипотеза: "Сперва определение подобия сегментов было: "кои имеют равные углы" соответственно определению подобия треугольников б-й книге "Начал".

Теорема 24-я о равенстве подобных сегментов на равных прямых доказывалась наложением ( в роде т. 4I книги).

Причем, как в теор. 4 для прямолинейных углов, так и здесь для смешанных обращалась 8 аксиома 1-й книги: "Совмещающиеся взаимно взаимно равны", т.е. при равенстве углов посгулировалась возможность их совмещения.

Возражения против очевидности такого совмещения и вынудили произвести изменение, подставить на место определения (см. вторую часть опред. 11) то, что раньше являлось теоремой, непосредственно вытекающей из упомянутого выше положения.

Одним словом, по моему мнению, определение 7-е- это рудимент, свидетельствующий о прошлой истории 3-й книги.

Первая же часть - тоже рудимент, но подвергшийся некоторому перерождеиию, затушевавшему его прежнюю историю как полезного органа.

Здесь уместно сказать несколько слов о 8-й аксиоме I книги.

Тот факт, что Евклид в теореме 4 и других пользуется обращением этой аксиомы, заставляет эту аксиому и в системе аксиом представить в прямом и обращенном виде. Две совмещающиеся величины равны и две равные величины совмещаются, что вызвало возражение Марделэй .

Вне сомнения, что сам Евклид не имел в мыслях обращения аксиомы 8-й в общем случав, а только для углов и отрезков.

Тут было только бессознательное пользование скрытыми аксиомами, наряду с многими другими. Следует помнить, что Евклид совершенно не пользуется нашей идеей равенства геометрических фигур, которое состоит в тождестве формы и размеров при различии в положении.

Положение 4 формулируется так:

"Ежели два треугольника имеют две стороны равные двум сторонам, каждую каждой; и один угол равный одному углу, а именно, icon содержатся сами равными прямыми; то и основание будут иметь равное основанию; и треугольник будет равен треугольнику, и прочие углы будут равны прочим углам, каждый каждому, кои противолежат равным сторонам".

См, также положения VIII и XXVI.

"Равны" употребляется здесь в смысле "равновелики", так что Евклидом утверждается:

  1.  равновеликость упомянутых треугольников,
  2.  равенство некоторых их элементов.

266


Когда же Клавий обращает 8 аксиому то он становится на нашу точку зрения*1„ он уже понимает равенство в нашем смысле, и в этом смысле, конечно, 8 аксиома обратима, на что и указывает ее дальнейшая судьба, а именно, превращение ее в определение.

Таким образом, судьба смешанного угла мне представляется в таком виде: "Смешанный угол пользовался раньше всеми правами. Но евклидова строгость доказательства, вызванная софистической логикой, изгнала его из геометрии. Но схоластическая логика вернула его обратно, чтобы через сто лет он снова сошел бы со сцены и на тот раз, видимо, на очень долгое время...",

Смешанный угол последний раз выплывает при борьбе математиков-рационалистов с доказательством с помощью наложения.

Арце, стараясь избегнуть метода наложения, развивает доказательство 5-й теор. I книги, укачанное Аристотелем8'.

"Углы равнобедренного треугольника при основании равны".

К евклидовым аксиомам Арце прибавляет еще 6 новых, в числе которых 17-я: "In uuo eodemque cicrulo omnes angiili semicirculi sunt hwicem aequales".

В одной и той же полуокружности все полуокружные углы равны.

Таким образом, Арце считает возможным говорить о смешанных углах, не определяя их с помощью определенных касательными прямолинейных.

Другой аксиомой утверждается: "18 Cujuslibet segmenti duo anguli sunt invicem aequales. В каждом сегменте оба углы равны.

(Z ВСВ = Z СВС)

Чтобы доказать упомянутую выше теорему Арце из О описывает окружность радиусом равным ОВ = ОС и замечая, что на основании аксиомы 17: Z ВСО = Z СВО на основании аксиомы 18: Z ВСВ = Z СВС, откуда согласно евклидовой аксиомы: Z ВСО = Z СВО, что и т.д.

В   ч-

 

\ А

Черт. 8.


Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики.

Введение.

В истории математики хорошо разработана та часть, которую молено назвать анатомией: хронология открытий, элементы заимствованные и оригинальные в математике данного культурного периода. Разработана и физиология: развитие различных математических теорий мы представляем в зависимости от хода развития других явлений культурной жизни.

Но еще очень слабо затронуто то, что можно назвать эмбриологией, т.е. генезис математических идей, начиная с их зарождения. В таком исследовании, чрезвычайно •деликатном, приходится прибегать к тем источникам, которые обычно обходятся историком математики: прежде всего следует обратить внимание не только на верхнее, по и на нижнее течение математический мысли, ие только на научные произведения, но и на забытые большей частью теперь учебники, ибо в них-то резче всего сказывается настроение мысли, кладущее свой отпечаток больше всего на понимание основ науки; во-вторых, приходится обратиться и к философским мировоззрениям исследуемой эпохи, в которых, конечно, следует искать эмбрионы основных научных идей,

Исследование происхождения основных идей анализа бесконечно малых ведет к изучению ныне забытых комментариев Евклида с исправленными выпрямленными доказательствами, осуществляемыми введением постулатов уже анализа в скрытой или явной форме, и к изучению философии актуальной п потенциальной бесконечности от Аристотеля через схоластику до рационализма XVII века.

Исследование основных современных геометрических идей ведет нас к изучению ныне забытых учебников конца XVIII в. и начала ХТX в. и, с другой стороны, к изучению кантианства и гегельянства, кладущих свой отпечаток на эти учебники.

Повторяю, что исследования эти должны быть очень деликатны. Очень легко впасть здесь в иллюзию, и историческую эволюцию увидеть в искаженном виде. Это, между прочим, имеет место у математиков с недостаточно развитым историческим чутьем относительно XVII века, внешний облик которого может быть и похож на современную эпоху, но только внешний, так как более глубокое исследование вскрывает непроходимую пропасть.

268


Я предлагаю читателю ряд очерняв из истории математических идей. Эти очерки могут иметь не только историческое значение, но и методическое. Идеи забытые - не всегда идеи ложные, а часто только такие, которые не находят применения в ходе современной научной работы, при незначительном в этом смысле научном значении они могут иметь значение педагогическое. Преподаватель, прочтя настоящие очерки, может над многим задуматься.

Эти очерки составляют только небольшую часть моего большого многолетнего труда по истории математики в указанном сейчас направлении. Пройденный мной длинный путь я вспоминаю с признательностью к многим лицам и учреждениям, помогавшим мне в этой, порой нелегкой, работе.

Прежде всего приношу свою благодарность Правлению Северо-Кавказского Государственного Университета и Президиуму Ассоциации Исследовательских Институтов за ежегодные командировки для работы в библиотеках, богатых старыми книгами. Затем приношу свою благодарность профессорам Н. И. Порфирьеву и И. Н. Парфентьеву, благодаря которым в 1926 году я получил возможность пользоваться при исключительно удобной обстановке богатой книжной сокровищницей геометрического кабинета Казанского Университета. Не могу также не отметить того предупредительного и внимательного ко мне отношения, которое я всегда встречал в библиотеке Московского Университета, а также исключительно любезное ко мне отношение в 1924 г. заведующей математическим отделением Ленинградской Публичной библиотеки.

Наконец, особенную благодарность выражаю Правлению Северо-Кавказского Университета, дающему мне возможность увидеть в печати хотя бы часть этого особенно близкого мне моего духовного детища, причем как раз в столь знаменательное для меня время 30-летнего юбилея моей научной и педагогической деятельности. Приношу также свою благодарность Н. М. Несторовичу, любезно взявшему на себя большую часть труда по исправлению корректуры.

Май 1928 г. Роотов-Дон. Д. Мордухай-Болтовской.

I. Два основных источника методов решения уравнений.

(ХП век).

§ 1. Простое фальшивое правило1.

Самые интересные, но, конечно, и самые трудные проблемы истории математики это те, которые относятся к эмбриологии идей.

Обычно история математики исследует ход развития идеи уже во вполне оформленном виде. Хорошо известны все факты, относящиеся к

269


истории числовых уравнений, но не делаются попытки пойти вглубь - исследовать самые корни идей, лежащих в основе этих методов.

Попытки таких исследований я хочу дать. Я хочу показать, что эти идеи с психологической необходимостью должны были развиться из основных свойств нашего ума. причем хочу проследить, как самые примитивные методы должны были обратиться в современные совершенные.

Самый примитивный способ (но, конечно, не метод) решения задачи - ряд попыток; неизвестное просто подбирается так, чтобы оно удовлетворило поставленным условиям.

Берется произвольное значение для неизвестного, согласно арабской терминологии: предположени;; производятся над ним все те операции, которые должны дать определенный результат. Если полученный результат не совпадает с данным или, как говорят арабы, отклонение не нуль, то переходят к другому и так дальше, пока не наталкиваются на решение. Так древние египтяне решили, вероятно, задолго до Ахмеса2 задачу вроде следующей:

Разделить 1000 рублей между тремя лицами А, В, С, так, чтобы В

получил в 1-раза больше А, С - ~ того, что А и В вместе и еще 40 руб.

Ход решения состоял в том, что последовательно предполагают, что А получает 100, 200, 300 р. и определяют, сколько получит В и С и, наконец, все вместе.

Первая идея, которая должна была прийти в голову, такова: в том случае, когда результат получается слишком большим, когда отклонение положительно, нужно брать следующее предположение меньше, в противном случае - больше; благодаря этой идее получаются все более узкие области пробуемых предположений.

Конечно, этот уже более совершенный способ основывается на признании, что результат d0 возрастает вместе с предположением х0. Но эта вера не только ие обоснована, но, в общем, и неверна.

Это один из законов, управляющих эволюцией идей: всякая исти-- на содержит заблуждение; необходимо всегда признать что-либо неправильное, чтобы продвинуться к правильному.

Такого же рода заблуждение является стимулом и дальнейшего продвижения.

Вторым заблуждением является признание двух величии х и у, единовременно возрастающих, пропорциональными.

Эта ошибка: в отождествлении монотонности с прямой или обратной пропорциональностью, вместе с тем - источник ошибок как ученических, так и тех, которые дает нам история математики. Но эта ошибка вызвала regula falsi-1, фальшивое правило в его простейшем виде.

270


Вне сомнения, простейшее фальшивое правило, применимое ко всем задачам, ие обосновывается, так как обосновать его, конечно, раньше не было возможности. Ошибка в отождествлении монотонности и пропорциональности не замечалась, так как в первых простейших задачах это действительно имеет место и применение правила было вполне законно.

Открытие regula falsi - бесспорно крупное открытие в младенческий период математики; оно дает возможность, так сказать, одним ударом превратить неправильное решение в правильное.

Если при взятом предположении х0 результат d0 вдвое менее данного d, то искомое х вдвое более х0; если

d0= 3d, то и х0= Зх и т.д.

Приведенная выше задача так решается по простому фальшивому правилу;

Отняв от 1000 р. - 40 р. (т.е. прибавку, полученную С сверх т час-ти А и В), т.е. взяв 960 руб., будем делить так, что В получит в 1раза

иилсс rv, v^ jut и,  i iv г\ н 13 BMecie.

Предположим, что А получит 4, тогда В - б, а С - 2; все вместе-12, вместо 960 р., т.е. ж 80 раз меньше. Отсюда дела-тся заключенив, что опта-

60ЧНЫЙ СЛ1 ИШ1

взяли слишком малое. Если возьмем в 80 раз больше, ,о В и С получат в 80 от? больше и мiMT. cvmmt будет в 80 гпз бол1 ше те 960 рублен

В елгсб.гшческой символикр 'прбоилш ™ б'уяет поелсгтлять ме тол решения уравнения первой степени

ax + bx + c(a'x + b'x) = d (I)

ОС» СООЛ Г-ТНРТГИЯ ГТЛЛЛ^НТ-ЛЧ' W JTPirflR A   злтрыиО   ПР1^РТР1Г  Л Tt И- V Tf'lTfnP    TTTtRvTIT   'lir'liTPTJTTP1 V ™ V    11 Г1Т7ПРГГР TTST-*

ется число d   которому D-ioeii яёчульттг полстпиошш в левую чп'сть уравне
ния Г П этого 'решения
v = x   тпкчто' ' '

х= -I °bx -Iчс(а'х + b'x) = d' (2)

х определяется по -Iiomivne'

x = xn d п\

do К }

которую нетрудно вывести из (1) и (2).

Для разобранного нами примера имеем уравнение:

х + —х-— х + -х   = 960

х0 полагается равным 4;

в "о

271


х= 4. 80 = 320.

Пропорция х : х0 = d : de является в глазах старых математиков чем-то самим по себе очевидным и не доказывается.

Но если бы пожелали ее строго доказать, то пришлось бы делать то, что мы избегаем с помощью этого метода, т.е. соединение подобных членов в уравнениях (1) и (2),

§2. Сложное фальшивое правило.

Если теперь вместо уравнения (1) взять:

е[ах + bx + g + с(а'х + b'x + h)] = d и соответствующие ему арифметические задачи, то и в этом случае делалось заключение:

d

do

если

е[ах + bx + g + с(а'х + b'x + h)] = d (4)

что давало, конечно, неправильный результат (если g + ch ^ 0   ) .

Уже в риторической алгебре арабов мы видим понимание неприменимости к этим случаям простого фальшивого правила (хотя не отмечается признак, позволяющий отделить первый случай от второго) и замену простого regula falsi сложным4. Здесь regula falsi уже не арифметический метод решения, а риторическая формула.

Берем формулировку Бэг-Эддина:

"За неизвестное бери произвольное и назови его первым предположением и вычисли с помощью его предложенную задачу, если совпадает, то это и есть решение.

Если отклонится в одну или другую сторону, то получишь первое отклонение.

Возьми другое число и назови его вторым предположением, если произойдет отклонение, то это будет второе отклонение.

Помножь первое предположение на второе отклонение, назови это первым результатом. Затем второе предположение на первое отклонение -вторым результатом. Если оба отклонения одновременно положительны или отрицательны, раздели разность обоих результатов на разность отклонений, если же они различны, раздели сумму результатов на сумму отклонений - частное будет искомое число".

Откуда

272


Хч5. -Xi5t
Х=   *8,-»*~ Р)

S| = d -d[, S2=d-d2 что, конечно, в символической алгебре не представляет затруднений доказать.

Еще в учебник XVIII столетия фальшивое правило входило в таком виде5.

Приведем пример из учебника Магницкого:

"Вопроси некто учителя своего глаголя: повеждь ми, колико има-ши учеников у себе во училище, понеже имам сына отдати во училище и хощу уведати о числе учеников твоих. Учитель лее отвещав рече ему: аще придет ми учеников толико же, елико имам, и полтолико, и четвертая часть, еще же и твой сын, и тогда будет у мене учеников 100".

Решение Магницкого:

Пусть учеников 24 - первое предположение:

24 + 24 + 12 + б + 1 = 67

ошибка 33.

Пусть учеников 32 - второе предположение:

32+32+16 + 8 + 1 = 89

ошибка 11.

24 х 11 =264 (первый результат)

32 х 33=1056 (второй результат).

По общему правилу решение равно

792

_ = 36 22

§ 3. Способ приближенного решеиия уравнений.

Regula falsi, бесспорно, родоначальник приближенных методов вычисления. Сущность простого фальшивого правила можно представить следующим образом: полагая в уравнении

А(х) = К (6)

х = х ; имеем о

А(*0) = К0 (6)„

Решение тогда определяем из пропорции

х _ К

Если нельзя у]сазать точное значение для х, естественно довольствоваться приблизительным, которое как можно меньше отличается от первого.

273


Такое неточное значение х находится примитивным способом проб, как это указано в § 1.

Предположим, что система операции А (х) разлагается на С (х) и D (х); уравнение (б) символически представляется в следующем виде:

[C(х), D(x)| = K (7)

Пусть все затруднение в D(x),

Задачу С(х) = К мы решили бы просто. (8)

Конечно, первое, что приходит на мысль, это просто отбросить D (х) и решать ур. (8).

Этот прием может дать приближенное решение, но как получить еще более точное?

Тут выступает благотворная идея.

При разыскании более точного значения х ие отбрасывать D (х), а производить эти операции над первым приближением х = а, т.е. решать уравнение

[C(x), D(a)] = K (9)

В этом и состоит выправление неточного решения в более точное х = Ь.

Следующий момент состоит в решении уравнения

[C(x),D(b)]=K (10)

и т.д.

И здесь метод обоснован верой в то (что в общем случае, конечно, неправильно), что ряд а, Ь, с... сходится к корню заданного уравнения (7).

В то время, как в первоначальном виде выправление ложного предложения на основании полученного при нем результата производилось до точного значения неизвестного, при переходе от точного решения уравнения к приближенному понятие о выправлении ложного предложения обратилось в полученное из этого ложного предложения другого, тоже ложного, но более, чем первое приближающегося к истинному.

Для решения уравнения Кеплера

х - esinx = и (И)

где u, е даны, причем е мало, берут х = и за первое предположение - первое q>y6oе приближение х0.

Выправление этого грубого приближения совершается с помощью уравнения

х-esinxо=и дающего тоже неточное, но, вообще, более полное, чем первое, приближение.

Эта же идея прилагается и Жерардом" к решешпо уравнения третьей степени

х3 - nvVx - mV = 0 (12)

к которому сводится всякое уравнение типа х3 - рх - q = О

274


Полагая sin2to =-г

приводим (12) к виду

sin2(B+2m = 2tg<D. Для получения последовательных приближений, берем со = х (при-ближ. полненного пробами).

Второе получаем из уравнения  sin2со + 2m = 2tga , третье из

sm2ro+2m = 2tgp\

В этом виде regiila falsi избегают даже в высших технических заведениях, вследствие невозможности строгого обоснования этого метода.

Конечно, это большая ошибка, ибо высшее техническое заведение должно обращать внимание на те отделы математики, в которых нуждаются технические науки, и лучше дать технику в руки плохо обоснованный метод решения трансцендентных уравнений, чем не дать ничего.

С развитием разложения в ряды как орудия исследования, regula falsi принимает такую форму: х = х0 - грубое приближение корня уравнения

f(x) = 0 (13)

так что точное значение будет:

х = х0 + h.

Уравнение (13) представляется в форме разложения ae+a,h + a,h4в     =е

К ЭТОАГУ-ТО УРИВНеНИЮ II +римен..тся Tel ОПбДОЩНЯ   которую мы

прилагаем к урувнению Кеплера, т.е. отбрасывание члрнцвя

и отменяется пепвпетмбтгжет.ё
1 рос   р ил

h   - _ а0

'"   "а7"

Полагая

x = Xe + h|+h' = x]+h', мы аналогично определяем =равнение для It-; с помощью его приближаемого значения, получаемого отбрасывание1 членов a' h'2 + ..., выправляем х, до более точного значения х,+ h', и т.д.

Формула Тейлора дает возможность написать для h, h\ h", так вказатх, готовые формулы и установить так называемый метод Ньютона приближенного опреТеления корней уравнения.

S 4 Repula infusa а япшЬметике $ 4. Kcguiо wjusa   арифметике.

В чем состоит трудность чисто арифметического решения задач/

275


Конечно, в наглядно-риторическом истолковании дистрибутивных операций, выраженных формулой:

(а+Ь)с = ас + be если а, в, с целые числа, то это не представляет затруднений.

Легко убедить, что если

5 мужчин получает в день по 2 р.

7 женщин получат в день по 2 р.,

то рассчитать всю полученную ими сумму можно двояко; сперва рассчитывая сумму, полученную мужчинами, 2 р, • 5 = 10 р., затем женщинами 2 р. • 7 = 14 р. или же, соединив всех, брать 2 р. • 12 = 24 р.

Но возьмем задачу: мальчик получил от отца на расходы в начале недели некоторую сумму денег и в продолжение недели истратил 2 рубля. На одну треть оставшейся у него части и на подарок 50 к. от дяди в конце месяца он купил воздушный змей за 1 р. 50 к.

Сколько он получил денег от отца?

Уравнение, разрешающее вопрос:

!(x-2)+I=i!

Решение его

3       3    2    2

и т.д.

Но эта операция арифметически не истолковывается, так как2/3 руб. не имеют конкретного смысла.

Нетрздно видеть, каким образом мы должны построить решение этой задачи, совершенно не соответствующее обычному методу решения уравнений первой степени.

Мы должны идти по тому пути, который соответствует решению уравнения 1-й степени в арабской алгебре в позднейших стадиях ее развития, названному Абрахамом Эзра7 Regula infiisa, иначе - методом подстановки.

Уравнение:

- х--х-4  =20.

('-Н-Й'-Н

 (20)

Эзра решает (если ввести современный символический язык алгебры), полагая

X -

--4 = y, (21)

276

что приводит уравнение (21) к более простому:


y—= 2 20, (22)

4

которое уже не трудно разрешить.

В приведенной нами задаче за неизвестное следует принять не сумму, полученную мальчиком от отца, а то, что у него осталось после траты 2

рублей; - этой суммы равна 1- рубля без дядиных - р., т.е. 1 рублю.

Значит, это новое искомое равно 3 р., а первоначальное поэтому=5 р.

Я укажу на одну очень интересную и в методическом отношении нелегкую задачу:

У двух мальчиков, Ивана и Петра, имеются орехи. Если Петр даст Ивану один орех, у них оказывается поровну. Если же Иван даст Петру один орех, у Петра оказывается вдвое больше, чем у Ивана,

Здесь путь решения идет, конечно, через regiila iiifusa. За неизвестное следует принимать не число орехов у Петра, а то число, которое будет иметь Иван, когда у него отнимут один орех, или Петр, когда отнимут у него три.

§ 5. Генезис и основная идея regain infusa,

Я нарочно начинаю с рассмотрения методического значения regiila infusa, чтобы подчеркнуть, что в то время, как regiila falsi имело огромное значение в истории необоснованных, чисто -Автоматических решений, regula infusa имело значение в построении обоснованных решений.

Идея состоит в том, что задачи решаются в два или более, чем два, приема. Вместо того, чтобы определить х, мы определяем у, хорошо сознавая, что узнав у, узнаем та юте и х.

Мы хорошо знаем, что ученик всегда за х принимает то, о чем спрашивают, между тем как во многих задачах следует принимать за неизвестное нечто иное и, уже найди последнее искомое, найдем ответ на вопрос.

Эта идея покажется нам и проще и менее значительной, чем та, что лежит в основе regiila falsi.

Но если вникнуть глубже, то будет видно, что она определяет уже более высокое математическое развитие и уже в силу этого должна была явиться позже.

Мыслить единым то, что является в многообразии, всегда представляет затруднения.

Учитель хорошо знает затруднения, которые встречаются при применении формулы;

а- - b2 = (а - b) (а + Ь) (а + Ь)" = а2 + 2ab + Ьг

к выражениям

277


4x2y2-81z4 |2хУ + 5xyT и т.д.

Вот уравнения, решение которых представляет методический интерес (в каковой форме прилагается regula infiisa, предоставляем продумать читателю):

  1.  2,1345 (х - 0,5678) + 1,3356 = 7,7391.
  2.  3(х + у + 0,689) + 2(х - у - 0,689) - 14. х + у=3,311.
  3.  5,()7833(0,5б89бх + 2) + 4,72167(0,56896х + 3) * 20. Здесь следует положить

0,56896 x + h = y

и искать h так, чтобы исчез свободный член.

S 6. Диофант8.

Дальнейшая стадия развития regiila uifusa состоит в том, что задача об определении с сводятся к задаче об определении у из задачи, УСЛОВИЯ котоб пой подбирахтся ттк ято эта последняя залчча оазоешчется и iron этом простейшим образом.'

Эта идея и лежит в основе диофантовых методов

У Лио(1)'штт тшгае нет пгюблемы кототя вьтчжалась бы в нашей

СИМ ВПТПТКЁ VniRIIPRITilMIT'

' a^ + hx-c

"   и Т.Д.

Некоторые историки математики предполагают, что та часть со-чинения ЛиосЬаета в котопой излагай* оешение квадоатногч уоавне-чин, до нас не дошла. Но едва ли это так, ибо иначе там, где Диофант нмеет оело с квадратным упавнением он деиал бы ссылки нч утерянную часть сочинсния. Читая соответствующие места бы получаем скорее впс~ чатление того, что Диофант не сознает ето некоторый класс сассматррГчаемых ем ппоблсм сводитсн е олнот , той же проблеме решения апа л*~ ратного урмвнения.

Во всех весьма многочисленных проблемах сводящихся как к оп-педеленныв так и нроппс^п*псиным уптвнсшгяат ТГ,гнЬпнт тттмг^нчет толь~ го следующит путин

П В системе

fly   V   у     ,=(1

1( (Л , у, •£.-.)      U

g(x, у, Z...) = ()

278


подобрать для х, у, z ... такие выражения

чтобы удовлетворились все уравнения, кроме последнего, а последнее свелось бы к уравнению первой степени

M^+N = PS  +Q. (23)

2) Тем же путем, той же заменой или заменой

x = а£1+Ь, y = c52+d,  z = e$2+f З'довлетворить все уравнения, кроме последнего, приведя последнее к уравнению высшего порядка, но такого, которое по сокращении на

^2 сводилось бы или к уравнению первой степени, или к уравнению:

Mt;+N = l^2-|-Q (24)

До 29-й задачи I книги мы имеем только системы уравнений первого порядка.

Система задачи 29-й;

<iх = у2    Ьх = у

приводится к уравнению

ах = ЬУ сокращение которого на х (гипобибазм) дает уравнение первой степени.

30-я задача:

х + у = а, ху = Ь, т.е. задача об определении чисел по сумме и произведению решается так для случая системы избранных Диофантом числовых значений:

х + у = 20, ху = 96

Принимается разность х-у за 2%,

тогда полуразность равна \,

Но полусумма = 10 вместе с полуразностыо % составляет большее

число, так что большее число есть Е, +10.

Полусумма без полуразности - это меньшее число, так что оно равно 10-£ , затем на основании тождества:

(a'-b2) = (а + Ь)(а-Ь), известного Диофанту, произведение их равно

100-I2,

так что

ЮО - £2 = 96,

откуда

279


42 = 4 и 4 = 2.

§ 7. Генезис чирпгаузеповского преобразования.

Совершенно иначе обстоит дело у индусских математиков: мы здесь имеем и совершенно определенное правило, определяющее рад формальных операций над уравнением, и окончательную формулу для корня уравнения

ах2 + Ьх = с в риторической форме. Правило Кридхара:

"Следует умножить на 4 раза число квадратов оба члена и прибавить квадрат числа неизвестных", т.е. от

ах2 + Ьх = с

следует перейти к...

4aV + 4abx = 4ас,

а отсюда к

4a2х2 + 4abx + Ь2 = Ь2 + 4ас,

дающему

(2ax + b)22 +4ас

2ах + b = Vb2+4ас

Конечно, и здесь осуществляется идея regula infusa, но в простейшей форме; подстановка дается в полной определенности. Дальнейшее развитие должно пойти по тому пути, который указывается методами Диофанта, в которых дается лишь форма подстановки, значения лее параметров подбираются надлежащим образом.

Мы предлагаем наши обычные методы (индусского и арабского происхождения) Виэты сравнить с методом Диофанта, который, полагая в уравнении

ах2 + Ьх +■ с = О х = у + т, приводит его подлежащим подбором к чистому уравнению

ay2 +fj = 0

Это, конечно, начало чирнгаузеновского преобразования. От

х = ш + у естественно переход к

х2 = nix + п + у (25)

nix2 + их + h + у (26)

'3   -.

х'

Чирнгаузеи' решает уравнение третьей степени

х3 + ах2 + bx + с = 0, (27)

свода его с помощью (25) к уравнению

y3+Py2 + Qy + R = 0: (28)

280


m, и определяются из уравнен™ Р = О, Q = О (первой и второй степени), так что (28) сводится к двухчленному уравнению

y3 + R=0.

Д. Генезис современного числа. (ХПТ век).

§1. Количество у Аристотеля и у схоластиков.

Аристотель в своих "Категориях" отмечает три свойства количества10. Первое: количество не имеет себе противного. Второе: количество не принимает больше или меньше1 >. Это последнее утверждение может родить большие недоразумения. Здесь как будто утверждается нечто совершенно нелепое: невозможность прямой площади, объему быть больше другой такой же величины. Но Аристотель хочет сказать только следующее: эти прямые не могут быть больше прямой, чем та, эта площадь больше площадью, чем та. Будет ли площадь содержать 1000 кв. метров или 0,001 кв. метров, все равно она будет оставаться площадью. Нельзя сказать "haec linea est inagis linea qnam ilia" (эта линия больше линии, чем другая), но молено асазать "possit esse niaior ilia" (может быть больше той). Это, разъясняет Аристотель, имеет место, когда одно количество в различных частях распространяется больше или меньше.

Понимание Аристотеля здесь затруднительно вследствие того, что понятие, означенное русским словом количество11, не вполне отвечает аристотелевской категории.

Мы говорим о количестве часто в смысле числа, между тем, по Аристотелю, количество является тем, к чему прилагается число или, вер-не, величина.

В каждой вещи есть качественное содержание и величина. А и В только тогда можно отнести к одному роду количества, если это качественное содержание у них одинаково, если иет ничего в А больше, чем в В.

Третье свойство- это равенство и неравенство13, существующее между двумя количествами. При этом Аристотель приводит различие равенства и неравенства в массе и совершенстве. . Так как сами категории являются совершенно неопределенными, то проблема о сущности количеств, по мнению схоластиков, должна пониматься как проблема о разыскании только характернооо признака количеств. Указанные Аристотелем признаки, может быть, во всей совокупности и охарактеризовывают количество, но в отдельности они таковы, что каждое относится ие к одному, а к нескольким категориям.

Схоластическая" мысль здесь далеко шагает за границы чисто аристотелевских воззрений. Как и в других случаях, скоттическая'6 точка зрения прогрессивна, томистическая17 - консервативна. Последняя старает-

281


ся путем компромиссов закрепить старые теории и, с одной стороны, стоит ближе к старому аристотелевскому мировоззрению, с другой стороны, к далеко грядущему XVII веку рационализма18.

Сущность количества по Фоме Аквинскому состоит в распространении частей в порядке друг относительно друга". Порядок частей характеризует количество. Это первое, что воспринимается в количестве, корень всех его свойств. Отсюда вытекает и его делимость, и его протяжи-мость, и проницаемост,, благодаря чему оно способно быть изменено. Говоря современным языком, Фома стоит за приоритет ординального, а не кардинального числа.

Отсюда в дальнейшем должен быть сделан вывод о существовании неделимых количеств, ибо делимость вовсе ие первичное, а только вторичное производное свойство количества. Идею актуально бесконечно малого как неделимости, идею Кеплера20 и Кавальери21 порождает направление именно Фомы, а не Скотта, которое можно назвать функциональным, в котором можно усмотреть эмбрионы идей переменного, предела и т.д., которое безграничную делимость материи полагает не только в нашем уме, но еще как бы частично объективирует, помещая ее в особой промежуточной плоскости существования, отмечаемой скоттистами термином "formaliler ex natura rei" (формально по природе вещи)22.

Но томистическое количество уже не совпадает с античным, чисто пространственыым. Уже ко времени Фомы схоластическая мысль в большей мере произвела абстрагирование, эмансипацию от пространственных пут2-1. Согласно томистическому воззрению, геометрические объекты определяются по характеру связей между частями. Линия - не длина без ширины и глубины24. как этого желает Евклид, а количество, распространенное в длину, части которого связуются обеими точками25. Фомой смутно сознается, что в линии более существенным, чем ее длина, являются те свойства, которые определяются аксиомами порядка, относящимися к ее точкам. Поверхность - не величина, имеющая длину и ширину без глубины26 . а количество, распространенное в длин)' и ширину, части которого связуются линиями. Тело - не величина, имеющая длину, ширину и глубину27 , а количество, распространенное в длину, ширину и глубину, части которого соединяются поверхностями,

§ 2. Делимость и измерлемость количества.

Другие схоластики28 выдвигают именно делимость29, как характерное свойство количества. Спор о том, представляет ли делимость сущность или, точнее, по схоластической терминологии, формальное понятие количества, особенно ярко выявляет способность схоластической мысли к тонкому различению понятий.

282


Одно из возражений состоит в том, что деление является чем-то относительным, что оно мыслится, как отделение одного от другого и абсолютная категория ни в коем случае не может характеризоваться таким относительным признаком.

В определении Фомы, порядок является тоже относительным понятием, нотам он выставляется только как признак, характеризующий распространенность.

Разбор возражений ведет к различению деления в этом относительном смысле, т.е. в смысле отделения отделения в смысле дробления целого на части. Схоластический анализ разлагает деление на два акта: первый определяет границы частей, и разделенный этим первым актом отрезок мыслится как ограниченный двумя точками, с точками между ними, Второй акт раздробляет целое на однородные части, он дает вместо данного отрезка совокупность уже разделенных- аналогичных отрезков. Конечно, такое различение вполне правильно. Будем делить отрезок на части 1/2, 1/4, 1/8... Каждая часть у нас отделится от целого после конечного числа операций, но вся совокупность операций, ведущих к раздроблению, будет бесконечна.

В этом интересном возражении отмечается, что если бы делимость*" была сущностью количества, то во всяком количестве оно было бы или только в потенции, т.е. способностью к делению, или только актом, т.е. прозводимым или произведенным делением, между тем как в непрерывном мы имеем первое, возможность деления, а в числе второе, [акт деления], так как число в мысли является уже разделенным на единицы.

В высокой степени интересны аргументы в пользу измеряемости* как характерного признака. Измерение мыслится как операция последовательного прибавления частей до получения полного целого или последовательного вычитания их из того, частью чего является данное.

Этой операции можно противопоставить операцию получения совокупности уже разделенных частей для получения данного.

Если первой операции соответствует суммирование сходящихся рядов, и она может быть поставлена в основе архимедова метода32 определения площади параболы* , если этот метод исследования переработать в современную теорию пределов, то второй отвечает точке зрения исчисления бесконечно малых, смотрящей на конечную величину, как на сумму (или вернее предел суммы) бесконечно малых, т.е. точке зрения Кеплера и Кавальери,

Утверждение, что измеряемость является характерным признаком количества, сводится к тому, что количество постигается только сравнением с единицей, предполагающим ряд операций, приводящих от этой единицы к целому.

283


Защитники этой точки зрения указывают в свою пользу на то, что только измерением различается место34 от занимающей это место поверхности, а именно: первое измеряется изнутри, второе извне, т.е. первое получается прибавлением, второе вычитанием.

В возражениях на эти взгляды смутно выступает переменное количество как количество остающееся, несмотря на то, что оно теряет свою измеряемость; таким переменным является в этих возражениях бесконечно продолжаемая прямая.

§ 3. Виды количества.

Другая важная схоластическая проблема, ведущая в том же направлении абстрагирования числа, это проблема о видах количества.

Аристотель различает величины, составленные из частей, имеющих взаимное расположение, от величины из частей без взаимного расположения35 .

К первым он относит линии, поверхности тела, а ко второму число, время и слово. Такое деление совпадает с делением на пространственные и непространственные.

Но эта классификация отнюдь не совпадает с другой, в которой количество делится на непрерывные и дискретные (coiuimia, discreia).

Чистой непрерывной непространственной величины у Аристотеля нет35. Ее нет и у Фомы.

Третье аристотелевское деление - на остающиеся (permanens) и последовательные5' (sucsesiva).

Первое то, части которого существуют в одно и толсе время, как, например, прямая лиши, второе - части которого полагаются в постоянном течении как время.

В первой аристотелевской классификации усматривается очень ранний эмбрион абстрактных величин, противопоставляемых геометрическим.

К первому роду сам Аристотель может отнести только целое число, но в будущем этот род пополняется числами дробными, рациональными и, наконец, иррациональными.

Во второй классификации непрерывная геометрическая величина противополагается прерывному целому числу. В далеком будущем ариф-метизацня математики разрушает эту перегородку, устанавливая непрерывность чисел.

Наконец, третья классификация дает источник идеи, противополагающей постоянное переменному.

Время в раннем периоде развития математического анализа является первым независимым переменным (напр. у Ньютона))8.

284


Но только, конечно, комментирующие Аристотеля схоластики мыслят последовательную величину в пашем смысле переменной.

Здесь мыслится только способ образования постоянного, образование определенного промежутка времени путем последовательного наложения составляющих его частей: а(, а,, аг..ап, но не мыслится еще [величина], последовательно проходящяя через свои значения.

У Аристотеля, как и в его учении о субстанции", [в учении о количестве наряду] с полноправными величинами выступают еще и неполноправные, дающие богатую пищу для схоластических размышлений.

Наряду с собственно-количеством Аристотель указывает то, что может быть признано таковым только по случайности (per accidens)*1.

Белое не цэедставляет в собственном смысле количества: большая или меньшая белизна определяется только большей или меньшей поверхностью.

Тщательный анализ Фомы Аквииского приводит его к признанию только трех непрерывных собственно-количеств, причем все три являются пространственными: линия, поверхность, тело4'.

Время12 само по себе не является распространенным, Распространенным является только движение. Продолжение во времени распространено в частях только в смысле продолжающейся и в своем бытии пребывающей вещи.

Но и само движение13 Фомой ие признается в собственном смысле количеством. Спор о правах времени: в корне спор между зарождающимся [мировоззрением] функциональным и мировоззрением окристаллизован-ной величины.

Почему же время не признается полноправным количеством?

Оно пеполносуицее (Ens incomplet) как и движение, которое измеряет, которое является только стремлением к конечному члену. Здесь схо-листическое incompletus'1 скользит около идеи переменного.

§ 4, Единица и единство.

История числа - это вместе с тем и история единицы и нуля, постепенное завоевание этими арифметическими пасынками прав гражданства.

Евклид-в VO книге45 "Начал" говорит: "единица есть то, в рассуждении чего вещь называется единой", а число - "собрание единиц". Здесь единица еще не число, а само число только собрание единиц:66 Для того, чтобы число подверглось дальнейшей эволюции, чтобы оно стало дробью, а дробь превратилась в число иррациональное, необходимо, чтобы оно подверглось реализации, чтобы было признано сперва в реалистическом47, затем в концептуалистическом** смысле самостоятельное его существование, для чего в числе необходимо было найти нечто, не заключающееся в его единицах. В собрании предметы объединяются, собрание является

285


единством предметов, но вне сомнения существуют единства, различающиеся более или менее тесным сплочением объединенных единиц, и различные роды единств имеют различные права на существование.

Сам Аристотель различает два рода единств" : одно через себя (unuin per se), другое случайное (per accidens). Тело человеческое является таким uiium per se в силу связности его членов.

Другим основанием является родовое отношение. Индивидуум или вид, принадлежащие к одному роду, образуют тогда тоже единство первого рода. Такое же единство дает неделимое, образующее единицу, производящую число.

Здесь следует отметишь, что Аристотель, как и в других случаях, не отказывает, что перечисленные им типы единственны,, он никогда не стремится к построению системы, но пользуется методом умозрительно-наблюдательным30 ,

Каким же единством в глазах Аристотеля является число?

Несмотря на все старания схоластиков-реалистов выставить авторитет Аристотеля на своей стороне, Аристотель здесь должен быть при-знан номиналистом.

Число, как собрание единиц, должно быть признано акцидеици-альным единством, а такое единство не обладает реальным существованием, оно не находится вне нашего разума.

Другие более определенно высказывают чисто номиналистическое воззрение на число, по которому число будет единством per accidens и представляет лишь вещь разума (ens rationis).

Реалисты опровергают это мнение указанием на то, что семь планет остаются семью планетами, хотя бы никто о них и ие думал; что сказать: "вещей много" и тагам образом утверждать их численно - это значит признать их различными - но такими они тогда признаются и вне нашего разума; наконец, что считать - это значит не делать число, а только определять, каково оно.

§ 5. Абстрактнее и конкретное число.

Проблема о существовании числа вполне аналогична проблеме об универсалиях, и она получает в схоластике решение, примиряющее враждующие стороны (хотя число вовсе не фигурирует как универсалия). Но самого Аристотеля интересовала проблема, совершенно не входящая в область схоластических исследований: "могут ли числа быть признаны идеями"5'.

Могут ли они быть отнесены к умопостигаемому платоновскому миру, представившему по существу переработку философской мыслью политеистического мира богов, отвергаемого христианством?

Чисто платоновское мировоззрение отличается от платоновско-пи-фагорейского именно тем, что идеи пополняются в последнем числами. По

286


словам Аристотеля, пифагорейцы мыслили числа пространственно. Числа платоно-пифагорейские, так называемые идеальные числа, отличаются от математических, для античных мыслителей всегда конкретных, как идея отличается от ее отображения в мире материи; но вместе с тем они отличаются и от абстрактных чисел, совершенно чуждых античной мысли, совершенно так же, как идеи Платона отличаются от схоластических универсал™.

Аристотелевское опровержение реального существования таких идеальных чисел52 основывается на том, что в мире идей каждая единица должна быть индивидуализирована, в мире идей единицы поэтому не могут быть однородны, но каждая должна быть образцом как идея, а при таком положении не может уже образоваться число. Вследствие того же число приходится спустить вниз, оно может быть только конкретным числом.

И не идеальное число Платона, а это конкретное число Аристотеля, состоящее, по его словам, из смешиваемых и однородных, но обязательно конкретных единиц, эволюционирует в схоластической мысли в абстрактное число, состоящее тоже из смешиваемых и однородных, но уже абстрактных единиц.

Еще Альберт Великий33 раздваивает число, отделяя формальное, акциденциалыюе от абстрактного, из которых первое, приложенное к вещам, остается в них, а последнее переводится в душу.

Если мы имеем пять вещей, то число три, приложенное к трем вещам, обязательно должно рассматриваться, как часть пяти, между тем, как абстрактное число, ему соответствующее, должно рассматриваться вполне самостоятельно, а ие как часть объемлющего его числа.

Так как вещей может быть не пять, а семь, девять и т.д., то возникает странная мысль рассматривать приложенное число всегда как часть восходящего над ним числа, и наконец, наибольшего конкретного числа, которое утверждается с отрицанием, согласно Аристотелю, актуально-бесконечного.

Здесь схоластическая мысль приближается к точке зрения современных логиков, определяющих конечное число бесконечным" .

Но бесспорно, что это половинчатое признание реального числа, т.е. признание реальности приложенного, по нашей терминологии, конкретного числа, не устраняет всех затруднений. Как только что указано, с признанием реальности только приложенных чисел ставится высшая граница для реальных чисел.

Но вместе с тем открывается и брешь в другом месте, через которую входит отвергаемая Аристотелем бесконечность.

Получается актуальная бесконечность пар, троек, четверок. Если существует пара камней и пара людей, то есть и пары пар и т.д. до бесконечности.

287


Один выход из этого затруднения - признать реальность абстрактного числа, признать то, что одно и то же "два" заключается и в паре камней, и в паре людей и, наконец, в паре пар.

Но некоторые схоластики находят другую лазейку: пара разнородных пар уже не признается парой, для такой пары не усматривается числового единства, за ней признается только единство трансцендентное* .

Точно таким же образом разрешается вопрос и о рефлективности36 числа, чуждой реальным вещам.

Свойство это состоит в том, что операция, произведение которой над элементами а, Ь, с... дает А, В, С..., будучи приложено к А, В, С^дает А,, В,, С,... той же совокупности.

Здесь схоластическая мысль проходит около современной идеи группы* : группой, относящейся к операции П, в современном смысле называется такая совокупность объектов, что операция £1, произведенная над несколькими из них, дает объект той же совокупности.

Нет белизны белизны, но пара пар, такое же число, как и просто пара. Это, конечно, верно для абстрактных чисел. Но для чисел приложенных это неверно, и приходится возражать, что две пары уже не число, а только множество, связанное не числовым, а только трансцендентным единством,

§ 6. Реальность числа.

Схоластический спор о реальности числа дает начало арифметизации математики.

За непрерывным количеством, всегда понимаемым пространственно, признается безусловная реальность, и судьба дискретного числа тогда ставится в зависимость от решения вопроса, представляет ли число вид количества*.

Если за существенный признак количества признать вслед за Фомой Аквинским упорядоченную распространенность частей, то такой признак будет принадлежать как непрерывному, так и дискретному количеству, видовое различие для первого будет состоять в связности частей, согласно аристотелевскому определению непрерывности, для второго же в раздельности их.

Но на это возражают: распространенность в частях числа не простая, как это должно быть. Части числа - это единицы, из которых число состоит. Эти единицы не только части целого; они обладают не только свойствами целого, как, например, части площади, но содержат больше, чем целое, это сущности, заполняемые некоторым содержанием.

Это возражение в свою очередь отбивается указанием возможности двух точек зрения на единицы, образующее число: их можно рассматривать как полные и цельные объекты и как неполные, абстрагированные

288


от всех свойств, содержащихся в целом. Эта последняя точка зрения и имеет место при образовании чисел.

Как ни стараются полностью использовать аристотелевский авторитет для укрепления своей позиции, Аристотель очень туго поддается их комментированию, ибо он остается античным мыслителем, чуждым всякой арифметизации.

Для него число, как он сам резко выражается, не единое, а куча59.

Это только схоластическая мысль настаивает на необходимости этого цемента, склеивающего разрозненные многие, и проектирует его в реальный мир. Фома подчеркивает, что двойственность это не две единицы, ибо в противном случае нечто, составленное из двух единиц, иначе, число два не было бы сущностью самой по себе и истинной, а только случайной, как то, что накапливается.

В числе имеет место то, чего нет в куче, которая едина случайно, но есть в человеке, единство которого [скрепляет] его душа.

Проблема о реальности числа претворяется таким образом в проблему о реальности единств совокупностей предметов и тождества этих единств совокупностям.

Проблема о числе приводит схоластику к ее старой проблеме, -проблеме Росцелина» о различении целого и частей, объединяемых этим целым.

Соединение в сложном в действительности ли различно от его частей? (An unio in composite sit realiter distincta ab extremis'/)*1

Соединение элементов в целом не только ли мыслится, как единое целое, а в действительности в этом соединении элементы остаются такими же внешними друг к другу, как это имеет место до их соединения*1 7 Аргументация против: все признаки реального различения присущи частям. Они раздельны: одна погибает при сохранении другой. Если части отличаются от целого, которое наряду с частями обладает реальным существованием, то адекватно или неадекватно? Первое невозможно, т.е. невозможно отличие адекватное полное, так калс части входят в целое. Второе невозможно, ибо деление было бы тогда неполным, целое делилось бы не только на то, что мы принимаем за части.

Другая аргументация: если кроме частей (а, Ь) еще имеем и некоторую форму целостности с, прибавление которой к а и b дает целое, то все три элемента (а,Ь,с) требуют еще новой формы целостности d и таким образом открывается невозможный бесконечный процесс.

§ 7. Схоластическое кардинальное и ординальное число.

Здесь скоттическое мировоззрение реализует то, что томисты относят к разуму. Соединение формы и материи не есть только форма и материя, разделение их уничтожает нe каждую из них, а их соединение. Вместе -

289


simul63 - это, так сказать, тот цемент, который склеивает разнородные элементы и обладает тоже реальностью, хотя, может быть, в меньшей степени, чем склеиваемые им элементы.

Но именно такой цемент и отвергается томистами. Соединение формы и материала - это только материал и форма, и ничего более. Связь идет от самой материи, вовсе не индифферентной к форме, но только благодаря этой форме и существующей, причем, отвечающей вполне определенной форме.

Соединение материала и формы объясняется действием объединяющих факторов: активного - со стороны агента, производящего этот факт, и пассивного - со стороны материи*, которая представляет расположение (appetilus) материи.

В этих исследованиях схоластика углубляется в анализ различных объединенных совокупностей соответственно различию числового и трансцендентного единства, она различает трансцендентное и числовое множество, первое - просто множество, второе - число.

Нельзя сказать, что схоластические понятия числа и множества вполне отвечают современным.

Если отбросить особью по своим свойствам трансфинитные61 числа, то характерный для чисел признак конечности оказывается не присущим множеству; более того, рассматриваемые современной математикой множества - именно бесконечные множества*'.

Схоластическое множество (multiUido)47 тоже может быть бесконечным (хотя потенциально), число же всегда конечно. Но различие между множеством и числом в том, что первое является родом, второе видом и ниже его.

Видовая разность не в способе образования совокупности элементов, чем определяются современные множества, а в характере самих элементов. Схоластическое множество относится к неоднородным элементам, а число к-однородным.

Так как схоластика реальным признает только конкретное число, по схоластической терминологии - приложенное, то число может быть в пяти человеках, в шести камнях, в семи звездах и т.д. Но два человека вместе с двумя камнями образуют только множество с трансцендентным, а не числовым единством. Отметим, что кроме однородности единиц, большинство схоластиков выставляет еще другое условие - материальность составляющих число единиц.

В схоластике мы видим также борьбу количественной и порядковой точек зрения на число, но теории, защищающие первую точку зрения, далеко не соответствуют современной количественной теории чисел.

Некоторые схоластики, но не все, мысля сущность числа с помощью обычной аристотелево-схолястической схемы (форма - материя), ищут форму чисел®, т.е. то, что дает ему актуальное существование, мысля вме-

290


сте с тем и потенциальное, незаконченное бытие числа, вроде бытия материи, не наделенной формой. По мнению одних эта форма дается тем, что все определяемые числом вещи мыслятся соединенно в одном континууме69 . Пять камней потому, или с того момента, пять, как мыслятся составляющими как бы один непрерывный камень, разделенный на части. Это, конечно, количественная точка зрения. Число мыслится здесь вне порядка составляющих его элементов. Но в то время как современная количественная теория чисел вдет от дискретного множества к континууму, здесь путь как раз обратный: континуум кладется в основу дискретной величины, которая рассматривается как нечто производное, как соединение дискретной материи с непрерывной формой.

По мнению же других, формой числа является последняя единица™ . Число завершается тогда, когда кончается счет, который кончается этой последней единицей.

Это, конечно, порядковая точка зрения.

Против первой, т.е. количественной точки зрения, приводится явная противоположность дискретного и непрерывного, при которой второе ни в коем случае не может служить-формой первого.

Указывается также т потенциальность такой непрерывности, ибо ее в действительности нет, так как камни все-таки остаются разделенными и непрерывность возникает только при действительном их сплавлении.

Против второй точки зрения выдвигается независимость числа от порядка элементов (а, Ь, с, d); ведь такое же число составляют (а, Ь, с, d), (d, a, b, с) и т.д.; указывается также; что формой числа не может явиться последняя единица вследствие того, что первое и последнее только в уме, что вне его -только их расположение. В числе нет последней единицы. Нет ее ни во времени, ни в природе, ни в смысле конечной цели, пи по достоинству.

Последнюю единицу можно сравнить только с крышей дома, которую ни в коем случае нельзя признать за ее форму.

Отметим, что первый взгляд отвечает возражению на измерение как на сущность количеств, второе же -томистическому взгляду, берущему на место измерения распорядок. Согласно первому, число обнаруживается измерением единиц, согласно второму - расположением частей, причем в обоих случаях схоластика не может освободиться от пространственного мышления.

Первый взгляд ближе к Аристотелю, который определяет число как множество, измеренное единицей11. Единица здесь является мерой и, как уже выше заметили, ни в коем случае ие телом.

Отсюда вытекает, что множества различных родов различны; что для Аристотеля, как уже было отмечено, существуют только конкретные числа: пять камней - другое число, чем пять человек.

291


Ординальная точка зрения здесь, конечно, шагает вперед в направлении к абстрактным числам.

§8. Метафизика нуля.

Эмбриональная жизнь математического нуля наблюдается в схоластических исследованиях о творении. Античная аксиома Анаксагора72 "из ничего не происходит ничего"73 отвергает превращение нуля во что-иибудь,-включение его в ряд чисел. Схоластики, конечно, в целях защиты основных христианских догматов должны выступить во всеоружии против этой языческой аксиомы, отвергающей возможность божественного творения из ничего.

Сперва средневековая мысль старается обойти это положение, устанавливая творения без нарушения этой аксиомы, которой дается объяснение не в смысле отвергают творчества, а в смысле лишь невозможности перехода ничто во что-нибудь.

Так, по св. Ансельму74, при творении ничто не переходит в что-нибудь, а сперва - ничто, а затем соз^ется что-нибудь.

Но этим средневековая мысль не удовлетворяется. Она постоянно возвращается к гнетущей ее идее - предваряющей божественное творение материи. То, что становится, должно быть раньше возможным. Но истинно возможным является только чистая потенция, т.е. материя.

Фоме Аквинскому75 приходит мысль заменить в настоящем случае аристотелевскую метафизическую возможность - абстрактной, чисто логической.

Только то, что совершается естественными силами, сперва фигурирует в виде такой метафизической возможности, но то, что происходит сверхъестественно, что приводится к бытию только одной силой и называется возможным только поскольку может быть представляемо.

Из этих метафизических размышлений выходит ничто, как возможность чего-либо, родится взгляд на нуль, как на член ряда, к которому принадлежат натуральные числа: I, 2, 3, 4, 5...

Только в этом потенциальном существовании получается разрешение того противоречия, которое отмечается еще Фредегеииусом в форме, которая может показаться на первый взгляд нелепой. Если "всякое конечное имя что-нибудь обозначает, как человек, камень, дерево, то и ничто что-нибудь обозначает. Таким образом ничто только тогда может мыслиться, когда оно уже есть что-нибудь".

Нуль, таким образом, это только возможность, но реализующая абстракции средневековая мысль поднимает эту возможность высоко над плоскостью чисто логического бытия.

292


Другие средневековые возражения против творения являются метафизическими представителями следующих математических возражений против признания нуля числом:

  1.  не существует такого числа, от прибавления которого к А получалось бы А, но таков нуль (А+0=А), поэтому нуль ие число;
  2.  в области непрерывных количеств: нуль ведет к признанию некоторой величины, непосредственно стоящей за нулем, так как возрастание с нуля дает противоречие: нуль является тогда - и ничем и уже чем-то - отрицанием количества и его началом.

Первое метафизическое возражение против творения76: если что-нибудь становится чем-нибудь, например, белый человек становится черным, то что-нибудь в нем бывшее должно оставаться. Если признать, что из ничего становится что-нибудь, ничего или часть "ничто" должно остаться в чем-нибудь, так что последнее затем является и чем-нибудь и ничем.

Схоластика углубляется в тонкое различие творчества и рождения (Creatio, generatio)77. Творение - это производство из ничего, а рождение - из чего-нибудь. Рождение - это выведение формы из потенции материи, и материя должна некоторым образом измениться, чтобы восприять всю сущность формы.

В позднейшую эпоху схоластическая мысль приходит к учению о четырех моментах7": primuro esse et primum non esse, ultimum esse et: ultimum поп esse -это метафизические предки числителей и знаменателей ньютоновских первых и последних частных. Primum esse (первое бытие) - это положительный момент, внутренний, в котором вещь есть и только что ее не было; ultimum non esse (последнее небытие) - внешний отрицательный, в котором вещи нет и тотчас после этого будет, ultimum esse (последнее бытие), в котором вещь есть, тотчас после этого ее нет, primum поп esse (первое небытие) вещь не есть, а тотчас была.

§ 9. Метафизика отрицательного.

Посмотрим еще, каким образом схоластическая мысль заходит за нуль, т.е. в область отрицательных величин.

Вспомним, что античная мысль по преимуществу дуалистичиа, в то время как современная монистична. Все античные мыслители79 выставляют принципами вещей противоположности. Даже элеаты, объявляя все единым и неподвижным, вводят в него противоположности как причины, объясняющие различные явления: Парменид - холод и тепло, Фалес и Анаксимеи - грубое и тонкое, Пифагор - равное и неравное, Эмпедокл-любовь и вражду, Гераклит - сухое и мокрое, Демокрит - наполненное и пустое. Аристотель идет еще дальше: по его мнению, все явления природы происходят из противоположностей и переходят в противоположности, по-

293


этому и принципы их суть противоположности. Это основное аристотелевское положение резко подчеркивает различие между античным и современным мировоззрением.

Первый родоначальник а, - не-а и нуля - аристотелевская противоположность со средним80. Прежде всего Аристотель резко подчеркивает различие менаду противоречием и противоположностью.

Он отмечает, что не может быть среднего между утверждением и отрицанием, в то время, как противоположности могут допускать среднее.

Следует сказать "могут", так как по Аристотелю есть противоположности и без среднего,

Когда же существует среднее противоположностей?

Только тогда, когда, говорит Аристотель81, среднее (А, В) принадлежит к одному роду с А н В.

Это следует понимать так. Можно утверждать существование среднего только в том случае, если составив по А, В понятие этого среднего, мы будем в состоянии его отнести вместе с А и В к одному роду.

Для нашей цели важно указать на положение Аристотеля о простоте экстремой, являющихся простыми началами и о необходимой сложиости'среднего, которое должно содержать каким-то образом противоположности (вроде гегелевского85 синтеза, соединяющего тезис с антитезисом).

То, что больше Р и меньше Q, должно содержать Р и Q.

Как А, переходя к В, принадлежит всегда к одному роду п и становится С, которое не А и не В и вместе с тем и А, и В? - вот проблема, в сущности своей представляющая проблему об отрицательном числе и нуле.

Другим предком отрицательного числа является чисто онтологическое понятие лишения (privatto)84.

На более высоких стадиях развития схоластики это вполне определенно не ничто (nihil). Из субъекта изъята некоторая акциденция А, при этом естественно мыслится состояние субъекта, иное, чем то, которое имеет место при ее наличности.

Противоположение лишения (privatio) обладанию (habitus) соответствует противоположности отрицательного положительному и проблема о переходе лишения к обладанию (a privatione ad habitura) является метафизическим представителем математической проблемы о непрерывно изменяющейся величине, проходящей от отрицательных значений через нуль к положительным.

У самого Аристотеля лишение скорее понимается как реализованный нуль. Его положение, что от обладания к лишению может быть изменение, но от лишения к обладанию не может быть, сводится к постулату Анаксагора: Ex nihilo nihil fit85.

В исследованиях возможности перехода от лишения к наличности (regressus a privatione ad habitum) вскрывается различие между двумя ро-

294


дами лишений: одного, при котором нет ничего положительного, каково лишение света и слепота зрения, и другого, при котором имеется положительная форма, соединенная с лишением другой. Примером последнего приводится не тьма, а чернота, как отсутствие белизны. Здесь - не только отсутствие белизны, но и присутствие другого цвета. Только лишение в этом втором смысле признается начальным членом (terminus a quo) трансмутации, что соответствует переходу от отрицательного к положительному.

Та же мысль выражается еще иначе: признается возможность перехода лишения в наличность при условии соединения лишения с противной формой, примером чего может служить переход холода в тепло. В определениях Фомы Ливийского86 лишение является уже вполне определенно метафизическим представителем отрицательных величин. Materia miiiquam est sine privalione - материя никогда не бывает без лишения. Privatio nоп est aliqua aplituclo ad formam vel inchoalio formae vel aliquod principiura iraperfectum activum, ut quidem dicunt, sed ipsa carentia formae, vel contrarium formae, quod subsecro accidil - лишение не представляет какое-либо прилаживание к форме или начало ее, или какой-либо вообще несовершенный активный принцип, как некоторые говорят, но отказ от формы или противное формы присущее субъекту.

Материя это то, что может быть чем-нибудь; это метафизический представитель а=0.

Лишение это то, что не то, что должно быть (а < 0).

Форма - то, через что становится что-нибудь действительным (а > 0).

Можно вполне ясно проследить влияние схоластических споров о лишении на эволюцию понятия об отрицательных величинах у натурфилософов эпохи Возрождения, мысль которых поднималась над уровнем схоластики, пуская глубоко туда свои корни.

Если Телезий рассматривает два элемента - тепло и холод87 - как различные величины. Кардан18 уже признает одно только тепло, считая холод только лишением тепла. Очевидно, понятие лишения должно пониматься здесь ие в чисто аристотелевском смысле, а в схоластическом смысле, так как в первом случае возникает возражение, что лишение не принимает ни больше, ни меньше, в то время как холод может быть и больше и меньше.

Так как столько же основания считать холод лишением тепла, как и тепло лишением холода, то тепло и холод [оказываются взаимно] лишениями одно другого и в дальнейшем эволюционируют в относительные величины.


§10. Отношение.

Чтобы проследить в схоластике эмбрионы иррационального числа, следует сказать несколько слов о категории отношения в схоластике.

Аристотель в каждом отношении различает субъект, конечный член, основание8" (subjectum. terminus, fundamentum). В отческом отношении0" субъект это отец А, конечный член - сын В. Основания различаются: ближайшее н дальнейшее (proximum et remotura). В нашем примере ближайшим основанием является факт рождения отцом сына, дальнейшим - производительная способность отца (potentia geneliva).

Для математического отношения А : В, А субъект, В - конечный член, основанием является количество.

Альберт Великий" , кажется, первый подвергает глубокому исследованию четвертую аристотелевскую категорию. Он выдвигает проблему о реальности отношения. Куда следует отнести бытие отношений - к вещам или к разуму?

Если признать, что величины или числа А, В существуют, то можно ли сказать, что и их отношение существует? При этом существование можно понимать в различном смысле и проблему можно ставить шире: представляет ли отношение А : В нечто большее, чем символ?

Против реализации отношения говорит тот факт, что при уничтожении одного члена отношения, другой член В не претерпевает никакого изменения. Если А отец, В сын, то между ними существует отношение отца к сыну. По смерти отца А сын В остается неизмененным. Поэтому отношение не находится в В. Таким же образом доказывается, что оно не находится и в А.

Альберт думает выйти из затруднения, мысля отношение как цепь с кольцами в А и В и находя возможным реализовать только эти кольца, а не всю цепь. То, что он называет связью их, он относит к разуму, а собственно отношение полагает в вещах и утверждает, что в приведенном выше случае такие кольца находятся и в отце, и в сыне: по смерти отца первое кольцо вместе с ним исчезает, но остается другое в В - сын сохраняет сходство с отцом. При таком воззрении А : В еще ие является самостоятельным математическим объектом с тем же правом на существование, что А и В в отдельности, без чего оно не может претвориться затем в число.

Если А: В = 3, то во сколько раз А больше В (А в 3 раза больше В -первое кольцо), то во столько лее раз В меньше А (В в 3 раза меньше -второе кольцо).

Фома Аквинский подробно исследует условия реальности отношений и находит следующие - необходимые, но недостаточные: субъект должен существовать, конечный член должен быть реально отличным от него, основание должно быть положительно и реально, и различно в обоих чле-нах отношения.

296


Он вместе с Аристотелем различает отношения: категорическое (Secundum esse) и условное (Secundum did). Первое относится к чистым терминам, оно может быть между всякими вещами, не предполагая особых условных обстоятельств, только при которых оно может иметь место.

Примерами могут служить отношения тождества и различия, относящиеся к категории субстанций, равенств и неравенств (количество), подобия и неподобия (качество), причины и действия (потенции).

Все эти отношения ни от чего третьего не зависят, они всегда при всяких условиях имеют или ие имеют места.

Примерами условного отношения служит отношение науки к познаваемому, движущегося к движению.

Категорическое отношение дает кроме упомянутых выше трех условий еще четвертое: реальное существование обоих членов отношения.

Отношение А : В теряет смысл, когда А и В не существуют.

Математическое отношение должно быть отнесено к категорическим. В А : В оба А и В постулируются существующими. А : О не имеет смысла как и О : В.

Фома защищает реальность только категорического отношения. Равенство, неравенство, подобие даются и при отсутствии мыслящего существа, их воспринимающего.

Еще до Фомы путем компромиссов идет Авиценна", признающий реальное бытие не за всеми, а только за некоторыми отношениями.

Таким отношением он считает отчество, не перестающее существовать, хотя бы оно и не воспринималось бы душой. Таково же отношение "направо - налево".

Именно за всеми отношениями, носителем которых является один субъект, Авиценна признает реальное существование. Если А отец, В сын, то в В уже не отцовское, а сыновнее отношение.

По современной терминологии, это не коммутативные отношения. Коммутативные отношения подобия, равенства н т.д. Авиценной не относятся к реальным Поэтом), с точки зрения Авиценны, математическое отношение не следовало бы признавать реальным.

По математическое отношение схоластика мсии, ш.ио жллуст. Обычно оно выставляется как не выходящее из души отношение. Указывают* . что вещь имеет бесконечное число отношений к своей половине, к трети, к четверги и, таким образом, является носителем актуальной бесконечности отношений.

В тесной связи с проблемой о реальности отношения стоит следующая проблема: при одинаковом отношении А кВ, С... следует ли считать в А одно отношение или несколько (АВ) (AC) (AD)...?

Согласно Фоме только одно. Согласно Скотту много.

Переводя на плоскость математики: можно ли пропорцию А : В = А : С при В=С рассматривать, как тождество?

297


В этой постановке вопроса не спрашивается, есть ли А:В число, а спрашивается, нельзя ли равенство отношений при равенстве членов рассматривать также как равенство чисел, для которых А:В понимается так: число А то же, что В.

За проблемой о реальности отношения, получающей компромиссное решение, стоит другая проблема: о тождественности или различии членов отношения от самого отношения-'4.

Фома Аквннский отделяет в сфере реального существования субъект от отношения, разделяя субъект на собственно субъект и лежащее в нем отношение. Хервей"1, оставаясь при таком разделении, отвергает отношение как составной элемент субъекта. Дворян* дает различные решения, смотря по тому, имеет ли он дело с логическим отношением, содержащимся только в понятиях (relatio prnedicamentalis), или с реальным.

Для первого - отношение не различается от субъекта, для второго - такое различение имеет место, и отношение отделяется от субъекта так, что последний остается без второго.

Для первого А понимается в более широком и более узком смыслах. С более широкой точки зрения можно читать А = А : 1.

Для второго - это всегда невозможно.

Различаемое^ отношения от членов отношения Д. Скотт-'7 доказывает на основании аксиомы: "каждая вещь различна от другой, которая может существовать без нее, не роящая противоречия".

Так Платон отличается реально от Сократа, ибо нет противоречия, чтобы один существовал без другого.

Но существуют многие отношения, такие, что вещи, к которым они относятся, могут, не рождая противоречий, существовать без них. Так, о каждой можно что-нибудь знать и ие знать.

Другое доказательство Д. Скотта основывается на аксиоме: ни одно конечное существо не может в себе содержать противоположные вещи без внутреннего различия от них. А содержит В и С, противоположные друг другу, но при этом обязательно А отличается от В и от С.

Подобие и неподобие, равенство и неравенство с какими-либо вещами противоположны, но подобие В и неподобие С, равенство В и неравенство С могут находиться в одном субъекте А.

Отсюда следует, что А отлично от отношения подобия с В и от отношения подобия с С, от равенств с В и неравенств.

Вне сомнения, это признание самостоятельности А:В в направлении арифметизированного отношения,

§ 11. Иррациональное число как отношение98.

У Евклида математическое отношение это не число, это один из видов аристотелевского отношения, Евклид дает ему следующее определение;

298


"Это некая взаимная зависимость двух однородных величин по их количеству"»,

Но определение это остается логически не действующим.

Рабочим является 5-е определение - тождественности отношений100 . "Величины, - говорится, - суть в том же отношении, первое ко второй и третьей к четвертой, когда равнократные второй и четвертой, взятые по какому-либо краткованшо, суть таковы, что попеременно каждая каждой или купно равны или купно больше или купно меньше".

На алгебраическом языке

а : b = с : d если при всяких целых числах, т.е. таких, что

ma > nb также mc > nd та < ab также mc < nd та = nb также mc = nd

Для Евклида, как мы уже выше заметили, число- это собрание единиц, так, что и дробь для него не является еще числом. Между геометрическими величинами и числами еще нет взаимно-однозначного соответствия; отношение двух отрезков, площадей или объемов а:Ь еще не сводится к отношению двух чисел,

Евклиду приходится строить две теории пропорций: величин в 5-й книге п чисел в 7-й книге.

С нашей точки зрения, ему приходится повторяться. Но это только с нашей точки зрения, а не с точки зрения самого Евклида. У него не только нет взаимооднородного соответствия между геометрическими величинами и характеризующими их числами, у него нет и идеи, объемлющей видовые понятия геометрической величины и■ числа, которая является результатом дальнейшей эволюции математической мысли.

Чисто формальная точка зрения противна Евклиду, определение совокупностью формальных законов ему чуждо.

Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии - прямую) он не решается отнести к одному классу в силу тождественности формальных законов, которым подчиняются соответствующие операции над ними.

Величины в I книге (см. акс, 8) взаимно налагаются.

Аксиомы 1, 2, 3 й»:

"Величины, равные одной и той же величине, равны между собой".

"Если к величинам равным придадим равные, то получим равные суммы".

"Если от величии равных отнимем равные, то получим равные" и т.д. все относятся ие к числам, а к геометрическим величинам, т.е. к классу, в который отнюдь не входят числа.

Что является в высокой степени интересным - это то, что эти и другие аксиомы лежат в основе арифметики105 Евклида, так как все ариф-

299


метические действия над целыми числами Евклид сводит к действиям над особым классом отрезков, составленных из одного определенного, отвечающего единице.

Между отрезками этого класса и целыми числами существует взаимно-однозначное соответствие, и оно позволяет Евклиду, идя в обратном современному направлении, свести ие геометрию к арифметике, а арифметику к геометрии.

В дальнейшей эволюции математической мысли отношение становится числом. Оба понятия сливаются между собой, потому что законы соответствующих формальных операций над ними оказываются теми же. Здесь начинается тот математический формализм, который в конечном итоге одерживает окончательную победу над противоположным схоластическим направлением, в котором центр тяжести кладется в анализ понятия, а не в формальные операции.

Схоластика резко противополагает число отношению.

Число это абсолютная акциденция. Число - количество, а как таковое, согласно Аристотелю, формально абсолютно.

О количестве говорится не как об относящемся к чему-либо, но как о количестве чего-либо.

Нельзя сказать, что число берется относительно единицы, как измеренное относительно меры, так как число есть не салю отношение, а то, на чем последнее основывается - 5 и 5 : 1 представляют собой различные сущности. Если ввести символ "=", то 5 = 5 : I, во всяком случае, не абсолютное тождество; 5, согласно более поздней терминологии, число-индекс103 отношения 5 : 1, 2 - число-индекс отношения б : 3, причем, такой индекс не всегда существует. Он не существует для случая отношения величин несоизмеримых, например, диагонали и стороны квадрата.

Только у Арно,(М отношение становится величиной, хотя еще и с эпитетом "относительной", так что количеству отказывается в безусловной абсолютности.

Но Ньютон уже всякое число рассматривает как отношение.

Под числом, - говорит Ньютон"», - разумеют не собрание многих едииниц, а скорее отношение абстрактное одного количества к другому того же рода, которое рассматривается как единица".

Для того, чтобы и всякое отношение оказалось числом, необходима была арифметнзация.

Геометрия, которая через Бертрана106 шла к Лежандру1»7, уже постулирующему взаимно-однозначное соответствие между числами и геометрическими величинами. Для Лежандра всякое отношение - число рациональное или иррациональное.

Теория геометрической пропорции у него сливается с арифметической.

300


Можно укачать следующую схему эволюции мысли, ведущей к иррациональному числу из Евклидова отношения:

  1.  Реализация отношения: отношение отвоевывает себе право на существование наряду с членами отношения.
  2.  Оно становится количеством - относительной величиной, не будучи еще числом.
  3.  Всякое число становится отношением, всякое отношение числом.

Ш. Первые шаги буквенной алгебры. (Конец XVI века).

§1. Числовая и буквенная алгебра с методической точки зрения.

Обычно начинают изучение алгебры с буквенных формул, сперва учатся определять их числовое значение, затем производить над ними действия, а числовая алгебра является уже позже.

Но мне представляется это методической ошибкой. Решение числового уравнения усваивается целиком гораздо легче, чем решение уравнения буквенного. Обозначение неизвестного каким-либо символом - более простая идея, чем обозначение символами различных величин, предполагаемых заданными, но тем не менее имеющими произвольное значение.

Каждый из учителей знает то затруднение, которое возникает при решении буквенных уравнений признание членов а3х, 2а3х, ах подобными в противоречии с раньше устанавливаемым понятием подобия.

К числовой алгебре следует подводить уже при решении арифметических задач, согласно историческому ходу алгебры, представляя решение сперва в риторической1"'1 затем синкопированной™0 и, наконец, символической форме, но производя те именно операции, которыми задачи эти решает алгебра.

Привозку примеры11:

10 грифелей и 20 карандашей стоят 1 р. 20 к.

10 грифелей и 25 карандашей стоят 1р. 45 к.

Что стоит грифель и что стоит карандаш?

Решение в форме наглядно-риторической: так как во втором случае приходится платить больше и притом на 1 р. 45 к. - 1 р. 20 к. = 25 к., то это потому, что было 25 - 20 = 5 лишних карандашей. Значит 5 карандашей стоят 25 к., а один 25 : 5 = 5 к.

От этой формы легко перейти к форме

10 гр. + 20 кр. = 120

301


10 p. + 25 кр. = 145

и путем вычитания получить

5 кр. = 25 коп.

и, наконец, в форме чисто символической:

10х + 20у = 120

10х + 25у - 145

5у = 25

У= 5

Следующим типом являются задачи, определяемые уравнениями:

kax + Ь,у = с

ах + b2y = d

25 мер овса и 20 пудов сена стоят 16 р. 50 к.

5 мер овса и 12 пудов сена стоят 4 р. 90 к.

Устанавливается, что 25 мер овса и 60 пудов сена стоят 24 р. 50 к., а разность, т.е. 40 пудов сена, стоят 8 руб., поэтому 1 пуд. - 20 к. От наглядно-риторического решения переходим к символическому решению уравнений:

25х + 20у=1650

5х + 12у = 490

обычными приемами.

Наконец приходим к типу, отвечающему общему случаю;

а.х + b у = с,

а,х + Ь2у =с.

За 7 груш и 11 яблок уплачено 29 к.

За 9 груш и 12 яблок уплачено 33 к.

Сколько стоит груша и яблоко?

Следует отметить еще одно затруднение при прохождении буквенной алгебры.

Под а, Ь, с . . . разумеются числа"2.

Но какие числа? В иных случаях самый ход действий предполагает, что а, Ь, с... обязательно целые числа, когда, например, находим общий наибольший делитель 50, а3, Ь\ с\ и 75, а1, Ь\ с2, объявляя его равным 25а2Ь3с2. В других же случаях, например, при определении числовых значений формулы, а, Ь, с имеют и дробные рациональные значения. В дальнейшем а, Ь, с - уже какие угодно числа, как рациональные, так и иррациональные.

§2. Величины различных измерений старой алгебры.

Методические изыскания должны идти параллельно историческим.В иных случаях, хотя далеко не всегда, история может кое-чему научить методиста. Я подчеркиваю: не всегда, так кис великий биогенетический закон, приравнивающий филогенетическое^ развитие онтогенетическому"*, -это

302


только грубое приближение. Бесспорно, что кое-что в алгебре давалось трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником оно трудно усваивается.

Так, повторяю, идея числовой алгебры проще, а потому и хронологически алгебра числовая предшествовала буквенной.

Но прибавлю, что много затруднений возникло и от основного взгляда на алгебру, на понимание смысла ее символов, причем через это понимание теперь, при арифметизироваииой с самых азов алгебре, ученик не должен проходить.

Когда предлагается буквенное уравнение ax2-I-bx = с, что означают буквы а, Ь, с и х (то, что в старой алгебре называлось характеристиками?? У нас такой ответ: а, Ь, с... известные числа, х -неизвестное число. Но если мы возвратимся к XVII и XVIII вв., то увидим другое положение.

Алгебраическая величина - это класс, объемлющий два вида непрерывных величин, каковыми являются геометрические величины: длины, поверхности, объемы и дискретные, т.е. числа, причем понятие числа ие идет дальше рациональной области115, a b понимается или как результат умножения числа а на число Ь, или как результат умножения отрезка а на отрезок Ь, причем это последнее подвергается также эволюции: в первоначальном понимании это площадь прямоугольника, настроенного на а и b (между а и Ь, как говорит Евклид))16.

Но над этими понятиями стоит объемлющее их понятие умножения (multiplicatio), понимаемое как получение количества, которое к умножаемому имеет то же отношение, какое множитель к единице (Ренальди-ни,1т говорит- "к posilum", т.е. положенному, избегая говорить "к единице", относя последнюю только к числам).

