Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 8
12 ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СООБЩЕНИЙ
Наблюдаемый процесс на входе фильтра задан уравнением
(t) = H(t)(t) + n(t) , 0 t T , (12.1)
а сообщение (t) - уравнением
. (12.2)
Здесь H(t) - известная функция (несущее колебание); H(t)(t) = s[t, (t)] - передаваемый сигнал; n(t) - белый гауссовский шум (не обязательно стационарный) с нулевым средним значением и односторонней спектральной плотностью N0; - постоянный коэффициент, определяющий ширину спектра сообщения (t). Если сообщение (t) рассматривают, как результат прохождения формирующего стационарного белого шума n(t) через интегрирующую цепочку RC, то коэффициент = 1/(RC).
При линейной фильтрации гауссовских процессов, каким является рассматриваемое сообщение (t), апостериорная плотность вероятности p[|(t)] представляется гауссовским законом. Параметрами такой плотности вероятности служат математическое ожидание (t) и дисперсия R(t). Подставляя гауссовскую плотность вероятности в уравнение Стратоновича (11.18), можно прийти к следующей системе уравнений:
Эти уравнения называют уравнениями фильтра Калмана для непрерывного времени. Первое уравнение определяет алгоритм формирования оценки, а следовательно, и структурную схему фильтра, а второе - ошибку фильтрации (дисперсию оценки сообщения) R(t). Второе уравнение принято в математике называть уравнением Риккати.
Построим структурную схему фильтра Калмана.
Построение схемы удобно начинать с интегратора. Для этого обозначим правую часть (12.3) через y(t) = y1(t)+y2(t), где y1(t) = K(t)H(t)[(t) - H(t)], y2(t) = - , K(t) = 2R(t)/N0. Коэффициент K(t), зависящий от дисперсии оценки сообщения R(t) и спектральной плотности N0 шумовой помехи n(t), имеет смысл коэффициента передачи. Тогда уравнение (12.3) запишется как d/dt = y(t). Отсюда следует, что если на вход интегратора подать напряжение y(t), то на его выходе получим оценку сообщения . Для того чтобы сформировать напряжение у1(t), необходимо иметь генератор несущего колебания H(t), два перемножителя, сумматор и усилитель с коэффициентом усиления K(t).
Фильтр Калмана для гауссовского сообщения при линейной модуляции
С помощью этих устройств осуществляются все операции, входящие в выражение для у1(t). Напряжение y2(t) получается с помощью усилителя с коэффициентом усиления , на вход которого поступает напряжение оценки . Суммарное напряжение y(t) = y1(t) + y2(t) с выхода сумматора поступает на вход интегратора, на выходе которого получаем оценку .
Для немодулированного сигнала, когда s(t,(t)) = (t), в уравнениях (12.3) и (12.4) нужно положить H(t) = 1. При этом структурная схема фильтра Калмана примет более простой вид (рис. 12.2). В ее состав входят интегрирующий фильтр с постоянной времени RC = 1/[+2R(t)/N0] и усилитель с коэффициентом усиления K(t).
Фильтр Калмана для гауссовского сообщения при отсутствии модуляции
Рассмотренный фильтр (рис. 12.1) является одним из самых простых. Дальнейшее усложнение фильтра Калмана идет по линии использования формирующего фильтра, который описывается дифференциальным уравнением более высокого порядка, чем уравнение (12.2); гауссовская шумовая помеха n(t) может быть не белым шумом. При этом, как правило, уравнения наблюдения, сообщения и оптимальной фильтрации записываются в матричной форме.
В качестве примера рассмотрим фильтрацию гауссовского марковского сообщения в канале связи с амплитудной модуляцией, когда для передачи сообщения (t), заданного уравнением, используется следующий сигнал
s(t, (t)) = (t) sin 0t. (12.5)
Это сигнал амплитудной модуляции с подавленной несущей. Уравнение наблюдения в этом случае, согласно (12.1)
(t) = (t) sin 0t + n(t) . (12.6)
Уравнение оценки согласно (12.3)
или
. (12.7)
Допустим, что период синусоидальных колебаний Т0 = 2/0 удовлетворяет, как это обычно бывает на практике, неравенству
T0 <<k = 1/, (12.8)
то есть « 0 , где k - время корреляции сообщения (t).
При этих условиях слагаемым cos20t можно пренебречь. Тогда уравнение (12.7) преобразуется к виду
. (12.9)
Аналогичным путем можно преобразовать уравнение (12.4) при H(t) = sin0t:
. (12.10)
Уравнение (12.9) можно моделировать линейным фильтром разомкнутого типа c постоянной времени RC = 1/[ + R(t)/N0].
Структурная схема оптимального демодулятора амплитудно-модулированных сигналов:
Оптимальный фильтр (демодулятор) представляет собой схему когерентного (синхронного) детектора с интегрирующим фильтром RC. В случае обычной амплитудной модуляции с несущей, когда s(t, (t)) = U0[1+m(t)] sin 0t , синхронный детектор выделяет огибающую [U0 + mU0] и поэтому для получения на выходе оценки сообщения в схему (рис.12.3) включены разделительный конденсатор С1, устраняющий постоянную составляющую U0, и аттенюатор А с коэффициентом затухания l/mU0.
Рассмотрим частный случай линейной фильтрации, когда уравнения наблюдения (12.1) и сообщения (12.2) являются линейными и заданы в виде скалярных разностных уравнений
(0) = 0 .
Предполагается, что здесь Н = H(t) и = (t) есть заданные функции времени; n , n - гауссовские шумы с нулевыми средними значениями и дисперсиями D и D соответственно; интервал времени = (t -t-1) определяется временем дискретизации процессов.
Согласно (12.12) все значения получаются в результате линейного преобразования последовательности независимых распределенных по гауссовскому закону случайных величин ni, i = 0,1,...,. Поэтому, при гауссовском распределении начального значения 0 случайная величина будет также распределенной по гауссовскому закону. Совместно гауссовскими будут являться также совокупности случайных величин и .
Известно, что условные плотности вероятности совместно гауссовских случайных величин являются гауссовскими. Поэтому плотность вероятности
на (-1)-м шаге является гауссовской и имеет вид
,
где с1 - нормировочная постоянная, - апостериорная дисперсия, - оптимальная оценка .
Путем соответствующих преобразований можно показать, что условная плотность вероятности на -м шаге является также гауссовской и имеет вид
. (12.13)
Из формулы (12.13) следуют результирующие уравнения для оценки и дисперсии , которые определяют дискретный фильтр Калмана. Они носят рекуррентный характер и имеют следующий вид:
Структурная схема дискретного фильтра Калмана изображена на рис.12.4, где К = =Н(R/D).
Предположим, что наблюдения отсутствуют, то есть H(t) 0. Тогда апостериорная плотность вероятности совпадает с априорной и из (12.14) имеем
.
Это есть уравнение прогноза по априорным данным. При этом фильтр Калмана вырождается в фильтр, который обведен на рис.12.4 штриховой линией. Это есть формирующий фильтр (ФФ) для передаваемого сообщения (t). Следовательно, априорные сведения о сообщении "заложены в конструкцию" оптимального фильтра.
На входе дискретного фильтра Калмана из принимаемого колебания вычитается его предсказуемая часть Н-1. Из этой разности с весовым коэффициентом К и из априорных сведений -1 формируется оптимальная оценка . Процедура образования оценки является рекуррентной (то есть повторяющейся), очень удобной для реализации на ЭВМ.
Дискретный фильтр Калмана
В качестве примера рассмотрим фильтрацию неизвестной постоянной величины. Пусть представляет собой случайную, но постоянную величину; Н = 1, n = 0, -1 = 1. При этом уравнения (12.11) и (12.12) преобразуются к виду
Примем, что начальное значение 0 распределено по гауссовскому закону с дисперсией Rv0, а дисперсия шума n постоянна и равна D. С учетом принятых допущений результирующие уравнения для оценки (12.14) и дисперсии R (12.15) приобретают следующий вид:
Уравнение (12.18) можно моделировать фильтром, схема которого изображена на рис.12.5. Он состоит из усилителя с коэффициентом усиления R /D и рециркулятора (на рисунке он обведен штриховой линией), являющегося дискретным аналогом интегратора.
Дискретный фильтр Калмана для постоянной величины
Из уравнения (12.19) для апостериорной дисперсии следует, что . Поэтому . Продолжая расписывать далее, окончательно получим
. (12.20)
Отсюда следует, что R < D/ , то есть, с увеличением числа наблюдений апостериорная дисперсия убывает, стремясь в пределе к нулю.
Приведенные результаты линейной фильтрации можно обобщить на многомерный случай. При этом априорные сведения о передаваемых сообщениях задаются системой стохастических дифференциальных уравнений:
(12.21)
Эти уравнения удобно записать в виде одного векторно-матричного уравнения
(12.22)
где - вектор-столбец сообщения размерности n, который для удобства можно записать в виде транспонированной вектор-строки: ; А(t) - nn матрица коэффициентов системы уравнений (12.21); - вектор-столбец формирующих белых шумов с нулевыми математическими ожиданиями и матричной корреляционной функцией ; N(t)- симметрическая nn матрица деленных пополам спектральных плотностей.
Наблюдаемое колебание записывается в виде
где (t) - вектор-столбец наблюдений размерности m (m -число каналов наблюдения); H(t) - матрица наблюдений размерности mn; n(t) - вектор-столбец аддитивных белых шумов размерности m с характеристиками :
N0(t) - симметрическая mm матрица спектральных плотностей, деленных пополам.
Уравнения оптимальной многомерной линейной фильтрации имеют вид:
где R - корреляционная матрица ошибок фильтрации. Пусть, например, представляет случайную, но постоянную скалярную величину = , заданную уравнением d/dt = 0. Это частный случай уравнения (12.22) при A = А =0 и n = n = 0.
Имеются два канала с независимыми белыми шумами: 1 = + n1; 2 = + n2. В данном случае справедливы следующие соотношения:
. (12.25)
Матрица дисперсий одномерна: R = R = .На основании соотношений (12.25) запишем матрицу .
Уравнение оптимальной фильтрации (12.23) примет вид
. (12.26)
Схема, соответствующая уравнению (12.26), приведена на рис. 12.6. Усложнение схемы по сравнению с одномерным случаем (ему соответствует обведенная штриховой линией часть схемы) повышает точность фильтрации. В соответствии с уравнением (12.24)
.
Решение этого уравнения при начальном условии можно записать в виде
. (12.27)
Рис. 12.6. Фильтр приема сообщения по двум параллельным каналам
В установившемся режиме при t 0 имеем . По сравнению с одномерным случаем, соответствующему одноканальной обработке, в данном примере слагаемое в знаменателе дроби (12.27) содержит больший по величине коэффициент, поэтому текущие значения меньше. Таким образом, двухканальная обработка улучшает качество фильтрации и сокращает длительность переходного процесса.