Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа по дисциплине
Экономико-математические методы
Значение δ = 501;
Задание 1
Производственные функции
1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?
2. Производственная функция для райпо имеет вид f(xx) = 10 * , где
f – товарооборот, млн.руб.;
x1 – производственная площадь, тыс.кв. м;
x2 – численность работников, сотни чел.
Рассмотрите изокванту уровня y = и найдите на ней точку С1 с координатами , где и точку С2 с координатами , где x = .
Сделайте вывод о возможности замены ресурсов () и ().
Полученные результаты изобразите графически.
Решение:
Пусть для производства некоторого продукта в количестве (у) единиц используются различные ресурсы: x,x,…,x, выраженные в соответствующих им единицах. Если понятна закономерность получения продукта (y) из ресурсов т.е. если в явном виде выражена зависимость y = f (), то такая функция f () называется производственной (ПФ). ПФ - зависимость между количеством используемых в производстве ресурсов (факторов производства) и объемом выпускаемой продукции. ПФ применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем
выпуска в определенный момент времени (статический вариант) и для анализа, а также
прогнозирования соотношения объемов факторов и объемов выпуска в разные моменты
времени (динамический вариант) на микро- и макроуровнях – от фирмы до народного хозяйства в целом.
Пусть зафиксировано некоторое число y. Множество в n - мерном пространстве, определяемое равенством
Q= называется изоквантой функции f () уровня y.
Возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество
продукта X может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов. Совокупность
таких сочетаний ресурсов, называется изоквантой. Свойства изокванты: изокванты не пересекаются друг с другом; изокванта разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на два множества, причем граница между этими множествами проходит по изокванте; большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленная от на-
чала координат; изокванты не имеют общих точек с осями координат.
2. Если δ = 501, уравнение изокванты примет вид:
10 * =
10 * = , Возводя обе части в квадрат и деля их на 100, получим:
x*x = 6,01
Найдем координаты точки С1:
т.к. = (501-100)/100 = 4,01, то из уравнения изокванты находим
= 6,01/4,01 = 1,499 1,5
Аналогично находим координаты точки С2.
Так как x = = (501-300)/100 = 2,01, то из уравнения изокванты находим
= 6,01/2,01 = 2,99
Вывод: 150 работников райпо, используя 4,01 тыс.кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот = 24,515 (млн. руб.), и такой же товарооборот может обеспечить 201 работник райпо, используя площадь 2,99 тыс.кв. метров.
Задание 2
Классификация товаров
1. Дайте понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми?
2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:
|
Товар |
Первый |
Второй |
Третий |
|
Первый |
(δ -610)/100 |
(550,5- δ)/100 |
(570,5- δ)/100 |
|
Второй |
(550,5- δ)/120 |
(δ -640)/100 |
(520,5- δ)/100 |
|
Третий |
(570,5- δ)/120 |
(520,5- δ)/90 |
(δ-680)/100 |
Решение:
1. Эластичность спроса - степень изменения в количестве спрашиваемых товаров и услуг в ответ на изменение в их рыночной цене. Определим эластичность εij формулой:
*
Величина εij является математической идеализацией процентного изменения спроса на i –й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар. Эластичность εij при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар. Будем считать, что εii ‹ 0, т.е. увеличение цены на i-й товар приводит к снижению спроса на него. Эластичность εij при j ≠ i называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.
Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:
δ = 501, таблица эластичности примет вид:
|
Товар |
Первый |
Второй |
Третий |
|
Первый |
-1,09 |
0,495 |
0,695 |
|
Второй |
0,4125 |
-1,39 |
0,195 |
|
Третий |
0,5792 |
0,2167 |
-1,79 |
Т.к. 1, то первый товар среднеэластичный,
1, то второй товар высокоэластичный,
1, то третий товар высокоэластичный.
Т. к. = 0,495; = 0,4125; = 0,695; = 0,5792; = 0,195; = 0,2167, т. е. все значения больше нуля, то первый, второй и третий товары являются взаимозаменяемыми.