Виэта"8 говорит: числовая логистика (по нашему алгебра) это та, которая оперирует с числами, специфически! же оперирует видами (especes) или формами, гак буквами алфавита.

Виэта различает величины различных порядков:

линейные

площади - planum

телесные - solidum.

Что они теряют свой первоначальный геометрический смысл, это следует из того, что Внэтой признается и solidum-plamim и planum-planum"» н т. д.

Но, во всяком случае, это разнородные величины, которые нельзя складыватыi вычитать110.

Но возможно умножение и деление, а так же понятие равенства отношений, или пропорции; отношения, как к однородным, так и к неоднородным величинам.

303


Можно писать пропорции

х plan : A plan = В sol :1 solid,

даюшую, согласно определению умножения:

х = Apian - В sol,

Умножение алгебраическее ни в коем случае ие сводится к сложению. Эта мысль выявляется и в принятой Внэтой символике:

18Q это 18 раз взятый квадрат:

Q + Q + Q+... всего .18 раз.

Произведение же А на В пишется так

A in В.

Насколько серьезное затруднение рождает этот взгляд, можно видеть из следующего характерного примера. Виэта выдвигает операцию: "protonescialion"121, ведущую к превращению первого члена в последний и обратно.

С нашей точки зрения это весьма элементарная операция: преобразование уравнения:

x3-Ьх = a (1)

подстановкой

а

х= 7 

У

Подстановка эта дает сперва

4-—=а>

У       У а по сокращении на а и умножении на у3 a1-by2-»..

или у3 + Ьу2 = а2 Но Виэта так не может поступать, Во-первых, при его понимании характеристик уравнение (1) просто ие имеет смысла: из объема вычитается площадь и в результате получается длина.

Следует заметить, что неизвестные у Виэты означаются не последними буквами алфавита, а гласными.

Уравнение (1) представляется122 в следующей синкопированной форме;

АЛ 1 aequal. Z»Udo

-В piano in А J

Если положим А1" равным =^-, то куб А будет

Epl

304


Zsolido . solido. solido, Epiano. piano. piano '

Z solido _ *

-— умножается на В в алгебраическом смысле.

Е piano

Согласно терминологии Виэты - ducetur in В planum; в результате уравнение обращается в следующее:

Zsol.solssol    _  .inZsol „    rj

В pl aeq . Z solido

Epl.pi.pi.pl Epl        l

Дальше идет умножение на Е pi . pi . pi, Antithesis (или перенос второго числа в первую с измененным знаком) и перестановка частей уравнения.

Е pi. cubus + В piano in Е piano quedrato aequatur Z solidi quadrato

или

E cub + В plan aeq Z solidi quadrato

Понимая же E как величину иного измерения, чем А, получается довольно серьезное затруднение. Обычно во второй части ставится Z solid, неизвестные всегда линеые величины, а преобразование приводит куравнению, в котором корень понимается уже в новом смысле.

§ 3. Различные понимания характеристик.

Между этими примитивными взглядами и арифметизацией алгебры, сделавшейся возможной только по установке взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами, усматривается промежуточный момент, когда а рассматривается, как прямолинейный отрезок™ и всякие действия над буквами, например, ab сводятся к действию над отрезками.

На ОА и ОС откладывается ОА = а, ОС = =1 длины; проводится АС; на ОС откладывается OB = b и из В приводится BD || АС; тогда OD = х = ab, так как

х:a=b: 1

Возможность приложения буквенной алгебры к числам в этом смысле обусловливается тем, О что формальные законы операций: сложения, вычитания, умножения и деления отрезков те же, что соответствующих действий над числами12-5.

Картезианский взгляд позволяет же отбросить planum и solidum.

Уравнение в современном чистом виде х3 - ах = b

305


имеет теперь определенный смысл: разность двух отрезков, определенным образом построенных с помощью неизвестного отрезка, равна данном)'

Так Декарт понимает и уравнение между двумя величинами х, у, определяющее кривые.

§ 4. Число индусов и греков.

Первые последователи Виэты резко отличали числовую алгебру (immerosa) от буквенной (speciosa).

Первая всегда изменялась раньше второй и мы видели, что переход от первой ко второй представлял некоторые затруднения, которых в настоящее время, когда характеристикам дается значение численное, уже нет.

Численный характер алгебры, как мы уже заметили, становится возможным только по установке взаимно-однозначного соответствия между геометрическими величинами и числами (в частности только отрезками и числами)120, т.е. соответствующим расширением понятия числа, включающим-в области чисел и числа иррациональные. Это можно отнести только к Лежандру127, т.е. это произошло гораздо позже, чем обычно думают.

У индусов алгебра говорит о рациональных числах. Как и наша алгебра, все действия она относит к числам, но при этом берет только числа рациональные; из "двух вышеупомянутых видов алгебраической величины она берет только первое.

Греки старались убеждать, в то время как индусы стремились только показать.

И те и другие выводили числовые тождества, как (а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2 из геометрического чертежа, но с той разницей, что у греков чертеж сопровождался словесным доказательством, а у индусов он сам говорил. Но говорил ли он о совершенно одном и том же или нет?

Если вникнуть глубже в характер индусского и греческого мышления, то придется признать, что для индуса положения II книги "Начал" могли быть только средством для установки числового закона, выраженного в риторической форме, в то время как для грека, это чисто геометрические теоремы, которые заменяют необходимое в настоящее время приложение алгебры (например, при доказательстве обобщенной теоремы Пифагора).

Вспомним, что у греков арифметика гак учение об исчислении (или лучше сказать логистика, ибо арифметику, гак учение о свойствах чисел, они отличали от науки о методах вычисления), развивалась очень медленно; к четырем арифметическим действиям они не могли прибавлять еще действий извлечения корней, нахождения по рациональному числу такого, которое в квадрате дает это рациональное число, ибо признать иррацио-

__ /—

нальные числа они еще не мог/ш\ но и верить в то, что л/д число рацио-

306


налыюе, т.е. такое, которое античный мир только и признавал, они тоже не могли, так как для некоторых случаев уже имелось доказательство того, что это невозможно, и имелось достаточно аргументов за то, что это и вообще невозможно.

Иное дело индусы128. Вероятно, у них была вера во взаимно-однозначное соответствие между числами и геометрическими величинами, но только ие как у нас, в области рациональных и иррациональных чисел, а только чисел рациональных. Геометрическая проблема у них сводится к алгебраической проблеме решения уравнений. Последнее лее разрешается с помощью ряда операций, которые являются следствием общих риторических'формул; из них только некоторые устанавливались с помощью чертежа в указанном выше смысле.

§ 5. Алгебра арабов.

Арабская математика129 это синтез греческой и индусской.

У арабов нет взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами. Отсюда раздвоенность их алгебры.

Числовые уравнения определяют неизвестные числа, но эти же уравнения можно мыслить и как определ5гющие неизвестные геометрические величины..

Риторическая формулировка Амаямн уравнений: "Квадрат и десять корней равны тридцати девяти; (х2 + 10х = 39 - прим. ред.) здесь

квадрат то же, что Sovau.ic, (степень) у Диофанта, результат перемноже-пня самого на себя; корень это само неизвестное число названное так по геометрическому решению потому что когда число определяет площадь квадрата корень определяет его сторону

Этим уравнениям можно придать форм}' в виэтовской символике: Q+10R=39, но уравнение это относится и к геометрическим величинам, т.е. мыслится как

AQ+10 ш А = 39 sol, причем решив последнее, можно решить и первое, но первое может не иметь решения, когда второе его имеет.

Амаями, высказывая для уравнения

х2 + рх = q общую риторическую формулу

X =

замечает, что если вопрос арифметический, то необходимо выполнение двух условий: 1) чтобы число корней, т.е. р было четное (т.е. делимое на

307


2, для получения -j целым), и 2) чтобы квадрат половины числа корней р

и число q составляли в сумме полный квадрат; в противном случае вопрос арифметически невозможен, но геометрически не представляет затруднения.

Арабами устанавливаются геометрические выводы130 общих формул или общих правил разрешения уравнения. В до-алгебраический период геометр1гческие задачи, разрешаемые с помощью уравнений 2-й степени, сводятся к одной исследованной Евклидом задаче. Впрочем, сам Евклид это ие всегда сознает. Задачи второго порядка у него сводятся к различным геометрическим задачам, им разрешаемым.

Видимо, эта возможность была сознана только арабами, заменившими общую задачу Евклида, более частной и более простой.

Из этой задачи и извлекались сперва формулы решения квадратного уравнения.

Дальнейшая стадия, это замена ее выводом, аналогичным доказательствам П-й книги "Начал" Евклида, это

доказательство приводит возможность ус- j-j I М

F

\

К

\

L

тановки, по образцу П-й книги, основных законов формальных алгебраических операций и вывода отсюда только с помощью f этих операций алгебраических формул.

Такими доказательствами пользуется еще и Виэта131 для уравнения:

р>0

х2 + рх = q

В

D

G

А

Черт. 2.

Берется чертеж (2).

Здесь

АВ = х, AG = р AG делится пополам, GD = DА и на DB строится квадрат.

Если отложить на EG 1 GB EG = х и привести EL ][ АВ, то диагональ ВН пересечет EL в вершине К квадрата ABKL = х2.

Формула

x+il

 ^

308

дающая

доказуется тем, что, если

q = DBMIKF, то, с одной стороны,


q = ABLK + KLMI + DAKF - x2 + px, а с другой стороны,

DBMI-I = (x+-) . т.e- DB = x + § и вместе с тем

DBMIKF + FKIH = а н—— 4

§6. Отрицательные числа.

Одно из самых серьезных затруднений у старых алгебраистов в том, что они не имеют в нашем смысле (т.е. количественном) отрицательных™ величии. Правило перемножения знаков носит исключительно операционный характер и основывается на тождестве:

(а-Ь)(с-d) = ac + bd-ad-be, выводимом геометрически133, в силу чего оно относится только к случаю, когда

а>b>0, с>с1>0.

Это, конечно, усложняет уже и числовую алгебру, заставляя рассматривать особо каждый из таких случаев134:

х2 + px = q х2 - px = q px - х2 = q

Следует отметить, что так как геометрическое доказательство ведется только с положительными величинами, то если бы кто-либо из старых алгебраистов и дошел бы до отрицательных величин в нашем смысле, то он мало бы выиграл, так как для каждого из упомянутых трех случаев пришлось бы строить особое доказательство.

Отрицательные корни рассматриваются поэтому, как решения невозможные.

Если характеристики у старых алгебраистов ие числа, а величины в более широком понимании, то, с другой стороны, они означают только положительные величины, вследствие чего и для буквенных уравнений приходится рассматривать различные типы, соответствующие различным знакам коэффициентов.

У нас разность А - В всегда имеет смысл, у Виэтыш только тогда, когда А > В.

Конечно, при этом возникает большое затруднение: при производстве вычисления растет число ограничительных условий. Если А - В имеет смысл при А > В, то (А - В) - (С - D) уже при А > В, С > В и А - В > С -D.

309


Только при таких ограничительных условиях имеет смысл и дока-зуется тождество

(А-В)-(С-D) = А-В-С + D. Ринальдини выход из этого затруднения находит не в отрицательных числах, а в операциях, объемлющих их

А - В при А > В и В - А при А < В и означаемых через А - В.

Опадает возможность некоторые (но далеко не все) тождества представить уже в буквенных формулах:

(А - В)С = АС - ВС при А > В (В - А)С = ВС - АС при А < В

но

(А--В)С = АС--ВСвсегда

А-В-(С-D) = (А + D)-(В + С)npиА>В, ОD,А + D>В + С

В - A - (D - С) = (В + С) - (А + D) при В > A, D > С, В + С > А + D

но (А - - В) - (С - - D) = (А + D) - - (В + С) всегда и т.д.

£ 7. Основные алгебраические операции Виэты.

Методы Виэты, конечно, весьма примитивны в сравнении с нашими, но они необыкновенно интересны как эмбрионы наших совершенных методов.

Я уже заметил, что для учащегося трудным моментом является деление на буквенный коэффициент при неизвестном. Этот момент и старым алгебраистам не представлялся столь простым, как нам, и Виэта выставляет эту операции как основную, называя ее parabolismus13", в то время как перенос члена из одной части в другую им называется antithesis137.

Третья операция Виэты hyperboiismus138 - деление на неизвестное, приведение, например, уравнения ах3 = Ьх к уравнению ах - Ь.

Но он сознает недостаточность этих трех операций для получения формально-алгебраическим путем, а не геометрическим рассуждением, корней квадратных и кубических уравнений, и он применяет подстановку, которая является прототипом чиригаузеиовского преобразования.

Эта' операция называется им plasma139 - плазма имеет целью упростить уравнение; для квадратного уравнения - приведением его к чистому.

Не желая читателя затруднять символикой Виэты, я выражу его мысль на нашем языке. Уравнение ах2 + Ьх + с = О подстановкой х = у + h (*) приводится при надлежаще выбранном 1) к

ау2+р = 0.

То же преобразование применяется Виэтой140 и купрощению уравнений высших степенен.

Кроме преобразования х = у + h рассматриваются еще следующие:

310


x = —, x = by, x =—, x=—, x = —.

Ь g У У

Последнее употребляется Виэтой для решения уравнений 3-й степени, а именно через приведение его при 3d = р к уравнению:

у"-ву3+(§)3

Так называемое expugnatio per unicas1" - сведение к уравнению, освобожденному от некоторых степеней, и protonesciation142, о котором мы выше говорили, представляют здесь, собственно, такого лее типа операции, но направленные на определенные члены; isomeiria1* - умножение дробности подстановкой у = х, anastrophc w - преобразование коррелятивных уравнений одно в другое.

При этом под коррелятивными уравнениями разумеются:

Ьх - х2 = с

Ьу-у2 = с

х2 + Ьх = с

у2-Ьу=с

Ьх - х2 = с

у2-Ьу=с

§ 8. Странности старой алгебры.

Интересно отметить, что второй операцией после антитезы выставляется превращнние уравнения в пропорцию™.

В настоящее время применяется обратная операция: пропорция

А     С

— = — сводится к AD = ВС.

— —

Теперь никто уже не решится сводить квадратное уравнение

2 2 н Ь

х   +ax = b   к пропорциих- b

Мы легкопоймем эту странность, если вспомним что у Виэты ал-

II!1      Tin        Г1   2   ГТ TcJZlmn^n

и Г , LI ,3 Г,Г! u^Z, Г^Г', в ™,шГГ^, Z.ГнпГ-,«

VI?  п,T3J^п! п!Т^        ^        Дающим решение, й вывод} решения шето<<*™и»Р" неким путем.

!!11!! 1 "Г" ! "Поющее в элеметарнои алгооре положение о сумме корней квадратного уравнения, мы скажем, пол если хо и хг- корни уравнения

ох-х-С,

 х + х = b

2

311


Но форма выражения у старых алгебраистов совсем другая146: Даиы два уравнения

bx2 = c    Ьу-у2 = с, если х корень первого, у - второго, то или х = у, или х + у = Ь.

Не будем забывать, что отрицательных корней нету Виэты"', поэтому положение для уравнений

х2 -х- 6 = 0

X, + X, = 1

ие имеет смысла.

Но молено сказать, что, если х определяется уравнением

х2 - х - 6 = О, а у уравнением

у2-у-6 = 0, то или х = у, или х + у = 1, причем следует брать именно первый случай.

Указанное свойство берется не особняком, а как одно из свойств пар коррелятивных уравнений. Для уравнений

х2 + bx=с    у2-Ьу = с

получаем

х = у или х - у = -Ь

для уравнений

Ьх - х2 = с    у2 - by = с

х-у=-Ь

Операции, которые приводят к намеченным результатам, это те, которые в школьной практике применяются к решению систем уравнений с двумя неизвестными.

Интересно еще отметить, что Виэта не выводит раз навсегда формулы

(а+b)2 = а2 + 2ab + Ь2       (**) для того, чтобы, как делаем мы. например, находя

3 - Ьх2)2, подставлять в (**) х3 вместо а и -Ьх2 вместо Ь.

Учащиеся всегда именно в этом пункте встречают затруднения. Необходимо поработать над учеником, чтобы он научился свободно оперировать -целыми выражениями как буквами. Но, я думаю, причину этой странности следует искать не только в непривычке оперирования буквенными выражениями как буквами, но в некотором видимом противоречии общности формулы с пониманием самих характеристик.

Закон (**) просто нельзя было выразить одной формулой.

Для В, С линейных можно писать

(В + С) in (В + С) = BQ + B in С.2 + CQ

Но, если они planum, то получается формула совершенно иная:

312


(Bpl + Cpl) in (Bpl + Cpl) = Bpl.Bpl in Cpl.2 + Cpl, Cpl и т.д.

Кроме того, различно следует их писать для случая, когда величины известны и когда неизвестны, ибо принято обозначать гласными неизвестные, согласными известные.

Этот закон, невыражаемыйт.о. формулой символически, не выражается и риторически; результат всегда получается процессом умножения.

Чаще всего приходится встречаться с этим в приведении к климатической симметрии™, что теперь называется освобождением от ирра-циональностей.

Приводим в виэтовской символике ход действий над уравнением: AC-BplinAaeqRZsol.sol

здесь RZ = VZ АС - Bpl in A AC-Bpl in A

-Bpl in AQQ + Bpl.pl in AQ ACC-BplinAOO ACC - Bpl in AQQ.2 + Bpl.pl in AQ (коэффициент всегда пишется на последнем месте). Наконец A cubus.cubus + В plano.plano in AQ - В piano in AQQ bis aeq Z solido . solido14' Отметим, что дальнейшее упрощение символики осуществляется тремя принципами:

  1.  буквы, поставленные друг около друга без знаков + или - должны ппремножаться
  2.  AQ обозначается в силу этого через АА, АС через AAA, затем AAA через А3 и т.д.;
  3.  коэффициенты пишутся, во избежание возможного смешения А2 и А2, в начале.

В первом издании своего труда Ренальдини еще вполне следует виэтовской символике, но в 1665 году он уже пишет: а2 + 2ае + е2 + bpl

а + е

а2е + 2ае23+bpl.e

a3-ll2a2e + ae2+bpU а3 + За2е + Зае2 + е3 + bpl.e -i- bpU

 150

313


§9. Синкопированням буквенная алгебра.

Числовая алгебра прошла три стадии: риторическую, в которой все высказывалось словами, синкопированную, где слово смешивалось с символом, и наконец символическую, в которой слово заменялось письменным символом. Можно сказать, что буквенная алгебра у Виэты находится еще в синкопированном периоде и если сравнить изложение - хотя бы решение квадратного уравнения числового и буквенного - то бросится в глаза словесность последнего.

Приводим это место из Виэты сперва на латинском языке, затем в переводе на русский:

I.Si A quadr. + В.2 in A aequantur Z piano

A-HBestE

Igitur E quad.aeqnabitur Z piano + В quadr.

Consectarium.Ilaque ^/Zplam- Bquad - В

fit A de qua prinuun quaerebatur. Sit В 1 Z planum 20 A IN

1 Q + 2 N aequatur 20 et fit 1 N VJT - 1.

Если А квадрат + B2 на А равняется Z плоскому; A + B пусть E.

Итак E квадр. будет равняться Z плоек. + В квадр. Следствие.

Итак

д/Z плоек. + В квадр. - В будет А

которое н требовалось найти.

Пусть В 1. Z плоек. 20 AI N 1Q + 2N будет равняться 20 и будет

INV2T-I.,SI

Было бы неправильно представлять ход развития буквенной алгебры совершенно аналогичным ходу развития числовой алгеьры.

В числовой алгебре слово играет роль ие только ооозна юиия это словесный символ, над которым производятся те формальные операции, которые затем производятся над письменным и символами.

С вещью производят то же, что с х: ее переносят из одной исти в другую с измененным знаком, вещи складывают и вычитают и т.д.

ыш-то спросил, сколько времени прошло ночыш ,,, ™«™. i прошедшего времени равна четверти остающегося, сколько про-емени и сколько осталось1} Прими прошедшее время за вещь тогда остается 12 без вещи; отсюда треть протекшего времени равна 3 без четверти вещи. После приложения algebr треть и четверть протекшего времени равны 3.

Приводим пример из Бэг-Эддина -: Кто-то спросил, сколько времени проиш треть прошедшего времени равна четверти остающегося, сколько прошло времени и сколько осталось!

314


Частное 5 и одна седьмая есть число протекших часов; осталось б и шесть седьмых часа".

Но если коэффициенты остаются произвольными, т.е. если в нашей символике имеем уравнение:

ах + b = сх + d, то не существовало такой риторической буквенной алгебры, которая выражала бы в словах следующие операции:

ах - сх = d - b (а-с)х = d-b

d-b
х =

а - с

Но существовали общие риторические формулы, выраженные собственно не как формулы, а как правила последовательных операций для получения конечных результатов. Например, общая риторическая формула решения квадратного уравнения1":

Si res et census numero aequantur a rebus,

Dimidio sumpto census produce» rebus,

Addere numero eius, a radice loUens

Tone semis rerum censu Iatusque redibit.

Если вещи (px) и квадрат (x2) равны числу, то взяв половину вещей

р fDy

(-г ) и возведя в квадрат   -U , прибавь ее к числу (q) и из корня из всего

полученного вычти половину вещей (il) ш.

2

§10. Арифметические правила как риторическо-алгебраи-ческие формулы.

В точном смысле слова поэтому нельзя отнести арифметические правила, имеющие столь важное значение в старой арифметике, к риторический алгебре. Риторическая алгебра начинается только там, где мы начинаем операции над символами, выражающими данные величины, а не только неизвестные, а такой риторический алгебры, отвечающей буквенной, как мы заметили, вовсе не было.

В настоящее время мы имеем скорее питы задач на тройное, смешанное и т.д. правила, чем сами правила, которые еще в XVII веке были не чем иным, как риторическими формулами, введенными в арифметику только вследствие их практического значения в жизни.

"Тройное правило прямое- способ к данным трем первым числам найти четвертое пропорциональное"115.

Понятие о тройном простом правиле - к данным трем первым числам сыскивается четвертое пропорциональное того же рода; из данных трех

315


чисел последние два умиожить между собой и произведение их разделить на первое: частное будет четвертое пропорциональное.

Правило товарищестаа есть способ, с помощью которого данное число разделяется на части, другим данным числам пропорциональные.

Первый мучай, когда данные числа даны без всяких обстоятельств.

  1.  Данные числа сложи и

сумму их поставь на первом месте, на втором - общее число, а на третьем - одно из данных чисел из данных и

тройное простое правило повтори столько раз, сколько данных чисел.

Только эти два правила дают общие риторические формулы для уравнений:

1) а : b = с : х

[х : у = а : b 2)jx+y = c

независимо от конкретного значения.

Все же другие правила дают риторические формулы с точным указанием конкретного содержания задачи, а не риторического уравнения. Так что для двух различных по конкретному содержанию задач мы будем иметь различные правила, хотя уравнение будет тем же.

Так, правило смешанное дает возможность определить, сколько следует взять вещества данных ценностей, чтобы смесь имела данный вес и данную цену.

Но задача: N проехал всю дорогу в 190 верст от своего имения до города за 9 часов, причем ехал сперва на лошадях, делая 10 верст в час, затем по железной дороге, делая 35 верст в час; сколько времени он ехал на лошадях, сколько на поезде? - хотя и приводящая к совершенно той же системе уравнений

ах + by = с х + у = d

тем не менее не относится к правилу смешения.

Если иметь в виду купца, которого желательио научить производить с выгодой или, по меньшей мере, без убытка для себя, махинации с винами и другими товарами, то нельзя отрицать полезности изучения формул, решающих этого рода задачи.

Но в настоящее время арифметический учебник составляется для детей и при этом на первый план ставится не научное значение, а развитие ума.

С этой точки зрения все эти правила в значительной мере теряют свое значение. Их место должны по большей части занимать типы ариф-

316


метических задач, т.е. наглядно-риторических решений, причем типы должны определяться характером логических операций, а отнюдь не конкретным содержанием задачи.

Упомянутаятолько что задача должна быть отнесена к той же группе задач, что задачи на смешение вин, к задачам с решением, представляющим арифметизированное решение простейшей системы уравнений:

fax + by = с |х + у = d

по методу сложения и вычитания.

В ряде задач с наглядно-риторическими решениями, отвечающими течению совершенно различных образцов, учащийся должен прощупать одну и ту же схему логического мышления и научиться ее применять и в других подходящих случаях.

Но не следует отсюда делать заключения о необходимости исключения "правил" из арифметики.

Вне сомнения, что буквенная алгебра пускает свои корни именно в эти правила: в них именно впервые математики пытаются выразить в общей форме хотя бы результат, будучи еще не в силах сделать то же с самим ходом решения, общность которого они уже сознают. Совершенно таким же образом, как согласно § 1, следует от арифметических решений перейти к числовым уравнениям, от правил т.е. словесной формулы, следует перейти к буквенной формуле, но последняя не есть еще буквенная алгебра, а только преддверие в ее.

IV. Аксиоматика ХУП века. (Первая половина ХУH века).

§ 1. История новой аксиоматики.

История неевклидовой геометрии дает богатейший материал для психологических размышлений. Как и в других случаях, мы здесь наблюдаем эволюцию не только решения поставленной проблемы, но и самой ее постановки, так что в позднейшей стадии своего развития проблема так же мало похожа на то, чем она была раньше, как старик похож на годовалого ребенка.

Сперва это задача только о дополнении Евклида156, о доказательстве недоказанной теоремы, принятой, скрепя сердце, за постулат или аксиому (Геминус, Насир-Эддин); затем об исправлении Евклида путем замены сперва его системы определений, а затем системы аксиом другими, более согласующимися с идеалами сперва рамичесган (Рамус|57, КлавийliS), а затем картезианской логики (Борелли110, Арно16"). Сенсуалистическая гносеология, по которой всякое знание, даже геометрическое, вытекает из

317


опыта, создает мысль о возможности ошибки в постулатах евклидовой геометрии и возможности другой, более приближающейся к истине геометрии.

Таким образом возникает проблема о доказательстве истинности евклидовой геометрии (Саккери161, Ламберт162, Лежандр163). Перед математиками выступают три системы геометрии, из которых две стараются исключить путем вскрытия в них противоречия.

Далее - проблема о строении неевклидовой системы геометрии, неудовлетворяющей 5-му евклидову постулату, построение логически возможных пространств, построение "Summum genus" - высшего рода, объемлющего эти пространства (Грассман16'4, Рныан, Гельмгольц1* и Ли167). Но отсутствие противоречия в геометрической системе, развиваемой в одном из этих пространств еще не доказывает, что это пространство может существовать, ибо противоречие может оказаться в тех положениях, которые не вошли в эту систему.

Здесь проблема из онтологической - о реальном пространстве, обращается в чисто логическое аксиоматическое иследование (Бельтрами118, Клейн169, Гильберт170), в исследование совместности положенных в основание геометрической системы постулатов.

Молено сказать, что вместе с тем с глаз математиков спадает пелена, закрывавшая более широкие взгляды на задачи математики. В то время, как раньше интересовали только узлы той сети, которую образуют математические положения со связующими их логическими связями, и требовалось указать хотя бы один путь от постулатов к теореме, теперь интерес переносится на саму сеть.

В начале этой сети ряд аксиом; А, В, С... D; дальше положения Р, Q, R... Эти последние требуется не только вывести из А, В, С... D, но и требуется разузнать всевозможные системы путей, идущих от А, В, С... D и вытекающих в Р, Q, R... S, требуется определить, возможно ли доказать положения Р, Q, R... S с помощью только части выставляемых постулатов А, В, С... D. Но это еще не все. Из очевидных постулатов (таких, которые поэтому могут быть названы аксиомами) требуется найти минимум, из которого выводится определенная система положений.

Но ту же проблему можно отнести и к неочевидным положениям и, задав ряд положений Р, Q, R... S искать, идя, так сказать, против течения в логической сети, минимум неочевидных положений, из которых, идя через различные узлы сети, можно вывести положения Р, Q... S.

Проблема: "доказать положенияР, Q, R... S" обращается в следующую:

Определить, возможно ли вывести Р, Q, R... S из положений А, В, С... D и если возможно, указать этот вывод (и даже более того, всевозможные выводы Р, Q, R... S из А, В, С... D).

318


Психологическое, а отнюдь ие логическое свойство очевидности некоторых постулатов не дает никакого аргумента за то, что из системы очевидных постулатов можно вывести всякое положение. Поэтому, конечно, существуют верные, но недоказуемые положения, если доказуемость понимать так, что конечным ее результатом должны явиться убеждения в правильности выставленного положения.

Основной проблемой поэтому является следующая. Возможно ли доказать положение Р, Q, R ... S и, если возможно, то построить доказательство, при этом изыскать среди нескольких возможных доказательств то, которое отвечает минимуму очевидных постулатов.

§2. Правила Паскаля.

Вот вкратце происхождение современной аксиоматики и ее частью решенные, частью нерешенные проблемы.

Мы стоим теперь там, где логика сходится с психологией, где уже чувствуется разочарование в идеалах чисто логической математики, где психологический анализ вскрывает, что то, что представляется чисто логическими операциями, оказывается иллюзией, приводящей к чисто психологической проблеме.

Прошедшее всегда подвергается искажению проецированием на него настоящего, многие видят в рационализме XVII века логистические тенденции последнего времени.

Верно только то, что во времена Лежандра и еще более в первой половине XIX века об аксиомах не любили говорить, и как характерное свойство лежаидровых учебников171 можно выставить отсутствие аксиом; в XVII веке своеобразная аксиоматика, занимала почетное место. Нельзя отрицать того, что математиков того времени интересовали аксиомы как и нас. Но только в них интересовало именно то, что нас в настоящее время менее всего интересует.

Это было время, в которое не логика с психологией, а. метафизика сходилась с математикой, математизировались метафизические идеи, которым при дальнейшей эволюции математической мысли суждено было логизироваться.

Очевидные истины, лежащие в основе знания, представлялись тогда своего рода откровениями свыше, врожденными человеческому разум}', который при конечности опыта несет в себе не извлекаемую из опыта идею бесконечности.

Основной аксиоматической проблемой являлась поэтому не логическая проблема совместности и независимости аксиом, а метафизическая проблема собирания полной коллекции очевидных истин.

319


Рядом с этой проблемой стояла другая - о разыскании средств для повышения степени очеввдности этих, правда, очевидных, но только не в равной мере очевидных истин.

Следует вдуматься в правила Паскаля172 чтобы ясно представить характер этой совершенно чуждой нам эпохи.

I. Не следует ничего определять, что само по себе так известно,
что не может быть определено с помощью более простых выражений.

Это значительно уменьшает определения того значения, которое придается ему схоластической эпохой. Таким образом не следует возиться с точкой, стараясь ее тем или другим способом определить, а тем более нагружать ее несколькими определениями. Точка - нечто настолько простое, что достаточно только отрешиться от чувственности, чтобы увидеть ее, так сказать, как на ладони.

Неопределимость некоторых простейших объектов признается и логистическим направлением, но вовсе не потому, что этот объект признается постигаемым непосредственным прозрением, но потому, что это пустой символ, жизнь которому в нормально-гипотетической науке дают только относящиеся к нему постулаты.

II. Не следует оставлять без определения ни одного темного или
рождающего двусмысленность выражения.

III. Следует при определениях употреблять только такие слова,
которые или вполне известны, или которые тут э/се вполне разъяснены.

Эти два правила разъясняют сущность идеографических опытов XVII века, о которых ниже будем говорить.

Следующее правило отражает в себе рационалистический взгляд на аксиомы:

IV. Не следут проходить мимо какого-лиоо основного положе
ния, как бы оно ие было ясно и очевидно, без вопроса: можно ли это
положение признать за аксиому.

V. За аксиомы следует принимать только то, что совершенно
очевидно.

Таким образом, предполагается какой-то особый акт, с помощью которого определяется степень очевидности положения и возможность отнесения его к совершенно очевидным истинам, т.е. аксиомам.

Отсюда, конечно, одни шаг до признания положений с очевидностью, колеблющейся около порога совершенной очевидности, и изыскания средств для закрепления его над этим порогом, о чем мы будем еще говорить.

В шестом правиле Паскаль отступает от Евклида, но остается столь же далек и от современной математики.

VI. Не следует ничего доказыват,, что и так очевидно, что не
нуждается ни в каком более ясном средстве доказательства.

320


Доказательство еще не является самоцелью, логическая сеть, связующая математические истины, еще не служит предметом исследования.

Совершенно не важно, связаны ли между собой логически очевидные истины.

Эти правила, не выдумка самого Паскаля, а выражение лишь того, что в его время думали, разъясняя сущность идеографических опытов XVII века, например Херигона.

Идеография XVII века- это изыскание хорошего безошибочного языка, в котором каждая вещь и каждая операция обозначаются точным символом.

Проблема логического автомата мало интересует мыслителей того времени. Характерной чертой рационалистической эпохи, в особенности более ранней, является то, что интересуются не столько методами изыскания истины, сколько методами избежания ошибок173. В сущности говоря, как Бэкон не исследовал сущности индуктивного метода, [так к] Декарт -дедуктивного. Но оба они, главным образом, занимались ошибками, возникающими при индуктивном и дедуктивном родах мышления.

§3. Правила Декарта

В параллель правилам Паскаля молено здесь упомянуть и о правилах Декарта17" , которые представляют советы, как избежать ошибок при дедукции.

  1.  Первое правило позволяет принимать за истишюетолысо то, что познано таковым наверняка и очевидно (certe et evidenler), это значит, прибавляет Декарт, следует избегать спешки в заключениях.
  2.  Трудные проблемы следует расчленять на несколько, и каждую решать в отдельности.

Следует идти от более простого к более сложному.

  1.  Следует зорко следить, как бы не упустить какого-лиоо элемента в рассуждении.

Можно сказать, что целью идеографии XVII века является именно избежание ошибок согласно правилам Декарта: фиксируя символами, заменяющими, вообще, с колеблющимся смыслом слова, вещи и операции над ними, расчленяя сложные на простые элементы и последие означая простыми символами, а первые их комбинациями, не пропускать ни одного важного понятия, не означив его символом.

§4. Операции повышения степени очевидности.

Следует обратить особое внимание на то, что рационалисты XVII и XVIII вв. признавали различную степень очевидности основных положений, признавали, что в иных случаях разум можно поставить в такое положение,

321


при котором степень очевидности какого-либо истинного положения возрастет.

Для этого необходимо очищение разума от чувственности, закрывающей лучи его натурального света своего рода туманом. И если мы теперь обратимся к рассуждениям рационалистов, то легко усмотрим присутствие в них особого рода доказательств, имеющих своим содержанием не строго логический вывод исследуемого положения из положений очевидных или же выведенных из очевидных, но различного рода пояснения, настраивающие так, что положения, очевидные для автора, после этих пояснений становятся в равной мере очевидными и для читателя.

Возьмем основную аксиому Арно175, введение которой позволяет ему избежать неприятного для рационалистов XVII века метода наложения.

Она состоит в том, что если двум точкам С и D прямой присуще свойство равпоудалнппости от А и В, то тоже свойство присуще всем точкам прямой CD176.

Другие авторы, делая уступку методу наложения, но желая сохранить оригинальный порядок теорем по Арно (ordo Arnoldiani), доказывали это положение не с помощью теорем о конгруэнтности треугольников, а С помощью сгибания, т.е. методом наложения117. Арно, с одной стороны, сознавая, что он ие сможет, минуя метод наложения, доказать это положение, с другой стороны, сознавая и то, что оно уступает в очевидности другим его аксиомам, вынужден употребить упомянутое выше средство убеждения, или увеличения степени очевидности.

Приводим его шесть аргументов:

"Я утверждаю, - говорит он, - что только одно созерцание (consideration) природы прямой линии заставляет видеть истинность этого положения и что без него невозможно сохранить в геометрии естественный порядок вещей.

Ибо: 1) Так как положение прямой зависит только от двух точек, и при задании этих двух точек оно все дано, т.е. положение всякой другой точки определено, видно (il est visible), что положение этих двух точек секущей линии, из которых каждая представляет равно отстоящую от двух точек, определяет все точки так, что они тоже равно отстоят".

Это, конечно, ие логическое доказательство и Арно за таковое его не выдает.

Пусть точка С находится на расстоянии d от точки А, пусть другая точка D находится на том же расстоянии d отточки А. Рассуждая по Арно, нужно было бы заключить, что и всякая другая точка Е прямой CD находится на том же расстоянии d от А178.

Действие этого шаткого аргумента усиливается другим:

2) "Если бы была какая-либо точка Е, более близкая к А чем к В, то прямая необходимо была бы согнута в эту сторону".

322


Здесь разум приглашается к особого рода операции, к попытке построения прямой с противным аксиоме свойством.

3) "Нет основания тому, почему бы этой точке приблизиться к од
ной стороне предположительно перед другой, ни тому, почему приблизить
ся на то или другое количество.

Ибо положение данных точек, определяющих и все остальные точки прямой, может их определить только с равными расстояниями, ибо для них самих существует это равенство".

Это весьма туманное изложение вероятно следует понимать так:

Точки С и D вполне определяют прямую CD. Плоскость ею разбивается на две части Р и Q. Если бы мы не имели СА = СБ и DA = DB, то обе стороны Р и Q различались бы по своим свойствам относительно прямой С и точек А и В, и причиной сему было бы то, что пара расстояний от A (d   d,) была бы иной, чем пара расстояний от В (d'   d' )17'

Но раз (d,, d2)(d'|( d\) одинаковы для обеих сторон, то и все свойства одинаковы, ибо все свойства определяются, если будут даны расстоя-нияЕиDотАиВ.

Это, конечно, не математическое доказательство. Это обращение к общим свойствам пространства, которые как бы смутно нами чувствуются, а не зрятся, как частные свойства фигур, определяемые аксиомами.

Рационалист Арно, конечно, отвергает, что какое-либо ложное положение может когда-либо сделаться очевидным.

Если положение ие всегда очевидно, но когда-либо бывает, таковым, то оно истинно, ибо существуют моменты, когда туман чувственности, застилающий истину, расходится и разум с полным внутренним прозрением постигает истину.

4) "Все геометры, - продолжает Арно, - видимо сходятся на оче
видности этого положения, ибо при решении всех проблем, касающихся
перпендикуляров, все их дело сводится к разысканию двух точек секущей,
из которых каждая отстоит одинаково от двух точек прямой.

И какими бы рассуждениями они ни старались доказать, что их проблемы таким образом разрешаются, тем не менее ясно, что по природе вещей только именно это их разрешило".

Арно хочет сказать, что тот факт, что решение ведется всегда через явно или неявно использованную его аксиому, которую при окончательном обосновании стараются обойти, указывает на лежащую уже в уме некоторую тенденцию к ее признанию.

В 5-м аргументе Арно просто аппелируется к особому вниманию -своего рода апперцепции очевидности.

Особенно интересен 6-й аргумент. Вера Арно в разум так велика, что он признает возможность не только вывода всех положений из очевидных, как Гильберт, но и возможность строгого проведения всей системы

323


доказуемых положений в некотором естественном порядке, отвечающем установленной им иерархии геометрических объектов по степени их простоты.

В б-м аргументе он выставляет необходимость установления в основе геометрии его аксиомы для осуществления естественного порядка как доказательства не только истинности, но и очевидности этого положения, т.е. наличности какого-то тумана у тех, для кого это положение неясно само по себе.

б) "То, что должно уничтожить сомнение в том, что положение это можно принять как ясное само по себе (claire d'elle meme), это то, что иначе пришлось бы нарушить естественный порядок вещей и употребить треугольники для доказательства свойств линий, т.е. с помощью более сложного объяснять более простое, что совершенно противно истинной методе".

$ 5. Херигоп и Гильберт.

Если рационалисты XVII века заботились больше об очевидности основных положений, а наши современники об их минимуме, то вовсе не следует думать, что первые совсем исключили требование минимума, а вторые остаются глухи к требованиям очевидности.

Как можно меньше аксиом со слабой степенью очевидности - вот требование минимума XVII и XVHI в.в. Гильберту же при выборе своей минимальной системы постулатов приходится все-таки ограничиваться положениями очевидными, ибо шине геометрия перестала бы убеждать. Он позволяет только быть менее требовательным в этом отношении. Если бы он отверг требование очевидности, то, может быть, достиг бы еще большего сокращения основных постулатов-, но его геометрия тогда никого не убедила бы.

Попыток построения геометрии при минимуме основных неочевидных положений еще не было сделано. Но они были бы необычайно интересны: в наличности тех или иных теорем они никого не убедили бы, но они дали бы знание, с точки зрения будущей науки не менее ценное, - знание логических связей между положениями геометрии иных, чем те, с помощью которых убеждаются в их истинности.

В XVII в. ту роль, которую в недавнее время сыграл Гильберт, выполнил Херигон'80.

Аксиоматика Херигона сводится к коллекционированию очевидных истин, и он вполне уверен, что ему удастся, пополнив надлежащим образом Евклида, собрать полную коллекцию аксиом. Он совершенно не интересуется вопросом: зависимы или независимы аксиомы его системы, и бесспорно, что в его системе аксиом существуют зависящие между собой.

324


Но он интересуется тем, чем современная аксиоматика менее всего интересуется. Он еще интересуется тем, чем интересовался схоластик, смотревший вглубь понятий и различавший их не столько с точки зрения операциональной, сколько с точки зрения внутреннего содержания. Существуют геометрические объекты, играющие совершенно одинаковую роль в формально-логических операциях, логические эквиваленты относительно большей или меньшей части аксиом, лежащих в основе геометрии, но, бесспорно, различные менаду собой, хотя различие определяется такими признаками, которые ие укладываются в логические термины и при развертывании геометрической системы являются логически недействующими. С логической точки зрения непрерывная система точек (пунктуал), которую несет на себе окружность, и сама окружность могут быть отождествлены, ибо например три точки определяют этот пунктуал и вместе с тем и его носитель - окружность; прямая может иметь с ней не больше двух точек и с этим пунктуалом и с окружностью хотя совокупность, хотя бы и бесконечная, точек и кривая, бесспорно, - две различные вещи.

То нее относится и к углу как наклонению и к углу в бертрановском смысле, как неопределенному пространству, ограниченному двумя пересекающимися прямыми181 и т.д.

Если при коллекционировании очевидных истин отойти от чисто формальной точки зрения, при которой происходит отождествление различных объектов, удовлетворяющих одной и той же системе формальных постулатов, то коллекция наша сильно разрастется, как это имеет место у Херигона.

Интересно исследовать и онтологические, и логические системы аксиом, которые выявляют тот же характер. У картезианца Гейлинку (Melhodus, Сар. II), мы имеем как различные аксиомы: последующее верно, если предыдущее верно; говорящий, что последующее верно, говорит, что и предыдущее верно; невозможно, чтобы предыдущее было верно, а последующее не верно и т.д.

Наряду с 4-мя "постулатами" (3 евклидовских он дополняет постулатом: всегда можно взять величину большую или меньшую данной) он выставляет еще 44 аксиомы (Communes notioues).

Различие точек зрения рационалистической и современной (можно было бы сказать логической) выступает уже в первой группе гильбер-товских182 аксиом: 1,.,. Сопряжения (der Vcrknupfung) по Гильберту:

  1.  Две различные точки А и В определяют прямую.

Любые две различные точки прямой определяют эту прямую; эти аксиомы можно было заменить двумя взаимными (получаемыми обменом точки на прямую и обратно).

  1.  Две различные прямые а и b определяют точку.
  2.  Любые две различные прямые, принадлежащие точке, определяют эту точку.

325


Для Херигона же аксиомы:

  1.  две прямые пересекаются в одной только точке (9 а. Ь),
  2.  две прямые имеют одну только общую точку,

суть совершенно различные положения, в равной мере очевидные. При этом к ним присоединяются две аксиомы, устанавливающие между ними связь:

Две прямые имеют общую точку пересечения (10 а.1). Общая точка двух прямых - это точка их пересечения (19 а.Ь). При дальнейшей обработке мы получаем аксиомы:

  1.  Две прямые a, b имеют или все точки общими, или одну, или ни одной.
  2.  Две прямые a, b имеют или одну точку пересечения или не пересекаются.
  3.  Если прямые a, b пересекаются, то имеют только одну общую точку.
  4.  Если прямые a, b имеют только одну общую точку, то они пересекаются.
  5.  Если прямые a, b имеют две или больше общих точек, то не пересекаются, а совпадают.
  6.  Общая точка прямых a, b в том случае, когда существует одна такая точка, всегда есть точка пересечения.

7) Точка пересечения прямых a, b всегда их общая точка.
Конечно, при развертывании системы формально-логических до
казательств

а и b равны между собой

можно заменить

а = b, b = а

установив как основной постулат, что второе отношение а, вытекает из первого.

Но в понятии равенствамежду собой чувствуется нечто иное, чем совокупность двух отношений а = b и b = а, члены которых имеют определенный порядок. Это отношение совершенно чуждо идее порядка.

Конкретная операция проверки: (А равно В) сводится к наложению А на В, (В равно А) - к наложению В на А, - при этом основной постулат утверждает, что, если в первом случае имело место совпадение, то оно имеет место и во втором.

Проверочная операция (А и В равны) сводится к такой операции, в которой роли А и В совершенно одинаковы (в случае отрезков А и В оба переносятся так, чтобы концы их попали в одну точку и отрезки подвергаются одинаковому вращению до их совпадения).

У Херигона в его идеографии для двух этих понятий имеются различные обозначения.

а 2/2 b - а равно b

326


а & b snt 2/2 Fe - а и b равны между собой.

Впрочем, следует согласиться, что здесь у Херигона остается неясность и незавершенность. В данном перечне его аксиом нет аксиомы эквивалентности а = b и b = а и поэтому равенство "а 2/2 Ь" в его системе аксиом следует понимать скорее в смысле "а и b равны между собой", чем в смысле "а равно Ь". И здесь, как в разобранном выше случае, дальнейшая обработка аксиоматической системы согласно идеям рационализма повела бы к массе новых аксиом и к дальнейшему раздуванию и без того громоздкой системы.

Обратим внимание на то, что у Херигона нет аксиомы а = а.

Равенство это с евклидовой и его точки зрения могло бы иметь смысл только в случае двух, а не одного объекта183.

Отношение равенства имеет всегда два члена.

Сказать Д ABC = Д ABC все равно, что сказать, что я сам себе брат. Иное дело логическая аксиома тождества "А есть А", здесь первый член не одно и то же, что второй: первый индивидуум, второй же класс. "А есть А" - не равенство, а отношение А к классу, состоящему из одного этого индивидуума.

Но тогда аксиома "если а = Ь, то а + с = b + с" не подводится под аксиому "если а = Ь, с = d, то а + с = b + d" (2 акс. I книги "Начал" Евклид) II т.д.

§ 6. Алгебраическом аксиоматика Херигона.

Приведем алгебраические аксиомы Херигона.

а = Ъ

а = с Ь = сl

c = d Г Га   (Л f а > с

с = а    - с.> а > b

а = Ь 1а)с = Ьfа = c   1а. Ь)

а = Ь а > с

b = d In- d)   яь>с    1а.е)  111>*>*

b = d a = b

a -l- с = b + d

a+b = c-l-dl
Ia.f)  
h     - ^a + d = o + b

IIa,L)c = d

327


a = b] Ilia. 1) й=Л a-c = b-d

*bl

IVd. I) с = ъ\ a + c,ib+d

a>b,

IVa.c)        Ja + ob + d

' od

 Ша.Ь) a = -b|a-b = ^ib

c*dj a*b|

a-c^b-d

a=bl IVa.b)        .|a + c*b+d

Va.l)c = dp-

a> b

Vac)c<d

a-ob-d

 

a = 2cl b = 2c|

Via. 1) . _ r  f a = b

Vla.b) a>b}2a>2b

b = c 1 Via. c) . _ 2b r a = 2c

b = 2c

a = b

:2CJ

Vla.d) a.= >i -    -

a = ic

Vila. 1)        i b=-c 2

a = b

od

Vila, b)   a=-c?

2

b=id

2

 a>b

1

a =—с

b = с

Vila.с) а = 1ьГа = 2С

a=b

VHa.d) a = Ic 2

b = -c

2

a-b

сфА

XVa. I)        ,   (a + c)-(b + d) = c-d

c*dl XVa.b) a = j0 + a)-(d + b) = c-d

a = b

c*d

XVIIa. I) Ha-c)-(b-d) = d-c

328


XVIIIa. 1) °^c-a)-)-(-b)) = c-d

= Ib

a =

2

XX)        i c =—d

2

 (a-c) = |(b-d)

a = 2c1 ^ 3) b = 2dj ^+     ~ c(C +

а ne>b| XXаa-1> ai,e<b] а = Ь

Мы пользуемся современной символикой.

Если строго различать символы 2|2 и snt 2|2 Fe п" = Ь" понимать во втором смысле, т.е. брать

а + b 2|2 с + d

b&dsnt2)2Fe

то не трудно видеть, что I а!) вытекает из III а, и II а(.

На первый взгляд представляется очень странной аксиома VI а, кис будто бы тождественная Iа.

Чтобы решить эту загадку, следует заметить, что 2с результат некоторой операции над с -удвоения.

Чтобы усвоить себе особое значение этой операции, следует уяснить, что представляла из себя алгебра во времена Херигона.

Понятие геометрической величины проделало большую эволюцию.

Когда в алгебре предлагают уравнение ах1 + Ьх + с = О,

то а, Ь, с считают числами, х (неизвестное) тоже числом.

Но в XVII и XVIII вв. алгебраическая величина это - род, объемлющий два вида: непрерывные величины, каковыми являются геометрические длины, поверхности и объемы, дискретные величины, т. е. числа, причем понятие числа не идет дальше рациональной области.

Сочетание ab понимается или как результат умножения числа а на Ь, или как результат умножения отрезка а на Ь, причем понимание умножения отрезков подвергается метаморфозе. Сперва это образование прямоугольника, построенного на а и b (между а и Ь, кис говорит Евклид) - результат ab - площадь этого прямоугольника, позднее же (у Декарта) это отрезок, получаемый построением на О А и ОС: откладывается ОА = а, ОС = I. приводится АС на ОС, на ОА откладывается OB = b и из В проводится BD || АС, тогда OD = х = ab, т.е. х : а = b ; I181.

329


Алгебра возможна потому, что нормальные законы операций: сложения, вычитания, умножения, деления отрезков - те же, что у соответствующих действий над числами.

Обращение алгебры в численную алгебру произошло с установкой взаимообразиого соответствия между числами и геометрическими объектами.

Стоя на такой точке зрения, Херигон естественно должен был выделить удвоение, как особую операцию над величинами, так кале для непрерывных величин (например, отрезков) умножение сводится к последовательным удвоениям, а само удвоение есть геометрическая операция, не производимая ни в коем случае над двумя отрезками, а только над одним. Деление же пополам, не основанное на теории подобия, коренным образом отличается от деления на 3, 4, 5 частей.

Интересно сравнить систему аксиом Херигона с системой Фортунатов ^ относящейся уже к XVIII веку.

I. а, Ь, с части m

ш = а + b + с а + b + с = m

 II. а, Ь, с части га ш > a, m > b, in > с

 III. а

IV.

а = b d = c а = d

 b

 =

с

 \r

 

с1

а =

b = d

C=*d

 a*b

VI.

a = b b = a с = a

 ■ c = b

VII.

a = b b = a a = с

b=c

vm.

a = b b = a

c = d d = c

a = c

a = b

a^c ' c=   I

a = b| ane>bl        , a>b] ,      ,

XI. Ucc = b-d    XII A'a = b   XIII U + ob + d

c = dj аne<bj c=dj

a > b 1

XIV. > a~o>o-d

c = d

Здесь a=b определенно отличается от , причем последняя

Vb = а)

символика ставится на место херигоновскнх

330


Snt 2|2 Fe

Первая аксиома Евклида (и вместе с тем и первая аксиома Хериго-на) у Фортунато разбивается на три: IV, VI, VII. Последние две он мог бы сплавить в одну:

а = Ь|

b = а I b = b

с = a j с = b

а = с J

Отчего аксиома VI не подводится как частный случай, под IV, заменяя d на а?

Потому что во втором случае мы имели бы три условия: а = b, а = с, а = а, с иным порядком членов и с недостающим условием.

Если отнести эти аксиомы к отрезкам, то геометрическое их значение будет совершенно различно:

в VII а накладывается на b, a b на а, и в обоих случаях имеет место совпадение, с накладывается на а - утверждается совпадение при наложении с на Ь,

в VII а на b, b на а, а на с и утверлдается совпадение при наложении b на с,

в IV а на b, d на с и в обоих случаях совпадение, кроме того а на d и тогда совпадение - утверждается совпадение при наложении b на с.

К этому времени коллекционирование очевидных аксиом оказывается математикам совершенно не по силам, так как число их быстро растет, проблему о собирании всех очевидных аксиом приходится заменить проблемой о собирании тех, из которых можно вывести все положения, но при этом вовсе не ставится условие независимости этих постулатов.

Необходимость сокращения их числа вызывает к жизни аксиому а = а, которая может иметь смысл и быть признана за очевидную истину при изменении самого смысла взаимоотношения равенстаа между а и Ь, которое должно уже пониматься не в смысле непосредственного их взаимоотношения, а взаимоотношения каких-то двойников, создаваемых мыслью (отрезок накладывается сам на себя).


$ 7. Идеография Хериготш

Херигон при изложении Евклида пользуется особого рода символикой.

Для ознакомления приводим доказательство 5-й теоремы I книги "Начал" Евклида (чертеж 3).

Praep. ad est arb itr.

ae2|2ad od&besnt-

3.L l.p.l

land

4.1

4.1

Zabc2|2Zecb

Zdcb2|2Zebc

Zacd2[2Zabe

У

2 and 3.a.l

Zacb2|2Zabc

186

Черт. 3.

Hypo Hi

ab 2|2 ас

abd & асе snt

Req л demonstr

/ abc 2]2 Z acb

Z cbd 2|2 Z bee

Demonstr.

Constr.

ud2]2ae

hyp.

ac2|2ab

Z comnuin.

4.1

de2|2bea

4.1

Zadc2|2 Zaebp

4.1

Zacd2|2Zabey

Constr.

ad2]2ae

hyp.

ab2|2ac

la.l

bd2|2ce

a

ac2|2be

P

Zbdc2|2Zceb

Другой пример доказательств стереометрической теоремы. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум пересекающим прямым, не лежащим с ними в одной плоскости, то углы, ими образуемые, равны:

332


Hypoth.

Ргаер.

Cone]. a8.1

ab = de

ac= df Req n deraonstr ^bac2|2 zedf

Demonstr. a33.1ab2|2cT = de

33.1

be2|2a = ad

a 33.1 ae2|2cr=df 33.1cf2|2a=ad

bc2|2a = ef     1M Zbac2|2z:edf

 3.1

l.p.1

 *'4snt2|2Fea ad,bc,efl

snt-

Черт. A.

be.cfj

Для того, чтобы разобрать этот шифр, необходимо иметь словари

символоп.

+ да -без

Fe между собой F п в II или

; множ. число т|не

а, Ь, II a, b - прямоугольник, построенный на а и b . есть точка - есть прямая

n и часть круга а о сегмент круга Z. угол

сти

а2 - а в квадрате

а3-а в кубе

= параллельны

1 перпендикулярно

2|2 равно

3|2 больше

2|3 меньше

д треугольник

J прямой угол

Q квадрат

Округ

□ прямоугольник

Словарь сокращений:

hypoth.- гипотеза... предположим, что req.-требуется demonstr.-доказать concl. - отешда следует

 333


цифры за чертой - ссылки на ранее доказанные теоремы

15. а. 1 - 15-е определение I книги "Начал"

3. а. 1 -третья аксиомаI книги

с. 17, 1 - королларий 171 книги

s. 26. 3 - королларий 26 III книги

1. р. 1 - первый постулат I книги

3 -1 - третья теорема I книги.

Херигон для пояснения своего идеографического языка приводит ряд примеров.

Часть символов Херигона переводится на нашу алгебраическую символику.

а и b 2|2 с я d]

или a тт

b 71

b       fa:b=c:d d

anb3!2c7cdJ->-1b    d

a 7i b 213 с 7t di-< — lb    d

Идеография Херигона не единственная. Нам трудно привести словарик Угхтреда|8в по техническим условиям печатания. Он дает символы для равно, больше, меньше, не больше, не меньше, равно или меньше, равно или больше, пропорции, большее отношение, меньшее, непрерывной пропорции, большего ближайшего, меньшего ближайшего, прямоугольника, треугольника, квадрата, стороны квадрата, среднепропорциоиалыю-го, соизмеримых, несоизмеримых, соизмеримых и несоизмеримых в сте-пенн'8', рационального, иррационального, среднего, линии разделенной в крайнем и среднем отношении т большей и меньшей части; к этому следует прибавить еще и алгебраическую символику.

Можно указать еще и на идеографию Болье19', в которой наиболее употребительные слова означаются символами, например: найти, сделать, построить, есть, их, что и т.д.

S 8. Пеагю и Херигон.

На первый взгляд в этой идеографии может представиться логистическая тенденция, можно увидеть в ней предтечу пасиграфин Пеано192.

Но сходство только внешнее. По существу же здесь огромная разница.

Возьмем ряд систем понятий.

334


АрА,, Ау..

А'„ А'„ А'3,,.

Д",, Д"2> Д"3.,.

положим, что путем некоторых операций

Р„Р2,Р,...

над ними получаются системы;

В„В2,В,...

В'„В'2,В',...

В"„ В"4, В",...

отсюда операциями: Q,, Q2, Q3...

получаются:

с,,с23...

С',, с\, с3...

С",,С"Г, с3...

Если с формальной точки зрения системы отождествляются, те признай!, которыми эти системы различаются, являются логически не действующими. Для всех них устанавливается одна и та же система символов.

Так Пеано одним и тем же символом г> обозначает и вывод и отнесение к классу класса.

"а => о" означает "из а вытекает Ь," если a, b - предложения, и означает "а есть Ь" если а и b - два класса.

а =э b. b => с: =э: а => с можно понимать так: "если из а вытекает Ь, из b вытекает с, то из а вытекает с", или же, "если а есть b, b есть с, то а есть с".

То лее относится и к п, и п- знакам логического умножения и сложения, словесно выражаемым "и" и "или".

В логике предложений anb- совместное утверждение двух положений: стороны равны и углы равны; в логике классов aub- класс, входящий в а и Ь, например, "старый немец", т.е. из класса а стариков взяты все принадлежащие ныне к классу немцев.

В логике предложений aub- утверждение одного из положений: А равно А, или А меньше В. В логике классов aub- клссс, составленный из а и Ь, например, aub выбывшие из строя, если а - убитые, b - раненые.

В этой символике нетрудно прочесть положения: x! - Зх + 2 = 0 : D: : х = 2 u x = 3

(х - 1)- + (у - 2)2 = 0. п х. у. =з real: э :х = 1 пу = 2 первое: если х~ - Зх + 2 = 0, то х = 2 или х = 3; второе: если (х - I)2 + (у - 2)2 = 0 и х, у суть величины, то х = 1 и у = 2 ("то" и "суть" означены одним символом).

Таким образом, проблема символики с современной точки зрения относится к операциям, которые с помощью нее должны быть ясно пред-

335


ставлены разложенными на простейшие элементарные операции, сводящиеся, по мнению логистиков, к чисто логическим.

С точки зрения рационалистов XVII века все упомянутые системы должны означаться различными символами, именно для того, чтобы ие было между ними смешения, чтобы исправить недостатки словесного языка, грешащие против II и Ш паскалевых правил. Именно с той целью и создается новый язык символов, в котором между знаками и понятиями строго определяется взаимно-однозначное соответствие.

Это не только сокращенные словесные выражения, это - замена неточного словесного выражения точной символикой.

В выражении "продолжим ab" есть неточность, так как продолжить можно, идя и по прямой, и по кривой; если бы bd была дугой круга, то все-таки можно было бы bd считать продолжением, хотя, правда, криволинейным и т.д.

То же относится и к обозначению

a, b II a, b - прямоугольник, построенный на а, Ь.

Вне сомнения, в этот символ мы имеем вложить то, что может быть выражено в словах только с помощью длинного периода.

Выражение: "прямоугольник, построенный на а, Ь" - не говорит, конечно, всего, что следует сказать. Ведь следует для полноты указать, как следует строить этот прямоугольник.

Положим, что кто-нибудь строит прямоугольник так, что а является его диагональю, ah- основанием; он будет употреблять то же выражение - прямоугольник, построенный на а и Ь, отличая его от прямоугольника, построенного на с, d.

С указанной выше формализацией математики символизм операций подвергается соответствующему упрощению, так как символ начинает определяться больше механизмом формальных операций и меньше объектами, над которыми производятся эти операции.

Раньше введения понятия об иррациональном числе и установки взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами была усмотрена система общих законов, соответствующих фор-мальиым операциям над числами и отношениями, что и вызвало взгляд на Отношение как на число.

Сперва равенство отношения означается символом "::", так что пропорция пишется так:

а:b::с:<1(Ухтред),

д    с

а равенство дробей так: - = -.

В дальнейшем один и тот же символ — стал фигурировать в обо-их случаях (у X. Вольфа).

"УРПНГПН  ППРЛ ППГПРТ nfirj^uninTt. ПТНПТТ№НГТР Т*1Тг~* ^Vv|Jl'il UIl   HJJv'^Jltlt f Jl*> 1   (JUlJ.jrlfl let 1 О  KJ l ПиШ1/ГШ1/   1 mR.

336


а % ел

но чаще употребляет другое: а % b 2|2 с п d, в котором 2|2 с точки зрения его современников можно было бы опротестовать, но "а л Ь" еще

отнюдь не тождественно дроби —"

§9. Определение у Лейбница.

Аксиоматика Лейбница уже несколько иная. Дальнейший за ним этап, это математика без аксиом. Необходимо было старой аксиоматике умереть, чтобы на ее месте родилась новая аксиоматика.

У Лейбница схоластическая проблема о разыскании истинного правильного определения заменяется проблемой о разыскании совершенного определения.

Проблему эту он формулирует так:

Предполагается определение всех свойств, по Лейбницу - терминов, заданным - найти лучшее определение193.

В чем же состоит совершенное определение? Оно должно содержать все условия, необходимые и достаточные, чтобы быть в состоянии доказать все свойства определяемого объекта. Одну и ту же вещь можно определить различными системами признаков:

О.

 

«it,   а2,

а3

Ь„   Ь2,

b3

С1>      С2 =

с3

Какие лее требования следует предъявлять к системе признаков, чтобы признать к ним относящиеся определения совершенными1]19* Пусть п присуще свойство к. Необходимо, чтобы это свойство могло быть выведено из этой системы признаков. Система признаков а может однозначно определять Q так что задав а мы всегда найдем £i но а сами могут быть выведены из системы k   к' Ц       icvuci входит к

"' Лейбниц признает единственность такого совершенного определения. Для вывода всех свойств необходимо иметь одну только систему совершенных признаков; всякая другая система должна оказаться недостаточной при выводе какого-либо из свойств.

Лейбниц верит, что с помощью особого рода, анализа можно вскрыть это совершенное определение. Во взглядах Лейбница в особенности интересным представляется идея о возможности таких случаев, при которых такой анализ оказывается бесконечным, н ряд определяющих признаков а,, а„аг.,. тоже бесконечным.

337


Лейбниц определенно говорит, что анализ истины может быть конечным и бесконечным. Если он конечен, то он приводит к нескольким простым положениям, из которых они выводятся; если он бесконечен, то он ведет от положения к положению, не приводя к принципу по истине простому.

Лейбниц в первую очередь при научном значении выдвигает анализ - разложение понятий на их простые элементы с помощью определения; во вторую очередь - синтез, состоящий в реконструировании понятий, исходящий из этих элементов с помощью искусства комбинирования.

Познание вещи совершенно, если совершенным образом произведен ее анализ, и тогда уже возможно дедукцией вывести все ее свойства.

"Признак совершенного знания, - говорит Лейбниц, - это когда ничего не остается в нем такого, чему нельзя было бы выдвинуть основания, и иет явления, которого нельзя было бы наперед указать"115.

Доказательство представляется Лейбницу комбинированием простых элементов.

Лейбниц порой думает, что совершенное определение является разложением на последние простейшие элементы, дальше уже неразложимые.

Такое разложение вместе с тем дает и оправдание определения, обнаруживая возможность существования определенного объекта, так как простые элементы являются уже безусловно совместными, как диспаратные. Чтобы убедиться в непротиворечивости, следует только разложить на простые элементы.

§10. Аксиоматика Лейбница.

По Декарту, очевидные положения недоказуемы. По Лейбницу, очевидные положения можно доказывать и он, действительно, доказывает совершенно очевидные положения.

Так, он доказывает вторую аксиому "Начал" Евклида, что если к равным величинам прибавить равные, то получатся равные, а также аксиому, что часть меньше целого.

Кроме того, он доказывает очевидные положения чисто логического характера, и в этом смысле кладет начало математической логике. Он пытается даже доказать, что если а есть b, b есть с, то а есть с.

Он приходит к мысли о доказуемость и других очевидных положений сведением их к законам тождестаа и противоречия, признаком истинности которых, по мнению Лейбница, является вовсе не их очевидность, а полная невозможность без них логических операций. Можно, строя металогику, показать, насколько эта мысль неправильна. Молено привести в движение аппарат, который по своей конструкции вполне аналогичен формально-логическому аппарату и отличается только тем, что под ним нет такого субстрата, который мы могли бы признать реальным.

338


Лейбницу кажется, что и сама очевидность является только следствием простоты ее доказуемости, близости этого положения к началу логической сети, узлами которой являются только эти основные законы и определения.

"Откуда, - спрашивает Лейниц, - эта достоверность аксиом? Она не может идти из опыта, ибо индукция не может проверить универсальность и необходимость положений. Необходимо, чтобы она основывалась на принципе тождества и противоречия. Все положения должны быть доказуемы, кроме тождественных и эмпирических"116.

Лейбниц заявляет, что чтобы узнать, следует ли доказывать положение, не следует спрашивать, очевидно ли оно и несомненно, даже и то, постигается ли оно ясно и раздельно (claireinent et distinctemeiU)j но тождественно ли оно или сводится ли к принципу тождества.

"Из определения, - говорит Лейбниц, - можно все доказать, кроме тождеств положений, которые уже по самой своей природе представляются недоказуемыми, и поэтому называются аксиомами: обычно аксиомы разрешением объекта или предиката, или обоих вместе сводятся к тождественным или доказуются тем, что противные предполагают, что вместе то же и есть, и не есть"197.

Отсюда ясно, что оно приводит в конечном анализе к апагогическим доказательствам, и что некоторые схоластики были правы, сводя все аксиомы к принятому противоречию.

Здесь следует отметить, что Лейбниц ничего не говорит о принципе исключенного третьего, на котором основывается апагогическое доказательство, и отсюда можно было бы сделать заключение, что Лейбниц верил в возможность доказательств исключительно прямых.

Но более глубокий анализ его аксиомы противоречия разделяет ее на четыре момента, причем последние два дают аксиому исключением третьего.

1 0 а не есть не а

2° не а не есть а

3° то, что не есть а, есть не а .

4° то, что не есть не а, есть ит.

По Лейбницу, правила управления разумом должны сводиться только к двум:

  1.  Ut nulla vox admittilur non explicate, - чтобы ни одно слово не допускалось без объяснения;
  2.  Ut nulla propositio nisi probata - чтобы ни одно положение [не оставалось] без доказательства.

Он считает их более действительными, чем четыре картезианских правила в "Первой философии",199 из которых первое, состоящее в том,

что верно лишь то что ясно и раздельно воспринимается  тысячи раз

вводило в заблуждение.

339


Впрочем, Лейбниц дает и другие правила, критикуя более подробно правила Декарта.

Очень характерным является его предложение в противовес декартовскому второму правилу: изучать только такие вещи, о которых мы можем составить только определенное и несомненное знание; он советует, в том случае, когда это невозможно, довольствоваться вероятным знанием.

Согласно Лейбницу, доказательства выводом из очевидных поло-жений являются незаконченными и обладают тем же недостатком, что доказательства из неочевидных положений, ибо те и другие, как очевидные, так и неочевидные, следует непосредственно или с помощью принципа противоречий свести к положениям тождественным.

V. Генезис и история теории пределов. (XVIII век).

§1. Проблема об ишшпзировашш форм.

Генезис идеи предела следует искать не в античном методе исчерпывания Евклида200 и Архимеда201, с которым ложно отождествлялся метод пределов некоторыми математиками XVILI века, а в знаменитом схоластическом споре об интензировапии форм.

Согласно Аристотелю и схоластикам, каждая единичная вещь состоит из двух элементов: формы и материи™,

Аристотелевская форма - это наследница платоновской идеи™.

До своего соединения с формой материя имеет возможное существование, но, соединяясь с формой, она как бы одухотворяется, приобретает актуальное существование. Она мыслится Аристотелем и схоластиками как пустой сосуд (при возможном существовании) и как наполненный различным содержанием, сменяющими друг друга формами (при актуальном существовании). Здесь следует помнить, что аристотелевское возможное существование отнюдь не чисто логическая возможность. Оно находится как бы в высшей, в сравнении с последней плоскостью существования.

То, что представляется изменением - это только последовательное соединениес рядом возникающих и погибающих форм.

Мы должны были бы углубиться в эволюцию схоластической мысли, чтобы выяснить, каким образом могли возникающие и погибающие формы Аристотеля обратиться в изменяющие формы схоластиков.

Во всяком случае, совершенно ясно, что проблема интензирования и ремизни форм (усиления и ослабления) это средневековая проблема.

Вопрос ставился сперва о том, имеет ли место интензирование, затем о том, как оно происходит.

Эмбрион идеи переменного находится именно здесь, в области этой

340


схоластической метафизики, это изменяющаяся форма, форма, которая, оставаясь той же, сохраняя, так сказать, свое ядро, свою "этость", вместе с тем изменяется, принимая различные виды (по Д. Скотту - формальности).

Но в эмбриологии идеи переменного и предела, имеет значение не только тот сдвиг в воззрении на формы, отмечаемый и у более ранних чем Скотт схоластиков, но и скоттическое объяснение самого интензирования.

Относится ли изменение формы к качеству, т.е. к сущности, или же к самому существованию20-', так что новая ступень дает новое бытие.

Здесь, как и в других случаях, томисты и скоттисты ведут между собой отчаянную борьбу.

Фома Аквинский учит о радикации формы, он мыслит прибавленные степени, потенциально заключенные в форме, выступающие в актуальное бытие при изменении формы.

Он сравнивает206 радикацию с деревом, пускающим в землю все более и более корней и, таким образом, закрепляющимся.

В форме, таким образом, уже в потенции заключается все то, чем она должна стать. Это сравнение не вполне удачно, а именно потому, что Фома признает изменение исключительно скачками, всякая изнутри выступающая новая часть - это что-то вроде современного кванта, на который только и возможно изменение.

По Дунсу Скотту, прибавляемые части идут извне как раньше не принадлежащие форме.

Их форма впитывает, оставаясь собой, но подымаясь к высшей степени совершенства.

Для скоттнстов прибавляемые степени - это что-то возникающее вне формы, более простое и менее совершенное чем эти формы.

Уже и в этой весьма ранней ступени эмбрионального развития идеи переменного мы видим ее тесно связанной с идеей предела, весьма неясные очертания которой мы можем выловить, хотя и с трудом.

Это, во-первых, полное совершенстоо формы.

Это конец томистической радикации, когда все содержание формы перешло из потенции в актуальность. Но это пока только ступень, которая фактически недостижима, но логически должна быть признана достижимой.

Но в большую глубину ведет рассмотрение другого конца интензирования. Томисты отказываются мыслить первое изменение с нуля.

Прежде, чем начать изменяться, форма должна создаться™, явиться. Это первый момент. Когда же начинается интензирование?

Только в последний. Но тогда между моментом создания и этим протекает время, когда форма остается неизменной. Обратное изменение, ремизия формы, должно прекратиться, не дойдя до нуля.

Здесь открывается два пути - к актуально бесконечно малому, к

341


представлению о зернистом строении континуума и к идее асимптотического приближения.

§2. Эмбрион идеи функции.

Для того чтобы спасти неизменность формы, Д. Скотт мыслит различные ее совершенства, различные формы форм в своей промежуточной области бытия, formatter ex natura rei208 и называет их формальностями™.

Результатом победы скоттического взгляда является количественная точка зрения на основные аристотелевские свойства, определяющие четыре эмпедокловых элемента210: сухость, влажность, теплота и холод.

Это - первые переменные величины, причем сперва интенсивные, затем экстенсивные.

Из субстанциальных форм они обращаются в субстанции, в своего рода материи, с уже самостоятельным существованием, и как таковые, вследствие занятия определенной части пространства, экстенсивными величинами. Впрочем, мысль, оперируя этого рода величинами, находится все время в колебании: эти величины то эмансищшируются, то снова погружаются в сферы пространственного мышления.

ТелезшР" признает три элемента во вселенной: два бестелесных - тепло и холод, и один телесный - материю. Тепло идет с неба, холод из земли, и в круговороте вселенной происходит их смешение.

Тепло выгоняет холод и обратно, выгнав его из тела, может увеличиваться в своем количестве притоком нового тепла.

Эта количественная точка зрения приводит учеников Д. Скотта к однозначному соответствию между формальностями и длинами прямолинейных отрезков и отсюда к учению о широтах форм (latitudine Гогшагшп) Н. Орсзма212, представляющему, по существу, графическое представление форм в зависимости от времени, так что интензирующаяся форма мыслится как функция переменного - времени longiludo; долгота - это та же абс-. цисса, latitiido - широта - ордината; первая определяет значение независимого переменного, вторая - функции.

Степень - gradus latitudinis, разность между двумя следующими друг за другом широтами, представляет приращение функции223.

Нуль функции - это "нестепень" (поп gradus). Но ■характер функциональной зависимости определяется в духе Аристотеля и схоластики - качественно, а не количественно.

Случай f(x) = 0 для некоторой области изменения х характеризуется Орезмом как "одноформепнсвГ степень повсюду (uniformis gradus per totum).

Этому случаю противополагается разноформенность (diflbrmis), причем различаются: случай разиоформенности повсюду и частью, чему отвечают графики: например, образуемые кругом или прямой, не парал-

342


лельной ОХ, и образуемые отрезками таких кривых и прямых, параллельных ОХ,

Орезмом выдвигается еще одноформенная разноформенность и разноформенная разноформенность (uiuformilas difflbrmis et difformitas difformis).

В первом случае excessus graduum - приращение долготы, отвечающее определенной широте, постоянно, что имеет место для прямой, наклонной к ОХ.

Не следует думать, что дальнейший ход мысли определялся только скоттической, а не томнстической схоластикой. Тщательный анализ вскрывает как томистические, так и скоттические элементы в мысли XV и XVI веков. В актуально бесконечно малых, как неделимых Кеплера214 и Кавальери225, мы легко видим помянутые выше кванты Фомы Аквинского и выходящие изнутри, но вместе с тем и привходящие извне, формальности Скотта, обладающие каким-то неполным существованием.

Но следует отметить, что развивающийся в XVII веке рационализм по духу своему ближе к томизму. Эмбрион идеи функции, начавший развиваться в XVI столетии21*, останавливается в своем развитии в XVII веке.

Интересно отметить, что Декарт, положивший начало аналитической геометрии, основанной на координатном принципе, чужд идее переменного. Уравнение кривой21" характеризуется не функциональной зависимостью ординаты от абсциссы, характером изменения первой в зависимости от второй, а способом построения первой, когда дана вторая.

§ 3. Лейбниц и Ньютон.

Идея переменного снова, и уже определенно, выступает на закате рационализма в постепенно математизирующейся форме у Лейбница и у Ньютона.

Это сперва величина, изменяющаяся только во времени218, Для всех изменяющихся величин устанавливается одно универсальное независимое переменное - это время L

Это сперва действительное время, а затем более абстрактное и общее умопостигаемое время, нечто, что в результате характеризуется одним признаком - служить универсальным независимым переменным.

Эта воскресшая идея в сочетании с идеей актуальной бесконечности, крепко владевшая умами этой эпохи, дает понятие предела в той форме, в которой она в довольно смутном виде выступает у Лейбница гак метафизическая идея, а у Ньютона уже как математическая идея.

Некоторый объект X (ие обязательно величина) изменяется. Конечный результат достигается конечным или бесконечным процессом во времени. При этом время, в продолжении которого совершается бесконечный щэоцесс, мыслится как актуально бесконечный промежуток времени.

343


Предел А мыслится всегда достигнутым объектом X.

Предел А рассматривается как одна из форм, можно сказать, последняя форма. С этой идеей связывается основное свойство предела, выраженное Лейбницем в форме214: "Datis ordinatis eliam quaesita sunt ordinata", т.е. если данные (иначе говоря, различные значения или общие формы X) известным образом упорядочены, то тот же порядок имеет место и в искомых, что следует понимать (вводя математический термин "предел") в следующем смысле: "Свойства, присущие Xво все время его изменения, остаются и в пределе"..

Чисто метафизический принцип непрерывности natura nоп facit sallus (природа не делает скачков) устанавливает существование между объектами А и В еще промежуточного по своим свойствам объекта С = (А

В)220.

Отсюда возникает мысль о необходимости прохождения каждым изменением объектов X непрерывной совокупности форм, из которых смежные между собой формы неразличимы.

Если изменение объекта X должно закончиться формой А, то между X и А существует бесконечное множество промежуточных форм. Если при изменении X какое-либо свойство X остается неизменным, оно найдется и в А, ибо в противном случае делается скачок и, так сказать, в последний момент, когда изменение заканчивается, X улетучивалось бы.

Поэтому принцип непрерывности с этим необходимым его следствием Лейбниц принимает за принцип общего порядка; он замечает, что этот принцип безусловно необходим в геометрии и полезен в физике.

Если эллипс с бесконечно возрастающей осью datum (данное), то и то, что присуще эллипсу (например, основное свойство фокуса и директ-риссы) остается неизменным в параболе221.

Эти лейбиицианские идеи подвергаются у Ньютона математизации.

Основная лемма ньютоновского метода первых и последних отношений: величины и отношения величии, которые стремятся в данное время к равенству и в течение его могут приблизиться к нему ближе, чем на какую угодно данную разност,, становятся, наконец, равны.

По латыни: quantilas ut et quanlitatura rationes, ad aequalitatem dato tempore constanter tendunt et eo pacto proprius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia flint ultimo aequales.

Перевод ultimo aequales проф. Крыловым222 -"« пределе равны," совершенно искажает смысл, ибо создает представление не о последней их величине, о которой идет речь, а о величине, находящейся вне сферы возможных значений X, к которой X стремится, никогда ее не достигая, как это мыслили только позднейшие математики.

Доказывается эта лемма от противного:

"Если отвергнуть эту лемму, то разность их равна D. Поэтому не

344


могут приблизиться более, чем на D, что противно условию".

Последнее и первое отношения Ньютона не uim~" в нашем смыс-

расти с нуля.

Актуально бескончено малые метода неделимых ие подчинялись второму постулату "Начал" Евклида223. Из х = у + а, где х и у конечны, a а бескончено мало, выводилось, что х = у, ибо, как говорили, а исчезало в сравнении с у224.

Это исчезновение бескончено малых положено в основу техники метода флюксий Ньютона225.

Различие между предшественниками Ньютона и самим Ньютоном то, что первые признавали особые актуально бескончено малые постоянные величины, ие подчиняющиеся некоторым основным числовым законам. Ньютон же признавал особое состояние изменяющейся величины, когда она не представляет в собственном смысле величины, а только величину зарождающуюся22',

Можно говорить об отношении таких зарождающихся (или исчезающих) величин, но при этом из того, что X : У = А : А еще нельзя вывести, что X = У

Если раньше бесконечно-малая дуга отождествлялась стягивающей ее хорде227, то Ньютон такого отождествления уже не делает.

Для него ratio arcus est chordae et ratio aequalitatis (последнее отношение дуги и хорды - это отношение равенства))28.

§4. Бертран и Кестнер.

Чрезвычайно явственно выступает различие точек зрения рационалистов XVII в. и сенсуалистов XVIII века при сравнении всшьфиаискмх™ учебников с очень оригинальным в свое время произведением Бертрана Женевского230.

В основе рассуждений вольфианцев лежит представление зернистого строения пространства, зернами которого являются актуально бесконечно малые, в которых исчезает форма.

Это реальное строение пространства постигается своего рода созерцанием чистого разума, выходящим за пределы чувственности.

Даваемые рационалистами определения задаются целью не подведения под genus proximum (ближайший род) с помощью differentia specifics (различающего признака), но вскрывают внутреннюю структуру определяемой вещи; бескончено малый прямолинейный отрезок это некоторая концепция чистого разума, а не чувственный элемент, и из него слагается как прямая, так и кривая223.

345


С сенсуалистической точки зрения XVTII века™ математическое исследование начинается с переработки абстракцией опытного материала.

Из понятий круга и прямой, получаемых из опыта, ни одно не может претендовать на приоритет.

Понятие длины кривой не сводится к длине прямолинейного отрезка, а принимается как нечто само по себе понятное.

У Бертрана еще нет общей идеи предела и точного его определения, но отказавшись от отождествления"3 круга с polygons infmitorum laterum infinite parvorum (многоугольником с бесконечным числом бесконечно малых сторон) он доказывает, что длина окружности это предел вписанных и описанных многоугольников.

Но у него в основной теореме выступает не предел величины, а предел формы, так что он может быть помещен как раз в середине между Лейбницем с метафизической идеей предела и д'Аламбером, у которого эта идея подверглась если не полной, то, во всяком случае, довольно глубокой математизации. Теория Бертрана формулируется так:

Круг-прелел расширения (dilatation) правильных вписанных многоугольников с 6 * 2" сторонами, а равно предел сжимания (contraction) описанных многоугольников того Dice числа сторон.

Для вывода отсюда длины окружности приходится пользоваться скрытой аксиомой о том, что если объект X имеет своим пределом А, то и величина, определяемая X; имеет своим пределом соответствующую величину А, что, конечно, представляет частный случай основного положения Лейбница23".

Другая скрытая аксиома: если расстояние точек вписанных в круг (или вообще в выпуклую кривую) многоугольника, отсчитываемых по радиусу от окружности (или вообще по прямым, соединяющим какую-либо точку внутри кривой с точками последней), бесконечно уменьшаются с увеличением числа сторон многоугольника, то многоугольник бесконечно приближается к кругу (или вообще к этой кривой).

Бертрану приходится пользоваться следующей доказываемой им леммой:

1) Если АВ хорда, SQ отрезок радиуса между дугой круга АВ и

хордой АВ, то SQ < 1 АВ. В этом же роде и вывод из общего положения

теоремы о площади круга-25.

Примером колебания между точками зрения актуальной и потенциальной бесконечности представляется теория предела у Кестера*6.

Он замечает, что разность между сектором круга и вписанным в него треугольником ОАВ меньше Д АСВ, а площадь последнего в сравнении с ОАВ может быть сделана как угодно мала237.

346


С (площадь круга) = S (площадь многоугольника) + а - S{l + ^j 

Но окончательна формулировка совершенно в вольфианском духе;

"Площадь круга одинакова с площадью многоугольника с бесконечным числом бесконечно малых сторон".

Но самый ход рассуждений проникнут уже идеей предела. Кестнер доказывает, что дуга подходит к своей хорде в желаемой близости, или, что отношения дуги к хорде может быть сделано как угодно близко к отношению 1:1, что доказывается тем, что при уменьшении дуги, наибольшее расстояние ее точек от хорды может быть сделано как угодно мало.

Следует здесь заметить, что Кестнер нигде не употребляет термина "предел", но скрытым образом пользуется лейбницианским принципом, заключая, что свойство площади равняться произведению длины периферии на апофему, присущее S, остается и у С.

§ 5. Д'Аламбер, де ля Шамиль и Гуриев.

Только д'Аламбер дает определение предела238.

•'Говорят, что величина - предел другой величины, когда вторая может приблизиться к первой ближе, чем на заданную величину, как бы мала ни была, без того, чтобы приближающаяяя величина могла превзойти ту, к которой она приближается и затем, чтобы разность этой величины и предела была бы абсолютно ннуказуема".

Это определение, конечно не вполне совпадает с современным,

Во-первых, оно вовсе не требует, чтобы предел был постоянной величиной. Если мы имеем две переменные величины X и У, и X догоняет У, никогда его не достигая, то, согласно определению д'Аламбера, У будет пределом.

Во-вторых, дело идет только о переменном X, остающемся меньше предела А (хотя такое же определение тотчас устанавливается и для случая, когда X больше А). Таким образом, это определение не обнимает случая предела непрерывной дроби.

Чтобы понять сделанное д'Аламбером добавление "затем, чтобы разность этой величины и предела была бы абсолютно неуказуема"" предположим, что переменное X принимает значения

ХгXj,х„х\,хух'3 

где разности | А - X J с возрастанием и бесконечно убывают, но к А - Х' это уже не относится. А тогда уже не предел X.

На современном языке молено условие: "вторая может приблизиться к первой ближе, чем на любую величину, как бы мала она ни была'" выразить так: сколь бы мало ни было положительное число s , можно най-

347


ти такое н, что

|A-Х[< е

Второе же условие таково: не существует е такого, чтобы принадлежащем выборе для некоторого и > v, имели бы |А - XJ > е.

Различие значения переменного и предела резко подчеркивается д'Аламбером. Предел, говорит д'Аламбер, никогда не совпадает и не становится равным величине, для которой он предел, но она приближается к нему все больше и больше, и может различаться гак угодно мало.

д'Аламбер не мог бы написать: lim 3 = 3.

Идея предела и у д'Аламбера не ари^шетизирована.

Примеры, приводимые д'Аламбером, указывают, что дело идет не. только о величине, но и о форме, как у Бертрана.

"Круг, например, предел вписанных и описанных многоугольников, так как он никогда точно с ними не совпадает, но может бесконечно с ним сблизиться".

Гурьев239 заменяет определение д'Аламбера следующим:

"Есть ли какая-нибудь величина от какого ни есть известного без конца продолжаться могущего действия всегда возрастает или убывает и от того к другой непременной величине приближается так, что может различаться с нею меньше, нежели всякая по произволению данная взятая того же рода величина и со всем тем никогда ее не достигает, то сия другая непременная величина есть то, что пределом первой (возрастающей и убывающей) мы называем".

Возражение Гурьева относится, собственно, не к даламберовскому определению предела, а к его сокращению, несколько его искажающему, в котором говорится, что "разность между переменной величиной и пределом может быть сколько угодно мала'". В этом только случае и возникает отмеченная Гурьевым двусмысленность; рядом с правильным пониманием возможно и неправильное, а именно: что эта разность оказывается точно равной всякой заданной величине, как бы мала она ни была.

Гурьев подчеркивает, что предел обязательно постоянное.

Д'Аламбер и более тщательно де ля Шаппель240 основывают теорию пределов на двух положениях, которым предлагаются доказательства, оставляя таким образом основные постулаты под порогом сознания:

1. Если две величины суть пределы одной и той же, то эти величи
ны равны.

2. Пусть А • В произведение двух величин А и В.
Предположим, что С - предел А и
D - предел В; я говорю: С • D -

произведение пределов, необходимо есть предел А • В произведения А и В. Первая лемма, играющая ту же роль, что лемма Ньютона, превращающаяся у позднейших авторов в обычную 1-ю лемму элементарной теории пределов; если две переменные при своем изменении остаютсярав-

348


ными, то равны и их пределы, доказывается так:

Пусть Z и X пределы одной и той же величины Y, тогда Z = X, ибо если бы между ним и имелась некоторая разность V то X = Z + V. Но по предположеиию Y может приблизиться к X как угодно близко т.е. разность X и Y может быть сделана как угодно мала.

Так как Z различается от X на величину V, то отсюда следует, что Y не может приблизиться к Z ближе, чем на V, и поэтому Z не может быть пределом Y, что противно условию.

§ 6. Литье, Гурьев и Ла-Круа.

Откуда ведет происхождение вторая лемма современной элементарной теории пределов?

Я думаю - из работы Лголье2" , премированной, как лучшее в свое время сочинение на эту тему, изложение которой считалось в свое время безупречным в смысле строгости.

Именно у Люлье особое значение получает предел отношения, который он еще резче Ньютона различает от предела величины, каждое определяя в отдельности.

В определении д'Аламбера еще остается, но в затушеванном виде, бесконечно малое, как разность между пределом и переменной величиной, хотя это уже новое бесконечно малое, потенциальное, а ие актуальное, кис у Кеплера и Кавальери, именно то, про которое мы говорим, что его предел есть нуль.

Но с таким бесконечно малым примирились лишь.мнооо позже. Люлье необходимо было строить теорию пределов без бесконечно малых.

Самое определение предела у Люлье резко отличается от даламбе-ровского и сближается с современным чисто порядковым определением242:

Earn переменная величина всегда остается меньше данного, но при этом может сделаться больше, чем всякая величина меньше данной, то она называется пределом переменной возрастающйй (limes qnantitalis mutabilis crescentis).

По тому лее образцу строится определение убывающей величины и также пределов отношений.

Основная лемма:

"Если всегда X : Y = m : п, то ИтХ : limY = in : п", доказывается методом исчерпывания (так как во многих учебниках лежандроватипа рассматриваются случаи несоизмеримости).

Предполагается, что in : n = А : В' (В' < В) А = lim X, В = lim Y и получается противоречие с построенным определением предела.

Таким образом, Люлье вдет от постоянного отношения двух переменных к отношению их пределов.

349


В других случаях ои идет от предела отношения к отношению пределов.

X X

От lim— = 1 он заключает к lim X = lim Y, при этом lim— может

иметь смысл и тогда, когда liiu X, lim Y потеряли смысл, как это и имеет место для производной, но если lim X и lim Y имеют смысл, то, конечно,

имеет смысл и lim—, и можно идти в обратном направлении, чего, однако, Люлье никогда не делает.

По образцу, указываемому д'Аламбером, Бланше™ строит теорию пределов в своем издании элементов Лежандра, заменяя ею арифметизи-рованную Лежандром методу исчерпывания древних.

Что длина окружности и площадь круга могут быть рассматриваемы как пределы, это признается за очевидные положения, хотя с указаниями (в духе Бертрана) на бесконечное сближение их форм.

В доказательство пропорциональности окружности радиусам скрытым образом входит признание

..    X    limX

lш — = 1^?

а Т >д        й

а в доказательство теоремы Архимеда    - вторая лемма д Аламбера.

впрочем еще до Бланше, элементы Лежандра подверглись мето-

дическои перераоотке Лакруа    , и его учеошгк имел очень большое влия-

ние на учебную литературу.

vmОн 7^swz ?f тГпГ a?™TRZ'KTi^? ™t

нечяп  iLlTuning ,

Ппп ло^птеп.ггВС пепвой теоп^мм об окпикногги пн -ылвтчет ныотоновасую лемму и глетпптем пиле- если две неичменные величины А ю В таковы что можно докататм. что' разность между А и В меньше всякой дайной величины 5 , то эти величины равны: А    ь

К этой лемме присоединяется еще первая лемма д Аламбера.

Изложение Гурьева иное3'.

Из своего определения предела, так некоторого постоянного, им выводится следующее заключение:

Если имеем две переменные величины X, Y возрастающую и убывающую, так, что X < А < Y и при этом разность между X и Y может быть сделана меньше всякой данной величины, то А предел X и предел Y.

Если же то же имеет место и для В; X < В < Y,

350


то выводится на основании однозначности предела, постулируемой первой леммой д'Аламбера, что А = В.

Легко видеть, какое применение находит это при выводе теоремы Архимеда247.

В конце концов элементарная теория пределов выкристаллизиру-ется в ту форму, которую находим в учебниках лежандрова типа248, например, в русских учебниках Давидова2" и Киселева250.

§ 7. Логизация идеи пределов.

Если французам мы обязаны математизацийй идеи пределов, то немцам и, еще больше, итальянцам - ее логизацией.

Следует понять, что античный математик никогда бы не признал эти теории логичными.

В то время, как античный логик, в глазах которого бесконечность в силу логических противоречий, в ней таящихся, не имеет никакого права гражданства в логике, оперирует только с классами, содержащими конечное число объектов, современный логистик в самое основание своих построений кладет бесконечный класс.

Таким образом, бесконечным классом в логизированной теории пределов является совокупность всех значений, принимаемых переменным:

а а а  ... а.

I     2    1 л

Конечно, для того, чтобы признать как раз то, что было с таким трудом ассимилироватог изменяыщийся объект, содержащиб всегда интуттивный элемент, неуло,имый чистой логикой, этого мало.

Наряду с логикой классов следует выдвинуть и логику отношений с понятием порядка уже сомнительной логической ьистоты, причем приснать так жестоко раньше отвергнутую актуальную йесконечность че только как аморфную массу но как бесконечность взаимоотношений между элементами.

Переменное из объекта, которому присуще больше реальности, чем переходящим значениям а а а ... а через которые оно проходит, и м которых мы можем говоритa, только если они пройдены оли могут ,ыть пройденм переменным, в конечном итоге обращается в символ, втипрас-нолоо1сепип элементов бесконечномо множествае

Но как определить последовательные элементы этого множества?

Нонечно только с помощью определенных операций над предше-ствующими элементамис

Можно сказать что при логизировании точка зрения из объ&ютшв-пой становится субъективной

Сперва объект сам изменяется (см. определения д'Аламбера) и доказывающиа становится и положение наблюдателя теперь же объеки

35!


исчез - доказывающий, с помощью операций, которые он тоже старается логизировать, воссоздает до какого угодно места ряд значений, принимаемых этим объектом.

Характерным признаком предела является не то, что между переменными X и А, при изменении X, бесконечно уменьшается разность, а то, что в ряде значений X, Х2 Х3 ... Хя, мы можем найти такое, что отличие его от А было бы как угодно мало."

Так что и здесь опять вводится актуально бесконечное, бесконечный класс операций, с помощью которых мы определяем разности X - А.

Арифмепшзцрованная математическая мысль признает только ряды чисел:

X Х Х  ... X и их предел А.

Предел определяется как число А, для которого существуют операции, дающие для всякого к такое v, что при u>v|A-XJ< в (1).

Предел сперва понимается как последнее значение переменного, затем как то, к чему переменное бесконечно приближается, никогда с ним не совпадая.

Сперва предел существует совершенно так же, как существует каждое значение переменного: затем его бытие оказывается вроде бытия кантовской вещи в самой себе2" относительно мира явлений: он вне сферы изменения переменного.

Третий этап - это совершенное уничтожение реальности предела даже в указанном смысле, что соответствует переходу от кантовской точки зрения к точке зрения Маха2" и Авенариуса253, упраздняющей вещь в самой себе.

Предел выступает в смысле символа, сгущающего ряд чисел.

Несколько иная, но близкородственная точка зрения: предел как символ сходящегося, убывшощего или возрастающего ряда чисел.

х.х^X,... Хл

YIY2Y3- Yп

Тогда^неравенство 1) заменяется на

,„  р   В ™"егриче°и°нрте°Р™ заделов предел, конечно ни в коем спг
теории пределов ина icтеории иррадаональных "«* пп.тие

делами остается^альнмлт^тсю^!^^^

.СОЛИ НЫСШЮЛ Д13<1   I cLKllA KJldCCt:! ПрЛМШИШОИИЫЛ U ipUjKUl*.,   I1U

352


  1.  ни один отрезок первого класса не больше любого отрезка второго класса и
  2.  при данном сколь угодно малом отрезке в в первом и во втором классе имется по отрезку, разность которых меньше 8 , то имеется отрезок, которой не меньше любого отрезка первого класса и не больше любого отрезка второго класса.

При этом постулируется рельное существование такого предела.

Определение длины окружности и площадей круга, в которые обращаются теперь раньше доказываемые теоремы, оправдываются255 теперь доказательством выполняемое™ этих условий.

Длина окружности - предел вписанных многоугольников при удвоении числа сторон - оправдывается доказательством того, что разность между периметром п-уголышка и 2 и-угольиика может быть сделана как угодно мала при достаточно большом п.

§8. Порядковый характер предела.

Каиторовский постулат представляет собой, в сущности говоря, развитие основной ньютоновской леммы, заменяемой ей равносильной первой леммой об однозначности предела.

Вывод этих лемм из остававшихся скрытыми аксиом претворяется в вывод канторовского постулата из аксиомы Дедекиида о сечении.

Пусть точки данного отрезка разделены на два класса, причем:

  1.  всякая точка отрезка принадлежи одному из классов,

любая точка первого класса предшествует любой точке второго класса в данном направлении,

тогда на данном отрезке существует такая точка, что всякая точка, ей предшествующая, принадлежит к первому классу, а всякая за ней следующая - второму.

Так как канторовский постулат выводится из дедекиндовского, то естественным является замела в определениях предела - сечением, и переход к чисто порядковому определению предела.

Длина окружности, по Дедекинду, уже не предел в даламберовом смысле, т.е. периметр вписанного многоугольника, отрезок, который больше периметра всякого вписанного в окруясность многоугольника и меньше периметра всякого описанного.

С понятия предела теперь окончательно снимается количественный характер. Это уже чисто порядковое понятие; это только то, что следует за элементами множества А и предшествует элементам дополнительного множества А', при предположении, что нельзя указать среди элементов А последнего, а среди элементов А' - первого25''.

Собственно говоря, идея предела совершила весь круг своей жизни.

То, чем если еще не окончательно сделался, то стремится стать

353


предел - нечто совершенно иное, чем предел д'Аламбера.

Нельзя сказать, чтобы динамический характер европейского мышления, который находится в определенной противоположности к статическому характеру античной мысли, был теперь совершенно уничтожен.

Он только переведен в плоскость производимых умом операций при творчестве нескончаемых рядов объемов, которые мыслятся уже не в движении, а окристаллизованиыми в своей чисто античной неподвижности.

VI. Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой половины XIX века.

§1. Введение.

Совершенно таким же образом, как по одной кости ископаемого животного можно восстанов ить весь его скелет, в частях которого отражается целое, по одному отрывку деятельности человеческого гения определенной эпохи можно было бы при некоторой прозорливости ума начертать контуры этой эпохи. Геометрия Рамуса257 - эта ныне уже забытая попытка низвержения в XVI веке вместе с другими кумирами и великого Евклида258, как капля воды отражает в себе всю эту эпоху, еще пропитанную средневековой схоластикой и мистицизмом, еще не порвавшую все цепи, связующие ее с прошлым, но с детской верой устремляющуюся в будущее. Вместо доказательств - система определений, устанавливающая иерархическую лестницу с дихотомиьщи рамическими делениями рода на виды, взле-тающая до summum genus2" геометрии Арно260, с введением, трактующим о воспитательном значении геометрии, развивающей обращение с сверхчувствеными предметами, которые нам дает lux naturale261 иерархией геометрических истин по принципу Дегарта: идти от простого к сложному262 , с прямыми доказательствами, заменяющими гонимые пор-роя-левской логикой263 апагогические. Этому отвечают Декарт, Мальбранш и Спиноза, а не превозносящие опыт и борющиеся с метафизическими суевериями энциклопедисты, настроение которых так хорошо отражается в Institutions de Geometrie де ля Шаппеля264, задающимися целью научить геометрии шутя, постоянно аппелируя к окружающим предметам как поясняющим моделям.

Не всегда можно усмотреть сознательное влияние философских идей эпохи на математику; такое влияние больше всего должно сказаться на низах, а не в верхах эволюционирующей математической мысли. Для исследования его следует брать учебник, а не научный мемуар.

Чаще всего соответствие между математической мыслью и мыслью философской определяется просто каким-то настроением, охватыва-

354


ющим все умы. Едва ли можно предположить, что философская идея прогресса265 , чуждая рационалистической эпохе и воспитанная мыслителями второй половины XVIII века, родила теорию пределов с переменным, бесконечно приближающимся к некоторому постоянному, но никогда его не достигающим, Не "Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума" Кондорсэ уже в эпоху революции повлиял на д'Аламбера2», а, вне сомнения, то общее настроение, которое резко выдвинули отвечающие этом}' настроению идеи, только много времени спустя облекшееся в более строгие логические формы.

Я хочу обратить внимание на эпоху спекулятивной немецкой философии, начинающуюся с Канта и завершающуюся Гегелем иГербартом. Изучение старой учебной литературы дает интересный материал для суждения если не о прямом влиянии на литературу спекулятивных философов, то о соответствии двух течений - математического и философского.

§2. Копти Песталоцци.

Прежде всего о Песталоцци267. Метод Песталоцци обучения арифметике называется односторопт-субъеютюиым, т.к. он придает ничтожное зна-  " чение материалу, а все сводит к методу в противоположность односторонне-объективному методу вольфиаицев. Арифметика имеет целью развить особую умственную способность оперировать абстрактными идеями.

Согласно гносеологическому взгляду Канта268, число одиюдь не происходит из опыта; оно его предваряет, как время и пространство. Правда, число у Канта, это не простая форма, гак время и пространство, а результат некоторого процесса, предваряющего опыт и не выходящего за сферу форм, налагаемых нашим рассудком на материал опыта с целью его обработки в более совершенное, способное обращаться в знание, состояние.

В качестве основного материала элементарного образования Песталоцци выдвигает число, форму и название.

Роль времени в гантовском мировоззрении у Песталоцци занимает пространство.

Наглядность у Песталоцци сводится к тому, что число изучается в пространстве; не дается готовым, но извлекается оттуда с помощью оперирующего над чистыми схемами (каковыми являются числовые фигуры) процесса.

В дальнейшем же абстрактное число должно оторваться от его пространственного носителя, и все операции должны производиться уже в уме.

Из основных принципов Песталоцци вытекает преимущество умственных операций перед письменными21"1.

Они не только дают более чистую гимнастику тем способностям ума, которые задается [целью] развить арифметика, но также материал для обучения третьему основному элементу образования, по плану Песталоц-

355


ни, - называнию.

Письменное обозначение - это уже нечто производное; следует научить читать раньше, чем писать; считать раньше, чем нумеровать в числах.

Обучение выговариванию270 у Песталоцци занимает столь же важное, если еще не более важное место, чем обучение арифметическим действиям в уме. Метод азбуки наглядности Песталоцци вполне соответствует методу его первоначального изучения арифметики.

Он идет не от конкретных предметов к геометрическим формам, но сразу обращается к простейшим типам этих-форм.

Встав на точку зрения формального принципа образования, поставив главной, если не сказать единственной, целью образования развитие "внутренних сил человеческой натуры", он обращает наглядную геометрию в гимнастику созерцания, но при этом чисто пассивного, геометрических форм и механического их воспроизведения вычерчиванием. Главная задача методики - нахождение искусственных способов, увеличивающих природную способность отличения форм271.

Здесь дело обстоит так лее, как в арифметике Песталоцци - при созерцании числовой фигуры, учащимся познаются операции над числами, после чего ученик сам начинает действовать, причем он все время учится говорить, высказывать все то, что он видит и делает.

В геометрии -такие же скучные и однообразные упражнения, как и в арифметике.

Сперва 376 упражнении, относящихся к сравнению горизонтальных и вертикальных углов.

Затем - созерцание и образование простейших форм: параллельных прямых, прямого угла, двух прямых углов, четырех, прямоугольника. Прямая и квадрат - это два образа, лежащие в основе дальнейшего.

Дальше - необычайно длинные упражнения с квадратом и прямой, делением квадрата параллельно сторонам и диагоналям и т.д. Как в гносеологии Канта, так и в методике Песталоцци, синтез стоит на первенствующем месте.

Элементы предваряют, опыт, деятельность ума двояка: или комбинирующая эти элементы, или вырабатывающая из них и материала опыта соединения.

Философская мысль Канта272 сохраняет двойственность, характерную для его предшественников, отделявших чувственный мир от реального, для которого первый является только как бы искаженным изображением. Этот второй мир совершенно удален из сферы знания, обратившись в вещь в себе, первый же раскололся пополам. Одно - это формы нашей интуиции или рассудка, другое - данное им как материал для обработки.

Эти формы предваряют опыт, но не извлекаются из него; более того, они не даны в начале опыта в виде эмбрионов, чтобы затем вместе с

356


ним эволюционировать; они или в готовом виде даны, или же вырабатываются в трансцендентальной, не зависящей от опыта, сфере.

В противоположность методике Песталоцци, методика Грубэ2", методика 60-х годов, родилась в атмосфере, пропитанной пышно расцветшими тогда экспериментальными науками.

Опыт - вот истинный источник знания. Этот взгляд или, может быть, только настроение с ним связанное, должно было охватить и методику абстрактных знаний.

Следует резко различать опыт от наблюдения. Голое наблюдение относится пассивно к материалу, с которым душа приводится в соприкосновение; опыт (или лучше сказать эксперимент) преполагает создание самим познающим определенных, наперед им задуманных, обстоятельств для намеченного им к наблюдению явления.

Следует отличать эмпиризм времен энциклопедистов (60-70-е годы XVIII века)™, как эмпиризм наблюдения, от эмпиризма XIX столетия (50-60-е годы)2", как эмпиризма эксперимента. Между ними - периоды критической и спекулятивной философии, углубившей наше воззрение на опыт.

Метод Грубэ - метод экспериментирования над числами. Он требует прежде всего путем опыта познания чисел в их взаимоотношениях, и он ищет средства воспитания сознательного арифметического мышления с помощью возможно глубокого проникновения в природу чисел.

Мы здесь видим, как анализ данного опытом материала заменяет синтез заложенных в нас до опыта элементов.

§ 3. Катп и Тибо.

Кантовская гносеология резко отделяет интуицию от рассудка. Пространство не концепция, а априорная форма интуиции. Геометрия изучает не пространство, ибо сущность его не может быть выражена в понятиях. Геометрия скорее изучает те же операции, которые производит над интуитивным материалом конструирующая фантазия.

Именно под влиянием кантовских идей геометрия превращается, как это имеет место у Тибо276, в науку о построениях в пространстве (Wissenschaft der Konstruction im Raum).

Постулаты и аксиомы сливаются у рационалистов и эмпириков, у кантианцев же они опять резко разделяются.

Первые дают чисто интуитивный материал. Это первый акт конструирующей фантазии, это простейшие построения, неприводимые к другим, которые прежде всего следует изучить. Это то, что дает нам всецело интуиция.

Аксиомы же, по Тибо, это "условия, которыми связывается незнание при установке их представления". Это то, что приносит интуиции рассудок.

357


Именно под влиянием Канта в геометрии выступают генетические определения. Тибо часто говорит о движении, образующем геометрические объективы. Но это движение иное, чем то, которое определяется постулатами позднейших математиков 50-70 г. г. Это основной акт конструирующей фантазии. Что такое прямая? Это простейшее построение - говорит Тибо.

Для разъяснения, в чем состоит это простейшее построение, следует описать этот акт, который производит прямую.

Это - прогрессивное движение, иначе говоря, движение одного направления, так что у Тибо появляется раньше направление, а потом уже прямая.

Между двумя точками может быть проведена только одна прямая. Но Тибо кажется, что из этого рода положений не может еще выйти науки. Если прямая становится затем предметом научного исследования, то именно потому, что в ней находится единственно количественное - ее длина, позволяющая призвать число, а нам - и рассудок с его категориями. Геометрия для Тибо, оригинального продолжателя, арифметизирующего элементарную геометрию Лежандра277, вполне количественна; качественной геометрии, т. е. геометрии положения, тогда еще не было.

То, что говорит Тибо о прямой, характерно для понимания и дальнейшего развития его идей. Что можно построить параллельную, перпендикуляр, треугольник, четырехугольник, две пересекающиеся, круги и т.д., об этом говорит интуиция. Но па вопрос, когда возможны эти построения, в логических или в духе Лежандра числовых терминах, должен ответить рассудок. Геометрия - наука о построениях - является у Тибо последовательным изучением способностей конструирующей фантазии в порядке их усложнения. Прямая дается простейшим из основных актов. Акт, производящий угол, уже сложный, составленный из таких двух основных "прогрессирующих" актов, сперва определяемых одним, затем другим направлением.

Уже при рассмотрении углов возникает понятие об эквивалентности актов.

Эквивалентными являются такие акты, которые производят те оке результаты. Угол производится как упомянутым выше сложным актом, так и простым актом вращения прямой около некоторой точки.

Другое основное понятие - это понятие независимости и зависимости актов:

Из данной точки М я могу провести прямую, и прямую, независимо, от этого могу провести и из другой точки N; и количественному признаку первой (длине) могу дать какое угодно значение, не зависящее от количественного признака второй.

Из данной точки М могу описать окружность какого угодно радиуса R|5 и из другой точи! М„ независимо от этого, могу описать другую

358


окружность тоже какого угодно радиуса Rj.

Наряду с независимыми актами над различными объектами существуют и независимые акты, произведенные над одним и тем же объектом.

Много заставила говорить о себе теория параллельности Тибо278.

Тибо отмечает, по его мнению, очевидную независимость следующих актов: поступательного передвижения прямой, того, что соответствует "перенесению" - translation позднейших авторов, и вращения.

Угол производится вращением, которое только и дает изменение направления; перенесение же оставляет направление неизменным.

Вращение должно совершиться на один и тот же угол, повернем ли мы сперва прямую, а затем перенесем до совмещения с другой, или обратно: сперва перенесем, а затем повернем.

Если мы имеем два угла с паралельиыми (т.е. одного направления) сторонами (1L, Г^, (12,1'), то для приведения 1, в 1 нам необходимо совершить вращение на угол а 1, в 1' а затем перенос 1^ в 1'2или сначала перенос 1, в 12и затем вращение 12 в Г на угол а', вследствие чего а = а'.

Таким образом устанавливается равенство углов с параллельными и одинаково направленными сторонами, в частности, соответствующих углов при пересечении двух параллельных третьей прямой.

Если в треугольнике ABC с двумя данными сторонами а, Ь, будем изменять угол С вращением этих сторон около С, то будет вместе с тем производиться акт изменения противолежащей стороны с.

Этот последний будет уже зависящим от первого актом. Эта зависимость может быть предметом научного исследования только с помощью признаков, характеризующих их независимо или зависимо, каковыми, по взглядам Тибо, могут быть только числа.

Основная научная проблема геометрии сводится к исследованию функциональной зависимости переменных величин.

Всегда ли при возрастании X возрастает или убывает У, или существуют переходы от возрастания к убыванию и/или обратно (максимумы или минимумы)?

Какова область изменения?

У Тибо нет обычных доказательств наложением теорем о конгруэнции треугольников. Его изложение существенно отличается от евклидов-ского, т.к. в основе, как очевидные факты интуиции, выдвигаются положения ие о равенстве фигур, а о характере изменения простейших функций21. В треугольнике с данными сторонами Ь, с Тибо подвергает изменению сторону а и отмечает как очевидный факт постоянное возрастание угла А с возрастанием а и убывание А с убыванием а, а также изменение в обрат-ном направлении угла В. Отсюда (не наложением) выводится, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если А = а, В = (3 и р* > а, то и треугольник, в котором А = (J, В = а, будет равнобедренным,

359


вследствие чего получаем, что сторона а с изменением А будет изменяться от одного значения к другому, ему равному, т.е. не будет изменяться вовсе, что противно указанной выше аксиоме вращения280.

§4.ГегельиПопсле.

Я не буду здесь развивать историю немецкой спекулятивной философии, выводить гегельянские идеи из кантовского критицизма. Указав отрывок из методической литературы по чистой математике с явным влиянием кан-товских идей, я представляю теперь же математические идеи, в которых определенно звучит гегельянский мотив.

Кант разбил веру в силу силлогистической логики, в возможность решения с ее мощью метафизических проблем. Спекулятивная философия Шеллинга и Гегеля281 не возвращается к докантовской точке зрения, но вдет дальше, стараясь найти для вселенной схему, подчиненную иной, диалектической логике, не подчиняющейся закону противоречия. Вся вселенная представляется окаменелой мыслью, развитием идеи, идущей через иерархию понятий, располагающихся в троицы: тезис, антитезис и примиряющий их синтез.

Первая стадия - чистое бытие (тезис), которое таит в себе противоречие, так как при своей полной бессодержательности совпадает с ему противоположным понятием небытия. Оба понятия входят как моменты в понятие уже высшего порядка становления, в котором указанное противоречие снято.

Качество и количество, тоже скрывая в себе противоречие, примиряются в мере282 и т.д.

Молено сказать, что к диалектике философскую мысль привела идея предела, если только понимать последнюю не в узкоматематическом смысле, а в более общем метафизическом или гносеологическом смысле.

При признаваемой рационализмом актуальной бесконечности, предел есть одно из значений, последнее значение переменного, но с точки зрения отвергающих эту бесконечность эмпиризма и критицизма, предел недостижим, он вне сферы изменения переменного.

Пусть математический объект X определяется некоторыми признаками

а, Ь, с... причем эти признаки всегда подчиняются некоторым условиям, например, а > 0. Объект X будет оставаться, как бы а ни было мало.

Но что будет при а = 0? С одной стороны, не X, так как X определен при условии а > 0, с другой стороны, это X, ибо а = 0 относится к пределу X, а свойства X, которые остаются неизмененными при изменении X, принадлежат и пределу X.

Очень характерно определение предела в учебнике лежандровско-

360


готипаБескибы283, выраженное в терминах гегелевской логики: "Предел -это наиболее внешнее вещи, в чем снимается то, что было, и начинается то, чего не было".

Таким образом, имеются два момента А и В внешние друг другу, согласно гегелевской терминологии.

Когда А перестает быть А, становясь В, а В перестает быть В, становясь А, мы имеем пределы А.

Это не математическое, а чисто метафизическое определение, старающееся захватить определение общего, но смутного понятия предела, не поддающегося математизации, проводимое в духе гегелевской диалектики, выступает, как синтез противоположностей А (тезис) и В (антитезис).

Это направление мысли породило то, что можно назвать понятиями-вырождениями, или несобственными понятиями.

Угол определяется, по Бертрану23,8, кис часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми. Но уменьшайте также смежный угол. В пределе пересечения уже не будет, и одна сторона будет служить продолжением другой.

С одной стороны это угол. Ибо/ если скажем, что это не угол, то можно спросить, с такого же момента АОВ перестает быть углом. С другой стороны, мы можем сказать, что это не угол, ибо мы имеем ие пересекающиеся, а совпадающие прямые.

Таким образом выступает понятие развернутого угла (Gerader Winkel).

Прямой угол определяется уже так половина развернутого угла, так что в последующих учебниках отпадает теорема о равенстве двух прямых углов. Доказательство же теоремы о сумме двух смежных углов сводится просто к замечанию, что эта сумма равна развернутому углу, уже по самому определению прямого угла вдвое большему прямого.

В гегелевский период возникает и понятие о бесконечно удаленной точке285 прямой. Сам Евклид нигде не обнаруживает такого понятия. Вращающийся в области бесконечного Кестнер28" говорит о бесконечном продолжении прямой, но вводит ие одну, а две бесконечно удаленные точки прямой. Но кестнеровские бесконечно удаленные точки забываются другими авторами.

Бесконечно удаленная точка прямой, бесконечно удаленная прямая плоскости и бесконечно удаленная плоскость пространства - эти так называемые необыкновенные287 элементы288 проективной геометрии, которые являются в гегелевском смысле диалектическими элементами геометрии.

Две параллельные прямые не пересекаются, но, с другой точки зрения, они пересекаются в бесконечно удаленной точке, ибо основной принцип теории пределов, выработанный предшествующей стадией математической мысли, заставляет признать, что свойство пересекаемости при вращении одной из прямых вокруг одной из ее точек остается и в предельном

361


положении параллельности.

В связи с этим возникает понятие луча, и угол определяется как различие направлений двух выходящих из одной точки лучей289.

В эту эпоху Понслэ (1818) провозглашает принцип непрерывности™, по которому свойства, доказанные для какой-нибудь фигуры, распространяются и на случаи вырождения, если к этому случаю можно подойти непрерывным изменением.

Так, например, пространственная теорема Дезарга291: "Если соответствующие вершины двух треугольников лежат на прямых, сходящихся в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой", влечет в силу этого принципа плоскую теорему Дезарга, отвечающую предельному случаю наклонения друг к другу плоскостей треугольников. Этот принцип или аксиома, решительно оспариваемая Коши, не найдя себе математического обоснования, была потом признана имеющей не логическое, а лишь эвристическое значение. Применение ее давало логику не доказательство, а систему, которая делает из совокупности теорем связное целое, в котором один момент вызывает в силу намеченного плана системы и смежные моменты.

Главные элементы геометрии распределяет в диалектическую лестницу уже сам Гегель, а дальнейшую обработку этой диалектики геометрии берет на себя Франц292, вызывая у Шоттеиа293 насмешку и значительно более серьезное к себе отношение у Дельбефа294.

Синтез точки как рода пространства (тезис) него отрицания (антитезис), конечно, ие имеет значения.

Не иначе дело обстоит с диалектикой прямой, являющейся - как количество - мерой расстояния (см. Лежандр), с другой же стороны, - как качество - направлением. То, что здесь мыслится о прямой, мыслится о всем пространстве.

Пространство является не только как количество, но и как качество, и последний момент не сводится к первому. Нельзя числом определить "направо" или "налево", или другие факты распорядка геометрических объектов.

Идея, что пространство не только количество, но и качество, пока еще метафизическая идея.

Но уже в 40-х гг. ХГХ столетия она становится математической, когда создается геометрия положения Штаудта.

Двум моментам: количеству (расстояние) и качеству (направление) должны отвечать (по Бретшнейдеру, 1844, Шниц-Дюмонду) две геометрии, исследующие: 1) положение, 2) величину, которые вместе образуют 3) органическую геометрию (гегелевский синтез-мера). Здесь интересно привести несколько определений геометрии, характерных для эволюции понятия об этой науке. До Лежандра295 геометрия - это учение о пространственных величинах (Ламберт). Для Лежандра это "la mesure de l'etendue" -

362


просто измерение пространства.

Для Тибо - это наука о построениях, и в этом духе - и для Ульриха и др. немецких методистов.

Для Бретшнейдера геометрия превращается в учение о геометрических формах.

§ 5. Гербарт и Бапнцапо.

От Канта идут два главных течения; первое через Фихте и Шеллинга к Гегелю29", второе кГербарту.

Первое развертывает телеологическое мировоззрение, после разрушения кантовской критикой старой догматики, ищет новых объяснительных принципов в новой диалектической логике, из которой изъят закон противоречия, стараясь построить с помощью ее общую схему мирового процесса, идущего по трехчленной системе: тезиса, антитезиса и их примиряющего синтеза, к определенной цели.

Второе, ясно выраженное каузальное направление, остается при силлогистической логике, и вскрытую Кантом немощность догматизма в сфере метафизических построений, видит в скрытой противоречивости тех общих понятий, которыми пользовался догматизм.

Второе направление,, сперва более слабое, в конце концов побеждает.

Следует иметь в виду, что оба направления интеллектуалистичны. Во взглядах на пространство и на математику они решительно становятся против Канта. Для них математические положения являются аналитическими, связанными с понятиями логически, хотя последнее понимается различно Гегелем и Гербартом.

Оба концептуализируют пространство, первый - пытаясь включить его в свою диалектическую цепь297, второй, стараясь установить надлежащим образом очищенное понятие пространства, из которого чисто силлогически извлекалось бы содержание геометрии.

Для Гегеля пространство дается уже готовым, как и все вообще понятия.

Он не отвергает содержащиеся противоречия, ибо все понятия, через которые движется абсолютная идея, содержат противоречия, которые, снимаясь, ведут к понятиям, выше стоящим на диалектической лестнице.

Гербарт же, наоборот, исправляет понятие, отбрасывая из признаков (а, Ь, с ... d, е, 1) противоречивые (d, е, f), а иногда пополняя еще новыми (а', Ь', с') так, чтобы силлогистический аппарат мог быть приведен в движение.

Конечно, такая чистка понятий ведет к построению чрезвычайно общих схем вселенной н, в конечном итоге, дает с увеличением объема обеднение содержания исправляемых понятий.

363


Гегелевское настроение, развивавшее дух системы, склоняющее к разысканию на основании невыводимых, но предполагаемых принятой системой, принципов недостающих звеньев этой системы, давало пестро-гую, но быстро идущую вширь математику.

Гербартовское же, наоборот, разрушало систему вскрываемыми логическими связями, разрушая прежнюю симметричность аксиоматических систем, насильственно обращая положения в определения и искажая последние с целью сделать их более логически плодовитыми; оно устремлялось вглубь, требуя замены обширного, но малообоснованного материала нестрогой математики, немногим, но хорошо обоснованным, материалом строгой математики.

Наряду с эмпирическим пространством, Гербартом выдвигается другое - умопостигаемое, очищенное и являющееся уже не формой интуиции, а концепцией, пространство, вмещающее гербартовы реалии, этот метафизический остаток от очистки материала опыта.

Чрезвычайно общее гербартовское пространство, возникающее из понятий совместности, смежности и раздельности, математически не жизненное, является отцом грассмановского протяжения298 и дедом римановского многообразия299 - summum genus300 пространства, объемлющего и евклидово и неевклидово пространства. Тагам образом, гербартовское построение ведет к метагеометрии. Но оно же ведет к математической аксиоматике вообще, ибо по существу философия Гербарта- это метафизическая аксиоматика.

Больцано301 дает в чистой математике то, что старался дать в метафизике Гербарт. Он исправляет понятие и старается привести с помощью уже исправленных понятий в движение логический аппарат над чисто логическим содержанием. Конечно, прежде всего должна подвергнуться радикальной переработке бесконечность. Эта работа только начата Больцано, а закончена Г. Кантором".

Больцановская бесконечность - это не бесконечность Фонтенеля3», ибо такая бесконечность несет противоречие, ее же снедающее. Бесконечная величина по Больцано - это актуальная бесконечность, которая возрастает безгранично и может быть сделана больше всякой данной величины, но это не то, что ие способно к дальнейшему возрастанию, а то, что является последним в ряду возрастающих величин. Это то, что больше всякой данной величины, это первая величина высшего класса, подымающегося над классом конечных величин.

Эта бесконечность, действительно, очищена согласно гербартовс-кому рецепту, но она бесплодна, так как актуальная бесконечность, служившая к обоснованию положений анализа, изгоняется оттуда Больцано. Рабочей же идеей является потенциальная бесшнечость в маскирующей ее форме переменной величины, которая может быть сделана более всякой данной положительной величины.

364


Актуальная бесконечность, чтобы сделаться тоже рабочей идеей, чтобы создать логическое обоснование анализа, должна была подвергнуться дальнейшей проработке.

Взаимно однозначное соответствие между элементами двух бесконечных множеств у Больцано еще не представляет определения их равенства. Множество точек на конечном отрезке не указывается равным множеству точек на всей прямой, кис у Кантора, но Больцано ясно сознает, что здесь имеет место взаимнооднозначное соответствие, которое для конечных множеств является условием необходимым и достаточным для равенства.

В канторовской переработке актуальная бесконечность получает приоритет в сравнении с потенциальной, так как он стремится к логическому обоснованию арифметики, очищенному от интуиции теории иррациональных чисел. Это привело Кантора к пониманию иррационального числа как символа так называмого фундаментального ряда рациональных чисел:

а, , а,, а3 ... ап,

удовлетворяющих условию Iim(aM.„ -av) = 0 , т.е. к положению в самой

основе анализа актуальной бесконечности совокупности некоторых элементов.


Из прошлого аналитической геометрии

1. Конические сечения античных математиков

Нелегко понять ход мыслей человека XVII в., а еще более - человека античного мира. Историки часто обнаруживают склонность проецировать настоящее в прошлое, в особенности при попытках изложения мыслейуче-ных древности на современном языке. Так* многие находят у Архимеда основные идеи метода неделимых XVI и XVII вв., хотя вся история античных и средневековых идей хорошо выявляет длинный путь философской и математической мысли к актуальной бесконечности, к которой так отрицательно относился Аристотель вместе с другими античными мыслителями.

Совершенно таким же образом в "Конических сечениях" Аполлония (265-170 до н.э.) некоторые видят идеи аналитической геометрии; но здесь необходим тонкий анализ. Прежде всего следует хорошо понять, что одинаковые результаты могут получаться совершенно различными методами и на основании различных идей. Более того, нельзя видеть аналитическую геометрию и там, где античные операции над площадями, по выражению площадей алгебраическими формулами, обращаются в части формального аппарата, которым пользуется аналитическая геометрия ныне, совершенно так же, как в операциях метода неделимых, соответствующих операциям дифференцирования и интегрирования, нельзя усматривать чуждые этому методу идеи современного анализа.

Следует различать историю кривых второго порядка, или, вернее сказать, конических сечений, и историю аналитической геометрии. Первая начинается с Менехма, ученика Платона, вторая - только с Декарта и Ферма. Но при детальном изучении истории аналитической геометрии мы ие можем обойтись без труда Аполлония.

т

Кроме пятой книги "Конических сечений", трактующей о наиболь
ших и наименьших величи
нах, все остальные части
труда Аполлония так или
иначе входят в современные
курсы аналитической гео
метрии; однако роль раз
личных теорий и логичес
кие связи между ними же не
прежние. Так, знаменитые
теоремы Аполлония о со
пряженных диаметрах те-
 фиг 1

3бб


перь не имеют того значения, какое имели у самого Аполлония, и утратили почетное место, отдававшееся им в старых учебниках.

Отметим далее одну интересную и игравшую важную роль, но уже в XVII в. забытую теорему из "Конических се- В',1 чеиий". Она состоит в том (фиг. 1), что если обозначить через М,Т,Г М,Т, каса-

и

тельные в

Т.

ОМ( и

точках М, и М2, а через Т

пересечения их с прямыми

ОМ2, проходящими через центр О, то треугольники MTR и М,Т R равновелики.

Вот другая теорема, которая играла, наоборот, большую роль в истории аналитической геометрии вплоть до Эйлера и обобщение которой явилось основной теоремой в теории алгебраических кривых, ведущей свое начало от Ньютона. Эта теорема состоит в том (фиг. 2), что отношение прямоугольников, построенных на отрезках хорд МА,, МА2 и МБt МВ2, равняется отношению прямоугольников на отрезках параллельных хорд

М'А;,М'А'2 иМ'В2:

мА,-ма2 _м'а!-М'в;,

(1)

МВГМВ2     M'Bi-M'Bi

Наконец, укажем третью теорему, которая в настоящее время играет, пожалуй, еще большую роль, чем в XVII в. Сейчас она относится к теории поляр, причем в синтетической геометрии имеет не меньшее значение, чем в аналитической. Это теорема, утверждающая гармоничность точки А, из которой проведены касательные AT и AU, и точек С, В, D пересечения диаметра, проходящего через А, с кривой и хордой прикосновения (фиг. 3).

Заметим, что об асимптотах Аполлоний говорит больше, чем современные учебники; но точка зрения его на асимптоты совсем другая, чуждая тех понятий бесконечности и предела, которыми оперируем мы.

Вне сомнения, самыми важными после диаметральных свойств конических сечений являются у нас фокальные свойства и построения касательных. Так как у Аполлония свойство радиусов-векторов не является определением эллипса и гиперболы, а только производным с свойством, то фокусы ему приходится определять геометрически риторическим правилом и по существу весьма формально. Фокус

Фиг. 3.

367


эллипса, по Аполло кию, это точка, делящая большую ось на две такие части, что прямоугольник, построенный на них, равен четверти прямоуголъ-

ника, построенного на параметре, т. е. 2— и большой оси 2а.

<

Те основные свойства, "симптомы" параболы, эллипса и гиперболы, в которых мы теперь видим уравнения этих кривых, у Аполлония не играют той роли, что в настоящее время.

Если переложить эти "симптомы" на алгебраический язык, то основное свойство выразится уравнением

(2)

у2=2px + qx2,

/    У

[      X

-V,

/

F

В

А

где q<0 для эллипса, q>0 для гиперболы и q = 0 для параболы. Уравнения в форме (2) приводятся только для выяснения происхождения терминов эллипса, гиперболы, параболы (недостатка, избытка, равенства).

При этом для параболы квадрат на
ординате
у= CD равен прямоугольнику на
абсциссе
х = АС и отрезке параметра
(параметр Аполлония равен удвоенному
нашему). Для эллипса этот квадрат равен
g
меньшему прямоугольнику, полученному
 Фиг. 4.

таким построением. В конце А диаметра 2В = восстанавливается перпендикуляр АЕ = 2''р, точки Еи В соединяются прямой, пересекающей

CF1ABB точке F. Тогда квадрат на CD равен прямоугольнику ABFG, ибо

GF: х = р:а, т.е. GE-EF =^- и у2 = 2рх - qx\ где q=™ (фиг. 4).

Аналогично проводится построение и для гиперболы.

Перевод формулировки античной в современную алгебраическую, казалось бы, наводит на мысль о том, что отрезки АС и CD суть здесь координаты, а у2 - 2рх + qx2 уравнение кривой. Но в действительности у Аполлония нет идей аналитической геометрии1.

2. Два основных принципа аналитической геометрии

Для дальнейшего необходимо прежде всего выявить две основные идеи аналитической геометрии и, выявив их, признать, что при их отсутствии нельзя относить геометрические исследования к аналитической геометрии, хотя бы эти исследования и доходили (чуждым аналитической геометрии методом) до очень ценных результатов, относящихся к коническим сечени-

ям.

368


В основе аналитической геометрии лежат два принципа2. Первый из них - координатный принцип можно формулировать так: изучение взаимного расположения геометрических объектов сводится к изучению их расположения относительно некоторых определенных неизменных объектов. Этот принцип связан с понятием координаты как величины, характеризующей положение объекта - прежде всего точки - относительно неизменных объектов (например, осей Ох и Оу).

Конечно, у самого Аполлония мы ие находим понятия о координате. Он не мыслил АС и CD как абсциссу и ординату, определяющие положение точки на плоскости, а только как некоторые линии, связанные с точкой и кривой.

Я формулирую этот первый принцип в столь общей форме, так как считаю, что в истории аналитической геометрии весьма важна эволюция этого принципа, начиная с его частной формы - "декартовых координат" и кончая линейными плюкеровыми координатами прямой, параллельными координатами и, наконец, проективными координатами.

Второй принцип определяемости носителя уравнением состоит в том, что свойство, характеризующее элементы, принадлежащие носителю, выражается уравнением между признаками элементов.

И здесь я беру самую общую формулировку, под которую подводится не только уравнение между координатами, но, например, и уравнение между радиусом кривизны и углом смежности в натуральной геометрии, являющейся одной из дальнейших ступеней развития аналитической геометрии.

Если даже считать величины, которыми оперирует Аполлоний, за координаты, то можно ли сказать, что он оперирует уравнением? Я думаю, что иет. Ведь в таком случае он должен был бы мыслить себе бесконечное множество точек носителя - пунктуал и определять это бесконечное множество одним уравнением, связующим признаки его элеменгов. Но античная мысль не оперировала актуальной бесконечностью. Логически предло-жения: "свойство С1 имеет место для каждого из а а а ...'" и "свойство О. имеет место для всех а", эквивалентны, но психологически переход от одного к другому требует совместного рассмотрения всей совокупности а как множестш. причем в настоящем случае еще бесконечного.

В аналитической геометрии не следует видеть только одну алгеб-раизацшо "конических сечений" Аполлония, в ней следует видеть еще выдвижение совершенно чуждых античной мысли идей, созданных философией XVII в.

3. Фузионизм античных математиков

Пожалуй, мы могли бы еще говорить о скрытом под геометрической формой определении кривой с помощью уравнения, если бы подход к парабо-

369


ле, эллипсу и гиперболе был у Аполлония планиметрическим. Но этого у него нет. Подход его чисто стереометрический. Изучаемые кривые у него явшйотся сечениями прямого конуса, и то, что молено было бы счесть за координаты, возникает в ходе чисто стереометрического исследования.

В настоящее время получение параболы, эллипса и гиперболы как сечений конуса перешло в область начертательной геометрии. Хотя в некоторых учебниках аналитической геометрии эта глава воспроизводится, но в них она носит чисто геометрический характер, и в результате построений получается не уравнение, а основные свойства радиусов-векторов и директрис, определяющих эти кривые.

Но если идеи, лежащие в основе аналитической геометрии, следует признать чуждыми античным мыслителям, то этого нельзя сказать об основных целях аналитической геометрии. Тщательный анализ вскрывает, что эти цели были не очень далеки от тех, которые ставились античными математиками. Именно, основной целью геометрии Декарта и Ферма являлось графическое решение уравнений, к которому приводит алгебраизи-рованное решение геометрических задач, и при этом преимущественно задач на построение. Это как раз та цель, которая и являлась главной целью исследования конических сечений у античных математиков.

Действительно, каким образом и с какой целью были открыты парабола, эллипс и гипербола? Были ли они открыты как конические сечения? Или, может быть, им сперва было дано планиметрическое определение, а уже потом было доказано, что они получаются при сечениях конуса?

Я думаю, что приходится склониться к первому предположению. Известно, что еще математик IV в. до. н.э. Менехм решал задачу об удвоении куба с помощью параболы и гиперболы или с помощью двух парабол, причем при изучении этих кривых брались конусы с прямым или тупым углом при вершине, а сечение производилось плоскостями, перпендикулярными к прямолинейно-образующей. Было бы неправильно утверждать, что конические сечения были изобретены только для решения задачи об удвоении куба, но вне сомнения, что их появление в геометрии было вызвано поисками решений задач на построение.

Следует иметь в виду, что в самой формулировке этих проблем оставалась неопределенность, не было точно зафиксировано требование выполнения построения с помощью евклидова комплекса: циркуля и линейки.

Сечения пирамид, цилиндров и конусов, видимо, интересовали математиков еще ранее. Так, Демокрит исследовал плоские сечения, параллельные основанию кругового конуса3.

Что античные математики допускали сдвиг в самом понимании классических проблем на построение, ясно видно уже из самого наименования этих, а также других кривых, получаемых стереометрически, телесными местами, в отличие от плоских мест, каковыми являются прямая и

370


окружность. Парабола, эллипс и гипербола прежде всего являются телесными местами, прежде всего они получаются стереометрически. Здесь следует вспомнить весьма сложное стереометрическое решение делосской проблемы удвоения куба Архитом, в котором фигурирует кривая на цилиндре, образуемая пересечением с движущейся параллельно себе окружностью'1 .

4. Графическое решение уравнений

Яуже отметил, что основной целью ранней аналитической геометрии было графическое решение уравнений, о чем в прежнее время руководства по аналитической геометрии говорили очень много. Можно сказать, что аналитическая геометрия в начальной стадии своего развития представляла скорее приложение геометрии к алгебре, причем эта черта ее не была утрачена даже в XIX столетии.

Обычно на это обстоятельство не обращают внимания. Обращаясь же к сочинениям Декарта (1637) и Ферма (ок. 1637), мы ясно видим, что преимущественно интересовало их именно приложение геометрии к алгебре5. Ведь мы не находим в этих работах даже самых простых теорем чисто геометрического типа, доказываемых методом аналитической геометрии.

Первое время построение корней является основной задачей, но со временем эта задача сдвигается с первого плана, и если Декарт с нее начинает, то Лопиталь ею кончает".

Но к графическому решению уравнений открываются два пути: 1) изыскание уравнений, определяющих известные кривые, или, во всяком случае, кривые, которые вычерчиваются простым непрерывным движением; 2) определение геометрического значения простейших алгебраических уравнений.

По первом)' пути шел Декарт, по второму Ферма (независимо от Декарта).

В "Геометрии" Декарта видное место занимало решение так называемой задачи Паппа. В этой задаче даны по положению несколько прямых и требуется найти геометрическое место таких точек, что если из этих точек провести под данными углами к данным прямым отрезки, то отношение произведения некоторых из проведенных отрезков к произведению остальных будет постоянно. Эта задача у Декарта получает особенное значение только потому, что кривые, дающие ее решение, включают конические сечения, являясь естественным их обобщением. Декарт находит среди них и другие известные кривые, вычерчиваемые непрерывным движением.

Определяя уравнение кривой, данное каким-либо условием (т.е. заданное как геометрическое место), Декарт ие находит другого выхода,

371


как обратиться к Аполлонию, и выражает содержание его основных положений в форме уравнения между хиу, причем обнаруживает совпадение последнего с тем, которое он получает, решая задачу при определенном выборе направления и длины осей и величины параметра.

Ферма же приводит уравнение к такому виду, из которого непосредственно на основании теорем элементарной геометрии видно его геометрическое значение, или к такому виду, что в нем узнается одна из теорем Аполлония. При этом у Ферма приведение уравнения совершается или путем изменения формы посредством приведения к пропорции, или, что имеет особенное значение в аналитической геометрии, заменой х другой аналогичной величиной, относящейся не к Оу, а к Оу' || Оу в чем, конечно, заключается эмбрион преобразования координат. Мы находим у Ферма геометрическое значение уравнений: В форме Ферма:   В современной:

DA = BE ах = by    (прямая, проходящая через начало координат)

Z - DA = BE ах - by = с     (вообще прямая)

АЕ = Z ху = с      (гипербола, отнесенная к асимптомам)

Е2=DA х2 = ау|

A, =DE

2=a1 (парабола)
В2 + А
2 = Е2 х2 + yfer' (окружность)

В2 ± А2К2 = Е2 -^г±^"=1    (эллипс и гипербола)

Я обращаю внимание на метод Ферма приведения уравнения к системе уравнений, определяющих уже не одну, а две величины, и вытекающий отсюда способ построения корней. При этом я в основном сохраняю обозначения самого Ферма.

Рассматривается уравнение 3-й степени:

A3+BA2 = Z2B, (3)

где гласная А стоит вместо нашего х, а свободный член Z2B берется в этой форме для однородности всех членов, как этого требовал Виэт7.

Затем Ферма полагает

А3-)-ВА2 = ВАЕ или

А2+ВА=ВЕ (4)

и вместе с тем по (3)

Z2B=BAE или

Z2 = АЕ (5)

372


и корень уравнения (3) оказывается абсциссой точки пересечения параболы (4) и гиперболы (5).

Сущность этого метода состоит в том, что уравнение

<р(х) = ф(х) приводится к

<р(х) = 0(х,У) Ф(х) = 0(х,у), где 0 (х, у) выбирается так, что по сокращении происходит упрощение.

Весьма вероятно, что корень этой методы следует искать в Regula aliza Кардана8.

Это кардановское правило состоит в приведении уравнения к системе двух уравнений, при этом таких, решение которых достигается без приведения к первоначальному путем исключения одного неизвестного. Например, уравнение

x*+ax*+aV+a3«bx3 (6)

приводится к системе уравнений

ху = а (7)

х332у + ху2 =Ь, (8)

а затем мы имеем:

2а(х+у) = 2х2у+2ху2 = (х + у)3332у- ху2 =(х + у)3 -i-b .

Уравнение же

(х + у)3=2а(х + у) + Ь (9)

разрешается с помощью формул Кардана относительно х + у, и окончательной системой является:

х + у = с: ху = а, (10)

т.е. х, у определяются квадратным уравнением.

После Декарта и Ферма графическим решением уравнений высших степеней занимались ученые Слюз, Крег, Ньютон и другие математики XVII и XVIII вв.

5. Алгебраическая и аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия в том виде, как мы ее находим у Декарта и Ферма, использует, как увидим ниже, только второй основной принцип и имеет целью не аналитическое доказательство геометрических теорем, а графическое решение уравнений. Поэтому геометрию Декарта, пожалуй, лучше называть не аналитической, а алгебраической, а может быть, еще лучше -геометрической алгеброй.

К тому же смысл терминов "анализ" и "синтез" сильно колеблется.

373


В методике вслед за Паппом анализ понимается обычно как прием нахождения доказательства (или решения) путем восхождения от следствий К причинам; синтез же, наоборот, вдет от причин к следствиям9. Соответственно этим приемам мышления отличаются и два приема изложения. В этом смысле об аналитическом изложении, противоположном чисто синтетическому методу изложения в "Началах" Евклида, молено говорить лишь применительно к аналитической геометрии в ее развитой форме.

В другом же понимании анализ толкуется как изучение целого путем дробления его на части, а синтез как воссоединение частей. В этом смысле говорят об анализе бесконечно малых или о химических анализе и синтезе. Хотя эти понимания и различны, но, вне сомнения, между ними существует логическая связь; то, что мы находим в целом, мы можем мыслить обусловленным свойством частей.

Но толкование названных терминов в первом смысле перешло в XVII в. в понимание анализа просто как алгебраической методы; уравнение при этом рассматривается гак основание свойств геометрического объекта, например, кривой, и восхождение к уравнению тогда является восхождением от следствий к причинам.

Мы не можем, однако, настаивать на том, что геометрию Декарта следует назвать алгебраической, потому что при своем зарождении алгебраическая геометрия понималась значительно шире; к ней относились всевозможные алгебраические решения задач (главным образом на построение), в которых ни первый, ни второй из упомянутых принципов не используются. Алгебраическая геометрия в широком смысле или алгебраические методы решений задач сделались возможными после изобретения Виэтом буквенной алгебры. При этом выявились два момента;

  1.  приведение геометрической задачи к уравнению, определяющему неизвестное, от которого зависит решение задачи; коэффициенты этого уравнения выражаются через данные величины. Это приложение алгебры к геометрии;
  2.  построение корня уравнения, которое, естественно, требовало изучения построения элементарных выражений. Это приложение геометрии к алгебре.

До аналитической геометрии Декарта уже существовала алгебраическая геометрия, и аналитическая геометрия явилась системой специальных методов решения задач алгебраической геометрии.

Следует особое внимание обратить на работы Гетальди10, приводящего решение задачи на построение к уравнениям 2-й и высших степеней и заключающего, в случае мнимых корней, - о невозможности решения поставленной задачи, а в случае неопределенного уравнения - о бесчисленном множестве решений.

Тщетные попытки решения уравнений выше 4-й степени послужили причиной сдвига в самом понимании решения уравнения, которое

374


стало пониматься не в смысле конструирования (т.е. построения в радикалах), а в смысле вычисления по приближению или же в графическом. В последнем случае корни стали определяться отрезками, определяемыми точками пересечения кривых, которые вычерчиваются не только с помощью циркуля и линейки, например, параболы, эллипса, гиперболы, конхоиды и других.

Интересно отметить, что математики XVII в. занимаются построением сложных алгебраических выражений без сведения их к простым. Конечно, во многих случаях построения получаются более простые, чем те, которые даются общей методой. Следует еще отметить, что алгебраический характер исследования конических сечений выдерживается в XVII и XVIII вв. различными учеными в различной мере, и многие пользуются только алгебраическими обозначениями, но не алгебраическими операциями.

Даже в середине XVII в. античные методы перемешиваются с картезианскими: уравнения конических сечений выводятся из стереометрических соображений, вместо уравнений используются неудобные для дальнейших операций пропорции, применяется устарелая символика и т.д.

6. Лрифметизация в аналитической геометрии

Заслугой Декарта иногда считают арифметизацию геометрии, приведение
геометрических операций к действиям над числами. Но это неверно. Это
было бы возможно только в том случае, если бы Декарт представлял себе
взаимно-однозначное соответствие
между числами и геометрическими ве-
О

личинами, т.е. если бы он имел в своем распоряжении иррациональные числа, хотя бы не строго обоснованные, но принятые на веру. Но в его время этого не было, да и не могло быть.

Однако можно сказать, что Де
карт в своей не арифметизироваиной,
а алгебраизировашюй геометрии дела
ет первый шаг к арифметизироваиной
геометрии. Здесь он уходит дальше
 Ф  • 5

Ферма. Для Ферма "характеристики"

а, Ь, с, d... представляют собой, как для Виэта и многих других алгебраистов, величины в общем смысле (magnituumes), т.е. либо непрерывные геометрические величины, либо дискретные числа. Конечно, геометрические операции, дающие члены выше третьего измерения, могли иметь при этом только формальный характер; над буквенными выражениями вроде а3Ь и т.п. допускались обычные операции, т.е. по существу все эти гипергеомет-

375


рические операции и элементы играли ту же роль, какую в настоящее время играют комплексные числа. Декарт же все буквы мыслит не как числа,

как делают все математики, начиная с Лежандра, а как отрезки, и операции

a±b, ab, —мыслит как операции над отрезками. Например, построение

с    ab ,     ,.

величины х =— видно аз фиг. 5.

с

Одним словом, Декарт поступает так, гак Д. Гильберт, в своих "Основаниях геометрии», строящий исчисление отрезков с целью обоснования теории подобия и теории пропорций без аксиомы Архимеда.

7. Функциональное мышление и Декарт

Таким образом, Декарту нельзя ставить в заслугу арифметизацию геометрии, но можно сказать, что в своем исчислении отрезков он встал на промежуточную точку зрения. Аналогично обстоит дело с вопросом об идее функции у Декарта.

Мы тесно связываем аналитическую геометрию с понятием функции. Мы меняем х и в зависимости от х у нас меняется и у. Но мыслил ли таким образом Декарт? Я думаю, что так он не мог мыслить. Раньше чем начали мыслить у меняющимся в зависимости от х вне времени, что сводится скорее не к действительноагу изменению, а только к возможности изменения, х и у мыслились как изменяющиеся во времени, т.е. как флю-энты, согласно терминологии Ньютона. Это время у Ньютона же сначала обращается в умозрительное время, а затем превращается в независимое переменное в общем смысле11,

Само слово "функция" употребил впервые Лейбниц (1694) в смысле некоторого отрезка, связанного с точкой кривой, как абсцисса, ордината, радиус кривизны и т.д.

Это геометрически конструктивное понятие о функции вскоре эволюционировало в аналитически конструктивное понятие Ив. Бернулли и особенно Эйлера, при котором функция отождествляется с выражением при помощи аналитической формулы, В дальнейшем динамическое и конструктивное понятия функции сливаются. При этом функциональное мышление со всею определенностью выступает только у Эйлера.

Но и здесь Декарт занимает некоторое промежуточное положение и делает важный шаг вперед в развитии к функциональному мышлению. Во-первых, он определяет кривые фороиомически, заставляя двигаться точку по кривой или саму кривую по определенному закону. Это еще не функциональное мышление, но это первый шаг к динамическому понятию функции Ньютона - флгоэнты. Переход от форономической точки зрения, рассматривающей изменение величины вне времени, к кинематической, связывающей это изменение со временем, и подводит к понятию флюэнт.

376


Во-вторых, Декарт мыслит актуально бесконечное множество всех точек, которые как некое целое несет кривая; он обнимает мыслью все положения, которые занимает движущаяся точка, и в каждом положении^ мыслит одну и ту же зависимость между х и у. Однако до понятия функции в смысле табличного соответствия между множествами, которое выступает уже в геометрически конструктивном понятии функции Лейбница, Декарт не доходит; он мыслит бесконечное множество пар (х, у), но не пару двух множеств зсиув отдельности.

Анализ сочинений последователей Декарта укрепляет меня в высказанном мнении. Я повторяю, что ордината у сперва вовсе не мыслится как изменяющаяся вместе с х, но рассматривается основное простейшее движение, ко гда угол MPQ движется так, что PQ скользит по Ох, а точка М движется определенным образом по РМ. Де Витт называет ОР интервалом (фиг. 6), РМ - образующей линией12. Величина отрезка РМ определяется тем, что при всяком положении М задается некоторое его свойство, которое характеризуется чисто геометрически. Из этого свойства и выводится в алгебраической форме некоторая зависимость между РМ и ОР. Аналогичная терминология сохраняется Виттом и для других прямых, участвующих в образовании кривой.

При этом то, что мы называем началом координат О, всегда является характерной точкой кривой. Директриса (по-иашему ось Оу) есть прямая, проходящая через О и тоже 'характерная для образуемой при движении кривой.

Следует отметить, что форономическая форма выражения не изгоняется из аналитической геометрии даже много позднее. Такую форономи-ческую форму выражения можно найти, например, у Девелея'3.

Именно-потому, что
подход Декарта был форономи-
ческим, а не функциональным,
задержалось и развитие про
странственной аналитической
геометрии. Координаты точки
на кривой мыслились как изме
няющиеся в зависимости от не
коего параметра. Но подобное
образование поверхности было
 Фиг. 6.

невозможно, так как она не описывается точкой. Уравнение поверхности могло появиться только с выявлением конструктивно-динамической функции от двух переменных, что следует отнести только к Клеро14.


8. Координатный принцип

Мы уже отметили, что ни Декарт, ни Ферма не имели понятия о координатах в нашем понимании и таким образом использовали не оба основных принципа, мной указанные, а только второй: определяемость кривой уравнением.

Величины, которыми характеризуют положение некоторых объектов A,B,C,D... относительно некоторых неизменных объектов, называются координатами.

В настоящее время координаты считают наиболее существенным элементом аналитической геометрии. Тодгентер даже заменил обычный термин "аналитическая геометрия" другим - "координатная геометрия"15. Но так обстоит дело только в настоящее время, а в прошлом было по-иному.

Координатный принцип устанавливает соответствие между точками плоскости и парами чисел. Затем геометры идут гораздо дальше, устанавливая соответствие между прямыми плоскости и координатами ее, а затем между точками (или прямыми) одной плоскости и точками (или прямыми) другой. Начинают мыслить две плоскости как состояние одной, изменяющейся плоскости, как преобразование плоскости при некоторых инвариантах. Но все это относится к недавнему прошлому. В более отдаленном прошлом абстрактной идеи соответствия совсем не было.

Понятие о координате в нашем смысле появилось очень поздно. У всех авторов до Эйлера величины (х, у) в уравнении, определяющем кривую, вовсе ие суть величины, определяющие положение точки на плоскости относительно некоторых осей Ох и Оу. Это только характерные линии на самой кривой. Решая упомянутую выше задачу Паппа, Декарт начинает с установления зависимости между некоторыми отрезками х=АВ и у=ВС. Мы назовем эту зависимость уравнением геометрического места, считая х и у за координаты точки кривой. Но для Декарта х и у ие являются координатами в пашем смысле. Он нигде не говорит об определении положения точки на плоскости ни этими, ни какими-либо другими величинами. Более того, эти х, у не подводятся под то понятие, которое мы обозначаем термином "декартовы координаты". Отрезки MP и MQ здесь проводятся не параллельно Ох и Оу под одним и тем же утлом (фиг. 7), и лишь в частных случаях х, у оказываются нашими прямоугольными декартовыми координатами.

О

Q

Даже у Эйлера нет полного совпадения с нашим подходом

378

Фиг. 7.


к понятию координаты. Но, в отличие от своих предшественников, Эйлер дает общие формулы преобразования координат, причем с целью преобразования кривой, а не всей плоскости. Несомненно, что именно эти формулы должны были сыграть роль при выявлении понятия координаты в современном смысле.

Величины (х, у) обращаются в координаты на плоскости, с одной стороны, под влиянием начертательной геометрии, созданной Монжем, с другой стороны, под влиянием картографии, которой занимался Эйлер.

Эмбрион идеи координаты приходится искать еще задолго до Мон-жа. Уже Дюрер16 пользуется координатами точек на плоскости картины, протягивая нить от глаза к изображаемой им точке предмета; он определяет координаты точки пересечения ее с плоскостью картины, которой является плоскость рамы, где натягиваются две нити, параллельные ее краям, и, передвигая их, определяет расстояние от краев рамы. Но едва ли можно уловить в работе Декарта влияние этих дюреровских идей. У Декарта играют роль те основные величины Аполлония, соотношение между которыми дает характерное свойство кривой.

Другой источник понятия о координате лежит в картографии, причем именно здесь можно довольно далеко проследить понятие координаты. Как это часто случается в истории науки, сперва выступает более сложный случай, а затем делается переход к более простому. Птоломей, определяя положение точки на сфере некоторыми координатами, дает вместе с тем первое понятие о преобразовании, правда, не плоскости в плоскость, а сферы в плоскость, что приводит затем к понятию о координатах на плоскости. Но в античное время и во время Декарта эти идеи не получили развития, ибо отсутствовала идея соответствия и преобразования.

На первый взгляд кажется, что рассмотрение (х, у) как координат на плоскости мало вносит в геометрию Декарта. Но если вдуматься, то обнаружится, что только при наличии этого понятия становится возможным метод преобразования координат как общий метод.

Можно, пожалуй, (х, у) у Декарта, Ферма и Лопиталя назвать координатами на кривой как величины, определяющие положение точки не на плоскости, а на определенной кривой. Преобразование же координат мы

теперь совершаем при помощи формул, связующих (х,у)с(х', у') для любой точки плоскости.

Аналитическая геометрия Био" начинается с определения абсцисс и ординат почти в современном смысле. Но даже здесь следует прибавить "почти", так как в определении говорится не об абсциссе и ординате, определяющих точку, но об абсциссах и ординатах точек кривой. Отметим, что и у Клюгеля18 координаты определяются только в отношении к графику.


9. Определение кривой уравнением и функции графиком

Функция изучается с помощью графика; можно сказать и наоборот: график в аналитической геометрии изучается с помощью функции. Конечно, первый подход к графику имеет только практическое и методическое значение при воспитании функционального мышления. Но он же встречается в не вполне математизированной форме в теории широт и долгот схоластика XIV в. Орезма".

Схоластический спор о том, что меняется при изменении субстанции - форма или материя, привел еще Дунса Скотта к такому решению: ни материя, ни форма не меняются. Но форма проходит через формы форм или формальности. Форма - это метафизический предок переменного х, формальности - его значений а,, а2, аг...ап.

Орезм строит то, что мы могли бы назвать графиком, откладывая время по оси Ох, а по перпендикулярам - значения формальностей, и связывая таким образом с кривой различные типы изменения во времени. Можно сказать, что и у Орезма имеются координаты точки на кривой: х является у него долготой, а перпендикуляр у - широтой.

Оказал ли Орезм влияние на Декарта? Такое влияние можно было бы ожидать у Декарта, который прошел через схоластическую науку. Но в геометрии Декарта мы нигде ие можем уловить такого влияния.

Метафизическое понятие о функции задерживается в своем развитии и не вступает в область математических исследований. Учение о долготах и широтах Орезма ничего не дает кроме довольно примитивной классификации типов изменения, отвечающих различным типам графиков. Мы ие находим у Орезма чего-либо такого, что могло бы натолкнуть на обратный подход- на изучение не функции по графику, но графика по функции.

Следует также отметить, что у Орезма только х является линией, а у есть собственно не линия, а некоторый тонкий прямоугольник, стоящий на Ох, т.е. на отрезке, соответствующем мгновенному изменению времени.

У Орезма, как и у Фомы Ливинского, нет еще непрерывного изменения; изменение вдет скачками в ничтожные промежутки времени (мгновения)20.

Я думаю, что учение Орезма вряд ли оказало влияние не только на Декарта, но и на Ньютона в его учении о флюэитах и флюксиях.

10. Аналитическая геометрия без преобразования
координат

Аналитическая геометрия в современной законченной форме с общим исследованием кривых второго порядка могла развиться только вместе с теорией преобразования координат. Чтобы уяснить, какое значение имело в истории аналитической геометрии преобразование координат, я предлагаю

380


обратиться к тем приемам, которые применялись до введения в аналитическую геометрию общих формул преобразования координат.

Каким образом решался вопрос, представляется ли какая-либо кривая уравнением

Хф,.к(а,Ь,С...)хУ=0? (И)

Для решения этой задачи выводится сперва общее уравнение этой кривой при каких угодно осях координат:

#Хф«е(а,Р,У-)хУ = 0? (12)

и затем определяется, возможно или невозможно определить а, Ь, с... через а,(1,у ...так, чтобы коэффициенты (11) и (12) оказывались пропорциональными.

Так, например, можно установить, что геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно, есть окружность, сравнив получаемое на основании этого свойства общее уравнение с уравнением окружности

(x-a)J+(y-i)2=у.. (13)

Так поступаем и мы, когда выводим условия, при которых кривая второго порядка

Ах2+2Bxy + Cy2+2Dx+2Ey + F = 0 (14)

представляет окружность (13).

Весьма интересно сравнительно позднее появление уравнения кривой второго порядка в общей форме (14). Бесспорно, что одной из причин этого является ясно выраженная тенденция держаться однородности строения уравнения. В картезианском смысле выражения Ах2, Dx и т.д. понимаются как отрезки, но только при введении масштабной единицы, т.е.

Dx при представлении Dx как —— и т.п. Но как Декарт, так и его последователи не пользуются масштабной единицей; на ее месте всегда фигурирует некоторый произвольно взятый отрезок, и уравнение (14) должно писаться в форме:

ах2     2Ьху    су2     2dx    2су    „   „

^""т/ + ^"+~^     m +f=°" (15)

in m        in ш       ш

Впрочем, в действительности в этой форме общее уравнение кривой второго порядка не пишется, так как в качестве параметров всегда стараются выбирать некоторые определенным образом построенные отрезки.

Еще интереснее отметить, что методы более ранних математиков, в том числе и самого Ферма, колеблются около приема преобразования

381


координат, но эти ученые не могут овладеть названным приемом из-за того, что понятие координаты на плоскости не выяснено.

Без этого приема математическая мысль сперва преобразует уравнение

Jf(x,y) = 0 (16)

в более простое

ф(х',у') = 0 (17)

при помощи формул

щ(х,у)=у'

х = х', (18)

истолковывая геометрически эту зависимость так, что и х', у', оказываются координатами.

Общей методы еще нет. Не сознается даже то, что формулы преобразования должны иметь линейную форму:

х' = ах+Ьу+с    1
у' = а'х +
b'y + C  J <19)

Так, например, обстоит дело в сочинениях де ля Гира21.

11. Прямая в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия даже во второй половине XVIII в. обходится без тригонометрии. Последняя в своей гониометрической части развивается медленно. Символика и алгебра тригонометрических величин создаются только Майером и Эйлером.

Основные формулы в теории прямой

у = ах-1-Ь, (20)

a=lgoc, где угол а, образуемый прямой с Ох, появляется только вместе с гониометрической символикой22.

Вывода уравнения прямой у Декарта нет; у Ферма уравнение прямой имеется. Это странное явление объясняется различием их подходов. Декарт, идя от кривой к уравнению, извлекает (х, у) из внутренних элементов кривой, принимая, например, за у полухорду, за х ее высоту. Ферма же, идя от уравнения к кривой, должев[ брать за (х, у) внешние элементы. Можно сказать, что хотя (х, у) у него и не являются координатами на плоскости, но их можно признать координатами точки на прямой.

12. Преобразование координат без тригонометрии

Крамер23 дает общие формулы преобразования координат. Но, во-первых, эти формулы не тригонометрические, во-вторых, они представляют собой

382


формулы преобразования не координат точек на плоскости, а координат точек кривой.

Общие формулы Крамера пишутся так:

x=m+pz+ru (21)

у = п + qz + su, где коэффициенты р, q, г, s выражаются не тригонометрически, но через заданные отношения сторон различных треугольников, возникающих при преобразовании координат.

Тригонометрические формулы преобразования мы встречаем у Эйлера. Отличие его изложения от современного состоит только в том, что он не пользуется общепринятыми ныне леммами о проекциях. Оперирование с относительными геометрическими величинами, или, как некоторые говорят, с алгебраическими отрезками, тогда еще не щэоизводилось. Такого рода приемы могли войти в геометрию только после знаменитого спора об отрицательных геометрических величинах в начале XIX в., определенным образом выявившего право гражданства их в геометрии2,1.

13. Начало истории кривых второго порядка

Современный учебник аналитической геометрии трактует только о прямой и кривых второго порядка. Уравнением параболы, эллипса и гиперболы мы обязаны Декарту и Ферма, которые, гак мы видели, подошли к ним с различных сторон. Но следует помнить, что для них эти кривые прежде всего являлись коническими сечениями. Оба они пользуются их свойствами, выведенными стереометрически, согласно Аполлонию. Можно сказать, что у них еще нет чисто плоскостной аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия на плоскости рождается с того момента, когда эти кривые получают чисто планиметрическое определение. Это знаменует начало новой эпохи. Эллипс становится геометрическим местом точек, сумма расстояний которых от двух точек постоянна, гипербола - геометрическим местом точек, разность расстояний которых от двух точек постоянна, парабола - геометрическим местом точек с равными расстояниями от точки (фокуса) и прямой (директрисы).

Стереометрическая сторона дела при этом не исчезает, но отходит на второй план. Наряду с частью, развивающей три планиметрические теории, излагается, но уже во вторую очередь, теория параболы, эллипса и гиперболы как конических сечений. Этот момент относится к де ля Гиру.

У Лопиталя аналитическая геометрия планиметризована, но еще не алгебраизована в той мере, как у нас. Начинается она с изучения параболы, эллипса и гиперболы. Определение их дается обычное, но только в геометрической форме. Определением служит, как у Дегарта, построение непрерывным движением. "Прикрепляем, говорит Лопиталь, на плоскости концы нити FMf в данных точках F и I, расстояние между которыми

383


меньше длины нити, берем грифель, чтобы держать эту нить натянутой, и двигаем его вокруг этих двух точек так, что он возвращается в прежнее положение. Он описывает тогда в этом движении кривую, которую назовем эллипсом". Парабола, эллипс и гипербола получают у Лопиталя название "конических сечений", раньше чем доказывается, что они возникают как плоскостные сечения конуса.

Наконец, третья эпоха характеризуется тем, что конические сечения подводятся под их объемлющее понятие кривых второго порядка и согласно этому строится и их стереометрическая аналогия - поверхности второго порядка.

В настоящее время обычно подходят к параболе, эллипсу и гиперболе, отправляясь от общего рассмотрения кривых второго порядка. Эллипс является кривой второго порядка без бесконечно удаленных точек, гипербола - с двумя бесконечно удаленными точками, парабола - с одной.

14. "Введение в анализ бесконечно малых" Эйлера

Эйлер25 оперирует общим уравнением кривой второго порядка. Но он дает значительно меньше, чем наши учебники, и не использует преобразования координат для исследования кривых второго порядка. Вывод упрощенных уравнений кривых второго порядка совершается на основании некоторых общих свойств кривых второго порядка.

К Главная заслуга Эйлера состоит

М

в том, что он первый дает общую теорию кривых второго порядка, основываясь на уравнении

D

О

^

С a + f3x + Yy+Sx2+sxy + ^y2=0.     (22)

N

CD иг. 8.

Правда, эту общую теорию Эйлер развивает не далеко. В пятой главе дается, по терминологии Эйлера, вывод главных свойств кривых второго порядка.

Первое свойство состоит в том, что прямая, проходящая через точку касания и делящая пополам какую-либо хорду, параллельную касательной, делит пополам и все другие хорды, параллельные касательной. Это свойство выводится Эйлером из рассмотрения коэффициентов уравнения кривой (22).

Второе главное свойство, получаемое через рассмотрение свободного члена уравнения (22), состоит в том, что (фиг. 8) для хорд MN, парал-

лелышх касательной СК в конце С диаметра DC, отношение

 CL-LD ML-LN

имеет

постоянное значение.

384


Это свойство, как мы видели ранее, было известно и Аполлонию и Архимеду, и играло важную роль в их рассуждениях. Таким образом, далее Эйлер оказывается связанным с "Коническими сечениями" Аполлония.

Из этих свойств и выводится упрощенное уравнение кривой второго порядка. Полагая

CL-I,DML-LN~h CD = а (диаметру), CL = х, ML=NL= уг Эйлер получает уравнение

у2=-(ах-х2) (23)

(

т.е. вида

y2=2px + qx2. (23')

В эйлеровском "Введении" нет еще исследования кривой второго порядка, заданной общим уравнением в современном смысле. Это исследование у нас разделяется на два момента: 1) приведение уравнения преобразованием к центру и к осям, 2) исследование формы кривой по уравнению.

Что делает Эйлер? Он берет в б-й главе упрощенное уравнение:

у2=а||3х+ух2 (24)

и заключает, что при у > 0 имеются четыре ветви, уходящие на бесконечность, которые мы, признавая на прямой только одну бесконечно удаленную точку, признаем за две ветви.

Заключение это выводится из того, что при х = ±со мы получаем для у вещественное значение оо.

При у < 0 и х = ±оо , у становится мнимым, т.е. бесконечные вет-

НИ fYTrVTrTTWKTT  ТТТТИ   у = 0   MM ITMPPVf ЛВС ГтЮ™"НЯ1ТК*\ГУ  flJTHV^ НРТЯИ   I'lTTV

ITIИР H'l

бесконечность Совершенно дает трем типам полученных таким образом кривых названия гиперболы, эллипса и параболы.

15. Кестнер; Врио и Бую

Известный методист-математик Кестнер26 разрешает общее уравнение кривой второго порядка:

a + fх+уу+5х2+еху+^у2=0, (25)

что дает:

385


y=    sBX + y) + V(ex+Y)     4£(5х-х+а)      ^

Из формулы (26) Кестнер делает заключения относительно асимптот или вдела ветвей, причем облекает свои выводы в форму, в которой фигурирует еще не отмененный принцип исчезновения конечного в сравнении с бесконечно большим, а также бесконечного низшего порядка в сравнении с бесконечным высшего порядка.

Величина под радикалом, говорит Кестнер, выражается так:

z = (s2-4£5)x2-Kpx + р, где ф,р определяются с помощью коэффициентов уравнения (26). Но, согласно учению о бесконечности, продолжает Кестнер. я принимаю, что когда х бесконечно, то

z = (e2-4£S)x2,

ибо остальные члены в сравнении с этим исчезают. Если s2 - 4^5 > 0, то

кривая лиши имеет возможные ординаты для положительных и отрицательных бесконечных х. Поэтому кривая не будет эллипсом. Далее, как и у Эйлера, делается заключение о существовании четырех ветвей и о том, что в рассматриваемом случае имеется гипербола.

Если е2 -4£5 < 0, то ординаты при бесконечных положительных и отрицательных абсциссах невозможны и имеется эллипс. При s2 - 4£5 =0 Кестнер берет г- ерх х + р ,аставляет тсчезать ь Р вравнении и фх и получает параболу.

У Врио и Букэ27, учебник которых сыграл особенно важную роль в истории методики аналитической геометрии, парабола, эллипс и гипербола определяются еще в начале курса их фокальными свойствами (среди примеров определения геометрических мест уравнениями). Сейчас же за этими кривыми рассматриваются: циссоида Диоклеса, строфоида, улитка Паскаля и другие кривые.

Подробное изучение параболы, гиперболы и эллипса следует уже после изучения кривых второго порядка вообще.

В первую очередь дается построение линии второго порядка, представляющее изучение формы кривой по уравнению. Затем следует упрощение уравнения, введением к которому служит изучение центральных и диаметральных свойств кривых второго порядка. Конечно только последнее приводит к заключению, что под понятие кривой второго порядка подводятся лишь парабола, эллипс и гипербола и их известные вырождения.

Уравнение

Ах2+Bxy + Cy2+Dx+Ey + F = 0 (27)

386


разрешается относительно у:

и особо изучаются случаи:

М<0, М>0иМ = О.

Далее рассматриваются основные свойства кривой второго порядка. В преобразовании к осям и к центру мы теперь довольно близко следуем Врио и Бую.

Современные учебники ведут свое происхождение главным образом от большого руководства Сальмона28, который сам находится под влиянием курса Брио и Бую, и других родственных учебников.

Без сомнения, большое значение в развитии аналитической геометрии имело понятие предела, данное д'Аламбером, и понятие о единственности на прямой бесконечно удаленной точки, принадлежащее Понслэ.


Поризмы и данные

§ 1. Очень трудно проникнуть в ход мыслей античного человека. Историк в большей или меньшей мере проектирует в прошлое настоящее. Лежандр, упрощая Евклида, не сознает, что это упрощение достигается только изменением самого понимания геометрического доказательства.

Евклид1, конечно, никогда не признавал бы лежандрова доказательства теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника2 . Ведь во всех своих доказательствах Евклид берет только те элементы в фигуре, построение которых доказывается. У Евклида геометрические объекты получают существование только через построение. Лежандр же в своем доказательстве использует медиану треугольника, но при этом он вовсе не дает построения середины основания, он только постулирует существование медианы.

Третий случай равенства треугольников, на котором основывается лежандрово доказательство, Евклид доказывает не до предложения о равнобедренном треугольнике, а после него.

Прием доказательства Евклида основывается на лемме, что для двух точек С, D, лежащих по одну сторону обрезка АВ (фиг. 1), невозможно одновременное выполнение равенства

CA=DA и CB=DB, а эта лемма доказывается только с помощью предложения о равнобедренном треугольнике. Вот почему Евклиду приходится строить другое, значительно более сложное доказательство этого предложения.

"Начала геометрии" А"
Лежандра отличаются от "На-
 Фиг. 1.

чал" Евклида, во-первых, различным пониманием доказательства, иначе говоря, существования геометрических объектов; во-вторых, тем, что изложение Лежандра арифметизировано: каждая геометрическая величина у него выражается числом, и каждому числу отвечает геометрическая величина, в то время как у Евклида все доказательства ведутся без обращения к числам. Более того, Евклид не ставит никаких вычислительных задач, не дает приемов вычисления площадей, поверхностей и объемов.

Вычислительная геометрия начинается только с Архимеда.

388


Вне сомнения, на евклидовы "Начала" оказали влияние аристотелева "Аналитика" и, прибавим еще, "Метафизика"3, с которой тесно связана логика, так как логика Аристотеля имеет ясно выраженный онтологический характер. Но вместе с тем в "Началах" отражается и платоно-пи-фагорейская философия, выставляющая правильные тела как конечную цель геометрии.

Согласно Аристотелю, наука должна ставить две проблемы: существует ли вещь и почему она существует, и если она существует, то как она существует?4

У Евклида в первой проблеме существование понимается в смысле возможности построения. Проблема: существует ли А и почему существует А, является у него в форме: можно ли построить А, и если можно, то как построить?

Вторая проблема ставится так: какова зависимость между объектами А, В, С,..., возможность построения которых уже установлена?

Обычно историки, стараясь быть наиболее понятными, облекают мысли античных математиков в современные словесные и даже символические формы. Это, конечно, довольно опасный прием, но мы далее все же рискнем к нему прибегнуть. При этом необходима оговорка. Евклид мыслил не точно по предлагаемой схеме. Но, вне сомнения, существует определенное соответствие между этой схемой и евклидовым мышлением, и можно сказать, что Евклид шел бы точно по этому пути, если бы арифме-тизировал геометрию в смысле Лежандра.

§ 2. Только вполне усвоив евклидово понимание доказательства, мы уясним себе три формы евклидова мышления. В "Началах" даются условия существования некоторых объектов: простых а, Ь, с и сложных, из них составленных ю; (а, Ь, с); дается также зависимость между ними и выводятся некоторые свойства, сводящиеся к эквивалентности некоторых построений.

Символически это выражается так:

Ь=Л     /'(а,Ь;С'";)=С      !->Ф(а,Ь,с,...)=ф(а,Ь,с,...), т

с

где символ = А означает "существует", а символ = эквивалентность.

Обобщением этой схемы или, вернее, ее изменением является сохранение тех же условий, ио замена вывода таким:

Ф(х, у, z, а, Ь, с,...) = ф (х, у, z, а, Ь, с,..).        (2) Вто время как а, Ь с... суть данные величины, х, у, z...—произвольные. В частности:

Ф(х,у,г, ...а,Ь,с) = ф (а,Ь, с,...). (3)

389


Можно сказать, что при некоторых построениях х, у, %,,.. не оказывают никакого влияния, и результат получается один и тот же, каковы бы на былих, у, z...

Но возможно другое изменение (1). Возможна замена вывода таким:

Ф(а,Ь,с,...) = Л, (4)

т.е. утверждение только существования, в евклидовом смысле, некоторого объекта Ф.

Если первой схеме отвечают "Начала", то второй - "Поризмы", а третьей -"Данные" Евклида.

Но, конечно, это лишь схемы самого общего характера. Тот материал, которым мы располагаем, необходимо проанализировать глубже. "Данные" до нас дошли полностью, а "Поризмы" - только в тех отрывках, которые имеются в "Собраниях" Паппа3.

Кроме поризмов и данных, у Евклида имеются еще проблемы. Им отвечает следующая схема.

Ищутся такие:

х=а(а, Ь, с, ...)

у « р (а,Ь, с,...) z = Y (а,о,с,,..), чтобы заданная зависимость

Ф(х, у, z,,.., ,, Ь, с, ...)зф (х, у, z, ..., а, Ь, с,...) обращалась в теорему

Ф(а,Ь, с, ...)=Ф (а, Ь, с,...). В такой общей, абстрактной форме поризм оказывается тем, чем его считал Папп, - ни теоремой, ни проблемой, а чем-то средним, их связующим.

Если (у, z) исчезают так, что зависимость сводится к

Ф(х,а,Ь,с,...) = Ф (х, а, Ь, с,...) и приходится искать х, то при решении проблемы на основании теоремы используется поризм.

§3. Мы сперва будем говорить о поризмах. Поризмы бесспорно сыграли некоторую роль в истории аналитической геометрии. Именно в поризмах зарождаются те определенные и неопределенные задачи, которые в XVIII в. играют существенную роль в учебниках алгебраической, т.е. аналитической геометрии.

Существует некоторая преемственность между античными пориз-мами и "Геометрией" Декарта (1637)\

При этом следует иметь в виду поризмы не только в евклидовом понимании, но и поризмы, уже преломленные через призму рационалис-

390


тической идеологии, содержащие в себе более общие идеи, чем те, которыми пользуется аналитическая геометрия.

Однако приложение этих идей не идет дальше частных примеров: они не содержат общих методов. Историк математики должен различать общие идеи и их осуществление7. Одно дело - общая идея исчисления бесконечно малых, состоящая в разложении изучаемой величины на бесконечно малые элементы, в отождествлении последних с более простыми (по-нашему, в замене их эквивалентами) и в вычислении суммы (по-нашему, предела суммы) этих простых элементов; другое дело -техника интегрального исчисления, начинающаяся только с понятия дифференциала и интеграла, как предела суммы специального типа.

Общая схема поризма дана нами выше; она объясняет, почему термин "поризм" употребляется Евклидом в "Началах" в смысле леммы, выражающей некоторую связь между остающимися неопределенными величинами. На основании этой схемы можно следующим образом формулировать сущность поризма:

Поризм-это предложение, в котором высказывается, что некоторое свойство имеет место для величии, находящихся в зависимости от нескольких данных и нескольких величин, остающихся ннопределенными.

Как и существование, зависимость ю(зф. должна определяться построением, производимым с элементами а, Ь, с,..., которые даны, и с

элементами х, у, z которые остаются неопределенными, т.е. такими, для

которых построение уже ие дано. При таком понимании, подходящем под евклидово, совершенно исключается бесконечность, и поризм еще не вызывает идей аналитической геометрии.

Только введя актуальную бесконечность, как это сделал Р. Симп-сон и другие до него, мы получаем поризм в той форме, от шторой уже легко перейти к основным проблемам аналитической геометрии.

Было бы неправильно думать, что такое понимание поризмов появилось только у Р. Симпсона. Оно должно было зародиться тогда, когда математическая мысль пропиталась актуальной бесконечностью, когда метод неделимых выступил как мощный математический аппарат.

"Поризм, - говорит Р. Симпссн8, - это предложение, в котором высказывается, что одной или многим данным величинам (неизменным), а также бесконечно многим, не данным, но находящимся к данным в определенных отношениях, присуще некоторое общее свойство".

Клюгель в своем словаре дает слово в слово симпсоиовское определение поризма, но прибавляет свое сокращение. Поризм, по Клюгелю, -это задача, в которой требуется каким-либо образом найти нечто, определенным образом связанное с неопределенным1'.

391


При тагам понимании поршма под это понятие сейчас же подводится определение кривой буквенным уравнением между координатами точек (х, у), в которое входят параметры а,Ь,с,..., если только спроектировать в прошлое, как это делает Р. Симпсои, понимание неопределенной задачи, как задачи, имеющей бесконечное множество решений. Здесь координаты точек (х,у) дают бесконечное множество точек, находящихся в данном отношении к Ох и Оу. Заданными а,Ь,с,... здесь служат параметры. Эти, правда, уже частного вида поризмы становятся возможными только при создании буквенной алгебры и приложении ее к геометрии.

Для разъяснения сущности поризма и пояснения его истолкования Симпсоном я приведу следующий пример.

Дана окружность с центром С (фиг. 2). Из двух точек D и Е одна дана, другая же - искомая, определяемая пропорцией:

BD : BE=AD : АЕ. (5)

М - произвольная точка, на окружности, и общее свойство геометрического места -неизменность отношения DM : ЕМ.

Если бы, мысля ЕМ и DM как координаты, мы пожелали построить задачу аналитической геометрии, отвечающую этому поризму, то получили бы проблему об определении уравнения при заданной системе координат, определяющего известную кривую (в настоящем случае - окружность).

По-гречески иороС" означает то, что представляет переход, что можно перевести словами "легкое заключение". В смыс-

2ь ле короллария, те. непосредствен-

^ ного следствия из доказанного

предложения, термин "поризм" употребляется в "Началах" Евклида.

Но каким образом от этого понимания Евклид перешел к другому пониманию поризмов, как трудных и замысловатых задач?

Существенным в евклидовом поризме было не то, что он легок и прост, а то, что он образует переход, промеэкуточное звено, и те поризмы, которые мы находим в "Началах", играют именно роль переходного моста от одного предложения к следующему, а вовсе не представляют вполне то, что потом назвали короллариями, т.е. мелкими выводами из теоремы, в дальнейшем не используемыми.

Цейтен"' считает те поризмы, которые находятся в утерянном сочинении Евклида, именно такими переходными предложениями, относящимися к коническим сечениям, Таким образом, он, гак и другие авторы, толкует поризмы, определяя их ие только их конструкцией, но и характе-

392


ром материала, к которому они относятся. Такое толкование несколько искусственно, и едва ли "Данные" говорят в его пользу.

Существует целый ряд других толкований. Например, Жирар12 понимал поризмы как теоремы, относящиеся к пересечению прямых, что, конечно, неправильно.

Ферма13 толковал поризмы шире, но тоже неправильно, отождествляя их с задачами на определение геометрического места. § 4. Если мы пожелаем выразить содержание поризмов в координатах, то получим большое многообразие координатных систем, как точек, так и прямых.

Так, возьмем вместе с Ша-лем14 следующий поризм, облекая его в алгебраическую форму (фиг. 3).

Даны три прямые L,L',L" , по положению. Если из точки М одной из этих прямых 1 опустить перпендикуляры р и q на две другие прямые L',L", то можно найти такую

Фиг. 3. длину а и такое числе>% , что перпен-

р + а    ,

=1 (б)

Здесь координатами точки являются ее расстояния от двух прямых, и уравнение (6) определяет прямую.

Вот другой пример, приводящий к координатам прямой и к уравнению точки. Две прямые заданы по положению, и на них точки А и В (фиг. 4). Если проводить прямые mm1 так, чтобы отрезок Am вместе с линией а находился

в данном отношении X к отрезку Вт1, т.е.

(7)

Am+i Вт1

то прямые mm' все пройдут через одну точку.

Фиг. 4.

393


§ 5. Наряду с поризмами у античных математиков выступают еще местные теоремы и места.

В местной теореме15 устанавливается свойство, присущее определенной кривой. Так, для окружности местной теоремой устанавливается, что (см. фиг. 2)

EA:EB=DA:DB, отношение ME;MD оказывается для всех точек одинаковым.

Обращаясь к схеме § 2 для получения схемы местной теоремы, мы должны изменить условие, введя вместо

фДа,Ь,о,...)"ф;(а,Ь,с....) условие

Ф1(x,y,z,...,a,b,c,...)=||\(х>у,2....,а,Ъ,с....)

и оставляя заключение (2) или, вернее, (3).

В месте лее, наоборот, определяется, какой кривой присуще данное свойство. Схема остается, конечно, та же.

Таким образом, местную теорему и место не следует мыслить как частные виды поризмов, а скорее как другие разновидности очень общей проблемы.

В аналитической геометрии этим проблемам отвечают:

  1.  определение свойств кривой, заданной уравнением;
  2.  определение уравнения кривой по ее свойствам.

§ 6. Чтобы установить, что поризмами могут служить предложения, лежащие вне сферы аналитической геометрии, приведем некоторые примеры, тоже облекая их в алгебраическую форму, причем схема вывода (2) § 2 будет оставаться в силе. Схема вывода (3) § 2 может быть уравнением, выражающим зависимость между

a,b,c,...,x,y,z....

и вытекающим из <pj=<|\..

Но (3) может быть и тождеством. Этот случай остается в стороне от аналитической геометрии.

Толкование поризма Плайфайром" обнимает и этот случай, По-ризмы, по его мнению, являются предложениями, в которых утверждается, что можно найти такие условия, при которых некоторая задача становится неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Но нельзя не признать вместе с тем узость этого определения, так как поризм выявляет не только то, что существует бесконечное множество решений, но и дает его характеристику.

394


Приводим пример поризма, подходящий под толкование. Дана прямая АВ. Поризм утверждает существование на отрезке АВ такой точки D, что прямоугольник со сторонами АС и СВ вместе с S (некоторой площадью) равен квадрату, построенному на CD, где бы ни была взята точка С за В.

Полагая АВ = a, BD = Ь, ВС = х, имеем согласно условию

(a + x)x + S=(b-t-x)2,

или

ax + S = b2+2bx. (8)

Чтобы доказать этот поризм, мы должны убедиться, что (8) сводится к тождеству при надлеясаще выбранных S и Ь, для чего положим:

b=-a;S = -a2.

2 4

С Вот еще пример, более А сложный.

На прямой даны точки
A,B,C,D (фиг. 6), даны АВ = а, ВС
b, AD = с, АЕ = х. Поризм утвержда- в1^
ет существование такой точки
D и
такого отрезка
f, что Фиг. 6.

ВС х СЕ = AD х АЕ + BE х f, или на языке алгебры

b(a-b+x)=cx+(a+x)f. (9)

Равенство (9) становится тождеством при

C=?l   f=Ka-b)_
а ' а

Под схему Плайфайра можно подвести и приведенный выше пример (фиг. 2). Если не ставится никакого ограничения на положения D, Е на диаметре относительно окружности, то условие DM : ЕМ = X дает одно определенное решение на АВ. Но если

CD:CA = CA:CE= %, то здача оказывается неопределенной, и мы будем иметь поризм.

Плайфайр дает прекрасный пример, вьпшляющий сущность поризма в его понимании: через данную точку М (фиг. 6) требуется провести прямую так, чтобы сумма расстояний отточекМ,, М„... М- с одной стороны равнялась сумме расстояний отточек М^, М.,... - с другой. Ответ: прямую следует провести через центр тяжести точек Мр.,., Мл.

Но если сама точка М совпадает с центром тяжести, то задача оказывается уже неопределенной. Чтобы облечь ее в алгебраическую форму,

395


следует принять за данные - координаты точек М (ajbj), за неизвестные - координаты прямой (£,, г|). Задача ставится о разыскании (£, г|) . В случае поризма

Е».   .   Zbs

а = ——, Ь= ——,

п п

и вместо определенных значений (4, г|) мы имеем уравнение

Л$+Вп + С=0, определяющее пучок прямых с вершиной в

М. Фиг. 7.

В пояснение определения Плайфай-

Фиг. 8.

ра молено привести еще следующий пример: определение кометной орбиты приводит к задаче о проведении прямой так, чтобы отношения отрезков между четырьмя данными прямыми АВ : ВС, ВС : CD были данные (фиг. 8). Решение дается Ньютоном в предложении 56 его "Arithmetica universalis" (1707)'7. Но в некоторых случаях возникает неопределенность, на что указали Боскович и Кастильон18.

Такой случай в действительности встретился при определении эфемерной кометы 1739 г.

§ 7. Переходим теперь к данным, отвечающим схеме вывода (3). Шаль формулирует сущность данных следующим, правда несколько неясным, образом:

Данные - это предложения, в которых одна или несколько вещей, к которым относится вопрос, не имеют в формулировке предложеиия определенной величины и положения в силу предположения. Но само предложение сводится к утверждению, что определенные величины и положения содержатся неявно в предположении, следствием которого оно и является и может быть осуществлено.

Это то, что Евклид выражает словами "вещь дана", причем следует предполагать, что вещь дана виртуально, т.е. содержится неявно в предположении и может быть отсюда выведена".

Такое толкование не вполне соответствует намеченной нами в § 2 схеме (3). В толковании Шаля не выявлен экзистенциальный характер данных. Данные не выводят свойств вещи, но только ее существование, в указанном выше евклидовом толковании.

396


В предложении 60 "Данных" Евклид указывает, что если, две величины а и b находятся в данном отношении %, то составленная из них величина а + b находится в данном отношении к каждой а или Ь.

Если бы Евклид, заключает Шаль, хотел из этого предложения сделать теорему в собственном смысле (т.е. в смысле "Начал"), он должен был бы указать, что отношение

(а+Ь):а = (X + l):Я, a(a+b):b = (X + l):l. Другой пример (предл. 86); если в треугольнике задан угол, то прямоугольник, построенный на заключающих его сторонах, находится к треугольнику (т.е. к его площади) в данном отношении. Если указать, что это

2 значение равно   j      (определив синус); то получится теорема,

Приведем еще пример (предл. 89): если в данной окружности дана по величине и направлению хорда, то она ограничивает сегмент, заключающий данный угол. Теорема получается, если добавим, что этот угол равен половине соответствующего центрального угла. § 8. Укажем, какую роль сыграли "Данные" в истории геометрии. Аристотелевскую первую проблему "существует ли вещь?" нельзя отделить от второй - "как она существует?".

Равным образом, задачу об евклидовом существовании, нельзя отделить от задачи о том, каково это существование, а задачу о возможности построения - от задачи осуществления этого построения.

К решению первой проблемы следует мало прибавить, чтобы получить вторую. Схема (3) превращается в схему (1), если вывод

Ф(а,Ь,с,...) = Л привести к эквивалентности проблематического построения с построением осуществляющим.

Различие с (1) будет только то, что в схеме (1), отвечающей теоре-ме, и Ф(а,Ь,с,...),и ф(а,Ь,с,...) суть вполне определенные построения, вполне осуществляемые а теперь Ф характерич"/ет только некое проблема-тическое построение; указывается как Ф получается из а b с..„ но не доказывается возможность этого получения, прежде чем не будет указано, что

Ф(а,Ь,с,...)зф(а,Ь,с,...).

Решение уравнения следует понимать в том смысле, что неявное определение х уравнением дает тот же результат, что явное определение.

При чисто геометрическом мышлении античные математики вместо преобразования;

х2 +px + q = 0

397


"!)'¥-<

развертывают ряд геометрических тождеств.

Окончательной формуле отвечает построение, дающее неизвестное. По этому пути Евклид в "Началах" продвинулся недалеко. Античная геометрическая алгебра Евклида, изложенная в книгах II и X "Начал", выполняет те функции, которые в настоящее время берет на себя символическая алгебра». Геометрическим тождествам книги П отвечают следующие тождества рационального типа:

l)аЬ + ac=а(Ь + c);

2)ab + a(a-b) = a2; 7)a2 +bJ = 2ab + (a-b)2 ;

  1.  ab = b(a-b) + b2; 8)4ab-l-(*i-b)2 =(a + b)2;
  2.  a2=b2+(a-b)2+2b(a-b);       9) (a-b)3 -f-b2 =2(JJ   + (-■

(4-b)b + (f-b)2=g)2; 1l)<a + b)4b»b2(f)4(f+ b)\

Книга П пополняется предложеЕГиями 28 и 29 книги VI, в которых дается решение одной геометрической задачи, из которой извлекается решение квадратного уравнения.

Впрочем, и предложение 11 книги II "Начал" (задача о золотом сечении) дает тоже решение квадратного уравнения, но, правда, только специального типа:

х(а-х)=а2 (10)

"Данные" уже в силу самой постановки проблемы не дают окончательного решения; они задаются целью только обнаружить возможность получения неизвестного путем его построения, но, как мы выше заметили, немного следует прибавить, чтобы перейти от возможного построения к его осуществлению. Так как неявное задание х представляет именно про-

398


блематическое построение, неосуществленное, которое может осуществиться только, если х дано, естественно ожидать толчка к развитию решения уравнения именно со стороны "Данных", а не "Начал" Евклида.

Так это и было. Предложения 84 и 85 "Данных" в переводе на язык символической алгебры подводят к решению системы уравнений:

ху=Ъ\ (11)

х±у=а, а вместе с тем, конечно, и квадратного уравнения

х2-ах = ±Ь2, (12)

т.е. к решению той задачи, которая решается по-иному в предложениях 28 и 29 книги VI "Начал".

§ 9. Интересно отметить, что те же "Данные" подводят и к решению треугольников и заключают своего рода античную тригонометрию.

Мы приводим предложения "Данных" в символической форме с соответствующими тригонометрическими формулами.

При этом S есть площадь треугольника, а,Ь,с - его стороны, А,В,С - углы. Предложения:

(64) А-тупой V   ~^~С   дано; а2=b2+c2 + bccosA; S=-^y^

b22 2 ,

(65,67) А-сстрый -» дано; a2=b22-2bccosA;

bcsinA

о—-

2

be besinA

(66) А дан ->— дано; S=

С А

ha
(76) А, В, С, ->— дано;  
a=ha (cosB+cosC).
а
 а

(Здесь h - высота, опущенная на а.)

§ 10. Мы отошли бы, конечно, очень далеко от характера античной мысли, если бы взглянули, как это делают некоторые, на поризмы и данные с функциональной точки зрения21.

Но мы все-таки ие можем оставить в стороне и этот подход, так как он в некоторой мере позволяет отметить различие поризмов и данных и обнаружить два различно направленных течения, идущие от этих двух типов геометрических проблем до выявления понятия функции.

Можно сказать, что поризм подводит к уравнению, причем неопределенному, не выражающему х через а,Ь,с,.„, но выражающему у в функции переменного х, обнаруживая изменение у вместе с х, а также выявляя

399


характер этого изменения. Данные же обнаруживают, что х при изменении (х,у) не меняется.

Можно сказать, что, если в поризме мы находим в эмбриональном состоянии основную идею определения геометрического места уравнением, то в данных мы видим нечто, отвечающее теории инвариантов22.

Но такая точка зрения, конечно, есть достояние уже весьма отдаленного от возникновения аналитической геометрии времени, - времени, завершающегося возникновением идеи преобразований, образующих группу, и идеи инварианта, характеризующего эту группу. Для кривой второго порядка

Ах2H-2Bxy-t-Cy2-t-2Dx-f2Ey-t-F = 0. (13)

В2 -АСиА- это известные инварианты, сохраняющиеся при линейном преобразовании.


Проблема смерти.

Введение

Я ясно сознаю смелость моего выступления и жду в большинстве случаев несочуствениого к себе отношения и не столько вследствие страшной темы, выходящей за рамки научного мышления, как вследствие особой позиции, которую я принимаю.

В самом деле, я делаю вызов на три стороны. Прежде всего я выступаю против догматически религиозной точки зрения. Моя мистика высвободится от оков, налагаемых неподвижным скристаллизованным догматом, при котором на месте богоискательства стоит найденный Бог. На месте смелой попытки просмотреть в густом тумане очертание загробных сфер - смиренное закрывание глаз. Затем я выступаю и против метафизики, мнящей, что решение страшной проблемы смерти - это дело умозрения, стоящего выше фактов чистого интеллекта, того интеллекта, который видит границы бытия там, где кончаются логические категории, вместо того, чтобы видеть там начало самых страшных глубин. Наконец, я выступаю против философствующего естествознания, тщетно старающегося вселенную и все тайны жизни и смерти заключить в узкие рамки реторт и микроскопов.

Я покажу, что религия дает слишком мало, что она отвечает не на вопрос, решает не ту проблему, которая больше всего должна интересовать ум философа, и если она приходит в соприкосновение с этой проблемой, то обнаруживается разрушительное ее действие, и человек верующий должен остановиться, закрыв смиренно глаза на движущуюся на него опасность. Я обнаружу, что выходящая за узкие границы веры метафизика дает больше, пытаясь в своих построениях, не боясь противоречий с религиозными догматами, а в согласии со своим представлением о духовном, решить вопрос о неразрушимости души. Но это будет еще слишком мало, ибо проблему о переживании она превращает в проблему о существовании; отвлекаясь от содержания живой души, она рассуждает о пустой форме, стараясь установить вечность только этой формы. Выше метафизики становится натурфилософия, и я разверну содержательность ее философствований, в которых она, в противоположность метафизике, правильно охватывает сущность проблемы. Но вместе с тем покажу, что она ие в состоянии ее решить, не переходя из сферы науки в сферу гипернауки, мистического опыта, предполагающего предпосылки, восполняющие положительную науку и даже противоречащие некоторым законам. Я собираюсь сразиться с друзьями смерти и ненавистниками жизни, я хочу заставить их любить жизнь, а не смерть, Я буду говорить, не то, что им понятно, а то, что кажется ис-

401


тинным. Для меня ясно вырисовывается смерть, как злейший и сильнейший враг, но которого может победить дух. Как другие писатели о смерти, я не буду утешать как заботливая нянька ребенка: "Нет, смерть не враг ваш, а друг, иди в ее темные объятия от этой проклятой жизни, от этого режущего глаз солнечного света, от этого раздражающего обоняние запаха цветов, от тяготящего ухо крика детей". Но я не стану и на сторону тех, кто, когда раздается ее страшный голос в глубинах души, старается заглушить его веселой эпикурейской болтовней.

Жестоким словом я сосредоточу их внимание на этом голосе. Я покажу, что смерть это не только одно ничто, что она больше, чем ничто. Пусть и они начнут бояться смерти, ибо это первый шаг к тому, чтобы они признали силу духа, который побеждает смерть.

L Вера и смерть.

Первое мое слово о вере. Преясде всего, совершенно неправилен взгляд, что мысль о смерти создает религию. Религия прежде всего является религией жизни. Библия обходится совершенно без загробной жизни. Бог вознаграждает праведников долголетием и счастьем здесь, в земной жизни. Если Бог сотворил душу, как и все остальное, то Бог не только может уничтожить ее, но более того - и уничтожить как все остальное Им созданное.

С простым, не усложненным метафизическими умозрениями, учением о Боге-Творце, не вяжется учение о неучтожимости человеческой души, вообще, создании чего-либо на вечное время. Ведь всякая цель ставится во времени, и средства для ее осуществления длятся во времени. Вот цель выполнена и средства уже бесполезны, а все бесполезное лишнее, как противоречащее совершенству Божьему, должно быть отринуто.

Для прославления Бога создается Им вселенная и населяющие ее человеческие души, может быть и для других, иепостнгнутых нами, целей.

Цели достигнуты и вся эта вселенная с сс млечными путями и человеческая душа с ее радостями и горестями должна утонуть в небытии.

Бог создал сад, украсил его цветами, но Его совершество требует других садов, усыпанных новыми цветами. Старые цветы должны опасть... ''Человек умирает и рассыпается", - говорит Иов1. Отошел и где он. Уходят воды из озера, и река высыхает и иссякает: так и человек ляжет и не встанет, до скончания века он "не пробудится и ие воспрянет от сна своего".

Что заставляет религиозную мысль на более высокой ступени развития признать загробную жизнь (но отнюдь не вечность души) -это несоответствие между этическо-религиозным требованием наград за хорошие и наказания за злые дела. "Почему, - говорит Иов, - беззаконные живут, достигают старости, да и силами крепки. Дома их безопасны от страха и иет грозы Божия на них. Проводят они дин свои в счастье и мгновенно

402


нисходят в преисподнюю. А между тем они говорят Богу: отойди от нас, не хотим мы знать путей твоих"2.

И вот религиозная мысль, стараясь решить проблему Иова, нагромождает горы затруднений перед страшной проблемой. И чем определеннее она старается выкристаллизоваться в догматы, тем все дальше и дальше отодвигается удовлетворяющее мысль философа решение проблемы смерти. Религиозная мысль требует не переживания души, а только ее воскресения. До судного дня жизнь может совершенно отсутствовать. Более того, признание существования от смерти до судного дня родит тяжелое затруднение. В самом деле, этот судный день будет не завтра, не послезавтра, не через год или десяток лет, а через сотни, тысячи, десятки тысяч лет.

Наша маленькая земная жизнь в 60-70 лет растворяется в этом ряде веков зацюбной жизни, как капля в море. Можно ли судить душу за этот бесконечно малый элемент ее существования, когда она проходит в дальнейшем своем существовании тысячи, может быть, миллионы жизней. И христианство и магометанство говорит только о воскресении в день судный. Только в том случае Божий суд будет справедливым судом, если до воскресения отошедшие лишены жизни или содержат ее только в потенции, как зерно, найденное в пирамиде и начавшее прорастать через тысячи лет.

Душа просыпается, или лучше воскресает, возрождается вместе с телом. Магометанский Бог после взвешивания проводит воскресшую душу по остроконечному мосту в рай или ад, смотря по результату взвешивания. В раю великолепные бани, мягкие постели, прекрасные гурии.

Евангелие в день судный воскресших разделяет на козлищ и овец, на обувших и накормивших Бога, в лице страждущих, и на отвергнувших Бога, и посылает первых на жизнь вечную, вторых в муку вечную3.

У св. Августина, более близкого к источнику христианства, этот взгляд на смерть выступает гораздо яснее, чем у метафизиков, прилаживающих метафизику к христианскому догмату. Ои говорит, умершие до воскресения справедливо называются находящимися в смерти, подобно тому, как каждый называется находящимся во сне раньше, чем ои проснется. Несколько раз св. Августин подчеркивает необходимость называть их находящимися в смерти, а ие умершими. Жизнь вновь начинается с соединения с телом и причем не с новым, а со старым, вновь восстановленным.

Причем грешникам обещается вторая смерть. "Она, эта вторая смерть, -учит Августин, - тяжелее и составляет худшее из зол, потому что не состоит из отделения души и тела, а скорее обнимает и то и другое для вечного наказания. Там уже, ие как здесь: не будут люди до смерти и после смерти, а постоянно в смерти и потому иногда не будут живущими или умершими, а будут без конца умирающими"4.

Религиозная мысль, признавая воскресение, в противоположность метафизике, не может твердо остановиться на иеуничтожаемости души.

403


Для нее душа всегда останется созданием Божьим, которое не имеет вечности в обратном направлении, и вечность, которая в прямом направлении всегда только в возможности, зависящей всецело от воли Божьей3.

Поскольку мы мыслим творение во времени, а ие выводим его из времени, как это делает бл. Августин и само время не делаем творением Бога, мы не в состоянии примириться с вечностью души в прошлом. Собственно против такого бессмертия восстают все христианские писатели.

Св. Ириней признает за людьми и даже за ангелами бессмертие лишь по возможности. Он говорит, что они бессмертны не по природе, а только по благодати, так как то, что началось должно иметь конец и, если оно бессмертно, то ие по своей природе.

По мнению Дамаскина5, как тело перестает двигаться, если не последует толчок извне, так и ангелы, достигшие незначительного предела жизни, по повелению Творца, снова начинают жизненное движение.

По бл. Августину вечное существование души в прошедшем должно явиться вечным злополучием. Превращении этого вечного прошедшего злополучия в вечное будущее блаженство представляется ие менее трудно воспринимаемым, чем существование до века души, раньше с прошедшей бесконечностью существовавшей. Религия дает слишком мало, она вовсе не дает нам ответа на вопрос, что будет со мной после смерти. Необходима свободная мысль, не боящаяся встать против тех взглядов, которые выработаны христианским вероучением, чтобы удовлетворить пытливости ума. Следует выйти из сферы веры, перестать быть только верующим и стать также мыслящим.

2. Трансцендентная и трансцендентальная жизнь.

Несмотря на то, что жизнь до судного дня вовлекает религиозную мысль в лабиринт противоречий, душа чувствует, можно сказать, каким-то "верхним" мистическим чувством продолжение существования близких людей, но проектирует их жизнь ие в сферу нашей жизни, а в какую-то трансцендентную, потустороннюю область, которая возводится Кантом в так называемую "вещь в себе"7. Но там, в этой области, совершенно отрезанной от науки, все дозволено. Не сдерживаемая разумом фантазия нагромождает образы одни за другим в этой жизни на небе. Вера с жадностью всасывает в себя весь этот сказочный мир трансцендентного бытия.

Если пытливая мысль, высвободившись от фантазии, решается попытаться заглянуть за завесу смерти, то она уже не может остаться на этой точке зрения. Для нее загробная жизнь не должна оставаться трансцендентной, а должна стать трансцендентальной3, входящей в общий процесс вселеной, но не воспринимаемой нами, или воспринимаемой только в исключительных случаях. Она должна признать, что отошедшие, чувствуются некоторым образом в земной жизни, что бездонное, мистическое

404


окружает нас, но не отодвинуто в "вещь в себе". Уже в вере в посредничество отошедших в молитве, религиозная мысль вносит трансцендентальный элемент, связующий мир живущих с миром отошедших. Но следует идти дальше. Не следует бояться встать на мистический путь, признать другие связи, которые можно назвать магическими, признать гипернаучный опыт, переступающий границы опыта научного, действующий орудиями, которыми не пользуется наука.

Не следует думать, что индусское учение о карме в последовательном ряде инкарнаций, продолжающемся века, предполагает обязательно именно такую трансцендентальность загробного существования. Обстоятельства последовательных инкарнаций определяются поведением души в предшествующих, судьба инкарниругощейся души определяется не отношением ее к Богу в земной жизни, не молитвой живущих, а законом эволюции усовершенствующейся в инкарнациях души, поднимающейся с меньшей или большей быстротой до высшей ступени, которая у буддистов является нирваной. Но весь этот процесс может происходить в различных мирах, не связанных между собой; затем душа в промежутках между инкарнациями может мыслиться совершенно не связанной с жизнью вселенной.

3. Метафизиаа о смерти.

Но метафизику этот вопрос - трансцендентна. или трансцендентальна загробная жизнь - совсем не интересует. Насколько богаты содержанием родящиеся в сфере религиозной мысли красочные картины райской или адской жизни, настолько пусты и тусклы метафизические учения о смерти. Вместо проблемы переживаний, которая именно и представляет великую проблему смерти, она ставит проблему о существовании или бессмертии души. Жизнь ускользает от тех определенных, ясно постигаемых разумом логических категорий, которыми пытается мыслить метафизика. Она не может оперировать с жизнью души, а только с ее бытием. Она доказывает, что душа вечно существовала, но больше ли это существование, чем существование стола, стула, дома... - она на это уже не может ответить. Более того, углубляясь в сущность души, метафизика отбрасывает то, что является ее земным достоянием, и в ее руках остается уже совершенно бессодержательный, и уже в силу своей бессодержательности простой объест, духовный атом, уже не разлагаемый и, в силу своей неразлага-емости, неразрушимый и от века и до века существующий.

Возьмем примитивное метафизическое доказательство бессмертия души9: душа проста, но все простое неразложимо, всякое разрушение -это разложение, но душа, как неразложимая, ие может разрушиться, вследствие чего она вечна.

Но доказательство переживаемости следует искать как раз в обратном направлении, во внутренней сложности души, большей чем та, кото-

405


рая дается по ее внешней поверхности. Доказательство переживаемости должно основываться на существовании элементов души, не связанных с жизнью тела и могущих быть от него отделенными и, таким образом, скорее должно основываться на разложимости души.

Верно ли, что всякое уничтожение - это распад?

Как только мы пытаемся логизировать непрерывность, последняя представляется в ложном виде дискретного агрегата элементов, рост представляется последовательным присоединением элементов, всякое уничтожение - распадом составного на его элементы. Но исчезновение души может идти постепенным сокращением ее жизни, непрерывным движением ее в небытии при сохранении всей ее сложности.

Лейбниц10 пытался усовершенствовать приведенное нами плато-ново доказательство. Свое доказательство он выражает в форме непрерывного силлогизма, сложная конструкция которого придает видимую тяжеловесную убедительность. Как у всех рационалистов, основной определяющей душу деятельностью у Лейбница является мышление, сознаваемое душою без представления частей, то есть "вещью без частей".

Отсюда выводится, что это действие души не может быть движением. Из того, что всякое действие тела - только движение, выводится, что душа не представляет тела и не находится в пространстве, а потому не может обладать движением.

Всякое движение- распадание, а потому- движение, т.е. то, что не присуще душе, и потому душа, не ушгчтожима.

В этом лейбнициаиском доказательстве к платоновскому пристегнуты совершенно ненужные предпосылки. Получается не улучшение, а ухудшение его доказательства. У самого Платана, уничтожение - распадение, но вовсе не обязательно движение, тем более в узком картезианском, а не в широком аристотелевском, смысле. Нельзя согласиться с тем, что мышление сознается без частей; мое "я" создается без частей, но другие психические акты, которые по Лейбницу сводятся к мышлению, сознаются с определенным представлением частей. Очень спорно и то, что единственный вид действия тела - это движение: вопрос о действии на расстоянии и во времена Лейбница был очень спорным, в настоящее же время надежды на сведение всех химических явлений к движению и толчку остается совсем мало.

Св. Августин дает метафизическое доказательство неуничтожаемое™ души, основанное на совершенно других принципах" , Августинов-ское доказательство, забытое затем метафизикой, молено назвать гносеологическим, в отличие от приведенных выше онтологических доказательств.

Св, Августин, резюмируя свои длинные рассуждения, дает следующую краткую формулировку своего доказательства:

406


"Ложность не может быть без чувства, она же (ложность) не быть не может, следовательно, чувство существет всегда. Но чувств нет без души, следовательно, душа вечна. Она не в состоянии чувствовать, если не будет жить. Итак, душа живет вечно". Совершенно таким же образом то же заключение делается и от истинности.

Доказательство Августина идет дальше упомянутых выше сухих онтологических доказательств, оно старается вывести жизнь души из ее существования. Из ложности и истинности выводится чувство, его носитель -душа, а из души чувствующей - ее жизнь.

Но в конечном результате, августиновское доказательство дает еще меньше платоновского. Все рассуждения Августина содержат смешение онтологически-объективного понимания истины с гносеологическим. В первом понимании - под истинным выступает просто реальное, во втором - соответствие между реальным и разумом. В первом случае - это абсолютное понятие, во втором же - отношение, предполагающее оба члена отношений. Августин определяет истинное так: то, что существует так, как кажется познающему, если ои хочет и может познавать. Если отбросить все от слова "так как", то мы имеем истину в первом смысле. Если взять определение полностью, то получается вывороченное наизнанку определение истины во втором смысле: то, что познается или может познаваться так, как оно существует.

Постулировать истину мы можем, конечно, только в первом смысле. Если нет познающего разума, то не будет истины не в первом, а во втором смысле. Это путь софистики - заставить согласиться с наличностью истины в первом смысле, чтобы из истины во втором смысле, истины гносеологической, вывести необходимость чистого разума. Но если допустить этот хорошо замаскированный софизм и дойти до конца, то в результате получится не индивидуальный, а коллективный разум, остающийся в ряде сменяющихся поколений.

4. Универсальное и индивидуальное бессмертие.

Таким образом, августиновское доказательство ведет не к индивидуальному, а к коллективному бессмертию. Оно требует бессмертия не отдельных душ, а некоего целого, части которого они образуют. И эта характерная черта всех метафизических доказательств, кроме приведенного выше платоновского. Они ведут к бессмертию универсальному, к тому бессмертию, в котором образное мышление представляет душу сливающейся с мировой душой, как капля воды с морем. В доказательствах скрытым или даже явным образом, признаются такие предпосылки, в которых частично или полностью отрицается субстанциональность души: сохранность источника света по видимому свету доказывается тем, что последний есть только отраженный свет.

407


Второе платоновское доказательство, если что-либо доказывает, то только бессмертие универсальное, а не индивидуальное: душа- принцип деятельности в самой себе и поэтому неопределима иным, ие имеет никакой причины вне себя, и гак самодовлеющий принцип - непреходяща. Душа здесь является не как таковая, а, говоря словами Спинозы, только как момент мировой субстанции, которая, конечно, только одна может быть [непреходящей] 15. Спиноза" уже совершенно определенно ставит бессмертие в зависимость от несубстанциональности души и связанности ее зависимого, чисто акдвденционального существования с телесной жизнью. Сущности человека не присуща субстанциональность, иными словами, субстанция не составляет форму человека (это выводится из того, что субстанция заключает в себе необходимое существование, а. человек не заключает). "Душа познает себя лишь постольку, поскольку она воспринимает состояние тела".

Вот вес, что Спиноза выводит относительно бессмертия души: "Человеческая душа не может совершенно уничтожиться вместе с телом, но от нее остается нечто вечное. В Боге, говорит Спиноза, существует идея, выражающая сущность человеческого тела и так как душа составляет идею тела, то - нечто относящееся к сущности самой души. Душе присуще временное существование, поскольку она выражает действительное (актуальное) существование тела, но за вычетом этого остается нечто, представляющееся с некоторой вечной необходимостью через саму сущность Бога и потому вечное". Здесь мы имеем универсальное бессмертие, близкое к потере всякого содержания.

Если идея тела, находящаяся в Боге это чувство, которое будет чувством моего тела, пока я существую, и не перестанет быть чувством всех тел, то такое бессмертие имеет определенное содержание, но спинозовская метафизика логизирует (и должна логизировать) идею, и обращается в нечто столь же пустое, как сама спинозовская божественная субстанция. Идея, гак понятие, -заключается в Боге; поскольку Бог является в атрибуте мышления - это ие больше чем мысль потомства об умершем, слава в последующих поколениях. Метафизика старается схватить своими руками неуловимый туман, который проходит через нее, оставляя в распростертых руках одну пустоту.

Отметим Мельденсоновскую поправку" в доказательстве из простоты бессмертия души. Ои усматривает возможность уничтожения не только путем раздробления, но и путем постепенного исчезновения.

Но, вскрывая противоречие в обращении непосредственного бытия в небытие, Мендельсон убеждает в необходимости признания постепенности уменьшения души вплоть до исчезновения, что также оказывается в несогласии с простотой души, как и раздробление.

Доказательство бессмертия души Беискэ обещает значительно больше, чем вышеприведенное. Оно даст не только существование, но уже не-

408


что среднее между голым бытием и жизнью. Оно указывает на все увеличивающееся число следов в сознании, постепенно возвышающуюся степень обратимости души от внешнего к внутреннему.

Ребенок больше живет внешним миром, взрослый все больше и больше погружается в глубины своего внутреннего мира, обогащенного воспоминаниями прожитой жизни. Смерть может разорвать только связь с внешним миром, но оставляет внутреннее бытие души, для которой высшая ступень, достигнутая в прошлой жизни, является фундаментом для следующих ступеней развития.

Можно, конечно, согласиться с большей вероятностью сохранения накопленных следов, чем полного их исчезновения, проводя аналогию с материальными явленшгми, но признание сохранности этого материала не влечет еще признания того, что этот материал будет использован так, как он был использован в жизни умершим индивидуумом. Совокупность следов воспоминаний, образующая содержание пассивного бессознательного, можно мыслить в общем резервуаре памяти.

5. Время и дута.

Шопенгауэр15 представляет переходный тип от метафизики к натурфилософии.

Жизнь он видитв тле и, субстанциональность признает только за универсальной волей к жизни, объективируемой в различных особях.

Эта общая единая воля в принципах индивидуальности, пространстве и времени представляется как единый свет, отраженный в призме множеством страждущих душ. Воля неопределенна, она (находится) в алогичной сфере, изъятой из логических категорий. Нельзя сказать, чтобы эта воля, этот мировой принцип, оставалась после смерти, так как она вне времени, для нее нет ни прежде, ни потом. Метафизика Шопенгауэра, с кан-товским признанием времени только субъективной формой представления, тем самым уничтожает саму проблему о смерти, как проблему о переживании.

Нельзя ставить проблему о том, существовал ли я, или буду ли существовать, как субстанция или только как модус мировой субстанции, так как ни прошедшего, ни будущего, ни вообще времени нет вне меня. Неудачно сравнение Шопенгауэра неизменно - пребывающей воли при гибели индивидуумов - с жизненной силой леса, остающегося неизменным при осеннем листопаде и покрывающегося каждой весной новой листвой. Такая смена поколений идет во времени, которого иет для воли, как шопенгауэровского мирового принципа. Самоубийца, которого пугает Шопенгауэр возрождением для новых страданий, создает сам свое время и, уничтожая себя, уничтожает и это время.

409


Куно Фишер к ставит решение вопроса о бессмертии души в зависимость от признания времени условием всякого бытия или только необходимой формой представления.

Если время и пространство суть всеобъемлющие условия всякого бытия и ничто не может быть независимо от них, то пребывает только материя (тогда как ее формы меняются), то все отдельные вещи должны возникать и переходить, то никакое единичное существование, никакой индивидуум и никакая личность не могут продолжаться вечно, а каждое имеет свою определенную продолжительность, с которой связано ее существование, а границы этой продолжительности суть непроходимые грани всякого времени бытия. При этой предпосылке, по которой время и пространство суть вещи или определения вещей в себе, нам не остается ничего более, как либо отрицать всякое иное бессмертие, согласно с этим допущением, либо, вопреки ему, фантастически утверждать и представлять себе это бессмертие-чтобы, так сказать, удовлетворять известным потребностям. Всякое возникновение и уничтожение, осуществляется во времени и возможно только в нем. То, что независимо от времени, имеет характер безусловного бытия, не может ни возникнуть, ни уничтожиться: только это вечно. Если время, как человек, есть не вещь в себе, а необходимая форма нашего представления ими явлений, которые не могут быть без существа, которому они являются или которое представляет и познает их. Но само существо, как составляющее условие всякого явления, ие есть явление, оно не во времени, а время в нем, поэтому оно независимо от времени, т.е. безвременно и вечно.

В действительности дело обстоит как раз наоборот. Именно учение о субъективности времени представляет наибольшую опасность учению о бессмертии души. Пребывать и изменяться молено только во времени. Пусть существование души вне времени, но самой-то душе оно представляется развернутым в конечном промежутке времени и другого промежутка времени уже нет, в который можно было бы сказать, что душа есть. Проблемы переживания души при кантовском взгляде на время не может быть. Но можно на место ее поставить проблему о том, имеет ли душа другое временное существование, кроме настоящего.

Но трудно признать такую множественность, так как всякую множественность жизней мы можем мыслить только во времени. Две жизни, не разделенные промежутком времени, существующим вне души -живущего, должны совпасть между собой.

6. Критическая точка зрения.

Выступая против приведенных мною метафизических доказательств бессмертия души, я вовсе не отрицаю возможности метафизических исследований, относящихся к душе и к судьбе ее после смерти.

410


Я только указываю на ее бессилие пока она старается в основе своих построений положить вместо данных опыта (причем, как это будет ниже доказано, не научного, а сверхнаучного) простые, очевидные, вроде математических аксиом, положения. Дело в том, что таких положений вовсе не имеется, и более того, если дело идет не только о существовании, но и о жизни душ, таких и быть не может, ибо жизнь постигается нами не в логических терминах, а интуицией, и все положения, к ней относящиеся, всегда будут освещены сумеречным светом. Можно сказать, что нам приходится говорить о сумеречном предикате души, но я совершенно не согласен с Кантом, что будто бы сама душа, как предмет метафизики, является призрачным объектом, что существование души ие дается внутренним опытом.

Кант утверждает17 неправильность вывода из трансцендентальной апперцепции, из "я мыслю", из необходимо сопровождающего наши представления логического субъекта, всех наших суждений этого высшего логического или формального условия познания. Он полагает "я ", как объект знания, как реальную мыслящую личность. Но заключения о душе должны делаться не столько из "я мыслю", как из "я хочу", "я действую", и если может быть сомнение в том, можно ли сделать я мыслящее объектом познания, то уже я хотящее, я действующее, с полным правом может быть поставлено на это место.

Что касается до мнения Канта, что постоянство, как неизменный признак субстанции может мыслиться только в пространстве, а поэтому мыслящая сущность не может быть познаваема как субстанция, так как во времени ничто не может быть созерцаемо в постоянстве - то взгляд этот является совершенно не обоснованным. Против него можно выставить другой, по которому первым образцом постоянства является именно наше Я, и что постоянство затем уже проектируется в вещи <...>.

7. Натурфилософия о смерти.

Метафизика говорит о бытии души, натурфилософия о ее жизни. Она не берется определить жизнь. Она берет ее так, как она дается интуицией и мыслит ее там, где даются внешние признаки, указывающие на ее наличность. Когда она учит об универсальном бессмертии - в форме ли вечности, органической клетки или в материальной форме мировой энергии, принимающей наряду с другими формами еще и психическую - она не мыслит в меньших, а, может быть, и почти исчезающих (но никогда окончательно) дозах жизнь.

Она говорит о продолжении жизни, но не в трансцендентных сферах, а в границах настоящей, окружающей нас вселенной.

Мыслящая материя Вольтера, Дидро18 и других - это примитив универсального натурфилософского бессмертия.

411


Приводимый натурфилософами параллелизм между психическими и физическими явлениями - аргумент более сильный, чем все метафизические постройки. Этот параллелизм ведет, с одной стороны, к отрицанию индивидуального, а с другой стороны, к признанию универсального бессмертия. С укреплением тела укрепляется и душа, рост тела вместе с тем и рост души, умирание тела - умирание души, и когда уничтожается тело, то, очевидно, должна уничтожиться и индивидуальная душа. И, как остальные части тела, не уничтожаются, а остаются в той вечно пребывающей материи, которая является в различных формах, так и душа остается продолжать жизнь, но не индивидуальную, а универсальную жизнь одухотворенной материи.

Далее в учении о мыслящей материи сказано больше, чем в метафизическом пантеизме по вопросу о смерти. Картина потухания жизни до степени близкой к исчезновению и все новых и новых вспышек в различных местах, объятой огнем жизни массы, говорит уму мыслящего человека больше, чем фантазия верующего или бледная расплывчатая метафизика.

В то время как метафизик против воли своей увлекается к универсальному бессмертию, натурфилософа его психофизический параллелизм

- от отвергнутого индивидуального бессмертия через универсальное - вле
чет к признанию нового индивидуального бессмертия, которое можно на
звать
атомистическим.

Последнему неразложимому биологическому элементу, в силу психофизического параллелизма, должна быть приписана наиболее элементарная жизнь.

На смерть следует смотреть ие как на слияние души с универсальным океаном, а как на раздробление одной струи на тысячи брызг и капель.

Душа человека - это агрегат клеточных душ, так же как тело -агрегат клеток. Душа человека гибнет, остается жизнь клетки; бессмертие души может быть только бессмертием меточной психики. Это - психически бесконечно малое, продолжает жить при делении клетки. При делении половой клетки в производимом на свет организме делятся элементы, составляющие души родителей, в ребенке продолжается жизнь родителей.

Но вместо того, чтобы остановиться на клетке, можно опуститься ниже до биофора или до молекул, атомов, электронов, мыслить физический, химический гилозоизм, в котором клеточные души заменены атомными душами, являющимися неразрушимыми не только в потенции, но и в действительности.

Это воззрение, воспитанное натурфилософией, ближе к истине, чем метафизическое. Вместо простоты оно утверждает сложность души. Тело

- обиталище не одной, а многих душ, оно сложный агрегат при простой
монаде. Но такое воззрение мыслит эту сложность неправильно, чисто ме-

412


ханически, в форме соединения однородных элементов. Упорное в своей вере в психофизический параллелизм, усматриваемый только в ограниченной области, оно вымучивает его и там, где наш внутренний опыт решительным образом говорит против него.

Души не складываются из нескольких я, как бы они ни были малы, но дают одно я. В теле находятся и клеточные души, а с ними и души высоких порядков, носителями которых являются ганглиозные центры нервной системы, но каждая из этих душ должна иметь свою жизнь как жизнь, амебы, корненожки и выше (по степени сложности биологической организации), свою жизнь, а не мою жизнь.

8. Материализм о смерти.

Материализм, проводя психофизический параллелизм, не может уйти от универсального бессмертия, если только он не примет грубую форму, в которой психическая жизнь низводится в какое-то чудесным образом воспринимаемое движение материи, причем без воспринимающего субъекта. Основываясь на психофизическом параллелизме, материализм вооружается против индивидуального бессмертия.

Материалистические доказательства смертности души, или вернее. прекращения психической жизни, так как по материализму нет души, идут по шаблону; душа родится, растет, падает и болеет с телесным органом, а потому по разрушении последнего должна исчезнутьls.

Но это доказательство представляется убедительным только в силу его образной аналогии с некоторыми материальными явлениями. Цветок растет, когда его поливают; прекратилась поливка, и рост прекращается, цветок гибнет; отсюда заключают, что цветок не может жить без воды.

Для всех ясно, что такое рост цветка, но рост души - только для того существует, кто мыслит душу материально, как тело, т.е. при определенной материалистической точке зрения.

Стоя не только на почве фактов, следует говорить не о росте, а о развитии вообще, или, вернее, о развитии способности души, параллельно росту телесных органов. Но тогда факты ие только не будут доказывать теории, но и будут говорить против нас, так как обнаруживая, что душа развивается параллельно росту тела, они постулируют некий субстрат, носитель этого развития, предваряющий это развитие в форме какого-то, хотя бы пассивного, состояния. И так как психическая жизнь уже в самых ранних ступенях является определенно индивидуализированной, относясь именно к данной определенной особе, связанной с данным телом, то речь здесь может идти не о мировой душе, а именно о душе данного индивида.

Материализм попадает на правильный путь, когда старается решить вопрос о смерти, обращаясь к фактам-и сфере таких явлений, как сон.

413


Бюхнер берет сон для доказательствауничтожаемости душ; он старается во сне усмотреть прекращение психической деятельности.

Во сне будто бы функционирует только тело. По пробуждении ото сна душа находит себя там, где она забылась, засыпая.

Так как с утверждением исчезновения души во время сна в резком противоречии находятся сновидения, которые как читатель, так и сам Бюхнер видит каждую ночь, то он считает необходимым объявить, что сон со сновидением это не сон, а только переходная ступень от бодрствования ко сну, а постоянный сон, гак якобы показывают факты, совершенно свободен от сновидений.

Но то, что говорит Бюхнер, менее всего подтверждается именно фактами. Они показывают, что содержание сна нами обычно забывается, что утром в большинстве случаев не можем восстановить в памяти течение образов сновидений, но что в продолжение дня сон часто всплывает в памяти под давлением ассоциаций.

И факты очень красноречиво говорят о том, что возможны разрывы в психической жизни, например, при сомнабулизме, когда душа совершенно теряет воспоминание о прежних своих переживаниях, в определенный период.

Наконец, просыпаясь в различное время, всякий может убедиться, что сновидение вовсе не приноровлено ко времени засыпания или пробуждения20 . По заявлению самих материалистов, брат смерти - сои, дает доказательство как раз противоположного тезиса, обнаруживая трансцендентальные возможности души, обнаруживая возможность бестелесного су-ществования души, которое открывает смерть.

Значительно более сильным представляется аргумент, относящийся к потере сознания под влиянием наркотических средств или в болезненном состоянии.

Ведь то, что происходит с душой в глубоком обмороке ие вспоминается по пробуждении; в жизни остается пустое место.

Материалисты предлагают коварный вопрос: где находится душа во время глубокого обморока? Но пустое место устанавливается не в жизни души, а только в ее памяти; только такое пустое место остается по пробуждении от сомнамбулического сна, но никто не будет отрицать жизни во время этого сна.

Что же, во время обморока душа совершает путешествие, полное впечатлений, о которых потом забывает? Нет необходимости в положительном ответе, возбуждающем улыбку противников, хотя и эта гипотеза в моих глазах, не является столь смешной. Жизнь души может быть до крайности принижена, но вовсе не уничтожена.

Пробуждаясь, мы не можем ее вспомнить, но это еще не значит, что ее вовсе нельзя вспомнить. В сновидении мы видим течение образов, причем, часто память сновидца так ослаблена, что он совершенно забыва-

414


ет о протекающих в поле его сознания образах, и сновидения и действия сновидца во сне представляют нагромождение нелепостей. Но, просыпаясь, он прекрасно вспоминает все сновидение; он совершенно ясно и определенно видит рад образов, ни об одном не забывая, видит все промахи памяти, все ошибки рассудка во сне. И мы можем представить себе душу, которая в проясненном состоянии зрит даже и то, что было почти пусто, что представляло, так сказать, самые низины ее земного существования. Проясненная душа восстанавливает образы, связанные с операцией, и фигуры близких людей, и доктора, надевающего на лицо маску, и отчаянную борьбу, завершающуюся победой наступающего на слабую душу не я, и чувство стремительного падения...

Но она заполняет и прежнее пустое место.

Душа чувствует себя, и только себя, в однообразии своей обособленности от вселенной, из которой она изъята в полной угнетенной пассивности.

9. Гиперпаучиый опыт.

Мы теперь близко подошли к тому пути, по которому я намерен идти, к пути гипернаучного опыта.

Скажем о его сущности несколько слов.

Всякое научное наблюдение должно совершаться через органы чувств естественны:: глаза, уши и т.п. или искусственные, представляющие расширение естественных. Наблюдатель может изменить условия наблюдения, действуя этими орудиями; можно сказать, что опытное исследование может быть признано научным только при условии, что самый процесс исследования может стать предметом другого исследования. Но совершенно иначе дело обстоит, когда кристалломант наблюдает в кристалле то, что происходит за десяти! верст. Здесь мы ие можем делать предметом исследования самый процесс ясновидения, так как хотя и получится тот результат, который дается действием освещенных предметов из глаз наблюдателя, но в нем самый акт видения совершается или совершенно без участия глаза, или таким образом, что глаз является последним звеном цепи, идущей в иевоспринимаемой нами плоскости существования.

Из предъявляемого к научному опыту требования следует, что он всегда должен удовлетворять основным условиям пространства и времени.

Один и тот же объект ие может в одно и то же время быть в настоящем и будущем. Наблюдение события А предполагает это событие, наблюдение А есть то же событие В, и события В и А должны быть единовременными. Прозрение (а не предсказание) будущего с научной точки зрения, конечно, является недопустимым. В таком прозрении нарушается не-

415


обходимая единовременность события наблюдения и наблюдаемого события.

Если существуют акты такого прозрения в сновидениях, гипнозе и т.д., то они должны выйти за границу науки - в сферу гипернауки.

10. Распадение личности.

Мы ие сразу войдем в эту среду, мы пройдем раньше через явление патало-пш души.

Болезнь состоит - не с физиологической, а с чисто психологической точки зрения - в том, что подсознание берет верх над сознанием, что из тайников подсознания выступают способности души, все менее связанные с телом и даже совсем от него эмансипированные. В патаяогических явлениях многие видят распад души на составные элементы, т.е. определенный признак ее уничтожимости.

Рибо21 так описывает болезнь личности: "Если мысленно соединить все симптомы, сопровождаемые физическими болями, изменениями вкуса и обоняния, мы увидим возникновение целой группы, новых по своему характеру, ощущений внутренних и внешних; они связаны между собою одновременностью появления и, что еще важнее, болезненным состоянием, которое служит им общим источником. Здесь налицо все элементы "нового я". Иногда оно и так образуется".

"Я утратил сознание моего существования, я - более не я". Такова формула, которая повторяется в большинстве случаев. У других болезнь заходит дальше и иногда они воображают себя двойными. "Странная идея, - говорит один инженер, - навязывается моему уигу вопреки моей воле: мне представляется, что я двойной, я чувствую в себе одно я, которое мыслит, и другое, которое выполняет".

Но фраза: "я - более не я" не имела бы смысла, если подлежащее имело бы тот же смысл, что и сказуемое. Я в подлежащем иное, чем в сказуемом. То, что подлежащее, остается неизменным, это тот, кому принадлежит содержание сказуемого; меняется не то, что есть я, а то, что принадлежит я. Это я - сказуемое, не так просто как математическая точка; пусть, говоря физиологическим языком Рибо, оно состоит в координации нервных центров, дающих координацию отправлений организма. Двойное я инженера состоит из его подлинного я, которое мыслит и не может действовать, область которого ограничена только мозгом, и эмансигшро-ванного второго я, осуществляющего мысли первого.

Случаи полного разложения личности говорят, как будто, еще громче за возможность распада души.

Таков знаменитый случай21 Фелицы, описанный доктором Азана-ла из Бордо. Фелица, начиная с 15-летиего возраста входила во "вторичное" состояние. В этом втором состоянии она помнила первое, но, возвра-

416


щаясь к первому', она забывала второе. С сорока трех лет вторичное состояние стало преобладать. В одном из вторичных состояний она забеременела и, придя в первое, не могла понять как это получилось.

Другой случай описывает Жане. Леони - особа грустная, спокойная и кроткая, превращается под действием гипноза в веселую Леони-2, которая знает Леони первую и приписывает ей все пережитое в бодрствен-иом состоянии, а себе оставляет сомнамбулическую жизнь, связывая все в одну историю. Так как роды относились ко вторичному состоянию, то Леони вторая признает ребенка своим, а мужа оставляет Леони первой.

