тематика. 1.2. Предмет изучения логика высказываний теория множеств алгоритмы и методы логических алгебр.

Работа добавлена на сайт samzan.net:

1. Вступление

1.1. Объект изучения — дискретная математика.

1.2. Предмет изучения — логика высказываний, теория множеств, алгоритмы и методы логических алгебр, основы комбинаторики, теория автоматов, основы теории информации и кодирования, алгоритмы на графах, основы общей алгебры.

1.3. Целью обучения является овладение основами математической логики, основами алгебры логики, методами формализации записи сложных выражений, методами минимизации логических выражений, операциями над множествами, методами оптимизации на графах, аксиомами и правилами вывода, общей алгебры, комбинаторики; овладение методами минимизация состояний конечного и частичного автоматов, теории кодирования информации, алгоритмами оптимизации на графах.

1.4. Задачи дисциплины

1.4.1. В результате изучения курса «Дискретная математика» студенты должны знать:

— основные положения алгебры множеств, понятие двойственности, типы соответствий, отношения эквивалентности, порядка и толерантности;

— законы алгебры логики, минимизацию логических выражений, способы представления логических функций, понятия полноты и замкнутости логических систем;

— аксиомы и правила вывода для исчисления высказываний;

— основные формулы комбинаторики;

— основные определения теории графов, способы задания графов, изоморфизм и гомеоморфизм графов;

— некоторые оптимизационные алгоритмы на графах;

— основные определения теории абстрактных автоматов Мили и Мура;

— классификацию основных алгоритмов сжатия и кодирования информации, основные положения теории информации и кодирования;

— основы общей алгебры: группы, подгруппы, кольца поля;

— основы модулярной арифметики.

1.4.2. В результате изучения курса «Дискретная математика» студенты должны уметь:

— выполнять операции над множествами, пользоваться тождественными преобразованиями над множествами, представлять множества кругами Эйлера, определять тип соответствия;

— представлять логические выражения в нормальных формах, минимизировать логические формулы табличными методами и с помощью карт Карно, выбирать функционально полную систему логических функций;

— решать задачи комбинаторного типа;

— оперировать матрицами инцидентности и смежности, выполнять оптимизацию на графах в рамках изученных алгоритмов;

— построить граф абстрактной модели полного автомата (Мили или Мура) и минимизировать его, найти покрывающий автомат частичного автомата;

— составлять кодировочные таблицы Хаффмена и Фано, находить цену кода, кодировать информацию методами LZW, RLE, BWT;

— определять место алгебраической системы в классификационной таблице;

1.4.3. В результате изучения курса «Дискретная математика» студенты должны иметь представление о:

— задачах математической логики;

— двойственности и самодвойственности, булеане множества, о разбиениях и покрытиях, об отношениях в теории множеств, прямом произведении множеств, графах соответствий;

— суперпозиции функций алгебры логики;

— правилах формального вывода в теории логического вывода;

— композиции и декомпозиции автоматов, синтезе автоматных сетей;

— алгоритмах сжатия информации;

— модулярной арифметике.

1.5. Связь «Дискретной математики» с другими науками. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и навыках, полученных по математике в средней школе, на дисциплине «Введение в специальность» и является основой для  дисциплин «Программирование», «Структуры данных», «Системный анализ», «Компьютерная электроника и компьютерная системотехника», «Прикладная теория цифровых автоматов».

2.  Содержание дисциплины.
Семестр — 1.1

Тема 1. Логика высказываний (4 часа)

Ознакомление с терминологией. Основные логические операции и их свойства. Равносильность высказываний. Закон контрапозиции. Тавтологии и противоречия. Понятие логического следствия. Основные законы математической логики.

Тема 2. Логика предикатов (4 часа)

Понятие предикативной переменной и предиката. Кванторы. Формализация записей с помощью кванторов. Операции, уменьшающие местность предикатов. Доказательство правильности метода математической индукции.

Тема 3. Теория множеств (8 часов)

Множества и элементы. Множества и подмножества. Мощность множества. Способы задания множеств. Операции на множествах. Системы множеств (разбиения и покрытия). Булеан множества (мощность булеана множества). Алгебра множеств. Принцип двойственности. Понятие вектора. Прямое произведение множеств. Понятие алфавита. Понятие отношения. Соответствие (типы соответствий).

Тема 4. Комбинаторика (4 часа)

Основные правила и формулы комбинаторики. Метод производящих функций. Формула включения исключения.

