Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 2. Основные методы нахождения точечных оценок.
В результате применения этого метода получают систему уравнений. При числе уравнений, большем 4, т.е. если параметров больше 4, этот метод не дает точной оценки.
Если распределение характеризуется 1 параметром, то для его отыскания приравнивают 1 теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка, т.е.
. (1)
Если известна плотность распределения вероятности f(x) = f(x, M(X)) в случае непрерывного распределения или закон распределения pi = P(X=xi, M(X)), то уравнение (1) в развернутом виде можно записать так
, если Х – дискретна,
, если Х – непрерывна.
Как видим, математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (1), получим его точечную оценку.
Для случая двух параметров, приравнивая, например, начальные моменты первого порядка и центральные моменты второго порядка, имеем систему
Замечание. Метод моментов содержит неопределенность, поскольку можно получить уравнения для неизвестных параметров, приравняв как начальные, так и центральные моменты.
Пример. СВ Х распределена по закону Пуассона
,
где m – число испытаний в одном опыте, xi – число появлений события в i-ом опыте. Найти методом моментов по выборке точечную оценку неизвестного параметра λ.
Решение. Для оценки одного параметра достаточно одного уравнения вида (1). Т.к. для распределения Пуассона M(X) = λ, то точечной оценкой этого параметра в силу уравнения (1) будет выборочная средняя, т.е. .
Пусть СВ Х в результате n испытаний приняла значения . Будем считать, что закон распределения СВ Х известен – для дискретной СВ в виде вероятности p(xi, θ), а для непрерывной в виде плотности распределения вероятности f(xi, θ), но неизвестен параметр распределения θ.
Определение 5. Функцией правдоподобия СВ Х называется функция
для дискретной СВ,
для непрерывной СВ,
где - фиксированные числа.
Из определения следует, что функция правдоподобия является вероятностной мерой выборки и зависит от случайной оценки θ (она меняется от выборки к выборке) и от случайной выборки . Следовательно, чем вероятнее (правдоподобнее) при фиксированном θ выборка , тем больше значение функции правдоподобия.
Определение 6. Оценкой наибольшего правдоподобия параметра θ называется такое значение θ*, при котором функция правдоподобия достигает максимума.
Определение 7. Логарифмической функцией правдоподобия СВ Х называется функция ln L.
Функции L и ln L достигают максимума при одном и том же значении θ, поэтом вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум ln L.
При отыскании точки максимума функции ln L аргумента θ поступают следующим образом.
Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке точечную оценку неизвестного параметра μ показательного распределения, плотность вероятности которого при неотрицательных x.
Решение. Учитывая, что θ = μ, составим функцию правдоподобия
.
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия
.
Составим уравнение правдоподобия
или ,
из которого получаем критическую точку .
Найдем вторую производную
,
которая отрицательна, при любом μ, т.е. полученная оценка μ* является оценкой наибольшего правдоподобия неизвестного параметра μ.
Замечание. Метод моментов отличается простотой, однако, оценки, полученные этим методом, как правило, смещены и малоэффективны. Исключение составляет нормальное распределение. Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельную оценку; если существует эффективная оценка, то метод наибольшего правдоподобия дает ее; и оценка наибольшего правдоподобия асимптотически эффективна.