В дальнейшем происходит выделение еще третьей личности - Ле-они-3, знающей Леони первую и Леони вторую, степенной и серьезной, относящейся отрицательно и к доброй Леони-1 и к полоумной Леони-2. Леони-3 резко отличает себя от Леони-1 и 2. О первой она говорит: эта храбрая женщина довольно глупа, но это не я. О второй: как вы можете думать, что я похожа на эту сумасшедшую?

Полную аналогию с явлением раздвоения обнаруживают "одержимые''.

Монахини - спокойные, вежливые, религиозные, в состоянии припади изрекают ругательства на священников, св. Деву и говорят неприличности. Их устами говорят ие они, а некто иной, говорит вторичная психика, действующая под давлением образов, с которыми борется душа.

"Это не они - пишет свидетель - выражаются таким образом. Это дьявол овладевает ими, говорит от своего имени. Блондло - это только пассивное орудие; как по волшебству она вдруг успокаивается, и, если раньше вязала, то продолжает и дальше вязать и не хочет верить тому, что только что говорила ругательства"25 .Какое же здесь распадение души, когда она, как по мановению волшебной палочки, по миновании кризиса восстанов-ляется во всей своей целостности. Не естественнее ли предполагать, что душа просто ушла, что тело перестало на время быть ее орудием, что место ее занял другой? Этого другого, этого дьявола, говорящего устами Блондло, следует искать в подсознании.

11. Бессознательное Гартмапа.

Прежде всего скажем о взглядах Гартмана на бессознательное, По Гартма-ну, бессознательное бывает трех видов:

  1.  Физиологическое бессознательное.
  2.  Относительное бессознательное.
  3.  Абсолютное бессознательное.

К первому относятся памятные следы, которые, по мнению Гартмана, представляют молекулярные изменения в мозгу, облегчающие повторное появление известных представлений.

417


Физиологическое бессознательное - это еще не психическое. Это только молекулярное предрасположение.Таким образом, взгляд на память у Гартмана чисто материалистический.

Но относительное бессознательное является уже психическим. Ему отвечают явления в ганглиозиых центрах, так как сознательным психическим актам отвечают функции большого мозга.

Следует различать центральное сознание, которое и есть мое сознание* от сознания низших порядков, вторичных сознаний. Для этих сознаний относительное бессознательное является уже сознательным, в то время, как для центрального сознания оно является бессознательным.

Абсолютное бессознательное не имеет уже физиологического коррелята. Оно является началом скорее метафизическим, чем психологическим. Это то бессознателыгое, которое уже у Каруса не имеет сомнений, колебаний, утомлений постепенного упражнения и изучения, и действуют всегда с уверенностью, с мудростью и изяществом, легкостью и неизменной непосредственностью. Оно целесообразно определяет устройство организма в момент оплодотворения и проявляется при его заболеваниях, в виде целебной силы природы.

Это бессознательное возводится Гартманом в основное начало мирового процесса, представляет синтез шопенгауэровской воли и гегелевской развивающейся идеи. Метафизическое абсолютное бессознательное не включает в себя бессознательные ощущения. Можно вполне согласиться с Фехнером и Форплаге, что ощущение может быть только сознательным, что при опускании раздражения ниже некоторого порога, ие существует вовсе ощущения центрального сознания, и что то же имеет место для ощущений вторичных сознаний24, т.е. к относительному бессознательному применима также знаменитая формула Вебера-Фехнера, связывающая ощущение с раздражением, но только при других значениях параметров. Следует оставить только относительное бессознательное. Абсолютное бессознательное Гартмапа следовало бы совершенно отбросить, так как вопрос о строении души следовало бы рассматривать независимо от метафизических предпосылок. Абсолютное бессознательное может остаться только в виде пассивного фундамента жизни сознания, резервуара памяти. При решении психологических вопросов абсолютное бессознательное в гартмановском смысле может нанести только вред.

Еще до Гартмана Фихте-младший проводил мысль, что сознание есть только побочное явление, нечто чисто придаточное для духа, признак, а не самостоятельное, существенное. Главным же агентом является бессознательное.

Но если вводить относительное бессознательное, снабжая центральное сознание целым войском, ему соподчиненных, вторичных сознаний, то все, что приписывается абсолютному бессознательному Фихте, упадет на это вторичное сознание. Только за сознанием остается активность, бес-

418


сознательное низводится до чистой пассивности. Не сознание, а бессознательное есть придаток, в то время как сознание есть субстанция, а ие акциденция, не только фонарь, освещающий содержание души, а действующая сила. Воля никогда не бывает слепой, как этого желает Шопенгауэр; желание пробуждается в сознании, в бессознательном его иет.

12. Защита бессознательного.

Следует хорошо помнить, что относительное бессознательное - психическое только для вторичных сознаний, а отнюдь не для центрального сознания, причем то, что является сознательным для центрального сознания, может как сознаваться, так и не сознаваться вторичным сознанием.

Только этот путь, избранный Гартмавдш, дает возможность покончить с возражениями против психического бессознательного. Если Вундт называет бессознательную психическую деятельность противоречивым понятием, поскольку оно обозначает духовное, но не действующее действо-вание, то ему можно ответить, что здесь речь идет не об абсолютном бессознательном У а только об относительном, что эта деятельность бессознательная только для моего я, а сама в себе также сознательна, как та деятельность, которую я осознаю, что она действует в своей более узкой области, так же как действует в более широкой области мое центральное сознание.

Сложность тех явлений, для которых бессознательное является объясняющим принципом, решительно говорит против узкого взгляда (напр. Циглера25), сводящего бессознательное к малым восприятиям Лейбница*, находящимся у порога сознания, но, собственно говоря, никогда не опускающимися ниже его.

Обычно старой умозрительной психологии противополагают современную экспериментальную психологию. Первая - это не имеющая фундамента метафизика, вторая - позитивная наука. Указывают, держась каитовской схемы27. на то, что психология теперь переходит из второго -метафизического периода, в третий - позитивный, что в настоящее время она уже должна оперировать только с элементами, доставляемыми научно поставленными наблюдениями и опытом. Но история не только психологии, но н других, родственных ей наук, наводит на мысль, что учение О. Конта о трех стадиях развития: теологической, метафизической и позитивной - великое заблуждеиие. В этих науках попытки полного изгнания мета физических элементов оставались всегда тщетными. Эволюция их шла не так, что они с одной ступени контовской иерархии поднимались на высшую, а растягивалась так, что одна часть оказывалась на высшей ступени, в то время, как другие должны были обязательно оставаться в сфере более смутного и более проблематического метафизического мышления.

419


В защиту этого взгляда говорит и политическая экономия, которая в иных своих областях определенно идет к математизации, где наряду с формулой Паретто и с математическими выводами из нее, существуют обреченные на метафизическое состояние рассуждения о стоимости, цене и т.д.

Такова же и психология, в которой рядом с психофизической математикой всегда будут жить метафизические элементы. Боящаяся мистики и цепляющаяся за физиологию психология характеризуется крайней бедностью объяснений, которые все вращаются около законов ассоциации.

Как только психология пожелает стать объясняющей, не только описывающей и классифицирующей психические явления, но и разлагающей их на составные простые элементы, сейчас же становится необходимым ввести в их число метафизические или мистические элементы, неуловимые непосредственным научным наблюдением, носящие гипотетический характер и всем этим шокирующие позитивистов... Гербертова психология носит совершенно ясно выраженный метафизический характер и тесно связана с его метафизической системой. Можно спорить о прочности ее принципов, но бесспорно, что она имеет объясняющую силу, она не только описывает, но объясняет, более того, математизирует свои результаты.

Поскольку дело идет о рефлексе, мы находимся еще в области физиологии, но автоматические психические акты относятся уже к психологии.

Эти акты приводят нас к психическому бессознательному уже при объяснении самых простых явлений, таких как игры на рояле или шитья, н, одновременно, размышления о совершенно иных предметах, приводят нас к признанию психической деятельности, протекающей вне сознания, психической деятельности, которая уже по своему определению ие может служить предметом непосредственного наблюдения, а обречена оставаться всегда элементом птотетическим. Можно смело назвать этот элемент и мистическим. В самом деле, бессознательное не обретается в пространстве, оно не может ни для кого служить предметом внутреннего опыта, оно существует в какой-то особой сфере бытия, не отделенной от нас и оказывающей на нас свое действие. Вполне понятен страх психологов-позитивистов: в бессознательном должен возродиться старый демонизм, воскреснуть мистический мир, как только мы поборем робость и пожелаем с помощью бессознательного взять представляющиеся неприступными крепости.

Бессознательное может служить объясняющим принципом только при условии, что бессознательные психические функции вполне аналогичны сознательным, Бессознательное ассоциирует представления, как сознание. Оно ощущает, причем может ощущать то, что ощущает сознание. Оно имеет свой резервуар памяти и оттуда черпает свои воспоминания и может

420


также помнить и то, что помнит сознание. Таким образом, переживания их являются сплетенными между собой.

Кардинальной проблемой спиритуалистов является проблема о седалище души. Здесь коренится расхождение между аристотелевско-схо-ластической и картезианской метафизикой. Первая помещает душу во всем теле, вторая указывает ей место; телесной машиной душа управляется с помощью какой-то ручки или вилки.

По Декарту, седалище души - в шишковидной железе.

По Лотце, в варолпевом мосте - в точке прохождения многочисленных волокон.

Паульсен считает, что все тело служит седалищем души, она находится в теле повсюду и всюду обладает ощущением.

В действительности, следует признать среднее между этими двумя крайностями. Центральное сознание владеет не всеми частями тела, атолько частью, остальные же области принадлежат вторичным психикам. Верно то, что повсюду ощущение, но только ощущает не одна психика, а многие.

13. Множественность душ в теле.

Гартман останавливается на полпути, Следует пройти дальше. Не считать вторичное сознание только принадлежностью центрального. Эти вторичные психики получают только тогда большую объяснительную силу, если признать их самостоятельность, если признать борьбу между ними, более того, даже настоящий антагонизм.

Тело, таким образом, принадлежит ие одному духовном существу, а нескольким. Но я затрудняюсь назвать эти существа душами. Это недоразвившиеся души. Лучше всего называть их психиками и говорить о центральной и вторичной психиках. Следует признать за вторичными психиками волю к власти, стремление овладеть телом и связанными с ним другими вторичными психиками, стать вместо центрального сознания владыкой тела. Этот ницшеанский принцип, а вовсе не спинозовский принцип самосохранения, является главным двигателем души и жизни. Вторичная психика свергает власть центральной. Раздвоение, вообще умножение личности - это революция вторичных психик. Самым важным заключением, к которому приводит относительное бессознательное, является общность части содержания центрального и вторичного сознания. Во вторичное сознание могут проникать мысли и чувства центрального сознания, хотя часто в смутной и искаженной форме. В сновидении драматургом является вторичная психика, но тема драмы идет от центрального сознания, мысли и чувства которого попадают в подсознание. В гипнозе приказ от гипнотизера получается вторичной психикой гипнотика.

421


Если во сне обнаруживаются телепатические способности души, то именно потому, что в сновидении действуют вторичные психики, не связанные с телом, но вместе с тем и менее активные, чем центральная.

Вырисовывается следующее образное сравнение: темная пропасть, из которой стараются выкарабкаться люди: верхний ряд цепляется руками за край пропасти; следующие висят, схватившись за ноги висящих на ней. К этим в свою очередь прицепились еще другие. Вот один обнял талию, вот другой одной рукой держится за ногу и готов каждую минуту, разжав собственные руки, низвергнуться во мрак пропасти.

Первый ряд, напрягая мускулы, старается все выше вскарабкаться на край пропасти. Кто дальше от нее, тот все менее и менее активен и, вместе с тем, все менее и менее связан с землей. Тем все в большей и большей мере он жилец воздушной сферы черной пропасти трансцендентального мира духов.

14. Глубины подсознания.

Что такое сои - родной брат смерти? Сон - это спуск души в страшную пропасть.

Погружаясь в сон, душа уже не имеет непосредственного соприкосновения с тем, что происходит там, наверху. Постепенно порывается связь ее со строго подчиненными ей в бодрственном состоянии психиками, порывается и их связь между собой. Это промежуточное состояние между жизнью и смертью. До души еще доходит, как смутный гул голосов за крепкой стеной, происходящее в теле, но она вместе с тем частично приобщается уже к трансцендентальному миру и уже начинает видеть без глаз и слышать без ушей, сбрасывая с себя оковы пространства и времени. На расстоянии тысячи верст начинает душа чувствовать происходящее в образах, творимых подсознанием. Сперва трансцендентальный элемент примешивается лишь в слабой степени и содержит сновидения, но в глубоком сновидении все содержание сновидения может оказаться прозрением действительности.

Постепенное развитие трансцендентальных возможностей во сне было еще е древности отмечено Посидонием: "Сперва душа в силу своего родства с Богом смотрит как бы сама вперед, во-вторых, воздух насыщается бессмертными духами, в которых тотчас выявляются знаки истины, в-третьих, боги говорят со спящими, и это совершается легче всего при наступлении смерти, когда души смотрят в будущее".

В освобождающейся душе выявляются трансцендентальные свойства. Парацельсу во сне представляется двойственность человека, состоящего из земной и небесной части.

Последняя, постепенно освобождаясь, устремляется к своей свободно развивающейся деятельности. Цицерон говорит, что духи обнару-

422


жнвают в нем свое божественное происхождение. Но вернее сказать, что во сне душа приходит в соприкосновение не с божественными сферами, а со сферой бестелесного, которое может быть не божественным. <..>

Трансцендентальные элементы всплывают в сознании через вторичные психики, более погруженные в трансцендентальные области. Параллельно сознанию они подсказывают драматургу-подсознанию при развертывании им картин сновидения.

Сновидение тогда не является полным прозрением действительности, а обычным сновидением, таи символизирующим действительность, или содержащим в себе отрывки прозреваемой действительности28.

X снится У который после прогулки объявляет, что ои должен идти к какой-то могиле, предназначенной ему, и, подходя к ней, проваливается. Как раз в это время У умирает от разрыва сердца. Здесь душа X уподобляется существу с длинными щупальцами, которые прощупывают вне пространства, связывающего сознательную душу, смерть У Эти щупальца -вторичные психики, более свободные от телесных уз, чем центральные.

Они вносят в сознание трансцендентальный элемент, который непосредственно не может быть им воспринят.

Другой пример совершенно такого же рода: некто Пит Бэри рассказывает, что он видел себя гуляющим по песчаной местности и спотыкающимся о головки похороненных в песке уток. По пробуждении оказывается, что как раз во время его сна была обнаружена кража на скотном дворе фермы уток, и утки как раз оказались зарытыми в песке приснившейся Питу местности.

Еще пример: некоему Гильтону снится процессия покойников по сельской дороге и в числе их малознакомый ему человек, который в это время оказывается умирающим.

15. Ужас смерти.

Душа, таким образом, владеет телом как, своим орудием, и при этом делит свою власть с низшими, недоразвитыми душами, которые могут свергнуть ее господство и лишить ее царства, т.е. тела.

Смерть - потеря тела, но вовсе ие уничтожение того, кому принадлежало в большей части тело, т.е. самой души. Можно вполне допустить, что душа выйдет из пассивности смерти в активность телесной души, получив снова тело и что до пассивности, предшествовавшей рождению, она тоже владела телом. Возможно, но пытливый ум требует не одной только возможности.

Обратимся к анализу духовных переживаний, находящихся в нас в смутной, ускользающей от света сознания, форме. Есть переживания, которые совершенно не допускают научного анализа, где последний может

423


только скользить по поверхности, не проникая в глубину, можно сказать, целиком погруженную в трансцендентальную область.

Таков страх, или, вернее сказать, ужас смерти. На вопрос, отчего животное больше всего боится смерти, наука, оставаясь при только том материале, который дает окружающий мир, не может ответить.

Говорят, что в страхе смерти - не страх перед уничтожением, так как небытие, лишенное всяких болей, можно сказать, всеобщая анестезия страждущего живого существа, ни в коем случае не должно пугать, что в страхе смерти - иллюзорный страх перед воображаемыми загробными муками.

Против страха смерти не могут помочь эпикурейские лекарства. Пусть сотни тысяч раз повторяют: "Страх смерти безоснователен. Со смертью наступает конец жизни и вместе и конец страданий. Смерть не зло, это нам только она кажется злом. Пока мы существуем, смерти нет; пришла она, и нас уже нет". Этот страх, этот леденящий душ}' ужас смерти будет всегда существовать, и ие потому, что человек недостаточно разумен, не потому, что разумные эпикурейские доводы не могут его убедить, а потому, что этот страх, естественное явление и лучше обоснованное, чем все эти висящие в воздухе эпикурейские аргументы, потому что смерть приносит не добро, а зло, которого душа должна бояться всем своим трепещущим существом, потом)' что душа должна стремиться к жизни, а не к смерти, потому что смерть не есть уничтожение, а худшее существование, есть бытие, но бытие, лишенное и власти, и силы. В своих объяснениях научная точка зрения на смерть принимает следствие за причину. Ужас смерти раньше разных ужасных образов. Не только человеческое сердце заставляет он содрогаться. Посмотрите на животное, чувствующее приближение смерти, и в нем, в мозгу которого нет ни земного гроба, ни червей, гложущих мертвецов, живет ужас смерти, о котором говорит каждый его мускул.

Значит, источник этого страха не в настоящем психическом потоке, а вне жизни. Он есть определенный показатель трансцендентальной области.

16. Загробом.

Метафизика совершенно переворачивеет истину, стараясь объяснить смерть. Шопенгауэр ставит страх смерти в роли Цербера, охраняющего выход из жизни в область смерти, освобождающей от юдоли земной. Но его пессимизм не только не объясняет страха смерти, скорее наоборот, этот факт его метафизикой выставляется, как нечто чудовищно абсурдное, так как душа боится того, что является для нес наиболее желательным.

Всякий страх, всякое отвращение, лишь по видимости беспричинно захватывающее душу, имеет всегда основание, которое может находиться за порогом осознания. Душа запускает тогда за этот порог глубоко свои

424


корни и по ним вверх подымаются соки, которые вместе с восприятием из внешней среды образуют содержание ее жизни. Пессимизм жесток к жизни, но смерть достаточно громко говорит, что следует быть более жестоким к смерти.

У порога смерти нет необходимости ставить Цербера, ибо сама смерть - величайшее зло. И именно потому, что она самое худшее, потому что она неизмеримо хуже, чем наша жизнь, наша душа трепещет при мысли о ней.

В страхе, сковывающем нашу душу, следует видеть указание на то, что вместо грядущего небытия, стоит мучительное, невыносимое существование, которое уже испытано, но память о котором остается в виде уже не связанном с образом причины страха, вследствие того, что ни один элемент не может быть восстановлен в воспоминании.

Это трансцендентальное воспоминание, проникающее через стену, отделяющую душу от предшествовавшего существования, это смутное воспоминание о тяготе тьмы, когда вокруг свет, это тяжелое воспоминание о бессилии, когда в руках власть. Страх смерти - это лучшее доказательство ие бессмертия, а переживаемости души.

Ведь если бы душа исчезла после смерти, то было бы совершенно правильно то, что говорит в своей апологии Сократ: нечего бояться смерти, так как пока я существую, ее нет, а когда она есть, меня уже нет.

В действительности же происходит совершенно другое.

Не плебейское чуство самосохранения, а аристократическая воля к власти является главным духовным фактором.

Смотрите: сильный, благодаря своим богатствам, миллионер проигрывает свое состояние. Он предпочитает продолжению жизни - самоуничтожение. Почему? Потому что его собственность - царство его - уничтожена, и сила его обратилась в бессилие.

Смерть ие уничтожает души, но делает ее пассивной, сковывает ее волю, и именно этот переход от активности к пассивности, переживаемый душой, и есть самое ужасное в смерти, передаваемое трансцендентальным воспоминанием.

Мысль об инкарнациях, о последовательных возроджеииях души в новых жизнях - очень древняя. Она обнаруживала всегда тенденцию к более широкому пониманию, в смысле метемпсихоза, т.е. инкарнирования человеческой души не только в человеческих, ио и животных телах. Так мыслит Платон, его поддерживал Плотин.

Но метампсихоз находит себе горячего противника, конечно, в христианстве. Блаженный Августии вооружается не только против метампсихоза, но и против полигенезиса21', т.е. последовательного инкарнирования души в различных телах. Он замечает, что постыдно ие только верить в то, что мать превращается в лошадь, которая может возить на себе сына, но и думать, что мать превращается в девицу, которая может быть женой сына.

425


Не гораздо ли благочестивее, восклицает бл. Августин, верить в то, что души людей возвращаются в свои собственные тела, чем в то, что они возвращаются в чужие.

Порфирий вводит корректив: по его мнению, души людей могут входить только в людей <...>.

17. Эдукция и продукция.

Таким образом душа существует вечно. Если молено говорить об ее создании вместе со временем.

Средневековая мысль видит следующие возможности. 1, Эдукция - выведение души из сил самой материи. В самой материи мыслится что-то духовное, из чего создаются индивидуальные души. Это, вне сомнения, путь к пантеизму, к признанию какой-то мировой души, из которой эма-нируют души индивидуальные.

Но именно трансцендентальное воспоминание, о котором мы говорили выше, говорит против этого взгляда. Моя прежняя жизнь есть тоже жизнь личности, хотя и другой.

2. Традукция: одна душа рождает другую (как огонь рождает огонь). За это говорит наследственность. Моя душа содержит кое-что из духовного содержания души моего отца. Но, анализируя глубже, мы видим, что всякая наследственность носит только внешний характер, внутреннее же вдет из другого, более глубокого источника. Два брата-близнеца имеют совершенно одинаковую наследственность и более того - одинаковую утробную жизнь, но в глубине своих духовных стремлений различаются между собой. В них говорит голос, идущий от их предков, но еще сильнее голос, идущий от их предшествовавших жизней.

Третья гипотеза, на которой останавливается Ориген: душа до рождения существует и обнаруживается с рождением. Это точка зрения, которая мной и защищается. Души при рождении овладевают телом так же, как вторичные психики овладевают центральной нервной системой. Различие только то, что здесь ей предоставляется вполне готовый аппарат, между тем, как в ребенке или, вернее, в утробном плоде аппарат этот еще не готов, это музыкальный инструмент, в котором еще нет струн, но который уже находится в руках того, кто после того, как будут натянуты струны, будет на них играть.

Такое предположение лучше, чем предположение, что душа создается из ничего в момент рождения. Почему в момент рождения, а не в утробе матери, когда, конечно, ребенок все-таки живет так же, как когда выйдет из утробы? Гораздо естественнее предположить, что растет здесь не душа, а растет только связь между ней и тем инструментом, которым она будет пользоваться.

426


По Лейбницу, душа всегда существует, но, как он говорит, в малых размерах. Мы это переводим так; в меньшей активности, или даже просто в пассивном состоянии.

Рождение, говорит Лейбниц, это особого рода увеличение, смерть же - уменьшение живущего, преобразование н свертывание. Наш перевод: переход в пассивное состояние.

Но когда Лейбниц говорит, что нет души, отделенной от тела, что нет бестелесных людей, что только один Бог свободен от тела, то м ы протестуем, так как тело это то, что дает -жизнь: (душа без тела) не живет, а только ссществует.

18. Любовь и смерти.

Насколько все другие платоновские доказательства бессмертия души далеки от истины, настолько близко подходит к верному пути его гносеологическое доказательство переживаемое™ на основании врожденности идей.

По Платону, познание идеального - это припоминание (анамне-зис) пережитого в предсуществоваиии души в другом'бестелесном мире, в том мире, где души созерцают сами платоиовы идеи, и куда они должны вернуться. Не учение о врожденных идеях, а подход к проблеме смерти со стороны анализа необъяснимых средствами научной психологии явлений, мне представляется ценным в платоновских взглядах на бессмертие. Но эти несводимые элементы он совершенно неправильно ищет в верхах сознания, а не у порога сознания, у преддверия темного подсознания, погруженного в сферы бестелесного.

Указание на предсуществованис Платой видит ие только в идеях, но и в высших чувствах, по его мнению, не связанных с телом. Наряду с чувственной любовью, он отличает духовную, основанную на пробуждении воспоминания о первообразе красоты, виденном до земной жизни, о потерянном блаженстве созерцания идеального мира. Эрос - это страстное стремление к бессмертию.

То, что уже по самой природе является объектом основного влечения души, то не должно быть для нее достигнуть»!. Платой сходит и здесь с правильного пути. Половое чувство смешивается с эстетической эмоцией. Он бросается опять к ярким верхам сознания, относя туда то, что вырастает в чудесных, но страшных тайниках подсознания.

В любви Данте к Беатриче, той любви, которая может быть названа родной сестрой смерти, которая признает одну, только одну, в которой мощное стремление к дорогому образу ие представляет полового чувства, но обращается в последнее, - такое же указание на предсуществоваиие, как в страхе смерти. Но любовь рождается в этом, а не в трансцендентном платоновском мире, в таких его глубинах, которые тысячами нитей связа-

427


ны с его поверхностью, по которой движется порог сознания настоящей жизни,

В юные годы душа овладевает уже вполне организованным телом. Окончательно она пробуждается ото сна и вот из самых глубин ее выступа-ет порыв к проявлению наиболее полной активности. Как поток долго сдерживаемой воды, он прорывает плотину, увлекая в себя не только все то, что обретается душой в ее первые годы жизни, более того - утробной ее жизни, но и трансцендентальный осадок ее прежних переживаний. Вот этот осадок поднимается во время юности на поверхность сознания - неясный и неопределенный, производящий смятение в верхних слоях, а затем глубоко упадающий в таинственные глубины и замещающийся телесными стремлениями.

За гробом мы должны искать разгадку любви. Что такое черты лица возлюбленной? Не то ли, что уже было видено и глубоко пережито? Может быть, это черты моего лица в прежних моих инкарнациях? Воздержимся от пути, по которому ведет нас дальше фантазия, стремящаяся разобрать то, что говорит этот голос, но согласимся с тем, что он идет оттуда, откуда идет к нам и великий страх смерти.

19. Душа и тело.

Основная ошибка, идущая от Аристотеля и в собенности развиваемая средневековой мыслью, состоит в том, что душа признается за фактор, приводящий к актуальному существованию, за принцип, оживляющий материю.

В действительности же, как раз наоборот. Тело является оживляющим принципом души. .Душа до соединения с телом является лишенной деятельной жизни, и она становится деятельной только в соединении с телом. <...> Телесные органы чувств существуют не для того, чтобы давать душе знание о внешнем мире, так как он может восприниматься и без их помощи - центростремительную и центробежную нервные системы следует, как это делает Фергсон, рассматривать как единый аппарат, с помощью которого душа является действующей, а не только пассивно-воспринимающей. Мозг для памяти - это только решето, просеивающее тот материал, который необходим для действия.

Чтобы понять, в какое затруднение вводила аристотелевская точка зрения, следует вспомнить созданное для оправдания учения о бессмертии души томистическое учение о разделенных формах. Эти формы противоречили учению Аристотеля, по которому всякой вещи приписывается двойственный состав из субстанции и формы. Для того, чтобы примирить пере-живаемость души с аристотелевским умешаем о душе, как форме тела открывается еще путь, указанный Лейбницем: снабжение отошедших душ другим телом. Лейбниц, по которому душа является, как и для Аристотеля, не вполне субстанцией, а какой-то субстанциональной формой, что им под-

428


черкивается с полной определенностью, развивает учение отелах, которые заменяют для душ умерших их земные тела.

Это учение в грубой и фантастической форме развивается спиритизмом, снабжающим душу кроме земного, уничтожающегося со смертью тела, еще и призрачным телом материализирующихся духов. Это направление лишь запутывается в сфере грубо материалистических воззрений. [Имеется одна] основная ошибка во всех метафизических построениях, которые запутывают метафизику в рассуждениях о взаимоотношениях души и тела и приводят к психофизическому параллелизм)', уничтожающему индивидуальное бессмертие. Это ложный постулат о невозмооюноепт взаимодействия между разнородными вещами.

Мыслители конца XVI в., которые во всяком явлении видят действие духа на материю, т.е. как раз взаимодействие между разнородными вещами, в этом отношении представляют полную противоположность мыслителям XVII в.

Лейбниц настаивает на том, что, по его мнению, ложное учение о полной нематериалыюапи души, имеет своим источником введение мнимых бестелесных духов в среду телесную. Действие при этом понимается грубо материально, в форме какого-то смешения агентов. Действие на расстоянии одной вещи на другую не признается последствием того, что всякое действие требует прикосновения частей этих тел, образования из этих частей, хотя бы временно, нового целого. Рука может взять камень, так как рука соприкасаясь с камнем, образует с ним одно целое, но дух не моясет двигать ни руки, ни камня, так как нет частей у духа, могущих войти в соприкосновение с рукой или камнем.

Но действие следует понимать глубже. Всякое действие это творчество, и при этом следует прибавить, встав в противоречие с Анаксагором, творчество из ничего.

Дух может также творить материю в плоскостях более высокой реальности, как он может творить свои сновидения и призраки, которые нельзя рассматривать как абсолютно не существующи,, но которые следует относить к низшим степеням реальности.

XVI век стоял на более правильной точке зрения. Его более широкий взгляд шел дальше, чем узкомеханистическая метафизика XVII в.

20. Темная и светлая мистика.

От темной мистики, которая состоит в падении души в сферы подсознания, которое есть не что иное, как царство духов, в большей или меньшей степени связанных с телом и, наконец, бестелесных, .от темной мистики сна и смерти следует отличать светлую мистику, возносящейся над телесным, живой души. В мистическом подъеме святой души, восходящей к Богу, тело не уничтожается, но служит лестницей, по которой душа восхо-

429


дит на мистические высоты. Тело не уничтожается, но приводится в полную покорность духу. Это победа над телом духа, который делает его своим верным слугой. Дух-победитель пересоздает тело, и тело святого оказывается не негодной ветошью, а блестящим орудием, которым он побеждает врагов своего темного подсознания.

Нет необходимости наделять его новым телом, когда смерть разобьет это оружие.

Вселенная - вовсе не тело Бога, это тело святых, и отчасти, и наше тело.

"Абсолютное бессознательное" - это резервуар памяти, при этом совершенно пассивный - но он содержит в себе нечто от жизни - жизнь в потенции. Оно относится к жизни совершенно так же, как потенциальное бытие аристотелевской материи, относится к актуальному бытию субстанции.

Пассивность души после смерти, конечно, не есть абсолютная пассивность; доля активности, которая в ней остается, не позволяющая ей обратиться в простой резервуар памяти, дается ей ее связями со всей телесной вселенной, на которую она оказывает какое-то воздействие. Вселенная является ее телом, как принципом тлеющей в ней активности. Действие это - в некоторых частях ее тела вселенной, вероятно больше, чем в других. В некоторых центрах, главным образом в телах, живущих земной жизнью, они могут аккумулироваться. Это воззрение, которое можно назвать не только мистическим, но и магическим, вполне согласуется с религиозным представлением влияния отошедших святых на людей живущих. Мистический подъем, в котором возносящаяся к Богу душа покоряет себе тело, доводит духовную мощь до такой степени, что душа приобретает способность действовать через тело не только при своем земном существовании, но и по потере его.

С другой стороны, это воззрение близко подходит и к пантеистическому взгляду, выработанному натурфилософией, погружающей душу отошедшего в окружающую его природу, заставляющей его жить ее жизнью, растворяющей ее в шумящем лесе, в благоухающих цветах, в поющих птицах и озаряющем красным отблеском зеркальную поверхность реки солнце. Душа отошедшего в последней молитве святого не сливается с поглощающим ее Божеством, она остается жить, оставаясь той же в этом великом божественном теле.

21. Защита тела.

Проводимые мною взгляды решительно аитиплатоновские. Взгляд на тело, так на тюрьму души, развивается вслед за Платоном Филоном и новопла-тоникамн и, как наследие от новоплатоников, вместе с некоторыми другими элементами переходит в христианскую философию.

430


Воздушное пространство подлунного мира, по Филону, заполнено ангелами, демонами и душами, сохраняющими свою чистоту и совершенство. Ниспадая со своих высот в человеческие тела, они окутываются чувственностью,

Но если им удастся освободиться от чувственности, они возвращаются к своему бестелесному существованию. По Платону, душа, в силу необходимости мировой души, излучением которой она является, проникая все, попадает в тело, забывая свое достоинство и происхождение; не отрываясь от мировой души, она отвращается от Бота. Ниспадение души представляется Платону в образах развертывания падающей вниз материи, прикрепленной сверху.

Эта картина должна замениться другой. Подлунный мир, действительно, заселен душами, жаждущими тел. Они стремятся не к небесам, а к этой земной жизни, своими страданиями и подвигами восходящей по терниям страданий, более прекрасной, чем олимпийские нектар и амброзия, чем идеальный мир Платона.

Она стремится все более и более к интенсивной и экстенсивной жизни, к действиям, к власти...Тело для души не гроб, не тюрьма, а лестница к Богу,

Здесь я вполне становлюсь на сторону христианских учителей Церкви против платонизма.

По мнению новоплатоинков, совершенное блаженство бывает тогда, когда души, освободившись от всякого тела, возвращаются к Богу. Св. Августин, вместе с другими отцами церкви, дает блаженной душе тело, утверждая, что бременем для души служит не "просто тело, но тело тленное". "Тело бо тленное отягощает душу"". Ои обещает по воскресении вместо тела душевного, тело духовное. "Сеется тело душевное, восстает тело духовное"31, которое с величайшей и необычайной легкостью отдает себя в подчинение духу по безмятежному желанию неразрушимого бытия, будучи освобождено от всякого скорбного чувства, всякой тленности и косности. Это духовное тело, по мнению св. Августина, не будет не только таким, каким бывает теперь даже при самом лучшем состоянии здоровья, но даже и таким, каким было в первых людях до грехопадения. В то время, как для новоплатоииков - представителей умирающей античной мысли -смерть представляется благом, освобождением души от стягчавшего ее бремени, для молодой христианской мысли смерть сама по себе зло, воздаяние за грех. Как разлучение души и тела - смерть так же не бывает доброй.

"Смерть не есть добро - говорит св. Августин, - хотя она увеличивает славу претерпевающих ее, когда претерпеваете за истину, и делает мучениками"32.


Средние века

§ 1. Иптелект и воля

Со школьной скамьи мы привыкли к низкой оценке средневековья. Мы привыкли видеть в нем только дурное. Прежде всего - умственный застой, период жизни человечества, который должен быть совершенно вычеркнут, какне способствующий прогрессу, а только его задерживающий.

Затем средневековье представляется периодом жестокости, эпохой инквизиции с ее кострами. Только в блестящую эпоху Возрождения происходит восход солнца. Только тогда мертвую иконопись заменяет продолжающаяся и в настоящее время живопись и вместо бесплодной словесной схоластики встает истинная наука, ведущая к разгадке мироздания. И вот на вопрос, какая эпоха в жизни человечества является наихудшей, всегда готов ответ: эпоха средневековья.

Нет большего заблуждения! Истина здесь перевернута вверх ногами. Правильный ответ как раз противоположный. Не худшей, а лучшей эпохой в -жизни человечества было средневековье.

Я на себя беру трудную задачу защиты этого парадоксального тезиса, Но я предлагаю прежде всего установить тот масштаб, которым следует производить мерку. Обычно людей расценивают по уму, другие же качества относятся к второстепенным. Почему это так? Потому, что ум это только внешность души. Это то же, что расценю человека по внешнему облику, Такая расценка производится вовсе не потом)', что ум - действительно самое ценное в человеке, а потому, что он наиболее заметен. Ведь именно он хорошо усматривается непосредственно в словах и действиях человека, в его творениях, в особенности в тех случаях, когда он в какой-либо узкой области выявляется, подымая человека на более высокую ступень в сравнении с другими. Верно говорит Лихтенберг: умный человек ие только иначе говорит, чем глупый, он иначе ходит, иначе сидит и т.д.

Более того, расценка обычно ведется даже не по общему характеру и широте н глубине ума, а по величине специальных интеллектуальных способностей. Мы больше удивляемся и больше превозносим феноменального счетчика, чем рядового человека с широким или остроумным интеллектом.

Высшую оценку получают неумные люди, а умственные фокусники.

И, конечно, здесь усматривается полная аналогия с телесной красотой или даже с платьем.

Не только женщины, но и мужчины даже в пожилые годы большую часть своего внимания полагают именно в этой преходящей внешности. А

432


между тем ум, как и телесная красота, зависит от всяких случайностей. Именно про них можно сказать, что "они отпадают, как цветы, проходят, как тень". Ведь, малейшее поранение лица нарушает красоту, а делаемые ошибки уже заставляют сомневаться в интеллектуальной силе, и больше всего - в интеллектуальном фокусничестве, они что-то вроде фальшивых нот в игре, может быть, талантливого виртуоза.

И то, что ум далеко не первое в жизни, это можно видеть и из того, что в жизни побеждают вовсе не наиболее умные, а скорей наиболее сильные характером.

Да и в науке успех зависит не столько от силы ума, как от прилежания и настойчивости.

Только ими достигается успех в том, что наиболее ценится: в специальной научной работе и в интеллектуальном фокусничестве. В то время, как простые смертные стараются в головы великих людей поместить таких-то демонов или ангелов, сами великие люди их не находят. Великий математик Гаусс утверждал прямо, что он отличается от других только тем, что он прилежен. Ньютон на вопрос, как он открыл закон всемирного тяготения, сказал: " я о нем постоянно думал". Если это не совсем так, то, во всяком случае, в этом много истины. Пожалуй, верно то, что гений - это колоссальное трудолюбие.

В трудах великих математиков меня всегда больше всего удивляла их трудоспособность. Я вполне могу вообразить себя открывающим сообщаемые ими истины, но никогда - совершающим их труд, неисчислимое множество неудачных попыток, затем колоссальную черновую работу, связанную с проверкой и перепиской.

Я предлагаю, на время отрешившись от культа гениальности, совершенно объективно просмотреть работу наиболее выдающихся государственных и общественных деятелей, и, я думаю, придется прийти к такому выводу, который едва ли найдет у многих одобрение: люди в отношении ума различаются не так сильно, по колоссально их различие в силе воли. Ведь существуют люди, которые могут работать по двое-трое суток подряд, ие сходя с места. Другие же ие могут просидеть и полчаса. И существует очень мало таких, которые могут работать так, как Кеплер при установке своих знаменитых законов и как Ньютон, размышляющий над законом мироздания. Я не говорю, что этими открытиями мы обязаны только их настойчивости, но я говорю, что мы обязаны больше настойчивости, чем уму. Когда стараются выявить причину успеха Наполеона, то ее ищут только в его уме, а если не находят, то относят все к случайности. Между тем, основная причина успеха - в воле. И то же следует сказать и о других великих людях. Приоритет остается не за бесполым разумом, а за волей -этим основным мужским началом.

Поэтому прав был Дуне Скотт, выдвигавший, в противоположность рационалист)' Фоме Аквнискому, приоритет воли, а не разума. Прав и

433


Шопенгауэр, считавший наиболее существенным в человеке его волга, а вовсе не интеллект, находящийся в подчинении воле. Протестантство по существу уничтожает религию, выдвигая приоритет веры в сравнении с действием, которому отдает приоритет католичество. Между тем, вера, как говорит апостол Павел, без дел мертва. Чрезмерное развитие воли может быть вредным для других, но самому человеку дает все, и охраняет его от врагов, и подымает его на высоты Наполеонов и Цезарей. Но чрезмерное развитие интеллекта в ущерб воле создает несчастного, который, много зная и много-понимая, как шекспировский Гамлет, ие будет в состоянии на что-либо решиться. Люди природой предназначены для дела, и если они начинают больше думать, чем делать, они идут против природы и обычно расплачиваются за это.

Согласимся, что в настоящее время человек лучше думает. Но можем ли мы признать, что в настоящее время он лучше действует, чем в средние века? В настоящее время мы имеем умных ученых, умных администраторов, но имеем мало людей, железная воля которых не сгибалась бы в борьбе с личными или с идейными врагами.

В-настоящее время нет людей с такой волей, гак у Григория VII и Иннокентия III, старавшихся возвести над светской властью стоящую выше всякой национальности папскую власть от Бога, нет людей с волей крестоносцев, из которых только едва ли одна десятая доходит до конечной цели - до освобождения гроба Господня, нет людей с волей альбигойцев и других еретиков, предпочитавших костер отказу от своих убеждений.

Но развитие этого мужекого начала- воли- не может характеризовать только средневековье. Это развитие воли мы находим и в эпоху Возрождения, в которой тоже имеет место приоритет воли над интеллектом.

Полная характеристика средневековья дается единовременным развитием как мужского начала - воли, так и .женского - чувства. Эпоха Возрождения была началом падения этого второго начала. Человечество лишается своего глубокого чувства, которому служила воля, человечество становится только волевым, для того, чтобы потом сделаться интеллектуальным.

Молодость сменяется зрелым возрастом для того, чтобы потом обратиться в старость.

§ 2. Воля и чувство

Теперь обратимся к леенскому началу - чувству.

Над волей стоит чувство, так как именно в чувстве заключается сама жизнь.

В то время, гак воля определяется только ее напряженностью, для интеллекта и эта оценка является неопределенной, так гак напряженность интеллекта относится опять к воле, связанной с интеллектом. Для чувств

434


же мы имеем не только степени их напряженности, но также и большую и меньшую их высоту, так же как для звука. Если интеллект подчинен воле, то сама воля, если она не слепая, должна двигаться чувством. Э. Гартмаи абсолютом считает соединение воли с интеллектом, но правильнее было бы говорить о соединении воли с чувством, т.е. мужского начала с женским, причем приоритет следует отдать не первому, а второму.

Нет, собственно говоря, злой воли, а есть злое чувство; оно и управляет волей, оно как бы соблазняет волю, как Ева - Адама, и тяжесть первородного греха лежит больше на Еве, чем на Адаме.

Многие склонны принижать все женское и смотреть па женщину, как на существо низшего порядка.

Но и здесь я решаюсь высказать парадоксальную мысль. Женщина мыслит меньше, чем мужчина: она, бесспорно, меньше действует, но она больше чувствует.

Проанализируйте душевный мир женщины, и вы увидите богатые переживания ие в области волевой, но в области чувственной, самые тонкие нюансы этих переживаний, которые вы ие найдете в мужчине.

Можно ли спорить с тем, что женщина чувствует тоньше и глубже, чем мужчина, что любовь женщины, лишенная порывистости мужского чувства, и благороднее, и тоньше, и постоянней? Можно ли спорить с тем, что именно надолго женщины выпало наиболее прекрасное чувство - безграничная и готовая на все жертвы любовь к ребенку?

И средневековая мысль и еще более - средневековое чувство смогло сделать то, что не смогла сделать античная мысль, а именно - поставить на пьедестал чувство и женщину, как его носителя.

В средние века мужчина-рыцарь приводит свою могучую волю на служение своей даме, на служение чувству.

Только средине века создают прекрасный образ Божисй Матери, толы© они начинают понимать, что в глубине человеческого сердца, которым более всего управляет женщина, заключается и наиболее ценное в человеке.

И вот, если мы над волей поставим чувство, то здесь высказывание окажется еще более категорическим: ни мы, ни люди эпохи Возрождения не чувствуем так, как люди средних веков.

Если когда-лиоо человек глубоко чувствовал, то только в средние века.

Все эти титанические чувства античных героев и наши, быстро улетающие в сутолоке жизни, чувства - это пигмеи в сравнении с теми, которые испытывал крестоносец или монах средневекового монастыря -св. Бернард или св. Франциск.

435


§3. Средневековая мораль

Враги средневековья! Не спешите выставлять грубость и жестокость нравов, снижающих уровень нравственности среднего человека. Едва ли можно согласиться с тем, что показателем нравственного уровня человечества должно служить средне-арифметическое, а не максимум. Молено сказать, что человечество в целом решает моральную проблему, и решение ее определяется именно максимумом -тем наивысшим подъемом, на который человечество подымается не в целом, а только в ведущих личностях. Кульминационная точка морального подъема там, где, как крест готической колокольни, возносится над обыденностью святость, где ярким светом горит моральный идеал, достигаемый только избранниками.

Высшая мораль - это ие рассудочная мораль долга, это мораль подвига, представляющая мораль чувства, возносящегося над интеллектом и подчиняющего себе волю.

И это чувство в античном мире, в этом младенчестве человечества, еще не вспыхнуло. А в настоящее время оно уже погасло, и душа наша как улитка замкнулась в тесной-раковине. И для нас теперь далека и непонятна душа средневекового человека. Все наиболее прекрасное, все то, что призвало к жизни человеческое многострадальное и вместе с тем вкушающее небесные радости сердце - все это наш иссушающий рассудок старается объяснить экономическими факторами, более близкими современным банкирам, чем средневековым рыцарям.

Забудьте настоящее и на мгновение вернитесь вспять, в прошлое, уже заволокнутое туманом. Жанна д'Арк для наших современников только эпилептичка, страдающая галлюцинациями. Забудьте на время психиатрический подход. Прочитайте все, сообщаемое свидетелями, все протоколы суда над ней, с ее мудрыми кроткими ответами и перед вами встанет во всей красоте этот блестящий образ средневековья, и я спрошу, может ли настоящее время создать что-либо подобное этому образу?

Да разве в настоящее время может кто-либо так чувствовать, как Владимир Мономах, послание которого Олегу Святославовичу представляет один из прекраснейших перлов средневековья?

Он зовет во имя Христа своего врага к примирению, он прощает ему смерть своего любимого сына, павшего в сражении, как прекрасный полевой цветок от безжалостной косы. Или прочтите слово епископа Олес-ницкого к королю Казимиру, призывавшего последнего к примирению со злейшим врагом - Михаилом Сигизмундовичем.

Только невежды могут видеть в средневековье только слова и слова, нагромождаемые бесплодной схоластикой. Именно в средневековье менее всего учились говоришь. Только от избытка сердца говорили уста средневекового человека.

436


Да, именно у него был избыток сердца, а не ума. Ни в схоластических рассуждениях, ни в административных актах с их испорченной латынью, ни в бездушной риторике Цицерона. Но под грубой оболочкой мы ясно чувствуем биение средневекового сердца, бившегося в груди рыцаря, шедшего через самые ужасные лишения и страдания ко гробу Господгао.

И как много тупого непонимания у тех, кто видит в крестовых походах только жестокость и бесчинства толпы, только зверства при взятии Иерусалима, забывая, что из большой армии только кучка дошла до Иерусалима!

Поищите такое лицо, моральный облик которого мог бы сравниться с обликом Людовика Святого. Не представляет ли это удивительное соединение храбрости, рыцарского благородства, милосердия и святого подвижничества - пожалуй, лучшее, что могло произвести человечество с начала средних веков? Не бледнеют ли перед ним и все наши научные открытия, благодаря которым мы чувствуем себя проникнувшими в самые недра мироздания? Не бледнеют ли вместе с тем картины Рафаэля, музыка Шопена и Бетховена?

Вы будете говорить о развратных средневековых папах, но прежде всего напомню, что рекорд здесь побит не средневековьем, а эпохой Возрождения. Последнее дало нам Борджиа, Средневековье же дало таких, как Иннокентий III, равного которому мы уже не находим в позднейшие времена. Хотя и суровой, но глубокой стойкой моралью проникнута вся история защиты им прав несчастной супруги французского короля Филиппа П. Правда, не все средневековые духовные лица таковы, но из их среды высоко подымаются личности, готовые на всякие жертвы при защите правды, при служении Богу.

Вот вам Эвес, епископ Шартрский, который стойко вдет против Филиппа, добивавшегося развода с Бертой, чтобы жениться на другой. "Я, - говорит он гордо, - пожелал бы лучше быть брошенным между жерновами, чем скандализировать слабых и невежественных".

И что же? Он в конце концов приводит короля к раскаянию.

§4. Папство.

При оценке папства следует различать сам идеал высшей теократической власти и его осуществление. Никто не будет спорить с тем, что этот высокий идеал не мог осуществляться полностью. Земные условия таковы, что чистая власть от Бога не может осуществляться. Идеал оказывается слишком высоким, и человечество срывается при его осуществлении. Душа, поднявшись очень высоко, падает с этой высоты в темную пропасть. Со святостью всегда живет и грех, и чем выше святость, тем ниже опускается грех. Маятник колеблется с большей амплитудой. Не содержит ли всякая власть элементы нмморальности?

437


Не правы ли частично анархисты, объявляя всякую земную власть аморальной?

Конечно, дальнейший их вывод о возможности существования безвластия - детская наивная утопия. Но если согласиться с этим, то это можно отнести только к земной власти, но не той, которая идет от Бога, т.е. не к теократической.

Не лучшие ли властители те, которые не избираются народом, а ставятся самим Богом, т.е. вернее те, которые считают себя ставленниками Бога и отвечают за народ только перед Богом?

Вглядитесь в мумии фараонов, этих божеских ставленников - Сети, Рамзсса и других. Не говорят ли их лица о чувствах, ими владевших, о том, что над каждым из них был только Бог, что только перед Богом они отвечают за вверенный их власти и заботам народ?

Положите на одну чашу весов Борджиа (хотя он и не принадлежит средневековью) и других пап-развратников, а на другую всю ту пользу, которую принесли папы, стоявшие выше грубых и жестоких феодалов и нравственно на них влиявшие, и вторая чаша перетянет. Уже один "Божий мир", шедший от папы и удерживавший феодалов от взаимной резни, указывает, в гаком направлении могла бы пойти папская власть, если бы ей удалось приобрести всю полноту своей божественной власти над воюющими королями и феодалами. Вне сомнения, такое теократическое интернациональное государство сделало бы возможным уничтожение международной войны больше, чем Лига Наций и ООН.

§ 5. Инквизиция.

Самое тяжелое обвинение, бросаемое средневековью, это инквизиция. Но и здесь рекорд побивается эпохой Возрождения. Больше всего жертв дает не инквизиция против альбигойцев XIII века, а инквизиция против мара-нов (евреев), протестантов и колдунов XVI и XVII веков. Вообще, не средние века, а эпоха религиозных войн отличалась нетерпимостью.

Вспомним процесс Абеляра, взгляды которого на Лица Божественной Троицы вне сомнения еретичны. Но ведь устранение его от преподавания нельзя приравнять к сожжению на костре, например, Сервета и притом кем? - реформаторами-гальвинистами. Согласимся, что в позднейшее средневековье инквизиция обнаруживает крайнюю жестокость. Но во время ереси альбигойцев всему христианству грозила страшная опасность. Манихейское учение о двух богах - добром и злом - Ормузде и Аримаие Заратустры - доводило это дуалистическое мировоззрение до поклонения дьяволу. Другие секты, хотя и правильно осуждавшие Клир, разрушали Церковь, падение которой тогда вело к падению христианства.

438


Вспомним, что даже кроткий Франциск Ассизский, этот сверх-хри-стиашш, согревавший своим телом прокаженного и говоривший проповеди братьям волкам, стоял за решительные меры в борьбе с еретиками.

Нет, если уже кого-либо и обвинять в жестокости, так не средние века, а именно настоящее время, хвалящееся своей гуманностью.

§6. Средневековая пера.

Но, скажете вы, средние века представляют одно заблуждение, они верят в то, во что мы уже не можем верить. Ведь это царство сплошного суеверия и фантастических, ие имеющих подсобою почвы образов! Я не намерен сейчас разбирать, что в религиозных представлениях можно считать истинным или имеющим шансы оказаться таковьш, и что представляет безусловное заблуждение. Я и здесь пойду по пути, заставляющему многих покоробиться и отвернуться от меня. Я поставлю жестокий вопрос, ответ на который опять дает заключение в пользу средневековья.

Верно ли то, что человечество было наилучшим именно тогда, когда оно лучше всего знало действительность? Не кроется ли доля правды в том, что говорит Пушкин : "тьмы низких истин нам дороже - нас возвышающий обман". Пусть содержание религий - один призрак. Но что получается при лишении человечества этого призрака? Мы в конечном счете потеряли больше, чем если бы лишились всех наук, ибо для чувств последние дают меньше, а ведь чувство и есть сама жизнь.

Впрочем, эта мысль смягчается следующим замечанием.

Неужели вся целиком религиозная мысль только ошибалась? Неужели все это только сплошной призрак и ничего более, в то время как учение Бора о строении атома и все другие учения, друг другу противоречащие, это только чистые истины, так что в учении об общем принципе относительности мы уже окончательно становимся на путь решения основных мировых загадок?

Не содержится ли, наряду с призраками, во всем этом прекрасном мире средневековых мысли и чувств нечто еще такое, что неотделимо от призраков и что теперь мы уже не можем принять только вследствие того, что лишились соответствующего органа познания, находящегося при этом более в сердце, чем в голове?

Да и не покажется ли через 1000 лет все то, во что мы так горячо верим, тоже призраками, как теперь нам кажется то, что было предметом веры средневековья?

Но, если это так, то и в средневековых призраках живет истина, и эта неуловимая для нас и утерянная нами истина получает особенно высокую цену, так гак за ней идет и высокое чувство и связанная с ним воля, ведущая к подвигу.

439


§ 7. Мистика.

Средневековье больше чувствовало, чем мыслило. Говорят о сухости средневековой мысли. Но это совершенно неверно. Схоластика оперирует ие мертвыми символами, как мы, а оюивьша понятиями, за которыми она видит живые образы, все озаренные живым чувством. В темную келъто схоластика проникает пучок ярких солнечных лучей и освещает его пыльные фолианты, заполненные схоластическими абстракциями и силлогизмами. Мысль его каждую минуту возвращается к Богу, который для него и альфа и омега, и душа его всегда переполнена интеллектуальной любовью к Богу, более горячей, чем та, о которой говорит Спиноза в своей этике.

Промежуточным звеном между средневековым религиозным чувством и средневековым разумом-схоластикой стоит средневековая мистика. Она ищет пути, ведущие к соединению с Богом.

Она анализирует последовательно ступени, по которым душа подымается к Богу.

Блаженный Августин дает свою исповедь - историю души язычника, рядом душевных переживаний приходящего к христианской вере.

Он указывает на то, что люди, удивляясь ширине морей, величине звездного неба и высоте гор, забывают о более интересном и более важном - о том, что находится в душе.

Он является истинным основоположником современной философии с психологией, чуждой и античной мысли, и средневековой мистике Бонавеитуры, Гюго и др., и, наконец, мистике эпохи Возрождения Бёмэ. Таулера и Силезия.

Мистические средневековые эксперименты бесспорно были первыми экспериментами Опытной Психологии. Только средневековье научило человечество изучать душу, которая для античного мыслителя была лишь конгломератом круглых атомов или аристотелевской формой тела, те. жизненной силой.

Пусть Бог только призрак. Но и тогда остается великая заслуга за средневековьем. Ведь, во-первых, этот призрак тогда остается все-таки в душе, во-вторых, он дает сильные духовные переживаниям и их анализ дает богатейший материал, относящийся к психологической маю ни.

Ведь для психолога совершенно не имеет значения, имеют ли реальную основу переживания - скорбь и радость. Ведь наши сновидения, окружающие нас роем призраков, заставляют нас страдать и радоваться не меньше, чем наяву от реально существующих предметов и людей.

В обоих случаях и скорбь, и радость в равном мере могут входить в лабораторию психологических наблюдений и опытов. И совсем не важно, приводит ли самоуглубление к зрению реально существующего Божества, важно то, что это самоуглубление ведет душу по новому, чуждому

440


античной мысли пути, по пути разнообразных психических переживаний, с которыми переплетаются яркие и смутные образы и понятия.

Пусть средневековье - это только сновидение, но согласитесь, что это сновидение прекрасно, что единичному человеку не суждено видеть таких сновидений. Евангелие - это только начало всей прекрасной драмы, которую продолжает средневековье. Если вся эта драма была во сне, то сон этот оказался для человечества имеющим больше значения, чем бодрствен-ная жизнь настоящего времени, эта жизнь бесполой души старика, отгоняющего от себя прошлое как одно лишь призрачное заблуждение.

§ 8. Искусство.

Тем же высоким чувством охвачена и душа средневекового художника. Никто не будет спорить, что техника средневековья уступает таковой эпохи Возрождения, а тем более современной. В средние века не было ни Рафаэля, ни Репина. Мало похожи на живых людей святые на иконах в их неестественных позах.

Можно ли сравнить Моисея Микеланджело с раскрашенными деревянными статуями в средневековых храмах? С точки зрения техники средневековье оказывается здесь на очень низкой ступени.

Но возьмите другую мерку.

Во всех этих технически несовершенных художественных творениях следует стараться уловить чувство художника, и если это удается, то открывается дивный мир средневековых переживаний, который светит в упомянутом выше письме Владимира Моиомаха.

Всмотритесь в Троицу и святых Рублева. Творческое воображение этого глубоко верующего художника создавало эти скользящие по облагай фигуры и именно в тех лозах, которые чужды земной жизни, но в которых они живут в мире божественных сказок, в мире этих легкокрылых ангелов со сказочно неясными и тонкими кистями рук.

И старые школы византийского письма скорее возбуждают религиозное чувство, чем прекрасно выполненные гартины Васнецова и Нестерова, к которым, несмотря на гениальность мастеров, не может уже вернуться погасающее религиозное чувство.

Но есть ли что-нибудь прекрасней готической архитектуры? И именно в ней, а не в скульптуре и живописи, наиболее ярко выявляются средневековые мысль и чувство, возносящиеся вместе с остроконечными колокольнями к небесам, к бесконечности, к Богу. В позднейшей пламенной готике о том, о чем говорит все здание, говорят и все мельчайшие его детали.

Вы скажете, что все это очень однообразно, что постоянно повторяется одна и та же мысль. И я согласен с тем, что интеллектуальное содержание здесь бедно. Но как богато эмоциональное! Одни и те же слова

441


можно петь на различные мотивы, и одна и та же, даже бедная, мысль может рождать различные полосы чувственных переживаний и связанных с ними образов,

И то же следует сказать о средневековой поэзии. Ведь все те же евангельские проповеди и события повторяются и в молитвах, и в религиозных стихах. Содержание бедно. Но как богат в них мир душевных переживаний!

Христос и Божья Мать являются св. Бернарду, Франциску и другим, но всякий раз в другом виде.

И в мрачных проповедях св. Бернарда, звучащих как погребальный колокол, и в кротких проповедях Франциска мы слышим разные мотивы, мы улавливаем разные чувства.

В прекрасной средневековой песне "Stabat mater dolorosa"1, как и в Троице Рублева, ярко светит средневековая верующая и ищущая подвига душа.

Ярче, чем самое вдохновенное стихотворение настоящего времени, она воскрешает, с одной стороны, на кресте образ подвижника, приносящего себя в жертву идее, с другой стороны - страдающую за сына мать, идущую вместе с сыном на великий подвиг.

£ 9. Эмбриология современной науки.

Я все говорил о воле и чувстве. Я указывал на то, что интеллектуально средневековье следует поставить ниже эпохи Возрождения. Но можем ли мы сказать, что здесь только пустое место!

Мы можем непосредственно проследить жизнь ребенка начиная с его рождения, но можем ли мы сказать, что до этого ничего ие было! Психологический подход к истории подводит нас к вопросам эмбриологии идей. И все основные научные идеи имеют свою, так сказать, утробную жизнь.

Математические идеи сперва родятся в форме смутных метафизических идей и только затем развиваются в математические, ищущие себе обоснования.

Эти эмбрионы всегда вначале имеют эмоциональную окраску, вызываются чувственными переживаниями. Сперва бесплодные, без всяких выводов, они подвергаются только анализу и пока ничего не объясняют. Чтобы они приобрели объясняющую силу, необходимо их дозревание. Более того, необходимо чтобы в борьбе за существование они взяли верх над другими многочисленными эмбрионами-идеями, подымающимися вместе с ними. И эти другие должны заглохнуть, как глохнет молодняк, из которого дорастают до большого дерева только избранные.

Но тонкое исследование средневековой мысли принадлежит будущему.

442


Ведь здесь приходится выслеживать мелкие ростки, порой очень мало похожие на те растения, в которые они потом обратятся.

И я уверен, что только тогда вместо постоянно подчеркиваемой бедности откроется богатство идеи, правда, находящихся только в эмбриональном состоянии. В иных случаях обнаруживается возможность экстраполирования, т.е. построения дальнейшего возможного развития задержанных в развитии идей.

Обычно стараются представить средневековую мысль совершенно бессодержательной, оперирующей только словами. Но здесь глубочайшее непонимание средневековья, которое оперирует ие словами, а понятиями. Я скажу более, что именно средневековье богато понятиями, что оно владеет тонкими их различиями, которые теряются следующими эпохами. Снллогастические операции рационалистов оказываются возможнымитоль-ко при упрощении этих понятий, при исключении всех тех плоскостей существования, на которых оперирует схоластическая мысль.

§10. Рождение бесконечности.

Укажем наиболее существенную заслугу средневековой мысли. Это - создание научного понятия о бесконечности, причем в этой бесконечности средневековая мысль находит себе смерть. Она в начале, так античная мысль, живет конечным, живет на земле, на которую опускается Бог, который страдает, как человек, но, оставляя землю, не порывает связь с ней.

Дантова вселенная с ее приближающимися к Богу сферами, со всей этой мировой гармонией, управляемой ангелами, так не похожа на современную вселенную - на этот мрачный ад, в котором гармоническое правильное движение планет является только исключением, а правилом- беспорядочное движение звездных потоков, в недрах которых происходит непрерывная гибель звезд н конечная судьба-которой - тепловая смерть.

Конечно, в дантову вселенную теперь уже никто не верит. Музыка сфер перестала звучать в наших ушах. Но согласитесь, что эти образы были прекрасны, и душа, их создавшая, была тоже прекрасна. И вот кристаллические сферы разбиты, и открылись пути к бесконечности...

Но вместе с тем Бог ушел от человека, он устремился ввысь, куда устремляются крыши готических колоколен и вместе с ними и душа средневекового человека.

Средневековая мысль должна была умереть вместе с исчезнувшей готической архитектурой. Но звук от оборванных струн слышался еще долго... И в настоящее время он еще слабо звучит, когда мы забываем о сутолоке современной жизни.

В полумраке средневекового мышления медленно совершается процесс рождения актуальной бесконечност,, которая мыслится сначала Богом, оказывающимся вне аристотелевых категорий, выше субстанции, а

443


потому и без формы, но это уже не несовершенство, как для античной мысли, а наоборот, признак высшего совершенства.

За бесконечностью Бога выдвигается бесконечность его творений, таге как бесконечной причине отвечает бесконечный эффект Таким образом, мысль подходит к бесконечности вселенной. Но средневековая мысль все-таки не выходит за границы античных кристаллических сфер и не решается объявить вселенную бесконечной. Даже Коперник еще не вполне освобождается от этих сфер.

Путь же в бесконечность открывает только Бруно, который уже вполне подходит к современному представлению вселенной, по мнению которого звезды такие же системы, как наше солнце, окруженкое планетами.

Следующий этап - это математическая бесконечность. Николая Кузаиского следует отнести к промежуточной степени, на которой математизируется космическая бесконечность.

Бог и его творение сперва только чувствуются, затем начинают мыслиться как сверхлогическая бесконечность, которая затем переносится в область логического.

Мы видим, чторшыбелью даже самых абстрактных идей является чувство. Из него родится и воля, приводящая к действию, из него родится и мысль.

Мы видим, что средние века, которые главным образом принадлежат чувству, были и колыбелью мысли. Наши абстракции, бледные как вечерний туман, постепенно обращающиеся в бессодержательные символы, которыми работает современная наука, как фабрик! работает колесами, - раньше были живыми, заставлявшими биться сердца, чувствами.

Поймем же, наконец, средние века, увидим в них юность человечества и пожалеем в них многое, что мы жалеем в нашей ушедшей и никогда уже не возвращающейся юности.


ПРИЛОЖЕНИЯ

/. МАТЕМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛИ.

В воскресенье, 1 апреля состоялось, при большом стечении публики, общее собрание Общества Естествоиспытателей при СКГУ, на котором были сделаны доклады, посвященные анализу ума и работы вычислителей и математиков в собственном смысле.

Ознакомление широкой публики с этими вопросами имеет важное значение вследствие переоценки феноменальных вычислителей в ту или другую сторону.

Основное положение, защищаемое в моем докладе "Психология математического мышления", состоит в том, что феноменальные вычислители, вроде Диаманди иИноди, признаются патологическими типами математического ума, в котором все психические элементы, необходимые для математика, даны, но только в ненормальных пропорциях: с гипертрофией некоторых из них в ущерб другим элементам числовой памяти, причем более воспринимающей, чем удерживающей. В подтверждение этого, я описал по своему самонаблюдению процесс собственной умственной работы, в котором выявились те же способности, но в несравненно мемыыей дозе, чем у Шишкина, и в большей, чем у нематсматиков. Демонстрирование воспроизведения большого числа знаков числа 71 сделано не столько для выявления хорошей числовой памяти у математика-гто(!)ессионала как для ознакомления с процессом воспоминания при нормальной ассоциа-тиеной памяти резко отличающейся от конкретно-зрительной памяти Н Н. Шишкина, демонстрировавшего такой же опыт.

Так как сила феноменальных вычислителей лежит в их числовой памяти, то в докладе главное внимание обращено на анализ памяти математика. Указано, что наряд)- с вычислителями типа Н. Н. Шишкина существует еще другой тип вычислителя, не обладающего феноменальной зрительной числовой памятью, а особой памятью на числовые отношения, быстротой в вычислениях, значительно превосходящий первый тип. В то время, как вычислители этого второго типа ие могут экспериментировать с рядами 5-б-значных чисел, читая их прямо, в обратном порядке, по диагонали, по спирали, - вычислители первого типа не могут выдержать "строчки", т.е, быстро идущего за словесным заданием производства ряда действий над двухзначными числами. Присутствовавший на докладе В. С. Ро-зенталь, обладающий редкой способностью быстрого счета, демонстрировал свои опыты быстрого счета, выдерживая длинную строчку, умножая пятизначные числа в 30 секунд, складывая длинный ряд пятизначных чисел мгновенно и т.д.

445


Дальше в докладе был произведен психологический анализ самого процесса математического мышления, обнаруживший огромную роль подсознательной работы в выборе и проверке гипотез, всплывающих затем за поры сознания. Проведена параллель между математиком и философом, как типом сознательного мыслителя. Исследован математический ум в отношении быстроты, остроты, глубины и широты. Выявлены три основные типа математического ума: алгебраический, геометрический и аналитический (иначе - логический), причем указаны "симбиозы" их способностей: первого с способностями филолога, второго - художника, третьего - философа. Присутствовавшим на докл. проф. А. И. Ющенко были даны ценные указания по предмету доклада кис относительно типов ума, нормального и патологического, так и относительно некоторых результатов психологического анализа докладчика, в особенности относительно апперцепции, которую проф. А. И. Ющенко понимает как процесс более слоленый, чем думает докладчик, включающий и подсознательные элементы.

Большой интерес возбудил доклад ассистента Ы. М. Нестеровича о приемах быстрого счета: умножения, возведения в степень, извлечения корней, как нечетной, так и четной степени. Эти приемы употребляются вычислителями, преимущественно имеющими математическое образование, как например, Н. Н. Шишкин. Эти приемы имеют и некоторое методическое значение, и знание их полезно и для преподавателей.

Такой доклад, конечно, не следует понимать в смысле разоблачения, аннулнрующего способности феноменальных вычислителей, которые в глазах математиков от этого становятся не менее интересными, являясь своего рода "математическими артистами", соединяющими свои удивительные способности с эстетическим элементом красивых приемов вычислений.

П. Эволюция понятия функции в прошлом и настоящем

1. Метафизическим предком функции, притом сперва функции от времени, является форма Дунса Скотта1 с формальностями, разрешающая спор о том, какой да аристотелевских элементов субстанции - материя или форма - изменяется при изменении субстанции. Формальности или формы форм при математизации становятся значениями ппременного.

  1.  Впервые это метафизическое понятие подвергается математизации у схоластика Орезма2 (ученика Оккама) в его учении о широтах н долготах.
  2.  Полную математизацию следует относить не к Декарту, а к Ньютону3 , которым флюэнта мыслится как функция универсального независимого переменного - времени.

446


  1.  Лейбницианская4 функция это то, что строится для точки кривой. Такое понимание является конструктивно-геометрическим.
  2.  Первоначальное эйлеровское5 понимание - это конструктивно-аналитчческое (фуикция=выра>1сение).

7. Принцип непрерывности Эйлера (т.е. продолжаемость графика за заданную дугу) соединяет оба направления Ньютона и Лейбница, т.е. динамическое и конструктивное.

  1.  Разрывные эйлеровскис функции подводят к графическому пониманию функции.
  2.  Динамическое" понятие функции от х (то, что меняется вместе с х), происходящее от флюэиты, никогда ие является в чистом виде, а всегда соединено с конструктивным.
  3.  К понятию функции, как соответствия, наука подходит только после развития теории множеств, причем далее у Дирихле7 оно не вполне выявлено и точная формулировка впервые повляется у Таннери.

10. Необходимость выхода из чисто конструктивного понятия не
сомненно сознается уже в ходе споров о функциях, выражаемых тригоно
метрическими рядами.

П. Понятие о многозначной функции вещественного переменного вполне выявляется только после создания Коши теории функции комплексного переменного.

  1.  Сужение понятия функции выставлением требования ее продолжаемости находим у Эйлера, Моргана8 в его постулатах и Вейерштрас-са:> в аналитическом продолжении функции.
  2.  Понятие функции Венерштрасса требует коренных изменений в теории дифереициальных уравнений, созданной на основании конструктивного ее понимания.
  3.  То, что следует признать за решение или интеграл при конструктивном понимании, уже может не явиться таковым при венерштрассо-вом.
  4.  Современная теория функций вещественного переменного, расширяющая понятие функции устранением ряда подразумевавшихся свойств (например, существования производной), ведет к изучению патологии дифереициальных уравнений, в которой и само диферсицлальное уравнение оказывается имеющим бесконечное число значений (в зависимости от кривых Q, "по которым" взята производная), решение же может содержать произвольности высших порядков. (Например, вместо произвольных по-стюянных—произвольные функции).
  5.  Интуитивистическая точка зрения Вейля10 суживает понятие функции и, ставя ее в зависимость от ее построяемости, вносит в ее понятие время и тем сближается с ньютоновским.
  6.  Препозиционную функцию в математической логике можно рассматривать как дальнейший путь к обобщению понятия функции.

447


Доложено на заседании Физико-Математической Конференции 29 сентября 1936 г.

III. Принцип достаточного основания в механике и в геометрии

  1.  Принцип достаточного основания, сформулированный Лейбницем и Вольфом, как метафизический принцип, допускает математическую формулировку и в ней - применения к механике и геометрии,
  2.  Прежде всего заслуживает внимания приложение его к выводу правила параллелограмма сил.
  3.  При лейбницианском определении параллельных, является возможным логический вывод аксиомы о параллельных с помощью принципа достаточного основания.
  4.  То же следует сказать о теории конгруэнции и подобия; за теорией подобия К. Вольфа остается хотя бы методическое значение.
  5.  Закон инерции, согласно Эйлеру, является следствием принципа достаточного основания.
  6.  Тот же принцип находит себе применение в теории удара.
  7.  


БИБЛИОГРАФИЯ

(По изданию: СЕ. Белозеров, СИ. Миссерова, В.А. Ткачева. Механико-математический факультет (библиографический сборник). Вып. 2. Ро-стов-иа-Дону. 1972.)

1898

Задачи по математике. Варшава. 1898-1899. Литографированное издание.

1899

Задачник по дифференциальному и интегральному исчислению. Харьков. 1899-1900. С. 197. Литографированное издание.

Задачи по приложениям дифференциального и интегрального исчислений. Варшава. 1899-1900. 384 с. (литогр.).

1900

Задачи по дифференциальному и интегральному исчислениям. Варшава. 1899-1900. 197 с. (литогр.).

Задачи по интегрированию функций. Варашава. 1900. 149 с. (литогр.).

1902

К теории абелевых интегралов. Протоколы заседаний и труды общества естествоиспытателей при Варшавском университете. XIII, 1902 //Протоколы отделения физики и химии. № 1. С. 3 (не иапеч.).

Об одном обобщении теоремы Абеля// Сообщения Харьковского математического общества. Серия 2. 1902. Т. 7. №6. С. 268-283.

Об инвариантных преобразованиях ультраэллиптических интегралов // Сообщения Харьковского математического общества. Серия 2. 1902. Т. 8, №1-3. С. 1-67.

1903

Задача по дифференциальным и интегральным исчислениям. Издана студ. М. Верейка. 1902/03. Варшвава. 1903. 210 с,

О некоторых биноминальных интегралах, приводимых к эллиптическим и ультраэллиптическим интегралам. Варшава. 1903. 10 с.

О приведении абелевых интегралов к ультраэллиптическим интецэалам первого класса// Известия Варшавского политехнического ин-та. 1903. Вып. 1. С 1-87.

1904

К учению Д. Бернулли о нравственном имуществе и нравственном ожидании // Протоколы заседаний и труды обцества естествоиспытателей при Варшавском университете. XIV, XV. 1903-1904. Протоколы отделения физики и химии. № 1. С. 8-11.

Систематический сборник элементарных упражиений по дифференциальному и интегральному исчислениям. Вып. 1. Теория пределов, дифференцирование и интегрирование функций. Варшава. 1904. 426 с.

То же на польском языке.

449


1905

О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным // Известия Варшавского политехнического института, 1905. Вып. 1. С. 1-96.

То же: Известия Варшавского политехнического института. 1905. Вып. 2, XV. 407 с.

Об определении в конечном виде абелевых интегралов // Математический сборник. 1905. Т. 26. Вып. 1. С. 51-94.

1906

О некоторых биноминальных интегралах, приводимых к эллиптическим и ультраэллиптическим интегралам // Протоколы заседания и труды общества естествоиспытателей при Варшавском университете. XIV, XV. 1903-1904. Протоколы отделения физики и химии. № 7. Варшава. 1906. С. 42-51.

О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным. Варшава. 1906. XV. 407 с.

1907

Математические и умозрительно-философские исследования основного психо-физического закона. Варшава. 1907. 52 с.

О законе непрерывности // Вопросы философии и психологии. 1907. Кн. 87 (2). С. 168-184.

Тоже:М. 1907. 19 с.

О кривизне плоских кривых. Варшава. 1907. 32 с.

О некоторых арифметических свойствах регулярных интегралов линейных дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1907. Т.26. Вып. 2. С. 130-198.

Об одном обобщении дифференциального уравнения Эйлера // Известия Варшавского политехнического института. 1907. Вып. 2. С. 1-15.

Общие исследования, относящиеся к интегрированию в конечном виде дифференциальных уравнений первого порядка// Статья 1. Сообщения Харьковского математического общества. Серия 2. 1907. Т. 10. № 1. С. 34-64.

Общие исследования, относящиеся к интегрнрованию в конечном виде дифференциальных уравнений первого порядка // Статья 2. Сообщения Харьковского математического общества. Серия 2. 1907. Т. 10. № 5, 6. С. 231-270.

Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям. Вып. 1. Теория пределов, дифференцирование и интегрирование функций. Варшава. 1907. 425 с.

1908

Курс дифференциального интегрального исчисления. Ростов-на-Дону. 1908. Листы 1-9 (литографированный курс).

О кривизне плоских кривых // Известия Варшавского политехнического института. 1908. Вып. 2. С. 1-32.

450


О преобразовании ультраэллиптических интегралов 1-го класса формы

( су+Р     _г Ах+В
л!Щу) л/Ш>0      // Сообщения Харьковского математического

общества. Серия 2. 1908. Т. 10. № 5-6. С. 202-216.

Практические упражнения по аналитической геометрии. Новочеркасск. Изд. студентов Донского политехнического ин-та. 1908.

Психология математического мышления // Вопросы философии и психологии. 1908. 19. Кн. 4 (94), С. 491-534.

1909

Аналитическая геометрия. Курс лекций. Варшава. 1909. (литографированный курс).

Арифметика теоретическая. Лекции, прочит, на 1 курсе Высших женских курсов при Варшавском университете. [Варшава!.1909. С. 50 (литогр.).

Василий Афанасьевич Аиисимов. Некролог // Известия Варшавского политехнического института. 1909. С. 1-14 с портр. Список печатных трудов 28 назв.

Курс дифференциального и интегрального исчисления. Варшава. 1909. Литографированное издание.

Курс дифференциального и интегрального исчислений. Лекции, читанные в Донском политехи, ии-те в 1908-1909 гг. Новочеркасск. Изд. студ. Джевулского. 1909. 398 с.

Курс дифференциального и интегрального исчислений. Новочеркасск. 1909. Листы 10-14. Литографированное издание,

Курс дифференциального и интегрального исчислений. Ростов-на-Дону, лит. И. Я. Алексаиова. 1909, 224 с. с черт.

О геометрических построениях с помощью алгебраических кривых. Варшава. 1909. 23 с.

О спрямляемой сумме дуг алгебраической кривой // Известия Варшавского политехнического института. 1909. Вып.1 С. 1-6.

Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений в конечном виде// Варшавские университетские известия, 1909, № 8. С. 1-16; № 9. С. 17-48.

Об одном приложении исследований Врио и Бую, относящихся к дифференциальным уравнениям первого порядка // Известия Варшавского политехнического института. 1909. С. 1-5.

Об одном свойстве абелевых интегралов с проводящейся системой периодов // Известия Варшавского политехнического ин-та. 1909. С. 1-7,

Общие исследования, относящиеся к интегрированию в конечном виде дифференциальных уравнений первого порядка // Статья 2. Харьков. 1909. 40 с.

451


1910

Две теоремы, относящиеся к алгебраическим кривым // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете. XXII. 1910, № 1-2. Варшава. 1910. С. 54-71.

Лекции по интегральному исчислению. Варшава. 1910. 215 с.

О геометрических построениях с помощью алгебраических кривых //Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете. XXI. 1909-1910. №4. Варшава. 1910. С. 180-202.

О геометрических построениях с помощью линейки при условии, что дана неизменная дуга круга с центром // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1910. № 522 (44 семестр № 6). С. 137-146.

О некоторых арифметических'свойствах решений алгебраических дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1910. Т. 27. Выл. 3. С. 360-406.

Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава. 1910. 40, 344 с.

Об интегрировании линейных дифференциальных уравнении в конечном виде//Варшавскиеуштерситетские известия. 1910. № 1. С. 49-96; № 2. С. 97-112; № 3. С. 113-152; № 4. С. 153-184; № 5. С. 184-216; № 6. С. 217-224; № 7. С. 225-232; № 8. С. 233-248; № 9. С. 249-280.

{Математические работы - в Annates de l'histiuit Polytechnique de Varsovie. 1900-1901], Revue semestrielle des publications mathemaliques. 1910, 1.18, p.2, p. 128-130.

[Математические работы - в Annates de I'Umversite Imperiale de Varsovie, 1900]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1910, t.18, p.2, p. 130-131.

[Математические работы - в Comptes Rendus et memoires de la Societe des Naturalistes a l'Uiiiversile de Varsovie. 1904-1906]. Revue semestrielle des publications mathematiqucs. 1910, 1.18, p.2, p. 131-132.

1911

Лекции no интегральному исчислению, чит, на 3 курсе Варшавского ун-та. Часть 2. Варшава, 1911, 74 с. (литогр.).

Лекции по определенным интегралам, чит. на 3 курсе Варшавского ун-та. Варшава, 1911, 67 с. (литогр.).

О взаимных метрических теоремах. Варшава, 1911, 22 с.

О геометрических построениях с помощью диска и линейки // Известия Варшавского политехнического института, 1911, №2. С. 1-6.

О некоторых интегральных уравнениях. Варшава, 1911, 10 с.

Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений в конечном виде//Варшавскиеуниверентетские известия, 19Ц, № 1. С. 281-343. Введение. С. 1-40.

452


Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Варшавские университетские известия, 1911, №8. С. 1-24; № 9. С. 25-47.

Отчет о командировке депутатом на столетний юбилей института инженеров Путей Сообщения ими. Александра I // Варшавские университетские известия, 1911. №4. С. 1-3.

(Математические работы -в Annalcs cle l'lnstitut Polylechnique de Varsovie. 1909]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1911, t.19, p.

1, p. 107-108.

[Математические работы - в Annates de l'Universite Imperiale de Varsovie,

1909 (4,5)]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1911, 1.19,
p. I, p. 109.

[Математические работы - в Annates de l'lnstitut Polyteclmique de Varsovie. 1910]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1911, 1.19, p.

2, p. 115.

[Математические работы - в Annates de l'Universite Imperiale de Varsovie,

1910 (6,8)]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1911, t.19,
p. 2, p.115.

[Математические работы - в Coinples Rendus et memoires de la Societe des Naturalistes a l'Universite de Varsovie. 1909]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1911, t.19, p. I, p.109.

[Математические работы - в Comptes Rendus et memoires de la Societe des Naturalistes a l'Universite de Varsovie. 1910]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1911, t.19, p. 2, p.115.

1912

Аналитическая геометрия. Курс лекций. 2-е изд. Варшава, 1912, 450+407 (литогр.).

Лекции по теории эллиптических функций, читанные на 4 курсе Варшавского ун-та в 1911-1912 ак. году. Варшава, 1912, 101 с. (литогр.).

О взаимных метрических теоремах // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете, XXIII, 1912, № 1-2. Варшава, 1912. С. 157-178.

О некоторых интегральных уравнениях // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете, XXIII, 1912, № 1-2. Варшава, 1912. С. 179-188.

О первом Всероссийском съезде преподавателей математики. Варшава, 1912,42 с.

Отзыв о кавдидатской диссертации В. Георгианова "Об эволютоидах" // Варшавские университетские известия, 1912. №9. С. 1-8.

Отзыв о диссертации В. И. Романовского на степень магистра чистой математики // Варшавские университетские известия, 1912. № 8. С. 1-21.

453


Отзыв о кандидатской диссертации А. Писецкого "Об алгебраическом интегрировании" // Варшавские университетские известия, 19.12. № 9. С. •1-8.

Отзыв о сочинении под девизом "Математик", поданном 19 января 1912 г. на тему: "Об арифметических свойствах степенного разложения алгебраических функций" //Варшавские университетские известия, 1912. № 9. С. 1-8.

Очерк научной деятельности И. П. Долбни // Математический сборник, 1912, т. 28, вып. 4. С. 473-491.

Случай и бессознательное // Вопросы философии и психологии, 1912, кн. I (Ш). С. 97-117.

Труды математического семинария Варшавского университета за 1911 г. Варшава, 1912, 96 с. (литогр.).

(Математические работы - в Annales de l'lnstitut Polyteclmiqiie cle Varsovie. 1911 (I)]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1912, t.2, p. I, p. 114.

[Математические работы - в Annales de l'Universite Imperiale de Varsovie, 1911 (2-6)]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1912, t.20, p. I, p. 120.

1913

К теории трансцендентных чисел // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете, XXV, 1913, № 1-2. Варшава, 1913. С. 49-59.

О пшерболоидалыюм расположении тетраэдров в связи с геометрией многообразия пятого порядка //Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете, XXV, 1913, № 1-2. Варшава, 1913. С. 100-110.

О научной деятельности А. Пуанкарэ // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете, XXIV, 1912, № 4. Варшава, 1913. С. 27-80.

О первом Всероссийском съезде преподавателей математики // Варшавские университетские известия, 1913, К« 3. С. 1-42.

Об интегрировании трансцендентных функций. Варшава, 1913, 276 с.

Об интегрировании трансцендентных функций // Варшавские университетские известия. 1913, № б, с. 1-4 и 1-16; № 7, с. 17-24; № 8, с. 25-128; № 9, с. 129-277.

Труды математического семинария Варшавского университета за 1912 г. Варшава. 1913. 134 с. (литогр.).

Труды математического семинария Варшавского университета за 1913 г. Варшава. 1913. 99 с. (литогр.).

Четыре лекции по философии математики, прочитанные на курсах для преподавателей средней школы летом 1912 г. Варшава, 1913 [2], IV, 78 с. с илл.

454


[Математические работы - в Annales de l'Universite Imperiale de Varsovie, 1911]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, L21, p. I, p. 123-125.

[Математические работы -в Annales de l'lnstitut Poly technique de Varsovie.

1911 (2,3)]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21,
p.
2, p. 122.

[Математические работы - в Annales de l'Universite Imperiale de Varsovie,

1912 (6-9)]. Revue semestrielle des publications mathemaliques. 1913,
t.21, p.
2, p. 122-123.

[Математические работы - в Comptes Rendus et memoires de la Societe des Naturalistes a l'Universite de Varsovie. 1912]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21, p. 2, p.123-124.

[О работе Romanowsky: Sur la theorie de l'integration des equations difiereiitielles partielles du second etdu troisieme ordre]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21, p. I, p.124-125.

[О работе Romanowsky: Sur l'integration de quelques types d'equations partielles du second ordre au moyen de methode d'Ampere]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21, p. 1, p.125.

Sur quelques equations integrals [автореферат]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21, p. I, p. 125.

Sur lntegration Hneares difFerentielles du second ordre [автореферат]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21, p. I, p.123-124.

Sur les theoremes metriques reciproques [автореферат]. Revue semestrielle des publications mathematiques. 1913, t.21, p. I, p. 125.

1914

Второй Всероссийский съезд преподавателей математики. Варшава, 1914, 82 с.

К вопросу об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений // Варшавские университетские известия, 1914, № 6. С. 1-65.

О гипертрансцендентности функций ф,Х). Варшава, 1913 //Известия

Варшавского политехнического ин-та, 1914. Вып. 2. С. 1-13.

Об алгебраических функциях, определяемых метациклическими уравнениями // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Варшавском университете, XXV, 1913-1914, № 3 и 4. Варшава, 1914. С. 81-96.

Отзыв Д. Д. Мордухай-Болтовского о кандидатской работе С. Хвялковско-го под названием 'О функциональных уравнениях", представленной в марте 1913 г.Варшава, 1914, И с.

Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям. Т. I. Дифференциальное исчисление. Изд. Ршсксра, 1914, XIV+356 с. с черт.

455


Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям. Вып. I, Теория пределов, днффе-ренциорование и интегрирование функций, Изд. Риккера, 1914, 425 с.

То же на польском языке.

1915

Аналитическая геометрия. Курс лекций. Изд. 3-е. Ростов-на-Дону. 1915. 671 с. (литогр.).

Второй Всероссийский съезд преподавателей математики. Философские, методологические и дидактические очерки по поводу докладов съезда //Варшавские университетские известил, 1915, № 1. С. 1-95.

Курс дифференциального и интегрального исчисления. Лекции, читанные в Варшавском политехническом ин-те в 1914-1915 гг. Изд. ст. В. Тарасова и В. Вершковского. Варшава, 1915, 365 с. (nитогр.).

Лекции по дифференциальному и интегральному исчислениям. Изд. 2-е. Варшава. 1915,365 с. (литогр.).

Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчисленям. Т. 2. Интегральное исчисление. Изд. Риккера, 1915, XVI+512 с.

1916

Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида // Математическое образование, 1916, № 7, с. 255-263; № 8, с. 277-289.

Лекции по аналитической геометрии. Курс, читанный студ, мат. 1-го курса Варшавского ун-та в 1915-1916 ак. году. Ростов н/Д, 1916, 172 с.

Лекции по интегральному исчислению. 4.1. Ростов н/Д, 1916, литогр.

О моделях ко второй книге "Начал" Евклида // Вестник опытной физики и элементарной математики, 1916, № 655-556, 18 с.

Очерк научной деятельности Н. Я. Сонина. Харьков, 1916, 34 с. с портр.

Очерк научной деятельности Н. Я. Сонина//Варшавские университетские известия, 1916, № 3, с. 1-32 с портр.

Этюды по планиметрической и стереометрической теории трансверсалей в связи с начертательной геометрией четырехмерного и пятимерного пространства // Варшавские университетские известия, 1916, № 3, с. 1-40.

1917

Границы вселенной //Вопросы философии и психологии, 1917, кн. 137, с. 61-101.

Теория подобия Вольфа и постулат Левека // Вестник опытной физики и элементарной математики, 1917, № 673-674 (второй серии, 7 семестра, № 1-2), с. 1.-13.

Ответ Kepouses на работу G. Loria: Sur un cas d'integrabilite en terms finis. L'intennediate des Matheniaticieiis, Paris, 1917, t.24, p. 130-132.

456


1918

Курс аналитической геометрии, читанный студентам Донского университета и курсисткам Высших женских курсов в 1917/18 ак. году. Ростов н/Д, 1918, 336 с. (литогр.).

1919

Начертательная геометрия и геометрические построения в ограниченной области (сообщение на заседании 24 апреля 1916г.) //Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Донском университете. Годы 1916-1918. Вып. 1. Ростов н/Д, 1919, с. 12. (не напеч.).

О гиперплоскосгном сечении гиперболоидов // Протоколы заседают общества естествоиспытателей при Донском университете. Годы 1916-1918. Вып. 1. Ростов н/Д, 1919, с. 16. (не напеч.).

О диаметрах плоских и пространственных кривых третьего порядка // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Донском университете. Годы 1916-1918. Вып. 1. Ростов н/Д, 1919, с. 16. (не напеч.).

О разложении целой трансцендентной функции на примерные множители (сообщение на заседании 8 декабря 1918 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Донском университете. Годы 1916-

1918. Вып. 3. Ростов н/Д, 1919, с. 12. (не напеч.).

Об аксиоматике XVII в. // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Донском университете. Годы 1916-1918. Вып. 1. Ростов н/Д,

1919, с. 16. (не напеч.). .

Об учреждении математического отделения Ростовского общества естествоиспытателей // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Донском университете. Годы 1916-1918. Вып. 1. Ростов и/Д 1919, с. 17-18.

Философско-математические идеи XVI века // Известия Донского университета, 1919, т. 2, с. 1-48.

1922

О геометрических построениях в пространстве Лобачевского. Самара. 1922, 11с.

Об апагогических доказательствах //Научный вестник (Ростов н/Д), 1922, № 1, с. 7.

1923

Surcertaines categories des nombres transcendents. Comptes renchis des seances de 1'Academic des Sciences, Paris, 1923, vol. 177, p. 475-478.

Sur le logarithme d'iui nombre algebrique. Comptes rendus des seances de 1'Academie des Sciences, Paris, 1923, vol. 177, 4 p.

1924

Некоторые теоремы о кривых второго и третьего порядка // Известия Донского университета, 1924, т. 4, с. 4-7. [Новочеркасск].

457


О диаметральных свойствах алгебраической кривой в геометрии Лобачевского //Известия Донского университета. 1924, т.4, с. 99-102. [Ростов н/Д].

То же: [Новочеркасск].

О пересечении алгебраических кривых // Известия Донского университета, 1924, т.4, с. 1-3. [Новочеркасск].

О разложении иа прииарные множители трансцендентной функции // Математический сборник, 1924, т. 31, вып. 3-4, с. 579-584.

Sur la transcendance de ? et de certains autres nombres. Comptes rendiis des seances de l'Academie des Sciences, Paris, 1924, vol. 179, p. 1020-1023.

Sur l'implissibilite d'une relation algebrique entre я et £ . Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, 1924, vol. .179, p, 1239-1242.

Sur quelques proprietes aritluuetiques des integrates des equations du premier ordre. Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, 1924, vol. 179.

1925

О летучках крылатых растений // Вестник Ростовского индустриального политехникума, 1925. (Из автобиографии, журнал РИТа).

О числовой характеристике утверждаемого тождества// Известия Донского увиверситета, 1.925, т. 7, с. 40-43.

То же: Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т.З. Ростов Н/Д, 1926, с. 11 (не напеч.).

Основания геометрии нсизогеиных и негомогенных пространств с точки зрения теории групп // Известия Донского университета, 1925, т. 7, с. 29-39.

Функции в арифметике // Общешкольный журиал. Орган школ взрослых повышенного типа. Ростов и/Д, 1925, № 1, с. 12.

[В разделе "Losungen": Die Aufgabe 16, поставленная Farber'oM (Jaliresbericht der deutsch. Mathematiker Vereinigimg, 1924, Bd. 33, H. 1/4, S. 27); дается решение Farber'a и Д. Д. Мордухай-Болтовского]. Jahresbericht der deutsch. Mathematiker Vereinigimg, 1925, Bd. 33, H. 9-12, Abtiehmg 2, 1925, S. 114-116.

[Ответы Kepouses на работу E. Dubouis: Sur Solution d'une equation diiTereutielle]. L'intennediaire des Mathematiciens, 2-е serie, 1925, t.4, p. 59.

Sur Ies facteurs primaires de lafonction entiere. Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, 1925, vol. 180, p. 191-194.

1926

Исчисление причин и исчисление мотивов (к философы! теории веорятно-стей. Сообщение на заседании 9 февраля 1925 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском универси-

458


тете. Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т. 3. Ростов и/Д, 1926. С. 13. (не напеч.).

Квадратичные диаметры и поляры кривых третьего порядка // Труды Северо-Кавказской ассоциации научно-исследовательских институтов, 1926, № 1. Институт математики и естествознания при Северо-Кавказском университете. Вып. 2. С. 19-39.

Краткий очерк жизни и научной деятельности II. И. Лобачевского (доклад на заседании об-ва естествоиспытателей при СКГУ 7 марта 1926 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете, Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т. 3. Ростов н/Д, 1926. С. 7.

Новые исследования по истории методики математики. (Отчет о научной командировке на заседании 3 ноября 1924 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т. 3. Ростов н/Д, 1926. С. 13. (не напеч.).

О геометрических построениях в пространстве Лобачевского. (Доклад на заседании 9 мая 1922 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т. 3. Ростов н/Д, 1926. С. И.

О гиперплоскостном сечении гиперконусов // Труды Северо-Кавказской ассоциации научно-исследовательских институтов, 1926, № 1. Институт математики и естествознания при Северо-Кавказском университете. Вып. 2. С. 17-28.

О задаче Шварца, относящейся кабелевым интегралам. Ростов н/Д, 1926, 39 с.// (Труды Северо-Кавказской ассоциации НИИ, № 1. Ии-т математики и естествознания при Северо-Кавказском ун-те. Вып. 2).

О научных трудах Феликса Клейна (по поводу его смерти). (Сообщение на заседании 2 ноября 1925 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т. 3. Ростов н/Д, 1926. С. 15. (не напеч.).

О некоторых приложениях эллиптических функций к кривым третьего порядка (докладна заседании 15 февраля 1923 г.). //Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Ростов н/Д, 1926, т. 3. Ростов н/Д, 1926. С. 12. (не напеч,).

Об академиках, работавших в области физико-математических наук (к двухсотлетию Российской Академии наук) // Известия Северо-Кавказского университета, 1926, т. 8, с. 111-118.

То же: Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете, годы 1919-1926. Т.З. Ростов и/Д, 1926, с.7 (не напеч.).

459


Об интегрировании в конечном виде дифференциальных биномов в случае иррациональных показателей // Известия физшю-математического общества при Казанском университете. Серия 3, т.1. Казань, 1926, с. 14-25,

То же; Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/Д, 1926, с.15 (не напеч.).

Об одевании поверхностей // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов и/Д. 1926. С. 13.

Об одном обобщении задачи Ж. Бертрана, относящейся к центральным силам (доклад на заседании 30 октября 1921 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете, Годы 1919-1926, Т.З. Ростов н/Д, 1926. СЮ.

Основные логические проблемы и Лобачевский (доклад на заседании общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете 7 марта 1926 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/ Д, 1926. С. 7. (не напеч.).

Памяти академию. А. А. Маркова (доклад на заседании 23 декабря 1922 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/Д, 1926. С. 12 (не напеч.).

Ueber hyperboloidische Lage zweier Tetraeder. Сборник Huygens, 1926, p. 10.

Sur I'applicfllion de la methode de Morgan aux equations partielles du troisieme ordre. (О приложении метода Моргана к дифференциальным уравнениям в частных производных 3-го порядка. Сообщение на заседании 10 мая 1926 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов и/ Д, 1926. С. 16, 46-46.

Sur la cosmogonic d'Arrenius, [Мысли математика о космогонии Аррениу-са. Сообщение на заседании 3 мая 1923 г.] // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/Д, 1926, С, 12, 40-41.

Sur la formule de Secrclan pour le calcul des logaritltmes. (О формуле Секре-тена и ей аналогичных формулах для вычисления логарифмов. Доклад на заседании 15 мая 1921 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/Д, 1926. С. 10, 38-39.

Sur la generalisation du theoreme d'Eisenstein, indiquee par Tchebyscheff. Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, 1926, vol. 182, p. 258-260.

460


Sur la mecanique dans l'espace Lobatczewskiemie. (Механика в пространстве Лобачевского. Сообщение на заседании 25 ноября 1923 г.) //Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/Д, 1926. С. 13, 41-43.

Surles proprietes arithiueliques des developpements holomorphes des junctions exprimables en termes finis. Bulletin des sciences mathematiques, 1926, vol. 50, p. 343-360 и 370-381.

Sur les syllogismes en logique et les hypersyllogismes en metalogique. (Силлогизмы в логике и металогике. Доклад на заседании общества 19 октября 1919 г.) // Протоколы заседаний общества естествоиспытателей при Северо-Кавказском университете. Годы 1919-1926. Т.З. Ростов н/ Д, 1926. С. 8, 34-35.

1927

Лобачевский и основные логические проблемы в математике. Речь на юбилее 100-летия открытия неевклидовой геометрии в Казани и Ростове-на-Дону // Известия Северо-Кавказского университета, 1927, т. 1(12), с.78-95.

Начертательная геометрия трехмерного и четырехмерного пространства гак метода геометрических построений в ограниченной области // Журнал физико-математического об-ва при Пермском ун-те, 1927, т. 4, с. 63-71.

О геометрических построениях в пространстве Лобачевского. Inmemoriam N.I. Lobatschevskii, vol. 2. Казань, Главнаука, 1927, с. 67-82.

О некоторых свойствах трансцендентных чисел первого класса.// Математический сборник, 1927, т. 34, вып. 1, с. 55-100.

Об арифметических свойствах интегралов дифференциальных уравнений первого поряди типа Пенлеве // Известия физико-математического общества при Казанском университете. Серия 3, 1927, т. 2, с. 1-13.

Der beweis der Unmoglichkeit des Ziehens eines Grosskreises mit dem Zirkel durch zwei Punkte auf einer Kugelflache. Jahresbericht der Deutsch. Mathern. Vereinigimg, 1927.

1928

Дюрер как художник и как математик. [Информация о заседании отделения математики и астрономии общества естествоиспытателей 12 мая 1928 г., посвящ. Дюреру] //Бюллетень научных о-в и учреждений Северо-Кавказского края, 1928, № 16/10, с. 5-6.

Из истории метода наложения в элементарной геометрии // Математическое образование, 1928, № 3, с. 107-113.

Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики // Известия Северо-Кавказского ун-та, 1928, т.З, с. 35-129.

461


Содержание: Введение, с. 35-36. -Два основных источника методов решения уравнений (XII в.), с. 36-46. -Генезис современного числа (XII в.), с. 47-66. -Первые шаги буквенной алгебры (юнец XVI в.), с. 66-83. -Аксиоматика XVII века (первая половина XVII в.), с. 83-102. -Генезис и история теории пределов (XVIII в.), с. 103-117. -Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой половины XIX века, с. 118-129.

Математики и вычислители. Сообщение о докладе на заседании общества естествоиспытателей и психологии математического мышления 13 апреля 1928 г. //Бюллетень научных обществ и учреждений Северо-Кавказского края, 1928, № 15/4, с. 4.

Метод исчерпывания // Математическое образование, 1928, № 6, с. 229-240.

О некоторых свойствах иррациональных преобразований алгебраических кривых // Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 ап-реля-4 мая 1927 г. М.-Л. ГИЗ, 1928, с. 201-205.

О школьных ошибках в математике // Отчет о деятельности математической конференции Научно-Педагогического о-ва Дальневосточного унта, 32, VI-XII. Владивосток, 1928, с. 85-90.

Об алгебраических площадях и объемах // Отчет о деятельности математической конференции Научно-Педагогического о-ва Дальневосточного ун-та. Владивосток, 1928.

Опытные вычисления в уме // Бюллетень научных обществ и учреждений Северо-Кавказского края, 1928, № 13, с. 2.

Paedagogia de puero et de adulta. Scienza e Vita, Milaiio, 1928.

Sur les proprieties diametrales de la couique gauche //Известия физико-математического общества при Казанском ун-те. Серия 3, 1928, т. 3, вып. 1, с. 25-35.

1*>29

Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем // Математическое образование, 1929, № 1, с. 19-34.

О примерных множителях целой трансцендентной функции бесконечного ряда // Журнал физико-математического о-ва при Донецком горном ии-те, 1929: т. 1, вып. 1, с. 40-50.

Об изогенности и гомогенности пространства // Отчет о деятельности математической конференции физикико-математического о-ва ДВГУ. Владивосток, 1929, с. 10.

Основания динамики материальной точки в пространстве Лобачевского // Научные известия Смоленского ун-та, 1929, вып. 1, с. 33-48.

Die Padagogie des Kindes mid die Padagogie des Erwachsenen. Zeitschr. f. Pad. Psych, 1929.

Methodica de demonst. Scholactico. Scienza e vita, Milaiio, 1929, № 6-7, p. 141-142.

462


Psychologia decocpob. matheni. Scienza evita, Milano, 1929.

Sue les forces centrales sous faction dosquelles le point d'ecrit une couique. Записки ([нзиго-математичну ыддщ. Кшв, 1929, т. 3, вип. 3, с. 17-26.

1930

Об одевании поверхностей // Сборник статей по математике Института математики и естествознания при Северо-Кавказском университете, 1930, вып.16, с. 21-52. (Труды Северо-Кавказской ассоциации научно-исследовательских институтов, № 77).

Про украшську та бшоруську математичну термшологйо в звязку з icropieio pociiicbKoi. Зб1рник математично-природописно-лпкарсько1 секци на-укового товарнства 1м. Шевченка, т. 28, 29. Львов1, 1930, с. 277-297.

1931

О школьном геометрическом доказательстве // Физика, химия, математика и техника в советской школе, 1931, № 1, с. 96-100.

Про особлшн точки спещальиих тишв функщй даних у виглвд Тау1ог'ового ряду (Sur les points singuliers des types specianx "des Junctions donnees par la serie de Taylor). Записки природнично-техшчного вцшлу. АН УССР, 1931, №3,с. 69-92.

De errores Scholastico in Machemax. Scieuza e vita, Milano, 1931, № 11-12, p. 297-303.

1932

Некоторые проблемы школьной геометрической терминологии // Физика, химия, математика и техника в советской школе, 1932, № 3, с. 49-54.

О новейших немецких учебниках по элементарной математике // Физика, химия, математика и техника в советской школе, 1932, № 1, с. 93-97.

О точечном множестве, проходимом любой алгебраической кривой // Математический сборник, 1932, т. 39, вып. 3, с. 120-128.

Про деяю задач1 iie6ecnoi мехашки в неевындовому npocropi // Журнал математического цикла АН УССР, 1932, № 1, с. 47- 70.

Das Theorem uber die Hypertranszendenz der Funktion C(b,x) U1,d einige

Veraligemeinerungen. The Tohoku Mathematical Journal, 1932, vol. 35,

p. 2. S. 19-34. Sege biogenetico in Malhemal. Scienza evita, Milano, 1932. The concept of Infinity-Historical and Critical Notes. Scripta Mathemalica,

1932, vol. l, № 2, p. 132-1.34.

1933 Genese und Geschichte der Limestheorie. Acchcion, Roma, 1933, vol. 15, 45-

72. Heterogome des fines in Mathemalica. Scienza e vita, Milano, 1933. Sur les modeles du second livre des elements d'Eucklide. Bologna Zonidolli,

1933,15 p. Estralto dal Periodico di matematiche storia-didattica-filosofia.

Maggio, 1933, S. 4, vol. 13, № 3, p. 169-183.

463


Sur quelques proprictes des transformations irrationelles des courbes algebriques. Зштаски Харгавського математичного товариства та Нау-шво-дослщного 1нституту математики и мехашки. Серия 4, 1933, т. 7, с. 25-37.

1934

О парашютах и планерах в растительном и животном царствах // Ученые записи! Ростовского ун-та, 1934, вып. 1, с. 1-14.

О пределе сумм // Ученые записки Ростовского ун-та, 1934, вып. 1, с. 99-100.

О трансцендентных числах с последовательными приближениями, определяемыми алгебраическими уравнениями // Математический сборник, 1934, т. 41, вып. 2, с. 221-232.

Об обращении определенных интегралов с помощью теории вычетов // Ученые записки Ростовского ун-та, 1934, вып. 1, с. 111-118.

Про будувапия за допомогою алгебр1чних кр!вых в Евклщовому I не Евклщовому просторах. Журнал математичного циклу Вссукрагнеькой Академи наук, 1934, т. I, вып. 3, с, 15-30.

L'attraction de la couche spherique et Ie monde quadridiinensional. ГПритяжение сферическим слоем в 4-мерный мир] //Известия физико-математического общества при Казанском ун-те. 1932-1933 гг. Серия 3,1934, т. 6, с. 80-87.

Origine etHistoiredeRegitlafaese. Scienza e vita, Milano, 1934, №6, c. 207-213.

Regula infiira. Scienza e vila. Milano, 1934.

Sur les constructions au inoyen de la regie et constructions de cercle fixe dont le centre et coniiu. Periodico di matlieinatiche Marzo. Ser. 4. Bologna, 1934, vol. 14, №2, p. 101-111.

Sur les facteurs primaires de la fonction entiere transcendente du genre infini. Записки Харивсыюго математичного товариства та Науково-дослщного 1нституту математики. Серия 4, 1934, т. 10, с. 77-85.

Sur les integrate abeliennes avec les systemes reductibles des periodes. Comptes rendus des seances de l'Academie des sciences, Paris. 1934, vol. 198, p. 1006-1008.

1935

Исследовательская работа по математике за десять лет в Ростовском университете. XX лет Ростовского-на-Дону университета. Ученые записки (юбилейный выпуск). Ростов н/Д, 1935, с 103-107.

Математика и логика в школе // Математическое просвещение. Сборник статей по элементарной математике и началам высшей, 1935, вып. 4, с. 113-128.

О штейнеровых построениях на сфере//Математический сборник, 1935, т. 42, вып. 5, с. 535-546.

464


Про ддаметральш властивосп алгебраичних кривих на сферь Журнал 1нституту математики Украшсысси Академн наук, 1935, № 2, с. 105-113.

Про необхщш умови зведения многограшшв задопомогою под1бних частиц. Журнал 1нституту математики Уцминсынн Академп наук, 1935, №2, с. 115-126.

Uber einige Eigenschaften- der transcendenten Zahlen. The Tohoku Mathematical Journal, 1935, vol. 40, p. 99-127.

Sur les courbures des ordres superieures des combes planes. Эйрник матема-тшно-природописио-лшарсьган секцп паукового товариства 1м. Шев-чеика. Львов, 1934, т, 30, с. 105-115.

1936

Геометрия радиолярий. Ученые записки Ростовского ун-та, 1936, вып.8, с. 1-91 с XIII табл.

О невозможности выражения в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных функций модулярных функций. Доклады Акад. наук СССР, 1936, т. 1, № 8, с. 307-310 (10).

Про дуги алгебричних кривых. Журнал 1нституту математики Украшськой Академн наук, 1936, № 2, с, 53-70.

Sur les reductions nionomes des integrates abeliennes. Annali di Matbematika pura ed applicata, Bologna, 1936, vol. 15, p. 47-75.

1937

Вводная статья и комментарии // В кн.: Ньютон Исаак. Математические работы. Пер. с латин., вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л., ОНТИ, 1937, с. V-XV, с. 263-416.

Метаалгебра // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25.

О мероморфной функции, определяемой степенным разложением с коэффициентами, равными алгебраическим числам или трансцендентным первого класса // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 26-27.

О нулях целой функции, определенной разложением с алгебраическими коэффициентами // Ученые записи! Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 41-42.

Скелеты радиолярий, с точки зрения сопротивления материалов // Ученые записи! Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 74-75.

Эволюция понятия функции в прошлом и настоящем // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 50-52.

Sur la resolution des equations differentieues de premier ordre en forme finie. Rendiconti del circolo mateinatico di Palermo, 1937, vol. 61, p. 49-72.

465


Sur quelques applications de la theorie analitique des equations differentielles a l'integration, en forme finie. Про деяш застосування аналтгак» Teopii дифферснщалышх ргвнянь яга можна ттегруват! в скшчеюий форш. Журнал 1нституту математики Украшсьмн Академн наук, 1937, № 1, с. 53-65.

1938

Измерение в геометрии и инверсия (лекции по спец. курсу для мат., прочитанные в РПИ в 1937-1938). Ростов н/Д, 1938, 100 с.

Методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам //Математика в школе, 1938, № 1, с. 34-40.

О заполнении неевклидовых пространств правильными многоугольниками и многогранниками // Сборник ученых -записок Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1938, т. 2, с. 35-37.

О некоторых формулах стереометрической теории траиверсалей // Известия Ростовского пед. ин-та, 1938, т. 9, с. 31-42.

Об абелевых интегралах, зависящих от пространственных кривых третьего и четвертого порядков // Сборник ученых записок Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1938, т. 2, с. 40-41.

Об иррациональных функциях, наименее отклоняющихся от нуля// Известия Ростовского пед. ин-та, 1938, т. 9, с. 19-23.

Об одной задаче Чезаро, относящейся к исчислению вероятностей //Известия Ростовского пед. ин-та, 1938, т. 9, с. 24-26.

Об одном обощеиии признака сходимости Куммфа //Известия Ростовского пед. ин-та, 1938, т. 9, с. 27-30.

Про властивост! косого чотирикутиика I гексаедра, одержуваних проекту-ванням в чотирим1риому просторе Журнал 1нституту математики Украшсько! Академп наук, 1938, № 1, с. 53-63.

Евклид и Лобачевский. Лекции по спец. курсу для матем., прочитанные в РПИ в 1937-1938 гг. Ростов н/Д, 1938, 61 с.

Sur les syllogismes en logique et les hypersyllogismes en Melalogique. Известия физико-математического общества и научно-исследовательского ин-та математики и механики при Казанском ун-те. Серия 3, 1938, т. 10, с. 161-173.

1939

Конспект лекций по основаниям геометрии, прочитанных в 1938-1939 гг. в РПИ. Ростов н/Д, 1939, 135 с.

Эллиптические функции. Ростов н/Д, 1939, 200 с.

1940

Высшая геометрия. Конспект курса, прочитанного в РПИ. Ростов н/Д. 1940, 151с.

466


Геометрия как наука о пространстве // Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 10-25.

Заметка о гипертрансцендентных числах // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском унте, 1940, т. 4, с. 117-118.

Заметка о теореме Принсгейма// Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1940, т. 4, с. 119-121.

Математические ошибки в науке и школе //Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 36-51.

Метациклические уравнения и абелевы интегралы // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1940, т. 4, с. 27-28.

Методика геометрических определений // Математика в школе, 1940, № 2, с. 1-8.

Методический коллоквиум при кафедре математики Ростовского пед. ин-та // Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 26-35.

Некоторые проблемы динамики материальной точки в неевклидовом пространстве// Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 126-157 с черт.

О кривизне на плоскости Лобачевского // Ученые записи! Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1940, т. 4, с. 29-30.

О неразрешимости в конечном виде с помощью элементарных функций трансцендентных уравнений Кеплера // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском унте, 1940, т. 4, с. 25-26.

О полуправильных телах // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1940, т. 4, с. 3-22 с черт. (13).

О росте трансцендентной функции, выражаемой в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных. Сборник, посвященный памяти академика Дмитрия АлександровичаГраве. М.-Л., ОГИЗ, 1940, с. 172-192.

Основные теоремы теории транверсалий на плоскости Лобачевского // Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с, 114-125 с черт.

Основные формулы теории транверсалий на плоскости Лобачевского // Ученые записки Научно-исследовательского института математики и физики при Ростовском ун-те, 1940, т. 4, с. 23-24.

1941

Математика в Ростовском университете. Ростовский университет. Юбилейный сборник. XXV, 1915-1940. Под редакцией СЕ. Белозерова. Ростов и/Д, 1941, с. 46-52.

467


О кривизне кривых на плоскости Лобачевского. Труды Ленинградского кораблестроительного ин-та, 1941, вып. 6, с. 77-96.

Основы арифиетики в середине XVIII века // Математика в школе, 1941, № 4, с. 1-5.

1946

Об условиях определяемости числа трансцендентными уравнениями некоторого общего типа // Доклады Акад. наук СССР, 1946, т.52, № 6, с. 487-490.

Поризмы и данные // Тезисы докладов к Совещанию по истории естествознания 24-26 декабря 1946 г. М., 1946, с. 161-172.

Sur les conditions pour qu'un nombre s'exprime su moyen d'equalions transcendantes d'un type general. Comptes rendus de l'Academie des Sciences de l'URSS, 1946, vol. 52, № 6, p. 483-486.

1947

Теорема Эйзенштейна для функций от многих переменных. Конференция научных работников Дона и Северного Кваказа. Тезисы докладов по математике, физике, прикладной механике, астрономии, органической и физической химии, неорганической и аналитической химии, геологии и петрографии, почвоведению и географии. Ростов н/Д, 1947, с. 3-6.

Трехмерный и четырехмерный аналогоны теоремы Паскаля. Конференция научных работников Дона и Северного Кавказа. Тезисы докладов по математике, физике, прикладной механике, астрономии, органической и физической химии, неорганической и аналитической химии, геологии и-петрографии, почвоведению и географии. Ростов н/Д, 1947, с. 7.

1948

Перевод и комментарии: Евклид. "Начала" Евклида. Пер. с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии М, Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. М.-Л., Гос. изд-во техн-теорет. литры, 1948, [т. I], кн. 1-6, 1948, 455 с. с черт, коммент. с. 219-446.

История и методика математического символа//Математика в школе, 1948, № 1, с. 24-28.

Обаспиратуревпедагог11ческ11хинсг1гг>'тах//Народноеобразоваш1е,1948, №4, с. 39-43.

Поризмы и данные // Труды Совещания по истории естествознания 24-26 декабря 1946 г. Под редакцией X. С. Коштоянца. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1948, с. 161-172.

1949

Перевод и комментарии: Евклид. "Начала" Евклида. Пер. с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского. М.-Л., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1949, [т. 2], кн. 7-10, 1949, 511 с. с черт, коммент. с. 255-510.

468


Косые проекции в четырехмерном евклидовом пространстве и их приложение к выводу стереометрических теорем. Научная конференция, посвященная 80-летшо университета. Тезисы докладов, вып. 2. Ростов н/Д, 1949, с. 87.

Кривая Бертрана в пространстве Лобачевского // Доклады Акад. наук СССР, 1949, т. 69, № 6, с. 729-730 (2).

О гипертрансцендентных функциях и гипертрансцендентных числах // Доклады Акад. наук СССР, 1949, т. 64, № 1, с, 21-24 (2).

О дугах алгебраических кривых, алгебраически связанных// Доклады Акад. наук СССР, 1949, т. 68, № 6, с. 993-995 (4).

О случаях центрального движения, разрешимых в элементарных трансцендентных и в эллиптических интегралах// Доклады Акад. наук УССР, 1949, №3, с. 3-8(8).

О специфических уравнениях кривых // Ученые записки Ростовского пед. ин-та, 1949, вып. 1, с. 5-14.

Принцип достаточного основания в механике и геометрии. Научная конференция, посвященная 80-летшо университета. Тезисы докладов, вып. 2. Ростов н/Д, 1949, с. 86.

1950

Перевод и комментарии: Евклид. "Начала" Евклида. Пер. с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского щт ред. участии М. Я. Выгодского И И. Н. Веселовского. Изд. 2-е стереотипное. М.-Л,, Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1950, [т. 1], кн. 1-6, 1950, 447 с. с черт.

Перевод и комментарии: Евклид. "Начала" Евклида. Пер. с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского. М.-Л., Гос. изд-во техн-теорет. лит-ры, 1950, [т. 3], кн. 11-15,1950, 331 с. с черт, коммент. с. 161-330.

Косые проекции в четырехмерном евклидовом пространстве и приложение их к выводу стереометрических теорем // Ученые записки Пятигорского пед. ин-та, 1950, т. 7, с. 25-31.

О псевдоцикле на плоскости Лобачевского // Ученые записки Пятигорского пед. ин-та, 1950, т, 7, с. 13-24.

Принцип непрерывности и его методическое значение // Ученые записки Пятигорского пед. ин-та, 1950, т. 7, с. 3-12.

1951

О кривизне плоских кривых в пространстве Лобачевского. Наумш записки Кшвського Державного ун-та, 1951, т. 10, вип. 1. Математичний зб!рник, № 5, с. 43-52 (1).

Об одной арифметической задаче, относящейся к абелевым интегралам // Ученые записки Ростовского ун-та, 1951, т. 14. Труды физико-математического факультета, вып. 1, с. 31-39 (2).

469


Об условиях рациональности в данной области чисел, выраженных радами // Ученые записки Ростовского ун-та, 1951, т. 14. Труды физико-математического факультета, вып. 1, с. 41-47 (2).

Параллельность и перпендикулярность прямых плоскостей и гиперплоскостей в трехмерном и четырехмерном пространствах Лобачевского // Успехи математических наук, 1951, т. б, вып. 4, с. 176-183.

Теорема Понслэ на плоскости Лобачевского и эллиптические интегралы // Доклады Акад. наук СССР, 1951, т. 77, № б, с. 961-964 (3).

1952

Из прошлого аналитической геометрии // Труды института истории естествознания Акад. наук СССР, 1952, т. 4, с. 217-235.

О кривизне пространственных кривых в пространстве Лобачевского // Математический сборник, 1952, т. 30, вып. 3, с. 483-508 (12).

Посмертные ИЗДЛНШ1

1953

Трехмерный и четырехмерный аналогон теоремы Паскаля // Успехи математических наук, 1953, т. 8,. вып. 2, с. 135-138.

1954

Геодезические линии эллипсоида в неевклидовом пространстве // Доклады Акад. наук СССР, 1954, т. 94, № 6, с. 991-993.

О дуге кривой второго порядка на плоскости Лобачевского // Доклады Акад. наук СССР, 1954, т. 95, № 3, с. 449-450.

1955

Начертательная геометрия в пространстве Лобачевского. Методы начертательной геометрии и ее приложения. М., Гостехиздат, 1955, с. 305-310.

1957

Стереометрические обобщения теоремы Фаньяно // Ученые записки Ростовского пед. ин-та, 1957, вып. 4, с. 25-30.

Пример псевдоэллиптического интеграла // Ученые записки Ростовского пед. ин-та, 1957, вып. 4, с. 31-33.

• Рукописи • До математической логике, философии н аксиоматике

Актуальная бесконечность и ряды. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Из истории континуума. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Из истории трех основных законов логики. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Истина и реальность. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Кардинальные и ординальные числа в науке и в методике. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Логика и металогика. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

470


Математическая аксиоматика и Гегель. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Метаалгабра и металогика. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. №21, 52 с.

Металогика. Часть 1. Металогика гиперпредложений. (1948). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Общие схемы аксиоматического исследования. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Основные понятия механики в схоластике [1947]. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Принцип достаточного основания. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Реализм и номинализм в схоластике и математике. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Схоластика и математика. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Философия математики Гегеля (1936). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1, 40 с. По теории чисел, математическому анализу и теории функций

О гипертрансцендентности функций, определяемых степенными разлоясе-ниями (1948). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

О гипертрансцендентиых функциях гипертраисцендентных чисел. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О методе Эрмита доказательства иррациональности £ и л . Лекции по эллиптическим функциям (ч. IIII, литографированный экземпляр). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

О некоторых арифметических задачах, относящихся к тригонометричес
ким и эллиптическим функциям. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд
821, оп. 1.
 ол

О неразрешимости некоторых диофаитовых уравнений в целых функциях (с замечаниями рецензентов). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О периодах мероморфной функции от нескольких переменных (1949). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

О периодах мероморфных функций от двух независимых переменных. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

О приведении интегралов, зависящих от биномов; к эллиптическим. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

О признаках выражасмости чисел через трансцендентные построения различных классов. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Об аналитических и конструктивных свойствах функций в связи с арифметическими свойствами коэффициентов их степенных разложений. (1949). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

471


Об интегрировании в конечном виде эллиптических функций. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об иррациональности значений некоторых функций при рациональных значениях переменного. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об обобщениях теоремы Сколема, относящихся к алгеброидам. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об особенных точках трансцендентных кривых первого класса (1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об условиях рациональности в данной области чисел, выраженных рядами (1945). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Основное свойство алгеброида, принимающего целые алгебраические значения при целых алгебраических значениях переменного. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Теорема Эйзенштейна для функций от многих переменных. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

По геометрии

Аналогены тождества Шаля. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп, 1.

Заметка о иыотонианском диаметре алгебраической кривой. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Заметка о полярных и диаметральных свойствах алгебраических поверхностей. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821. ол. 1.

Заметка о теореме Шаля. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Конспект лекций по основаниям геометрии, прочитанных в Ростовском педагогическом институте в 1938-1939 учебном году. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Лекции по специальному курсу элементарной математики, прочитанные в Ростовском пед. ин-те в 1937-1938 уч. г. (ч.1 - "Евклид и Лобачевский"; 4.2-"Измерение в геометрии и инверсия"). Литографированннй экземпляр. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Некоторые теоремы о диаметральных плоскостях алгебраических поверхностей. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О невозможности деления дуги большого круга на сфере с помощью круго
вой линейки. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.
 N

О стереометрических аналогонах теоремы Фаньяно (1950). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О трехмерных аналогонах теорем Бриаишоиа и Паскаля, относящихся к октаэдру и гексаэдру, и соответственные аналогоны в четырехмерном, Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Обратные теоремы в диаметральных свойствах алгебраических кривых (1948). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

472


Основные свойства асимптот алгебраических пространственных кривых (1949). Архив АН СССР, Ленингр. отд„ фонд 821, он. 1.

Приложение теоремы Абеля к исследованию зрительных свойств алгебраических кривых. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Стереометрический аналогон второй книги "Начал" Евклида. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

По неевклидовой геометрии и механике

Геодезические линии эллипсоида в неевклидовом пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Геометрография в трехмерном и четырехмерном евклидовом и неевклидовом пространстве (1950). Архив АН СССР, Ленинцу, отд., фонд 821, оп. 1.

Звездные многогранники в неевклидовом пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on, 1.

Кривые третьего порядка на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Начертательная геометрия в пространстве Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Некоторые кинематические теоремы в четырехмерном как евклидовом, так и неевклидовом пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Некоторые кинематические теоремы на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Некоторые теоремы об алгебраических кривых на плоскости Лобачевского (1946). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О дуге кривой второго порядка на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О круговых сечениях и прямолинейнообразующих алгебраических поверхностей в евклидовом и неевклидовом пространствах и их аналогонах в четырехмерном пространстве (1948). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О луночках Гиппократа на плоскости Лобачевского (1950). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О некоторых свойствах асимптот алгебраических кривых на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

О некоторых теоремах, относящихся к треугольнику на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О некоторых формулах геометрии Лобачевского, выводимых из геометрических тождеств. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О парах и сверхпарах сил на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр, отд., фонд 821, оп. 1.

473


О правильных многогранниках и правильных пшергранниках в трехмерном и четырехмерном неевклидовых пространствах. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О псевдоцикле на плоскости Лобачевского (1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд,, фонд 821, on. 1.

О равновесии гибкой и нерастяжимой нити на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. I.

О стационарных точках кривых второго порядка на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об аналогонах теоремы Пифагора на неевклидовой плоскости. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об углах и полосах и их стереометрических аналогонах в пространстве Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об уравнениях движения материальной точки в неевклидовом пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Параллельность и перпендикулярность прямых плоскостей и гиперплоскостей в трехмерном и четырехмерном пространствах Лобачевского (о трех вариантах). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Правильные тела в пространстве неевклидовом. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Соотношение между диагоналями и сторонами четырехугольника на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. I.

Соотношение между хордами окружности на плоскости Лобачевского. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Теория поверхностей в пространстве Лобачевского (1946). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

По многомерной геометрии » механике

Аксонометрия четырехмерного пространства. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Деление пшерпространства гиперплоскостями. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Динамика системы точек при двухмерном времени. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Комбинированная задача, относящаяся к пшерпространству. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Косые проекции в четырехмерном евклидовом пространстве и приложение их к выводу стереометрических задач. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1,

Кривизна кривых в четырехмерном евклидовом пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Кристаллические формы в четырехмерном пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1,

474


Некоторые теоремы из теории трансверсалей трехмерного и четырехмерного пространства. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. I.

О некоторых свойствах гипергранников. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О некоторых свойствах пентаэдроида (1950). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1,

О сферах и гиперсферах, объемлющих замкнутые многообразия в пространстве. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О четырехмерном аиалогоне многогранника Вейля. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

О шаровых сечениях и плоскостных образующих гиперповерхностей второго порядка. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об аналогонах в т\ -мерном евклидовом пространстве теоремы Дезарга (1950). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Об одевании гиперповерхностей в четырехмерном пространстве. Архив АН СССР, Ленингр, отд., фонд 821, оп. 1.

По математической биологии

Биологическая аксиоматика. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Вариационные задачи в биологии. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Геометрия и механика водорослей. Архив АН СССР, Ленингр, отд., фонд 821, оп. 1.

Деление яйца и планиметрические конфигурации. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1,

Кривые и поверхности в биологии. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Некоторые механические задачи, относящиеся к скелетам радиолярий. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. I.

О движении водных организмов. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Органические формы в четырехмерном пространстве, Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Проблемы о сферах и кругах в биологии. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

По методике математики

Анализ и синтез в методике математики. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Геометрические модели в средней школе. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

Геометрические построения в школе (1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821 Ion. 1.

475


Дидактика опроса ученика по математике (1947). Архив АН СССР, Ле-

нингр. отд., фонд 821, оп. 1. Исторический материал при преподавании математики в средней школе

(1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Логика построения математической школьной дисциплины (1947). Архив

АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Математическая мнемоника. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821,

оп. 1. Методика дифференциальных уравнений первого порядка. Архив АН СССР,

Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Методика формальных операций при решении уравнений первой степени

(1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Мнение о программах педагогических институтов (конец отсутствует).

Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1. Научная строгость и методика математики (конец отсутствует). Архив АН

СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Неразрешимые задачи в науке и школе (1947). Архив АН СССР, Ленингр.

отд., фонд 821, on. 1. О разложении на множители (1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд

821, оп. 1. Прошлое, настоящее и будущее методики математики. Архив АН СССР,

Ленингр. отд., фонд 821, on. 1. Психология детского рисунка и школьного чертежа. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Психология математического мышления. Архив АН СССР, Ленингр. отд.,

фонд 821, оп. 1. Психофизический закон и приложение его к педагогике. Архив АН СССР,

Ленингр. отд., фонд 821, оп; 1, № 13, 11 с. Решение треугольников без тригонометрическо-логарифмических таблиц

(1947). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Установка понятия в тригонометрических величинах (1947). Архив АН

СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Эвристическая метода при преподавании математики в школе. Архив АН

СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

По истории науки Античные геометрические проблемы. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд

821, оп. 1. Аристотель и математика. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1. Введение к сборнику работ по истории математики. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Геометрия без аксиом. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. I. Закон гетерогонии целей в истории математики. Архив АН СССР, Ленингр.

отд., фонд 821, оп. 1.

476


Из истории дробей (1948). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on.

1. Из истории объемов и поверхностей. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд

821, оп. I. Из истории эйлеровых и лежандровых функций. Архив АН СССР, Ленингр.

отд., фонд 821, оп. 1. Из прошлого аналитической геометрии. Архив АН СССР, Ленингр, отд.,

фонд 821, oп. 1. Интегрирование функций в различные эпохи. Архив АН СССР, Ленингр.

отд., фонд 821, оп. 1. История касательной. Архив АН СССР, Ленинпз. отд., фонд 821, on. 1. История логарифма отрицательного числа. Архив АН СССР, Ленингр. отд.,

фонд 821, on. 1, №27, 25 с. Основания геометрии в XVI в. (1929). Архив АН СССР, Ленингр. отд.,

фонд 821, оп. 1. Очерки из истории обыкновенных дифференциальных уравнений. Архив

АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Происхождение иррационального числа. Архив АН СССР, Ленингр. отд.,

фонд 821, оп. 1. Происхождение понятия пространства. Архив АН СССР, Ленингр. отд.,

фонд 821, on. 1. Пять основных этапов развития анализа бесконечно малых. Архив АН

СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Сущность и происхождение аналитической геометрии. Архив АН СССР,

Ленингр. отд., фонд 821, on. 1. Угол касания. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1. Евклид и учебник (1938-1939). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821,

оп. 1. Эволюция понятия функций. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821,

оп. 1. Эволюция русской математической терминологии. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, oп. 1.

По ПСИХОЛОГИИ

Психология и Метафизика Сновидений. Ростов. 1949 г., 236 стр. рукописного текста. Личный архив Л.Ф. Болтовской.

По генеалогии

О великорусском элементе в литовско-русском боярстве XVI в. (1929). Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Об образовании белорусских фамилий. Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Отзывы о научных трудах других лиц

Отзыв о научных трудах; С, П. Волков "Параллельные проекции и родственные фигуры". Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. 1.

477


Отзыв: Н. А. Колмогоров. "Геометрия тетраэдра евклидова и неевклидова пространства". Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, on. I.

Отзыв о диссертации: А. Т. Подколозин "Рост целой функции в зависимости от ее арифметических свойств". Архив АН СССР, Ленингр. отд., фонд 821, оп. 1.

Литерала о Д. Д. Мордухай-Болтопском:

Александров А. Д. Геометрия. БСЭ, Изд. 2-е, т. 10, 1952, с. 546.

Александров А. Д. Лобачевского геометрия. БСЭ, Изд. 2-е, т. 25, 1954, с. 320. Башмакова И. Г., Ожигова Е. П. Исследования по истории математики // Вопросы истории естествознания и техники, вып. 3-4. М. Наука. 1971. С. 9, 12, 13, 16. Башмакова И. Г. и Маркушевич А. И. "Начала" Евклида. БСЭ, Изд. 2-е, т. 29, 1954, с. 311 (8).

Бермант А. Ф. и Маркушевич А. И. Теория функций комплексного переменного. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. М.-Л. ОГИЗ. 1948, с. 378, 381, 382.

Боголюбов А. Н. Розенфельд Б. А. и Юшкевич А. П. История математики. История отечественной математики в четырех томах, 1917-1967, т. 4, кн. 2. Киев, "Наукова думка", 1970, с. 458,459-461,463, 468,490,495.

Боголюбов А. Н. Розенфельд Б. А. и Юшкевич А. П. История математики. История отечественной математики в четырех томах, т. 3, 1917-1967. Киев, "Наукова думка", 1968, с. 14, 28, 76, 134, 157.

Буймола Г Л. Проективная геометрия. История отечественной математики в четырех томах, т. 3, 1917-1967. Киев, "Наукова думка", 1968, с. 430, 431.

Бюшгенс С.С. н Глаголов А. А. Синтетическая геометрия. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. М.-Л. ОГИЗ. 1948, с. 940, 946, 948, 949, 952.

Выгодский М. Я. "Исследования" Мордухай-Болтовского. О книге Д. Д. Мордухай-Болтовского "Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики". На борьбу за материалистическую диалектику в математике. М.-Л., Гос. иауч.-техн. изд-во, 1931, с. 183-191.

Выгодский М. Я. О новых работах проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского. (Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики). Естествознание и марксизм, 1929. № 3, с. 154-160.

Гельфоид А. О. Теория чисел. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. М.-Л. ОГИЗ. 1948, с. 63, 64.

Геометрические построения. БСЭ, Изд. 2-е, т. 10, 1952, с. 532-533.

Добровольский В. А. иПясковский Б. В. Математика в Ростовском университете. Варшавском, Донском и Рижском политехнических институтах. История отечественной математики в четырех томах, т. 2, 1801-1917. Киев, "Наукова думка", 1967, с. 527, 528, 530, 531, 559, 565, 567, 568,572,584,588,593.

478


Ефимов Н. В. Геометрия "в целом". Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1/М. Физматгиз. 1959, с. 952.

Каган В. Ф. Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития. Ч. 1. Геометрия Лобачевского и ее предыстория. М.-Л. Гостехиздат, 1949. [О Д. Д. Мордухай-Болтовс-ком, 35, 40, 80, 85, 196, 376, 377, 378, 379, 384, 385, 388, 395, 477, 478].

Кирищеев Р. И. Об одной теореме Д. Д. Мордухай-Болтовского. Успехи математических наук, 1956, т. 11, вып. 1, с. 207-208 (6).

Лозинский С. М. и Натансон И. П. Метрическая и конструктивная теория функций вещественной переменной. Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1. М. Физматгиз. .1959, с. 378.

МамееваТХ, Налбандян М.Б. О некоторых неопубликованных работах Д. Д. Мордухай-Болтовского // Наука, и техника. Вопросы истории и теории. Материалы годичной конференции Ленинградского отделения Советского национального объединения истории и философии естествознания и техники. Ленинград. 1971, вып.6, стр. 101.

Мандзюк А. И. О некоторых теоремах проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского и японского математика Огайо Судзуки // Труды научно-технической конференции Военно-трансп. акад., т. 2. Л. 1938, с. 61-64.

Метелька И. Замечания к статье Д. Д. Мордухай-Болтовского "Трехмерный и четырехмерный аналогон теоремы Паскаля". [Успехи математических наук, 1953, т. 8, вып. 2]. Успехи математических наук, 1954, т. 9, вып. 3, с. 3S3-384.

Мииковский В.Л., Мокрищев К.К., Налбандян М.Б., Хапланов М.Г. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (к 100-летию со дня рождения) // Вопросы Истории Естествознания и Техники, вып. 3-4 (56-57) 1977 г., стр. 103.

Минковский В. Л. К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского // Математика в школе, 1949, №2, с. 45-47спортр.

Мордухай-Болтовский Д. Д. (1876-1952). [Фонд принят от сына Ф. Д. Мордухай-Болтовского по частям в 1953-1955 гг. 1929-1950 гг. 157 ед. хр. Ленинградское отд.]. Архив Академии наук СССР. Обозрение архивных материалов, т. 4. М.-Л. АН СССР, 1959, с. 17-20 (2). (Труды Архива АН СССР, вып. 16).

Известия Северо-Кавказского университета, 1928, т. 3 (15), 231 с. спортр. Посвящается 30-летнему юбилею научно-педагогической деятельности Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского.

Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 2. Библиография. М. 1959, с. 479 (113).

Несторович Н. Геометрический кабинет СКГУ в его прошлом и настоящем //Известия Северо-Кавказского университета, 1928, т. 3 (15), с. 22-30.

479


Несторович Н. К 30-летию научной и педагогической деятельности проф. Дмитрия ДмитриевичаМордухай-Болтовского //Известия Северо-Кавказского университета, 1928, т. 3 (15), с. 3-6 с портр.

Несторович Н. О работе методического Colloquium'a по математике при Геометрическом кабинете СКГУ, руководимой проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским // Известия Северо-Кавказского университета, 1928, т. 3 (15), с. 31-34.

Несторович Н. О работе математического Семинария Варшавского и Донского университета, руководимого проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским, за 14 лет его функционирования. 1911-1924 гг. // Известия Северо-Кавказского университета, 1928, т. 3 (15), с. 12-21.

Несторович Н. По поводу 40-летия научной, педагогической и общественной деятельности проф. Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского //ИзвестияРостовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 3-9.

Несторович Н. Список печатных работ проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского //Известия Северо-Кавказского университета, 1928, т. 3 (15), с. 7-12.

Рогаченко В. Ф. Рецензия на кн.: -'Начала" Евклида. Пер. с греч. и ком-мент. Д. Д. Мордухай-Болтовского //Вопросы элементарной и высшей математики, 1952, вып. 1, с. 92-95.

Руссьян Ц. К. Об ответе Д. Д. Мордухай-Болтовского на мою рецензию его докторской диссертации. ["Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений"]. Записки Харьковского ун-та, 1915, кн. 1, [разд.1 Приложение, с. 1-12.

Руссьян Ц. К. Отзыв о диссертации Д. Д. Мордухай-Болтовского "Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений". Записки Харьковского ун-та, 1913, кн. 3, ч. офиц., с. 51-57.

Саморуков Б.Н., Степанова А.С. Д. Д. Мордухай-Болтовской о зарождении и развитии математических идей //Историко-математические исследования, №32 М, 1993.

ХаплаиовМ. Г. Вьщающийся математик Д. Д. Мордухай-Болтовской (1876-1952). Ростовский государственный университет. 1915-1965. Статьи, воспоминания, документы. Отв. ред. С. Е. Белозеров. Ростов н/Д, Изд-во Рост, ун-та, 1965, с. 145-160.

Цыганкова Э. Г. и Ковальчук Л. В. Советские математики (краткий биографический словарь). История отечественной математики в четырех томах, т. 4, ки.2, 1917-1967. Киев, "Наукова думка", 1970, с. 597.

Чалый А. Т. Начертательная геометрия. История отечественной математики в четырех томах, т. 3, 1917-1967. Киев, "Наукова думка", 1968, с. 435 (635, 690, 691).

Черняев М. Н. Проф. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской // Математика в школе, 1952, №> 4, с. 4-5 с портр.

Черняев М. П., Несторович Н. М. и Ляпин Н.. М. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (1876-1952) // Успехи математических наук,

480


1953, т. 8, вып. 4 (56), с. 131-139, 1 портр. Список опубликованных работ Д. Д. Мордухай-Болтовского, с. 134-139 (162).

Четверухин Н. Ф. Начертательная геометрия. Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1. М. Физматгиз. 1959, с. 895, 896, 897.

Юшкевич А. П. История математики. Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. М.-Л. ОГИЗ, 1948, с. 996, 1000, 1005, 1006, 1008, 1009.

Юшкевич А. П. История математики. Математика в СССР за сопок лет. 1917-1957, т. 1. М. Физматгиз. 1959, с. 957, 960, 965, 966.

Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. М. Наука. 1968, с. 49, 308, 313, 315, 385, 386, 433, 437.

Юшкевич А. П. Новые издания классиков математики. [Евклид. "Начала" Евклида, Пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского,] Успехи математических наук, 1949, вып. 2, с. 217-218.

Mlodziejowski В.К. [О работе Mordouhay Boltovskoy: Sur quelques proprieies arithmetiques des soleotions cles equotious dlHerentielles algebriques. Annales de 1'ecole normale superieure, t. 27, 1910]. Revue semestrieUe des publications inathemaliques, 1912, t. 20, p. 2, p. 107.

Мордухай-Болтовской Д. Д. Белозеров С. Е. Математика в Ростовском университете. Историкс-магвматические исследования, 1953, вып. 6, с. 247, 260, 261-262, 267,277, 278,285, 308, 312-318, 320, 321, 327-330, 333, 335-337, 341, 342, 344-349 с портр.

Мордухай-Болтовской Д. Д. Белозеров С. Е. Очерки истории Ростовского университета. Ростов н/Д, Изд-во Рост, ун-та, 1959, с. 223, 224,


Примечания

Биографический очерк

1     Об истории рода Мордухай-Болтовских см: Annuaire de la Noblesse de

Russie. St.Petersbourg. 1900. Прим. ред. 1     МГ.Хапланов, Э. Д.Болтовская. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Бол-

товской -рукопись, хранящаяся у Э.Д. Болтовской. Прим. ред. 3     См. об этом: И. Гегузин. Студенческие годы Александра Солженицына

// Студенческий Меридиан, 1990, №7, стр.24. Прим. ред.

Четыре лекции по философии математики

Прочитаны на курсах для преподавателей средней школы летом 1912 г. Варшава, 1913 [2], IV, 78 с. с илл.

Введение

1     Конспект лекций, прочитанных для школьных преподавателей математики Варшавского учебного округа летом 1912 г. Прим. ред. 1     Кому принадлежат эти инициалы, установить не удалось. Прим. ред. 3     См.: Лекцию 2. Прим. ред.

Лекция I

1      См.: например: Л.С Атанасян. В.Г. Базылев. Геометрия. М. 1986. Прим.

ред. 1     Точнее говоря, принять отрицание этой аксиомы - оговорка автора.

Прим. ред.

Лекция II

1     В более привычной записи: р&п => р. Прим. ред.

ЛеС^Л>У, 207а. прим. ред.

1     C .ом смысле, что определяемые числа суть корни этого уравнения. Врим. ред.

Психология математического мышления.

Вопросы философии и психологии. 1908. 19. Кн. 4 (94). С. 491-534.

482


1     Рибо (Ribot). Sur ^imagination creatrice, p. 205,

I     Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Т. П. Гл. XLIII.

3 Кант. Антропология. §54.

4 Кант. Антропологая!. §42.

5 Физиологическая психология. Т. II. Гл. XVIII.
*     Essai sur l'imagination creatrice, ch. IV
, p. 199.

7 Физиологическая психология. Т. П. Гл. XVIII.

8 Сравнение Рибо памяти с кладовой, где в отдельных ящиках сохраня
ются все наши сведения, не подходит к элементарной памяти. Для
объектов последней не существует ящиков. Эта память скорее похожа
на перевалочную станцию, где товар перегружается с одного поезда на
другой, чтобы тотчас оставить эту станцию.

9 Рибо. Память в ее нормальном и болезненном состоянии. Стр. 55.

10 Вслепую - (фр.). Прим. ред,

»    Binet. Memoir visuelle geometrique. Revue Philosophique, 1893, №1. 12    Гипотеза и наука. В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983. Прим. ред.

Случай и бессознательное.

Вопросы философии н психологин, 1912, кн. I (Ш). С. 97-117.

1 Ф.М. Достоевский. Игрок. Собрание сочинений в 10-ти томах. Т, 4.
М. 1956. Прим. ред.

2 Психология. С. 83.

3 A. Binet. Les alterations de la personalite. 1892.

4 Binet, p. 275.

5 Binet, p. 81.

6 Binet, p. 93.

7 Вундт. Физиологическая психология.

8 Рибо. "Болезни личности". СпБ. стр. 66,77.

9 Персонаж рассказа И.Ф. Горбунова (1831-95) "На почтовой станции".
См. ПСС. Спб. 1904. Т. 1. Прим. ред.

10 Binet, р. 319.

11 Ф.М. Достоевский. Идиот, С, С. в 10-ти томах. Т. 6. М. 1956. Прим. ред.

0 законе непрерывности.

Вопросы философии п психологии. 1907. Кн. 87 (2). С. 168-184. То же: М. 1907.19 с.

1 Природа не делает скачков - (лат.). Прим. ред.

2 Лейбниц. Соч. 4 т. Т. 2. М. 1983. Новые опыты о человеческом разуме
нии. Кн
. 4, гл. 16, §12. Прим. ред,

483


3 Oeuvres de Leibniz. Nouveaux Essais sur l'entendement lminain. Livre IV. Chap. XVL §12. Лейбниц, цит. соч., кн.4 гл. 16, §12.

/'     Н. В. Бугаев. Математика и научно-философское миросозерцание. //

''■''    Вопросы Философии и Психологии, 1898 г. Книга V (45). С. 697.

5     Cursus der Philosophic. Leipzig. 1875. S. 93-94

* Так называет Некрасов то направление, основанное на идеях Бугаева, к которому прииадлежит Бугаев, Некрасов, Алексеев и другие мыслители математики. См.: СМ. Половинин. Московская философско-ма-тематическая школа // Общественные науки в СССР. Сер. 3. философия. 1992 г. № 2. Прим. ред.

7 ВТ. Алексеев. Математика, как основание критики научно-философского мировоззрения. Юрьев. 1903 г.. С.25.

s Н.В. Бугаев. Математика и научно-философское миросозерцание. // Вопросы Философии и Психологии, 1898 г., книга V(45).

9     Cursus der Philosophic. Leipzig. 1875. S. 92-93.

14    П.А. Некрасов, Московская-философская мат. школа. С. 59.

11 Ломброзо и Лиски. Политическая преступность и революция. Ч.I, гл. I.

12 Delboeuf. Elements de psychophisique, p. 148.

Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем.

Математическое образование, 1929, № 1, с. 19-34.

1 Отметим основную проблему определения права, различно решаемую
Кантом, Иерингом и др. См.: Шершеневич. Определение понятия пра
ва. Казань. 1896. Коркунов. Лекции по общей теории права. Спб. 1897.

2 Не будем упоминать о классиках схоластики и работах по средневеко
вой философии. Отметим любопытную книгу по популярной схолас
тике, где можно найти все основные схоластические вопросы:
Knithel.
Arisloteles curiosus. Praga.1682. Fylkowski. Philosophia curiosa. 1680.

3 О значении схоластики в истории математики я говорю в работах: "Фи-
лософско-математические идеи
XVI века.", "Генезис современного чис
ла.", "Аксиоматика
XVII в.", "Генезис и история теории пределов."
См
.: нас. изд.

J     Рамус 1515-1572. Waddiuglon. Ramus, sa vie, ses ecrite et ses opinions.

Paris, 1855. G. WierkeiT. Eiicyclopadie des Petrus Ramus. Leipzig, 1848.

Ziehen, §. 23. Моя работа: "Философско-математические идеи XVI

века." 5     Renati Descartis. Principia philosophies. Amstelodami, 1677, и другие

работы. Куно Фишер. Т. 1. О логике Декарта. Ziehen. LehbruchderLogik.

Berlin. Т. I. Cap. 2, §. 23. Там лее о Bouse, §. 32.

484


* Haureau. De la philosophic scolastique. Paris. 1850. Работы Werner, Rousselot

7 Aristoteles. Opera omnia graece et latine.

Об определениях Аристотеля: Analyt, pr. 11, с, 3. Об аристотелевском методе: Eiken. Die Methode der aristotelischen Forschung. Berlin. 1872. Gottini. Aristotele e il raetodo scientifico. Pisa, 1873. См. также: Franz Biese, Aristoteles Philosophic Berlin. 1835-1842. Cousin. DelaMtthaphiysiqued'Arittotcl. Paris, 1838. О логике Аристотеля: см. Ziehen. Lehbmch derLogik. Berlin, 1920. Teil 1, §. 9. О схоластическом методе: Carl Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande. Leipzig, Bd. 1,1855. Bd. 2, 1863. Bd. 3, 1867. Bd. 4,1870. Ziehen. 1 Teil.

О различных смыслах субстанции. Met. V. 8. О принципе, Met. V, 1.

8 Met. Ю59в34 - 1060al. Прим. ред.

9 Интересно отметить, что древние при решении проблемы не ставили
вопроса о
единственности решения, а находят какое-либо решение,
вполне удовлетворяясь им. См.: напр.," Арифметику Диофанта". Впер
вые проблема о единственности решения ставится схоластикой в чисто
теологической сфере. См.:
S. Anselmi. Prologium... Monoiogium...
Migne. Patrologia. Т. 158. Анссльм. 1033-1109.

10 О подобии - Аристотель. Met. V. 9.

11 О платоновских идеях см. его диалоги: Федон, Теэтет, Софист, Кратил,
Филеб, Меной, Федр и т.д. Аристотель против идей Платона.
Analyt.
Post, lib. 1, 2, 19. Met., lib. VII,
с. 14, .15; X. с. LO; XI, 4, 5, И, 12; XIII
2; XIV, 3.

12 О субстанциях. Met. V. 8. Взгляды Аристотеля на определение см. Anal.
Post. Lib. I. 13,

13 Характеристика античной мысли: Шпенглер. Закат Европы.

14 Petri Rami. Georaetriae. Libri XXVII. Basileae.1560. Scholarum.
Mathematicarum Libri unus el Iriginla Basileae, 1569. Fracfurli
. 1569

О Рамусе см. мою работу: "Фштософско-математические идеи XVI века."

15 Гильберт. Основания геометрии. Русск. пер. Спб. 1923.

16 Об определениях: Bonnel. Essai sur les definitions geometriques. 1870.
Liard. Des definitions geometriques e des definitions empiriques. Paris.
Alcan.
1888. Историю и вместе с тем методическое значение определе
ний можно найти в прекрасной книге:
Schotteu. Inhalt imd Methode des
Planimetrischen Unterrichts, 1870.

17 Определение знания у Аристотеля. Anal. Post. I, 9. II, 12, 13,

18 Met. 1005b20. Сравните критику Канта в "Критике чистого разума".
Уч. эл.
I отд., 2 гл., 1 сек. Прим. ред.

485


19 Возражения антиматематиков собраны в книге: Hugonis Simplicii
Crasgbartaci Scoti. E. Soc. Iesu. deMathematicis disciplinis libri duodecim.
Antv. 1635.

Simplicius - латинизированное Hugo Simple, 1594-1654. См.: Cantor. Geschichted. Mathematik.

20 См.: Спиноза. Этика.

M    Walisi. Matbesis universalis, cap. III. De demonstratiombus mathematicis.

12 Впервые различие доказательств: тш cm, тш Бюп (quia et quare) у Ал-фараби (ум. в 950). См. Baur. Beitrage z. Geschichte derPhilosophia des Mittelalters. Bd. 4. H. 23. Munster 1903. Другая библиография у Ziehen. Lehrbuch der Logik. Bonn. 1920. Т. I. Cap. 2, § 19, также Ziehen, Т. IV, § 135, S. 805. [Это различие восходит к Аристотелю. См. An. Post, кн.1, гл. 13.J Прим. ред.

23 L'arl: de penser. p. 3 92 (это так называемая Пор-роялевская логика Арно
иНиколя)
Pierre Nicole, 1625-1695, Anloine Arnauld, 1612-1694. [В
русском переводе: А. Арно и П.Николь. Логика или искусство мыс
лить. М. 1991] Требования пор-роялевской логики Арно старается осу
ществить в своем "
Nouveaux elements de Geometrie". Paris, 1683.

24 A

Прим. ред.

F     E Прим. ред.

486


Евклид доказывает теорему Пифагора (для треугольника ABC), доказывая равенство треугольников DАС и BAF, откуда следует равновели-кость квадрата на катете АВ и прямоугольника AGFE, являющегося частью квадрата на гипотенузе АС. Аналогично доказывается, что оставшаяся часть квадрата на гипотенузе равна квадрату на другом катете. Legendre. Elements de Geometrie.

wv

a_    a' + b'    b      a' +b'

a7 ~     'b7        b    '

a2+ b2 = a'2 + b'2 + 2a'b' = (a' + b')2 = c2 Прим. ред.

О софистах: "Диалоги" Платона: Софист Протагор. Xenophonti. Memorabilia. Soc. XVI-П, 2. Sextus Empiricus. Adversus Logicos. Lb. VII. А. Гиляров. Греческие софисты. Москва, 1888. И. Ягодинский. Софист, Протагор. Казань, 1916. См. мою работу: "Об апагогических доказательствах".

Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Петрушевского. Спб. 1819. "Начала" Евклида. Пер. Ващенко-Захарченко. [См. также пер.: Морду-хай-Болтовского. М. 1950.J

Elein. Euclidis ed. Heiberg. IX, 12. Sacceri. Euclides ab omiii naevo vindicate. Milan. 1739. Vailati. Suruneclasseremarquablederaisonnements par reduction a 1'absurde. Revue deMetaphysique.1901, p. 799. Aristotelis. Aiialytica Post. Lib. I, cap. 26. Интересно отметить, что Спиноза не может обойтись без апагогических доказательств. См.: его "Этику", 1 часть, т. V, 8, 11 и 14.

В особенности интересно выпрямление Озанамом XI теоремы книги Ш "Начал: "Если круг ABC касается круга AIKM внутри этого последнего, то прямая, соединяющая их центры, проходит через точку их касания". Ozanam. Cours de Matheniatiques. Paris, 1720. Sect. XI. Kepler. Nova. stereometria doliorum, 1615. Opera omnia. IV, pp. 537-538. Эмбрион еще до Кеплера у Stiffel. Arithmetica integra Nova. 1544. Appendex libri secundi. О методе неделимых, Brunschwigg. Les etapes. Lib. Ill, ch. IX, p. 160. Ziehen. Geschichte der Math, in XVI und XVII Jahrh. Leipzig. 1903, S. 121. Bon Cavalieri. Geometria indivis. cont. novaquidein ratione promota, Bononiae. 1635, 1653. Exercitationes. Bon. 1643. Метод неделимых проходит через три ступени: Roberval, Gregorius. Vencentio и Taquet. Cantor II, 392. Против апагогических доказательств - Рамус (1515-1572).

487


зл    P. Rami. Proemium Mathemalicum. 1507. p. 428-429.