Тема 5. Теория булевых функций (8 часов)

Логические переменные и логические функции. Способы задания логических функций. Существенные и фиктивные переменные. Основные логические функции. Суперпозиция формулы логических функций. Формула Шеннона.

Семестр 1.2

Тема 5. Теория булевых функций (12 часов)

Эквивалентные преобразования и упрощения логических формул. Двойственность. ДНФ, интервалы и покрытия. Минимизация дизъюнктивных форм логических функций. Частичные булевы функции и их минимизация. Алгебра Жегалкина (полином Жегалкина). Полнота и замкнутость систем функций.

Тема 6. Основы общей алгебры (4 часов)

Понятие группы. Кольца и поля. Классификация алгебраических систем. Элементы модулярной арифметики.

Тема 7. Элементы теории графов и некоторые алгоритмы на
графах (10 часов)

Основные определения: вершины, ребра, дуги, инцидентность, смежность, связность, способы задания графа, цикличность, взвешенность, степень, полнота, двудольность, изоморфизм, гомеоморфизм, части графа, клика графа, планарность, деревья, способы задания дерева (алгоритм построения символа дерева, алгоритм восстановления дерева из его символа), дерево графа, алгоритм порождения полных подграфов (нахождение клик графа), алгоритм поиска в глубину для топологической сортировки.

Алгоритмы оптимизации на графах: нахождение минимального остовного дерева графа (алгоритм Прима), нахождение кратчайшего расстояния от заданной вершины во все достижимые (алгоритм Дейкстры), нахождение кратчайшего расстояния от заданной вершины в заданную (метод ветвей и границ), нахождение максимального потока в сети (алгоритм пометок Форда и Фалкерсона), задача о максимальном паросочетании в двудольном графе.

Тема 8. Введение в теорию конечных автоматов (10 часов)

Абстрактные автоматы. Состояния автоматов. Условия автоматности. Автоматы Мили и Мура. Построение эквивалентных автоматов. Понятие k–эквивалентности. Минимизация состояний полных автоматов. Частичные автоматы. Минимизация частичных автоматов (нахождение покрывающего автомата). Композиция и декомпозиция автоматов. Последовательные и параллельные автоматы.

Тема 8. Теория кодирования и алгоритмы сжатия(10 часов)

Проблема кодирования и декодирования. Разделимые схемы. Префиксные схемы. Алфавитное кодирование. Цена кодирования. Экономное кодирование Фано. Оптимальное кодирвание Хаффмена. Классификация алгоритмов кодирования (сжатия): алфавитное, групповое, словарное, адаптивное, полуадаптивное, неадаптивное. Примеры алгоритмов кодирования: группового — RLE, словарного — LZW. Прямое и обратное преобразование BWT.

Тема 10. Логические исчисления (исчисления высказываний) (2 часа)

Формальные математические теории или исчисления. Правило построения исчисления высказываний.

3. Практические занятия

3.1. Логика высказываний (2 часа)

Построение таблиц истинности. Доказательство эквивалентности выражений. Определение логического следствия.

3.2. Логика предикатов (2 часа)

Формализация записей с помощью кванторов.

3.3. Теория множеств (6 часов)

Операции на множествах. Алгебра множеств. Тождественные преобразования. Определение типа соответствий.

3.4. Комбинаторика (1 час)

Решение и составление задач на правила и формулы комбинаторики.

3.5. Теория булевых функций (14 часов)

Способы задания логических функций. Нахождение существенных и фиктивных переменных. Определение суперпозиций формул логических функций. Разложение по формуле Шеннона. Эквивалентные преобразования и упрощения логических формул. Определение двойственных функций. Нахождение сокращенной ДНФ методами Квайна Мак-Класки и Блейка-Порецкого. Нахождение тупиковых ДНФ методом Петрика, определение ядровых импликант. Минимизация частичных булевых функций. Построение полинома Жегалкина различными способами. Понятия полноты и замкнутости системы логических функций.

3.6. Основы общей алгебры (1 час)

Понятие группы. Кольца и поля. Классификация алгебраических систем. Элементы модулярной арифметики.

3.7. Элементы теории графов (2 часа)

Основные определения: и способы задания графа. Нахождение частей графа, определение планарности графа. Маршруты в графе.

Построения символа дерева и восстановления дерева из его символа, дерево графа.

Алгоритм порождения полных подграфов (нахождение клик графа), алгоритм поиска в глубину для топологической сортировки.