Задание 3
Межотраслевой баланс
1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?
2. За отчетный период имел место следующий баланс продукции:
x1= x11+ x12+у1 x2= x21+ x22+у2
x11= 800- δ
x12= 700- δ
x21= 750- δ
x22= 850- δ
у1 =300
у2 =220
а) Вычислите коэффициенты прямых затрат.
б) Вычислите плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции y= 350; y= 250 при условии неизменности технологии производства.
Решение:
δ = 501
x11= 800- δ = 800 – 501 = 299
x12= 700- δ = 700-501 = 199
x21= 750- δ = 750 – 501 = 249
x22= 850- δ = 850 – 501 = 349
x1= x11+ x12+ y = 299 + 199 + 300 = 798
x2= x21+ x22+ y = 249 + 349 + 220 = 818
Вычислим коэффициенты прямых затрат: Отношение называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции. Т.о.:
= 299/798 = 0,3747 = 249/798 = 0,3120
= 199/818 = 0,2433 = 349/818 = 0,4267
Вычислим плановый объем валовой продукции отраслей.
На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим xij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых уравнений.
Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.
Используя систему уравнений межотраслевого баланса при известном плановом значении конечной продукции y отраслей, можно вычислить плановое производство валовой продукции х этих отраслей. Если преобразовать систему уравнений, приведенную выше, получим:
Решая эту систему уравнений, получим плановые объемы валовой продукции отраслей:
350 = (1-0,3747)*x - 0,2433* x
250 = -0,3120* x + (1-0,4267)* x
350 = 0,6253 x- 0,2433 x
250 = 0,5733 x - 0,3120 x
x = (350 + 0,2433 x)/0,6253 = 559,7313 + 0,3891 x
Подставляя значение x во второе уравнение, получим:
250 = 0,5733 x- [0,3120*(559,7313 + 0,3891 x)]
250 = 0,5733 x- 174,6362 – 0,1214 x
250 = 0,4519 x-174,6362
x = (250 + 174,6362)/0,4519 = 939,6685
x = 559,7313 + 0,3891 x = 559,7313 + 0,3891*939,6685 = 559,7313 + 365,6250 = 925,3563
Таким образом, X = 925,36 - плановый объем валовой продукции первой отрасли,
X = 939,67 - плановый объем валовой продукции второй отрасли.
Задание 4
Использование метода теории игр в торговле
1. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.
2. Выберите стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.
|
А |
δ - 490 |
δ - 480 |
620 - δ |
|
А |
610 - δ |
620 - δ |
630 - δ |
|
А |
+ 10 |
+ 10 |
640 - δ |
Решение:
Рассмотрим проблему уценки неходового товара с целью получения возможно большей выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены. Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А1, А2, …, Аm – стратегии снижения цены на товар на α1%, α2%,…, αm% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε1, ε2 ,…, εn. Если выбрать определенную стратегию Аi и знать эластичность товара εj, то, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара аij. Проделав это для всех Аi и для всех εj, получим платежную таблицу. В таблице представлен подробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использовать следующие способы.
Подход с позиции крайнего пессимизма
Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка αi будет минимально возможной, т.е.
αi = min (αi1, αi2,…,αim).
Вычислив все величины αi (α1, α2,…,αm), нужно взять наибольшую из них α: α = max (αi).
Та стратегия, которая соответствует числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.
Подход с позиции крайнего оптимизма
Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичность будет наиболее благоприятной и выручка βi наибольшая, т.е.
βi= max (αi1, αi2,…,αim).
Вычислив все βi, нужно взять наибольшую из них: β = max (βi).
Та стратегия, которая соответствует величине β, и есть искомая.
Подход с позиции пессимизма-оптимизма
Рассмотрим величину H = max [(1-)+ ], где
λ – числовой параметр, 01
Предлагается выбирать стратегию, соответствующую величине H.
При λ = 0 Н = max αi= α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max βi=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим
, а затем выберем наибольшее из них
Стратегию, на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей подходу с позиции пессимизма-оптимизма.
При δ = 501 платежная таблица принимает вид:
|
А |
11 |
21 |
119 |
|
А |
109 |
119 |
129 |
|
А |
461 |
69 |
139 |
Выберем по каждой строке таблицы минимальное из чисел αi, максимальное βi ,а затем вычислим их полусумму γi.
|
α |
βi |
γi |
||||
|
А |
11 |
21 |
119 |
11 |
119 |
65 |
|
А |
109 |
119 |
129 |
109 |
129 |
119 |
|
А |
461 |
69 |
139 |
69 |
461 |
265 |
Получим:
α = max (α1, α2, α3,) = (11,109,69) = 109;
β = max (β1, β2, β3) = max (119,129,461) = 461;
γ = max (γ1, γ2, γ3) = max (65,119,265) = 265.
Так как α = 109 и это число находится в строке, соответствующей А2, то А2 – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 109 единицам.
Так как β = 461 и это число находится в строке, соответствующей А3, то А3 стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 461 единице.
Так как γ = 265 и это число находится ни в одной из трех строк, то стратегии оптимизма-пессимизма не существует.
Задание 5
Системы массового обслуживания
1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?
2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью μ = (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ = (δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ = (700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?
Решение:
Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее
поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию
следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход
системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.
Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.
δ = 501,
тогда μ= (δ + 300)/100 = (501 + 300)/100 = 8,01 (треб./мин.), а первоначальное значение
λ=(δ + 400)/100 = (501 +400)/100 = 9,01 (треб./мин.).
Количество каналов n = 2, Условие стационарности выполняется, т. к.
λ μ n (9,01 16,02)
α – параметр загрузки СМО = = 9,01/8,01 = 1,125
- доля времени простоя касс = (2-1,125)/(2+1,125) = 0,28 = 28%
L = - средняя длина очереди = (1,125)/(4-(1,125)) = 0,5207 (треб).
Если интенсивность λ станет равной (700-δ)/10 = (700-501)/10 = 19,9 (треб./мин.), то неравенство λ μ n не выполняется, т.к. 19,9 8,01*2, т.е. условие стационарности не выполнятся.
Итак, при интенсивности обслуживания μ = 8,01 (треб./мин.) и интенсивности входа λ = 9,01 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28% времени, а средняя длина очереди равна 0,521 (треб.). Если же интенсивность входа станет равной 19,9 (треб./мин.), то условие стационарности не выполнятся.
Задание 6
Оптимальное управление запасами
1. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами.
2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендой платы.
3. Сделайте вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической α и предельной
λ арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.
; .
Решение:
Задача оптимального управления запасами будет формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.
Предельная арендная плата λ экономически интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата α меньше либо равна предельной λ , т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна, если же α › λ, то аренда не выгодна.
В данной задаче δ = 501, = (700 – 501)/4000 = 0,04975
= (501-400)/4000 = 0,02525, т.е. выполняется условие: α › λ (фактическая арендная плата больше, чем предельная), следовательно аренда в этом случае не выгодна.
Задание 7
Выборочный метод
1. Дайте понятия генеральной и выборочной совокупностей.
2. Определите соотношения между доверительными интервалами:
а) при фиксированных значениях среднеквадратического отклонения σ, надежности P и различных значениях объема выборки:
;
б) при фиксированных значениях среднеквадратического отклонения σ, объема выборки n и различных значениях надежности:
;
в) при фиксированных значениях надежности P, объема выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения:
;
Решение:
δ = 501
= 610 – 501 = 109; = 501 - 490 = 11
= (800 - 501)/400 = 0,7475; = (501 – 300)/400 = 0,5025
= (700 – 501)/100 = 1,99; = (501 – 400)/100 = 1,01
Исходя из формулы , которая позволяет оценить доверительный интервал генеральной средней , можно сделать выводы:
а) при фиксированных σв и Р значение погрешности Δ находится в обратной зависимости от объема выборки n. Следовательно, при увеличении n значение Δ уменьшается, так как число n находится в знаменателе выражения, а одновременно с этим уменьшается и . Таким образом, при n1=109, n2=11 значения будут находиться в соотношении Δ1 Δ2 ,т.е. доверительный интервал, соответствующий объему выборки n1=109, будет меньше доверительного интервала, соответствующему объему выборки n2=11;
б) при увеличении Р увеличивается значение показателя tp (n), а также и значение Δ . Тогда при P1= 0,7475 и Р2= 0,5025 значения будут находиться в соотношении Δ1 Δ 2, т.е. доверительный интервал, соответствующий надежности Р1= 0,7475 будет больше доверительного интервала, соответствующего надежности P2= 0,5025;
в) при увеличении значения σ увеличивается и значение погрешности Δ. Тогда при σ1= 1,99, и σ2= 1,01 значения Δ будут находиться в соотношении Δ1Δ2 , т.е. доверительный интервал, соответствующий среднеквадратическому отклонению σ1= 1,99, будет больше доверительного интервала, соответствующему среднеквадратическому отклонению σ 2= 1,01.
Задание 8
Корреляционные методы
1. Дайте понятия функциональной и корреляционной зависимостей.
2. Коэффициент корреляции. Его смысл и свойства.
3. Оцените тесноту связи и направление связи между признаками x и y, если известны: b – коэффициент регрессии, σx,σу – среднеквадратические отклонения признаков x и y.
; ;
Решение:
Функциональная зависимость – это такая связь между результативными и факторными признаками, когда значение результативного признака-функции полностью определяется значениями факторных признаков. Если на результативный признак влияет один фактор X, то его называют функцией одного аргумента у (x), если факторных признаков много, например x1,x2,...,xn , то получаем функцию многих переменных.
Корреляционная зависимость – это такая связь между признаками, когда определенным значениям факторных признаков соответствует множество случайных значений результативного признака.
Особое место в анализе взаимосвязей между результативным и факторным признаками занимает выявление тесноты связи между ними, которая характеризуется при линейной корреляционной связи коэффициентом корреляции r. Он рассчитывается по формуле
, где σx,σу – среднеквадратические отклонения факторного (x) и результативного (y) признаков. Если r = 1, то все точки (xi,уi) расположены на прямой и связь между признаками y и x самая сильная – функциональная. Если r › 0, то связь называют прямой, т.е. с возрастанием значения факторного признака возрастает значение результативного. При r ‹ 0 – связь обратная, т.е. с возрастанием значения факторного признака значение результативного убывает. Таким образом, знак определяет направление связи (прямая, обратная). При r = 0 признаки у и x называют некоррелированными. Степень тесноты связи, характеризуемой коэффициентом корреляции, отражена в таблице:
.
|
Величина (r) |
0,1 – 0,3 |
0,3 – 0,5 |
0,5 – 0,7 |
0,7 – 0,9 |
0,9 – 0,99 |
|
Теснота связи |
Слабая |
Умеренная |
Заметная |
Высокая |
Весьма высокая |
В данном случае:
δ = 501
= -1*(650 - 501)/300 = -0,4967;
= (700 - 501)/100 = 1,99;
= (501 - 400)/100 = 1,01;
= -0,4967(1,99/1,01) = - 0,9786
Т.к. r 0, и r находится в пределах [0,9 – 0,99], то связь между признаками обратная, т.е. при возрастании факторного признака x значение результативного признака y уменьшается. Степень тесноты – весьма высокая.
Список используемой литературы:
1. Громенко В. В. Математическая экономика: Учебно-практическое пособие, руководство по изучению дисциплины, учебная программа по дисциплине / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.:
МЭСИ, 2004. – 100 с.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.