35 Sawilii. Lectioacs.

36 История полной математической индукции: Francisko Maurolico.
Arithmeticae, Libri duo. 1557. Ven. 1577. Jacob Bernoulli. Ars consectandi,
изд. 1713. Opera I, 282-283. Pascal. Oeuvres. Paris. 1908. Т. Ill, p. 456.
Cantor. Vorlesungen. B. Ill, S. 341. G. Vacca. Surleprinciped'induction
math. Revue de Meth. 1911, p. 30.

37 Возведение принципа полной математической индукции в определе
ние - см.: Кутюра. Принципы математики.

О сверхлогичности полной математической индукции: Менделеев. Метод математики.

38 Пуанкарэ. Гипотеза и наука. [В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983. |
351    Anal. Poster. Lib. I, С. XIX, XXI, XXII, XXIII.

,0 Более подробно: Лобачевский и основные логические проблемы в математике. [См.: наст, изд.]

" Первый опыт построения математической системы без аксиомы исключенного третьего. Brouwer. Begrandung derMengelelire unabhangig von logischen Satzvon Abgeschlossenen, dritterTheU.

13 См. мои работы: Sur les syllogismes en logique et hypersyllogismes en Melalogique. Прот. О-ва ест, при С.-Кав. гос. yinusepcuTeTeMetalogique, Metaalgebre, Прот. О-ва ест. при С.-Кав. гос. университете за 1928 г. До меня понятие металогики было обработано, но только с философской, а не математической стороны, проф. И. Васильевым. (Журнал министерства народного просвещения, 1905).

Метаалгебра.

Ученые записки Научно-исследовательского института математики

и фшикн при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25.

1     Аксиома III, Гильберта (Основания геометрии. М. 1948)

Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой а без общих точек, пусть А'В' и В'С - два отрезка на другой прямой а' тоже без общих точек. Если при этом АВ = А'В' и ВС = В'С, то всегда также АС = А'С.

а

1 j ]

Л ВС

а,

—н 1 1—'

Л' В' с

О числовой характеристике утверждаемого тождества.

Известия Донского увнверснтета, 1925, т. 7, с. 40-43.

488


Лобачевский и основные логические

проблемы в математике.

Известия Северо-Кавказского университета, 1927, тЛ(12), е.78-95.

1 Речь, прочитанная на торжественном заседании в память столетия
открытия неевклидовой геометрии.

2 Вундт в следующих словах формулирует закон гетерогонии целей; "Воля
всегда проявляется так, что результаты постоянно более или менее
выходят за пределы первых мотивов воли". Вундт. Этика. Рус. пер. Отд.
I, гл. IV, стр. 282.

3 Такова, например, совершенно не обоснованная вера в то, что всякое
уравнение разрешается в радикалах. Такова необоснованная вера в то.

г    dx
что все интегралы, даже    
I • , приводятся к интегралам

VI+ х4 рациональных функций н выражаются в конечном виде (см.: Lettre ХШ d'Euler a Goldbach). Такова вообще вера в то, что решение проблемы в частном случае при введении некоторых ограничительных условий Q способствует решению проблемы в общем случае. Вместо проблемы Р

решается (РП), где О подбирается так, что не поддающаяся в общем случае решению 'задача решается при этом ограничении. Весь метод обычно зиждется на этом ограничительном условии. Если снять его, то разрушится и вся постройка. Вообще решение проблемы при ограничительном условии П ничего не дает для решения общей проблемы, ибо метод для решения Р при предположении, что Q не имеет места, будет тот же, что в общем случае, т.е. при П и без О безразлично. 1 Построение корня уравнения xJ = а (решение Делийской проблемы) сперва вовсе не являлось задачей более простои, чем решение уравнения хJ+ах = b и арабские математики не находили оснований сводить вторую задач}' к первой. Задача о построении корня уравнений 3-й степени с помощью циркуля и линейки с развитием арабской алгебры должна была превратиться в задачу о нахождении иррационалыюстей по X книге "Начал" Евклида, удовлетворявших этому уравнению, а в дальнейшем, когда алгебра расширила сферу радикальных выражений, - о разрешении уравнений 3-й степени с помощью радикалов 2-й степени. Тщетные попытки решения этой проблемы привели к сомнению в возможности ее решения, которое вероятно было и у арабов, превратившееся в уверенность после доказательств невозможности решения уравнения 3-й степени с помощью иррационалыюстей Евклида. Естественно, путь дальнейшей эволюции проблемы - замена области иррациональностей Евклида областью иррациональностей более общего

489


характера, зависящих от радикалов высших степеней, т.е. принятия уГ'лГЖ за элементы построения.

Таким образом была поставлена задача о решении в радикалах кубического уравнения, которое вскоре и было решено в этом смысле Тар-таглия и Карданом. Затем вскоре такая же задача была решена Ферари для уравнения 4-й степени.

5 Этическая проблема подвергается метаморфозе.

Вывод моральных норм из эгоистических интересов, из единственного стремления организма к самосохранению (Suuin esse conservare), конечно, Спинозой ("Этика") понимается совершенно иначе, чем дарвинистами второй половины XIX столетия. Мы имеем сперва логический вывод всей системы альтруистической морали из эгоистических предпосылок, здесь нет ни слова о том, каким образом возникла альтруистическая мораль.

У сенсуалистов XVII века исследование генезиса морали является только средством для эгоистического ее обоснования. Любимая их мысль, что всякий альтруистический поступок - это эгоизм, скрытый под маской, созданной культурой, что на более низких ступенях культуры, приближающих к естественному состоянию, - маски уже нет. Гельвеций отстаивает тождество блага и полезного. Честь - это привычка к поступкам, полезным для общества. Отсюда заключение, что моралист и законодатель прежде всего должны аппелировать к пользе индивидуума.

Гельвеций прежде всего моралист, ои пытается обосновать этические нормы на эгоизме и, верный характеру того времени, обращается к "методе происхождения", старающейся подойти к естественному состоянию. Но в дальнейшем генетическая этика является уже самоцелью. Мы имеем уже ие вывод альтруистических норм из эгоизма, а объяснение их происхождения нз эгоизма дикого человека. Особенно резко различие в понимании эгоистического этического монизма выступает при спенсеровской точке зрения, заменяющей индивидуальный сенсуализм видовым.

6 Те явления радиоактивности, которые обещают решение экономической
проблемы алхимии, подводят не к решению алхимической проблемы, а к
доказательству ее певозможности. Эту проблему постигает совершенно
та же участь, что и другие проклятые щюблемы, на которые человек веками
тратил силы. Превращение в золото металла с меньшим атомным весом
потребует такой энергии, которую нельзя купить на получаемую ценность,
превращенный же в золото элемент с большим атомным весом потребует
неблагородный металл в количестве, стоющем дороже, чем получаемый
продую
1.

490


Одним словом, химик окажется в таком же положении, что Муассои при добывании алмаза из нагретого до 3000° сплава железа и угля.. При затрате тока в 31500 вольт, получались крошечные кристаллики алмаза. Но Содди замечает, что ценность полученной таким образом материи будет ничтожна в сравнении с теми неимоверными количествами энергии, которые будут выделяться при этом процессе. Энергия элементов вещества, освобожденная от заколдованного сна, в который он погружен природой, заняла бы вскоре первое место в народном хозяйстве. В сравнении с ее громадным значением золото явилось бы только побочным продуктом разложения.

Таким образом, вместо алхимической проблемы, мы решаем другую, тоже экономическую проблему.

Основание привилегированности механики чисто психологическое, так как именно механические явления имеют наибольшее значение в обыденной жизни при невысокой культуре, вследствие чего механика и развивается раньше других отделов физики, занимаясь сведением более сложных механических явлений к более простым. Современный же химический атом представляется системой электронов, частиц, несущих положительные и отрицательные заряды и являющихся последними неделимыми. Положительный электрон уподобляется солнцу, окруженному планетами - отрицательными электронами, находящимися в движении, но образующими вообще неустойчивые системы, подвергающиеся распадению.

Было бы глубочайшим заблуждением полагать, что задача вообще неразрешимая об интегрировании в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных или в квадратурах эволюционировала в задачу вообще разрешимую. Нет никакого основания считать, что всякая особенная точка характеризуется формой вроде тех, которые даются Брио и Бую и Фуксом, Томэ и другими, т.е. формой, построенной с помощью конечного числа символов элементарных трансцендентных и операцией, выражающей алгеброидальное разложение. Очень яркую картину гетерогонии дает история педагогики. Цель воспитания для спасения индивидуальной души эволюционирует в воспитание человечества для встречи второго пришествия. В эпоху Возрождения для воспитания этого трансцендентального идеала представляется необходимым власть над враждебными силами природы. Отсюда утилитаризм пансофии Каменского, сводящийся к собиранию знаний. Знания затем обращаются в самоцель. Но осознание некрепостн пассивного приобретения знаний приводит к упражнению, иге средству. Последнее обращается в цель, - воспитание определенных способностей, когда Песталоцци выдвигает формально-воспитательный принцип в противовес материальному.

491


10 Аксиома или 5-й постулат "Начал" Евклида эквивалентен утверждению о единственности прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку. Геометрия Лобачевского получается из евклидовой при замене этой аксиомы (постулата) на ее (его) отрицание.

"    Геометрия Рамуса представляет не что иное, как комментарии к "Началам" Евклида, но не соединенные с их переводом (как, например, комментарии его современника. Клавия), а изданные отдельно. Для Рамуса и рамистов самым важным в геометрии является определение, а за ним уже теоремы.

Главный недостаток Евклида, по Рамусу, в том, что он идет от частного к общему, вместо того, чтобы идти от общего к частному. Параллелизм прямых Рамус подводит под общее понятие параллельных линий (как прямых, так и кривых). Параллельными являются не только прямые, но и две концентрические окружности. Характерным признаком, определяющим параллельность, является равно удаленность. См. мое сочинение: "Философсг<о-Математические идеи XVI века" [наст, изд.]. О Рамусе:

С. Waddington: Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris. J 855. Сочинения Рамуса:

Dialecticae Libri Duo. 1586. Geometriae Libri XXVII. Basilae, 1569. Scholarum Mathematicarum Libri novem et triginta. Basileae. 1569. Francfurti. 1569.

Сочинения рамистов: Methodus adrairanclarum mathematicarum novem libris etc. autore loahaimo Henrico Alstedio. Herbornae. 1623. Об Алште-де: Cantor II ч„ 19. Kastiier. Ш. 434-438. Riff Quaestiones. Geometriae Oxoniae 1665. Рамическая тригонометрия: Fimkii. 1584. Алгебра Salignaci. Рамическая диалектика: Caesari.1552, Hunneae, Tousacae, Ursiiii.

12 Анализ определения параллельных, как прямых равноотстоящих, приводит Клавия к сознанию необходимости оправдания этого определения.

Следует убедиться, что линия, все точки которой равноудалены от прямой, также прямая. И в этом состоит первое положение теории параллельных Клавия. Но при этом положении нет в собственном смысле доказательства, а только пояснение; имеющее целью повысить степень очевидности этого не вполне очевидного положения. Все сводится тс ссылке на то, что линия с равноотстоящими от данной прямой точками должна обладать однородностью, равно лежать всеми своими точками, причем делается попытка пустить в ход определение 4-е первой книги "Начал" Евклида, остающееся у самого Евклида неиспользованным. Дальнейший путь через теорему: если к прямой восстановить два перпендикуляра и соединить концы равных отрезков прямой, то эта

492


прямая будет перпендикулярна к обоим перпендикулярам. Но через сто лет после Клавия вид этой главы геометрии совершенно меняется. Центр тяжести переносится с определения на аксиому. Уже не ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям логики, но берется такое, из которого можно было бы дойти до цели, проходя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не выставляя требования совершенного минимума, чуждого XVII веку. У Борелли параллельные прямые, а не линии вообще, определяются как перпендикулярные к одной и той же прямой. (Clavius. Crist. Euclides elementonun libri XV Opera t I. Mains. 1590. Boreli. Euclides restitutus. Pisa. 1658.)

Аксиоматика Херигона (Herigoims Cursus Mathematicus. Paris. 1634.) -это коллекция очевидных истин, причем автор уверен в ее полноте. Его совершенно ие интересует вопрос; зависимы или не зависимы эти истины...

Против требования минимума говорит правило Паскаля: "Яё следует ничего доказывать, что так очевидно, что т нуждается в каком-либо более ясном средстве доказательства". Pascal. Oeuvres. III. 163-182.

Арно, выступая в "Nouveaux elemens de Geometric". Paris. 1683, против недостатков Евклида с точки зрения пор-роялевской логики, переделывает "Начала", изменяя порядок теорем и соответствующим образом доказательства.

Изучение параллелизма прямых углов у него предшествует равенству треугольников, ибо угол, по его мнению, более простой объект, чем треугольник.

Арнольднаиского типа большинство крупных французских учебников до эпохи энциклопедистов:

Lamy, Sauveur, Camus, Varignoii. de la Caille, Rivard и другие. В русской методической литературе влияние сказывается на "руководстве" Остроградского.

К учебникам Лежандровского типа следует отнести кроме "Элементов" Лагранжа, оригинальных и переработанных Бланше, учебник, имевший опзомное значение:

(Lacroix Elemens de Geometrie a L'usage de 1 'Ecole Normale. Paris. 1814.). Упомянем Gamier, Vincent, Sonnet, Guileinin и наиболее обстоятельный учебник Лагранжевского типа: Роше и Комберусс.

Характерно для этой эпохи сочинение, не имеющее ни научного, ни методического значения: Tompson. Geometrie sans axiomes. ("Геометрия без аксиом".).

Объекты геометрии превращаются из чистых предметов разума в объекты опыта. Если, по Арно, "душа человека, как бы с первых дней

493


детства, как бы вся погружена и обмотана чувствами и имеет только темные и смутные восприятия предметов, оказывающих действие на ее тело", так что вся ее дальнейшая эволюция представляется своего рода очищением, то для де ля Шаппеля кристально чистая душа ребенка заволакивается метафизическим туманом все больше и больше, загораживающим путь к истинному знанию, основой которого являются именно эти презираемые рационалистами чувства: "II est done evident que les premiers elements de Geometrie posent sur la niatiere le plus, expose a uos senses" (Очевидно, что первичные элементы геометрии закладываются в материале, в наибольшей степени представленном нашим чувствам). (De la Schapelle. Institutions de Geometric 1765). К этому направлению принадлежат учебники: Clairaut, Bezout, Bossut и другие.

Сюда следует отнести и капитальные сочинения: Bertrand Developpement nouveau de la partie elemenlaire des Mathematiques. Geneve, 1778. Взгляды математиков этого направления складываются под влиянием "Опытов о человеческом рассудке" Локка, логики и трактатов о чувствах Кондильяка.

Здесь интересно привести мнение д'Аламбера об аксиомах, высказываемое им в Энциклопедии.

В большинстве аксиом он видит только выражение одной и той же идеи двумя различными знаками или словами: "Разве тот, сто говорит, что два и два составляет четыре, обладает большим знанием, чем тот, кто удовлетворится считать, что два и два составляют два и два?".

17 Лобачевский в сочинениях о "Началах Геометрии" говорит:
"Первые понятия, с которых начинается какая-либо наука, должны быть
ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут
служить простым и достаточным основанием учения. Такие понятия
приобретаются чувствами, врожденным не следует верить. (См.: П.С.С.
по геометрии Н.И. Лобачевского).

Д'Аламбер говорит более определенно:

"Мы сперва рассматриваем тела со всеми их качествами, понемногу производим в уме разделение и абстракцию этих различных свойств и переходим к рассмотрению тел как частей пространства проницаемых, делимых и оформленных".

18 Во вступлении к новым началам геометрии (стр. 13, изд. Хар. Мат. Об.
Харьков, 1912.) Лобачевский старается убедить не в логической
возможности, сводящейся к непротиворечивости, а в
рральной
возможности, он старается убедить в том, что в уме нет никакого
противоречия в предположении реальности отношений между углом и
длиною, которая ему представляется аналогичной отношению между
силой и расстоянием.

494


19 Ни у одного математика до Лобачевского и Больяя ие хватило храбрости публично выдвинуть рад теорем, вытегающих из постулата, которым заменялся Евклидов постулат о параллельных - за геометрическую систему. Мне представляется, что у Гаусса был еще другой страх, кроме страха что он не будет понят (см.: Р. Бонола -"Неевклидова геометрия", стр. 156). Мотив для иеопубликования своих опытов по антиевклидовой геометрии (Engel Stackel. S. 209), о котором он не пишет, говоря о "Ge-schrei der Bootier" (крике беотийцев) - это неуверенность в том, что его ряд теорем, продолженный дальше, не встретит противоречия, страх того, что его работа послужит в стыд ему и в славу другого, который двумя-тремя теоремами, прибавленными к антиевклидовой геометрии, скомпрометирует его, с другой стороны - получит ту славу, которой добивался тщетно Гаусс.

Швейкарт ограничивается только заметкой, частным образом переданной Гауссу, печатное же сочинение стоит па точке зрения евклидовой геометрии.

Таурииус в Geometria prima Coloniae, 1826 (Engel-Slackel. S. 273.) замечает, что найденное им доказательство постулата о параллельных не вполне его удовлетворяет и прибавляет, что исследование вопроса, каково истинное значение логарифмическо-сферической геометрии, содержит ли она что-либо возможное или только мнимое, это достойная задача для ученых, но переходящая цэаницы элементов геометрии.

w Саккери ищет новые логические приемы, он употребляет сомкнутую на заключении форму простого апагогического доказательства (см. мою работу: Об апагогических доказательствах. Ростов, Научный Вестник. 1922).

Следует доказать В, А, (т.е. если В, то А) из В не-А выводится В, А. Этот прием употребляется Евклидом только один раз: при доказательстве 12-го положения 9-й книги "Начал". (Euclides ab omni naevo vindicates autore Hieronymo Saccherio. Mediolani. 1773, Engel-Stackel. S. 42.)

21 "Я отсюда, - говорит Ламберт, - почти заключаю, что третья гипотеза имеет место; в случае не плоскости она. не так легко поддается, как вторая". - § 82. Theorie der Parallellinien (Engel-Slackel. S. 137).

n Большо принадлежит исследование свойств параллельных, независящих от евклидовости, тождественность геометрии иа орисфере с обыкновенной геометрией на плоскости, доказательства независимости сферической тригонометрии от постулата о параллельных и некоторые геометрические построения, независящие от него. (Bolyai Johann. Appendix scientiara spalii absoluteveram exhibens. 1832.)

и Согласно Гербарту, пространство не представляет только субъективную форму созерцания, в каковом случае оно было бы только призракам. Но всякий призрак, все кажущееся указывает на реальное отношение в

495


объективном мире. Субъективной форме обязательно должна отвечать объективная, хотя бы и отличная от нее.

Понятие об этой форме получается обычной гербартовской методой исправления понятии; такое намерение построения реального, по Гербар-ту, умопостигаемого интеллигибельного пространства предполагает отказ в некоторой мере от кантовского взгляда на пространство, так чистую форму созерцания (см.: "Критика чистого разума"). Пространство, по Гербарту, не только форма созерцания, по прежде всего понятие. Для построения умопостигаемого, пространства следует признать и выделить концептуалистические элементы пространства и подвергнуть их очистке от кроющихся в них противоречий.

В конечном итоге такой метафизической обработки, пространство должно явиться понятием, причем свестись к отношениям между реалиями, т.е. теми первичными монадами, к которым метод исправления сводит всю вселенную.

Умопостигаемое пространство Гербарта, конечно, нельзя представить, но его можно мыслить, причем в самых общих абстрактных понятиях. Простыми, уже неразложимыми, элементарными отношениями, из которых слагается пространство как сложное отношение, Гербарт выставляет те, которые определяются предлогами "с" и "на". Гербарт считает возможиым снятие созерцательности с этих отношении и сведение их к чистым понятиям. Полное существование двух реалий вместе противополагается их существованию не вполне. Существование а на b может быть существованием в большей или метшей мере. Риман исправляет или, лучше сказать, перерабатывает понятие пространства, ие вскрывая противоречий в евклидовом пространстве, но подымаясь к идее многообразия, объемлющей евклидово пространство, обобщая характерные признаки последнего, выраженные математически. (Riemaiiii. Uebera die Hypothesen die der Geometrie zu Grande liegen. Gotting. AbhandlugenXIII. 1868. N. Grassman. Die lineale Ausdehungslehre. Leipzig. 1844.) 24 Различие между Риманом и Гельмгольцем (Helmlioltz. Ueber die That-saclien die der Geometrie zu Grande liegen) то, что последний старается опытным путем обосновать свои постулаты. Он выходит из простейших фактов, характерезующих движение в трехмерном пространстве, которое, согласно эмпиристической гносеологии XIX века, и создает понятие о пространстве. Это - определяемое™ элемента тремя координатами, существование подвижных твердых тел, свободная подвижность их и монодромиость пространства, состоящая в возможности движения вокруг точки, приводящего в первоначальное положение. Эти факты, выраженные в формулах аналитической геометрии, естественно обобщаются и на большее число измерений. Другие же факты, тоже наблюдаемые в евклидовом пространстве.

496


признаются, таким образом, уже не характеризующими пространство как таковое. С.Ли видоизменяет гипотезы Гельмгольца таким образом, что является возможной чисто математическая их обработка. (S. Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig. 1828-1893, Т. Ш.)

25 Beltrami. Saggio di interpretazione della Geometria non Euclidea. Giornal di Mat, Vol VI. 1868, фр. Пер.: Houel. Annales Scient. de l'Ecole Nor-male. Т. VI. 1869.

16 Klein. Ueber die sogenaimte Nicht-Euclidische Geometric Math. Aim. VI. 1871. Т. VI. 1873. VIII. 1874,

v Poincare. Sur les hypotheses fondamentales de la Geometrie. Bulletin de la Soc. Mat. de France XV. 1887,

28    Гильберт, Основания Геометрии. Петроград. 1923. С. 63.

и См. мое сочинение: Об апагогических доказательствах. Ростов. Научн, Вестник. 1922.

j0 Выпрямление доказательств достигается большей частью введением постулатов, относящихся к бесконечным классам. К этому следует прибавить еще те логические аксиомы, которые узаконивают вывод из бесконечного ряда силлогизмов, лежащего в основе полной математической индукции, И. Менделеев (в "Методе математики") относит это к сверхлогическому в математике. Но признание существования бесконечного числа силлогизмов, связующих сложения А, В, С, Р, Q, R, и вывод из истинности А, В, С, истинности Р, Q, R, не более сверхлогичиы, чем всевозможные постулаты, лежащие в основе современной теории множеств.

31 Аксиома HL. Если для двух треухольнмков ABC и А,В ,С, имеют место конгруэнции

АВ=А,В|, АС=А,С,, ZBAC=ZB,A,C1 то всегда имеют место и конгруэнции ZABC^A!B,C1, ZACB=ZA[CIB,

м Существуют теоремы недоказуемые, хотя и истинные. Для доказательства таких теорем у нас просто не хватает очевидных постулатов. Такие положения должны найтись среди очень простых положений теории чисел и ситуационной геометрии. Видимо, такова знаменитая теорема Гольдбаха, что всякое четное число представляется суммой двух простых чисел, и теорема о бесконечном числе пар последовательных простых чисел с равной разностью.

Можно предполагать, что такими же являются и следующие весьма общего характера положения:

Всякая форма <в (х), выражаемая в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных и алгебраических функций, алгебраически неразложимая, иначе говоря, не представляющаяся произведением S (х) п (х), где & (х), т) .х) при ввяком целом х тоже целые числа, ,одержит бесконечное множество простых чисел. Только в случае более точного

497


498

определения формы может существовать доказательство этого положения, так кале из одного условия о неразложимости, конечно, ничего нельзя вывести.

Хорошо известно доказательство такой теоремы для со(х) = ах ч-р1 Может будут построены доказательства и для некоторых более сложных выражений, например, для ах2 + Ьх + с (а, Ь, с, взаимнопростые и Ь2 - ас [ 0, но для произвольно написанных со (х) такое доказательство явится уже невозможным.

Другое положение о невозможности существования формы со (х), содержащей исключительно простые числа. Мы идем дальше, мы утверждаем, что в теории чисел существует неизмеримо больше недоказуемых истинных положений, чем доказуемых.

Вообще больше теорем недоказуемых, чем доказуемых. Если на первый взгляд представляется, что в геометрии всякая задача может быть решена, то только потому, что те задачи, которые мы рассматриваем, -это простейшие, теснейшим образом связанные с очевидыми постулатами, лежащими в основе геометрии.

Рассматриваемые нами геометрические объекты - треугольник, четырехугольник, круг и т.д. настолько лее просты, как просты рациональные дроби, рассматриваемые в начале курса интегрального исчисления.

Чтобы получить неразрешимые задачи и недоказуемые свойства следует усложнить эти формы так, чтобы явилась необходимость, наряду с постулатами меровой геометрии, и в постулатах ситуационной геометрии, которые уже определенным образом будут недостаточны. Задача о ветвях алгебраической кривой в общем случае всегда остается именно в силу этого неразрешимой.

В настоящее время уже никто не верит в то, что всякая функция, выражающаяся в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных, может быть проинтегрирована в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных. Те же, кому приходилось над этим размышлять, знают, что в большинстве случаев такие выражения не интегрируемы в конечном виде, более того, если написать совершенно произвольно какое-либо выражение (даже рациональное) от х, то можно быть уверенным, что оно неинтегрируемо. При подборе примеров неинтегрируемости для моего сочинениям "Об интегрировании трацецендентных функций в конечном виде" (Изв. Варш. Универ. 1913) я брал выражения наугад, но примеры интегрируемости я получал скрытым от глаз читателя дифференцированием. Правильная постановка проблемы интегрирования в конечном виде: Определить, можно ли выразить данный интеграл Jf(x)dx какой-либо трансцендннтнйй определенного конечного класса в лыовиллевском смысле и, если возможно то найти это вырао/сение.


34 В то время, как частные аксиоматические проблемы можно считать
вполне определенными, общая проблема об основании геометрии
является пока
не вполне определенной.

Паш, ставящий в основу геометрии простейшие эмпирические данные, лучшим образом характеризующие пространство, и Пеано, ставящий в число постулатов непростую истину о непересекаемости в одной точке трех диагоналей четырехугольника (G. Peano. I principii die Geometria logicamente exposita. Torino. 1889), решают, собственно говоря, различные проблемы.

Должно ли ставиться при построении системы геометрии условие очевидности, должны ли постулаты быть аксиомами! Если да, то системы Пеано и Гильберта не годятся, ибо пользуются совершенно неочевидными постулатами.

Но что при выборе постулатов должно заменить очевидность? О простоте, выдвигаемой Пашем, можно спорить больше, чем об очевидности.

Как бы ни подчеркивался формальный характер системы, очевидность если не всех, то большей части постулатов принимается во внимание, Возведение определений в аксиомы по существу не меняет дела. Объект А определяется признаками а,р\у , которые даются очевидными положениями, но тот же объект можно определить и признаками а1, у 'р1, которые даются не очевидными положениями. Нет основания предполагать, что минимум постулатов попадает именно на группу положений очевидных или вообще содержащих очевидные положения.

35 Материалом для этих заметок служат мои большие работы: "Схоластика
и Математика", "Законы эволюции проблемы". Печатание больших
работ в настоящее время невозможно, вне сомнения эти работы я не
увижу в печати.

Геометрия как наука о пространстве.

Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 10-25.

!     Геометрию какнауку о формах определяют Becker, 1872; Fischer, 1887.

Oriller, 1887, см.: Schooteii-Jnhalt und Methode des Planimetrischen

imterrichts. Leipzig, 1890, Bd I, kap, 2, s. 161. 2     Наглядной геометрией является геометрия индусов. Наглядный элемент

находится в большой мере в учебниках

XV7II в., например, De la Chapelle - "Institutions de la Geometrie" и Д.

Мордухай-Болтовской - О школьном геометрическом доказательстве -

журнал "Математика в трудовой школе", 1928.

499


3 Геометрию определяют, как науку о пространстве: Bartolomei, 1851,
Helmholtz-Pop. Wiss. Vortrage, Crell, Grunert, 1870.

4 "Начала" Евклида - пер. Петрушевского или Ващенко-Захарченко. [См.
также пер. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М. 1950.]

5 К рационалистическим учебникам я отношу в некоторой мере учебни
ки арнольдианского типа, начиная с
Arnauld - Nouveaux elements de
Geometrie, 1667-1684.

6 PrincipiaPhilos., Amsterdam!.

7 Спиноза. Этим, пер. Модестова.

8 Russel. Les fondements de la Geometrie. 1901.

5     Delboeuf. Prologomenes philosophiques de geometrie. 1860.

10 Д. Мордухай-Болтовской. Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем, [наст, изд.]

1' Образцом является Гильберт. Основания геометрии, метод, обработка М. 1948; Hallsted. Geometrie rationelle.

12 Leibnitii. Characteristica Geometriae In Euclidis, Leibnizius math. Schriften, t. II, Bd. I.

В В'

A M С   A' M" С

Прим. ред.

в В'

Прим. ред. !5    Leibnitii. Characteristica Geometriae. Wolfii. Compendium elementorum

Matheseos Universae in usum studiosae Juventutis adornata. Venetii, 1713. 16    Пусть даны два отрезка А,В, = а, и А2В, = аг которые (как любые два

отрезка) подобны по аксиоме.

500


Будем строить на этих отрезках треугольники АДЕ, и А2В2Е2 так, 4toZE,A,B,=ZEjAjB2и ZE^A, = ZE2B2A2 = р . Для этого построим окружности С, HCjC центрами в точках А, и А2 и радиусами а, и а2, соответственно. Затем проведем в этих окружностях радиусы А,М, и А2М2 так, что М,А,В, =М2А2В2 = а . Построив аналогичным-образом окружности D, и D2 с центрами в В, и В2 и радиусами по-прежнему а, и а2 и проведя в них радиусы B,N, иВ2Ы2так, что N,B,A,=N2B2A2=|i(на чертеже не указаны), получим Е, и Е2 как пересечения А,М, и B,N,, А,М2 и B2N2. Окружности С, и С2 строятся на радиусах А,В, и А2В2 одним и тем же действием - построением окружности по заданному радиусу - откуда следует, что С, и С2 подобны. Далее, радиусы А,М, и А2М2 тоже строятся одним и тем же действием - поворотом данного радиуса на данный угол (если этот поворот осуществлять циркулем и линейкой, с помощью построения равных вспомогательных треугольников, утверждение остается в силе). Следовательно, сектор М,А,В, подобен сектору М2А2В2. Рассуждая таким образом, доходим доутвероюдеияя подобия треугольников A iB]E] u Л ,#,£,. Прим. ред.

Прим. ред.

18

A' Q' В'

Центр вписанной в треугольник окружности это точка пересечения биссектрис углов треугольника; точку касания внешней окружности со сторонами треугольника можной найти, опустив из точки пересечения биссектрис перпендикуляры на стороны треугольника. Прим. ред. Suzanne. La maniere d'etudier les mathematiques. Д. Мордухай-Болтовской. Теория подобия X. Вольфа и постулат де Ле-века. "Вест. опыт, физики и элем, матем", 1906.

501


20

21

22

Исследование изогенности и гомогенности пространства с точки зрения теории непрерывных групп - см. мою статью: "Основания геометрии неизогенных и негомогенных пространств с точки зрения теории групп"// Известия СКГУ. Delegue выставляет основным свойством пространства делимость, непрерывность, бесконечность, гомогенность и изотропность, которые понимаются уже в смысле возможности существования схемы с центром в любой точке. Delegue. Essai sur les principes des sciences mathematiques. Paris, 1908.

Бертран Женевский, 173 1-1812. L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des mathematiques prises dans toute son etendue. A Geneve. 1778. Его же - Elements de Geometrie. Paris. 1812, О нем: Cantor. Vorlesungen, В. IV.

Petri Rami. Geometriae libri 27. Basileae, 1509. Scholarum Mathem. Libri imus et triginta, 1569. О нем см. мою работу: Философско-математи-чес1сие идеи XVI в, [наст, изд.]

%

25

26

27

Рассел называет гомогенностью то, что я называю выше изогешюс-тью.

Валлис (1616-1703). См.: Stackel und Engel, Oeuvres, t. VI, I, V, ch, V, p. 472. Lambert (1728-1777). Theorie der Paralieiinien, 1788. Stackel und Engel. Die Theorie der Paralieiinien von Euklid bis auf Gauss. Leipzig. 1893.

Delboeuf. Prologomenes philosophiques de la Geometrie. Liege. 1860. Lanciennes et les nouvelles Geometries. Revue philosophiques, 36-39. Определение Евклида: прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно своих точек, 4 опр. I кн. "Начал" Евклида. Пер. Петру-шевского,

Парносвязность изогеииого пространства сводится к наличности инварианта группы преобразования движений, зависящего от двух точек. Lie. Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, 1888-93. См.: Lambert. Theorie der Paralieiinien.

502


32    Petri Rami. Geometrie libri 27.

Мордухай-Болтовской. Философско-математические идеи XVI века, [наст, изд.]

31    Leibnizens Math. Schriften (her. Gephardt), Abt II, В. I. Characteristica

Geometrica IV in Eucl. Etoi%sicx 35    Д. Мордухай-Болтовской. Генезис и история пределов. Изв. СКГУ. 1928.

Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида. Математическое образование, 1916, № 7, с. 255-263; № 8, с. 277-289.

1 Как только дробь становится числом, результаты 7-й книги начинают
толковаться в обобщенном виде. В пропорции
a:b=c:d а, Ь, с, d могут
оказаться не только целыми числами, но и дробями. Характерно опре
деление Беха-Эддина деления, как определения числа, которое с еди
ницей находится в том же отношении, что делимое с делителем.
Nouvelles Aimales Т.5, 1846, Khelasat de Beha-Eddin.

2 Евклидовых "Начал" восемь книг., пер. Ф. Петрушевского, Спб. 1819.
[пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950]

3 Более подробно об этом см. ниже.

4 Опр. 3 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух од
нородных величин по количеству", (пер. Мордухай-Болтовского).
Прим. ред.

5 "Совмещающиеся друг с другом равны между собой" (по изд. 1950г. -
7-я аксиома). Прим. ред.

*     Аксиома параллельных (по изд. 1950 г. - 5-й постулат). Прим. ред.

7 Все теоремы относятся к 5-й книге. Прим. ред.

8 Табличка эта значительно продолжена классами:
a:b>c:dc:d<a:b, a:t»c:da:c>b:d, a:b>c:d^a + b:b>c+d:d,
и т.д.

9 В изд. 1950 г. Мордухай-Болтовской отбрасывает оба варианта как не
подлинные. Прим
. ред.

10 Euclid's Elemente funfzhcn Bucher ubers. J. Lorenz Halle. 1840.

" Euclides elementonim Libri XVI Auctore Christophoro Clavio. Trancofurti Auno MDCLIV.

11 Из неравных линий, неравных поверхностей или неравных тел, если
избыток большего перед меньшим будет совокупляем сам с собою, то
он может превзойти всякую предложенную величину из рода тех, кои
взаимно сравниваются.

503


504

Творение Архимеда. Две книги о шаре и цилиндре. Пер. Ф. Петрушев-ского. Спб. 1823. С. 5. [Архимед. Соч. М. 1962.] Прим. 4 на стр. 187. "Начала" Евклида. М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев. 1880.

Этим определением Евклид хочет показать, что сравниваемые величины должны быть однородны, например, длина и длина, площадь и площадь и т.д. Но длина и площадь, соотношения в смысле вышеизложенного, иметь не могут, так как, сколько бы раз длину не повторили, площадь не получится.

Отношение друг к другу имеют величины, которые, взятые кратно, могут друг друга превзойти, (нем.) Близкий перевод дает сам Мордухай-Болтовской в изд. "Начал" 1950 г.: "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". Прим. ред.

Jacobi Peletarii. Medici et Matliematici. Commentarij fres... Basileae, см. мою статью: Фшюсофско-математические идеи XVI века. Cantor. Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik. В. II. S. 565. Ближайшим родом (лат.). Прим. ред. Исправленный Евклид (лат.). Прим. ред. Arzet. Clavis Mathemalica. 1634. Ozatiam. Cours de Mathematiques. 1720. Taquet. Elementa. Georaetriae. 1654. Euclides restitutus etc. a Alp. Borelio. Romae. 1670. Euclides ab omni naevo vindicatus... auctore Hieronymo Sacchero, Mediolarni. 1738, см. также Engel-Stackel. DieTheorie der Parallellinien. Leipzig. 1875.

"Некоторая" (лат). Опр. 3 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству". Прим. ред. Определение 20-е 7-й книги: "числа называются пропорциональными, когда первое второго, а третье четвертого суть равнократные, или равночастные, или равномпогочастные". Евклид. "Начал" три книги в пер. Петрушевского. 1833.

Taquet. Elementa Georaetriae planae ас solidae etc. Aiilverpiae. 1654. L'art de penser. А. Арно, П. Ншсоль. Логика или искусство мыслить. М. 1991. Прим. ред.

Dechales. Elementorum Euclidis Libri Octo ad faciliorem captum accomodati aucthore P. Claudio Francisco Milliet Dechales Cambericus Soc. les. Luguiidi MDCLXXV.

Интересно сравнить теорию Таю с теорией Саньо д' Овидио, в которой роль равенств (*) играют


nja = mjb + aj      uj <b

lijC^pjd + Cj       CC<d mij =Pj-

29 Рассел Пеаио.

30 Amaldiis. Nouveaux elements de Geometric. Paris. 1683, (анонимно, как
его пор-роялевская логика).

31 Здесь можно отметить более грубый способ уже не сократить, а отде
латься от 5-й книги, относящийся к этому времени. Это
Euclidis
elementorum sex libri Henrici Coetsii. 1692, где 5-я книга сводится к
числовой теории пропорций с пояснениями на числах, вместо евкли
довых доказательств 7-й книги, причем поясняется, что автор это де
лает потому, что читатель привык более мыслить в числах, а то, что он
говорит о числах, легко распространяется и на линии.

Вне сомнения, в связи с арифметизацией геометрии в XVII веке находится и онтологическая проблема, о которой велся спор между Арно, стоявшим на точке зрения Декарта, и Мальбраншем, шедшим дальше его. Это проблема вроде схоластической "universalia in ге" или "ante rem" [универсалии в вещах или до вещей (лат.)] сводится к вопросу: numerus ante rem numeratam aut in re гштега1а?[числа до перечисленных вещей или в перечисленных вещах (лат.)] В переводе на математический язык: дается ли число счетом или число следует понимать общее. Решение вопроса в последнем смысле приводит к признанию относительных величин Арно за числа.

I 11    Т.е. части вида -, где п - целое. Прим. ред.

33 Конечно, в основании этого доказательства те идеи, которые лежат в
основе метода исчерпывания Евклида (см. 12-ю книгу: 2, 5, 10, 11, 12
предложения).

34 Величина как род, величина вообще (лат.). Прим. ред.

33 De la Caille. Lectiones elementares mathematicae Seu elementa Algebrae et Geometriae. 1762.

36 Количество или величина (лат.). Прим. ред.

37 Искусство открытия (лат.). Прим. ред.

36    Herigonus. Cursus mathematics nova etc. Paris. MDCXXXIV.

35 Descartes. Geometrie. Liv. I.

Интересно проследить влияние, оказанное картезианской философией на арифметизацию геометрии. После сведения материальной вселенной к "mundus geometricus", к движущимся геометрическим фигурам в пространстве, объявив все остальное иллюзией, оставался только один путь - к Мальбраншу и Беркли, к признанию только одной ре-

505


альности - духа. Вместе с тем число, как принадлежность духа, независимая от опыта в материальной вселенной, переводится на высшую, в сравнении с пространством, плоскость существования. Malbransche. Reponse аЗ lettres de Arnauld, Recherche de la verite 6. Ch. V. Брюнсвиг характеризует две ступени Декарта и Мальбранша так: первый прилагает алгебру к геометрии, второй сводит геометрию к алгебре. Bninschvigg 9. Les etapes de la philosophie malhematique, p. 130.

40 Эирикес. Вопросы элементарной Геометрии. Спб. 1913, статья Д, Вай-
лати "Учение о пропорциях", стр. 220 и дальше.

41 Euclidis. Megareusis Elementorum Geometriae. Lib. XV. cum-
commentationibus. Campani
. 1491.

42 Перевод Мордухай-Болтовского в изд. 1950 г.: "Говорится, что отно
шение составляется из отношений, когда количества этих отношений,
перемноженные между собой, образуют нечто". Прим. ред.

■°    "Начала" Евклида. Ващенко-Захарченко, стр. 214.

м Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отношение сторон. Прим. ред.

15 См. об относительном умножении отношений, напр. Кутюра. Философские принципы математики, стр. 29.

46 D. Vitale. Euclide restitulo. Roma. 1680.

47 Bnmschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris. Alcan.
1912, p. 47.

*    Rivard. Elements de Matheniatiques. Paris. 1788.

59    L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des

Matheniatiques prise dans toute oson etendue. A Geneve. .1778. 30    Legendre. Elements de geometrie.

51 Учебники лежандровского типа: Gamier, Vincent, Terquem, Sonnet,
Dupin, Fournier, Nicollet, Pascal,
а также позднейший Rouche et
Comberousse.

52 Lacroix. Elements de Geometrie a l'usage de 1'Ecole Centrale des Quatre
nations. Paris. 1814.

53 A. Sannia ed E. D'Ovidio. Elementi di Geometria ad uso dii Ginvnasii e
degli Instituti Tecnici. Napoli. 1916.

"    G. Veronese. Elementi di Geometria ad uso dei Gimnasi e instituti tecnici.

Padova. 1911, parti 1, t. II. См. также геометрии, учебники Энрикеса и

Амальди, Инграми, де Наолиса и т.д. 55    Гурьев. Основания Геометрии. Спб. 1825 и другие его сочинения.

Метод исчерпывания.

Математическое образование, 1928, № 6, с. 229-240.

1 Аристотель о бесконечности - "Phys.". Сар. V. "De General, et Corrup". Cap. III.

506


2 Примеры reductio ad infinitum - приведение к бесконечному (лат.) -
можно найти у Аристотеля и у схоластиков.

Первым образцом такого доказательства является известное зеноновс-кое доказательство несуществования пустого пространства. См., например, Таннери - "Первые шаги греческой науки". Укажем также доказательства существования первой материи и первого двигателя у Аристотеля, - "Мех.", гл. XIV, с. 1; "Phys.". VIII. С. 49.

3 О статическом характере античной мысли см: Шпенглер - "Закат Ев
ропы". [М.1993]TI.

А Определение Д'Аламбера предела см.: "Encyclopedic methodique des arts etdes metiers" (Diderot), статья Limite, также Melanges, § XIV, Об истории пределов см. мою статью "Генезис и история пределов". О Д'Аламбере см.: Bobynin. "Elemeute der Geometrie" в Cantor. "Vorlesungen ub. Ges. der Math.", В. IV, Ab. XXII, S. 355, также В. 1П, статья Бобынииа - "Элементарная геометрия и ее деятели во второй половинеXVIII века", "Журнал мин. нар. проев.", сер. XII, 1907, № 1, отдел 2.

5 См., напр.:, Поссе. "Курс дифференциального и интегрального исчисления", § 5. У Коиш ("Уроки диф. и инт. исчисления", пер. Буняковско-го, С. 1831) этот пункт не выявлен.

* ТоестьдляУе>0 нетолькоЗп, так что|Ап-А|<е, но 3N , так что ддяУп>N |AN-А|<е.npriM. ред.

7 Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Его работа в
"
Math. Ann.", 21, 23, и "Acta Math.", t. П. [Г.Кантор. Труды по теории
множеств. М. 1985]

8 У Клавия впервые выступает этот постулат. См.: "Euclidis elementonim
libri XVI". Auctore Christophoro Clavis. Francfurti. 1654. См. также Эн-
рикес. "Вопросы элементарной математики". С. 1915. С. 220, статью
Вайлати: "Учение о пропорциях". "Мат. обр.". 1916 № 7-8.

> Arist. "Phys." УТЛ. I. Tiedemann. "Geist der Spec. Philos.". B. 111. S. 542. Thorn Aq. p. 1, q. 7, a. 2,1 Sent, des 43, q. 1. Quodex ub. g. a. 1. lib. 10 q. 2. a. 4. XI Met. lee. 10. Аргументы Прокла за вечность вселенной у PMlipon 'a "Contra Proclum de aeteraitate mundi. Ven. 1535. Схоластики, пытаясь примирить Аристотеля со св. писанием, признавали высказываемое Аристотелем за передачу чужого мнения. Thorn. Aq. 1 p. q. 46.

10 См. "Аналитики Аристотеля". Конспект в "Логике" Владиславлева. [Met. 1005 Ь20] Об Аристотеле Brunschvigg. "Les etapes de la philosophie malliemaiique". Alcan. Paris. 1912. p. I, ch. V. Milhaud. "Aristote et les mathematiques". "Archiv furGesch. der Phil", t. XVI. 1903.

"    Brunschvigg p. I, ch. Ill, ch. IX.

Обэлейцахсм. Arist,:"Phys", 1-4,"DeCoelo", П1,1."Desopliis. el.",28. Simplic. in "Phys". Arist. 8, 9, 22, 24, 25. SextEmpyr. Pyrrh. hyp. Ш, 65. "Adversus mathematicos", X, 46.

507


12 Понятие переменного некоторое время остается связанным со време
нем, всякое изменение мыслится
во времени. Время является универ
сальным
независимым переменным у Баррова и Ньютона (1643-1727).
Banvw. "Lectiones opticae et Geoinetriae".

Newtoni. "Theoria fluxionum" (теория (junmcofi, фр. пер. 1740 г.) Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937. см. Cantor. "Vorlesungen Ps ." Ш.

13 "Начала Евклида", русские переводы; Петрушевского, (1833), Ващен-
ш-Захарченко (1880). ГМордухай-Болтовского (1950).]
Немецкие:
Lorenz. Halle 1840.

м "НачалаЕвклида". О методе исчерпывания: Klugel. "Math. Worterbuch. Exhaustionsmethode".

15 Выражение "исчерпание", "метод исчерпывания", видимо, впервые
встречается у Такэ, который, выявляя общие схемы метода исчерпыва
ния и устанавливая с помощью его положения общего, абстрактного
характера, ведет его к превращению в метод пределов.

Andreae Taquet е. soc. jesu "Opera mathematical Losani. 1666. Taquet. "Elementa Geometriae planae et Solidae". Antverpiae. 1684.

16 Паппус во времена Диоклетиана (284-305 по Р.X.)

"Collect. Мах". IV, II. Старое издание Коммадина Ven. 1589; Hultscz. Vol. t. XIII. Berolini. 1875-78.

17 Основа их: Legendre. "Elements de Geometrie". Давидов. Элементар
ная геометрия. 1922.

Методическая переработка: Lacroix "Elements de Geometrie a 1'usage de l'Ecole centrale des Quatre nations". Paris. 1814. К этому типу относятся извеспшеучебни1си: Roadie'etComberousse, Niewenglowski, Hadamard (хотя не вполне). О Лежандре и его учебнике см.: Bobynin. "Lehrbucher".

18 "Опыт усовершенствования элементов геометрии". Спб. 1798. "Основа
ние геометрии". Спб. 1825. О
 Гурьеве (1766-1813) см.: Bobynin. S. 319.

'» Archimedis "Opera" (ed. Heiberg). Архимед (287-212 до P. X.). [Архимед. Сочинения. М. 1962.]

20 "О шаре и цилиндре", пер. Петрушевского. [Архимед. Соч. М. 1962.]

21 Miihaud. "La methode d'Archimede". "Rev. ScienL". 1908.

22 См. литогр. записки Д. Мордухай-Болтовского "Курс диффер. и ин-
тегр. исчисл.". Т.
I, Варшава. 1915. Также четыре лекции по филосо
фии математики. (Наст. изд.).

23 Д. Мордухай-Болтовской. "Философско-математические идеи XVI в."
[наст, изд.]

м Kepleri. Novastereometria doliorom. Изд. 1615. Также в "Opera omnia." Francfiirti 1871, vol. IV, p. 537-538. [Кеплер. Новая стереометрия винных бочек. М. 1935] Bon. Cavalieri. "Geometria indivisib." Bononiae. 1635 (1653). [Кавальери. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940] Walisii. "Arithmetica iiiGnitonmi". Opera Oxoniae. 1693. Аксиоматику исчисления бесконечно малых актуальных см. у I'Hopital. "Analyse des infin.

508


.petits". Paris 1759. [Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л. 1935] Историю исчисления бесконечно малых - в книге: Gerhardt. "Die Entwickelung der Hoheren Analysis". Halle, 1855. В "Vorlesungen" Cautor'a В. II, k.78. "Infinitesimal Betrachtung". Kepler. Cavalieri. Из старых книг: Knorre. "Dissertatio geometrica de methodo exliaustiones et indivisibilium". Wittenburgnae, 1692.

25 Об апагогических доказательствах - моя статья в "Ростовском научном вестнике" за 1922. [См.: "Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем" в наст, изд.] Аристотель об апагогических доказательствах "Analitica Pos", lib. I; см. также пор-роя-левскую логику: "L'art de penser" (Арно и Николя). [А. Арно и П. Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991] Примеры выпрямленных доказательств (с помощью введения бесконечно малых) молено найти в книге Ozanam. "Cours de Mathematiques". Paris. 1720; lect. XI.

м Эта форма вырабатывается впервые Дюамелем - Duhamel. "Elements de calcul infinitesimal". Paris. 1860, ch. IV, V, VI.

27 Обработка принципа Кавальери в смысле современных идей - см.:
Weber-Wellsein. "Энциклопедия элементарной математики", изд. Ма-
тезис. Одесса. Т.
II, книга III, § 90. Принцип Кавальери, стр. 262; см.
Также:
Heinze. "Genetische Stereometrie".

28 Торичелли (1608-1647). "De dimensione parabolae" в "Opera
Geometrica". Florence. 1644. О нем Cantor. "Vorlesungen". В. II. S. 883.

23 Квадратура параболы Архимеда: Arch. "Opera" (ed. Heibug), I, 288. [Архимед. Соч. M. 1962] Cantor. "Vorlesungen". В. I. К, 29, S. 289. См. также Duhamel. "El. de calc. inf.", ch. V, p. 29.

Из истории метода наложения в элементарной геометрии

Математическое образование, 1928, № 3, с. 107-113.

1 На русском языке: евклидовы "Начала", восемь книг, пер. Ф. Петру-
шевского, или "Начала Евклида" в пер. Ващешсо-Захарченко. Киев.
1880. Пользоваться в виду неточности перевода следует очень осто
рожно. [См. также пер. Мордухай-Болтовского. М 1950.]
Хороший перевод:
Euclids Elemeiiteu funfzelm Buches ubers. L. Lorenz,
Halle, 1840.

2 Legendre. Elements de Geometrie, Paris, неск. изд., напр. 1837. Русское
издание в переводе Баландина и Бунтац:
Лежандр. Основание геомет
рии и тригонометрии Спб, 1837; в другом издании: "Элементарная гео
метрия Лежандра", Спб. 1879, переработка
Blanchet Legendre. Elements
de Geometrie, 1813.
Серьезная методическая переработка Лежандра -
Lacroix. Elements de Geometrie a 1'usage de l'ecole Centr,, Paris.
1814.
Этот учебник лежит в основе всейучебной литературылежандроватипа.

509


3 Это доказательство вошло в употребление значительно раньше "Эле
ментов" Лежандра; см.: например,
Coeti. Euclidis elementorumsex libri
priores. 1697; "Элементы" Лежандра, кн, I, пред. XII.

4 "Начала" Евклида, кн. I, пред. VII. "Элементы" Лежандра, кн. I, пред.
X. В учебнике Киселева вместо медианы проводится биссектриса ("Эле
ментарная геометрия", Москва, 1914, стр. 27, §38). Таким образом,
третий случай равенства общего типа треугольников заменяется пер
вым случаем равенства треугольников; причем, теорема доказывается
непосредственно наложением. Конечно, и это доказательство недопус
тимо с евклидовой точки зрения.

3     Legendre - BlanchcL Liv. 1. Prop. X (см, Давидов); у Legendre'a изд.

1837 теорема доказана иначе. «     Aristotelis. Melaph. Lib. IX, стр. 9. Aristotelis. Opera omnia graece el

latine, изд. Didot [Аристотель Соч. в 4 Т. T.l. M. 1976.] 7     Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Пер. Фета. Т. I, § 15,

Очевидность как критерий истинности. См.: Descartes. De Prima Philosophic IV, p. 25, 34, 39. Regulae ad dirigendum ing. 2 p. 4 (Декарт. 1596-1658. Виндельбанд. I стр. 34), см. Также Arnoldi Geilinx. Logica fundamentalis. Lugd. 1662.

10 Аналитика Аристотеля. Есть французский перевод. Dernieres
Analitiques. Logique d'Arislote trad, par Barthelemy Saint-Hillaire, 1842.
О логике Аристотеля см. новую книгу: Ziehen. Lehrbuch derLogik, Bonn.
1920. Bd
. 1, § 9.

11 Euclides-Heiberg. S. 9. 5 постулатов (пятый - о параллельных, иногда
относится к аксиомам- Л аксиома.

11 О постулатах Евклида см. Hauber. Christomatia Geometrica. Tubingen. 1820. § 127; также Savillus. Praelectiones tredecim Oxoniae, 1820; см. также Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris. 1912, стр. 89. Les postulats. Там же библиография. [Декарт. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989.] [Аристотель. Соч. в 4 Т. Т.2. М. 1978],

13 Понимание постулата Кантом в логике родственно евклидову. Постулатом, говорит Кант (Логика I, 2 отд., § 38), называется практическое непосредственно-очевидное положение или принцип, определяющий

510


возможное действие, в котором подразумевается, что способ его выполнения непосредственно очевиден.

14 Savilli. Praelectiones. О Савилли (1549-1622) см. Cantor. В. II, S. 664,
р. 131, также Kastner, 1,249, III, 19-26; Ball. History of mathematics at
Cambridge, p. 29.

15 Hobbes. DeCorpore, ch. VI, S. 13. Lond., 1839, p. 72. [Гоббс.Избранные
произведения.
M. 1964.] Brunschwigg, неправильно считая определе
ния Евклида номинальными, считает, что цель постулатов - придать
им
реальное значение, и в этом смысле неправильно понимает и Гоб-
бса.

Brunschwigg. Les etapes etc. Liv. II. ch. VI, p. 91. О постулатах и аксиомах см. также Кэджори. История элементарной математики. Одесса, 1917, где приводится резюме доклада Vailati, напечатанного в Verhandluingen der dritten intern. Math. Kongress in Heidelberg 1904; см. также Tannery, La Geometrie grecque.

16 Например, Arzet. Clavis Mathemalica, 1635.

17 Euclidis - Heiberg, vol. l, p. 11.

C(F)

Прим. ред.

19 Этим наложением Евклид в предл. 4 1-й книги
доказывает равенство треугольников по двум
сторонам и углу между ними ("первый случай
равенства треугольников" по терминологии ав
тора). Прим. ред.
 A(D) В(Е)

20 О схоластическом реализме см. Haureau. De la philosophic Scolastique.
Paris. 1850.

й    Euclides elemeutonim libri XV auctore Christophoro Clavio.

22 В теоремах о равенстве треугольников Евклид доказывает: а) равнове-ликость; б) равенство сторон и углов. Euclides-Heiberg, s. 17: "et triangulus triangulo aequalis erit et reliqui reliquis aequales alter alteri".

511


[Треугольники будут равны друг другу и их элементы будут равны друг другу, (лат.)].

23 Zeuthen. Historic des Mathematiques trad. par. Mascart. Paris. 1902, p. 72. [Цейтен. История математики в Древности и в Средние века. М.-Л. 1938.] Взгляды Платона - см. диалоги Тимей, Федон, Республика, Федр, Критон. Аристотель - бесполезность идей: Met. II. 2. Et. I, 4; опровержение: Met I, 9 XIII, 4, 9 VII. 6. 13.

Brunsclwigg. Les etapes. Liv. II. Ch. IV, p. 67 см. Zeller. Die philosophie der Griechen, II. Teil. II Abh. Die Dialektik der Ideenlehre.

14    Умное место (греч.). Прим. ред.

25 О рационализме см. Bouillier. Historie de la philosophie cartesierme. 1814-1816. О логике Декарта см. Ziehen, 1.1 Cap. 2. § 23. Классическое сочинение по логике рационалистического направления. Арно. L'art de penser (пор-роялевская логика). [А. Арно, П. Николь. Логика, или искусство мыслить. М. 1991.]

м MilletDechales. Elementoram Euclidis. Libri Octo Lugundi 1675. Claude-Fransois Millett-Dechales (1621-1678). Его же. Cursus sen Mundus geometricus, см. Cantor III 4-6, 15.

27 Гильберт. Основания геометрии (есть на русском языке). [М. 1948.]

28 Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683.- Арнольдиан-
ские учебники: Varignon. Elements des Mathematiques. Amsterdam. 1734.
Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1750. Camus. Cours
 de
Mathematiques. 1735 и многие другие XVIII века.

29 Об аксиоме Арно см.: Исследования о происхождении некоторых ос
новных идей... Часть: Аксиоматика
XVII в. в наст. изд. Прим. ред.

30 Savilli. Praelectiones. Lib. X. p. 196.

31 "Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости
встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой"
(пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

32 Т.е. теорема сводится к утверждению о равенстве треугольников по 3-м
сторонам, которое принято как аксиома. Прим. ред.

33 Savilli. Praelectiones. Lib. IX, p. 170, p. I.

Философско-математические идеи XVI века.

Известия Донского университета, 1919, т. 2, с. 1-48.

1     L: Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathemalique. Paris, Alcan.

1912. -     Выражение Амоса Каменского.

3     Cardani. Opera Omnia. 1663. De Subtilitate. Libri XXI. Basileae 1554. 1     Искусство изобретать (лат.). Прим. ред. 5     Искусство доказывать (лат.). Прим. ред.

512


6 С. Waddington. Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris. 1855. Так
же:
M Владиславлев. Логика. Обозрение индуктивных и дедуктивных
приемов мышления и т.д. Спб. 1881.

7 В. Виндельбанд. История философии. Спб. 1898, стр. 358.

8 Самый общий род (лат.). Прим. ред.

9 Первичное (греч.). Прим. ред.

10 Небытие (греч.). Прим. ред.

"    Универсалии (лат.). Прим. ред.

,:    Дыхательные звуки (лат.). Прим. ред.

11 Интересно отметить, что в XVII веке все три типа: определение, посту
лат и аксиома сводятся к одному: к аксиоме, тогда как в современную
эпоху "формально-гипотетической" математики они сводятся к опре
делению, (см. Пуанкарэ. Наука и гипотеза).

Главным моментом определения является не называние, а указание очевиднейшего, первейшего и известнейшего свойства объекта. Постулат и аксиома отличаются только тем, что первое относится к построению, второе к свойству.

Borelli. Euclides RestitiUus 1679. У других авторов эти понятия совпадают, и термин-постулат совершенно отпадает.

14 Спиноза. Этику.

15 Rami. Dialectics» Libri Duo. 1586. Waddington. Ramus. 1855, p. 364.

16 Выдержки из старых алгебр и подробный исторический очерк см.: L.
Mattliiessen. Gnmdzuge der Antiken mid modern Algebra. Der litteralen
Gleiclumgen. Leipzig. Teubner. 1896.

17 Утверждение (фр.). Прим. ред.

18 Боэций 470-570. Boelhii In Porphyrium. Isag I. VI, p. 86. Porph. Isag. Ш.

19 Abelard. Dialectica liber Divisionum et Defmitonum. Remusat. Abelard,
T. If.439.

20 Комментарии Клавия помещены тоже отдельно от них же в собрании
его сочинений.

21 Евклидовых "Начал" восемь шиш Пер. Петрушевского, Спб. 1819, стр. 2.

22 Через род и [специфическое] различие (лат.). Прим. ред.

23 Petri Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae 1569. Sholarum
Matliematicarum Libri uiuis et triginta. Basileae
1569. Francfurti 1569.
Определение параллельных прямых, как прямых равноудаленных ве
дет свое начало с Геминуса и Посидония (1 в. по P.
X.)

24 Параллельные линии суть линии везде равноудаленные (лат.). Прим. ред.

25 Определение 10 1-й книги. Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Пет
рушевского, сгр. 2.

26 Подобные прямолинейнык фигуры суть те, которые имеют углы рав
ные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные. Пер.
с лат. Мордухай-Болтовского, М. 1950. Прим. ред.

513


514

Подобие же кругов и шаров понимается посредством соответствующих многоугольников с бесконечным числом сторон (лат.). Прим. ред. Euclidis elementorum Libri XV... auctoc Crist. Clavio. Francftirti. 1654 (первое издание 1574). Прим. ред.

Постулат 3 I книги "Начал": "... из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг" (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред. В дальнейшем существование геометр, объек. - это отсутствие противоречия в определяющих его логических терминах. Сравни Аристотеля: Est vero interrogantis, ita disputationem induere ut respondentem cogat maxime improbabilia dicere ex iis, quae propter thesin sunt necessaria. Respondents contra est ne sua culpa videatur accidere absurdum, aut quod sit contra opinionem omnium, sed propter tlicsin. Aristoteles. Topicoram Lib VIII. Cap. IV ["Вопрошающий должен так вести речь, чтобы заставить отвечающего говорить самое неправдоподобное, необходимо вытекающее из тезиса. Отвечающий же должен так вести речь, чтобы несообразное или противное общепринятом}' казалось получающимся не по его вине, а из-за тезиса". Аристотель. Топика, кн. 8; гл. 4. Соч. 4 Т. Т. 2, пер. Иткина. М. 1978.] Albert! Dureri. Institutioiium Geoiuetricorum Lib. Lutetiae 1532. Клейн. О преподавании геометрии. Вестник Опытной физики и элементарной математики. № 537. 1911 год. Чертеж, схема (лат.). Прим. ред.

Точка есть то, что не имеет частей [ср. опр. 1 юл. I "Начал" Евклида]. Линия - то, части чего суть точки. Поверхность - то, части чего суть линии. Тело -то, части чего суть поверхности. Или иначе: точка есть неподвижный момент, линия это движущаяся точка... также точка есть то, что не имеет ни одного измерения,., (лат.). Прим. ред. Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik В. I. 1907. § 73. Пселл (p. 1028 г.) известный средневековый логик, сочинение которого Ею ttiv. АрютотеХооС *.о7Ч£лу...имсло большое значение в средние века. Michaelis Pselli. Compedium Mathematicum aliaque tractatus eodem pertinens. Lugn. Bat. Exo fficine Elzeviorum. 1647. Gulielmo Xylandro interpretato.

Срав. определение Анариция: угол - количество, имеющее протяжение, границы которого сходятся в одной точке. Т.е. любой отличный от треугольника многоугольник, который здесь рассматривается гак составленный из треугольников. Прим. ред.


19 Т.е. любой отличный от пирамиды многоугольник, который здесь рассматривается как составленный из призм. Разбиение многогранника на пирамиды проводится аналогично триангуляции многоугольника. Прим. ред.

10 Пентаэдр - призма с треугольным основанием. Всякая другая призма может быть составлена из пентаэдров: разбиение призмы на пентаэдры находится во взаимно-однозначном соответствии с триангуляцией многоугольника, лежащего в основании призмы. Прим. ред.

"    Hanp.HenriciundTrellein.

п В учебниках XVR в. и ХЖП в. Штурма [I. Sturmii Mathesis Iuvenalis] и Вольфа различаются три части элементарной геометрии: евтимстрия, или лоигиметрия, эпипедеметрия или планиметрия, и стереометрия. См. также: Аничков. Теоретическая и практическая геометрия. Москва. 1780.

-,3    Евклидовых "Начал" восемь книт. Пер. Петрушевского. Спб. 1819, стр. 30.

w    Т.е. если угол / АТЗР равен Z.K В С   при равных основаниях АС и

А С    то рггга- Е nmrrniT ABР то ZAFP *> / А R С

*  n™Tnwou!etuxeen sa ueomelne.

18 О сегментах круга, об опнсывании круга и тругольиика, о вписывании треугольника (лат.). Прим. ред.

■" Конус есть то, что содержится между конической поверхностью и основанием. Цилиндр есть то, что содержится между цилиндрической поверхностью и противоположными основаниями (лат.). Прим. ред.

30 Т.е. поверхности, образуемой движением прямой линии, (лат.). Прим. ред.

31 Varium это кривое тело, основание которого представляет собой обвод, а
образующие - прямые [идущие] кругом от края до края по основаниям
(лат.). Согласно данной выше классификации,
gibbum - это вид тела,
однако в данном случае фактически определяется поверхность этого тела,
что и позволяет автору называть
varium поверхностью. "Основания в
этом определении - это направляющие поверхности". Прим. ред.

52 Через род (кривое тело) и [видовое] отличие (сторона) (лат.). Прим. ред.

53 Цилиндр противополагается конусу, между тем как в настоящее время
цилиндр - вырождение конуса, когда вершина ушла на бесконечность.
Это точка зрения диалектической логики, встающей выше логики клас
сов, разбивающей неизменность видов. Цилиндр, с одной стороны, не
конус, ибо в нем прямолинейно-образующие параллельны, в то время
так в конусе не параллельны, с другой стороны, цилиндр - вид конуса,
ибо нельзя указать, когда при удалении вершины конус перестает быть
конусом.

515


54 Methodus admirandarum mathematicorum novem libris exhibens
universam Mathesin autore Johaimo Henrico. Alstedio Herbornae
Nassovioram. 1623. Johann Heinrinh Alsted 1588-1638. Cantor. II. 719.
Kastner
Ш. 434-438.

55 Alstedi. Novum speculum Logicis minime vulgaris. 1652,

» Riff. Quaestiones Geometricae in Euclidis et P. Rami CcoijcsuDaiv adsumscholae Mathematicae colleclae doctore Rufo. Oxoniae. 1665.

57 Определения образов (видов) (лат.). Прим. ред.

58 Исследования свойств данных величин независимо от их вида (лат.)

59 Эвтиметрия линий. Термин "эвтиметрия", по-видимому, происходит
от греч.
svcox& (счастье) и обозначает "хорошее" сочетание геомет
рических обектов. Прим. ред.

60 В гегельянстве дихотомная система заменяется трихотомной, и прин
ципом построения является не родовое соподчинение, а диалектичес
кий принцип, противополагающий тезису антитез и соединяющий их
в синтезе. Точка и пространство - это первые тезис и антитезис, точка
и пространство, и их отрицание и примирениe, обретается в прямой
линии, которая как количество-расстояние и кале качество-направле
ние дает снова тезис и антитезис и т.д. (Гегель. Философия природы.)

41    Arnaldus. Nouveaux elemens de Geometric Paris. 1683.

62 Здесь уместно упомянуть логистическую точку зрения: линия здесь объявляется классом точек, которым присуще определенное свойство; наиболее существенным представлятся не отношение вида к роду, не отношение части к целому, а соотношение между объектами, удовлетворяющими одной и той же системе постулатов и подвергающимся тем же формальным операциям. См.: Ingrami. Elementi di Geometria. Bologna. 1904. Pieri. I principia delli Geometria, и др. его сочинения.

й    Т.е. точек прямой. Прим. ред.

ы De la Caille. Lectiones elementares Mathematicae seu Elementa Algebrae et Geometriae. 1762.

65    Порочный круг (лат.). Прим. ред.

* Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778.

В прошлом столетии угол имеет интересную историю, ярко отражающую "механизацию" геометрии от начала к середине столетия. От евк-лидовского угла, как наклонения (принятого Хауффгом 1803 г., Бреве-ром 1822 г., Паукером 1823 г., Коберлейном 1824 г., Креллем 1824 г., ван Свинденом 1834 г,, Ульрихом 1836 г., Рехтом 1844 и Эбенсбергером 1850) и разновидности угла, как раскрытия (ouverture) (Безу 1812, Де-велей 1818, Махистр 1845) через бертрановское определение угла, как неопределенного пространства между двумя непараллельными прямыми (Форстерланг 1847, Кнорр 1849, Бекер 1859, Турих 1868, Адам 1869, Беер 1869, Шлегсль 1872 г.) эволюционирующая мысль составителей

516


учебников пришла к углу, как различию направлений (Тибо 1822 г., Фишер 1833, Вундер 1840, Эбенсбергер 1850, Кунце 1851, Хейдегреих 1856, Сонвдорфер 1865, Зененберг 1868, Турих 1898 ), а отсюда к отклонению (Abweichung) направления (Соломон 1847, Август 1852, Пернет 1857, Виганд 1863, Функ 1864, Грунерт 1870, Нагель 1873, Брок-ман 1871, Спикер 1873, и, наконец, к величине поворота (Grosse der Drelumg) (И. Мюллер 1844, Любсен 1850, Кунце 1851, Фрезениус 1853, Франке 1860, Сонндорф 1856 (два опред.), Хейс и Энгвейлер 1870, Спикер 1873 (два опред.).

Интересно отметить, что в некоторых немецких учебниках имеются два угла: угол - lineatum и угол - planum. Взаимное наклонение двух пересекающихся прямых называется углом (Winkel), а ограниченная ими часть плоскости (Winkel-raum), причем равным углам отвечают равные угловые пространства и обратно.

(Крелль 1826, Форстнер 1826, Бретшиейдер 1844, Август 1852, Сте-фенхагер 1847, Мюллер 1844 и Спикер L873).

См. историю определений: Schotten. Inhalt und Methode des planimetrischen Unterichts. Teubner. ет    Параллельные пространства играют важную роль в теории параллельных Бетрана, в основе которой лежит принцип: "Каждое параллельное пространство меньше угла."

Крелль, дополняет его еще вторым принципом: "Каждое ограниченное пространство меньше угла". Интересно отсюда вытекающее до-каз, того, что внешний угол в треугольнике больше внутреннего с ними не смежного.

У Мерея (Meray. Nouveaux de geometrie.) за изложением теорем и Операций, относящихся к углам, следует изложение теорем и операций, относящихся к параллельным полосам.

68 Lacroix. Elemens de Geometric 1'usage de l'Ecole Centraie des Quatre-
nations. Paris. 1814.

Lacroix. Essais sur 1 'enseignement en general et sur celui des Mathemattques en particulier. Paris.

См.: Бобынип. Элементарная Геометрия и ее деятели во второй половине XVIII века. // Журнал Министерства народного Просвещения.

69 Ordo Amoldianus в учебниках:

Lamy. Elemens de Geometric Paris. 1685.

Sauveur (revu par !e Blond) Geometrie elemenlaire et practique. 1753. Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1768. Заметно сильное влияние Арно на сочинения.

Varignon. Elemens de Mathematiques. Amsterdam. 1734. De la Caille. Lectiones elementares. 1762. Camus. Cours de Mathematiques. 1755.

517


71

11

Интересно отметить, что в "Руководстве начальной Геометрии" Остро-градского в отношении плана проводятся арнольдовские идеи. У Остроградского, в противоположность Лежандру, курс не начинается с треугольников, но ему очень рано приходится пользоваться теоремой о конгруэнтности Арно.

"Когда Вы встретите на боках двух равных углов части, соответственно равные, необходимо допустить равенство линий, соединяющих в каждом угле концы этих частей".

Также как Арно, когда с Остроградским доходим до треугольников, то все уже оказывается готовым, так как "треугольник, говорит Остроградский, можно рассматривать, как совокупность двух наклонных и секущей этих наклонных, ограничив первые и последние точками взаимных пересечений".

Остается только приложить к треугольникам свойства наклонных. Идея Арно провести теорию параллельных и перпендикулярных до исследования случаев конгруэнтности треугольников - конечно, не совершенно независимо от него, нашла осуществление и в учебниках чисто лежандровского типа, например в Геометрии Ньевеигловского. Путь же указан Омом.

Ohm. Die reiiie Elementar - Mathematik... Berlin. 1826. Этот фактор играл не меньшую роль, чем желание систематизирования. В этом отношении интересны сочинения Дешаля, Арце и Симпсона. Предисловие, (фр.). Прим. ред. То же - 5-й постулат. Прим. ред.

"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней" (пер. Мордухай-Болтовского). Возможен перевод: "Прямая'линия есть та, которая равно лежит своими точками". Прим. ред. То же акс. 9 (в изд. М. 1950). Прим. ред.

Dechales. Eleraeniarum Euclidis Libri Octo... autore Claudio Franciscio Millet Dechales...MDCLXXV.

Джордано Витале (1633-1711) выводит из равенства AOEF= BD, что ZC -ZD = d и отсюда, что AB и CD при условии одинаковости расстояний трех точек А, Е, равно отстает друг от друга, но если для какой-либо точки G перпендикуляр к АВ .. GH > АС, то откладывая QI = АС получаем противоречие Сгодной стороны СШ + HID меньше 2d, ибо ZACI = Z СШ и Z BDI =Z HID представляют части прямых углов с другой стороны эта сумма как сумма внешних углов прямоугольных треугольников, больше 2d. Vitale. Euclide restitute. 1680.

Бонола. Теория параллельности и неевклидовы геометрии. Энриквес. Вопросы Элементарной Математики Спб. 1913. Euclidis restitutus a Alplionso Borellio. Romae. 1679.

518


78 При движении вдоль CD концом перпендикуляра, не лежащим на CD. Здесь использовано первое положение Клавши линия, все точки которой равноудалены от прямой, тоже прямая. Прим. ред.

75    Euclides ab omni naevo vindicatus... autore Hieronymo Saccherio. Mediolani MDCCXXX1II см.: Enget und Stackel. Die Theorie der Paralieiinien. Leipzig. 1895. Каган. Основания Геометрии. Исторический очерк. Одесса 1907 г.

й Pascal. Oeuvres. Hachette. Paris. 1872. 1613-182. Cantor. Vorlesungen. Leipzig. 1900. s. 681-682.

81    Евклидовых "Начал" восемь книг, пер. Петрушевского. Спб., 1819, стр. 108. "Начала" Евклида с толк., пер. М. Ващенко-Захарченко. Киев, стр. 146.

ffi Friedlein. Procli Diadochi in primum Euclidi elementorum librum commenlarii. Leipzig, 1873.

m Les quinze livres des elements geometriques d'Euclide Megarien Traduits devrecen Francaispar. P. Le~Mardele, Paris. 1632.

* В учебнике вольфиансюго типа: "Ежели прямые линии и углы закрываются взаимно друг друга, то они равны между собой, ежели равны, то друг друга взаимно закрывают". Аничков. Теорет. и Практ. Геометрии Спб. 1780.

аз    Arzet. Clavis Mathemalica...MDCXXXIV.

У Кардана (Opus novum de proporionibis. Opera IV. 542-546) имеется доказательство, что угол (смешанный) между двумя пересекающимися равными кругами равен углу между равными хордами этих уголов (на основании положения, что углы сегментов с равными хордами равны). Aristotelis. Analytica Priora Lib. I Cap. ХХШ (no Didot).

Исследования о происхождении некоторых основных

идей современной математики.

Известия Северо-Кавказского ун-та, 1928, т.З, с. 35-129.

1 Методическая сторона настоящей темы более развита в моей работе:
Риторическая алгебра н арифметические задачи. "Педагогическая
мысль". Ростов-на-Дону. 1918.

2 Примитивное решение должно было выступать в периоды упадка ма
тематики. Вне сомнений, путем проб решились и задачи Алкуина.

3 Regula falsi при решении некоторых задач:

August Eiscnlohr. "Ein. mathem. Handbuch der Alten Aegypter." Leipzig. 1877. Бобышш. "Древнеегипетская математика в эпоху владычества Гик-сов". Журнал Мин. Нар. Проев, за 1909 г., № 10,11. (Regula falsi применяется в исчислении х а у: главы XI, XII, XIII.) Фальшивое правило у индусов isltla karman. Как отмечает Кантор, египтяне пользовались этим правилом инстинктивно, а индусы вполне со-

519


знательно. Cantor. "Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik." Bd. I, s. 371.

4 Khelasat al Ifisab ou Essence de Calcul de Beha-Eddin. Nouvelles Annales,
Т.
V. 1846.

Regula falsi, называемое таюке правилом уменьшения и увеличения, находится у Авраама бен Эзра (ИЗО), Иби Альбани (1222), Алказади (1480). О них смотри: Libri. Histoire des sciences math. Т. I, p. 304-312. Сочинение Альбани переведено на французский язык: Talkys dylbn Albani publ. et traduit par Aristide Mare. Rome. 1865. p. 26-27. О Еэг-Эддинесм. Nesselman. Behe-Eddins der Rechenkunst. Berlin. 1843.