3.8 Алгоритмы на графах (6 часов)

Нахождение минимального остовного дерева графа (алгоритм Прима).

Нахождение кратчайшего расстояния от заданной вершины во все достижимые (алгоритм Дейкстры).

Нахождение кратчайшего расстояния от заданной вершины в заданную (метод ветвей и границ).

Нахождение максимального потока в сети (алгоритм пометок Форда и Фалкерсона).

Задача о максимальном паросочетании в двудольном графе.

3.9 Введение в теорию конечных автоматов (5 часов)

Построение автоматов. Преобразование автомата Мили в автомат Мура и наоборот. Минимизация состояний полных автоматов.

Частичные автоматы. Минимизация частичных автоматов (нахождение покрывающего автомата).

3.10. Теория кодирования и алгоритмы сжатия(5 часов)

Построение кодировочной таблицы алгоритмом Фано и алгоритмом Хаффмена по заданной (найденной) частоте встречаемости символов. Нахождение цены кода.

Кодирование с помощью RLE. Кодирование с помощью — LZW.

Прямое и обратное преобразование BWT.

4. Самостоятельная работа — 96 часов (два триместра)

1. Алгебра множеств. Тождественные преобразования (4 часа) [4, стр. 45].

2. Булева алгебра и теория множеств (2 часа) [3, стр. 23].

3. Конъюнктивные нормальные формы (2 часа) [3, стр. 50].

4. Выполнение заданий по темам практических занятий (44 часа).

5. Выполнение итогового домашнего задания № 1 — триместр 1.1 (18 часов).

6. Выполнение итогового домашнего задания № 2 — триместр 1.2 (26 часов).

4.1. Содержание домашнего задания № 1

I.1. Для данной в виде формулы (F1) логической функции четырех переменных построить таблицу истинности (получить СДНФ). Начертить схему исходной логической функции.

2. Данную логическую функцию (F1) преобразовать в булеву функцию (F2) и получить таблицу истинности аналитически.

3. Получить сокращенную ДНФ методом Квайна Мак-Класки.

4. Получить сокращенную ДНФ методом Блейка-Порецкого.

5. Найти все тупиковые ДНФ методом Петрика. Выделить минимальную ДНФ.

6. Минимизировать исходную логическую функцию с помощью карты Карно.

7. Начертить схему полученной минимизированной функции.

8. Найти минимальную КНФ для исходной логической функции.

II. Минимизировать данную, частично определенную булеву функцию от четырех переменных.

4.2. Содержание домашнего задания № 2

I. Граф задан списком дуг с весами

1. Начертить данный граф без пересечения дуг (по возможности).

2. Для заданного графа построить минимальное остовное дерево — МОД (продемонстрировать алгоритм Прима). Направление дуг не учитывать, т. е. считаем, что задан неориентированный граф.

3. Для полученного дерева найти его символ. Восстановить дерево по символу.

4. Для заданного графа продемонстрировать алгоритм Дейкстры, т. е. найти кратчайшие расстояния из заданной вершины во все остальные алгоритмом Дейкстры (заданная вершина указана). Направление дуг учитывать, т. е. задан орграф.

5. Для заданного графа продемонстрировать МВГ (метод ветвей и границ), т. е. Построить дерево решений для нахождения кратчайшего расстояния из заданной вершины в заданную с помощью МВГ (заданные вершины указаны). Указать критерии отсечения. Направление дуг учитывать, т. е. задан орграф.

II. Граф задан списком дуг без весов

1. Начертить данный граф без пересечения дуг (по возможности).

2. Осуществить ТС (топологическую сортировку) методом «поиск в глубину». Отмечать время начала обработки вершины, и — время окончания обработки вершины.

3. Начертить отсортированный граф с временем обработки вершин.

4.3. Содержание домашнего задания № 3

I. Построить автомат, согласно варианта:

— указать входной алфавит;

— указать выходной алфавит;

— указать функции перехода и выхода — таблично;

— начертить диаграмму автомата.

2. Минимизировать число состояний, полученного автомата, используя k-эквивалентные разбиения при помощи таблиц.

3. Начертить диаграмму минимизированного автомата

4. Написать программу, реализующую действия данного автомата.

5. Контрольные вопросы

1. Введение в математическую логику. Простые и сложные высказывания. Логические операции.
2. Введение в математическую логику. Равносильность высказываний. Закон контрапозиции.
3. Введение в математическую логику. Тавтологии и противоречия. Законы алгебры логики.
4. Логика предикатов. Понятие одноместного и n-местного предиката.
5. Логика предикатов. Кванторы.
6. Логика предикатов. Операции, уменьшающие местность предиката.
7. Логика предикатов. Основные равносильности, содержащие кванторы.
8. Логика предикатов. Доказательство справедливости метода математической индукции.
9. Канторовская теория множеств. Принцип объемности. Принцип абстрактности.
10. Множества и подмножества. Свойства включения и принадлежности. Мощность множества..
11. Способы задания множеств.
12. Операции над множествами.
13. Системы множеств. Покрытия и разбиения. Мощность булеана конечного множества.
14. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств.
15. Алгебра множеств. Принцип двойственности.
16. Понятие вектора. Прямое произведение множеств. Теорема о мощности прямого произведения множеств.
17. Соответствие. Область отправления, область определения. Область прибытия, область значения. Типы соответствий. Теорема о взаимно-однозначном соответствии.
18. Соответствие. Типы соответствий. Способы задания соответствий.
19. Булевы функции. Логические переменные и логические функции. Способы задания логических функций: таблица истинности, множества единичных/нулевых наборов и др.
20. Булевы функции. Логические переменные и логические функции. Способы задания логических функций: графический, картой Карно (коды Грея) и др.
21. Существенные и фиктивные переменные.
22. Основные логические функции.
23. Суперпозиция и формулы логических функций.
24. Формула Шеннона. СДНФ.
25. Способы получения СДНФ. Теорема о преобразовании эквивалентных формул.
26. Понятие булевой алгебры. Теорема о преобразовании логической функции в булеву функцию.
27. Упрощение логических функций. Правила подстановки и замены.
28. Упрощение логических функций. Законы склеивания и поглощения. Законы Порецкого. Законы Шеннона.
29. Понятие двойственности булевых функций. Способы получения двойственных функций. Самодвойственность.
30. Интервалы и покрытия ДНФ.
31. Понятие импликанта и простого ипликанта ДНФ. Сокращенная ДНФ.
32. Нахождение сокращенной ДНФ методом Квайна.
33. Нахождение сокращенной ДНФ методом Мак-Класки.
34. Нахождение сокращенной ДНФ методом Блейка-Порецкого.
35. Нахождение тупиковых ДНФ методом Петрика.
36. Минимизация ДНФ с помощью карт Карно.
37. Конъюнктивные нормальные формы. СКНФ. МКНФ.
38. Не всюду определенные булевы функции и их минимизация.
39. Частичное разложение булевых функций и их минимизация.
40. Алгебра Жегалкина. Теорема о полиноме Жегалкина.
41. Полином Жегалкина. Способы получения полинома Жегалкина.
42. Понятия полноты и замкнутости систем логических функций.
43. Теорема Поста. Определение функционально полной системы функций. Использование комбинаторики. Основные определения и правила комбинаторики.
44. Понятие выборки. Перестановки и сочетания.
45. Перестановки без повторений (вывести формулу, привести пример).
46. Перестановки с ограниченным числом повторений (показать вывод формулы, привести пример).
47. Перестановки с неограниченным числом повторений (вывести формулу, привести пример).
48. Сочетания без повторений (вывести формулу, привести пример).
49. Сочетания с ограниченным числом повторений (пояснить способ решения, привести пример).
50. Сочетания с неограниченным числом повторений (пояснить формулу, привести пример).
51. Принцип включения и исключения. Привести формулы, пояснить принцип на кругах Эйлера. Привести пример.
52. Использование теории графов. Основные определения (вершина, ребро, инцидентность, смежность, ориентированность, конечность и бесконечность, изоморфность, степень и пр.)
53. Понятия подграфа, части графа, суграфа, дополнения графа, полного графа.
54. Понятия маршрута, цепи, цикла в ориентированном и неориентированном графах. Эйлеров и Гамильтонов графы.
55. Связность и сильная связность в ориентированном и неориентированном графах. Привести примеры.
56. Планарные и плоские графы. Графы Понтрягина и Куратовского.
57. Деревья и лес. Основные понятия и определения. Примеры.
58. Деревья на множестве вершин. Дерево как часть графа. Примеры.
59. Символ дерева. Алгоритм получения символа и алгоритм восстановления дерева. Пример.
60. Алгоритмы построения минимального остовного дерева (алгоритм Краскала и алгоритм Прима). Показать на примере.
61. Алгоритмы нахождения кратчайшего пути. Алгоритм Дейкстры. Показать на примере.
62. Алгоритмы нахождения кратчайшего пути. Метод ветвей и границ. Показать на примере.
63. Поиск в глубину. Понятие топологической сортировки.
64. Нахождение максимального потока в графе (алгоритм Форда-Фалкерсона).
65. Взвешенное паросочетание.
66. Понятие абстрактного конечного автомата. Основные определения. Способы задания автоматов, примеры. Условия автоматности.
67. Автоматы Мили и Мура. Отличие в способах задания. Преобразование автоматов (авт. Мили в авт. Мура, авт. Мура в авт. Мили).
68. Эквивалентность автоматов. Понятие k-эквивалентности. Пример.
69. Минимизация автоматов. Понятие k-эквивалентности. Пример.
70. Понятие и необходимость кодирования, примеры. Формулировка задачи кодирования.
71. Типичная задача кодирования. Некоторые условия, которые могут быть заданы при кодировании.
72. Алфавитное кодирование. Схемы кодирования (разделимая, префиксная, равномерная).
73. Кодирование с минимальной избыточностью. Цена кода.
74. Экономное кодирование. Алгоритм Фано, построение дерева кода (пример).
75. Оптимальное кодирование. Алгоритм Хаффмана, построение дерева кода (пример).
76. Общие характеристики (критерии сжатия) и классификация алгоритмов компрессии.
77. Классификация алгоритмов компрессии. Алгоритм сжатия RLE, характеристики и пример.
78. Классификация алгоритмов компрессии. Алгоритм сжатия LZW, характеристики и пример.
79. Классификация алгоритмов компрессии. Алгоритм сжатия BWT (прямое преобразование), характеристики и пример.
80. Классификация алгоритмов компрессии. Алгоритм сжатия BWT (обратное преобразование), характеристики и пример.
81. Понятие алгебраической системы. Основные определения. Алгебраическая система с одним законом композиции. Свойства полугруппы и группы.
82. Алгебраическая система с двумя законами композиции. Свойства кольца, поля и тела.
83. Классификация алгебраических систем.
84. Элементы модулярной арифметики. (Вычеты по mod n и их место в классификационной таблице алгебраических систем).
85. Исчисления высказываний. Необходимость теории. Пример формального вывода.

6. Типовые задачи

1. Следующую формулу преобразовать в полином Жегалкина:

1. Минимизировать функцию с помощью карты Карно и методом Петрика:

3. Представьте в предикативной форме следующие суждения:

а) ни один судья несправедлив;

б) некоторые судьи добры, но несправедливы.

Предикаты определить на множестве людей, ввести признаки — «быть судьей», «быть добрым» и «быть справедливым».

4. Получить СКНФ формулы:

5. Получить Сокр.ДНФ формулы методом Квайна (Мак-Класки):

6. Доказать равенство:

(XY)(XZ) X=XYZ

7. Является ли функция G логическим следствием функции H, если:

8. Выразить операцию «объединение» через операции «симметрическая разность» и «пересечение».

9. Методом Петрика найти МДНФ из сокращенной ДНФ:

10. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают английский и немецкий, 3 — немецкий в французский, 2 — французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только французский? Сколько человек знает ровно 1 язык? Проиллюстрировать решение кругами Эйлера.

11. Найти число способов распределения 28-ти человек в группы по 3 и 5 человек.

12. Взвешенный неориентированный граф задан списком ребер (AD-2, AF-5, AG-4, BC-1, BE-2, BF-5, BG-1, CD-3, CE-2, CG-4, DE-1, DH-1, FG-3, FH-4, GH-1). Показать на данном графе алгоритм нахождения МОД.

13. Взвешенный ориентированный граф задан списком ребер (AD-1, AС-2, AВ-5, BF-2, CB-1, CF-2, CE-3, DE-1, DC-4, FE-4). Найти кратчайшие пути из вершины А во все остальные алгоритмом Дейкстры.

14. Взвешенный ориентированный граф задан списком ребер (AD-3, AС-1, AВ-1, BF-2, CB-4, CF-1, CE-1, DE-3, DC-1, EF-5). Найти кратчайшие пути из вершины А в вершину F методом «ветвей и границ».

15. Восстановить деревья по символам:   (A, A, B, A,C, D),
  (A, C, B, D, A, Н),   (A, B, A, C, D, D).

16. Построить и минимизировать, если можно, автомат Мура с входным алфавитом {"а", "b", "*", "  "}, который считает все слова, начинающиеся на b и заканчивающиеся на а.

17. Построить и минимизировать, если можно, автомат Мили, который допускает все слова длиной три символа из алфавита {"1", "2", "3", "0"} с суммой элементов больше 3.

18. Дана строка текста L = "ккннаа", преобразованного алгоритмом BWT и i = 3. Найти исходную строку текста. Провести прямое преобразование BWT.

19. Построить кодировочные таблицы с помощью алгоритмов Хаффмана и Фано для следующего текста: "НА МЕЛИ МЫ НАЛИМА ЛОВИЛИ.". Сравнить и пояснить результаты.

20. Дана строка текста L = "ааааа bbb aabbaaаа aaa bbb ccc". Сжать её с помощью алгоритма LZW и RLE. Сравнить и пояснить результаты.

21. Запишите таблицы сложения и умножения класса вычетов по модулю 5. Определите симметричные элементы для обеих таблиц.

7. Рекомендованная литература

7.1. Основная литература

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. — К.: «Технiка», 1977.
2. Холодный М.Ф. Дискретные структуры. Учебн. пособие. — Харьков: ХАИ, 1989.
3. Холодный М.Ф. Основы дискретной математики. Учебн. пособие. — Харьков: ХАИ, 1990.
4. Холодный М.Ф., Холодная З.Б., Куланов В.А. Основы теории множеств. Учебн. пособие. — Харьков: ХАИ, 1991.
5. Холодный М.Ф., Яремчук В.П. Теория автоматов. Учебн. пособие. — Харьков: ХАИ, 1991.
6. Холодный М.Ф., Яремчук В.П. Элементы общей алгебры и теория кодирования. Учебн. пособие. — Харьков: ХАИ, 1991.
7. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.

7.2. Дополнительная литература

1. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Закревский А.Д. Логические уравнения. — Минск: Наука и техника, 1975.
3. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика. — М.: Вузовская книга, 1999.
4. Кузнецов А.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. — М.: Энергоиздат, 1988.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: Издательство МАИ, 1992.
6. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник — Санкт-Петербург: Питер, 2001.
7. Фридман А., Менон П. Теория проектирования переключательных схем. — М.: Мир, 1978.
8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука. 1987.
9. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов. Ленинград: «Энергия», 1979.
10. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. — М.: Наука. 1966.
11. Кузнецов А.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. — М.: Энергоиздат, 1988.
12. Оре О. Теория графов. — М.: Наука. 1968.
13. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1985.

Учебную программу дисциплины разработала

старший преподаватель кафедры 503      Холодная З.Б.

9

1. Применение малых напряжений
2. варианта ответов ~
3. а ~ это наследственное заболевание соединительной ткани с аутосомнодоминантным типом наследования и с преи
4. 1030 Физвоспитание спортивный зал главного здания 10
5. 102006 760 Томск Об утверждении Положения о портфол
6. Вариант 1 1Какое слово образовано суффиксальным способом Апрочитать; б преодолеть;
7. Так называют компенсаторную функцию мечты
8. Курсовая работа- Разработка класса в PHP
9. тематические методы сравнения сопоставления вычленения пытаются найти полезное и помочь расшифровать что
10. тематичних наук ІваноФранківськ ~ Дисертацією є рукопис
11. Доходы и расходы государственного бюджета, их структура и роль в экономическом росте производства
12. Реферат- Расцвет, кризис и падение Римской империи
13. Центр художественного творчества детей и молодёжи города Бобруйска на базе образцовой эстраднохоровой ст
14. размер типа данных число строк число столбцов
15. член Политсовета Российской народной рабочей партии РНРП секретарь Московского городского отделения РН
16. Условия правомерности необходимой обороны
17. На тему- rdquo;Общие вопросы организации бизнесаrdquo; Выполнил- студент группы ИЭ982 з Кош
18. Конституционное право Республики Казахстан для специальности 050301 ~ Юриспруденция для дневного отде
19. Налоговая инспекция Советского района Махачкалы района г Махачкала
20. ОРГАНІЗАЦІЯ ТА ТЕХНОЛОГІЯ ОБСЛУГОВУВАННЯ В ГОТЕЛЯХ 1

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе