Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 113
Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лекции 8 - 9
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
в лекциях 8 – 9 излагаются необходимые элементы теории множеств, рассматриваются наиболее часто встречающиеся числовые множества и их свойства. Вводится понятие числовой последовательности и ее предела, рассмотрены специальные виды последовательностей (бесконечно малые, бесконечно большие, монотонные) и их свойства.
8.1. Элементы теории множеств и математической логики
8.2. Числовые множества
8.3. Числовые промежутки
8.4. Ограниченные множества
8.5. Числовые последовательности
8.6. Свойства ограниченных последовательностей
9.1. Предел числовой последовательности
9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей
9.4. Свойства сходящихся последовательностей
9.5. Монотонные последовательности
9.6. Число е как предел монотонной последовательности
9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы
8.1. Элементы теории множеств и математической логики
В дальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые понятия и операции теории множеств и математической логики.
Понятие множества относится к основным понятиям математики и в силу этого его нельзя определить через какое-то более общее понятие.
Объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по отношению к множеству являются элементами множества.
Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами. Например, учащиеся школы № N образуют множество, каждый ученик (ученица) – элемент этого множества. Это же множество можно организовать иначе: множество учащихся школы № N состоит из классов школы № N, а класс школы № N состоит из учеников (учениц) данного класса.
Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами.
Множества могут быть заданы:
В первом примере множество состоит из 3 чисел 1, 2 и 3; во втором примере множество состоит из бесконечного количества действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию .
Множество, не содержащее элементов, называется пустым.
Если все элементы множества являются также элементами множества , то называется подмножеством множества .
Пустое множество является подмножеством любого множества, Любое непустое множество является подмножеством самого себя (это так называемые несобственные подмножества).
Множества и равны, если одновременно - подмножество и - подмножество . Равные множества состоят из одних и тех же элементов.
Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений относительно множеств и операций над множествами:
|
пустое множество; |
|
|
« принадлежит множеству » (« содержится в множестве », «множество содержит », «множество включает элемент »); |
|
|
«элемент а не принадлежит множеству »; |
|
|
« - подмножество множества » (« содержит », « содержится в », « включает », « включается в »); |
|
|
« - подмножество множества »; |
|
|
«A равно B», «А совпадает с В»; |
|
|
объединение (сумма) множеств А и В; вобъединение входят элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств; |
|
|
пересечение (произведение) множеств А и В; в пересечение входят элементы, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству B. |
Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических операций и стандартных словосочетаний (ниже малыми греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания (утверждения)):
|
импликация, логическое следствие; читается «из высказывания следует высказывание », «высказывание является следствием высказывания »; |
|
|
эквивалентность, равносильность; читается «высказывание равносильно высказыванию », « эквивалентно », « и равносильны»; означает, что и , т.е. высказывания и либо оба верны, либо оба неверны; |
|
|
отрицание высказывания ; |
|
|
дизъюнкция, логическое «или»; означает « или »; |
|
|
конъюнкция, логическое «и»; означает « и »; |
|
|
квантор существования, – читается «существует элемент , принадлежащий множеству »; |
|
|
квантор всеобщности, – читается «для каждого элемента , принадлежащего множеству ». |
|
|
: |
читается «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет место». |
Кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов:
, .
Покажем на нескольких примерах применение символической записи:
8.2. Числовые множества
Числа 1, 2, 3,... называются натуральными и обозначаются .
Числа , образуют множество целых чисел.
Числа вида образуют множество рациональных чисел.
Если , то рациональная дробь называется правильной, если – неправильной.
Рациональные дроби представляются в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаменатель.
|
Пример: |
|
|
, , . |
Числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел . Например, , , .
Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел .
Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие.
8.3. Числовые промежутки
Примеры числовых множеств:
|
Множество элементов x: |
|
|
Элемент множества: |
|
|
Отрезок (сегмент): |
: где |
|
Интервал: |
|
|
Полуинтервал (полусегмент): |
|
|
Луч: |
|
|
Окрестность точки c - это произвольный интервал (a,b), содержащий точку с. |
|
|
Эпсилон – окрестность точки с представляет собой множество, задаваемое неравенством: , то есть . |
8.4. Ограниченные множества
Множество называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что , где М называется верхней гранью множества (ВГ ).
|
Пример: |
|
|
, . |
Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.
Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ ).
|
Пример: |
|
|
, . |
Множество называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что , где m – нижняя грань (НГ ).
Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.
Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ ).
Множество называется ограниченным, если существует число
М > 0 такое, что . Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху.
Множество называется неограниченным, если для любого сколь
угодно большого числа М > 0 найдется элемент , удовлетворяющий неравенству:.
|
Пример: |
|
|
Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество. |
Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.
Число М называется наибольшим элементом множества , , если 1) ; 2) .
Число m называется наименьшим элементом множества , , если 1) ; 2) .
Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наименьший) элемент, а может и не иметь его:
, , ;
, , не существуют.
8.5. Числовые последовательности
Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставлено в соответствие некоторое число , то множество нумерованных чисел называется числовой последовательностью. Элементы этого множества называются членами или элементами последовательности.
Числовая последовательность может быть задана:
1) перечислением элементов;
2) заданием общего члена последовательности как функции номера ;
3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае задается несколько первых членов последовательности и закон, по которому вычисляются последующие члены: - одночленная рекуррентная формула, - двучленная рекуррентная формула, и т.д.
|
Пример: |
|
|
Если рассмотреть произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел: и выбрать из последовательности ее члены с соответствующими номерами то полученная последовательность называется подпоследовательностью последовательности . Например, для произвольной последовательности подпоследовательностями являются последовательности четных или нечетных членов.
Числовые последовательности являются упорядоченными числовыми множествами, для них справедливы тео ремы об ограниченных множествах.
|
Пример: |
|
|
Последовательность ограничена сверху, поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству . Последовательность ограничена снизу, т.к. . Последовательность ограничена. Для любого nN , т.е. . |
|
|
Пример: |
|
|
Неограниченные последовательности:
|
8.6. Свойства ограниченных последовательностей
Неограниченные последовательности таких свойств не имеют.
9.1. Предел числовой последовательности
Конечное число называется пределом числовой последовательности (обозначается или ), если для любого положительного числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что при всех выполняется неравенство .
Это может быть описано также в следующих терминах:
Сокращенная запись:
.
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.
То же утверждение может быть сформулировано короче.
Число есть предел последовательности , если ее члены отличаются от сколь угодно мало, начиная с некоторого места.
Исходное определение уточняет, как следует понимать «сколь угодно мало» и «начиная с некоторого места». - точная формулировка первого утверждения, а - второго.
|
Пример: |
|
|
Дано: , . Докажем, что . Доказательство: Если взять – любое целое, большее, чем , то неравен ство будет выполнено , ч.т.д. Геометрическая интерпретация примера: |
Последовательность не имеет предела, так как нельзя указать номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.
Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.
9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые
последовательности
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа можно указать такое натуральное число (зависящее от ), что при всех выполняется неравенство
.
Если числовая последовательность бесконечно большая и ее члены (по крайней мере, начиная с какого-то номера) сохраняют определенный знак ( или ), говорят, что последовательность имеет предел (или ): , или , .
|
Пример: |
|
|
Последовательности , , являются бесконечно большими, т.к. для любого из следует, что если , то условие определения выполнено. |
Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что при всех выполняется неравенство .
(:).
Из определения предела последовательности следует, что последовательность бесконечно мала, если .
|
Пример: |
|
|
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия , , является бесконечно малой последовательно стью, т.к. для любого из неравенства следует, что при это неравенство выполнено, т.о.. |
9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть – бесконечно малая последовательность. Тогда для данного , начиная с некоторого номера, имеет место неравенство . Выбирая в качестве максимальное из чисел , получим для всех , что и требовалось доказать.
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство:
Пусть – бесконечно малая, а – ограниченная последовательности, т.е. для любого существует такое, что для , и существует такое число , что для всех . Тогда для последовательности при имеем . Так как – фиксированное число, а – сколь угодно малое, то также сколь угодно малое. Теорема доказана.
Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Справедливость этого утверждения следует из того, что бесконечно малая последовательность всегда ограничена.
Если элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность будет бесконечно большой.
Если бесконечно большая последовательность и , то последовательность – бесконечно малая.
|
Пример: |
|
|
1). Последовательность – бесконечно малая, т.к. ее элементы являются произведением элементов ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности . 2). Последовательность – бесконечно малая, т.к. является суммой бесконечно малых последовательностей и . 3). Последовательность – бесконечно малая, т.к. является произведением бесконечно малой последовательности на бесконечно малую последовательность . |
Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного найдется номер такой, что для всех , удовлетворяющих условию , и для всех натуральных чисел () справедливо неравенство
.
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.
9.4. Свойства сходящихся последовательностей
1º. Если последовательность сходится и , то ее элементы имеют вид , где – бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
По определению предела , .
Рассмотрим , подставим
, т.е.
- бесконечно малая последовательность.
2º. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Пусть и , , – два предела сходящейся последовательности .
;
.
Выберем и : тогда должно одновременно выполняться и , что невозможно, значит, .
3º. Сходящаяся последовательность ограничена.
Обратное утверждение неверно, например, последовательность является ограниченной, но предела не имеет.
4º. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что и ) двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей.
Доказательство (сумма):
Пусть и – сходящиеся последовательности и , . Тогда , где и – бесконечно малые последовательности, и , т.е. последовательность – бесконечно малая, и поэтому сходится и имеет своим пределом .
Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.
5º. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству (), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ().
1. Если элементы и сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: .
2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке , то и ее предел также находится на этом отрезке.
6º. Пусть и – сходящиеся последовательности и . Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам .Тогда последовательность сходится и .
7º. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.
9.5. Монотонные последовательности
Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров справедливо неравенство ().
Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Если вместо нестрогих неравенств и имеют место строгие неравенства или , то последовательности называются возрастающей и убывающей соответственно.
|
|
|
|
1). Последовательность - неубывающая. 2). Последовательность – возрастающая, так как >. Действительно, . 3). Последовательность – убывающая, так как . |
Признак сходимости монотонной последовательности. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Докажем, что если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (имеет предел).
Доказательство:
- ограничена сверху имеет покажем, что .
1) ;
2) найдется элемент , (по условию - неубывающая последовательность), т.е. запишем последовательно:
,
то есть по определению предела .
1. Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом.
2. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.
|
Пример: |
|
|
, , , однако - немонотонная. |
Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.
9.6. Число е как предел монотонной последовательности
Рассмотрим последовательность , .
Исходя из признака сходимости монотонной последовательности, достаточно доказать, что:
1) - является возрастающей;
2) - ограничена сверху.
Из 1) и 2) делаем вывод о существовании предела .
Доказательство:
Воспользуемся формулой бинома Ньютона:
,
где .
Тогда
Аналогично для
,
Таким образом, – последовательность возрастающая
получаем: .
- сумма убывающей геометрической прогрессии, для которой
, ;
.
Вывод: возрастающая последовательность ограничена сверху, следовательно, последовательность сходится.
1. Обозначение , (Эйлер);
2. Число имеет большое значение в математическом анализе.
- показательная функция с основанием ;
- натуральный логарифм (логарифм по основанию ).
3. Справедливо утверждение: если – произвольная бесконечно малая последовательность и , то
9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы
Точка бесконечной прямой называется предельной точкой числовой последовательности , если в любой -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .
Иногда предельная точка именуется точкой сгущения (что связано с геометрической интерпретацией действительных чисел как точек на числовой оси). Точки, представляющие собой члены последовательности, как бы «сгущаются» вблизи предельной точки.
Подобный «геометрический» подход позволяет высказать два утверждения, строгое доказательство которых опустим:
1) всякая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку;
2) последовательность, имеющая несколько предельных точек, расходится.
|
Пример: |
|
|
1). Последовательность имеет две предельные точки и , но не имеет предела. 2). Последовательность имеет одну предельную точку которая является одновременно пределом этой последовательности. |
Принцип Больцано – Вейерштрасса. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.
Наибольшая предельная точка последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается .
Наименьшая предельная точка последовательности называется нижним пределом последовательности и обозначается .
|
Пример: |
|
|
1). Последовательность имеет верхний предел и нижний предел . 2). Последовательность имеет нижний предел , тогда как обычного предела у нее нет, поскольку она неограниченная. |
Сформулируем без доказательства теорему, показывающую важность этих понятий (значения пределов в ней могут быть и несобственными числами, т.е. или ).
Для любой числовой последовательности верхний и нижний пределы всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное для существования предела (в обычном смысле).
Предел в обычном смысле также может оказаться несобственным числом.
|
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями:
монотонной последовательности;
|