5 Магницкий. Арифметика.

6 Albert Girard. Invention nouvelle en l'Algebre. Amsterdam. 1629.

Эта форма regula falsi называется иными prope veri, см.: Эйлера. -Theoria planetomm et commetanim, таюке Ньютона: De mundi systema in fine Princip. L. 3.41.

7 Matthiessen. rundzuge der Antiken und Modern Algebra der Lit.
Gleichungen. Leipzig. 1878,

8 Издание Диофанта: Guil. Xilander: Dioplmnti Alexandrini rerum
ariumieticamm- libri sex.
Изд. Bachet. 1760 с примечаниями Фермата
о Диофанте. Cantor. Vorlesungen. В. I, s. 433. [См. таюке: Диофант.
Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. Веселовского. М
.
1974.]

9 Ehrenfriedt Walter von Tschirnhausen (1651-1708),

Cantor. Vorlesungen. В. Ill, s. Ill, см. его переписку с Лейбницем. Leibniz. Opera. IV, s. 423-500.)

» Аристотель (384-322 до н. э,). О нем. см.: Историю философии. Zeller'a, Windelbandt'a и др. Aristotelis. Opera omnia graece et latine. Parisiis. Didot, 1.1. De praedicamentis. [Или рус. пер.: Аристотель. Соч. в 4-х томах. Т; 2. М. 1978.]

(Categoriae) Сар IV Об Аристотеле работы: Biese, Phlosophie der Aristoteles. Berlin, 1877 и др. Библиограф, см.: Ziehen. Lehrbuch der Logik; о его значении для истории математики: Cantor. Vorlesungen. В. 1, s. 238.

11    Сар. VI, [5ЬИ, ба19].

11    Следует отличать то тгасоо - quantum от жюотгк - quantitas.

t3 Categ. VI, 6a26. По-видимому, автор имеет в виду оппозицию 5ova,^ svspysux (обычный перевод: "возможность - действительность"), которая обсуждается Аристотелем в Met. VIII, хотя и ие применительно к "равному" и "неравному". Прим. ред.

14 Arist. Met. lib. VIII.

15 О схоластике: Неашеаи. De 1а philosophie Scolastique, p. I, II. Paris.,
Rousselot. Etude sur la philosophie de rnoyen age.

520


Подробное изложение средневековых философских систем: Ticdemami. Geist der speculativen Philosophic В. IV Marburg. 1793. '« О Дунсе Скотте (1274-1308) и скоттистах см.: Pluzanski. Essai sur la philosophie de D. Scott. Paris. 1887. Изложение его системы: Boyvin. Philosophia scotica. 41. Paris. 1668. Abergoni. Resoiutio doctrinae Scoticae. Lyon. 1643.

17 Фома Аквинский (1227-1274).

Его сочин.: Sancti Tliomae Aqunatiis doc. angelici. Opera omnia jussu Leonis ХШ. Romae 1884. Изложение его системы: Guerinois Clypeus ThoraisticaePhilosophiae. Venetii. Таюке учебники; Piny, Reichl, SchnelL Rabes и многие другие.

18 Рационалисты: Декарт (1596-1650), Арно (1612-1694), Гейлинкс (1625-
1669), Мальбранш (1638-1715). См.:
Ziehen. Т. 1. kap.2, s.26-29. Тща
тельный и тонкий анализ рационалистической мысли в книге Е. Н.
Спекторского: Проблема социальной физики в
XVII веке. Варшава.
1910.

19 S. Thorn. Aq. 4 Contra gent. С. 65. Summa Theologiae. I p. q. 14 ar. 12.
Opusc
.76. q. 5, art. 3. Opusc. 48 art. 12. Того же мнения и Суарец,

20 Kepleri. Nova Stereometria dolomm. Opera omnia IV, p.p. 537-538.

21 Cavalieri. Geometria indivisiiibus contin. nova quodam methode promota
Bononiae. (1635, 1653).

22 Fonnaliter ex natura rei, см.: Boyvin. Prantl, Geschichte der Logik.

23 О пространственном мышлении античной математики см.: Шпенглер.
Закат Европы. 1923, гл.
I. О смысле числа.

24 "Начала" Евклида. Опр. 2, кн. 1,[Пер. Мордухай-Болтовского. М. J 950]

25 Критику евклидова определения мысли с точки зрения требований,
предъявляемых аналитиками к определению - см.: A r
i s .. Topic. Lib.
VI, cap. VI. 5.

25    Onp. 5 кн. 1 "Начал" Евклида. Прим. ред.

2"    Опр. 1 кн. 11 "Начал" Евклида. Прим. ред.

28    Подробный разбор см.: Guerinois Clipeus. Q. Ill, art. 3.

19    Scotus Soncinas (Quacstiones Melaphyscae acutissimae. 1622), Capreollus

и др. ссылаются на Arist. 5 Met. *    Soncinas. Met. Lib. V. Q. XXI. 3!    Albertus Magnus (1193-1280). Opera ed. Pet. lammy. Lyon 1653, vol 21.

32 Определение Архимедом площади сегмента параболы.[См.: Архимед.
Квадратура параболы. Соч.М. 1962.]

33 Archiraedis. Opera (ed. Heiberg) I s. 288. см. таюке Cantor. Vorlesungen
uber Geschichte der Mathematik. Leipzig. 1894. B. s.

34 О месте (Locus) см.: Aristotelis. Naturales Ausculationes. Lib. IV Cap. L
II, HI.
[Pliys. IV. см. Аристотель соч. в 4-х томах. Т. 3. М. 1981.]

33    Arist. Categ. Cap. VI. 5а15-36.

521


36 Это утверждение автора странно, поскольку непрерывной непростран
ственной величиной у Аристотеля является время. Прим. ред.

37 Там же.

38 Newtoni. Methodus fluxionum. 1678. в Opuscula Newtoni I (есть и на
французском языке:
Cantor. III. 108, 168.) [Ньютон. Математические
работы. М.-Л. 1937. Метод флюксий. Пер. Мордухай-Болтовского.]

39 Учение Аристотеля о субстанциях. См. Met. V, cap. VIII.
10    Categ. Cap. VI.

" S. Thorn. S. T. I p. 30, art 3. Quodlibeta 10 art. 1. q. b. de Potentia art. 2. Guerinois. Cfypeus P. Т. 1. II dePraed. Art. IV, II.

'-    О времени: S. Thorn. 5 Met. Cap. 13.

Ai О движении: Аристотель не называет движение, перечисляя роды количеств в 5 кн. "Метафизики". Движение не количество: большинство фомистов против Фонсеки, Конимбрииценза и др.

14    "Неполное" - (лат.). Прим.

45 Евклид. "Начала", 7, изд. Петрушевского, очер. 2. Euclides Elementa miifzelm Bucher uberz I. Lorenz. Halle. 1840. [Также пер. Мордухай-Болтовского. M. 1950.]

16 Аристотель выражается несколько иначе, противополагая единицу не числу, а множеству, единица противоположна множеству, как мера тому, что измеряется. Arist. Met. lib X Cap. VI.

41 Реалисты, приписывают универсалиям (общим понятиям) реальное существование (Ансельм. Шампо, Бернард Шартрский). Номиналисты признают только символическое их значение. У позднейших схоластиков, у Фомы Аквинского компромиссное решение.

18 Концептуалисты универсалии находят в душе, но при этом не как слово или символ, а как ее модус. Это мировоззрение берет верх и его придерживаются рационалисты. К концептуалистам примитивного типа молено отнести и Абеляра. Remusat. Abelard 1.1, II. Paris 1845. Также Haureau, Prantl и др.

*    Met. V. гл. 6.

10    О методе Аристотеля см. Biese.

51 Met. Lib. XI cap. VI. Об идеальных числах Платона см.: L. Brunschwigg.
Les etapes de la philosophie mathematique. Paris. Alcan. 1912.

52 Там же.

a    Альберт Великий (1193 - 1280). Haureau. La pliil. sul-ХП, cah. XVII.

34    Г. Кантор. Кутюра. Принципы математики.

Внедряясь глубоко в анализ абстрактных понятий, схоластика разделяет два понятия единства: одно трансцендентное, отвечающее вещи в себе (unum quod convertitur cum ente по Колонне), и единство как принцип числа. Одно определяется как неделимое, отделенное от других вещей, т.е. отрицательно. Другое определяется положительно, числен-

522


но. При таком отделении трансцендентного единства от численного, единица впервые выступает как численная определенность, как первое число. Трансцендентное единство схоластиков не следует смешивать с сингулярным классом тождеств, трансценд, и числового единства. Тождество трансценд. и числового единства см.: Suarez XV Areolus, Cupreolus (in 2 dist. 18), Ocham (in 4q. 4) u quodib. 4 q. 29-33, 7q. 25, также Albertus de Sax. I Phys. gr.

Против этого Фома: S. Thorn. S. T. 3 par. q, 11 art. 2 in 4 dis. 2 art. 9. Alb. Mag. I. Phys. t. 104. Soncin 5 Met. 2, а также Dunmdus, Mauronius, Hervaeus и другие.

35 Soncinas. Met. lib. X. Q. VIII.

36 Там нее.

37 Об абстрактном понятии группы см.: Кутюра. Принципы Математики.
Изд
. Карбасникова.

58    Guerinois. De praedic. Quaiit, art. V.

3!>    Aristotelis. 8 Met. Cap. 3, также Phys. Cap. 3.

60 О Росцелине. См. сочин. Абеляра. Remusat Abelard.

61 Отметим чисто схоластическую проблему; о том, следует ли деление
относить к материальному объекту или к его количеству (это слово упот
ребляется в смысле пространства). Наряду с отрицательным решени
ем (
Suarez, Fonseca) и положительным (Soucinas, Capreolus, Caetenus,
Sanschez) еще имеются и средние компромиссные. Некоторые томисты
думают, что хотя части и относятся к вещи, но само их получение не
возможно без пространства (
Mailhed, Goudin), другие же видят роль
пространства в создании
порядка между частями (Casraa deLen). См.
учение Лейбница о пространстве, как порядке вещей.

ffl Suarez. Metaphys. Disputationes torai duo. Venetiis. 1619. Disp XLIV, XLV. О разл1гчении соединения и составных его элементов. За реальное различие Suarez, Arriaga, против Conimbricensis. Об этом вопросе подробно Knittel. Aristoteles curiosus. Progae. 1682.

я О материи и форме. См. Aristoteles. О нераздельности формы и материи. Alb. Mag. i Phys I trac. II.

64 Об учении Фомы о материи см.: Haureau. La philosophie scolaslique, XII. Cli. XX, p. 104

й    Жегалкин. Трансфинитные числа.

й Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Сб. 6. Ueber die imendlich lineare Puiiktmannigfaltigkeiten. Math. Aim. B. 15-21-23. 1879-1884.

ю    О multitude: Аристотель, Met:. Lib. XII. Cap. I.

   Soncinatis. Questiones metaphisicales acutissimae. 1622. Lib X.

69 Sonc. Lib. X. Q. X. За это прив. места из 10 кн. Метафизики Аристоте
ля
и Т1юш. 4 Met.

70 Sonc. Lib. X. Q. VIII. За это прив. место из 8 кн. Метафизики Аристотеля.

523


71 Arist. Met. Lib! IX, cap. VI.

72 Об Анаксагоре см. Zeller. Geschichte d. Ph., также Таниери. Первые
шаги греческой науки.

73 Ср.: Лебедев А. В. Фрагменты ранних греческих философов. М.1989.
Анаксагор, фр. 17: "ничто ие рождается и ие гибнет, но соединяется ...
и разделяется". Приведенная автором формулировка - позднейшая.
Прим. ред.

74 Ансельм. Patrologia Migne. 1853,1:. CLVIIL

75 Sonc. Met. Lib. V. Q. XVI.

76 Конечно, эти возражения создавались арабскими, а не христианскими
схоластами.

77 Generatio следует отличать от ortus (тому и другому отвечают русское
слово "рождение"): об
ortus см. Aristotelis. Naturales Ausculationes.
Lib. VIII.

78 Soncin. Lib. XII. Q. XV-XVI.

79 О философах до Аристотеля см. в "Метафизике" самого Аристотеля.
Также
Zeller. G. d. Philosophie.

80 Учение Аристотеля о против.: Arist, Met. Lib. X. cap. IV. О средних,
cap. V.

81 Там же, cap. VI.

82 Arist. Met. Lib. X. cap. IV, V.

83 Гегель. Логика, см. также Куно Фишер. История новой философии.

84 Arist. Phys. I. cap. VII. Met. Lib. IV. Tiedemann, s. 263.

85 Из ничего ничего не происходит-(лат.). Прим. ред.
8S    S. Thorn. Aq. Opusc. 31 in. Arist. Met. Lib. XII. с 2.

81    Аристотель о холоде. De Coelo, Lib. IV. Телезий. О нем: Carriere. Die

phil. WeltanschannngderReformationszeit. Stuttgart. 1847. VII, s. 314-

353. 38    Кардан. Там лее, VI, s. 324 - 352. *>    Arist. Categoriae, Cap. VTI. м    Т. е. в отношении "отец-сын". Прим. ред. 91    Alb. Mag. Ill, p. 207. Th. Aq. Opusc. 48. *    Авиценна. Die Metaphysik. Avicennas enthaltend die Met. Theologia etc.

ubersetztunderlautertvonM.Hortz. Leipzig. 1909. 10 Кар. 857, Старое

издание Avicenas Opera. Venetiis. 1523.

93 За умножение Hurtado. 15 Met. s. 10. Скотт. Scot, in 3 dis. 8 q. I, против
Thorn. S. T 3 p. q. 35. a 5,
см. также Knittel, Aristoteles curiosus 1682 ex
libris Met. Q. XLVHI.

94 Cm. : Guerinois. De Praed. Relat. Sonc. Lib. V.

95 Hervaeus Natalis, 1323. Quodlie II q. 14. Buhle § 797.

%    Wilhelmus Durandus, 1332. In Mag. Sent. I dist. 17 q. 3 q. Buhle §806. 97    In Mag. Sent. II dist. I. q. 5 Buhle. s. 770.

524


s8    Более подробно об этом смотри мою работу: Из прошлого 5-Й книги

"Начал" Евклида.[наст. изд.]. 59    Евклид. "Начала". Опред. 3. 5-й книги.

100 Там же, определение 5.

101 Евклид "Начала". Кн. 1.

102 Там же, кн. 7-9.

103 См.: (Arnauld). Nouveaux Elements de Geometric Paris. 1687.

m Арно - Antoune Arnauld (1632-1684) вместе с Николем составил знаменитую пор-роялевскую логику (L'art de penser). [ См.: А. Арно, П. Николь. Логика, или искусство мыслить. М. 1991.]

105 Newton. Arillimetique universelle par Beaudeaux. Paris. 1902. [Ньютон. Всеобщая арифметика, М.-Л. 1948.]

100 L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. Geneve. 1788.

H,T Legend». Elements de Geometrie; у Вольфа иррациональное число понимается как отношение линии к линии (Ontologia § 405), но у него еще не всякое отношение линий есть число.

108 Многими сознается, что центральной проблемой алгебры является уравнение; в этом случае предпосылается введение, где говорится сперва о численных, затем тотчас о буквенных уравнениях. См.: Lacroix. Elements d'Algebre. Поздн. издание: Prouhet. Paris. 1879. У Briot (Lecons d'Algebre) эта часть развита больше.

  Словесная алгебра.

110 Полусимволическая. Эйлер в" Anleimng гиг Algebra, Petersburg. 1802", излагая свойства чисел, уже при сложении и вычитании пользуется буквами, для "представления результатов в общем виде". Аналогичным образом поступает и Глаголев в элементарной алгебре (Москва, 1907), и Борель-Шттеккель в элементарной математике, изд. "Мате-зис".

Schubert. Element. Arithmelik und Algebra. Leipzig. 1910, указывает наряду с буквенными выражениями и уравнения. Давидов, Малинин и другие начинают прямо с буквенных выражений.

1,1 Уравнения, к которым приводятся обычно арифметические задачи, следующие: у - с = m (х + с) (перекладывание см. Егоров, зад. 1317), ах + by = с, у = х + d (деление на неравные части, зад. 1320), ах + by = с, у = шх (т. е. части, из которых одна кратная другой, 1491 и д.), х + у = s; у : х = m: п (деление, зад. 1521).

112 См.: Шапошников и Вальцов. Сборник алгебраических задач. Дави
дов в начальной Алгебре,
III гл. стр. 63, говорит, что взаимнопростые,
это такие одночлены (и многочлены), которые общим наибольшим де-
лителем нмеют Ч~ 1

113 Развитие вида

in   Развитие индивидуума.

525


115

116 117 118

119

120

121

122 123 124

125

т26

127

129

130

131

Этот взгляд приводится и в XVIII веке, см. De la Caille. Lectiones

elementairs mathematicae. 1762.

Евклид. "Начала". I книга.

Coroli Renaldini. Ars Analytica. Aiiconae. 1644.

Vieta. Ill artem analyticam Isagoge. 1591, Cantor. Vorlesungen uber

Geschichte der Mathematik. B. IT. Leipzig 1900.

Т.е. произведения площадей и тел, и двух площадей. Это допускает

уже Диофант. Прим. ред.

Смотри: Lex homogenarura. Isagoge, p. 5. Marie. Histoire des sciences

mathematiques, t. Ill, p. 9-19. Renaldini, p. 107.

Isagoge, p. 132-134, у Виэты эта операция ставит целью освобождение

от иррациональности; полагая х = ^80у уравнение х4 - 8х = л/80 приводим к 80у4- 8у = 1. Renaldini. Сар, XXIX, р. 211. Неизвестное. Прим. ред.

Декарт. La Geometrie deRene Descartes. Livre I. Paris - Hermann. 1898. Геометрия начинается с построения алгебраических выражений с разъяснением их смысла.

Картезианская точка зрения служит у Гильберта для основания теории пропорций без архимедова постулата (Streckenreclinung). Hilbert. Grundlageii der Geometrie. Leipzig. 1899. S.32 и др. издания. Есть и русское. [Гильберт. Основания геометрии. М. 1948.] См. мою работу: Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида. Математ. Образование за 1916 г. Большое историческое значение в этом отношении имеют {Arnaldua). Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683 и L. Bertram! Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778. Legendre. Elements de Geometrie (много изданий). Об индусах подробно: Ващенко-Захарчеико. История математики, Киев, 1883, стр. 377. Переводы на английский Bja-Ganita и Lilavati (Bascara) - Strachey. 1811. Taylor. 1816, см. также Buclmer. De algebra Indorum. Elbing. 1821.

Об арабской алгебре, между прочим; Matthiesen. Grundzuge der Antiken mid Modernen Algebra. Leipzig. 1878.

См. главным образом сочинение Магомета бен Музы (около 830 г.). LiberMahmeti filii Moysi Alchoarissmi de algebra et almuchabal mcipit... известно в средние века. Английский перевод Rosen. London. 1831.

Renaldini. Геом. выводы числовой алгебры, стр. 66, 77, 85; буквенные стр. 128, 133,136. [См. также: Аль-Хорезми. Математическиетракта-

526


ты. Ташкент. 1964., Сабит-ибн-Корра. Математические трактаты, М. 1984.]

Количественную точку зрения можно увидеть у индусов. У Диофанта "+" знак операции.

135 136 137

133 134 шO "u 141 M3 M4 145 16

Например, в курсе алгебры Лакруа. Йстор. данные смотри в книге: Мрочек и Филиппович. Педагогика математики. Renaldini. Alg. Speciosa, AQ + В in A = ZQ (p. 128) AQ BinA = ZQ(p. 131) Bin A AQ=ZQ(p. 134)

Renaldini. Alg, Speciosa Cap. III. Operalio Secunda, см. также p. 126. Renaldini. Parabolismus в числовой алгебре. Cap. X, p. 59. Renaldini. Alg. Speciosa, Cap. IX, p. 121. Viete. Introduction. Renaldini. Cap. XV, p. 148.

Vieta. De aequationum recognitone et einendatione 1615, p. 123-124. Там же, p. 132-134. Renaldini, p. 230. P. 216.

Renaldini, p. 175.

Renaldini. Algebra Spec. Cap. II, p. 129.

M8 149

Renaldini. Alg. Spec. Cap. XXIII. Vieta de recogn. Cap. 19, 20, 21. Визга решает задачу о построении уравнения, определяющего дашгые положительные корни й дает следующие формы: (а + Ь)х - х = ab, х3 - (а + b + с)х2 + (ab + ас + bc)x = abc; р. 158. У Жнрарда (Cantor В. II, s. 777) отрицательные корни фигурируют наряду с положительными, им придается геометрическое значение и "-" объясняется "отступая","+" "идя вперед". Многие корни являются только показателями того, что корней меньше, чем степеней уравнения, причем настолько, каково число многих корней. Но Харриот не признает отрицательных корней (Cantor, 790. Kastner. В. Ill, 42-46, 179-181). Renaldini, p. 235. В современной символике:

х3 -bx = Vz"; (x3 - bx)2 = x6 - 2bx" +b V; x6 - 2bx" -iib2x2 = z.

150 (a2 + 2ae + e + b)(a + e) = (a2e + 2ac? + e3 + be) + (a3 + 2a2e + ae2 + ab) = a3 +
+ 3a
2e + Зае2 + e3 + be + ab). Прим. ред.

151 x2 + 2bx = z; пусть x + b = e, тогда e2 = x2 + 2bx + b2 = z + b2,

откуда x + b =s

если b = 1 и z = 20, x = V2T - 1. Прим. ред.

 527


132  Khelasat al Hisab ou Essence de Calcul de Beha-Eddin. Nouvelles Annales XV. 1846.

ш   Из Lucas Pacioli. Liber Abaci. Лука Пачиоли (1445-1514). О нем также: Лоренц. Элементы Высшей Математики. Лебедев. Очерки по истории точных наук. Кто изобрел алгебру? Петроград. 1919.

154   Если x2 + рх = q, то x =   (£ J  + q - £■. Прим. ред.

115 Аничков. Теоретическая и практическая арифметика. Москва. 1786.

116 "Начала" Евклида в переводе Ф. Петрущевского или Ващенко-Захар-
ченко [или Мордухай-Болтовсюго. М. 1950].

157 Petri Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae. 1569. Scholarum
Mathematicanmi. Libri unus et triginta. Basileae 1569.

158 Euclidis elementorum. Libri XV, auctore Crist. Clavio. Francfurt (1574),
(1654).

l3'   Borelli. Euclides restitutus. 1679.

1i0   Arnaldus. Nouveaux elements de geometric Paris 1683.

1n1   Saccheri. Euclides ab oinni naevo vindicatus.

"»  Lambert. Tlieorie der Parallellinien.

a   Legendre. Elements de Geometric Paris. 1794.

114   Grassmaim. Die lineare Ausdelmungslehre. Leipzig 1844.

15   Riemann. Ueber die Hypotliesen die der Geometrie zu Grande liegen, есть

русский перевод. Каз. Мат. Об. *  Helmholtz. Ueber die Thatsachen die der Geoinetrie zu Grande liegen. 1(i7   Lie. Theorie der Transformationsgnippeii. Leipzig. 1888-1893. •«   Статьи Бельтрами в Annali di Mathemalica. 1865.   Klein. Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometric Mat. Ant. IV,

VI. XXXVII. 1,0   Hilbert. Gnmdlagen der Geometric Прекрасный исторический очерк

оснований геометрии можно найти в основаниях геометрии проф. В.

Кагана. Одесса 1907.

171 Legendre. Elements de Geoinetrie и все учебники лежандрового типа:
Garnier-Vincent, Terquem, Lacroix и другие. В этом отношении в высо
кой степени характерна книга:
Perronet-Tompson. Geoinetrie sans
axiomes, ou le premier livre des elements d'Euclide demontre d'une maniere
completemeait rigoureuse, trad, de l'anglaise par van Tenas, Paris, 1836, в
которой доказываются все аксиомы, но только с помощью сложных
стереометрических рассуждений.

172 Pascal. Oeuvres, III, p. 163-182.

173 Характерны сами названия сочинений: Tschirnliausen. Medicina mentis
sive artis inveniendi praecepta generalia. Amstelodami. 1687.
Чиригау-

528


ш

 зен (1651 - 1708). О нем см,: Cantor В. Ill 3. 112., Hansch. Ars

jnveniendis. Synopsis regulanim praecipuorum arti inveniendi 1727.

Regulae ad directionem ingenii. Oeuvres morales et philosophiques par

Amedee. Paris 1855. Рассуждения о методе, пер. Любимова. Ж. М. Н.

П. СПБ. 1885 - 86. О Декарте: Ziehen. S. 26, 99. [Декарт. Соч. в 2 Т.

Т.1.М. 1989.]

(Arnaldus). Nouveaux Elements de Geometrie. Paris 1683.

nycTbCA=CBиDA = DB

Утверждается, что для любой точки Е прямой CD ЕА = ЕВ

В

Varignon. Elements de Mathematiques. Amsterdam. 1734. Что, разумеете», не верно. Автор имеет в виду следующее. Согласно первому аргумент}' Арно, свойством, которым обладают две точки прямой, обладают и все другие точки этой прямой, поскольку - де прямая определяется двумя точками. Однако это не верно, как показывает приведенный контрпример.

А

iao

на

 "сГПе

См. прим. 176.

Herigonis. Cursus mathematics nova brevi etclara methodo demonstatus per notas reales et universales utra usuni cuiuscunque idiomatis intellectu faciles. A Paris 1634. О нем: Cantor. Vorlesungen, В. II, S. 656. Бертрановское определение угла, как иеопред. части плоскости, ограниченной двумя прямыми, и как наклонения, различия направлений, дают безусловно различные вещи, которые у Крелля, Бретшнейдера, Шпикера и др. различаются, как Winkel (угол), и Winkelraum (угловое пространство).

Hilbert. Grandlagen der Geometrie, Leipzig, 1899 и др. издания. "В начальном основании Математики" Н. Муравьева (руководстве Воль-фианского типа), 1752, даются два определения:

529


Дефиниция 3: одинаково называются, когда одно вместо другого взять можно.

Дефиниция 4. Когда одна величина в другой один раз содержится, такие величины называются равными.

АУ      \

а/     \      \ /1     \      \

Прим. ред. 1Ю   Fortunato a Bnmo. Elimen. Madi. 1738, см. такие аксиом, опыты у

Rohauet. Oeuvres posthumes. Euclide. 1690. Nebe. Nucleus Aritlimeticae.

1666. ™   В современной символике:

Дано:

АВ = АС,

требуется доказать:

ABС = АСВ и

CBD = ВCE

Доказательство:

Продолжаем АВ до AD и АС до АЕ = AD

Имеем: AD = АЕ, АС = АВ, DAE общий => Д DАС = Д ВАЕ => BE = DC,

DCA = ЕВА, ADC = АЕВ;

BD = СЕ (по постр.),    DC = BE и BDC = СЕВ  => Д BDC =

= Д СЕВ => CBD = ВСЕ; (и т.д.) и DCB = ЕВС =

ABC = ABE -ЕВС и АСВ = ACD - DCB => ABC = ABC = АСВ (и т.д.)

(Здесь используется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - предл.4 1-й кн. "Начал" - но не используется

утверждение о сумме смежных углов, которое доказывается у Евклида

позже - в предл. 14.) Прим. ред. 187   Предл. 10 XI-й кн. "Начал". В современной символике:

Дано: AB||DE, AC||DF.

Требуется доказать: ВАС = EDF

Доказательство: отложим АВ = АС = DE = DF, соединим AD, ВС, EF,

BE, CF. В А = ED и BA|[ED => AD = BE и AD||BE, (предл. 33, I кн.)

аналогично CF = AD и CF||AD => ВС = EF и BC||EF => Д ABC = Д DEF

(по 3-м строронам - предл. 8 I кн.) => ВАС = EDF (и т.д.) Ш8   Eleiiienta Euclidis. Declaratio Autore. Wuil. Oughtredo Anglo. Oxoniae.

1662. William Oughtred. 1574-1600, см. Cantor. В. II, s. 720. 189   Т.е. величин, квадраты которых соизмеримы или несоизмеримы, см.

опред. 2 книги X "Начал". Прим. ред.

530


190 Т.е. в отношении "золотого сечения": £±£ = — см. опред. 3 книги VI

a       b "Начал". Прим. ред.

191 Beaulieu. La lumiere des mathematiques. 1673 (литогр.). Ему же при
надлежит: La geometrieuancaise ou la pratique aisee. 1676. См. Maupin.
Opinions el curiosites touchant les mathematiques. Paris.

192 Peano. Formulaire mathematique. Кутюра. Принципы математики.

193 Datis omnium terminonun proprietatibus reciprocis seu definitionibus
qualibusque iuvenire definitiones optimi generis. [С помощью данных
соответствующих свойств или определений всех терминов найти опре
деления лучшего рода (лат)]. Lett, a Tscliirnhaus. 1679. Werke Math.
IV, 481. Briefweksel I.

194 Phil. VII. 184.

195 Phil. IV. 161, VI. 490, 495, 594, VII 553. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М.
1984., стр.99.]

1,6 Phil. I, 188.

,9" Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М. 1984. стр. 119. Прим. ред.

198 О принципе противоречия см. там же, стр 138. Прим. ред.

199 Четыре картезианских правила:

не принимать за истину того, что не очевидно;

делить всякую проблему на элементарные;

располагать свои мысли в порядке от простейшего к сложному;

соблюдать полноту перечня мыслей.

См.: Декарт. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989., С. 260. Критику Лейбницем этих правил см.: Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. С. 157-158 и далее. Прим. ред. ш   Евклид применяет метод исчерпывания во 2-й части XII кн., 5. XII, 10. XII, И. XII, 12. XII, 18. XII.

201 См. Архимед. - Две книги о шаре и цилиндре и т.д. пер. Петрушевско-
го. 1823. [Архимед. Соч. М. 1962.]

202 Напр. de la Chapelle. Institutions de Geometrie.

203 Aristotelis Phys. 1,6-9, II., Ill, VII, VllI, - Thomas Aquinatis Phys. I
lec. 13; сильное изменение в учении о материи у Скотта. Scot. Sent lib.
II dist. 12 q. см. Haureau. De ia philosophie Scolastique. Paris. 1850. t. II,
против дуализма формы и материи - философы ранней эпохи возрож-
денияЛг/инсолаг (1.485) иЛоренцоВалла (1457), Agricola, Deinventione
dialectica. Coioniae, 1527.

204 Платон об идеях: Тимей, Федон, Федр и другие диалоги. Аристотель о
платоновских идеях: Metaph. I. ХП1 с, 4, 1.1, с. 6.

205 Проблемы essentia et existentia, см. Arlistot. Met. IV, VM, Xs. Thomas
Aquin. Deente et essentia. Cap. I и другие.

D. Scotti in 2 lib. sent. d. 6, q. 1.

Кроме I-Iaureau еще сочинения по истории схоластики.

Rousselot. Etude sur la philosophie dans le moyen age. 1840-47.

531


Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande. 4 Bde.

Wulf. Histoire de la philosophie medierale.

Штеккель. - История средневековой философии. 1912 г. Материалы.

Migne. -Patrologia. Tiedemann. - Geist der Specul. Philos. B. IV. Marburg.

1793, также Buhle, Cousin. Fragments philosophiques. 1840 и др.

206 Сочинения Фомы Аквинского изданы были в 1570 г. Последнее изда
ние Thoraae Aquinatis. - Opera Omnia jussu Leonis ХШ edita Romae.
1887.

Развитие идей Фомы Аквинского у Суареца. F. Suarez. Metaph. derh.

tomiduo. Venetos. 1619. Disp. 16 de intensione.

О Фоме Аквииском Heaureau, t. II, ch. XXI, против Ф. Аквината.

Дуне Скотт in 1, lib. 17, q. 3. Д. Скотт. 1270-1308.

Dunsi Scotli. Opera omnia Lugd. 1639 12 vol. Об интензировании 8 Met.

in. I, lib. sent. dis. I, q.5. Его философию лучше всего изучать по Boyvin

- Philosophia Scotistica a prolexitate et Subtilitatibus etc. Liberata et

vindicata. Par. 1643.

F. E. Abergoni. Resolutio docLrinae Scoticae. Lugd. 1643. Крупнейшие

скоттисты: Trans. Majronius, Ferrara, Aurelis, Burleig и другие.

207 В прямой зависимости от Д. Скотта, вставшая против его реалисти
ческих, школа номиналистов Оккама. К ней принадлежат:
Buridan,
Pierre d'Ailly, Holcot, Oresmus, Biel.

208 Формально по природе вещей - (лат.). Прим. ред.

205 О формальностях Д. Скотта, кроме сочинений самого Д. Скотта, см. Prantl- Geschichle der Logic im Abeudlande. Bd. II. Cap. XIV, с 20. Pluzanski. - Essai sur la Philosophie de D. Scott. Paris. 1887.

210 Эмпедокл, около 444 [до н.э.]. Diog. Laert. VIII, 51.

Об Эмпедскле. ArisL Met, I. 4. De geuerat. et corrupt. 1.1, 8. II, 6 Phys., II, 4.

211 Bernardino Telesio. 1508-1588. Его сочинение: De natura juxta propria
prinapia. Romae. 1565, Neap. 1586,
о нем писал Бэкон. De principiis et
origineetc.

21г ОрезмНшалай-ученикОккама (1275-1337), главы позднейших средневековых номиналистов, ученика (хотя и восставшего против учителя) Д. Скотта. Guilielmi Occami, Summae logicae. Охоп. 1675 и др. сочинения.

213 Cantor. - Vorlesungen, U, 2, 130, сочинение Орезма: Tractatus de
laUtudinibus, изд. Max. Curtze, в Zeilschrifl furMat. midPhysik. t. XIII, s.
92. [Орезм
H. Трактат о конфигурации качеств. // Историко-математи-
ческие исследования, вып.
XI. М. 1958.]

214 Kepleri. - Nova stereometria doliorum. Lin. 1615. Opera omnia IV, pp.
537-538. Kantor
. B. II. S. 750. [И. Кеплер, Новая стереометрия винных
бочек. М
.-Л. 1935.]

2,5 Cavalieri. - Geometria indivisilibus promota. Bonn. 1635 (1653) [Б. Ka-вальери. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940.], также его Exercitationes geometricae. Bonn. 1647. Дальнейшее развитие у Валлиса. Wallis.

532


Arithmetica iiifmitonura. Opera Mat. Oxoniae. t. I. 1647. Klugel. Mat. Worterbuch. Caval. Met. Актуально бесконечно малое еще имеется, хотя в измененном виде, у Пуассона (1883). О методе неделимых см. Branschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Alcan. 1912. Liv. III. Ch. IX. p. 160, см. также Pascal. Reflexions sur 1'espris geometrrique. Penscees et opuscules. 1909.

216 Здесь интересно изучить знаменитый спор об угле касания между Кла-
вием и Пелетарием.

Euclidis elementorum. Libri XV. Auctore Christophoro Clavio. Hieroni Cardani. De subulitate. Basiliae. 1554.

217 Descartes. Geometrie. 1637 [Декарт P. Геометрия. М.-Л. 1938], также Notes
Florimond de Beaune,
о нем Brunschwig. Les etapes, ch. VII, p. 113.

2IS Newtoni. Methodus fluxionum. 1678 в Opuscula Newtoni I. Есть на французском языке. Theorie des fluxions. Cantor. Ill, s. 108, 168. [Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937.]

219 Principium quoddam generale etc. 1716. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М.
1984. стр. 357 (Письмо г-на Лейбница о всеобщем принципе ...)] Вии-
дельбанд 1. 1913, стр. 363.
Bnmschwigg. Les etapes. p. 209.

Более подробияя формулировка у Лейбница Animadversrones in. partem generalem Principiorum Cartesianorum Adpunct sec. ad. art. 45. [Лейбниц. Т.З. С. 218-265. (Замечания к общей части декартовых "Начал").]

220 Лейбниц. Изб. Фил. Соч. Москва 1890. Новые опыты о человеческом
разуме, стр. 200. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. М. 1983. Т. 2, стр. 56.]

221 Принцип Лейбница в геометрической форме дает первую часть принципа
непрерывности Понслэ, в силу которого свойства формы, открытые для
первоначальной, распространяются нате случаи, когда некоторые ее час
ти сделались 1) нулями, бесконечностями или 2) мнимыми.
Application
d'Analyse et de Geometric, t. II. Bnmschwigg. Les etapes de la philosophie
mathemalique. Paris
. 1912.

[Параболу можно рассматривать как предельный случай эллипса, большая ось которого становится бесконечной. Если получать эллипс сечением конуса плоскостью, то наклоняя секущую плоскость так, чтобы эллипс все больше и больше вытягивался, мы получим параболу тогда, когда секущая плоскость окажется параллельной одной из касательных плоскостей конуса. Основное свойство конических сечений - постоянство отношения расстояний от всякой точки кривой до фокуса (точки) и директриссы (прямой) - имеет место и для эллипса, и для параболы: для эллипса это отношение меньше единицы, а для параболы оно равно единице.]. Прим. ред.

222 Newtoni. Philosophiae naturalis principia. Mat. London 1686 lib. Ньютон -
Математические начала натуральной философы!. Пер. А. И. Крылова.

533


Известия. Николаев. Моск. Академии. Петроград 1915. См. также Богомолов: Общие основания ньютоновского метода первых и последних отношений. Физ. Мат. Об. Каз. Унив. 1926.

223 Euclidis Opera, ed. Heiberg. Lipsiae. 1883. Etsi aequalibus aequaliaadduntur
tola aequalia sunt.[Ecnn к равным прибавляются равные, то и целые бу
дут равны. Евклид. "Начала", пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950.]

224 Аксиоматика исчисления бесконечно малого в конце XVII в. см, у
l'HopilaL.Analyse cler infuiiments petits. 1713. [Лопиталь. Анализ беско
нечно малых. М.-Л. 1935,]

225 Fermat. Methodus adinq. maximum et minimum. Newton. Theorie des
fluxions. [См. Ферма о методе максимума и минимума в кн.: Декарт.
Геометрия: М.-Л. 1938; Ныотон. Математические работы. М.-Л. 1937 ]

226 Ср. соотв. места в логике Гегеля.

227 Такое отождествление элемента его эквиваленту и теперь производится,
как простой.методический прием, конечно, в полном несогласии с со
временными научными идеями. См. конец учебника геометрии Давыдо
ва.

228 Понятие об эквивалентных бесконечно малых и основные леммы, к ним
относящиеся, видимы впервые у Дюамеля.

Wolfius. Compedium elemlentommMatheseos. 1711. Weidleri. Institutional Машет, и другие. Русский учебн., напр., Аничкова. Философия Мат. акт. бесконечно малого. Iacopo Belgrado (1704-1789). De utriusque analyseos usu 1661-62, см. Cantor. В. IV. § 651. Cantor В. Ш 270-271 и др. места Ch. Wolff (1679-1754).

230 Бертран Женевский. 1731-1812. L. Bertrand. Developpement nouveau de
la partie elementaire des. Mathematiques prises dans toute son etendue. A
Geneve. 1778. L. Bertrand, Elements du Geometric Paris. 1812.
См. также
Cantor.
В, IV Bobynin. Lehrbuch der Geometrie § 382.

231 De la Caille. Lectiones elementares Matheinaticae. 1762.

232 О взглядах сенсуалистических см.: Encyclopadie methodique,
mathematiques. Elements de Geometrie
и др. Condillac. Traite des sensations.
Paradoxes
и друг. Об энциклопедистах - Морель, Дидро и энциклопеди
сты. 1882.

233 До Кеплера взгляд этот у Штиффеля - Aritiunetica inlegra Noriin. 1544.

Прим. ред.

234 Datis ordinatis etiam quaesita sunt ordinata, см. выше. Прим. ред.

534


ш   Kastner. Anfangsgrunde des Arithmetik. Geometritebenen und spharischen etc. Gottingen. 1786. О Кестнере: Cantor. III. 576.

237   При уменьшении AB, OD будет увеличиваться, a CD уменьшаться, поэтому ABC будет становиться меньше относительно ABO. С

Прим. ред.

238 д'Аламбер (1717-L783) см. в Encyclopadie metliodique; Limite, также
Melanges de litt. d'histoire et de la philosophic Nouv. ed., t V. Amst.
1767. Cantor
-Bobynin. Статья Бобынина "Элементарная Геометрия и
ее деятели во второй половине
XVIII в", есть и на русском языке.
Лейтмотивом предреволюционной мысли является идея прогресса; че
ловечество мыслится в прогрессирующем развитии, в движении к эти
ческому или экономическому совершенству, при котором оно постепен
но приближается к идеалу, но никогда его окончательно не достигает.
Это идея исторического предела, вполне соответствующая пределу ма
тематическому, впервые определенно формулируется Тюрго в "Рассуж
дении о всеобщей истории" и развивается Кондорсэ в его "Эскизе исто
рической картины прогресса человечества".

Идея предела выступает также в маймоновсюм понимании кантовской вещи в себе, которая является предельным понятием, пределом полноты сознания или сознанием иррационального предела рационального познания.

Соломон Маймон (1757-1800). Versuch uber die Transcendental philosophie (1790). Виндельбандт, П, стр. 168.

239 Ак. Гурьев (1766-1813). Опыт усовершенствования элементов геомет
рии. Спб. 1798, стр. 34.

Такое же определение Бланше (Blanschet); о нем Cantor-Bobynin. § 351, см. также Гурьев. Основание Геометрии. Спб. 1811.

2,0   De la Schapelle. Institutions de Geometric 1765.

Ml Simon l'Huillier(1750-1840) L'Huillier. Principiorum Calculi differentialis et integralis expositio elementaris. Tubingen. 1793, также на французском языке. Berlin. 1786.

535


242 См. § 8 настоящей работы, также Russel. Einfuhrung in die Matliemat. Philosophic. Munchen. 1923. Кар. 10. [Рассел. Введение в математическую философию. М. 1996.]

т   Legendre (Blanchet). Elements de Geometric

w Площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным длине окружиостн, и с высотой, равной радиусу.

24S Lacroix. Elements de Geometrie a 1'usage de l'Ecole Cenlrale des Quatres nations. 1796-1799, в связи с ней: Essai sur l'eiiseignement general et sur celui des mathematiques, Paris. 1816, особая переработка у Gamier. Geometrie. 1813.

ш Гурьев. Опыт исследования элементов Геометрии. Спб. 1798.

247 Периметры вписанного, описанного многоугольника, длина окружности; при этом следует использовать постулат Архимеда: выпуклая объемлющая более объемлемой. В этом направлении следует переработать изложение Остроградского, (Руководство по Геометрии), Семашко (Элементарная Геометрия).

ш Наиболее полные и отделанные: старый - Rouche et Comberousse, новый Niewenglowski et Gerard. Paris. 1900.

Вне сомнения, элементарная учебная литература создала и теорию пределов сведения в анализ. Основные леммы об эквивалентности впервые встречаются у Дюамеля. Duhamel. Elements de Calcul Infinitesimal. Paris. 1860.

249 Давидов. Элементарная Геометрия. Поел, изд. 1922, стар. изд. 1867
и др.

250 Киселев. Геометрия. Москва, 1914.

251 Кант. Критика чистого разума, пер. Лосского.
233   Мах. "Механика" и др. сочинения.

253 Авенариус. Критика чистого опыта. Спб. 1905 г. Prolegomena zu einer
Kritik der reinen Erfahrung. Lpz. 1876 и др. работы.

254 Cantor. Gmndlagen einer allgememen Mannigfaltigkeitslehre. Его рабо
ты в Acta Met. II. Math. A
im. 18 (1881) 21 (1883). [Г. Кантор. Труды по
теории множеств. М. 1985.]

Идея определения предела фундаментальным рядом впервые выдвинута Мераем, Meray. -Remarques sur la nature des quantites etc. Revue des Soc. Scien.Sc. Math. XIV. 1869. 280. См. теорию пределов в итальянских учебниках. A. Sannio et Е. d'Ovidio. Elementi di Geometria. Napoli, 1916. G. Veronese/Elemenli. Padova, 1901. Также учебники Энриквеса, Амальди, Паолиса. 256 Энриквес. Вопросы элементарной математики. Спб. 1913. Статья де Витали.: Постулат непрерывности и его применение к Элементарной Геометрии, стр. 133. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1909.

536


25<* Дальнейшее обобщение порядкового понятия о пределе см. Bertrand Russell. Einfiihrung in die Maaieinatisch. Philosophic Munclieh, 1923. Кар. Limes und Stetigkeit. § 99. [Рассел. Введение в математическую философию. М. 1996. Гл.: "Пределы и непрерывность, стр. 94.]

257 Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae. 1569.

258 Евклид. "Начала", пер. Петрушевского; пер. Ващенко-Захарченю.
Euclides Opera omnia ed. Heiberg et Menge. Euclidis Elementa, Lipsiae
1883. [
Пер. Мордухай-Болтовского. M. 1950.]

259 Высший род-(лат.). Прим. ред.

2<га   Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683.

261 Естественный свет - (лат.). Прим. ред.

262 Descartes. Oeuvrespar Amedee. Paris. 1835. Regula ad directionen ingenii.
[Декарт. Правила для руководства ума. Соч. в 2 X Т. 1. М. 1989.]

2М La logique ад l'art de Penser. Amsterdam. 1675. [А. Арно и П. Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991.]

w   De la Chapelle. Institutions de Geometrie. 1765.

Д. Мордухай-Болтовской. Энциклопедисты и теория пределов. Речь, произнесенная 18 ноября 1917 г. в Об-ве Естествоиспытателей при Донском университете по поводу 200-летия со дня рождения д'Алам-бера (не напечатана).

Кондорсэ. Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума, русский перевод. Также: Генезис и история теории пределов (в настоящем сборнике).

366 Encyclopedic methodique des art etc. (Diderot). Axiomes, limite и другие статьи.

267 Песталоцци. Pestalozzi. Anscharmgslehre der Zahlenverhaltnisse. Zurich.
1803.
О Песталоцци см.: E. Janicke u G. Schurig. Geschichte des
Unterrichts derMathematik in den Volkschulle. Gotha
. 1888, s. 63.

268 Критика чистого разума, пер. Лосского.

" Впервые умственный счет вводится Келлером, затем Бирманом. К КоЫег. Anweisung zuin Kopfrechnen. 1797. H. Biermann. Anleitung zum Rechnen imKopf. 1790, см.: lanicke. S. 53.

270 540 фраз типа: 19 раз по одному, 9 раз по 2 и 1 раз половина двух, 440
фраз: 9 раз 9 и 8 раз и часть от 9 есть 89 раз; 89 единиц есть 8 раз 10 и
9 раз десятая часть от десяти; 729 фраз типа: 3 раза десятая часть от
100 есть три раза 10,3 раза 10 есть 30 и т. д. Противники Песталоцци:
Пассавант, Нимейер и др.
Janicke, s. 72. Последователи: Тиллих, Шмид,
Стефани, Тюрк и др.
Janicke, s. 78.

271 Треэтлейн. Методика геометрии, пер. Крогиуса. Pestalozzi. ABC der
Anschanung oder Anschaungslehre der Massverhaintnisse, 1803, См. так
же статьи
Schurig, Geschichte der Methode der Raumlehre im deutschen
Volksschulunterrichte при упомянутой выше книге Янике.

537


275 Кант. Критика чистого разума. О Канте см.: Куно Фишер. История философии. Виндельбанд. История философии, т. II и др.

2,3 Grube. Leitfaden fur das Rechnen etc. Berlin 1842. Много других изданий, о нем: Janicke, s. 112. Русские руководства: Лаульсон. Методика арифметики. Евтушевский. Методика арифметики.

214 Encyclopadie des Arts et des Metiers (Diderot). Об энциклопедистах см. Морей. Энциклопедисты. Основы эмпириков XVIII в. Дж, Локк. Опыт о человеческом рассудке. [Локк. Избранные философские произведения. М. I960.] Наиболее крупные представители - Кондильяк, Боннэ.

275 Наиболее крупиый представитель - Дж. С. Милль (его система логики).
Сюда следует отнести всю школу позитивистов, начиная с О. Конта.

276 Tibot. Lehrbuch der Geometrie. 1822.

277 Моя статья о Евклиде и Лежандре. Из истории метода наложения в
элементарной математике.
[См. наст, изд.]

278 О ней см.: Schotten. Planimetrische Unterricht. В. II.

279 Функциональный мотив, но без арифметизации, можно уловить и в
одном вольфианском учебнике
XVIII века, отличающемся некоторой
оригинальностью среди многочисленных учебников этой школы.
Horvath. ElemlentaMatheseosTynaviae. 1773. Теорему I "Начал" Евкли
да Хорват формулирует так: "Если в каком-либо треугольнике
ABC уве
личивается
угол А, причем сторона АС переходит в АС, сторона проти
воположная
возрастает, т. е. ВС > ВС и наоборот и т. д.

Кроме евклидовского Хорват приводит еще и такое рассуждение: "... ибо чем больше возрастает Z A в Д ABC, тем более расходятся крайние точки В и С, тем более ВС приближается к сумме сторон АВ и ВС и, наоборот, чем больше убывает угол А в Д ABC, тем крайние точки В и С больше сходятся, тем сторона ВС больше приближается к АВ.

280 Аксиома: если

АС = АС = АС" = Ь,

А ° В

Теорема:

Если а = Ь, то z CAB = z СВА. Доказательство:

то если Z. CAB < Z CAB = а < Z С'АВ, то ВС" Z ВС = a < ВС и об
ратно, если ВС" < ВС = а < ВС, то
Z CAB < Z CAB = а < Z CAB
С
 С

538


211

212

283 2!4

2!5

256

217 2!8

Пуста Z CAB = а и Z CBA = p . Предположим, что p > a , возьмем С так, что Z CAB = (3 и Z CBA = a; ДАВС= ДАВС => АС = AC = b и ВС = ВС = а, что противоречит аксиоме. Аналогично отбрасывается |3 < a. Прим. ред.

Шеллинг и Гегель, см.: Куно Фишер. История новой философии. G. W. Hegel's. Werke. Berlin. 1883. Wissenschaft der Logik. Гегель. Логика, пер. Чижова [и позднейшие издания]. Старые сочинения о Гегеле: Karl Fischer, Michelet и др. I. Beskiba. Lehrbuch der Geometric Wien. 1826. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778.

Его же. Elements de Geometrie. Paris. 1812. См. о нем: Cantor. В. IV. (Bobynin). Lehrbuch der Geometrie § 382.

См. главным образом Baltzer: Die Elemente der Mathematik. XII. Leipzig. 1870. Правильный взгляд на бесконечно удаленную точку следует отнести к Гауссу. Lettre de Gaiissa Schumacher, t II, p. 268. Kastner. Anfangsgrande der Arithmetik, Geometrie ebenen und spharischen etc. Gottingen. О Кестнере Cantor. Ill, p. 576.

Или несобственны,, согласно современной терминологии. Прим. ред. Reye. Die Geometrie derLage и другие руководства по проективной геометрии: Staudt, Staudigl, Cremona, Enriques и др.

28'-'

210 291

212 21'3 294 295 216

2*7 218

219

Прим. ред.

Poncelet. Traite des proprietes perspectives des figures. Paris. 1882. Теорема Дезарга- см.: Brouillon project d'une atteinte и т.д. Oeuvres de Desargues pub. parFondra. Paris. 1864. Franz. Die Philosophie der MaUiematik. Leipzig. 1842. Schotten. Inlialtu. Melliode d. PlanimetrischeUnterrichts. Delboeuf. Prolegomenes. Legendre. Elements de Geometrie, Paris. 1837.

Chalibaus. H. M. Historische Entwickelung der speculative!! Philosophie von Kant bis Hegel. Leipzig. 1839. Также Michelet и другие. Философия природы.

N. Grassman. Die Ausdehungslehre. Berlin. 1862. V Schlegel. Die Grassmanische Ausdehuugslehre. Leipzig. 1896. Riemann. Ueber die Hypothesen, die der Geometrie zu Grande liegen. Gott. Abhandlungen. XIII. 1868. Есть и на русском языке. [Риман. Сочинения. М. 1948.]

539


300 Высший род-(лат.). Прим. ред.

301 Bolzano. Paradoxen des Unendlichen. [Больцано Б. Парадоксы бесконеч
ного. Одесса. 1914.]

302 Кантор. Учение о множествах. [Р. Кантор. Труды по теории множеств.
М. 1985.]

ж   Fontenelle. La geoinetrie de l'infini.

Из прошлого аналитической геометрии

Труды института истории естествознании Акад. паук СССР, 1952, т. 4,

с. 217-235.

1 Лучшее издание "Конических сечений" - Гейберга (Apollonii Pergae
Opera. Lpz., 1891-1893); И.Ягодинский дал русский перевод 1-й кни
ги в "Изв. Сев.-Кав. гос. ун-та за 1928 г.". Об Аполлонии см. также:
Г.Цейтен. История математики в древности и в средние века. Пер.
П.С.Юшкевича.М., 1938, и
RZeithen. DieLehrevondenKegelsclmitten
iu Altertlium. Kopenhagen, 1886.

2 Д.Д.Мордухай-Болтовской. Аналитическая геометрия. Курс лекций.
Варшава, 1913.

3 С.ЯЛурье. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.-Л., 1935.
•'     См. Г. Цейтен. Цит. соч., стр. 66-67.

3 См. Р.Декарт. Геометрия. Пер. А. П. Юшкевича. М. 1938, и там же: П.Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест и "Приложение к Введению в места, содержащие решение телесных задач с помощью мест".

6 G.F. de I'Hospilal. Traite analytique des sections coniques. Paris, 1707.

7 Д. Д. Мордухай-Болтовской. Первые шаги буквенной алгебры. - "Изв.
Сов. Кавк
. Гос. Унта-та за 1928 г.".

8 M.Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Bd. II, 1899,
стр. 436. Cardanus Opera, t. 4, p. 371, 434.

9 Д.Д. Мордухай-Болтовской. Психология математического мышления.
- [наст.изд.]

10 M.Gethaldi. de resolution et composition Mathematica, 1630; Его же:
Variorum problematum collectio.
1607. См. M. Cantor. Цит. соч., т. П,
стр. 809-811.

" И. Ньютон. Математические работы. М.-Л., 1937.

п J. de Witt. Elementa curvarum lineanmi. 1659.

13 Develey. Geometrie analytique. Paris. 1824,

M A. Clairaut. Recherches sur les courbes a double courbure. Paris. 1731.

15 J. Todhunter. A treatise on plane coordinate Geometry. 1862. (Имеется

русский перевод).

,0 A. Durer. Underweysung derMessung, 1525.

17 J.B. Biot. Geometrie analytique. Paris. 1802.

540


18    G.S.Klugel. Mathematisches Worterbuch. Leipzig, 1803-1808. "    Орезм. Трактат о конфигурации качеств. Историко-математические исследования. Вып.11. М. 1958. -Прим. ред,

20 Н. Wieleitner. Nicolaus Oresmus graphische Darstellung.-"Natur und
Kultur", H. 14, 1912; Его же: Der Tractatus de latirudinibus formarum.-
"Bibl. mathem." (3). 1913.

21 Ph. de la Hire. Nouveaux elements des sections coniques. Paris. 1679.
21    Т.е. символов для величин углов. Прим. ред.

23 G. Cramer. Introduction а 1 analyse des llgnes courbes algebriques. Geneve,
1750.

24 L. Brunschwigg. Les etapes de la philosophie malhematiqiie. Paris, 1912.

25 L. Euler. Introductio in analysin infinitorum. 1748. [Л. Эйлер. Введение
в анализ бесконечных. Т.1-2. М. 1961.]. Прим. ред.

и    A.G. Kastner. Anfangsgnmde der Analysis endlicher Grosse.

27 Врио и Бую. Кривые второго порядка.

28 Сальмон. Аналитическая геометрия. М. Гербек. 1892

Поризмы и данные

Труды Совещания по истории естествознания 24-26 декабря 1946 г. Под

редакцией X. С. Коштоянца. M.-JL, Изд-во АН СССР, 1948, с. 161-172.

'     Euclides. Opera omnia. Elementa, ed. Heiberg-Menge, 1896.

2 A. M Legendre. Les elements de Geometric I изд., 1794.

3 M. И. Владиславлев. Логика. (Приложение). 2-е изд. 1881. [Аристо
тель. Соч. в 4 Т. Т. 1. М. 1976.] Прим. ред.

■'     An. Post. I. 13. Прим. ред.

5     Pappi. Collectiones, ed. Hullsch. Berlin. 1876.

*     Р. Декарт. Геометрия, пер. и комм. А. П. Юшкевича, М. 1938.

7     Д. Мордухай-БолтовскоЙ. Четыре лекции по философии математики,

[наст, изд.] s     R. Simpson. Phil, transactions of Roy. Soc, 1723, №72; Opera reliqua

Glasguae, 1776, стр. 317-394.

9 G. S. Klugel. Mathematisches Worterbuch, Leipzig, 1807.

10 Поризм (греч.). Прим. ред.

11 Н. G. Zeuthen. Die Lelire von den Kegelschnitten im Altertum.
Kopenhagen. 1886.

12 A. Girard. Invention nouvelle en l'algebre, 1629; ed. D. Bierens deHaan.
Leiden, 1884.

"    P. Fermat. Oeuvres. Porismes.

14 M. Ghasles. Les trois Iivres des porismes. Paris. 1860.

15 J. E. Montucla. Histoire des Mathematiques, vol. II, стр. 216; M. Cantor.
Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 1906. Bd. I, стр. 280.

541


K    J. Playfair. Transactions of Edinburg Society of Sciences, 1794, vol. Ill; M. Cantor. Vorlesungen, Bd. IV, стр. 89.

17 Ньютон. Всеобщая арифметика. М.-Л. 1948. Прим. ред,

18 G. F. Castillon. Add. Newtoni Arithmeticae, стр. 124.

19 M. Chasles. Les trois livres des porismes, Paris, 1865.

20 Д. Мордухай-Болтовской. О моделях ко II книге "Начал" Евклида. Ве
стник опытной физики и элементарной математики за 1915 г.

21 Clebsch. Vorlesungen uber Geometric Leipzig. 1876.

22 Hesse. Werke. Munchen, 1891.

Проблема смерти.

Рукопись передана дли публикации ш личного архива Л.Ф. Болконс-кой. Датировка рукописи ис установлена.

1 Иов: 14; 10 - 12.

2 Иов: 21.

3 Матф.: 25, 32-46.

4 Бл. Августин. О граде Божием, кн. 13, гл. 11.

5 См. опровержение о вечности души Богу св. Августина "О граде Божи
ем" кн. 10, гл.
XXX. См. также учение о бессмертии по благодати св.
Иринея (кн. 3, гл. 15) или Дамаскина, прим. ко второй книге; Изложе
ние прав. Веры. Творения. 1894 г.

6 Творения кн. 2 изд. 1894 г.

7 И. Кант. Критика чистого разума.

8 Там же.

9 См: Платон. Федон.

См.: Лейбниц. Исповедание природы против атеистов. Соч. в 4 Т. T.I. С. 78-84. М. 1982. Прим. ред.

11 Творения бл. Августина, т. 2, кн. 2, гл. 3.

12 См.: Платон. Федои. 107а.

13 Этика, кн. 2, теор. 10, 23.

"    Moses Meudelssohn. Emsalem der Uber die religiose. Macht und Judentum.

1783. Прим. ред. 13    Мир как воля и представление. Т.2.

16 Куш Фишер. История философии. Кантовская философия, учение о сво
боде. Вещь в себе, кш воля. Кант. "Критикачистого разума". Методы. 4.2.

17 Критика чистого разума. Трансцендентальная аналитика. Дедукция по
нятий чистого разума.

18 Дидро. Сон д- Аламбера. Ламетри. Человек - машина. Душа - функци
онирующая материя.

19 Эрнст Геккель. Мировые загадки. М. 1902. Лукреций. О природе вещей.

542


20 Проблеме сновидений Д. Д. Мордухай-Болтовской посвятил специаль
ную работу: Психология и Метафизика Сновидений - 236 страниц ру
кописного текста. Рукопись датирована 29.04.1949 г. Прим. ред,

21 Рибо. Болезнь воли.

22 Рибо. Память.

23 Цитата не установлена. Прим, ред.

24 Физиологическим коррелятом связной системы вторичных сознаний
является
полигон Грасса. Физиологическое введение в философию.

25 Циглер. Физиологическая психология.

26 См. Лейбниц. Соч. в 4 Т, T.l. М. 1982. С. 159, 324, 385. Прим. ред.

27 О. Конт.

28 Герней, Майерс, Подмор. Прижизненные призраки и др. телепатичес
кие явления. (129, 133, 186.).

29 О Граде Божьем, кн. 10, гл. 30.

30 Премудрость Соломона 11, 15.
3'    Кор. XX: 44.

32    Св. Августин. О Граде Божием. Кн. 13, гл. 16, 20.

Средние века

После смерти Д.Д . Болтовского рукопись была нелегально переправлена на Запад и опубликовани р эмигрантском журналн опозрождение" (La Renaissance № 233) в нюне 1971 г. (стр. 57-71). •     СтоялR мать скорбящая (лат.) Прим. редг

Приложения

/. Математики и вычислители.

Сообщение о докладе на заседании общества естествоиспытателей и психологии математического мышления 13 апреля 1928 г. // Бюллетень научных обществ и учреждений Северо-Кавказского края, 1928, № 15/4, с. 4.

//. Эволюция понятия функции а прошлом и в настоящем.

Ученые записки Научно-исследовательского института математики

и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25.

1 Tideinaun Geist der spek. Philosophie Marburg 1793 Dunsi Scott; Opera
Lugduni 8 Met in lib. sent, dist lg. 5

2 Oresmus (1320-1381). Curtze Zeitsch Mat. und Pliys. (1858). S. 14. H.
Орезм Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические ис
следования, вып. 11. М. 1958.

3 Newton (1642-1727). Methodus fluxionum. ed. CastiUion. И. Ньютон. Ма
тематические работы. М.-Л. 1937,

543


4 Leibnitz (1646-1710). Journ. des savants 1694. Acta erud. 1694. Лейбниц.
Избранные отрывки из математических сочинений // Успехи математи
ческих наук. 1948. Т. 3. Вып. 1(23).

5 Euleri. Introductio. 1745. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно ма
лых. М
. 1961.

6 Cauchy (1784-1852). Lecons sur le Calcul Diff. 1836.

7 Lejeime-Dirichlet. Crelle's Journal B-d I p. 135. Repetorium 1837,1.1.

8 Morgan. The differential Calculus. 1836, p. 94.

9 Weierstrass. Functionenlehre. Berlin. 1876, p. 69.

10 Вейль. Философия математики.

UL Принцип достаточного основания « механике и в ггометрии. Принцип достаточного основания в механике и геометрии. Научная конференция, посвященная 80-летию университета. Тезисы докладов, вып. 2. Ростов н/Д, 1949, с. 86.


Содержание

ФИЛОСОФСКАЯ МАТЕМАТИКА ДМИТРИЯ
ДМР1ТРИЕВИЧАМОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОГО
 5

БИОГРАФИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 12

ЧЕТЫРЕ ЛЕКЦИИ ПО ФИЛОСОФИИ

МАТЕМАТИКИ 26

Введение .■ 26

Лекция/.Логика и Математика 28

Литература к лекции! 40

Лекция II. Гносеология г, Математика 40

Литература к лекции II 49

Лекция ill. Психология и Математика 50

Литература к лекции 111 , 61

Лекция IV. Метафизика и Математика 61

Литература к лекции IV 73

ПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МЫШЛЕНИЯ..... 74

Введение : 74

§1. Закулисная работа математической мысли 75

§2. Синтез и анализ 78

§3. Сводятся ли математические способности к

трудолюбию, соединенному с хорошей памятью? 81

§4. Необходимость для объяснения математического мышления

введения в рассмотрение бессознательного

мыслительного процесса. 83

§5. Роль бессознательного мыслительного процесса при проверке

предварительных гипотез :.83

§6, Ошибается ли бессознательная мысль? 84

§7. Различные роли бессознательной мысли в мышлении

математика и философа .' 85

§8. Разница между склонностью и способностью ума 86

§9. Остроумие как одно из характерных свойств

математической способности 87

§10. Быстрота математического мышления   88

545


§11. Философ и математик 88

§12. Шахматист и математик. 89

§13. Поэт и математик 89

§14. Активное и пассивное воображение 91

§15. Роль пассивного воображения в математическом мышлении 93

§16. Психология математических ошибок. 94

§17. Ум математика какум дедуктивный 97

§18. Некоторые соображения, относящиеся к

памяти вообще 99

§19. Удерживающая память математика 100

§20. Розничные роды памяти 101

§21. Классификация родов памяти 102

§22. Пространственная память математика.  103

§23. Педагогическое значение математики 105

СЛУЧАЙ И БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ 109

§1.Теория вероятностей и будущее 109

§2. Математическая схема жизни и действительность ПО

§3. Мое и не мое 112

§4. Механизм бессознательных актов 113

§5. Низшие сознания 114

§6. Гиперстезия низших сознаний 115

§7. Убожество низшей психики 117

§8. Вторичное Я истеричных.  118

§9. Тенденция к подражанию низшей психики 119

§10. Раздвоение личности 119

§11. Уроды 120

§12. Низшая психика в элементарных действиях. 121

§13. В силке подсознательного 122

О ЗАКОНЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 125

НЕНАТУРАЛЬНОЕ И АПАГОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ПРОШЕДШЕМ И

БУДУЩЕМ 138

§ 1.Два типа логических операций 138

§ 2. Аристотель и схоластика 139

§3. Схоластика в современной науке 142

§ 4. Доказательства: что это так, я почему это так.  143

546


§ 5. Требования пор-роялевской логики: 146

§ б. Апагогическое доказательство у Евклида 147

§ 7. Типы апагогических доказательств 148

§8. Борьба против апагогическооо доказательства 151

§9. Полная математическая индукция 152

§ 10. Логика доказательств в будущем 154

МЕТААЛГЕБРА 156

О ЧИСЛОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

УТВЕРЖДАЕМОГО ТОЖДЕСТВА Ш

ЛОБАЧЕВСКИЙ И О СНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ В МАТЕМАТИКЕ
 166

ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА О ПРОСТРАНСТВЕ 178

§ 1. Учение о формах и наглядная геометрия 178

§ 2. Учение о пространстее и рационалистичесаая геометрия 179

§ 3. Формально-логическая и гипотетическая геометрия 180

§ 4. Равенство 181

§ 5. Подобие 182

§ 6. Постулат де Левека:   184

§ 7. Общее определение изогенности. .., 184

§8. Л. Кертрап об изогенности пространстаа. 185

§ 9. Гомогенность пространства. 186

§ 10. Пространства неизогепио-гомогеииые и

негомогетю-изогетше 188

§ П. Теория параллельности Лейбница 189

§ ПВаллис. 191

ИЗ ПРОШЛОГО пятой книги

"НАЧАЛ" ЕВКЛИДА 192

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ 213

§ 1. Античная, мысль и бесконечность 213

§2. Евклидова форма метода исчерпывания 215

§3. Первая архимедова форма метода исчерпывания 218

§ 4. Вторая архимедова форма метода исчерпывания 220

§ 5. Метод неделимых как выпрямление метода исчерпывания 221

§ 6. Третья архимедова форма метода исчерпывания 224

ИЗ ИСТОРИИ МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ

547


В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 227

§1. Евклид и Лежандр 227

§ 2. Постулаты 229

§3. Метод наложения у Евклида 230

§ 4. Рационалисты против метода наложения 232

ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ИДЕИ XVI ВЕКА 235

Введение 235

§ 1. Общая характеристика мысли XW века 236

§ 2. Эволюция иерархического принципа в онтологии 237

§ 3. Логические идеи Рамуса 239

§ 4. Рамус о геометрических определениях.  242

§ 5. Порядок геометрии,юРамусу. 245

§ 6. Delineatio геометрии Рамуса 248

§ 7. Delineaiio других рамистов 252

§ 8. Арно и Рамус 254

§ 9. Теория параллельных от Рамуса до Саккери 259

§ 10. История смешанных углов 263

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПРОИСХОЖДЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ

СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ 268

Введение 268

I. ДВА ОСНОВНЫХ ИСТОЧНИКА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

УРАВ1ШШЙ.(ХПВЕК) 269

§ 1. Простое фальшивое правило 269

§ 2. Сложное фальшивое правило 272

§ 3. Способ приближенного решения уравнений 273

§ 4. Regula infusa в арифметике 275

§ 5. Генезис и основная, идея regula infusa 277

§6. Диофант 278

§ 7. Генезис чиригаузеновского преобразования 280

II. ГЕНЕЗИС СОВРЕМЕННОГО ЧИСЛА.

(XIII ВЕК) 281

§1. Количество у Аристотеля и у схоластиков 281

§ 2. Делимость и измеряемость количества 282

§ 3. Виды количества 284

§ 4. Единица и единство 285

548


§ 5. Абстраютюе и конкретное число 286

§ 6. Реальность числа 288

§ 7. Схоластическое кардинальное и ординальное число 289

§ 8. Метафизика нуля 292

§ 9. Метафизика отрицательнооо 293

§ 10. Отношение 296

§ 11. Иррациональнее число как отношение 298

Ш. ПЕРВЫЕ ШАГИ БУКВЕННОЙ АЛГЕБРЫ.

(КОНЕЦ XVI ВЕКА) 301

§ 1. Числовая и буквенная, алгебра с методической точки зрения 301

§ 2. Величины различных измерений старой алгебры 302

§ 3. Различные понимания характеристик 305

§4. Число индусов и греков 306

§ 5. Алгебра арабов 307

§ 6. Отрицательные числа 309

§ 7. Основные алгебраические операции Виты 310

§8. Странности старой алгебры 311

§ Я Синкопированная буквенная алгебра 314

§10. Арифметические правила как риторическо-алгебраические

фор^'ы 315

IV. АКСИОМАТИКА XVII ВЕКА.

(ПЕРВАЯ ПОЛОВИНА XVII ВЕКА) 317

§1. История новой аксиоматики 317

§1 Правила Паскаля 319

$>. Правила Декарта   321

§4. Операции повышения степени очевидности 321

§ 5. Херигон и Гильберт 324

§ б. Алгебраическая, аксиоматика Херигона 327

§ 7. Идеография Херигона 332

§8.ПеаноиХеригон 334

§9. Определение у Лейбница 337

§ 10. Аксиоматика Лейбница 338

V. ГЕНЕЗИС И ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ.

(XVIII ВЕК) 340

§1. Проблема об иитепзировапии форм 340

§ 2. Эмбрион идеи функции 342

§ 3. Лейбниц и Ньютон 343

§ 4. Бертран и Кестнер 345

§ 5. Д'Аламбер, де ля Шаппель и Гурьев 347

549


§ 6. Люлье, Гурьев и Ла-Круа 349

§ 7. Логизация идеи пределов 351

■§8. Порядковый характер предела 353

VI. ФИЛОСОФСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ЭВОЛЮЦИИ МЕТОДИЧЕСКИХ

ИДЕЙ В МАТЕМАТИКЕ ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЫ XIX ВЕКА  354

§1. Введение 354

§2.КатпиПесталощи 355

§ 3. Кант и Тибо 357

§ 4. Гегель и Понсле 360

§5.ГербартиБольцано  363

ИЗ ПРОШЛОГО АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ 366

  1.  Конические сечения античных математиков 366
  2.  Два основных принципа аналитической геометрии.... 368
  3.  Фузионизм античных математиков 369
  4.  Графическое решение уравнений  371
  5.  Алгебраическая, и аналитическая геометрия 373
  6.  Арифметизация в аналитической геометрии 375
  7.  Функциональное мышление и Декарт 376
  8.  Координатный принцип , 378
  9.  Определение кривой уравнением и функции графиком 380

10. Аналитическая геометрия без преобразования

.       координат [ 380

12. Преобразование координат без тригонометрии 382

.13. Начало истории кривых второго порядка 383

  1.  "Введение в анализ бесконечно малых" Эйлера 384
  2.  Кесптер; Брио и Бую 385

ПОРИЗМЫ И ДАННЫЕ 388

ПРОБЛЕМА СМЕРТИ 401

Введение 401

  1.  Вера и смерть 402
  2.  Трансцендентная и трансцендентальная жизнь 404
  3.  Метафизика о смерти 405

4., Универсальное и индивидуальное бессмертие 407

  1.  Время и душа 409
  2.  Критическая точка зрения 410
  3.  Натурфилософия о смерти 411

550


  1.  Материализм о смерти , 413
  2.  ГипертучныЛ опыт; 415

  1.  Распадение личности 416
  2.  Бессознательное Гартмана 417
  3.  Защита бессознательнооо 419
  4.  Множественность душ в теле 421
  5.  Глубины подсознания. 422
  6.  Ужас смерти 4^3
  7.  За гробом 424
  8.  Эдукция и традукция 426
  9.  Любовь и смерть 42/
  10.  Душа и тело 428
  11.  Темная и светлая мистика 429
  12.  Защита тела 430

СРЕДНИЕ ВЕКА 432

§1.Нптеяективоля 432

§2. Воля и чувство 4э4

§3. Средневекоаая мораль 436

§ 4. Папство 4$7

§ 5. Инквизиция 438

§ 6. Средневековая, вера 439

§ 7. Мистика 440

§8. Искусство 441

§9. Эмбриология современной науки 442

§ 10. Рождение бесконечности 443

ПРИЛОЖЕНИЯ 445

/. МАТЕМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛИ. 445

и. ЭВОЛЮЦИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В ПРОШЛОМ

И НАСТОЯЩЕМ 444

Ш. ПРИНЦИП ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ

В МЕХАНИКЕ 14 В ГЕОМЕТРИИ 448

БИБЛИОГРАФИЯ 449

ПРИМЕЧАНИЯ 482

Биографический очерк (482); Четыре лекции по философии математики (482); Психология математического мышления (482); Случай и бессознательное (483); О законе непрерывности (483); Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и буду-

551


щем (484); Метаалгебра (488); О числовой характеристике утверждаемого тождества (488); Лобачевский и основные логические проблемы в математике (489); Геометрия как наука о пространстве (499); Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида (503); Метод исчерпывания (506); Из истории метода наложения в элементарной геометрии (509); Философско-математические идеи XVI века (5.12); Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики (519); Из прошлого аналитической геометрии (540); Поризмы и данные (541); Проблема смерти (542); Средние века (543); Приложения (543).


Научное издание

Д.Д. Мордухай-Болтовской Философия, Психология. Математика.

Главный редактор: А.В. Родин

Ответственный за выпуск: И.Н. Снрепко

Художник: O.D. Танаи

Технический редактор: В. О. Чупрнков

Корректор: И.Н. Лаурлыитайп

Компьютерный дизайн и верстка: Е.В. Мату тип

В.Л. Мптусевич

Подписано в печать с готовых диапозитивов 03.12.97.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Гарнитура "Тайме". Усл. печ. л. 35. Уч.-нзд. л. 37. Тираж 2000 экз.

Издательство "Серебряные нити". Лицсшия № 064209. 129515, Москва, а/я 34.

Отпечатано в типографии ООО "ИПЮБионт" Санкт-Петербург. В.О. Средний пр. 86.




1. Словарь терминов сетевого маркетинга
2. Пояснительная записка Практика Организация делопроизводственных служб Дневник по практике призван
3. то пальму увидеть уже великая радость но как объяснить поведение человека который живя в лесу взял за при
4. Характеристика элемента банковской системы Российской Федерации
5. Тема10 ВЫБОРЫ В ОРГАНЫ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ВЛАСТИ 1
6. Часть и целое в языке
7. успешный первый визит
8. Социология 4 семестр дневное отделение История зарубежной социологии Письменно выполните след
9. 500 руб
10.  Золотой век Екатерины II 1
11. первых потому что административноправовые нормы регламентируют построение содержание формы и методы дея
12. 2012-1 Менеджмент организации
13. Городское хозяйство Москвы 1725-1800
14. докладно розглянуті авторами у статті присвяченої осмисленню надзвичайно складного образу лихваря Гобсека
15. Дидактичні основи процесу навчання
16. тематической модели
17. 3 по 30.01.13 Лечебная база практики Клиника профпатологии и гематологии СГМУ
18. Организация игровой деятельности незрячих детей в условиях школы-интерната III вида
19. Искусство и историческая наука
20. III ступенів 5 Дидактичний матеріал з зарубіжної літератури 8 клас Згідно ldquo;Програми д