тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препо
Работа добавлена на сайт samzan.net:
План учебного занятия № 84.
дисциплины «Высшая математика»
Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий
Группа
Преподаватель Моисеева Т.И.
Раздел программы Интегральное исчисление функции одной переменной.
Тема:
Цель обучения: Сформировать понятие
Цель развития: Показать возможные способы
Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.
Тип занятия: Урок изучения нового материала.
Вид занятия: Урок-лекция.
Межпредметные связи: Науки, изучающие применение интегрального исчисления, исследующие значения площадей под графиками функций на отрезке.
Ход занятия:
- Замена переменных.
Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).
Тогда если
1) () = а, () = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]
3) f((t)) определена на отрезке [, ], то
Тогда
Пример.
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Пример.
, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.
- Интегрирование по частям.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
- Приближенное вычисление определенного интеграла.
Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.
- Формула прямоугольников.
Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.
Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:
y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).
Составим суммы: y0x + y1x + … + yn-1x
y1x + y2x + … + ynx
Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.
Тогда или
- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.
- Формула трапеций.
Эта формула является более точной по
у сравнению с формулой прямоугольников.
Подинтегральная функция в этом случае
заменяется на вписанную ломаную.
y1 у2 уn
a x1 x2 b x
Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
- Формула парабол
(формула Симпсона или квадратурная формула).
(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)
Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).
Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
у
0 х0 х1 х2 х3 х4 х
Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
(1)
Обозначим .
Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то (2)
Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:
C учетом этого: .
Отсюда уравнение (2) примет вид:
Тогда
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
По формуле Симпсона получим:
|
m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
f(x) |
2.828 |
3.873 |
4 |
4.123 |
4.899 |
6.557 |
8.944 |
11.874 |
15.232 |
18.947 |
22.978 |
Точное значение этого интеграла – 91.173.
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.
7 Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл
Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.
Разложение функции cosx имеет вид:
Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:
В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.
Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.
Теперь представим наш интеграл в виде:
В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).
Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами.) Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).
Итак:
Итого, получаем:
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.
Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…
2. Музыка Отечественной войны 1812 года
3. . Самоуправление в России история и характеристика современного этапа
4. Обязательная- Детские болезни 1994 под ред.html
5. Причины нарушения здоровья профессионала
6. Инструмент для обработки отверстий
7. Результаты эмпирического исследования Материал и методы
8. рэлiгiйная унiя 1595 г
9. Введени
10. 40 неделе без осложнений
11. Социальная политика североевропейских стран
12. Характеристика бизнессреды в МО 42
13. Российский государственный профессиональнопедагогический университет Институт экономики и управления
14. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
15. Узгоджено-
16. Гумус - хлеб для растений
17. Юриспруденция 080200 квалификации Бакалавр ФИЛОСОФИЯ К
18. Реферат СОЗДАНИЕ СОБСТВЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ Выполнен учениками РоссийскоАмерик
19. Воспитание младшего школьника как часть педагогического процесса
20. перекрывает ему кислород