Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 2
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем дважды по частям: .
.
Проверка: . Ответ: .
3. (здесь обозначено через ). Проверка: .
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби. .
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка:
.
Ответ: .
5. . Разлагаем подинтегральную дробь на простые дроби. . . Полагаем , получим . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом, .
Проверка: .
Ответ: .
6. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
7. . Интегрируем по частям.
.
Проверка: . Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: . Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью универсальной подстановки. .
Проверка: .
Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. .
Интеграл сходится. Ответ: . Интеграл сходится.
11. . Бесконечно большие величины могут быть разного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин . Поэтому интеграл расходится.
Ответ: . Интеграл расходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это линия, подобная трёхлепестковой розе, и окружность. Найдём точки пересечения линий: . Вычислим площадь для одного лепестка и утроим её: . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L):.
.
Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) (астроида) вокруг оси OX.
Найдём пределы интегрирования. Так как x изменяется от -5 до 5, то t меняется от –π до нуля.
. Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OX.
. Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: .
Ответ: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V0 без учёта сопротивления воздуха, задаётся формулой . Найдите высоту поднятия тела.
Тело достигнет максимальной высоты, когда его скорость станет равной нулю: . Следовательно,
. Ответ: .
20. Стержень «АВ», длина которого «l», масса «М», притягивает точку массы «m», которая лежит на его продолжении на расстоянии «a» от ближайшего конца «B» стержня. Найдите силу взаимодействия стержня и точки.
Разобьём весь стержень на n элементарных отрезков длиной Δx. Сила взаимодействия элементарного отрезка с точкой будет приближённо равна , где , а - расстояние между точкой и элементарным отрезком, k - коэффициент пропорциональности. Дифференциал силы равен . Следовательно, . Ответ: